Aplicaciones de la derivada a funciones de una variable real
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El documento presenta la regla de L'Hôpital para resolver límites indeterminados de las formas 0/0 e ∞/∞. Explica que esta regla permite calcular el límite derivando el numerador y denominador. Además, resuelve varios ejemplos de aplicación de esta regla para hallar diferentes límites indeterminados.
![MSC. ROBERTO JOSE AGUILERA
LOPEZ
15/06/2018
MATEMATICA I 8
RJAL
15/06/2018 MSC. ROBERTO AGUILERA L.15
La forma 00
. ∞0
𝑦 1∞
Supóngase que y = [f(x)]g(x) tiende a la forma 00
. ∞0
𝑦 1∞
cuando x tiende a “a” 0 x tiende a “∞“. Tomando logaritmo
natural de y
ln y = ln [f(x)]g(x)
ln y = g(x) ln [f(x)]
Se observa que lim
𝑥→𝑎
ln 𝑦 = lim
𝑥→𝑎
𝑔 𝑥 . ln(𝑓 𝑥 ) es de la forma
0. ∞.
Si se supone que lim
𝑥→𝑎
ln 𝑦 = ln lim
𝑥→𝑎
𝑦 = 𝐿
entonces lim
𝑥→𝑎
𝑦 = 𝑒 𝐿
o bien lim
𝑥→𝑎
[𝑓 𝑥 ] 𝑔(𝑥)
= 𝑒 𝐿
FORMAS INDETERMINADAS. REGLA DE L’HOPITAL
RJAL
15/06/2018 MSC. ROBERTO AGUILERA L.16
1. lim
𝑥→0
(1 + 𝑥2
)
1
𝑒 𝑥 −𝑥 −1
Al evaluar el limite nos da la forma indeterminada 00, por tanto primero será aplicar ln ,
aplicaremos las propiedades de los logaritmos para convertirlo a la foma 0. ∞ , luego a la
forma 0/0 o ∞/∞ (manipulando la fracción), para posteriormente aplicar la regla del L’hospital
con la cual derivamos numerador y denominador por separado, las veces que sea necesario
para eliminar la forma indeterminada
y = (1 + 𝑥2)
1
𝑒 𝑥 −𝑥 −1
ln y = ln (1 + 𝑥2)
1
𝑒 𝑥 −𝑥 −1 =
1
𝑒 𝑥 −𝑥 −1
ln(1 + 𝑥2)
lim
𝑥→0
ln y = lim
𝑥→0
ln(1+ 𝑥2)
𝑒 𝑥 −𝑥 −1
= lim
𝑥→0
2𝑥
(1+ 𝑥2)
𝑒 𝑥 −1
= lim
𝑥→0
2𝑥
(1+ 𝑥2)(𝑒 𝑥 −1)
= lim
𝑥→0
2
1+ 𝑥2 𝑒 𝑥+2𝑥 (𝑒 𝑥 −1)
= 2
Por tanto lim
𝑥→0
y = lim
𝑥→0
(1 + 𝑥2)
1
𝑒 𝑥 −𝑥 −1 = 𝑒2
FORMAS INDETERMINADAS. REGLA DE L’HOPITAL
Se deriva la
anterior y resulta
Se aplica ln a “y” después las
propiedades de logaritmos](https://image.slidesharecdn.com/presunidadvmatematicai2018c-190727194338/85/Aplicaciones-de-la-derivada-a-funciones-de-una-variable-real-8-320.jpg)
Aplicaciones de la derivada a funciones de una variable real
