Analisis numerico
- 1. INSTITUTO UNIVERSITARIO POLITECNICO “SANTIAGO MARIÑO” EXTENSION PORLAMAR ANALISIS NUMERICO Tutor: Domingo Méndez. Alumna: Pamela Astrid Blasco Rondanelli. CI: 26.740.126 (44)
- 2. El análisis numérico o cálculo numérico es la rama de las matemáticas encargada de diseñar algoritmo para, a través de números y reglas matemáticas simples, simular procesos matemáticos más complejos aplicados a procesos del mundo real. Cálculo Numérico es una materia de Cálculo o Matemáticas Aplicada, que muestra cómo a través de fórmulas e iteraciones podemos obtener resultados bastante aproximados para diversos problemas que se pueden plantear. Se deben tener conocimientos de Cálculo Matemático, Series, Algebra Lineal, Aritmética y Trigonometría, entre otras cosas.
- 3. Un sistema numérico que consta de dos dígitos: Ceros (0) y unos (1) de base 2". El término "representación máquina" o "representación binaria" significa que es de base 2, la más pequeña posible; este tipo de representación requiere de menos dígitos, pero en lugar de un número decimal exige de más lugares. Esto se relaciona con el hecho de que la unidad lógica primaria de las computadoras digitales usan componentes de apagado/prendido, o para una conexión eléctrica abierta/cerrada. Existen varios métodos de conversión de números decimales a binarios; aquí solo se analizará uno. Naturalmente es mucho mas fácil una conversión con una calculadora científica, pero no siempre se cuenta con ella, así que es conveniente conocer por lo menos una forma manual para hacerlo. El método que se explicará utiliza la división sucesiva entre dos, guardando el residuo como dígito binario y el resultado como la siguiente cantidad a dividir.
- 4. Error Relativo: Es el cociente (la división) entre el error absoluto y el valor exacto. Si se multiplica por 100 se obtiene el tanto por ciento (%) de error. Al igual que el error absoluto puede ser positivo o negativo (según lo sea el error absoluto) porque puede ser por exceso o por defecto. no tiene unidades. Error Absoluto: Es la diferencia entre el valor de la medida y el valor tomado como exacto. Puede ser positivo o negativo, según si la medida es superior al valor real o inferior (la resta sale positiva o negativa). Tiene unidades, las mismas que las de la medida.
- 5. Los errores numéricos se generan con el uso de aproximaciones para representar las operaciones y cantidades matemáticas. Esto incluye errores de truncamiento que resultan de representar aproximadamente un procedimiento matemático exacto, y los errores de redondeo, que resultan de presentar aproximadamente números exactos Errores de Redondeo: Los errores de redondeo se deben a que las computadoras solo guardan un numero finito de cifras significativas durante un calculo. Las computadoras realizan esta función de maneras diferentes; esta técnica de retener solo los primeros siete términos se llamó “truncamiento” en el ambiente de computación. De preferencia se llamara de corte, para distinguirlo de los errores de truncamiento. Un corte ignora los términos restantes de la representación decimal completa. Error Numérico: Total: Los errores de redondeo se deben a que las computadoras solo guardan un numero finito de cifras significativas durante un calculo. Las computadoras realizan esta función de maneras diferentes; esta técnica de retener solo los primeros siete términos se llamó “truncamiento” en el ambiente de computación. De preferencia se llamara de corte, para distinguirlo de los errores de truncamiento. Un corte ignora los términos restantes de la representación decimal completa.
- 6. Errores de Truncamiento: Los errores de truncamiento son aquellos que resultan al usar una aproximación en lugar de un procedimiento matemático exacto. Estos tipos de errores son evaluados con una formulación matemática: la serie de Taylor. Errores por equivocación: En los primeros años de la computación los resultados numéricos erróneos fueron atribuidos algunas veces al mal funcionamiento de la computadora misma. Hoy día esta fuente de error es muy improbable y la mayor parte de las equivocaciones se atribuye a errores humanos. Errores de Formulación: Los errores de formulación o de modelamiento degeneran en lo que se podría considerar como un modelo matemático incompleto, ya que si se esta usando un modelo deficiente, ningún método numérico generara los resultados adecuados.
- 7. Para que la cantidad aproximada que utilizamos sea fiable, el error cometido debe estar controlado o acotado de manera que: Los números k y k se llaman cotas del error absoluto o relativo, respectivamente. Una cota del error absoluto es un numero ϵϵ que cumple Ea≤ϵEa≤ϵ En una aproximación cualquiera, una cota de error absoluto es una unidad del orden n de la última cifra significativa: ϵ=110nϵ=110n El orden n será uno si la última cifra significativa corresponde a las décimas, dos si corresponde a las centésimas, tres a las milésimas y así sucesivamente. Si la aproximación es por redondeo se puede afinar algo más: una cota de error absoluto es media unidad del orden n de la última cifra significativa: ϵ=12⋅10nϵ=12·10n A partir de una cota del error absoluto podemos obtener una cota del error relativo. Teniendo en cuenta que Ea≤ϵEa≤ϵ y la definición del error relativo, se tiene: Er=EaVe≤ϵVeEr=EaVe≤ϵVe
- 8. En esta sección estudiamos el problema de sumar y restar muchos números en la computadora. Como cada suma introduce un error, proporcional al epsilon de la máquina, queremos ver como estos errores se acumulan durante el proceso. El análisis que presentamos generaliza al problema del cálculo de productos interiores. En la práctica muchas computadoras realizarán operaciones aritméticas en registros especiales que más bits que los números de máquinas usuales. Estos bits extras se llaman bits de protección y permiten que los números existan temporalmente con una precisión adicional. Se deben evitar situaciones en las que la exactitud se puede ver comprometida al restar cantidades casi iguales o la división de un número muy grande entre un número muy pequeño, lo cual trae como consecuencias valores de errores relativos y absolutos poco relevantes.
- 9. El condicionamiento es un procedimiento que consiste en establecer ciertas condiciones de control de estímulos. En sentido amplio significa la asociación de patrones bastante específicos de comportamiento en presencia de estímulos bien definidos. Las palabras condición y condicionamiento se usan de manera informal para indicar cuan sensible es la solución de un problema respecto de pequeños cambios relativos en los datos de entrada. Un problema está mal condicionado si pequeños cambios en los datos pueden dar lugar a grandes cambios en las respuestas. Para ciertos tipos de problemas se puede definir un número de condición: "Un número condicionado puede definirse como la razón de los errores relativos". Si el número de condición es grande significa que se tiene un problema mal condicionado; se debe tomar en cuenta que para cada caso se establece un número de condición, es decir para la evaluación de una función se asocia un número condicionado, para la solución de sistemas de ecuaciones lineales se establece otro tipo de número de condición; el número condicionado proporciona una medida de hasta qué punto la incertidumbre aumenta.