Luis serrano analisis numerico
- 1. UNIVERSIDAD: "FERMÍN TORO" DECANATO DE INGENIERÍA ESCUELA DE INGENIERÍA ANALISIS NUMERICO METODOS NUMERICOS Y ERROS LUIS SERRANO NOVIEMBRE DE 2012
- 2. MÉTODOS NUMÉRICOS Análisis numérico. Una definición de análisis numérico podría ser el estudio de los errores en los cálculos; error aquí no quiere decir un disparate, equivocación u omisión, sino más bien una discrepancia entre el valor exacto y el calculado, que es consecuencia de la manera con que se manejan los números o fórmulas. Otra definición de análisis numérico podría ser el diseño, uso y análisis de algoritmos, los cuales son conjuntos de instrucciones cuyo fin es calcular o aproximar alguna cantidad o función. Un especialista de análisis numérico se interesa en la creación y comprensión de buenos métodos que resuelvan problemas numéricamente. Una característica importante del estudio de los métodos es su variación. El análisis numérico consiste en procedimientos que resuelven problemas y realizan cálculos puramente aritméticos. Pero hay que tomar en cuenta las características especiales y limitaciones de los instrumentos de cálculo (como las computadoras) que nos ayudan en la ejecución de las instrucciones del algoritmo. Si bien no nos interesa la construcción de tal dispositivo o la manera en que funciona, si nos importarán los sistemas numéricos de máquinas en contraposición con nuestro sistema de números reales, y los errores resultantes de cambiar de uno a otro sistema. Una buena razón para estudiar el análisis numérico es mejorar nuestra comprensión de los conceptos de las matemáticas (puras) observando como algunos de ello deben modificarse necesariamente en las matemáticas computacionales. Después de todo, el análisis numérico es importante porque es necesario en la solución de muchos problemas del mundo real. Métodos numéricos. Los métodos numéricos son técnicas mediante las cuales es posible formular problemas matemáticos de tal forma que puedan resolverse usando operaciones aritméticas. Hay muchos tipos de métodos numéricos, y comparten una característica común: invariablemente se deben realizar un buen número de tediosos cálculos aritméticos. Los métodos numéricos son herramientas muy poderosas para a solución de problemas. Pueden manejar sistemas de ecuaciones grandes, no linealidades y geometrías
- 3. complicadas, comunes en la ingeniería. También es posible que se utilice software disponible comercialmente que contenga métodos numéricos. El uso inteligente de estos programas depende del conocimiento de la teoría básica de estos métodos; además hay muchos problemas que no pueden plantearse al emplear programas hechos, conociendo bien los métodos numéricos se puede diseñar programas propios y así no comprar software costoso. Al mismo tiempo se aprende a conocer y controlar los errores de aproximación que son inseparables de los cálculos numéricos a gran escala. Los métodos numéricos son un medio para reforzar la comprensión de las matemáticas, porque profundizan en los temas que de otro modo resultarían obscuros, esto aumenta su capacidad de comprensión y entendimiento en la materia. Cifras significativas. Cuando se emplea un número en un cálculo, debe haber seguridad de que pueda usarse con confianza. El concepto de cifras significativas tiene dos implicaciones importantes en el estudio de los métodos numéricos. 1.- Los métodos numéricos obtienen resultados aproximados. Por lo tanto, se debe desarrollar criterios para especificar que tan precisos son los resultados obtenidos. 2.- Aunque ciertos números representan número específicos, no se pueden expresar exactamente con un número finito de cifras. Exactitud y Precisión. La exactitud se refiere a que tan cercano está el valor calculado o medido del valor verdadero. La precisión se refiere a qué tan cercano está un valor individual medido o calculado respecto a los otros. La inexactitud se define como un alejamiento sistemático de la verdad. La imprecisión, sobre el otro lado, se refiere a la magnitud del esparcimiento de los valores. Los métodos numéricos deben ser lo suficientemente exactos o sin sesgos para que cumplan los requisitos de un problema particular de ingeniería. Error. En general, para cualquier tipo de error, la relación entre el número exact9 y el obtenido por aproximación se define como: Error = Valor real -valor estimado En ocasiones, se sabrá exactamente el valor del error, que denotaremos como Ev, o deberemos estimar un error aproximado. Ahora, para definir la magnitud del error, o que incidencia tiene en el cálculo el error detectado, podemos normalizar su valor : Ea = Error relativo (fracción) = error estimado I valor verdadero Como el valor de Ea puede ser tanto positivo como negativo, en muchos casos nos interesa saber más la magnitud del error, caso en el cual usaremos el valor absoluto de este.
