Analisis numerico
- 1. Milagros López Ingeniería Electrónica (44) Análisis Numérico
- 2. El análisis numérico es una rama de la matemática cuyos limites no son del todo precisos. Se puede definir como la disciplina ocupada de describir, analizar y crear algoritmos numéricos que nos permitan resolver problemas matemáticos, en los que estén involucradas cantidades numéricas, con una precisión determinada
- 3. Un algoritmo es un procedimiento que nos puede llevar a una solución aproximada de un problema mediante un número de pasos finitos que pueden ejecutarse de manera lógica. En algunos casos, se les da el nombre de métodos constructivos a estos algoritmos numéricos.
- 4. Los métodos numéricos son técnicas mediante las cuales es posible formular problemas matemáticos de tal forma que puedan resolverse usando operaciones aritméticas. El análisis numérico trata de diseñar métodos para “ aproximar” de una manera eficiente las soluciones de problemas expresados matemáticamente.
- 5. El objetivo principal del análisis numérico es encontrar soluciones “aproximadas” a problemas complejos utilizando sólo las operaciones más simples de la aritmética. Se requiere de una secuencia de operaciones algebraicas y lógicas que producen la aproximación al problema matemático.
- 6. Ser aplicados para resolver procedimientos matemáticos en: Cálculo de derivadas Integrales Ecuaciones diferenciales Operaciones con matrices Interpolaciones Ajuste de curvas Polinomios.
- 7. Los métodos numéricos pueden ser aplicados para resolver procedimientos matemáticos en: Cálculo de derivadas Integrales Ecuaciones diferenciales Operaciones con matrices Interpolaciones Ajuste de curvas Polinomios Los métodos numéricos se aplican en áreas como: Ingeniería Industrial, Ingeniería Química, Ingeniería Civil, Ingeniería Mecánica, Ingeniería eléctrica.
- 8. Es un sistema numérico que consta de dos dígitos: Ceros (0) y unos (1) de base 2". El término "representación máquina" o "representación binaria" significa que es de base 2, la más pequeña posible; este tipo de representación requiere de menos dígitos, pero en lugar de un número decimal exige de más lugares. Esto se relaciona con el hecho de que la unidad lógica primaria de las computadoras digitales usan componentes de apagado/prendido, o para una conexión eléctrica abierta/cerrada.
- 9. Son aquellos números cuya representación viene dada de la siguiente forma: ± 0,d1 d2 d3 ... dk x 10 n, 1£ d1 £ 9, 1£ dk £ 9 para cada i=2, 3, 4, ..., k"; De lo antes descrito, se indica que las maxi computadoras IBM (mainframes) tienen aproximadamente k= 6 y –78 £ n £ 76
- 10. • Medir es comparar cierta cantidad de una magnitud, con otra cantidad de la misma que se ha elegido como unidad patrón. Por ejemplo, para medir longitudes las comparamos con su unidad patrón, el metro. • Magnitud es cualquier propiedad de un cuerpo que puede ser medida.
- 11. Bien sea una medida directa (la que da el aparato) o indirecta (utilizando una fórmula) existe un tratamiento de los errores de medida. Podemos distinguir dos tipos de errores que se utilizan en los cálculos: • Error absoluto. Es la diferencia entre el valor de la medida y el valor tomado como exacto. Puede ser positivo o negativo, según si la medida es superior al valor real o inferior (la resta sale positiva o negativa). Tiene unidades, las mismas que las de la medida. • Error relativo. Es el cociente (la división) entre el error absoluto y el valor exacto. Si se multiplica por 100 se obtiene el tanto por ciento (%) de error. Al igual que el error absoluto puede ser positivo o negativo (según lo sea el error absoluto) porque puede ser por exceso o por defecto. no tiene unidades.
- 12. • Una medida se debería repetir tres ó cuatro veces para intentar neutralizar el error accidental. • Se tomará como valor real (que se acerca al valor exacto) la media aritmética simple de los resultados. • El error absoluto de cada medida será la diferencia entre cada una de las medidas y ese valor tomado como exacto (la media aritmética). • El error relativo de cada medida será el error absoluto de la misma dividido por el valor tomado como exacto (la media aritmética).