- 1. MSC. ROBERTO JOSE AGUILERA LOPEZ 15/06/2018 MATEMATICA I 1 RJAL UNIDAD V: APLICACIONES DE LA DERIVADA A FUNCIONES DE UNA VARIABLE REAL 15/06/2018 MSC. ROBERTO AGUILERA L.1 UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERIA DEPARTAMENTO DE MATEMATICAS INGENIERIA EN ECONOMIA Y NEGOCIOS MATEMATICA I MSC. ROBERTO JOSE AGUILERA LOPEZ RJAL 15/06/2018 MSC. ROBERTO AGUILERA L.2 Para resolver formas indeterminadas, hemos utilizado factorización, racionalización de numerador o de denominador, identidades trigonométricas, entre otros para eliminar el factor que provoca la indeterminación y calcular el limite buscado. Sin embargo, habrán casos que necesitemos de otras herramientas, por ejemplo para resolver lim 𝑥→0 𝑒2𝑥 − 2𝑥 − 1 1 − 𝑐𝑜𝑠𝑥 Por lo tanto, para encontrar su limite utilizaremos la regla de L’Hopital. FORMAS INDETERMINADAS. REGLA DE L’HOPITAL
- 2. MSC. ROBERTO JOSE AGUILERA LOPEZ 15/06/2018 MATEMATICA I 2 RJAL 15/06/2018 MSC. ROBERTO AGUILERA L.3 Regla de L’hopital. Sean f y g funciones derivables en un intervalo (a,b) que contiene a “c”, excepto posiblemente en el propio “c”. Supongamos que g’(x) ≠ 0, para toda x en (a,b) excepto posiblemente en el propio c, si el limite de f(x)/g(x) cuando x tiende a “c” produce la forma indeterminada 0/0, entonces lim 𝑥→𝑐 𝑓(𝑥) 𝑔 𝑥 = lim 𝑥→𝑐 𝑓′(𝑥) 𝑔′ 𝑥 Supuesto que el limite existe o es infinito FORMAS INDETERMINADAS. REGLA DE L’HOPITAL RJAL 15/06/2018 MSC. ROBERTO AGUILERA L.4 Otra formulación de regla de L’hopital establece que si el limite de f(x)/g(x) cuando x tiende a ∞ (o a - ∞) produce una forma indeterminada 0/0 o ∞/∞ entonces lim 𝑥→∞ 𝑓(𝑥) 𝑔 𝑥 = lim 𝑥→∞ 𝑓′(𝑥) 𝑔′ 𝑥 Supuesto que el limite existe. FORMAS INDETERMINADAS. REGLA DE L’HOPITAL
- 3. MSC. ROBERTO JOSE AGUILERA LOPEZ 15/06/2018 MATEMATICA I 3 RJAL 15/06/2018 MSC. ROBERTO AGUILERA L.5 Resolver los siguientes limites utilizando la regla de L’Hopital 1. lim 𝑥→0 1 −𝑐𝑜𝑠 𝑥 𝑥2 Al evaluar el limite nos da la forma indeterminada 0/0, por tanto aplicaremos la regla del L’hospital y derivamos numerador y denominador por separado quedándonos de la forma siguiente lim 𝑥→0 1 −𝑐𝑜𝑠 𝑥 𝑥2 = lim 𝑥→0 𝑠𝑒𝑛𝑥 2𝑥 resultando otra forma indeterminada 0/0 por tanto volvemos a derivar y nos queda lim 𝑥→0 1 −𝑐𝑜𝑠 𝑥 𝑥2 = lim 𝑥→0 𝑠𝑒𝑛𝑥 2𝑥 = lim 𝑥→0 𝑐𝑜𝑠𝑥 2 = 1 2 FORMAS INDETERMINADAS. REGLA DE L’HOPITAL Se deriva la anterior y resulta RJAL 15/06/2018 MSC. ROBERTO AGUILERA L.6 2. lim 𝑥→0 𝑥4 𝑥2+2𝑐𝑜𝑠𝑥 −2 Al evaluar el limite nos da la forma indeterminada 0/0, por