yorneis parte II papers

República Bolivariana de Venezuela
UNIVERSIDAD “FERMIN TORO”
Facultad de Ingeniería
Cabudare-Lara
Análisis
Numérico
Profesor: José E. Linárez
Alumno:
Yorneis Biangoni. C.I:18.438.380
Alumno 100% on line

CABUDARE, MAYO 2016
Algunos conceptos fundamentales
El Cálculo numérico o Análisis numérico consiste en procedimientos que
resuelven problemas y realizan cálculos puramente aritméticos, tomando en cuenta las
características especiales y limitaciones de los instrumentos de cálculo (como las
calculadoras y computadoras, programas informáticos, etc.) que ayudan en la ejecución
de las instrucciones del algoritmo.
El análisis numérico es importante porque es necesario en la solución de muchos
problemas del mundo real.
El análisis numérico es el desarrollo y el estudio de procedimientos para resolver
problemas con ayuda de una computadora.
La ventaja fundamental del análisis numérico es que puede obtenerse una respuesta
numérica, aun cuando un problema no tenga solución analítica.
La solución obtenida con análisis numérico siempre es numérica.
Los resultados numéricos pueden trazarse en forma de grafica para mostrar el
comportamiento de la solución.

El resultado del análisis numérico es una aproximación, aunque los resultados pueden
hacerse tan exactos como se quiera. A fin de obtener la máxima exactitud es necesario
efectuar una cantidad enorme de operaciones por separado.
Aplicaciones
Las aplicaciones del cálculo numérico son muy amplias, y entre las operaciones que se
pueden realizar con ella se citan algunas:
1. Resolución de grandes sistemas de ecuaciones lineales.
2. Obtención de soluciones de un sistema de ecuaciones no lineales.
3. Interpolación para encontrar valores intermedios en una tabla de datos.
4. Encontrar aproximaciones eficientes y eficaces de funciones.
5. Aproximación de derivadas de cualquier orden para funciones, incluso cuando la
función se conoce solo como una tabla de valores.
6. Integración de cualquier función, aun cuando solo se conozca como una tabla de
valores.
7. Obtención de integrales múltiples.
8. Resolución de ecuaciones diferenciales ordinarias a partir de valores iniciales de las
variables pudiendo ser de cualquier orden y complejidad.
9. Resolución de problemas con valor en la frontera y determinación de valores
característicos y vectores característicos.
10. Obtención de soluciones numéricas para todos los tipos de ecuaciones diferenciales
parciales.
11. Ajuste de curvas a datos mediante la aplicación de métodos numéricos variados.
Los métodos numéricos requieren operaciones aritméticas tan tediosas y repetitivas,
que solo cuando se cuenta con una computadora que realice tantas operaciones por
separado es práctico resolver problemas de esta forma. Para que una computadora
pueda realizar el análisis numérico debe escribirse un programa.
La iteración es un procedimiento que consiste en elaborar una sucesión de operaciones,
cada una de las cuales aplica los resultados de la operación precedente. Muchos
procedimientos de análisis numérico son iterativos.

Para resolver un problema científico o de ingeniería
hay que seguir cuatro pasos generales:
1. Plantear claramente el problema.
2. Obtener un planteamiento matemático del problema.
3. Resolver la ecuación o ecuaciones que resulten del paso 2.
4. Interpretar el resultado numérico para llegar a una decisión. Es la parte más difícil en
la resolución de problemas.
Análisis numérico.
Es el diseño, uso y análisis de algoritmos, los cuales son conjuntos de
instrucciones cuyo fin es calcular o aproximar alguna cantidad o función.
El estudio del análisis numérico se interesa en la creación y comprensión de buenos
métodos que resuelvan problemas numéricamente. Una característica importante del
estudio de los métodos es su variación.
El análisis numérico consiste en procedimientos que resuelven problemas y realizan
cálculos puramente aritméticos, teniendo en cuenta las características especiales y
limitaciones de los instrumentos de cálculo, como las calculadoras o las computadoras,
que facilitan enormemente la ejecución de las instrucciones del algoritmo.
El estudio del análisis numérico facilita la comprensión de los conceptos matemáticos
puros, sobre todo teniendo en cuenta que observando como algunos de ellos deben
modificarse necesariamente en las matemáticas computacionales.
Después de todo, el análisis numérico es importante porque es necesario en la solución
de muchos problemas del mundo real.
Métodos Numéricos.