- 4. Un caso muy interesante es una investigación que realiza Scarborough, en que determinó el número de cifras significativas que contiene el error como: Si reemplazamos Es en la ecuación. Obtendremos el número de cifras significativas en que es confiable el valor aproximado obtenido. Así, si queremos que nuestro cálculo tenga un error menor al criterio para dos cifras significativas, debemos obtener números que correspondan a menos de: Es=(0.5x 102-2)%=0.5% Esto nos servirá para determinar cuántos términos serán necesarios en un cálculo aproximado para tener la certeza que el error se encuentra bajo el margen especificado en Es Definición de Métodos Numéricos. Los métodos numéricos son técnicas mediante las cuales es posible formular problemas de tal forma que sean resueltas con operaciones aritméticas, Aunque hay muchos tipos de métodos numéricos todos comparten una característica común, llevan cabo un buen número de tediosos cálculos aritméticos. • STEVEN C.CHAPRA, RAYMOND P. CANALE, Métodos Numéricos para Ingenieros con Aplicaciones en Computadoras Personales, Edit. McGraw Hill, México, S.A de C.V., 1987. PAG. 1 Los métodos numéricos nos vuelven aptos para entender esquemas numéricos a fin de resolver problemas matemáticos, de ingeniería y científicos en una computadora, reducir esquemas numéricos básicos, escribir programas y resolverlos en una computadora y usar correctamente el software existente para dichos métodos y no solo aumenta nuestra habilidad para el uso de computadoras sino que también amplia la pericia matemática y la comprensi6n de los principios científicos básicos. • NAKAMURA, Schoichiro, Métodos Numéricos Aplicados con Software, Edit. Prentice Hall, México, 1992. PREFACIO.. Los métodos numéricos son adecuados para la solución de problemas comunes de ingeniería, ciencias y administración, utilizando computadoras electrónicas. En el proceso de solución de problemas por medio de computadoras se requieren los pasos siguientes. - Especificación del problema. Con esto se indica que se debe identificar perfectamente el problema y sus limitaciones, las variables que intervienen y los resultados deseados.
- 5. - Análisis. Es la formulación de la solución del problema denominada también algoritmo, de manera que se tenga una serie de pasos que resuelvan el problema y que sean susceptibles de ejecutarse en la computadora. - Programación. Este paso consiste en traducir el método de análisis o algoritmo de solución expresándole como una serie detallada de operaciones. - Verificación. Es la prueba exhaustiva del programa para eliminar todos los errores que tenga de manera que efectúe lo que desea los resultados de prueba se comparan con soluciones conocidas de problemas ya resueltos. - Documentación. Consiste en preparar un instructivo del programa de manera que cualquier persona pueda conocer y utilizar el programa. - Producción. Es la ultima etapa en la que solo se proporcionan datos de entrada del programa obteniéndose las soluciones correspondientes. De lo antes expuesto se puede concluir que es necesario un conocimiento completo del problema, y de los campos de las matemáticas relacionados con el que es precisamente el objeto de los métodos numéricos para computadora. • LUTHE, Rodolfo y otros Métodos Numéricos, Edit. Limusa, México, 1980. PROLOGO. Para resolver el problema con una computadora significa mucho más que el trabajo que ejecuta la maquina. • Identificación y definición de objetos. Descripción matemática. • Análisis Numérico. • Programación de la computadora. • Verificación del programa. • Producción. • Interpretación. La maquina sigue una serie de pasos o también denominado método numérico la respuesta final para el usuario debe interpretar los resultados para ver lo que significan en función de las combinaciones del objetivo que el sistema propuesto debe satisfacer. • Mc CRACKEN Daniel D. Métodos numéricos y programación fortran. Con aplicaciones en ingeniería y ciencias. Pagina 14. Si un problema de cálculo (científico) tiene una solución analítica que es : • imposible (p. ej. despejar tan x = x + 2), o • impracticable (p. ej. sistema lineal de orden 80), Acudimos a un método numérico, que aporta : • una solución numérica estimada, de cierta precisión limitada, que, por lo tanto, lleva un error asociado, que es importante analizar.