tanto aplicaremos la regla del L’hospital y derivamos numerador y denominador por separado quedándonos de la forma siguiente lim 𝑥→0 𝑥4 𝑥2+2𝑐𝑜𝑠𝑥 −2 = lim 𝑥→0 4𝑥3 2𝑥 −2𝑠𝑒𝑛𝑥 resultando otra forma indeterminada 0/0 por tanto volvemos a derivar las veces que sea necesario y nos queda lim 𝑥→0 𝑥4 𝑥2+2𝑐𝑜𝑠𝑥 −2 = lim 𝑥→0 4𝑥3 2𝑥 −2𝑠𝑒𝑛𝑥 = lim 𝑥→0 12𝑥2 2 − 2𝑐𝑜𝑠𝑥 = lim 𝑥→0 24𝑥 − 2𝑠𝑒𝑛𝑥 = lim 𝑥→0 24 2𝑐𝑜𝑠𝑥 = 12 FORMAS INDETERMINADAS. REGLA DE L’HOPITAL Se deriva la anterior y resulta
- 4. MSC. ROBERTO JOSE AGUILERA LOPEZ 15/06/2018 MATEMATICA I 4 RJAL 15/06/2018 MSC. ROBERTO AGUILERA L.7 3. lim 𝑥→0 2 𝑥 − 3 𝑥 𝑥 Al evaluar el limite nos da la forma indeterminada 0/0, por tanto aplicaremos la regla del L’hospital y derivamos numerador y denominador por separado quedándonos de la forma siguiente lim 𝑥→0 2 𝑥 − 3 𝑥 𝑥 = lim 𝑥→0 2 𝑥 𝑙𝑛2 − 3 𝑥 𝑙𝑛3 1 = 𝑙𝑛2 − 𝑙𝑛3 = ln 2 3 FORMAS INDETERMINADAS. REGLA DE L’HOPITAL Se deriva la anterior y resulta RJAL 15/06/2018 MSC. ROBERTO AGUILERA L.8 4. lim 𝑥→∞ ln 𝑥 𝑒 𝑥 Al evaluar el limite nos da la forma indeterminada ∞/∞, por tanto aplicaremos la regla del L’hospital y derivamos numerador y denominador por separado quedándonos de la forma siguiente lim 𝑥→∞ ln 𝑥 𝑒 𝑥 = lim 𝑥→∞ 1 𝑥 𝑒 𝑥 = lim 𝑥→∞ 1 𝑥𝑒 𝑥 = 0 FORMAS INDETERMINADAS. REGLA DE L’HOPITAL Se deriva la anterior y resulta
- 5. MSC. ROBERTO JOSE AGUILERA LOPEZ 15/06/2018 MATEMATICA I 5 RJAL 15/06/2018 MSC. ROBERTO AGUILERA L.9 5. lim 𝑥→∞ 6𝑥2 − 5𝑥+7 4𝑥2−2𝑥 Al evaluar el limite nos da la forma indeterminada ∞/∞, por tanto aplicaremos la regla del L’hospital y derivamos numerador y denominador por separado quedándonos de la forma siguiente lim 𝑥→∞ 6𝑥2 − 5𝑥+7 4𝑥2−2𝑥 = lim 𝑥→∞ 12𝑥 − 5 8𝑥 −2 resultando otra forma indeterminada ∞/∞ por tanto volvemos a derivar y nos queda lim 𝑥→∞ 6𝑥2 − 5𝑥+7 4𝑥2−2𝑥 = lim 𝑥→∞ 12𝑥 − 5 8𝑥 −2 = lim 𝑥→∞ 12 8 = 3 2 FORMAS INDETERMINADAS. REGLA DE L’HOPITAL Se deriva la anterior y resulta RJAL 15/06/2018 MSC. ROBERTO AGUILERA L.10 6. lim 𝑥→∞ 𝑥4 𝑒2𝑥 Al evaluar el limite nos da la forma indeterminada 0/0, por tanto aplicaremos la regla del L’hospital y derivamos numerador y denominador por separado quedándonos de la forma siguiente lim 𝑥→∞ 𝑥4 𝑒2𝑥 = lim 𝑥→∞ 4𝑥3 2𝑒2𝑥 = lim 𝑥→∞ 2𝑥3 𝑒2𝑥 resultando otra forma indeterminada 0/0 por tanto volvemos a derivar las veces que sea necesario y nos queda lim 𝑥→∞ 𝑥4 𝑒2𝑥 = lim 𝑥→∞ 4𝑥3 2𝑒2𝑥 = lim 𝑥→∞ 2𝑥3 𝑒2𝑥 = lim 𝑥→∞ 6𝑥2 2𝑒2𝑥 = lim 𝑥→∞ 3𝑥2 𝑒2𝑥 = lim 𝑥→∞ 6𝑥 2𝑒2𝑥 = lim 𝑥→∞ 3𝑥 𝑒2𝑥 = = lim 𝑥→∞ 3 2𝑒2𝑥 = 0 FORMAS INDETERMINADAS. REGLA DE L’HOPITAL Se deriva la anterior y resulta
