Analisis numerico
- 2. El análisis numérico o cálculo numérico es la rama de las matemáticas que encargada de diseñar algoritmos para, a través de números y reglas matemáticas simples, simular procesos matemáticos más complejos aplicados a procesos del mundo real. El análisis numérico cobra especial importancia con la llegada de los ordenadores. Los ordenadores son útiles para cálculos matemáticos extremadamente complejos, pero en última instancia operan con números binarios y operaciones matemáticas simples. Desde este punto de vista, el análisis numérico proporcionará todo el andamiaje necesario para llevar a cabo todos aquellos procedimientos matemáticos susceptibles de expresarse algorítmicamente, basándose en algoritmos que permitan su simulación o cálculo en procesos más sencillos empleando números. Definido el error, junto con el error admisible, pasamos al concepto de estabilidad de los algoritmos. Muchas de las operaciones matemáticas pueden llevarse adelante a través de la generación de una serie de números que a su vez alimentan de nuevo el algoritmo. Esto proporciona un poder de cálculo y refinamiento importantísimo a la máquina que a medida que va completando un ciclo va llegando a la solución. El problema ocurre en determinar hasta cuándo deberá continuar con el ciclo, o si nos estamos alejando de la solución del problema. Finalmente, otro concepto paralelo al análisis numérico es el de la representación, tanto de los números como de otros conceptos matemáticos como los vectores, polinomios, etc. Por ejemplo, para la representación en ordenadores de números reales, se emplea el concepto de coma flotante que dista mucho del empleado por la matemática convencional. En general, estos métodos se aplican cuando se necesita un valor numérico como solución a un problema matemático, y los procedimientos "exactos" o "analíticos" (manipulaciones algebraicas, teoría de ecuaciones diferenciales, métodos de integración, etc.) son incapaces de dar una respuesta. Debido a ello, son procedimientos de uso frecuente por físicos e ingenieros, y cuyo desarrollo se ha visto favorecido por la necesidad de éstos de obtener soluciones, aunque la precisión no sea completa. Debe recordarse que la física experimental, por ejemplo, nunca arroja valores exactos sino intervalos que engloban la gran mayoría de resultados experimentales obtenidos, ya que no es habitual que dos medidas del mismo fenómeno arrojen valores exactamente iguales.
- 3. Es la diferencia entre el valor aproximado obtenido en la medición y el valor verdadero o exacto de la medida. Se expresa en las mismas unidades que la magnitud medida. Es el cociente entre el error absoluto y el verdadero o exacto de la medida. No tiene dimensiones y expresa el error que se comete por cada unidad de la magnitud medida.
- 4. El error absoluto es menor que media unidad del orden de la última cifra significativa: Cota de error absoluto <½ unidad del orden de la última cifra significativa Una cota para el error relativo es: Cota de error relativo < Ejemplo Da una cota para el error absoluto y otra para el error relativo cometidos al hacer las siguientes aproximaciones: a) Precio de una casa: 275 miles de €. b) 45 miles de asistentes a una manifestación. c) 4 cientos de coches vendidos.
- 5. a) |Error absoluto| < 500 € error relativo < 0018,0 275000 500 b) |Error absoluto| < 500 personas error relativo < 011,0 45000 500 c) |Error absoluto| < 50 coches error relativo < 125,0 400 50
- 6. Se puede producir error de medición por causas que determinan su ocurrencia en forma aleatoria (error aleatorio) o bien ser efecto de un error que ocurre en forma sistemática (sesgo). El concepto de error de medición se visualiza fácilmente cuando el ejemplo se refiere a situaciones experimentales u otras condiciones de medición propias de las ciencias básicas. En salud pública la ocurrencia de error adopta características peculiares, desde el momento en que se miden variables en una dimensión poblacional, además de la individual.
- 7. a) REDONDEOS Los números decimales se pueden redondear: - A la unidad: consiste en eliminar la parte decimal, aproximándola a la unidad más cercana. Si la parte decimal es igual o inferior a 0,500 se aproxima a la unidad inferior, si es superior se aproxima a la unidad superior. 4,14 se aproxima a 4 (ya que la parte decimal es 0,1) 4,673 se aproxima a 5 (ya que la parte decimal es 0,6) 4,449 se aproxima a 4 (ya que la parte decimal es 0,4) 4,399 se aproxima a 4 (ya que la parte decimal es 0,3) 4,723 se aproxima a 5 (ya que la parte decimal es 0,7) - A la décima: consiste en dejar una sola cifra decimal, aproximando las centésimas a la décima más cercana. Si la parte centesimal es igual o inferior a 0,050 se aproxima a la décima inferior, si es superior se aproxima a la décima superior. 4,14 se aproxima a 4,1 (ya que la parte centesimal es 0,04) 4,673 se aproxima a 4,7 (ya que la parte centesimal es 0,07) 4,449 se aproxima a 4,4 (ya que la parte centesimal es 0,04) 4,399 se aproxima a 4,4 (ya que la parte centesimal es 0,09) 4,723 se aproxima a 4,7 (ya que la parte centesimal es 0,02) - A la centésima: consiste en dejar tan sólo dos cifras decimales, aproximando las milésimas a la centésima más cercana. Si la parte milésima es igual o inferior a 0,005 se aproxima a la centésima inferior, si es superior se aproxima a la centésima superior.
- 8. 4,14 se aproxima a 4,14 (ya que la parte milesimal es 0,000) 4,673 se aproxima a 4,67 (ya que la parte milesimal es 0,003) 4,449 se aproxima a 4,45 (ya que la parte milesimal es 0,009) 4,399 se aproxima a 4,40 (ya que la parte milesimal es 0,009) 4,723 se aproxima a 4,72 (ya que la parte milesimal es 0,003) b) TRUNCAMIENTO En el truncamiento de un número decimal se eliminan las cifras a partir de aquellas en la que se realiza el truncamiento. - Truncamiento por la unidad: se eliminan todas las cifras decimales. 45,325 se trunca por 45 122,3434 se trunca por 122 91,435123 se trunca por 91 - Truncamiento por la décima: tan sólo se deja esta cifra decimal: 45,325 se trunca por 45,3 122,3434 se trunca por 122,3 91,435123 se trunca por 91,4 - Truncamiento por la centésima: tan sólo se dejan dos cifras decimales: 45,325 se trunca por 45,32 122,3434 se trunca por 122,34 91,435123 se trunca por 91,43 Y así sucesivamente.
- 9. Muchas veces el conocimiento del valor de una cantidad de cierta magnitud no se puede tener por comparación con otra cantidad unitaria de la misma magnitud, sino que debe determinársela indirectamente a través del cálculo en el que intervienen otras magnitudes que si se puden medir directamente. Es lógico que el resultado se vea afectado por los errores cometidos al realizar las respectivas mediciones, es decir los errores o imprecisiones de un dato se propagan a todos los datos que se generan a partir de él.Analizaremos a continuación la propagación de errores que tiene lugar en las siguientes operaciones: Suma reagrupando luego Resta reagrupando luego Múltiplos: para determinar el período de un péndulo lo hago oscilar 10 veces, utilizo un reloj cuya división menor es de 0,2 segundo, luego Supongamos que la lectura dio
- 10. Luego si dividimos por 10 tendremos con lo que mejoramos la aproximación. Observando el resultado parecería que mejoró la precisión pero sigue siendo la misma Error de un Producto , Despreciamos Finalmente: