Anthonymartinez25260432
- 1. REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA UNIVERSIDAD "FERMIN TORO" FACULTAD DE INGENIERÍA ESCUELA DE INGENIERÍA EN MANTENIMIENTO MECÁNICO Estudiante Anthony Martinez CI: 25.260.432 Noviembre 2017
- 2. ANÁLISIS NUMÉRICO El análisis numéricoocálculo numéricoes la ramade las matemáticas que seencargade diseñar algoritmos para, a través de números y reglas matemáticas simples, simular procesos matemáticos más complejos aplicados a procesos del mundo real. Consiste en procedimientos que resuelven problemas y realizan cálculos puramente aritméticos, tomando en cuenta las características especiales de los instrumentos de cálculo que nos ayudan en la ejecución de las instrucciones del algoritmo con el fin de calcular o aproximar alguna cantidad o función, para el estudiodeerroresen loscálculos
- 3. NÚMERO MÁQUINA Es un sistema numérico que consta de dos dígitos: Ceros (0) y unos (1) de base 2". El término "representación máquina" o "representación binaria" significa que es de base 2, la más pequeña posible; este tipo de representación requiere de menos dígitos, pero en lugar de un número decimal exige de más lugares. Esto se relaciona con el hecho de que la unidad lógica primaria de las computadoras digitales usan componentes de apagado/prendido, o para una conexión eléctricaabierta/cerrada.
- 4. NÚMERO MÁQUINA DECIMAL Una máquinageneralmente noalmacenauna cantidad matemática x sino una aproximación binaria a x llamada representación de punto flotante, denotadaporfl(x) yde la forma:
- 5. NÚMERO MAQUINA DECIMAL También se pueden definircomo: Aquellos númeroscuyarepresentaciónvienedada de la siguienteforma: ± 0,d1 d2 d3 ... dk x 10 n, 1£ d1 £ 9, 1£ dk £ 9 para cadai=2, 3, 4, ..., k"; De lo antes descrito, se indica que las maxicomputadoras IBM (mainframes) tienen aproximadamente k= 6 y –78 £ n£ 76.
- 6. ERROR ABSOLUTO Es la diferencia entre el valor exacto (un número determinado, por ejemplo) y su valor calculado o redondeado, o sea el valor exacto menos el valor calculado";debido a que la ecuación se dio en términos del valor absoluto, el error absoluto no es negativo. Así pues, una colección (suma) de errores siempre se incrementan juntos, sin reducirse. Cuando se utiliza 0.6 como aproximación de 0.613, el error equivale a (0.6-0.613), que es - 0.013 (algunos definen el error como 0.613-0.6). En este caso, el error absolutoes |0.6-0.613|, que es0.013.
- 7. ERROR RELATIVO Error relativo es el que nos indica la calidad de la medida. Es el cociente entre el error absoluto y el valor quedamos como representativo (la mediaaritmética). Se puede dar en % de error relativo. En efecto, si cometemos un error absoluto de un metro al medir la longitud de un estadio de fútbol de 100 m y también un metro al medir la distancia Santiago-Madrid, de aproximadamente 600.000 m, el error relativo será 1/100 (1%) para la medida del estadio y 1 /600.000 para la distancia Santiago-Madrid. Tiene mucha más calidad la segundamedida.
- 8. COTAS DE ERROR Para que la cantidad aproximada que utilizamos sea fiable, el error cometido debe estar controlado o acotado de maneraque: Los números k y k' se llaman cotas del error absolutoo relativo, respectivamente.
- 9. COTAS DE ERROR Al redondear, podemosdaruna cotadel error absoluto de la siguientemanera: dondec = 5 unidadesdel orden de la primeracifra no utilizada en elredondeo. Yuna cotadel errorrelativo:
- 10. FUENTES BÁSICAS DE ERRORES Existen dos causas principales de errores en los cálculos numéricos: Error de truncamiento y error de redondeo. El Error de Redondeo se asocia con el número limitado de dígitos con que se representan los números en una PC (para comprender la naturaleza de estos errores es necesario conocer las formas en que se almacenan los números y como se llevan a cabo las sumas y restas dentro de una PC). El Error de Truncamiento, se debe a las aproximaciones utilizadas en la fórmula matemática del modelo (la serie de Taylor es el medio más importante que se emplea para obtener modelos numéricos y analizar los errores de truncamiento). Otro caso donde aparecen errores de truncamiento es al aproximar un proceso infinito por uno finito (porejemplo, truncando los términos de unaserie).