- 13. Ejemplo 1. Medidas de tiempo de un recorrido efectuadas por diferentes alumnos: 3,01 s; 3,11 s; 3,20 s; 3,15 s • Error absoluto y relativo de cada medida. • Valor que se considera exacto. Medidas Errores absolutos Errores relativos 3,01 s 3,01 - 3,12 = - 0,11 s -0,11 / 3,12 = - 0,036 (- 3,6%) 3,11 s 3,11 -3,12 = - 0,01 s -0,01 / 3,12 = -0,003 (-0,3%) 3,20 s 3,20 -3,12 = + 0,08 s +0,08 / 3,12 = + 0,026 (+ 2,6%) 3,15 s 3,15 - 3,12 = + 0,03 s +0,03 / 3,12 = + 0,010 (+ 1,0%)
- 14. • 1.-Cota de error absoluto <½ unidad del orden de la última cifra significativa Una cota para el error relativo es: • Cota de error relativo=cota del error absoluto/valor real. Ejemplo nº 1.- Da una cota para el error absoluto y otra para el error relativo cometidos al hacer las siguientes aproximaciones: a) Precio de una casa: 275 miles de €. b) 45 miles de asistentes a una manifestación. c) 4 cientos de coches vendidos. Solución: a) |Error absoluto| < 500 € error relativo<500/275000=0,0018 b) |Error absoluto| < 500 personas error relativo=500/45000=0,011 c) |Error absoluto| < 50 coches error relativo<50/400=0,125
- 15. • Existen dos causas principales de errores en los cálculos numéricos: Error de truncamiento y error de redondeo. El Error de Redondeo se asocia con el número limitado de dígitos con que se representan los números en una PC (para comprender la naturaleza de estos errores es necesario conocer las formas en que se almacenan los números y como se llevan a cabo las sumas y restas dentro de una PC). • El Error de Truncamiento, se debe a las aproximaciones utilizadas en la fórmula matemática del modelo (la serie de Taylor es el medio más importante que se emplea para obtener modelos numéricos y analizar los errores de truncamiento). Otro caso donde aparecen errores de truncamiento es al aproximar un proceso infinito por uno finito (por ejemplo, truncando los términos de una serie).
- 16. • Los errores numéricos se generan al realizar aproximaciones de los resultados de los cálculos matemáticos y se pueden dividir en dos clases fundamentalmente: errores de truncamiento, que resultan de representar aproximadamente un procedimiento matemático exacto, y los errores de redondeo, que resultan de representar aproximadamente números exactos. En cualquier caso, la relación entre el resultado exacto y el aproximado está dada por: Valor verdadero = valor aproximado + error, de donde se observa que el error numérico está dado por: Ev = valor verdadero - valor aproximado. Donde Ev significa el valor exacto del error.
- 17. El error de redondeo se debe a la naturaleza discreta del sistema numérico de máquina de punto flotante, el cual a su vez se debe a su longitud de palabra finita. Cada número (real) se reemplaza por el número de máquina más cercano. Esto significa que todos los números en un intervalo local están representados por un solo número en el sistema numérico de punto flotante.
- 18. • Y= 0,d1 d2 d3 ..., dk, dk+1, dk+2, . . . x 10 n. • El procedimiento se basa en agregar 5 x 10 n - (k+1) a yy después truncar para que resulte un número de la forma • fl = 0,d1 d2 d3 ..., dk, x 10 n. • El último método comúnmente se designa por redondeo. En este método, si dk+1 ³ 5, se agrega uno (1) a d k para obtener a fl; esto es, redondeamos hacia arriba. Si dk+1 < 5, simplemente truncamos después de los primeros k dígitos; se redondea así hacia abajo
- 19. Este tipo de error ocurre cuando un proceso que requiere un número infinito de pasos se detiene en un número finito de pasos. Generalmente se refiere al error involucrado al usar sumas finitas o truncadas para aproximar la suma de una serie infinita. El error de truncamiento, a diferencia del error de redondeo no depende directamente del sistema numérico que se emplee.
- 20. • y= 0,d1 d2 d3 ..., dk, dk+1, dk+2, . . . x 10 n. • Si y está dentro del rango numérico de la máquina, la forma de punto flotante de y, que se representará por fl , se obtiene terminando la mantisa de y en k cifras decimales. Existen dos formas de llevar a cabo la terminación. Un método es simplemente truncar los dígitos dk+1, dk+2, . . . para obtener • flyes= 0,d1 d2 d3 ..., dk, x 10 n.
- 21. • En la práctica muchas computadoras realizarán operaciones aritméticas en registros especiales que más bits que los números de máquinas usuales. Estos bits extras se llaman bits de protección y permiten que los números existan temporalmente con una precisión adicional. Se deben evitar situaciones en las que la exactitud se puede ver comprometida al restar cantidades casi iguales o la división de un número muy grande entre un número muy pequeño, lo cual trae como consecuencias valores de errores relativos y absolutos poco relevantes.
- 22. • La condición de un problema matemático relaciona a su sensibilidad los cambios en los datos de entrada. Puede decirse que un cálculo es numéricamente inestable si la incertidumbre de los valores de entrada aumentan considerablemente por el método numérico. Un proceso numérico es inestable cuando los pequeños errores que se producen en alguna de sus etapas, se agrandan en etapas posteriores y degradan seriamente la exactitud del cálculo en su conjunto. • El que un proceso sea numéricamente estable o inestable debería decidirse con base en los errores relativos, es decir investigar la inestabilidad o mal condicionamiento.
- 23. • Si el número de condición es grande significa que se tiene un problema mal condicionado; se debe tomar en cuenta que para cada caso se establece un número de condición, es decir para la evaluación de una función se asocia un número condicionado, para la solución de sistemas de ecuaciones lineales se establece otro tipo de número de condición; el número condicionado proporciona una medida de hasta qué punto la incertidumbre aumenta.
- 24. Las palabras condición y condicionamiento se usan de manera informal para indicar cuan sensible es la solución de un problema respecto de pequeños cambios relativos en los datos de entrada. Un problema está mal condicionado si pequeños cambios en los datos pueden dar lugar a grandes cambios en las respuestas. Para ciertos tipos de problemas se puede definir un número de condición: "Un número condicionado puede definirse como la razón de los errores relativos".