Los métodos numéricos son técnicas mediante las cuales se posibilitan formular
problemas matemáticos de tal forma que puedan resolverse usando operaciones
aritméticas. Hay muchos tipos de métodos numéricos, y comparten una característica
común: Son iterativas, o sea, invariablemente se deben realizar un buen número de
tediosos cálculos aritméticos.
Los métodos numéricos son herramientas muy poderosas para la solución de
problemas.
Pueden manejar sistemas de ecuaciones grandes, no lineales y geometrías complicadas,
comunes en la ingeniería. También es posible que se utilice software disponible
comercialmente que contenga métodos numéricos.
El uso inteligente de estos programas depende del conocimiento de la teoría básica de
estos métodos; además hay muchos problemas que no pueden plantearse al emplear
programas hechos. Un buen conocimiento de los métodos numéricos permite diseñar
programas propios aplicables a utilidades específicas.
Con los métodos numéricos se aprende a conocer y controlar los errores de
aproximación que son inseparables de los cálculos numéricos a gran escala.
Las situaciones que se verán con bastante frecuencia en el estudio del cálculo numérico
son las aproximaciones y los errores, sean estos pequeños o importantes, por lo tanto, el
análisis de una situación problemática y los márgenes necesarios de precisión deben
delimitar los criterios a ser utilizados en cada situación, sean estos referidos a los
errores tolerables o las precisiones necesarias para la obtención de resultados
confiables.
Graph
Entre los varios programas que se ofrecen comercialmente en la web o de los
que se consiguen en forma gratuita (freeware, software libre, de evaluación, etc.), el
programa GRAPH posee todos los atributos necesarios para ser un apoyo importante y
hasta fundamental para el estudiante de matemáticas e ingeniería.

Graph es un programa generosamente ofrecido en la web, que se puede bajar sin ningún
tipo de inconvenientes y que posee, las mejores herramientas para su uso en la materia
de Cálculo numérico, de entre las de adquisición gratuita.
Con Graph se puede graficar cualquier tipo de función, sean estas algebraicas (lineales,
cuadráticas, cubicas, cuarticas, etc.), o trascendentes (exponenciales, logarítmicas,
trigonométricas). Graph permite verificar y hallar valores a cualquier tipo de ecuaciones
lineales y no lineales, permitiendo evaluar funciones en cualquier punto de la misma.
Además con Graph es posible realizar interpolaciones de funciones, o sea, a partir de
pares de puntos, obtener una función que los contengan, sean estas polinómicas o
trascendentes. Con Graph es fácil obtener derivadas de cualquier orden y sus
correspondientes gráficos, así como las integrales definidas en cualquier intervalo.
Esta breve descripción permite tener una idea de lo importante que es este programa de
adquisición libre y gratuita, por su aplicación matemática versátil y variada.
Ejemplo de aplicación ∫ ( 𝑥4 − 3𝑥2 + 1) 𝑑𝑥 = 0,38125
0.5
0
Teoría de Errores

En la actividad matemática, la ingeniería, la informática y muchas otras ciencias,
existen fenómenos muy variados que necesariamente deben ser representados por
modelos matemáticos. Estos modelos, por su complejidad o por características
particulares no presentan soluciones exactas y las más de las veces no son fáciles de
hallarlas, y es aquí, donde los métodos numéricos proporcionan soluciones
aproximadas a los problemas que surgen de situaciones muchas veces no solucionables
por métodos matemáticos tradicionales.
El cálculo numéricos es aquel que aplicando métodos obtiene resultados numéricos que
se aproximan a los resultados exactos que se obtendrían aplicando la solución analítica
de un problema; estos resultados pueden ser hallados con la precisión que se desee y
precisando con anterioridad los márgenes de errores de acuerdo a la rigurosidad y
precisión de los resultados esperados.
Los métodos numéricos se utilizan para resolver problemas que presentan dificultad
para hallar soluciones por medio de los métodos analíticos tradicionales, o situaciones
problemáticas que no sean sencillos de resolverlos. Estos métodos proporcionan una
sucesión de valores que se aproxima a la solución del problema.
Al resolver un problema por métodos numéricos se tendrán siempre presente los
errores, siendo éstos de distintos tipos.
Al aplicar un método numérico a cualquier situación problemática, se debe emplear un
criterio de convergencia, citando con antelación la precisión que se necesite de acuerdo
al tipo de problema a solucionar.
Al final, el objetivo de los Métodos Numéricos es simplemente resolver problemas
numéricos complejos utilizando operaciones matemáticas simples, con el fin de
desarrollar y evaluar métodos para calcular resultados numéricos a partir de los datos
proporcionados, denominándose algoritmos a estos métodos de cálculo.
Aproximación Numérica
En la práctica, los cálculos realizados y los resultados esperados no siempre son
exactos, sobre todo en la cienciay la ingeniería, y muchas veces se debe estar conforme

