Aplicaciones1
- 1. Como ya hemos estudiado, la trigonometría es la rama de la matemática que estudia la relación entre los ángulos y los lados.Para esto, se vale de las razones trigonométricas estudiadas en el libro “DEFINICIONES BÁSICAS” en el módulo anterior, las cuales son utilizadas frecuentemente en cálculos técnicos.Posee múltiples aplicaciones como en el campo de la Electricidad, la Ingeniería Civil, la Física, la Mecánica, etc.En este libro nos avocaremos a estudiar, en su aplicación, al cálculo de las demás funciones trigonométricas a partir de una conocida; a la resolución de triángulos y a una aplicación en el campo de la Física como es la sumatoria de fuerzas. Para este último punto, introduciremos el concepto de “VECTOR”, para la representación de la fuerza aplicada en un punto.Espero que este libro sea de mucha utilidad para ti.
- 2. En el libro“definiciones básicas” comenzamos por definir lo que es y lo que significa la función seno y la función coseno. De allí se pasa a definir la función tangente y la función cotangente y luego la secante y cosecante y cada una de ellas la definimos en función del seno y el coseno.Ahora surge la pregunta: al ser una de ellas conocida, ¿podremos calcular las demás funciones apartir de esta conocida?. La respuesta es si. La tabla I nos muestra en la columna inicial, la función trigonométrica y, a medida que vamos avanzando en su fila respectiva, según la función determinada, vemos que ella está expresada en función de cada una de las otras funciones. Así vemos que por ejemplo: el sen (θ) está expresado en función de la secante como: La ctg (θ), está expresada en función de la cosecante como: y así, todas y cada una de las funciones, está expresada en función de cada una de las otras. De esta manera, al conocer una función, basados en la tabla I, podemos calcular las demás.Como ejercicio, familiarízate con la tabla I, demostrando algunas de las ecuaciones expuestas allí.
- 3. Una de las aplicaciones mas inmediatas de la trigonometría es la resolución de triángulos, entendiendo este proceso como el cálculo de las medidas de los ángulos y de los lados, a partir de algunos datos dados. En este capitulo abordaremos los triángulos rectángulos y también veremos 2 casos especiales con triángulos no rectángulos, descomponiéndolos en rectángulos.Fig. 1 En el libro “DEFINICIONES BÁSICAS”, estudiamos las funciones sen; cos y tan a partir de un triángulo como el de la fig. 1. Así tenemos que: ; y ; yDe acuerdo al teorema de Pitágoras, tenemos que: Ahora, para poder calcular los lados y los ángulos del triángulo, además del ángulo recto que ya conocemos y lo hemos denominado c, de acuerdo con la fig. 1, se necesitan 2 datos más y se pueden presentar los siguientes casos: La hipotenusa y uno de sus ángulos
- 4. Un cateto y uno de sus ángulos
- 5. La hipotenusa y uno de sus catetos
- 6. los dos catetosLas fórmulas vistas arriba, las utilizaremos para la resolución de triángulos, según los casos nombrados en los siguientes capítulos.
- 7. LA HIPOTENUSA Y UNO DE SUS ÁNGULOS En este caso, suponemos conocido el ángulo α y la hipotenusa c.El lado a, lo podemos calcular aplicando la fórmula del seno, así:
- 8. El lado b, lo podemos calcular de 2 maneras: .- Aplicando la fórmula del coseno, así:.- Y, como ya tenemos conocido el cateto a, aplicamos el teorema de Pitágoras, así: El ángulo β, lo podemos calcular de 2 maneras:.- En todo triángulo, la suma de sus ángulos es igual a 180°. En el caso del triángulo rectángulo, α + β = 90°, así: β =90°- α.- Ya conocidos los lados a y b, calculamos el ángulo β con la fórmula de la tangente. Así:
- 9. UN CATETO Y UNO DE SUS ÁNGULOSEn este caso, vamos a suponer que se conoce el ángulo β y el lado a. En este caso, podemos calcular el lado b y la hipotenusa. .- El lado b, lo podemos calcular con la fórmula de la tangente, así: .- La hipotenusa la calculamos con la aplicación de la fórmula del coseno:Otra forma en que se puede calcular la hipotenusa c, por tener ambos lados conocidos, es utilizando el teorema de Pitágoras. Así: Para calcular el ángulo α, lo podemos hacer con la suma de ángulos, aplicando la fórmula del seno, del coseno o de la tangente. Ahora aplicaremos la del coseno. Así:LA HIPOTENUSA Y UNO DE SUS CATETOSEn este caso, vamos a suponer que conocemos la hipotenusa c y el lado b. Con estos 2 datos, podemos calcular el ángulo α y el lado a: Así: Ángulo α: por la fórmula del coseno.