- 6. MSC. ROBERTO JOSE AGUILERA LOPEZ 15/06/2018 MATEMATICA I 6 RJAL 15/06/2018 MSC. ROBERTO AGUILERA L.11 La forma ∞ − ∞ a menudo se puede convertir a un limite que sea una de estas formas 0/0 o ∞/∞ mediante una combinación de algebra y un poco de ingenio 1. lim ( 𝑥→0 1−3𝑥 𝑠𝑒𝑛𝑥 − 1 𝑥 ) Al evaluar el limite nos da la forma indeterminada ∞ -∞, por tanto primero lo convertiremos a la forma 0/0 o ∞/∞ (resolviendo las fracciones), para luego aplicar la regla del L’hospital con la cual derivamos numerador y denominador por separado, las veces que sea necesario para eliminar la forma indeterminada lim ( 𝑥→0 1−3𝑥 𝑠𝑒𝑛𝑥 − 1 𝑥 ) = lim 𝑥→0 𝑥−3𝑥2 −𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑥𝑠𝑒𝑛𝑥 = lim 𝑥→0 1−6𝑥 −𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑠𝑒𝑛𝑥 + 𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥 = lim 𝑥→0 −6+𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑥 +𝑐𝑜𝑠𝑥−𝑥𝑠𝑒𝑛𝑥 = = −6 2 = −3 FORMAS INDETERMINADAS. REGLA DE L’HOPITAL Se deriva la anterior y resulta RJAL 15/06/2018 MSC. ROBERTO AGUILERA L.12 2. lim ( 𝑥→0 1 𝑒 𝑥−1 − 1 𝑥 ) Al evaluar el limite nos da la forma indeterminada ∞ -∞, por tanto primero lo convertiremos a la forma 0/0 o ∞/∞ (resolviendo las fracciones), para luego aplicar la regla del L’hospital con la cual derivamos numerador y denominador por separado, las veces que sea necesario para eliminar la forma indeterminada lim ( 𝑥→0 1 𝑒 𝑥 − 1 − 1 𝑥 ) = lim 𝑥→0 𝑥 − 𝑒 𝑥 + 1 𝑥(𝑒 𝑥 − 1) = lim 𝑥→0 1 − 𝑒 𝑥 (𝑒 𝑥−1) + 𝑥𝑒 𝑥 = lim 𝑥→0 − 𝑒 𝑥 𝑒 𝑥+ 𝑒 𝑥+ 𝑥𝑒 𝑥 = − 1 2 FORMAS INDETERMINADAS. REGLA DE L’HOPITAL Se deriva la anterior y resulta
- 7. MSC. ROBERTO JOSE AGUILERA LOPEZ 15/06/2018 MATEMATICA I 7 RJAL 15/06/2018 MSC. ROBERTO AGUILERA L.13 La forma 0. ∞ puede convertirse a un limite de la forma 0/0 o ∞/∞ mediante una manipulación adecuada con el algebra. 1. lim 𝑥→∞ 𝑥 𝑠𝑒𝑛 1 𝑥 Al evaluar el limite nos da la forma indeterminada 0.