Analisis numerico. slideshare
- 2. El análisis numérico es una rama de la Matemática cuyo limite no es del todo preciso. Se puede definir como la disciplina ocupada de describir, analizar y crear algoritmos Numéricos que nos permiten resolver problemas matemáticos. La computadora es muy útil para calcular problemas matemáticos extremadamente complejos. Su principal Importancia es tratar de diseñar métodos para “Aproximar” de una manera eficiente las solución de un problema expresado matemáticamente. Los mismos pueden ser aplicados para resolver procedimientos matemáticos que se ocupan de aéreas como : Ing. Eléctrica, Civil, Mecánica ,Industrial, entre otros… Dentro del análisis numérico se encuentra los números de Maquinas Decimales el cual podemos decir que es un sistema numérico que consta de dos dígitos “ (0) y (1)” de base 2 ( Representación binaria), este tipo de representación requiere de menos dígitos Diseñado para las computadoras ya que ellas usan componentes de Apagado / Encendido, o para una conexión eléctrica Abierta / Cerrada. Esto se puede comprender de mejor manera con ejemplos.
- 3. Por ejemplo, si el exponente (n) es 2, entonces n = c – b, 2 = c – 127, c = 129. En lugar de almacenar el exponente n = 2 = (00000010)2 se almacena c = 129 = (10000001)2. Si el exponente fuera n = -5, entonces n = c – b, - 5 = c – 127, c = 122 En lugar de almacenar n = - 5 = (- 00000101)2, se almacena c = 122 = (01111010)2.
- 4. También Podemos encontrar los cálculos de Errores, los cuales podemos Distinguir dos tipos que se utilizan en los Cálculos Numéricos . Esta El Error Absoluto que podemos conseguir gracias a la diferencia entre valor de la medida y el valor tomado como exacto. Puede ser negativo o positivo, según sea la medida superior o inferior al valor real. El error relativo es la División entre el error Absoluto y el Valor Exacto, y si se multiplica por 100 también podemos obtener el porcentaje de error, este también puede ser positivo o negativo porque puede ser por exceso o por defecto. Para estos cálculos tenemos que tener en cuenta ciertas reglas, las cuales son: 1. Una medida debe repetirse tres o cuatro veces para poder neutralizar el error accidental. 2. Se tomara el valor real la media aritmética simple de los resultados. 3. El error absoluto relativo de cada medida será la diferencia entre cada una de las medidas y ese valor tomado como exacto. 4. El error relativo de cada medida sera el error absoluto de la misma dividido por el valor tomado como exacto.
- 5. Ejemplo: Obtenemos el error absoluto y relativo al considerar: a) 3,5 m como longitud de un terreno que mide realmente 3,59 m. b) 60 m como la distancia entre dos postes que están situados a 59,91 m. a) Ea = |3,59 - 3,5| = 0,09 m E r = | 3 , 59 - 3 , 5 | 3 , 59 = 0 , 025 = 2 , 5 % b) Ea = |59,91 - 60| = 0,09 m E r = | 59 , 91 - 60 | 59 , 91 = 0 , 0015 = 0 , 15 %
- 6. Haciendo un poco mas de énfasis dentro de lo que son los errores, encontramos su fuente, esto nos dice que existen dos causas principales esta el error de Redondeo que se asocia con el numero limitado de dígitos con que se representa los números en una PC y el error de Trucamiento, se debe a las aproximaciones utilizadas en formulas matemáticas siendo la serie de Tylor el medio mas fiabley mas explicito, los errores de truncamiento aparecen al aproximar un proceso infinito por uno finito. En cualquier caso,la relacion entre el resultado exacto y el aproximado esta dada por: Valor verdadero – Valor estimado + Error, Donde observamos que el Error esta dado por : Ev= Valor verdadero – Valor aproximado. Teniendo en cuanta que el método por redondeo tiene un menor margen de error , en comparación con el truncamiento. Volviendo al tema del método por Redondeo se puede decir que cada numero ya sea esta Real, se remplaza , por el numero de maquina mas cercano, el Procedimiento se basa en agregar 5 x 10 n - (k+1) y despues truncar para que de un numero de la siguiente forma : fl = 0,d1 d2 d3 ..., dk, x 10 n.
- 7. El error de truncamiento a diferencia de el error por redondeo no depende directamente del sistema de numero que se emplee. También tenemos los errores de Suma y Resta. Decimes que estos errores en la computadora. Como cada suma introduce un error, proporcional al épsilon de la máquina, queremos ver como estos errores se acumulan durante el proceso. El análisis que presentamos generaliza al problema del cálculo de productos interiores. En la práctica muchas computadoras realizarán operaciones aritméticas en registros especiales que más bits que los números de máquinas usuales. Estos bits extras se llaman bits de protección y permiten que los números existan temporalmente con una precisión adicional. Se deben evitar situaciones en las que la exactitud se puede ver comprometida al restar cantidades casi iguales o la división de un número muy grande entre un número muy pequeño, lo cual trae como consecuencias valores de errores relativos y absolutos poco relevantes.
- 8. Y por ultimo están los cálculos Estables e Inestables y los condicionamientos Diciendo que es un proceso numérico es inestable cuando los pequeños errores que se producen en algunas de sus etapas, se agrandan en etapas posteriores y degradan seriamente la exactitud del calculo en su conjunto, digamos que del 0.01%, produce un cambio relativamente grande en la salida, como del 1% o mas. Una formula puede ser inestable sin importar con que precisión se realicen los cálculos , con respecto al condicionamiento quiere decir cuando ocurren pequeños cambios en los datos pueden dar lugar a grandes cambios en la respuesta .