- 6. Figura 1: Análisis Numérico Si los métodos numéricos son los algoritmos (conjuntos detallados y secuenciados de operaciones) que nos llevan hasta las soluciones estimadas de los problemas, el estudio de éstos y del análisis de errores que pueden llevar asociados constituye el Análisis Numérico. De acuerdo con nuestros objetivos, nosotros nos concentraremos muy especialmente en los métodos numéricos y rebajaremos el rigor del análisis de errores, propio de quien tiene por centro el método numérico mismo y no tanto su aplicación inmediata, sin olvidarnos de él. Es decir, seguiremos la línea de los textos de ``Métodos Numéricos" más que la de los textos de ``Análisis Numérico". MODELO PARA LA SOLUCION DE PROBLEMAS. ENTRADA ALGORITMO SALIDA Un ejemplo de algoritmos puede ser la multiplicación de 2 números enteros en donde tenemos varias opciones de algoritmos para resolver el ejercicio. Una puede ser como aprendimos en la primaria, otra con sumas repetidas, otra usando calculadora, otra aplicando logaritmos, otra mas usar el : ALGORITMO RUSO 28 28 28 13 x13 28 14 26 84 : 7 52 28 28 3 104 ------ ----- 1 208 364 364 0 364 Los métodos numéricos surgen junto con las matemáticas desde épocas remotas aunque en aquella época estos procedimientos fueron muy tardados en resolver problemas, los elementos básicos consistían en operaciones aritméticas.
- 7. Con el surgimiento de las computadoras en los años cuarentas, donde las operaciones fundamentales fueron las aritméticas se hizo una notable contribución a las ciencias ya que los métodos numéricos y las computadoras embonaron y coincidieron para servirse una de la otra. En las Ciencias y la Ingeniería en la actualidad son indispensables los métodos numéricos en la solución de problemas por lo tanto se justifica el aprendizaje de éstos métodos como herramientas matemáticas. TEORIA DE ERRORES. Errores Todos los resultados de la aplicación de métodos numéricos van acompañados de un error que es conveniente estimar. En muchas ocasiones esto no es posible hacerlo de un modo cuantitativo, en otras, en cambio, pueden llevarse a cabo análisis de errores que pueden ser: • a priori, cuando no se utilizan los resultados en el análisis, que puede llegar a ser muy complejo (recordar, p. ej., las expresiones del error de una simple división basadas en las del cálculo diferencial), y • a posteriori, cuando se utilizan los propios resultados en el análisis de los errores. Es conveniente tener presente en todo momento cuáles son las fuentes de los errores, lo que puede ser una ayuda definitiva a la hora de resolver eventuales problemas prácticos, si bien es cierto que éstas actúan siempre juntas, haciendo muy difícil el conocimiento detallado de la contribución de cada una en cada caso. Fuentes de error Son tres, que dan lugar a una clasificación de los errores de acuerdo con ellas: • Inherentes. Asociado a la precisión de los datos de imputa. (P. Ej. El uso de en lugar de 1/3.) Su característica principal es que se propaga al output. Esta propagación puede estudiarse mediante análisis de sensibilidad, que permiten detectar hipersensibilidades de los resultados hacia variables específicas en rangos particulares, de modo que puedan tomarse precauciones especiales en esos casos. Cuando existe una magnificación inaceptable del error se dice que el problema está mal condicionado. Los errores de input son causantes de imprecisión en los resultados. • Truncamiento. Asociado a la substitución de procesos infinitos por procesos finitos, tales como el truncamiento de series, el uso se sumas limitadas para el cálculo de integrales o el uso de diferencias finitas para el cálculo de derivadas. Los errores de truncamiento causan inexactitud de los resultados.