∞, por tanto primero lo convertiremos a la forma 0/0 o ∞/∞ (manipulando la fracción), para luego aplicar la regla del L’hospital con la cual derivamos numerador y denominador por separado, las veces que sea necesario para eliminar la forma indeterminada lim 𝑥→∞ 𝑥 𝑠𝑒𝑛 1 𝑥 = lim 𝑥→∞ 𝑠𝑒𝑛 1 𝑥 1 𝑥 = lim 𝑥→∞ (𝑐𝑜𝑠 1 𝑥 )( −1 𝑥2 ) −1 𝑥2 = lim 𝑥→∞ 𝑐𝑜𝑠 1 𝑥 = 1 FORMAS INDETERMINADAS. REGLA DE L’HOPITAL Se deriva la anterior y resulta RJAL 15/06/2018 MSC. ROBERTO AGUILERA L.14 2. lim 𝑥→0 𝑥 𝑐𝑜𝑡2𝑥 Al evaluar el limite nos da la forma indeterminada 0.∞, por tanto primero lo convertiremos a la forma 0/0 o ∞/∞ (manipulando la fracción), para luego aplicar la regla del L’hospital con la cual derivamos numerador y denominador por separado, las veces que sea necesario para eliminar la forma indeterminada lim 𝑥→0 𝑥 𝑐𝑜𝑡2𝑥 = lim 𝑥→0 𝑥 𝑐𝑜𝑠2𝑥 𝑠𝑒𝑛 2𝑥 = lim 𝑥→0 𝑐𝑜𝑠2𝑥 −𝑥𝑠𝑒𝑛2𝑥(2) 2𝑐𝑜𝑠 2𝑥 = 1 2 FORMAS INDETERMINADAS. REGLA DE L’HOPITAL Se deriva la anterior y resulta Acá se convirtió a senos y cosenos, y resulta
- 8. MSC. ROBERTO JOSE AGUILERA LOPEZ 15/06/2018 MATEMATICA I 8 RJAL 15/06/2018 MSC. ROBERTO AGUILERA L.15 La forma 00 . ∞0 𝑦 1∞ Supóngase que y = [f(x)]g(x) tiende a la forma 00 . ∞0 𝑦 1∞ cuando x tiende a “a” 0 x tiende a “∞“. Tomando logaritmo natural de y ln y = ln [f(x)]g(x) ln y = g(x) ln [f(x)] Se observa que lim 𝑥→𝑎 ln 𝑦 = lim 𝑥→𝑎 𝑔 𝑥 . ln(𝑓 𝑥 ) es de la forma 0. ∞. Si se supone que lim 𝑥→𝑎 ln 𝑦 = ln lim 𝑥→𝑎 𝑦 = 𝐿 entonces lim 𝑥→𝑎 𝑦 = 𝑒 𝐿 o bien lim 𝑥→𝑎 [𝑓 𝑥 ] 𝑔(𝑥) = 𝑒 𝐿 FORMAS INDETERMINADAS. REGLA DE L’HOPITAL RJAL 15/06/2018 MSC. ROBERTO AGUILERA L.16 1. lim 𝑥→0 (1 + 𝑥2 ) 1 𝑒 𝑥 −𝑥 −1 Al evaluar el limite nos da la forma indeterminada 00, por tanto primero será aplicar ln , aplicaremos las propiedades de los logaritmos para convertirlo a la foma 0. ∞ , luego a la forma 0/0 o ∞/∞ (manipulando la fracción), para posteriormente aplicar la regla del L’hospital con la cual derivamos numerador y denominador por separado, las veces que sea necesario para eliminar la forma indeterminada y = (1 + 𝑥2) 1 𝑒 𝑥 −𝑥 −1 ln y = ln (1 + 𝑥2) 1 𝑒 𝑥 −𝑥 −1 = 1 𝑒 𝑥 −𝑥 −1 ln(1 + 𝑥2) lim 𝑥→0 ln y = lim 𝑥→0 ln(1+ 𝑥2) 𝑒 𝑥 −𝑥 −1 = lim 𝑥→0 2𝑥 (1+ 𝑥2) 𝑒 𝑥 −1 = lim 𝑥→0 2𝑥 (1+ 𝑥2)(𝑒 𝑥 −1) = lim 𝑥→0 2 1+ 𝑥2 𝑒 𝑥+2𝑥 (𝑒 𝑥 −1) = 2 Por tanto lim 𝑥→0 y = lim 𝑥→0 (1 + 𝑥2) 1 𝑒 𝑥 −𝑥 −1 = 𝑒2 FORMAS INDETERMINADAS. REGLA DE L’HOPITAL Se deriva la anterior y resulta Se aplica ln a “y” después las propiedades de logaritmos
