Error absoluto
- 1. Instituto universitario politécnico ” Santiago mariño” Análisis numérico Sección 3c Error absoluto y relativo Realizado por Bachiller: Gabriel luque
- 2. El análisis numérico o cálculo numérico es la rama de las matemáticas encargada de diseñar algoritmos para, a través de números y reglas matemáticas simples, simular procesos matemáticos más complejos aplicados a procesos del mundo real. proporcionará todo el andamiaje necesario para llevar a cabo todos aquellos procedimientos matemáticos susceptibles de expresarse algorítmicamente, basándose en algoritmos que permitan su simulación o cálculo en procesos más sencillos empleando números. Definido el error, junto con el error admisible, pasamos al concepto de estabilidad de los algoritmos. Muchas de las operaciones matemáticas pueden llevarse adelante a través de la generación de una serie de números que a su vez alimentan de nuevo el algoritmo (feedback). Esto proporciona un poder de cálculo y refinamiento importantísimo a la máquina que a medida que va completando un ciclo va llegando a la solución. El problema ocurre en determinar hasta cuándo deberá continuar con el ciclo, o si nos estamos alejando de la solución del problema. Finalmente, otro concepto paralelo al análisis numérico es el de la representación, tanto de los números como de otros conceptos matemáticos como los vectores, polinomios, etc. Por ejemplo, para la representación en ordenadores de números reales, se emplea el concepto de coma flotante que dista mucho del empleado por la matemática convencional. Error absoluto: Es la diferencia (en valor absoluto) entre el valor exacto y el aproximado. Tiene las mismas unidades que los valores que se usan. Cota de error: Es la longitud del intervalo, en torno al valor aproximado, en el que puede encontrarse el valor exacto. Esta medida se usa cuando no se conoce el valor exacto. Error relativo: Es el cociente entre el error absoluto y el valor exacto. No tiene unidades y puede expresarse también en forma de porcentaje. Cuando el valor exacto no se conoce, el error relativo se puede calcular dividiendo la cota de error por el valor aproximado.
- 3. La importancia de los métodos numéricos no radica en buscar la solución exacta de un problema, sino la aproximada pero con la precisión requerida, o sea, con un error lo suficientemente pequeño y próximo a cero, de ahí la utilidad de los métodos numéricos. Importa también el tiempo empleado en obtener la solución y en esto ha jugado un papel importante el enorme desarrollo de la tecnología computarizada, ya que la enorme velocidad actual de los medios computarizados de cómputo ha reducido considerablemente el tiempo de obtención de la solución, lo que ha motivado la popularidad, el enorme uso y aceptación que hoy tienen los métodos numéricos. Sumémosle a ello que las computadoras son capaces de dar solución con la precisión requerida. Aquí es bueno aclarar que no es correcto pensar que el desarrollo tecnológico computarizado es quien ha creado los métodos numéricos ya que los orígenes de la matemática numérica son muy antiguos, datan de miles de años atrás, cuando los babilonios construyeron tablas matemáticas y elaboraron efemérides astronómicas. Lo que sucede es que la mayoría de los métodos numéricos requieren de un enorme volumen de cálculo que los hacían engorrosos de utilizar y esta dificultad vino a eliminarse con el desarrollo de la computación, pero los métodos numéricos existen mucho antes de ella. Por otro lado, para poder elaborar un buen programa de computación, aparte de manejar un lenguaje determinado, debemos saber realizar el proceso «a mano», ya que esto nos permitirá implementar un mejor programa que contemple todas las posibles piedras en el camino. Con fundamento en lo antes mencionado, tenemos cinco importantes razones para el estudio de los métodos numéricos: 1. Los métodos numéricos son herramientas poderosas capaces de manejar sistemas de ecuaciones grandes y complicadas que son difíciles de resolver analíticamente. 2. Existe software comercial que facilita la solución de problemas mediante los métodos numéricos. El uso inteligente de estos programas depende del conocimiento de la teoría en la que se basan estos métodos. 3. Si se conocen los métodos numéricos y se aplican los conocimientos de programación, se tiene entonces la capacidad de diseñar programas propios, sin tener que comprar el software costoso. 4. Los métodos numéricos son un vehículo eficiente para aprender a explotar las bondades que nos ofrecen las computadoras para resolver problemas. 5. Son un medio para reducir problemas de las matemáticas superiores mediante operaciones aritméticas básicas.