con los resultados obtenidos que son aproximaciones bastantes precisas y validas,
brindadas por los métodos numéricos.
Porla dificultad que presenta muchas veces elaborar un modelo matemático que se
acerca o sea válida para lo que se desea, los resultados obtenidos de tales modelos son
casi siempre aproximados; debido a simplificaciones en la elaboración de los modelos y
muchas vecespor no tomar todos los factoresque afectan a un determinado fenómeno.
Un ejemplo simple de físicaserialo referido a problemas de caída libre, donde se
desprecia el rozamiento del aire con el cuerpo en caída libre, sin embargo, en ciertas
condiciones, esta situación puede ser muy importante y muy relevante en la solución
real del problema.
Modelos Matemáticos
Un modelo matemático es uno de los tipos de modelos científicos que emplea
formulaciones matemáticas para expresar relaciones, proposiciones, variables,
parámetros, entidades y las relaciones entre variables, operaciones o entidades, para
analizar y estudiar comportamientos de sistemas complejos ante situaciones
difícilmente observables en la realidad.
En matemáticas el significado de modelo matemático, es un poco diferente, pues se
trabaja con modelos formales. Un modelo formal para una determinada teoría
matemática es un conjunto sobre el que se han definido un conjunto de relaciones, que
satisface las proposiciones derivadas del conjunto de axiomas de la teoría. La teoría de
modelos es la encargada de estudiar sistemáticamente las propiedades de los modelos
matemáticos.
Los modelos matemáticos requieren de parámetros, que en la mayoría de los casos
provienen de mediciones experimentales y, por lo tanto, tienen una precisión limitada,
que depende de factores externos como los instrumentos de medición, el clima o los
métodos aplicados. Los modelos matemáticos resultantes de una modelización
normalmente son imposibles de resolver por métodos analíticos conocidos y la solución

deseada solamente es posible aproximar por métodos numéricos. Por ejemplo una
ecuación de quinto grado.
Errores
Los métodos numéricos presentan errores inevitables, por lo tanto se debe
considerar tal situación como algo inherente al cálculo numérico.
Cifras Significativas
Cuando se emplea un número en un cálculo,debe haber seguridad de que pueda
usarse con confianza.El conceptode cifras significativas tiene dos implicaciones
importantes en el estudio de los métodos numéricos.
1) Los métodos numéricos obtienen resultados aproximados. Porlo tanto, se debe
desarrollar criterios para especificar qué tan precisos son los resultados obtenidos.
2) Aunque ciertos números representan número específicos, no se pueden expresar
exactamente con un número finito de cifras.
El número de cifras significativas es el número de dígitos que se puede usar con plena
confianza. Las cifras significativas se han desarrollado para designar formalmente la
confiabilidad de un valor numérico.
Muchos de los cálculoscontenidos en los problemas de la vida real tratan con valores
aproximados, entendiéndose que en toda medición existen errores, que la precisión en
las mediciones y en los cálculos es casi imposible.
Los dígitos significativos se encuentran contando los números de izquierda a derecha,
partiendo del primer digito no cero y terminando en el último digito presente.
Es conjunto de dígitos confiables o necesarios que representan el valor de una magnitud
independiente de las unidades de medidas utilizadas. Eltotal de cifras significativas es
independiente de la posición del punto decimal.
Los ceros a la izquierda de dígitos no nulos, nunca serán cifras significativas, mientras
que los ceros intermedios de dígitos no nulos, siempre serán cifras significativas.

