Analisis numerico
- 1. Métodos Numéricos e importancia Los métodos numéricos son técnicas mediante las cuales es posible formular problemas matemáticos de tal forma que puedan resolverse usando operaciones aritméticas. El análisis numérico trata de diseñar métodos para “ aproximar” de una manera eficiente las soluciones de problemas expresados matemáticamente. El objetivo principal del análisis numérico es encontrar soluciones “aproximadas” a problemas complejos utilizando sólo las operaciones más simples de la aritmética. Se requiere de una secuencia de operaciones algebraicas y lógicas que producen la aproximación al problema matemático. Los métodos numéricos pueden ser aplicados para resolver procedimientos matemáticos en: Cálculo de derivadas Integrales Ecuaciones diferenciales Operaciones con matrices Interpolaciones Ajuste de curvas Polinomios Los métodos numéricos se aplican en áreas como: Ingeniería Industrial, Ingeniería Química, Ingeniería Civil, Ingeniería Mecánica, Ingeniería eléctrica, etc… Números de Máquina Decimales Definición de Número Máquina "Es un sistema numérico que consta de dos dígitos: Ceros (0) y unos (1) de base 2". El término "representación máquina" o "representación binaria" significa que es de base 2, la más pequeña posible; este tipo de representación requiere de menos dígitos, pero en lugar de un número decimal exige de más lugares. Esto se relaciona con el hecho de que la unidad lógica primaria de las computadoras digitales usan componentes de apagado/prendido, o para una conexión eléctrica abierta/cerrada. Esto se comprenderá mejor en ejemplos prácticos. 1.2.2 Definición de Número Máquina Decimal "Son aquellos números cuya representación viene dada de la siguiente forma: ± 0,d1 d2 d3 ... dk x 10 n, 1£ d1 £ 9, 1£ dk £ 9 para cada i=2, 3, 4, ..., k"; De lo antes descrito, se indica que las maxicomputadoras IBM (mainframes) tienen aproximadamente k= 6 y –78 £ n £ 76. Errores absolutos y relativos CÁLCULO DE ERRORES. ERROR ABSOLUTO Y RELATIVO. Medir es comparar cierta cantidad de una magnitud, con otra cantidad de la misma que se ha elegido como unidad patrón. Por ejemplo, para medir longitudes las comparamos con su unidad patrón, el metro. Magnitud es cualquier propiedad de un cuerpo que puede ser medida. Cualquier medida debe de ir acompañada del valor estimado del error de la medida, y a continuación, las unidades empleadas. Por ejemplo, al medir un cierto volumen hemos obtenido 297±2 ml.
- 2. Los errores se deben dar solamente con una única cifra significativa. Únicamente, en casos excepcionales, se pueden dar una cifra y media (la segunda cifra 5 ó 0). Así, es incorrecto expresar 24567±2928 ml. La última cifra significativa en el valor de una magnitud física y en su error, expresados en las mismas unidades, deben de corresponder al mismo orden de magnitud (centenas, decenas, unidades, décimas, centésimas). Así, es incorrecto expresar 43±0.06 ml Bien sea una medida directa (la que da el aparato) o indirecta (utilizando una fórmula) existe un tratamiento de los errores de medida. Podemos distinguir dos tipos de errores que se utilizan en los cálculos: o Error absoluto. Es la diferencia entre el valor de la medida y el valor tomado como exacto. Puede ser positivo o negativo, según si la medida es superior al valor real o inferior (la resta sale positiva o negativa). Tiene unidades, las mismas que las de la medida. o Error relativo. Es el cociente (la división) entre el error absoluto y el valor exacto. Si se multiplica por 100 se obtiene el tanto por ciento (%) de error. Al igual que el error absoluto puede ser positivo o negativo (según lo sea el error absoluto) porque puede ser por exceso o por defecto. no tiene unidades. Las reglas que vamos a adoptar en el cálculo con datos experimentales son las siguientes: o Una medida se debería repetir tres ó cuatro veces para intentar neutralizar el error accidental. o Se tomará como valor real (que se acerca al valor exacto) la media aritmética simple de los resultados. o El error absoluto de cada medida será la diferencia entre cada una de las medidas y ese valor tomado como exacto (la media aritmética). o El error relativo de cada medida será el error absoluto de la misma dividido por el valor tomado como exacto (la media aritmética). Ejemplo 1. Medidas de tiempo de un recorrido efectuadas por diferentes alumnos: 3,01 s; 3,11 s; 3,20 s; 3,15 s Valor que se considera exacto: Errores absoluto y relativo de cada medida: Medidas Errores absolutos Errores relativos 3,01 s 3,01 - 3,12 = - 0,11 s -0,11 / 3,12 = - 0,036 (- 3,6%)