- 4. Se denominan números decimales aquellos que poseen una parte decimal, y son opuestos a los números enteros que carecen de ella.1 Así, un número x perteneciente a R escrito usando la representación decimal tiene la siguiente expresión: donde a es un número entero cualquiera, llamado parte entera, separado por una coma o punto de la parte fraccionaria: cada ai con i = 1,2,...,n,... y 0 ≤ ai ≤ 9.2 3 Números de máquina aproximados Estamos interesados en estimar el error en que se incurre al aproximar un número real positivo x mediante un número de máquina del MARC-32. Si representamos el número mediante: en donde cada ai es 0 ó 1 y el bit principal es a1 = 1. Un número de máquina se puede obtener de dos formas: Truncamiento: descartando todos los bits excedentes . El número resultante, x' es siempre menor que x (se encuentra a la izquierda de x en la recta real). Redondeo por exceso: Aumentamos en una unidad el último bit remanente a24 y después eliminamos el exceso de bits como en el caso anterior. Todo lo anterior, aplicado al caso del MARC-32, se resume diciendo que si x es un número real distinto de 0 dentro del intervalo de la máquina, entonces el número de máquinax* más cercano a x satisface la desigualdad: (20) que se puede escribir de la siguiente forma: ¿Cómo se expresa en binario el número x = 2/3? ¿Cuáles son los números de máquina x' y x'' próximos en el MARC-32? El número 2/3 en binario se expresa como:
- 5. Los dos números de máquina próximos, cada uno con 24 bits, son: x' = x'' = en donde x' se ha obtenido por truncamiento y x'' mediante redondeo por exceso. Calculamos ahora las diferencias x - x' y x'' - x para estimar cual es el error cometido: x - x' = x'' - x = Por tanto, el número más próximo es fl(x) = x'' y los errores de redondeo absoluto y relativo son: |fl(x) - x| = = 2-25 < 2-24 Binario a decimal[ Para realizar la conversión de binario a decimal, realice lo siguiente: 1. Comience por el lado derecho del número en binario. Multiplique cada dígito por 2 elevado a la potencia consecutiva (comenzando por la potencia 0, 20). 2. Después de realizar cada una de las multiplicaciones, súmelas todas y el número resultante será el equivalente al sistema decimal. También se puede optar por utilizar los valores que presenta cada posición del número binario a ser transformado, comenzando de derecha a izquierda, y sumando los valores de las posiciones que tienen un 1.
- 6. Ejemplo El número binario 1010010 corresponde en decimal al 82 Para cambiar de binario con decimales a decimal se hace exactamente igual, salvo que la posición cero (en la que el dos es elevado a la cero) es la que está a la izquierda de la coma y se cuenta hacia la derecha a partir de -1 ER Error El error se define como la diferencia entre el valor real Vr y una aproximación a este valor Va : e = Vr - Va Error relativo El error relativo se define como el cociente del error entre el valor real Vr (sí ): Error porcentual El error porcentual es simplemente el error relativo expresado en por ciento (%). También es usual emplear el valor absoluto en los parámetros anteriores, en cuyo caso se denominan respectivamente error absoluto, error relativo absoluto y error porcentual absoluto. Errores inherentes Los errores inherentes son aquellos que tienen los datos de entrada de un problema, y son debidos principalmente a que se obtienen experimentalmente, debiéndose tanto al instrumento de medición, como a las condiciones de realización del experimento. Por ejemplo, sí el experimento es a temperatura constante y no se logra esto mas que en forma aproximada. También pueden deberse a que se obtengan de cálculos previos. Por ejemplo el valor calculado es el de un número irracional como ó .
- 7. Errores de truncamiento Los errores de truncamiento se originan por el hecho de aproximar la solución analítica de un problema, por medio de un método numérico. Por ejemplo al evaluar la función exponencial por medio de la serie de Taylor, se tiene que calcular el valor de la siguiente serie infinita: 3+0.6666=0.9999 (Redondeo truncado) 0.3333+0.6667 Errores de redondeo Los errores de redondeo se originan debido a que le computadora puede guardar un número fijo de cifras significativas durante el cálculo. Los números tales como ∏, e o √7 no pueden ser expresados por un número fijo de cifras significativas. Por lo tanto, no pueden ser representados exactamente por la computadora; además, porque las computadoras usan una representación en base dos, y no pueden representar ciertamente números exactos en base diez. Esta discrepancia por la omisión de cifras significativas es llamada error de redondeo. Al realizar los cálculos que todo método numérico o analítico requiere debemos de redondear. Para redondear se emplea usualmente: Redondeo truncado El redondeo truncado consiste en truncar el resultado de una operación al número de cifras significativas que se estén utilizando. Por ejemplo sí redondeamos a 4 cifras significativas tenemos 0.7777. Redondeo simétrico El redondeo simétrico consiste en aumentar en uno la última cifra retenida sí la primera cifra descartada esta entre 5 y 9, o dejarla igual sí la primera cifra descartada esta entre 0 y 4. Por ejemplo sí redondeamos a 4 cifras significativas tenemos 0.7778.más