Tipo de Errores
Experimentales: Proviene de los datos o equivocaciones aritméticas en el cálculo
manual.
De Truncamiento (CORTE): Representa la diferencia entre una formulación matemática
exacta de un problema y la aproximación dada por un método numérico.
Redondeo: Se debe a que una máquina sólo puede representar cantidades con un
número finito de dígitos.
Existen dos maneras de representarlos:
Punto fijo: Los números se representan con un número fijo de cifras decimales. Ej.
62.358, 0.013.
Punto flotante: Los números se representan con un número fijo de dígitos
significativos.
Dígito Significativo: De un número “C”; es cualquier dígito dado de este, excepto
posiblemente aquellos ceros a la izquierda del primer dígito diferente de cero y
que solo sirven para fijar la posición del punto decimal (entonces cualquier otro
cero es un dígito significativo de C), Ej. 1360, 1.360; 0.001360; tiene cuatro dígitos
significativos.
Exactitud: Se refiere a la aproximación de un número o de una medida al valor
verdadero que se supone representa.
Precisión
I. Número De cifras significativas que representan una cantidad.
II. La extensión en las lecturas repetidas de un instrumento que mide alguna
propiedad física.
ERROR ABSOLUTO
Se da cuando se aproxima el valor real con un valor aproximado
aa  ~ Donde aproximadoValora ~
exactoValora 
ERROR RELATIVO PORCENTUAL

Suele ser un mejor indicador de la precisión, es más independiente de la escala usada, y
esto es una propiedad más que deseable.
100*
~
VerdaderoValor
Error
a
aa
a
Er 



Ejemplo
Planteamiento del problema: Suponga que se tiene que medir la longitud de un puente y
la de un remache, y se obtiene 9999 y 9 cms respectivamente. Si los valores son 10000
y 10 cms, calcule el error absoluto y error relativo porcentual.
Solución:
El error absoluto en la medición del puente es:
cmaaa 1999910000
~

Y para el remache es
cmaaa 1910
~

El error relativo porcentual en la medición del puente es
%01.0%100*
10000
999910000
~





a
aa
r
Y para el remache es
%10%100*
10
910
~





a
aa
r
%01.0%100*
10000
999910000
~





a
aa
r
Aquí observamos que el error absoluto es el mismo en las dos mediciones y si no se
tiene la magnitud de la cantidad que se está midiendo no podríamos dar ninguna

conclusión; pero al conocer esta magnitud podemos observar que en la medición del
remache se generó un error muy grande.
OBSERVACIÓN: En las mediciones científicas es usualmente el error relativo el que
resulta relevante. La información acerca del error absoluto suele ser poco útil si no se
conoce la magnitud de la cantidad que se está midiendo; por esta razón es importante
el error normalizado que se define como sigue:
ERROR NORMALIZADO PORCENTUAL
En situaciones reales a veces es difícil contar con el valor verdadero, para dichos casos,
una alternativa es normalizar el error, usando la mejor estimación posible al valor
verdadero; es decir. Para la aproximación misma.
100*
.
Pr..
100*
ActualAprox
eviaAproxActualAprox
VerdaderoValor
AproximadoError
Ea


Corrección   aa~
Valor verdadero aa ~ Aproximación + Corrección
Cota de error para a es un número   aa~ es decir  
A menudo cuando se realizan cálculos, no importa mucho el signo del error sino más
bien que su valor absoluto porcentual sea menor que una tolerancia porcentual
prefijada.
TOLERANCIA
 %10*5.0 2 n
Es 
 Donde n es el número de cifras significativas
En el momento en que se realizan las aproximaciones y se cumpla que.
sa   si se conoce el valor real
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