- 10. lado a: por el teorema de Pitágoras.Una vez conocidos el lado a y el ángulo α, el ángulo β se puede calcular con la suma de ángulos, con la fórmula del seno, coseno o de la tangente. Aquí lo haremos aplicando la fórmula del seno. Así:
- 11. LOS DOS CATETOSEn este caso, vamos a suponer que los lados a y b, son conocidos. Con estos datos, podemos calcular los ángulos α, β y la hipotenusa c, de esta manera: ángulo α: aplicando la fórmula de la tangente. Así:
- 12. ángulo β: aplicando la fórmula de la tangente, tenemos:
- 13. hipotenusa c: ya en este punto, se puede calcular de diferentes formas como: aplicando el teorema de Pitágoras o ya conocidos los ángulos, con la aplicación de la formula del seno o coseno, se puede hacer. Aplicaremos el teorema de Pitágoras: Así:Los procedimientos presentados aquí, según los datos conocidos, te muestran una manera de hacer el cálculo de los datos que faltan por conocer en un triángulo. Tú como estudiante no te debes regir estrictamente con estos procedimientos. Ya puedes haber visto que, al conocer otro dato a partir de los 2 ya dados, los que faltan los puedes conocer, calculándolos de varias formas, ya sea por la aplicación directa de la fórmula del seno, del coseno, de la tangente o por la aplicación del teorema de Pitágoras.En este punto te dejo una pregunta para que la investigues.PREGUNTA DE INVESTIGACIÓNDado un triángulo en el cual se conozcan todos sus ángulos, ¿se pueden calcular sus lados y la hipotenusa?SI NO POR QUE?JUSTIFICA TU RESPUESTA
- 14. CASOS ESPECIALESHasta ahora, hemos trabajado con triángulos rectángulos solamente, pero ¿cómo podemos hacer para resolver un triángulo, si no tiene un ángulo recto?. En este caso, se nos pueden presentar 2 situaciones: Ningún ángulo sea mayor de 90°
- 15. un ángulo es mayor de 90°NINGÚN ÁNGULO SEA MAYOR DE 90°Sea el triángulo ABC, cuyos ángulos son: α, β y θ como indica la fig. adjunta y ninguno de ellos es un ángulo recto. Podemos operar así:Dibujemos la recta CD, que es perpendicular a la recta AB. Así nos quedan 2 triángulos con el ángulo θ dividido en θ1 y θ2, la recta AB o el lado c, en c1 y c2 y la recta CD que denominamos D, será un cateto para ambos triángulos y, de acuerdo a lo estudiado antes, lo podemos resolver.UN ÁNGULO ES MAYOR A 90°Sea el triángulo ABC, como el indicado en la fig. adjunta y el ángulo θ, es mayor a 90°. En este caso, procedemos a resolverlo como se explicó arriba. Si aún con los datos dados no se pueden resolver, queda la opción de dibujar la recta BE, formando unángulo recto en B y prolongando AC, hasta unirse con BE y formando el ángulo ε. Así podemos llegar a resolver cualquier triángulo que no sea rectángulo..- Al comienzo de este capítulo, dijimos que se necesitan 2 datos conocidos mas el ángulo recto, para poder resolver el triángulo. Aquí, en estos casos se necesitan conocer, de la misma manera, 3 datos para poderlos resolver.
- 16. Hasta ahora, hemos visto cómo calcular las demás funciones trigonométricas a partir de una conocida y la resolución de triángulos.Ahora, en este capítulo, pasaremos a estudiar una aplicación en el campo de la Física, como es la sumatoria de fuerzas.Supongamos que tenemos un objeto que queremos mover y lo estamos jalando desde 3 puntos diferentes, surge la pregunta: con esas 3 fuerzas que se le están aplicando, ¿en qué dirección y sentido se moverá? Y si aplicamos una sola fuerza, ¿qué valor y sentido tiene que tener, para lograr el mismo resultado?Estas preguntas la responderemos aquí y veremos cómo se aplica, lo que hasta ahora hemos aprendido en esta trigonometría básica.