- 3. 3,11 s 3,11 -3,12 = - 0,01 s -0,01 / 3,12 = - 0,003 (- 0,3%) 3,20 s 3,20 -3,12 = + 0,08 s +0,08 / 3,12 = + 0,026 (+ 2,6%) 3,15 s 3,15 - 3,12 = + 0,03 s +0,03 / 3,12 = + 0,010 (+ 1,0%) Ejemplo 2. Obtenemos el error absoluto y relativo al considerar: a) 3,5 m como longitud de un terreno que mide realmente 3,59 m. b) 60 m como la distancia entre dos postes que están situados a 59,91 m. a) Ea = |3,59 - 3,5| = 0,09 m E r = | 3 , 59 - 3 , 5 | 3 , 59 = 0 , 025 = 2 , 5 % b) Ea = |59,91 - 60| = 0,09 m E r = | 59 , 91 - 60 | 59 , 91 = 0 , 0015 = 0 , 15 % Observamos que el error absoluto es el mismo en ambos casos, pero el error relativo es considerablemente mayor en el primer caso y, por tanto, la aproximación es menos precisa. Por ejemplo, si redondeamos el número 2,387 a las centésimas: Error absoluto: Ea = |2,387 - 2,39| = 0,003. Error relativo: Er = 0,003 / 2,387 = 0,0013 . Es decir, el 0,13%. Cota de errores absolutos y relativos Cotas de error: 1.-Cota de error absoluto <½ unidad del orden de la última cifra significativa 2. Una cota para el error relativo es:
- 4. Cota de error relativo=cota del error absoluto /valor real Ejemplo nº 1.- Da una cota para el error absoluto y otra para el error relativo cometidos al hacer las siguientes aproximaciones: a) Precio de una casa: 275 miles de €. b) 45 miles de asistentes a una manifestación. c) 4 cientos de coches vendidos. Solución: Solución: a) |Error absoluto| < 500 € error relativo<500/275000=0,0018 b) |Error absoluto| < 500 personas error relativo=500/45000=0,011 c) |Error absoluto| < 50 coches error relativo<50/400=0,125 Ejemplo nº 2.- a) Expresa con un número razonable de cifras significativas cada una de las siguientes cantidades: I) Asistentes a un concierto: 25 342 personas. II) Premio que dan en un concurso: 328 053 €. III) Número de libros de cierta biblioteca: 52 243. b) Calcula el error absoluto y el error relativo que se cometen con esas aproximaciones. Solución: I) 25 342 personas » 25 miles de personas Error absoluto = Valor real - Valor aproximado = 25 342 - 25 000 = 342 personas Error relativo=342/25342=0,013 II) 328.053 € » 328 miles de €
- 5. Error absoluto = 328 053 - 328 000 = 53 € Error relativo=53/328053=0,00016 III) 52 243 libros » 52 miles de libros Error absoluto = 52 243 - 52 000 = 243 libros error relativo=243/52243=0,0047 Ejemplo nº 3.- Expresa con un número adecuado de cifras significativas: a) Audiencia de un programa de televisión: 3 017 849 espectadores. b) Tamaño de un virus: 0,008375 mm. c) Resultado de 157. d) Fuerza de atracción entre dos cuerpos: 18 753 N. e) Presupuesto de un ayuntamiento: 987 245 €. f) Porcentaje de votos de un candidato a delegado: 37,285%. g) Capacidad de un pantano: 3 733 827 000 l. Solución: a) 3 000 000 espectadores b) 0,008 mm c) 157 = 170 859 375 ? 170 000 000 d) 19 000 N e) 1 000 000 € f ) 37% g) 3 750 000 000 l Fuentes básicas de Errores Existen dos causas principales de errores en los cálculos numéricos: Error de truncamiento y error de redondeo. El Error de Redondeo se asocia con el número limitado de dígitos con que se representan los números en una PC (para comprender la naturaleza de estos errores es necesario conocer las formas en que se almacenan los números y como se llevan a cabo las sumas y restas dentro de una PC). El Error de Truncamiento, se debe a las aproximaciones utilizadas en la fórmula matemática del modelo (la serie de Taylor es el medio más importante que se emplea para obtener modelos numéricos y analizar los errores de truncamiento). Otro caso donde aparecen
