Analisis numérico
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Este documento presenta una introducción al análisis numérico. Define el análisis numérico y la importancia de los métodos numéricos. Explica números de decimales y de máquinas, y cómo encontrar números decimales a partir de números máquina. También define errores absolutos y relativos, y cómo calcular cotas de errores. Por último, identifica las fuentes básicas de errores como el error de truncamiento y el error de redondeo.
Analisis numérico
- 1. REPUBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA MINISTERIO DEL PODER POPULAR PAFRA LA EDUCACION SUPERIOR UNIVERSIDAD FERMIN TORO ING DE MANTENIMIENTO MECANICO. ANÁLISIS NUMÉRICO RESUMEN UNIDAD I TSU. LARRY J. GUTIERREZ CI: 7.573.674 NOVIEMBRE 2012
- 2. Objetivo Terminal Analizar la diferencia entre valor exacto y aproximado, los distintos tipos de errores que se pueden cometer cuando se programa en un computador Objetivos Específicos Definir análisis numérico El Análisis numérico es una rama de las matemáticas cuyos límites no son del todo precisos. De una forma rigurosa, se puede definir como la disciplina ocupada de describir, analizar y crear algoritmos numéricos que nos permitan resolver problemas matemáticos, en los que estén involucradas cantidades numéricas, con una precisión determinada. El análisis numérico cobra especial importancia con la llegada de los ordenadores. Los ordenadores son útiles para cálculos matemáticos extremadamente complejos, pero en última instancia operan con números binarios y operaciones matemáticas simples. Desde esta perspectiva, el análisis numérico proporcionará todo el andamiaje necesario para llevar a cabo todos los procedimientos matemáticos existentes en base a algoritmos que permitan su simulación o cálculo en procesos más sencillos empleando números. Indicar la importancia de utilizar métodos numéricos Los métodos numéricos son técnicas mediante las cuales es posible formular problemas matemáticos de tal forma que puedan resolverse usando operaciones aritméticas. El análisis numérico trata de diseñar métodos para “aproximar” de una manera eficiente las soluciones de problemas expresados matemáticamente. El objetivo principal del análisis numérico es encontrar soluciones “aproximadas” a problemas complejos utilizando sólo las operaciones más simples de la aritmética. Los métodos numéricos pueden ser aplicados para resolver procedimientos matemáticos en: Cálculo de derivadas Integrales Ecuaciones diferenciales Operaciones con matrices Interpolaciones Ajuste de curvas Polinomios Los
- 3. métodos numéricos se aplican en áreas como: Ingeniería Industrial, Ingeniería Química, Ingeniería Civil, Ingeniería Mecánica, Ingeniería eléctrica, etc… Definir números de decimales y de máquinas Es un sistema numérico que consta de dos dígitos: Ceros (0) y unos (1) de base 2". El término "representación máquina" o "representación binaria" significa que es de base 2, la más pequeña posible; este tipo de representación requiere de menos dígitos, pero en lugar de un número decimal exige de más lugares. Esto se relaciona con el hecho de que la unidad lógica primaria de las computadoras digitales usan componentes de apagado/prendido, o para una conexión eléctrica abierta/cerrada. Encontrar números decimales a partir de números máquina decimales en bits Son aquellos números cuya representación viene dada de la siguiente forma: ± 0,d1 d2 d3 ... dk x 10 n, 1£ d1 £ 9, 1£ dk £ 9 para cada i=2, 3, 4, ..., k"; De lo antes descrito, se indica que las maxi computadoras IBM (mainframes) tienen aproximadamente k= 6 y –78 £ n £ 76. Definir error absoluto y error relativo Error absoluto. Es la diferencia entre el valor de la medida y el valor tomado como exacta. Puede ser positivo o negativo, según si la medida es superior al valor real o inferior (la resta sale positiva o negativa). Tiene unidades, las mismas que las de la medida. Error relativo. Es el cociente (la división) entre el error absoluto y el valor exacto. Si se multiplica por 100 se obtiene el tanto por ciento (%) de error. Al igual que el error absoluto puede ser positivo o negativo (según lo sea el error absoluto) porque puede ser por exceso o por defecto. no tiene unidades.
- 4. Calcular errores absolutos y errores relativos Una medida se debería repetir tres ó cuatro veces para intentar neutralizar el error accidental. Se tomará como valor real (que se acerca al valor exacto) la media aritmética simple de los resultados. El error absoluto de cada medida será la diferencia entre cada una de las medidas y ese valor tomado como exacto (la media aritmética). El error relativo de cada medida será el error absoluto de la misma dividido por el valor tomado como exacto (la media aritmética). Calcular cotas de errores absolutos y relativos 1.-Cota de error absoluto <½ unidad del orden de la última cifra significativa 2. Una cota para el error relativo es: Cota de error relativo=cota del error absoluto /valor real Definir las fuentes básicas de errores Existen dos causas principales de errores en los cálculos numéricos: Error de truncamiento y error de redondeo. El Error de Redondeo se asocia con el número limitado de dígitos con que se representan los números en una PC. El Error de Truncamiento, se debe a las aproximaciones utilizadas en la fórmula matemática del modelo (la serie de Taylor es el medio más importante que se emplea para obtener modelos numéricos y analizar los errores de truncamiento). Otro caso donde aparecen errores de truncamiento es al aproximar un proceso infinito por uno.
- 5. Encontrar errores de redondeo y truncamiento Los errores numéricos se generan al realizar aproximaciones de los resultados de los cálculos matemáticos y se pueden dividir en dos clases fundamentalmente: errores de truncamiento, que resultan de representar aproximadamente un procedimiento matemático exacto, y los errores de redondeo, que resultan de representar aproximadamente números exactos. En cualquier caso, la relación entre el resultado exacto y el aproximado está dada por: Valor verdadero = valor aproximado + error, de donde se observa que el error numérico está dado por: Ev = valor verdadero - valor aproximado. Donde Ev significa el valor exacto del error. La deficiencia del truncamiento o cortado, es atribuida al hecho de que los altos términos en la representación decimal completa no tienen relevancia en la versión de cortar o truncar; por lo tanto el redondeo produce un error bajo en comparación con el truncamiento o cortado.