- 17. VECTORAntes de entrar en la sumatoria de fuerzas, hay que conocer una magnitud física como es el VECTOR.En física, un vector es una magnitud o propiedad que puede ser medida y que hay que considerar, además del módulo, la dirección, el sentido y el punto de aplicación. Así, un vector es una herramienta geométrica utilizada para representar una magnitud física del cual depende únicamente un módulo o longitud y una dirección u orientación, para quedar definido. En la fig. anexa, representamos un vector AB, cuyo módulo, denotado como |AB|, tiene su origen en A y su terminal en B y, podemos considerar que, el punto A, es el punto de aplicación y la punta de la flecha, indica su dirección. La velocidad con la que se desplaza un móvil, es una magnitud vectorial, ya que no solo queda definida por su módulo (lo que indica el velocímetro, en el caso de un automóvil) sino que también hay que indicar la dirección hacia la que se dirige (si es hacia delante o hacia atrás).
- 18. La fuerza que actúa sobre un objeto es una magnitud vectorial, ya que su efecto depende, además del módulo, de la dirección en la que opera.Ahora, definiremos lo que es una magnitud escalar y una magnitud vectorial. Magnitud escalar: es una magnitud que queda completamente definida por un número y la unidad de medida utilizada para su identificación. Así, la masa, la presión, el volumen, la temperatura, etc., son magnitudes escalares.
- 19. Magnitud vectorial: es una magnitud física que está definida con un dato numérico y una dirección, además de la unidad de medida utilizada para su identificación. De esta manera, tenemos que la velocidad, la aceleración, la fuerza, etc., son magnitudes vectoriales.SUMA DE VECTORESExisten varias formas de sumar vectores pero aquí solo nos limitaremos al estudio por descomposición en un eje de coordenadas.En la fig. adjunta, tenemos 3 vectores representados por F1, F2 Y F3 y el punto O, es el punto de aplicación de estas fuerzas. Ahora, Dibujaremos un eje de coordenadas (x,y) cuyo origen coincida con el punto de aplicación O de las fuerzas.Los módulos de cada uno están definidos como: |F1 |, |F2 | y |F3| y la dirección, por los ángulos α, β y θ respectivamente. Ahora, cada una de estas fuerzas la podemos descomponer en una fuerza paralela al eje x y otra al eje y, usando los ángulos α, β y θ por medio de la aplicación de la fórmula del seno y coseno. Así:F1=F1x+F1y=|F1|*cos(α)+|F1|*sen(α)F2=F2x+F2y=|F2|*cos(β)+|F2|*sen(β)F3=F3x+F3y=|F3|*cos(β)+|F3|*sen(β)Donde |F1|, |F2| y |F3| son el módulo o magnitud de los vectores F1, F2 y F3 respectivamente. Así podemos sumar algebraicamente las correspondientes al eje x y al eje y, obteniendo lo siguiente: FRx=F1x+F2x+F3x=|F1|*cos(α)+|F2|*cos(β)+|F3|*cos(θ)FRy=F1y+F2y+F3y=|F1|*sen(α)+|F2|*sen(β)+|F3|*sen(θ)De esta manera obtenemos que la fuerza resultante es:FR=FRx+FRyEl módulo se calcula aplicando el teorema de Pitágoras, así:|FR|2=|FRx|2+|FRy|2Y el ángulo se calcula aplicando la fórmula del arctan, asíδ=arctan (FRy/FRx)
- 20. En este punto cabe destacar lo siguiente:Al trabajar con un eje de coordenadas cartesianas (x,y), hay que tomar en cuenta cuando el eje x es positivo o negativo, al igual que el eje y. En el ejemplo descrito, F1x>0 y F1y>o pero F2x<0 y F2y>0 y F3x>0 y F3y<0. Esto se debe a la medición del ángulo. Observe la fig. anterior. Esto se verá más evidente en el cálculo del ángulo resultante, ya sea si la división FRy/FRx >0, indica que está en el primer o tercer cuadrante mientras que si la división FRy/FRx<0, está en el segundo o cuarto cuadrante. Así que hay que tener cuidado a la hora de hacer un cálculo de este tipo.Véase el libro: “DEFINICIONES BÁSICAS”, capitulo: signos de las funciones.