Análisis numérico UFT
- 1. UNIVERSIDAD FERMIN TORO ÁREA: TECNOLOGÍA ESTUDIOS A DISTANCIA ASIGNATURA: ANÁLISIS NUMÉRICO Análisis numérico y métodos numéricos Realizado por: Alexander Hernández C.I. 10565198
- 2. Análisis numérico El análisis numérico es la rama de la matemática que busca describir, analizar y crear algoritmos numéricos que propicien la solución de problemas matemáticos, en donde estén involucradas funciones o expresiones numéricas. Desde este punto de vista, el análisis numérico proporcionará todas las herramientas necesarias para llevar a cabo todos aquellos procedimientos matemáticos idóneos para expresarse algorítmicamente, basándose en algoritmos que permitan su simulación o cálculo en procesos más sencillos empleando números. Importancia de utilizar métodos numéricos Su importancia radica en sus amplias aplicaciones, dado que se usan para resolver problemas de ingeniería que no pueden solucionarse con los métodos convencionales o que aplicándolos se producirían cálculos engorrosos o muy largos. Un ejemplo de este caso puede ser la integración en un intervalo donde la función no es integrable y se recurre a métodos numéricos que con algunos pasos se obtienen resultados bastante ajustados a la solución real. Desde un punto de vista global el análisis numérico tiene amplia repercusión en la solución de problemas de diseño en la ingeniería en todas sus áreas (civil, mecánica, pesquera, industrial, química y otras) Números de decimales y de máquinas Número de máquina: El sistema binario, en ciencias e informática, es un sistema de numeración en el que los números se representan utilizando solamente las cifras cero y uno (0 y 1). Es el que se utiliza en las computadoras, debido a que trabajan internamente con dos niveles de voltaje, por lo cual su sistema de numeración natural es el sistema binario (encendido 1, apagado 0).
- 3. Números de decimales: El sistema de numeración decimal, también llamado sistema decimal, es un sistema de numeración posicional en el que las cantidades se representan utilizando como base aritmética las potencias del número diez. El conjunto de símbolos utilizado (sistema de numeración arábiga) se compone de diez cifras diferentes: cero (0); uno (1); dos (2); tres (3); cuatro (4); cinco (5); seis (6); siete (7); ocho (8) y nueve (9). Números decimales a partir de números máquina decimales en bits Se divide el número del sistema decimal entre 2, cuyo resultado entero se vuelve a dividir entre 2, y así sucesivamente hasta que el dividendo sea menor que el divisor, 2. Es decir, cuando el número a dividir sea 1 finaliza la división. A continuación se ordenan los restos empezando desde el último al primero, simplemente se colocan en orden inverso a como aparecen en la división, se les da la vuelta. Éste será el número binario que buscamos. Ejemplo Transformar el número decimal 131 en binario. El método es muy simple: 131 dividido entre 2 da 65 y el resto es igual a 1 65 dividido entre 2 da 32 y el resto es igual a 1 32 dividido entre 2 da 16 y el resto es igual a 0 16 dividido entre 2 da 8 y el resto es igual a 0 8 dividido entre 2 da 4 y el resto es igual a 0 4 dividido entre 2 da 2 y el resto es igual a 0 2 dividido entre 2 da 1 y el resto es igual a 0
- 4. 1 dividido entre 2 da 0 y el resto es igual a 1 -> Ordenamos los restos, del último al primero: 10000011 Error absoluto y error relativo Error absoluto: Es el resultado de la resta entre el valor medido (o aproximado) y el valor exacto. Error relativo: Es el resultado de dividir el error absoluto entre el valor exacto. Si se multiplica por 100 se obtiene el error relativo porcentual. Cálculos de errores absolutos y errores relativos De la actividad realizada se extrae: X = 1 , Xapróx.=1,1 Eabs: Error absoluto Erel: Error relativo Eabs 1 1,1 0,1 Eabs 0,1 Erel 0,1 X 1 Cálculos de cotas de errores absolutos y relativos 1.-Cota de error absoluto <½ unidad del orden de la última cifra significativa
- 5. 2. Una cota para el error relativo es: Cota de error relativo=Cota de error absoluto / valor real Ejemplo. Cota de error absoluto de 500 es 100/2=50 Cota de error relativo = 50/500=0.1 Fuentes básicas de errores y cálculo de éstos Error de truncamiento: En el subcampo matemático del análisis numérico, truncamiento es el término usado para reducir el número de dígitos a la derecha del separador decimal, descartando los menos significativos. Por ejemplo dados los números reales: 3,14159265358979... 32,438191288 6,3444444444444 Para truncar estos números a 4 dígitos decimales, sólo consideramos los 4 dígitos a la derecha de la coma decimal. El resultado es: 3,1415 32,4381 6,3444 Nótese que en algunos casos, el truncamiento dará el mismo resultado que justo en el redondeo, pero el truncamiento no redondea hacia arriba ni hacia abajo los
- 6. dígitos, meramente los corta en el dígito especificado. El error de truncamiento puede ser hasta el doble del error máximo que se puede tener usando redondeo. Error de redondeo El redondeo es el proceso mediante el cual se eliminan cifras significativas de un número a partir de su representación decimal, para obtener un valor aproximado. Se simboliza con ≈. Por ejemplo 2,95 ≈ 3, 312/937 ≈ 1/3 o √2 ≈ 1,414 . Se utiliza con el fin de facilitar los cálculos. Como desventaja, al calcular con valores aproximados se acumulan errores de redondeo que pueden hacer variar significativamente el valor estimado obtenido respecto del valor real