Conjuntos
- 2. DEFINICIONLlamaremos conjunto a cualquier colección de objetos, los cuales llamaremos elementos
- 3. Llamaremos conjunto universal, el cual denotaremos por U, al conjunto que contiene todos los elementos a considerarTIPOSPor Extensión es cuando todos sus elementos son enumerados uno a uno
- 4. Por Comprensión Cuando están dados como dominio de una función proposicional, es decir, los elementos de un conjunto que cumplen una condición dadaSub-conjuntosDiremos que un conjunto A está incluido propiamente en un conjunto B o que A es subconjunto propio de B si y sólo si A B y A B.tiposReflexiva: A A, para todo conjunto A.
- 5. Antisimétrica: A B B A A = B.
- 6. Transitiva: A B B C A C. Conjunto potenciaSi A es un conjunto, se define el conjunto potencia de A o conjunto partes de A. Es decir, es el conjunto formado por todos los subconjuntos de A. CaracterísticasLa principal característica de este conjunto es que es un conjunto de conjuntos, es decir, sus elementos son conjuntos.Dado un conjunto A podemos conocer el número de elementos de (A), ya que si A tiene n elementos, entonces (A) tiene 2n elementos
- 7. Representación tabularUn conjunto AxB lo podemos representar por medio de tablas como veremos en el siguiente ejemplo. Ejemplo Si A = {2,3,4} y B = {1,2,3} encuentre la representación tabular de AXB Solución AxB = {(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(3,3),(4,1),(4,2),(4,3)}
- 8. Igualdad de conjuntosSi dos conjuntos tienen los mismos elementos diremos que son iguales, por ejemplo: A = {2,3,5,9,10} y B = {10,5,3,2,9} son iguales El teorema nos muestra que A =B Ab b a.Unión e intersección de conjuntosSean A y B dos conjuntos. Se define la unión de A y B como el conjuntoA U B = { x U / x A x B} Es decir, son todos los elementos que están en A o están en B
- 9. Propiedades de unión de conjuntosSean A y B dos conjuntos, luego se cumplen las siguientes propiedades: i. A U A = A ii. A U U = U iii. A U Ø = A iv. AUB = BUA Sean A y B dos conjuntos. La intersección de A con B se define como el conjunto: A IB = { x U / x A x B} Es decir, los elementos que están en A y también están en B
- 10. Diferencia y complementoSi A y B son conjuntos, entonces se define la diferencia entre A y B como el siguiente conjunto:A - B = { xÎ U / xÎ A Ù xÏ B}. Es decir, son todos loselementos que están en A pero que no están en B.Propiedades de la DiferenciaPropiedades de la Diferencia de ConjuntosSean A,B,C tres conjuntos, luego se cumple que:(AUB) - C = (A - C) U (B - C)(A I B) - C = (A - C) I (B - C)(AD B) - C = (A - C) D (B - C)A I ( B - C) = (A I B) - (A I C)(B - C) I A = (B I A) - (C I A)
- 11. Teorema: Sean A y B dos conjuntos luego:A - B = AI C(B)C(C(A)) = A AUC(A) = U AI C(A) = f C(U) = f C(f ) = U AÌ B Û C(B) Ì C(A)Teorema:(Leyes de Morgan para conjuntos)C(AUB) = C(A) I C(B) C(AIB) = C(A) U C(B)Algebra de conjuntosAsí como en las proposiciones existen las leyes del álgebra de proposicional, en la teoría de conjuntos tenemos las leyes del álgebra de conjuntos que veremos a continuaciónLeyes de IdempotenciaA U A = A I A = A Leyes Asociativas A U (BUC) = (AUB) U C A I (BIC) = (AIB) I C Leyes Conmutativas A U B = B U A A I B = B I A Leyes Distributivas A U (B I C) = (A U B) I (A U C) I (B U C) = (A I B) U (A I C) Leyes de Identidad A U f = A I f = f Leyes de Dominación A U U = U U: conjunto universal A I U = A Leyes de ComplementaciónA U C(A) = U A I C(A) = f ff) = U C (C(A)) = A Leyes de De Morgan C(A U B) = C(A) I C (B) I B) = C(A) U C (B)
- 12. Producto cartesianoSean A y B dos conjuntos. Se define el conjunto producto o producto cartesiano de A y B como el conjunto Ejemplo: Si A = {a. b} y B = {1,5,8} entonces A x B = {(a,1), (a,5), (a,8), (b,1), (b,5), (b,8)} mientras que B x A = {(1,a), (1,b), (5,a), (5,b), (8,a),(8,b)}Nótese que A x B = B x A
- 13. teoremaSi A,B,C son tres conjuntos entonces:A x B = F Û A = F Ú B = FA x (BUC) = (A x B) U (A x C) Ax (B I C) = (A x B) I (Ax C) Ax(B -C) = (A x B) - (A x C)Operación generalizadasConsideremos un conjunto de índices I={1, 2, 3, & , n} y una familia de conjuntos {A1, A2, & , An}, donde cada Ai con i I, representa un conjunto.Al conjunto {A1, A2, & , An} lo llamaremos Familia Indizada de conjuntos; y lo denotaremos {Ai} n.
- 14. particiónSea X un conjunto y {Ai}iÎ I una familia de subconjuntos de X. Se dice que {Ai}iÎ I es una partición de X, si y sólo si:Cada Ai es una celda o bloque de la partición, es decir, una partición es una familia {Ai}iÎ I donde cada conjunto de la familia es no-vacío, la intersección entre dos miembros de la familia es vacía y la unión de todos los miembros da X.cardinalidadDiremos que un conjunto A es finito si A tiene n elemento, para algún número natural n, es decir, un conjunto es finito si se pueden contar sus elementos. En caso contrario se dice que es infinito.