- 11. ERROR DE REDONDEO Es aquel error en donde el numero significativo de dígitos despues del punto decimal, se ajusta a un numero especifico, provocando con ello un ajuste en el ultimo digitoquese tomeen cuenta. "Cualquiernúmero real positivo y puedeser normalizadoa: y= 0,d1 d2 d3 ..., dk, dk+1, dk+2, . . . x 10n. El procedimiento se basa en agregar 5 x 10 n - (k+1) a y y después truncarparaqueresulte un númerode la forma fl = 0,d1 d2 d3 ..., dk, x 10 n. El último método comúnmente se designa porredondeo. En este método, si dk+1 ³ 5, se agrega uno (1) a d k para obtener a fl; esto es, redondeamos hacia arriba. Si dk+1 < 5, simplemente truncamos después de los primeros k dígitos; se redondea así hacia abajo
- 12. ERROR DE TRUNCAMIENTO Los errores de truncamiento tienen relación con el método de aproximación que se usará ya que generalmente frente a una serie infinita de términos, se tenderá a cortar el número de términos, introduciendo en ese momento un error, por no utilizar la serie completa (que se supone es exacta). En una iteración, se entiende como el error por no seguir iterando y seguir aproximándose a la solución. En un intervalo que se subdivide para realizar una serie de cálculos sobre él, se asocia al número de paso, resultadode dividir el intervalo "n" veces.
- 13. ERROR DE TRUNCAMIENTO Cualquier número real positivo y puede ser normalizadoa: y= 0,d1 d2 d3 ..., dk, dk+1, dk+2, . . . x 10 n. Si y está dentro del rango numérico de la máquina, la forma de punto flotante de y, que se representará por fl , se obtiene terminando la mantisa de y en kcifras decimales. Existen dos formas de llevar a cabo la terminación. Un métodoes simplementetruncarlosdígitosdk+1, dk+2, . . . para obtener fl = 0,d1 d2 d3 ..., dk, x 10 n.
- 14. ERRO DE SUMA Y RESTA En esta sección estudiamos el problema de sumar y restar muchos números en la computadora. Como cada suma introduce un error, proporcional al epsilon de la máquina, queremos ver como estos errores se acumulan durante el proceso. El análisis que presentamos generaliza al problema del cálculo de productos interiores. En la práctica muchas computadoras realizarán operaciones aritméticas en registros especiales que más bits que los números de máquinas usuales. Estos bits extras se llaman bits de protección y permiten que los números existan temporalmente con una precisión adicional. Se deben evitar situaciones en las que la exactitud se puede ver comprometida al restar cantidades casi iguales o la división de un número muy grande entre un número muy pequeño, lo cual trae como consecuencias valores de errores relativos y absolutos poco relevantes.
- 15. ERRORES DE SUMA Y RESTA Sean: x ± x y z ± z x + z = (x + z) ±( x + z) x – z = (x – z) ±( x + z)
- 16. CÁLCULOS ESTABLES E INESTABLES Otro tema de frecuente aparición en el análisis numérico es la distinción entre los procesos numéricos que son estables y los que no lo son. Un concepto muy relacionado es el de problema bien condicionado o malcondicionado. Un proceso numérico es inestable cuando los pequeños errores que se producen en alguna de sus etapas se agrandan en etapas posteriores y degradan lacalidad de los resultados. Un problema está mal condicionado si pequeños cambios en los datos de entrada pueden dar lugar a grandescambios en lasrespuestas.
- 17. CÁLCULOS ESTABLES E INESTABLES La condición de un problema matemático relaciona a su sensibilidad los cambios en los datos de entrada. Puede decirse que un cálculo es numéricamente inestable si la incertidumbre de los valores de entrada aumentan considerablemente por el método numérico. Un proceso numérico es inestable cuando los pequeños errores que se producen en alguna de sus etapas, se agrandan en etapas posteriores y degradan seriamente la exactitud del cálculo en su conjunto. El que un proceso sea numéricamente estable o inestable debería decidirse con base en los errores relativos, es decir investigar la inestabilidad o mal condicionamiento , lo cual significa que un cambio relativamente pequeño en la entrada, digamos del 0,01%, produce un cambio relativamente grande en la salida, digamos del 1% o más. Una fórmula puede ser inestable sin importar con qué precisión se realicen los cálculos.
- 18. CONDICIONAMIENTO Las palabras condición y condicionamiento se usan de manera informal para indicar cuan sensible es la solución de un problema respecto de pequeños cambios relativos en los datos de entrada. Un problema está mal condicionado si pequeños cambios en los datos pueden dar lugar a grandes cambios en las respuestas. Para ciertos tipos de problemas se puede definir un número de condición: "Un número condicionado puede definirse como la razón de los errores relativos". Si el número de condición es grande significa que se tiene un problema mal condicionado; se debe tomar en cuenta que para cada caso se establece un número de condición, es decir para la evaluación de una función se asocia un número condicionado, para la solución de sistemas de ecuaciones lineales se establece otro tipo de número de condición; el número condicionado proporciona una medida de hasta qué punto la incertidumbre aumenta.