- 8. Cuando se comparan unos métodos numéricos con otros suelen estudiarse algunas propiedades asociadas con los errores, en estos casos es al error de truncamiento al que se refiere, , que se expresa en función de algún parámetro conveniente, h, que tiende a 0 (o a ) cuando el error es nulo. Es frecuente comparar: convergencia: cuando Velocidad de convergencia: comportamiento asintótico cuando Estimación real del error: para todo • Redondeo. Asociado a la precisión limitada con la que se realizan las operaciones (cifras significativas). Su mayor peligro radica en su tendencia a acumularse. A modo de ejemplo, podemos calcular los errores inherentes, de truncamiento, de redondeo y total resultantes de la evaluación de sí el input es 0.3333, se aproxima por una serie de Taylor con cuatro términos. y las operaciones se hacen con cuatro cifras: CLASIFICACION DE LOS ERRORES ERRORES INHERENTES. Son aquellos errores cometidos por la persona al tomar los datos de lecturas de instrumentos de medición, al pasar éstos datos a la computadora o bien por verdaderas equivocaciones por el manejo de los datos. ERRORES POR REDONDEO.
- 9. Es aquel tipo de error en donde el número significativo de dígitos después del punto decimal se ajusta a un número específico provocando con ello un ajuste en el último dígito que se toma en cuenta. ERRORES POR TRUNCAMIENTO. Para llevar a cabo operaciones de algunas funciones matemáticas los compiladores ejecutan éstas funciones utilizando series infinitas de términos, pero es difícil llevar a cabo éstos cálculos hasta el infinito, por lo tanto la serie tendrá que ser truncada. __ X = X + Ex donde X = cantidad verdadera __ X = cantidad aproximada Ex = error absoluto __ Ex = |X – X | El error absoluto de una cantidad es igual al valor absoluto de la diferencia entre la cantidad absoluta y su aproximación incluye sus unidades fisicas. FORMA RELATIVA. El error relativo de una cantidad cualquiera es igual al cociente de el error absoluto entre la cantidad verdadera, generalmente expresado como porcentaje ya que no tiene unidades. __ Erx = Ex / X ≅ Ex / X EJEMPLO: Dos cantidades al ser medidas nos dan los siguientes resultados: error absoluto error relativo A = ( 100 + 1 )m Ea = 1m Era = Ea = 1m = 0.01 = 1% X 100m B = ( 8 + 0.8 )ft Eb = 0.8ft Erb = Eb = 0.8ft = 0.1 = 10% B 8ft ANALISIS NUMERICO Y MANEJO DEL ERROR El Calculo Numérico o Análisis Numérico consiste en procedimientos que resuelven problemas y realizan cálculos puramente aritméticos. Pero hay que tomar en cuenta las características especiales y limitaciones de los instrumentos de cálculo (como las computadoras) que ayudan en la ejecución de las instrucciones del algoritmo.
- 10. El análisis numérico es importante porque es necesario en la solución de muchos problemas del mundo real. El análisis numérico es el desarrollo y el estudio de procedimientos para resolver problemas con ayuda de una computadora. La ventaja fundamental del análisis numérico es que puede obtenerse una respuesta numérica, aun cuando un problema no tenga solución analítica. La solución obtenida con análisis numérico siempre es numérica. Los resultados numéricos pueden trazarse en forma de grafica para mostrar el comportamiento de la solución. El resultado del análisis numérico es una aproximación, aunque los resultados pueden hacerse tan exactos como se quiera. A fin de obtener la máxima exactitud es necesario efectuar una cantidad enorme de operaciones por separado. Algunas operaciones que puede realizar el análisis numérico: - Resolución para las raíces de una ecuación no lineal. - Resolución de grandes sistemas de ecuaciones lineales. - Obtención de soluciones de un sistema de ecuaciones no lineales. - Interpolación para encontrar valores intermedios en una tabla de datos. - Encontrar aproximaciones eficientes y eficaces de funciones. - Aproximación de derivadas de cualquier orden para funciones, incluso cuando la función se conoce solo como una tabla de valores. - Integración de cualquier función, aun cuando solo se conozca como una tabla de valores. También es posible obtener integrales múltiples. - Resolución de ecuaciones diferenciales ordinarias cuando se proporcionan valores iniciales de las variables. Estas pueden ser de cualquier orden y complejidad. - Resolución de problemas con valor en la frontera y determinación de valores característicos y vectores característicos. - Obtención de soluciones numéricas para todos los tipos de ecuaciones diferenciales parciales. - Ajuste de curvas a datos mediante la aplicación de varios métodos. Los métodos numéricos requieren operaciones aritméticas tan tediosas y repetitivas que solo cuando se cuenta con una computadora que realice tantas operaciones por separado es practico resolver problemas de esta forma. Para que una computadora pueda realizar el análisis numérico debe escribirse un programa. La iteración es un procedimiento que consiste en elaborar una sucesión de operaciones, cada una de las cuales aplica los resultados de la operación precedente. Muchos procedimientos de análisis numérico son iterativos. Para resolver un problema científico o de ingeniería hay que seguir cuatro pasos generales: 1. Plantear claramente el problema. 2. Obtener un planteamiento matemático del problema. 3. Resolver la ecuación o ecuaciones que resulten del paso 2.
