![Continuidad
Sea una función f definida en un conjunto ⌦ de números reales y x0 2 ⌦. Entonces f
es continua en x0 si
lı́m
x!x0
f (x) = f (x0)
Al conjunto de todos las funciones continuas en el conjunto ⌦ se denota por C(⌦)
(C([a, b]) o C(a, b] si ⌦ es un intervalo).
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- 1. Análisis Numérico José Fuentes Ciudad Universitaria, 7 de febrero de 2023
- 3. Historia • Los métodos numéricos constituyen técnicas mediante las cuales es posible formular problemas matemáticos, de tal forma que puedan resolverse utilizando operaciones aritméticas. • Aunque existen muchos tipos de métodos numéricos, éstos comparten una caracterı́stica común: invariablemente requieren de un buen número de tediosos cálculos aritméticos. • No es raro que con el desarrollo de computadoras digitales eficientes y rápidas, el papel de los métodos numéricos en la solución de problemas en ingenierı́a haya aumentado de forma considerable en los últimos años. Teorı́a del Error 39/75
- 4. Métodos no Computacionales • Además de proporcionar un aumento en la potencia de cálculo, la disponibilidad creciente de las computadoras (en especial de las personales) y su asociación con los métodos numéricos han influido de manera muy significativa en el proceso de la solución actual de los problemas en ingenierı́a. • Antes de la era de la computadora los ingenieros sólo contaban con tres métodos para la solución de problemas. Teorı́a del Error 40/75
- 5. Métodos no Computacionales • Las soluciones de algunos problemas fueron obtenidas usando métodos exactos o analı́ticos. • Las soluciones gráficas fueron usadas para caracterizar el comportamiento de los sistemas. • Para implementar los métodos numéricos manualmente se utilizaban calculadoras y reglas de cálculo. Teorı́a del Error 41/75
- 6. Métodos no Computacionales • Las soluciones de algunos problemas fueron obtenidas usando métodos exactos o analı́ticos. • Dichas soluciones resultaban útiles y proporcionaban una comprensión excelente del comportamiento de algunos sistemas. • No obstante, las soluciones analı́ticas sólo pueden encontrarse para una clase limitada de problemas. • Éstos incluyen aquellos que pueden aproximarse mediante modelos lineales y también aquellos que tienen una geometrı́a simple y de baja dimensión. Teorı́a del Error 42/75
- 7. Métodos no Computacionales • En consecuencia, las soluciones analı́ticas tienen un valor práctico limitado porque la mayorı́a de los problemas reales son no lineales, e implican formas y procesos complejos. • Las soluciones gráficas fueron usadas para caracterizar el comportamiento de los sistemas. • Usualmente gráficas o monogramas, las cuales tomaban la forma de gráficas o monogramas; aunque las técnicas gráficas se utilizan a menudo para resolver problemas complejos, los resultados no son muy precisos. • Además, las soluciones gráficas (sin la ayuda de una computadora) son en extremo tediosas y difı́ciles de implementar. Teorı́a del Error 43/75
- 8. Métodos no Computacionales • Finalmente, las técnicas gráficas están limitadas a los problemas que puedan describirse usando tres dimensiones o menos. • Para implementar los métodos numéricos manualmente se utilizaban calculadoras y reglas de cálculo. • Aunque en teorı́a dichas aproximaciones deberı́an ser perfectamente adecuadas para resolver problemas complicados, en la práctica se presentan varias dificultades debido a que los cálculos manuales son lentos y tediosos. • Además, los resultados no son consistentes, ya que surgen equivocaciones cuando se efectúan los numerosos cálculos de esta manera. Teorı́a del Error 44/75
- 9. Outline Contenidos Importancia de los métodos numéricos Teorı́a del Error Conceptos básicos limite y convergencia.
- 10. Lı́mite de una función. Definition (Lı́mite) Sea una función f definida en un conjunto ⌦ tiene lı́mite L en x0 lı́m x!x0 f (x) = L Dado cualquier número real ✏ > 0, existe un número real > 0 tal que |f (x) L| < ✏, siempre que x 2 ⌦ y 0 < |x x0| < Conceptos básicos limite y convergencia. 50/75
- 11. Lı́mite de una función. Example (Lı́mite) Si g(x) = cos(x) y nos damos un ✏ = 10 5, como deberı́a ser el tamaño del Solution ------------------------------------------------------------ El tama~ no del épsilon es = 1e-05 |g(x)-L| = 4.999999583255033e-07 |x-xo| = 0.001 4.999999583255033e-07 < 1e-05 ? True ------------------------------------------------------------ Conceptos básicos limite y convergencia. 51/75
- 12. Lı́mite de una función. Example (Lı́mite) Si f (x) = sin(x) y nos damos un ✏ = 10 5, como deberı́a ser el tamaño del Solution ------------------------------------------------------------ El tama~ no del épsilon es = 1e-05 |f(x)-L| = 0.0009999998333333417 0.0009999998333333417 < 1e-05 ? False ------------------------------------------------------------ Conceptos básicos limite y convergencia. 52/75
- 13. Lı́mite de una función. Example (Lı́mite) Si h(x) = x2 y nos damos un ✏ = 10 7 , como deberı́a ser el tamaño del Solution ------------------------------------------------------------ El tama~ no del épsilon es = 1e-07 |h(x)-L| = 1e-06 1e-06 < 1e-07 ? False ------------------------------------------------------------ Conceptos básicos limite y convergencia. 53/75
- 14. Continuidad Sea una función f definida en un conjunto ⌦ de números reales y x0 2 ⌦. Entonces f es continua en x0 si lı́m x!x0 f (x) = f (x0) Al conjunto de todos las funciones continuas en el conjunto ⌦ se denota por C(⌦) (C([a, b]) o C(a, b] si ⌦ es un intervalo). Conceptos básicos limite y convergencia. 54/75
- 15. Ejemplo de continuidad Example (Función Continua ) Dada la función f (x) = |x| la cual es continua en todo su dominio, pero las siguientes función no lo es g(x) = 8 < : 1, si x < 0 1, si x 0 (1) y h(x) = 1 x Conceptos básicos limite y convergencia. 55/75
- 16. Ejemplo de continuidad y discontinuidad de algunas funciones Conceptos básicos limite y convergencia. 56/75
- 17. Gracias