Analisis Numerico
- 2. Análisis Numérico Consiste en procedimientos que resuelven problemas y realizan cálculos puramente aritméticos, tomando en cuenta las características especiales de los instrumentos de cálculo (como calculadoras, computadoras) que nos ayudan en la ejecución de las instrucciones del algoritmo con el fin de calcular o aproximar alguna cantidad o función, para el estudio de errores en los cálculos Definición de Numero Maquina Es un sistema numérico que consta de dos dígitos: Ceros (0) y unos (1) de base 2". El término "representación máquina" o "representación binaria" significa que es de base 2, la más pequeña posible; este tipo de representación requiere de menos dígitos, pero en lugar de un número decimal exige de más lugares.
- 3. Errores Absolutos y Relativos Hasta ahora hemos estudiado alguna teoría básica de los métodos numéricos que se implementarán más adelante, suponiendo condiciones ideales para su implementación. En otras palabras, no hemos tenido en cuenta que al realizar estos procedimientos de forma numérica en una computadora se generan situaciones de error. Tales situaciones de error se denominan errores numéricos y la presente sección se encarga un poco de su estudio y sus efectos en los cálculos numéricos. Definición de Error Absoluto Cota de Errores Absolutos El Error Absoluto es la diferencia y Relativos entre el valor exacto y su valor Normalmente no se conoce calculado o redondeado, o sea el p y, por tanto, tampoco se valor exacto menos el valor conocerá el error absoluto calculado"; debido a que la (ni el relativo) de tomar p* ecuación se dio en términos del como una aproximación de valor absoluto, el error absoluto p. Se pretende encontrar no es negativo. Así pues, una cotas superiores de esos colección (suma) de errores errores. Cuanto más siempre se incrementan pequeñas sean esas cotas juntos, sin reducirse. superiores, mejor.
- 4. Fuentes Básicas de Errores Existen dos causas principales de errores en los cálculos numéricos: Error de truncamiento y error de redondeo. El Error de Redondeo se asocia con el número limitado de dígitos con que se representan los números en una PC. Redondeo y Truncamiento Los errores numéricos se generan al realizar aproximaciones de los resultados de los cálculos matemáticos y se pueden dividir en dos clases fundamentalmente: errores de truncamiento, que resultan de representar aproximadamente un procedimiento matemático exacto, y los errores de redondeo, que resultan de representar aproximadamente números exactos Error De Redondeo El error de redondeo se debe a la naturaleza discreta del sistema numérico de máquina de punto flotante, el cual a su vez se debe a su longitud de palabra finita. Cada número (real) se remplaza por el número de máquina más cercano. Esto significa que todos los números en un intervalo local están representados por un solo número en el sistema numérico de punto flotante.
- 5. Errores De Una Suma Y Una Resta En la práctica muchas computadoras realizarán operaciones aritméticas en registros especiales que más bits que los números de máquinas usuales. Estos bits extras se llaman bits de protección y permiten que los números existan temporalmente con una precisión adicional. Se deben evitar situaciones en las que la exactitud se puede ver comprometida al restar cantidades casi iguales o la división de un número muy grande entre un número muy pequeño, lo cual trae como consecuencias valores de errores relativos y absolutos poco relevantes Estabilidad e Inestabilidad La condición de un problema matemático relaciona a su sensibilidad los cambios en los datos de entrada. Puede decirse que un cálculo es numéricamente inestable si la incertidumbre de los valores de entrada aumentan considerablemente por el método numérico. Un proceso numérico es inestable cuando los pequeños errores que se producen en alguna de sus etapas, se agrandan en etapas posteriores y degradan seriamente la exactitud del cálculo en su conjunto.
- 6. Condicionamiento Las palabras condición y condicionamiento se usan de manera informal para indicar cuan sensible es la solución de un problema respecto de pequeños cambios relativos en los datos de entrada. Un problema está mal condicionado si pequeños cambios en los datos pueden dar lugar a grandes cambios en las respuestas. Para ciertos tipos de problemas se puede definir un número de condición: "Un número condicionado puede definirse como la razón de los errores relativos".