- 11. 4. Interpretar el resultado numérico para llegar a una decisión. Es la parte mas difícil en la resolución de problemas. Métodos numéricos. Los métodos numéricos son técnicas mediante las cuales es posible formular problemas matemáticos de tal forma que puedan resolverse usando operaciones aritméticas. Hay muchos tipos de métodos numéricos, y comparten una característica común: invariablemente se deben realizar un buen número de tediosos cálculos aritméticos. Los métodos numéricos son herramientas muy poderosas para la solución de problemas. Pueden manejar sistemas de ecuaciones grandes, no lineales y geometrías complicadas, comunes en la ingeniería. También es posible que se utilice software disponible comercialmente que contenga métodos numéricos. El uso inteligente de estos programas depende del conocimiento de la teoría básica de estos métodos; además hay muchos problemas que no pueden plantearse al emplear programas hechos, conociendo bien los métodos numéricos se puede diseñar programas propios y así no comprar software costoso. Al mismo tiempo se aprende a conocer y controlar los errores de aproximación que son inseparables de los cálculos numéricos a gran escala. Los métodos numéricos son un medio para reforzar la comprensión de las matemáticas, porque profundizan en los temas que de otro modo resultarían obscuros, esto aumenta su capacidad de comprensión y entendimiento en la materia. Definiciones: Algoritmo es un procedimiento sistemático para la resolución de problemas. Ecuación: Es una proposición abierta que involucra una relación de equivalencia y que no se cumple para cualquier valor de la variable o variables. x2 – 5x + 6 es una expresión algebraica o polinomio x2 – 5x + 6 > 0 es una inecuación f(x) = x2 – 5x + 6 es una función x2 – 5x + 6 = (x – 2) (x – 3) es una identidad x2 – 5x + 6 = 0 es una ecuación Raíces o soluciones de una ecuación, es el conjunto de todos los valores que verifiquen la ecuación. x2 – 5x + 6 = 0 es una ecuación cuyas raíces son (2 , 3) x2 – 5x + 6 es un polinomio cuyos ceros son (2 , 3)
- 12. f(x) = x2 – 5x + 6 es una función cuyos ceros son (2 , 3) ERRORES Error es la discrepancia que existe entre la magnitud “verdadera” y la magnitud obtenida. El concepto de error es consustancial con el cálculo numérico. En todos los problemas es fundamental hacer un seguimiento de los errores cometidos a fin de poder estimar el grado de aproximación de la solución que se obtiene. Los errores asociados a todo cálculo numérico tienen su origen en dos grandes factores: • Aquellos que son inherentes a la formulación del problema. • Los que son consecuencia del método empleado para encontrar la solución del problema. Dentro del grupo de los primeros, se incluyen aquellos en los que la definición matemática del problema es sólo una aproximación a la situación física real. Estos errores son normalmente despreciables; por ejemplo, el que se comete al obviar los efectos relativistas en la solución de un problema de mecánica clásica. En aquellos casos en que estos errores no son realmente despreciables, nuestra solución será poco precisa independientemente de la precisión empleada para encontrar las soluciones numéricas. Otra fuente de este tipo de errores tiene su origen en la imprecisión de los datos físicos: constantes físicas y datos empíricos. En el caso de errores en la medida de los datos empíricos y teniendo en cuenta su carácter generalmente aleatorio, su tratamiento analítico es especialmente complejo pero imprescindible para contrastar el resultado obtenido computacional-mente. En lo que se refiere al segundo tipo de error (error computacional), tres son sus fuentes principales: 1. Equivocaciones en la realización de las operaciones (errores de bulto). Esta fuente de error es bien conocida por cualquiera que haya realizado cálculos manualmente o empleando una calculadora. El empleo de computadores ha reducido enormemente la probabilidad de que este tipo de errores se produzcan. Sin embargo, no es despreciable la probabilidad de que el programador cometa uno de estos errores (calculando correctamente el resultado erróneo). Más aún, la presencia de bugs no detectados en el compilador o en el software del sistema no es inusual. Cuando no resulta posible verificar que la solución calculada es razonablemente correcta, la probabilidad de que se haya cometido un error de bulto no puede ser ignorada. Sin embargo, no es esta la fuente de error que más nos va a preocupar.