- 9. MSC. ROBERTO JOSE AGUILERA LOPEZ 15/06/2018 MATEMATICA I 9 RJAL 15/06/2018 MSC. ROBERTO AGUILERA L.17 2. lim 𝑥→0 𝑥 𝑠𝑒𝑛𝑥 Al evaluar el limite nos da la forma indeterminada 00, por tanto primero será aplicar ln , aplicaremos las propiedades de los logaritmos para convertirlo a la foma 0. ∞ , luego a la forma 0/0 o ∞/∞ (manipulando la fracción), para posteriormente aplicar la regla del L’hospital con la cual derivamos numerador y denominador por separado, las veces que sea necesario para eliminar la forma indeterminada 𝑦 = 𝑥 𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑙𝑛 𝑦 = 𝑙𝑛 𝑥 𝑠𝑒𝑛𝑥 = 𝑠𝑒𝑛𝑥. 𝑙𝑛𝑥 = ln 𝑥 𝑐𝑠𝑐𝑥 lim 𝑥→0 𝑙𝑛 𝑦 = lim 𝑥→0 ln 𝑥 𝑐𝑠𝑐𝑥 = lim 𝑥→0 1 𝑥 −𝑐𝑜𝑡𝑥 𝑐𝑠𝑐𝑥 = lim 𝑥→0 𝑠𝑒𝑛2 𝑥 −𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑥 = lim 𝑥→0 2𝑠𝑒𝑛𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥 − 𝑐𝑜𝑠𝑥 + 𝑠𝑒𝑛𝑥 = 0 Por tanto lim 𝑥→0 y = lim 𝑥→0 𝑥 𝑠𝑒𝑛𝑥 = 𝑒0 = 1 FORMAS INDETERMINADAS. REGLA DE L’HOPITAL Acá se convirtió a senos y cosenos, se efectuó la división y nos resulto lo siguiente Se deriva la anterior y resulta Se aplica ln a “y” después las propiedades de logaritmos RJAL 15/06/2018 MSC. ROBERTO AGUILERA L.18 Revisar en el libro de Cálculo Trascendentes Tempranas de Dennis G. Zill, resolver Ejercicio 4.5 del No. 13 al 29, del No. 47 al 64 de la págs. 222 y 223. EXTREMOS DE FUNCIONES
- 10. MSC. ROBERTO JOSE AGUILERA LOPEZ 15/06/2018 MATEMATICA I 10 RJAL 15/06/2018 MSC. ROBERTO AGUILERA L.19 BIBLIOGRAFIA Textos Autor Año de Edición Título Lugar de Publicación Editorial Básicos Larson- Hostetler 1989 Calculo con Geometría Analítica México Mc. Graw Hill Comple- mentarios Earl W. Swokosky 1989 Calculo con Geometría Analítica México Ibero Americana Dennis G. Zill 1985 Cálculo con Geometría Analítica México Ibero Americana Alpha Chiang / . 1999 Métodos Fundamentales de Economía Matemática España Mc. Graw Hill Carlos Walsh 2016 Matemática I Managua Jagdish C. Ayra Robin. W. Lardner 2009 Matemáticas Aplicadas a la Administración y la economía México Pearson Educación Dennis G. Zill 2011 Cálculo Trascendentes tempranas México Mc. Graw Hill RJAL 15/06/2018 MSC. ROBERTO AGUILERA L.20 MUCHAS GRACIAS MSC. ROBERTO JOSE AGUILERA LOPEZ