La necesidad de resolver sistemas de ecuaciones lineales es muy frecuente en las
ciencias aplicadas, en particular la ingeniería.
Los sistemas lineales son aplicados en la búsqueda de solución a diversas situaciones
prácticas, ya sea como la solución completa de un problema o alguna parte de ella.
Entre las aplicaciones prácticas de los sistemas lineales pueden citarse como ejemplos:
a) Determinación del potencial en redes eléctricas.
b) Calculo de tensión en una estructura metálica de construcción civil.
c) Calculo de razón de drenaje en un sistema hidráulico con derivaciones.
Los problemas matemáticos en todos estos casos se reduce al problema de resolver un
sistema de ecuaciones lineales.
Cuando un sistema lineal es de gran porte, se debe escoger adecuadamente el método
numérico a utilizar para preservar la precisión máxima del sistema.
OBSERVACIONES:
Para darle solución a un sistema de ecuaciones lineales debemos estar bastante
familiarizados con los conceptos de algebra lineal ya vistos anteriormente como son
los vectores, matrices, determinantes y esencialmente dominar los distintos
métodos para resolución de sistemas de ecuaciones lineales.
Ecuaciones No Lineales
Uno de los problemas que frecuentemente se presenta y requiere de solución en algún
tipo de trabajo científico,es el de calcularlas raíces de una determinada ecuación de la
forma 𝑓( 𝑥) = 0 donde 𝑓( 𝑥) puede ser un polinomio o una función trascendente
Es posible hallar la raíz exacta de 𝑓( 𝑥) = 0, cuando los polinomios son factorables,sin
embargo, no siempre sucede así, pues en la mayoría de los casos, las raíces de las
ecuaciones buscadas pertenecen al conjunto de los números racionales o al conjuntode
los números complejos, pudiendo ocurrir que en una misma ecuación se den resultados
con números reales y complejos.
Pormedio de métodos numéricos es posible obtener una solución aproximada al valor
exacto, tan próxima como se desee, dependiente de la precisión deseada prefijada.

La mayoría de los procedimientos numéricos generan una secuencia de aproximaciones,
algunas con mayor precisión que otras, algunas aproximándose con mayor rapidez a la
solución buscada, de tal forma que la repetición de procedimientos produce una
aproximación al valorverdadero conuna precisión definida por una tolerancia
prefijada.
La búsqueda de raíces por medio del análisis numérico es similar al de límite del
análisis matemático, pues normalmente el resultado obtenido de una operación por
medio de métodos numéricos se acerca tanto como se desee al valorverdadero, sin
llegar casi nunca al valorexacto.
La característica principal de los métodos numéricos es que casi nunca arrojan
resultados exactos, por lo tanto, en la mayoría de los casos, si no en todos, se obtienen
resultados aproximados, que siempre dependerán de la precisión que se desee.
Resolución de ecuaciones no lineales
Para resolver ecuaciones no lineales se deben tener en cuenta varias situaciones,
sin embargo la más importante es encontrar el intervalo o un punto en ( para comenzar
las iteraciones en busca de un cero de la función,procurando que este valor se
encuentre lo bastante próximo de un cero, así se evitara realizar demasiadas
operaciones. Se aclara de nuevo aquí, que se usa indistintamente la coma ( ,) o el punto
( .)para indicar decimales. Ejemplos: 2,5 = 2.5
Esta situación se debe a que en algunos se usa normalmente la coma( ,) como
separador de la parte entera y su decimal, mientras que en otros países se usa el punto
( .). Se aclara esta situación, pues las calculadoras también usan el punto como
separador decimal.
Orden de convergencia
El orden de convergenciade un método mide la velocidadcon que las iteraciones
producidas por el método se aproximan a la solución exacta. Así, cuando mayor fuere el

orden de convergencia mejor será el método numérico, pues será posible obtener más
rápidamente la solución buscada.
DEFINICIÓN:sean { 𝑥 𝑘 } el resultado de un método numérico en la iteración 𝑘 y 𝐸 𝑘 =
𝑥 − 𝑥̅ su error. Si existiere un número 𝑝 ≥ 1 y una constante 𝑐 > 0tal que:
lim
𝑘→∞
| 𝐸 𝑘+1|
| 𝐸 𝑘| 𝑝 ,entonces p es el orden de convergencia del método
Graficas de Funciones
DEFINICIÓN: Si 𝑓:[ 𝑎, 𝑏] ⟶ ℝes una función dada, un punto 𝑥∗ ∈ [ 𝑎, 𝑏] es un cero
(o raíz) de 𝑓 si 𝑓( 𝑥∗) = 0
La grafica de funciones es un método para hallar intervalos dado que ayudan
enormemente en la búsqueda de los ceros o raíces de una función, pues si no se conoce
el intervalo que contiene la raíz de dicha función, es difíciliniciar un proceso en
búsqueda de solución.
Métodos Cerrados
Los métodos numéricos que en cada paso dan un intervalo cerrado donde se
encuentra la raíz buscada, son llamados métodos cerrados. Entre los más conocidosse
encuentran el MÉTODODE BISECCIÓNy el método dela falsaposicióno Regula
Falsi.Hablemos un pocosobre uno de ellos
Método de Bisección
DEFINICIÓN:Sea 𝑓 una funcióncontinua en un intervalo [ 𝑎, 𝑏] y 𝑓( 𝑎) × 𝑓( 𝑏) < 0
entonces por el teorema del valor intermedio para funciones continuas, estudiado en
calculodiferencial, existe al menos un 𝛼 ∈ ( 𝑎, 𝑏) tal que 𝑓( 𝛼) = 0.
El método de bisección es un algoritmo de búsqueda de raíces que aplicando en la
función 𝑓 para aproximar la raíz 𝛼 ∈ [ 𝑎, 𝑏] consiste en dividir sucesivamente a la mitad
y seleccionando el sub−intervalo que tiene la raíz. Es un método de búsqueda
incremental que divide al intervalo siempre en 2.