- 13. 2. El error causado por resolver el problema no como se ha formulado, sino mediante algún tipo de aproximación. Generalmente está causado por la sustitución de un infinito (sumatoria o integración) o un infinitesimal (diferenciación) por una aproximación finita. Algunos ejemplos son: • El cálculo de una función elemental (por ejemplo, Seno x) empleando sólo n términos de los infinitos que constituyen la expansión en serie de Taylor. • Aproximación de la integral de una función por una suma finita de los valores de la función, como la empleada en la regla del trapezoide. • Resolución de una ecuación diferencial reemplazando las derivadas por una aproximación (diferencias finitas). • Solución de la ecuación f(x) = 0 por el método de Newton-Raphson: proceso iterativo que, en general, converge sólo cuando el número de iteraciones tiende a infinito. Denominaremos a este error, en todas sus formas, como error por truncamiento, ya que resulta de truncar un proceso infinito para obtener un proceso finito. Obviamente, estamos interesados en estimar, o al menos acotar, este error en cualquier procedimiento numérico. 3. Por último, la otra fuente de error de importancia es aquella que tiene su origen en el hecho de que los cálculos aritméticos no pueden realizarse con precisión ilimitada. Muchos números requieren infinitos decimales para ser representados correctamente, sin embargo, para operar con ellos es necesario redondearlos. Incluso en el caso en que un número pueda representarse exactamente, algunas operaciones aritméticas pueden dar lugar a la aparición de errores (las divisiones pueden producir números que deben ser redondeados y las multiplicaciones dar lugar a más dígitos de los que se pueden almacenar). El error que se introduce al redondear un número se denomina error de redondeo. Cifras significativas: conjunto de dígitos confiables o necesarios que representan el valor de una magnitud independiente de las unidades de medidas utilizadas. El total de cifras significativas es independiente de la posición del punto decimal. Los ceros a la izquierda de dígitos no nulos, nunca serán cifras significativas, mientras que los ceros intermedios de dígitos no nulos, siempre serán cifras significativas. Ejemplos: 1- Longitud = 26 mm = 0,026 m = 0,000026 km (dos cifras significativas) 2- Estatura = 1,72 m = 17,2 dec. = 172 cm (tres cifras significativas) 3- 40072 ( cinco cifras significativas) 4- 3.001 ( cuatro cifras significativas)
- 14. 5- 0,000203 ( tres cifras significativas) Medición del error: La exactitud de cualquier calculo es importante para todo calculo. Hay dos formas comunes para expresar el tamaño del error en un resultado calculado. El error absoluto y el error relativo. Error absoluto = | valor verdadero – valor aproximado | Valor verdadero = valor aproximado + error Error absoluto de x: ea ( x) = x − x (x ≠ 0) error..absoluto Error relativo = valor ..verdadero ea ( x ) ea ( x) Error relativo de x : er ( x ) = , en la practica: er ( x) = x x x representa el valor verdadero x representa el valor aproximado ea representa el error absoluto er representa el error relativo Un tamaño de error dado suele ser mas grave cuando la magnitud del valor verdadero es pequeña. Magnitud es el resultado de una medición. Confiabilidad: porque dependen del instrumento de medición utilizado. Necesarias: porque depende de leyes, reglamentos, normas o costumbres. Los errores numéricos se generan con el uso de aproximaciones para representar cantidades y/o operaciones. Esto da lugar a dos tipos de errores: errores de truncamiento y errores de redondeo Los errores de truncamiento, resultan de representar aproximadamente un procedimiento matemático exacto.
- 15. Esto genera errores de truncamiento durante el procedimiento. Los errores de redondeo resultan de representar aproximadamente números que son exactos. Esto genera errores de redondeo durante los cálculos.