- 6. errores de truncamiento es al aproximar un proceso infinito por uno finito (por ejemplo, truncando los términos de una serie). Redondeo y truncamiento Los errores numéricos se generan al realizar aproximaciones de los resultados de los cálculos matemáticos y se pueden dividir en dos clases fundamentalmente:errores de truncamiento, que resultan de representar aproximadamente un procedimiento matemático exacto, y los errores de redondeo, que resultan de representar aproximadamente números exactos. En cualquier caso, la relación entre el resultado exacto y el aproximado está dada por:Valor verdadero = valor aproximado + error, de donde se observa que el error numérico está dado por:Ev = valor verdadero - valor aproximado. Donde Evsignifica el valor exacto del error. La deficiencia del truncamiento o cortado, es atribuida al hecho de que los altos términos en la representacióndecimal completa no tienen relevancia en la versión de cortar o truncar; por lo tanto el redondeo produce un error bajo en comparación con el truncamiento o cortado. Para que obtengas información, esta es la conexión:Aritmética de Punto Flotante Error De Redondeo El error de redondeo se debe a la naturaleza discreta del sistema numérico de máquina de punto flotante, el cual a su vez se debe a su longitud de palabra finita. Cada número (real) se reemplaza por el número de máquina más cercano. Esto significa que todos los números en un intervalo local están representados por un solo número en el sistema numérico de punto flotante. "Cualquier número real positivo ypuede ser normalizado a: y= 0,d1 d2 d3 ..., dk, dk+1, dk+2, . . . x 10 n. El procedimiento se basa en agregar 5 x 10 n - (k+1) a yy después truncar para que resulte un número de la forma fl = 0,d1 d2 d3 ..., dk, x 10 n. El último método comúnmente se designa por redondeo. En este método, si dk+1 ³ 5, se agrega uno (1) a d k para obtener a fl ; esto es, redondeamos hacia arriba. Si dk+1 < 5, simplemente truncamos después de los primeros k dígitos; se redondea así hacia abajo Para que obtengas información, esta es la conexión: Error De Truncamiento "Cualquier número real positivo ypuede ser normalizado a: y= 0,d1 d2 d3 ..., dk, dk+1, dk+2, . . . x 10 n.
- 7. Si y está dentro del rango numérico de la máquina, la forma de punto flotante de y, que se representará por fl , se obtiene terminando la mantisa de y en kcifras decimales. Existen dos formas de llevar a cabo la terminación. Un método es simplemente truncar los dígitos dk+1, dk+2, . . . para obtener fl = 0,d1 d2 d3 ..., dk, x 10 n. Este método es bastante preciso y se llama truncar el número. Este tipo de error ocurre cuando un proceso que requiere un número infinito de pasos se detiene en un número finito de pasos. Generalmente se refiere al error involucrado al usar sumas finitas o truncadas para aproximar la suma de una serie infinita. El error de truncamiento, a diferencia del error de redondeo no depende directamente del sistema numérico que se emplee. Errores De Una Suma Y Una Resta En esta sección estudiamos el problema de sumar y restar muchos números en la computadora. Como cada suma introduce un error, proporcional al epsilon de la máquina, queremos ver como estos errores se acumulan durante el proceso. El análisis que presentamos generaliza al problema del cálculo de productos interiores. En la práctica muchas computadoras realizarán operaciones aritméticas en registros especiales que más bits que los números de máquinas usuales. Estos bits extras se llaman bits deprotección y permiten que los números existan temporalmente con una precisión adicional. Se deben evitar situaciones en las que la exactitud se puede ver comprometida al restar cantidades casi iguales o la división de un número muy grande entre un número muy pequeño, lo cual trae como consecuencias valores de errores relativos y absolutos poco relevantes. Cálculos Estables e Inestable Puede decirse que un cálculo es numéricamente inestable si la incertidumbre de los valores de entrada aumenta considerablemente por el método numérico El que un proceso sea numéricamente estable o inestable debería decidirse con base en los errores relativo, es decir investigar la inestabilidad o mal condicionamiento lo cual significa que un cambio relativamente pequeño en la entrada Condicionamiento
- 8. Las palabras condición y condicionamiento se usan de manera informal para indicar cual sensible es la solución de un problema respectos de pequeños cambios relativos en los datos de entrada. Un número condicionado puede definirse como la razón de los errores relativos.