Si la funcióncambia de signo sobre un intervalo, se evalúa el valorde la función en el
punto medio. La posición de la raíz se determina situándola en el punto medio del sub-
intervalo donde exista cambio de signo, basándose en el teorema de Bolzano. Elproceso
se repite hasta mejorar la aproximación.
Supóngase que se desea resolver la ecuación 𝑓( 𝑥) = 0, donde 𝑓 es una función
continua. Dados dos puntos 𝑎 y 𝑏 tal que 𝑓( 𝑎) y 𝑓( 𝑏) tengan signos distintos. Dice el
Teorema del Bolzano que 𝑓 debe tener, al menos una raíz, en el intervalo [ 𝑎, 𝑏].
El método de bisección divide el intervalo en dos, usando un tercer punto 𝑐 =
𝑎+𝑏
2
. En
este momento, existen dos posibilidades: 𝑓( 𝑎) y 𝑓( 𝑐) o 𝑓( 𝑐) y 𝑓( 𝑏)
Tienen distinto signo. Elalgoritmo de bisección se aplica al sub−intervalo donde el
cambio de signo ocurre.
El método de bisección no es muy eficiente,peroes mucho más seguroqueotros
métodos de aproximación de raíces, pues siempre converge hacia el valor buscado.
Si 𝑓 es una función continua en el intervalo [ 𝑎, 𝑏] y 𝑓( 𝑎) 𝑓( 𝑐) < 0, entonces este
método converge a la raíz de 𝑓. De hecho una cota del error absoluto es:
| 𝑏−𝑎|
2 𝑛
En este método se plantea una situación práctica, esquematizando el procedimiento del
método de bisección, se pueden considerar los siguientes puntos.
1) Encontrar dos números:𝑎 𝑦 𝑏 con 𝑎 < 𝑏 en los cuales el polinomio: 𝑃 toma los
valores cuyossignos son distintos.
2) Considerando que: 𝑥1 =
𝑎+𝑏
2
es el punto medio del intervalo [ 𝑎, 𝑏].
3) Si 𝑃( 𝑥1) = 0, 𝑥1 es la raíz buscada, si 𝑃( 𝑥1) ≠ 0 entonces:
Se elige uno de los intervalos [ 𝑎, 𝑥1] 𝑜 [ 𝑥1,𝑏] de tal manera que los extremos del
Intervalo del polinomio tome valores cuyossignos sean distintos.
4) Se repite el procedimiento en el intervalo elegido.
OBSERVACIONES:
 La longitud del intervalo es una estimación del error cometido al aproximar la
raíz.

 La única restricción para elegir 𝑎 𝑦 𝑏 es que los valores de 𝑃( 𝑎) y 𝑃( 𝑏) tengan
signos distintos, en general, entre más pequeña sea la longitud del intervalo, en
menor número de pasos se encontrará la aproximación deseada.
 Este método se aplica mucho en la búsqueda de raíces tanto racionales como
irracionales.
TEOREMA DE CONVERGENCIA
Sea 𝑓 ∈ [ 𝑎, 𝑏] y 𝑓( 𝑎) 𝑓( 𝑏) < 0. Sea{ 𝐶 𝑛} ∞
𝑛=0
la sucesión de puntos medios generada por
el método de búsqueda binaria (método de bisección).Existe 𝑟 ∈ [ 𝑎, 𝑏], tal que 𝑓( 𝑟) = 0
y además:
| 𝑟 − 𝐶 𝑛| ≤
𝑏−𝑎
2 𝑛+1
, en particular { 𝐶 𝑛} ∞
𝑛=0
Converge a 𝑟

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