Apunte metodosnumericos

UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DE CHIAPAS
Facultad de Ciencias en F´ısica y Matemáticas
Apuntes del curso de
MÉTODOS NUMÉRICOS
realizados por el
Dr. Roberto Arceo Reyes
Agosto - Diciembre 2017
Tuxtla Gutiérrez, Chiapas, Mexico

iii
Objetivo
El análisis numérico trata de la obtención, descripción y análisis de algoritmos para el
estudio y solución de problemas matemáticos. El desarrollo continuo de las máquinas
computadoras y su cada vez más fácil accesibilidad, aumenta a igual velocidad como la
importancia de los métodos numéricos en la solución de problemas en las ciencias y la in-
genier´ıa. Gran parte de los egresados de una licenciatura en Ciencias F´ısico-Matemáticas
tratan con problemas que requieren del uso de estos métodos. El presente curso pretende
dar un panorama amplio de la gama de problemas matemáticos que se pueden resolver
usando los métodos numéricos y se obtienen los algoritmos correspondientes. El curso pro-
porciona material que debe ser conocido por todo cient´ıfico o ingeniero.
El curso requiere de los conocimientos de la l´ınea de cálculo, el manejo de un lenguaje
de programación y el conocimiento de conceptos de álgebra lineal como espacios vectoria-
les, normas y matrices. Al término del curso el estudiante dominará los puntos esenciales
del mismo, a saber: estudio y clasificación de errores, solución de ecuaciones no linea-
les, aproximación e interpolación, derivación e integración numérica, solución numérica de
ecuaciones diferenciales ordinarias y solución de sistemas de ecuaciones lineales y habrá
realizado programas de computadora de los principales métodos estudiados.
Propósito
Conocerá la importancia del análisis numérico por su aplicación a problemas clásicos:
solución de ecuaciones, aproximación de funciones, solución numérica de ecuaciones di-
ferenciales ordinarias y solución de sistemas de ecuaciones lineales; y los conceptos de
algoritmo, convergencia y estabilidad de un algoritmo.
Calcular los errores absoluto y relativo de una aproximación;
· Apreciar la utilidad del valor relativo;
· Entender los conceptos de cifras significativas; programación del error en operaciones
aritméticas; programación del error en la evaluación de funciones y condicionamiento de

iv
un algoritmo.
Conocer y diferenciar los métodos de bisección, secante, falsa posición e iteración de
punto fijo;
· Comprender los conceptos de aceleración de la convergencia; convergencia lineal y cuadráti-
ca;
· Aplicar los métodos estudiados al cálculo de ra´ıces de polinomios.
· Aplicar el método de Newton a sistemas de ecuaciones no lineales.
Entender los conceptos básicos de aproximación de funciones y será capaz de aproxi-
marlas usando los diferentes criterios estudiados: a saber, m´ınimos cuadrados por polino-
mios; polinomios ortogonales; funciones splines; e interpolación polinomial.
Conocer y aplicar los métodos de derivación y sus errores de redondeo y truncamiento;
y los de integración, sus fórmulas de error y la aplicación de éstas para la integración
compuesta.
Dominar los métodos de Euler, Taylor; Runge-Kutta, los basados en integración numéri-
ca, Adams-Bashfort para solucionar ecuaciones diferenciales ordinarias;
· Comprender los conceptos de estabilidad numérica.
Conocer y ser capaz de aplicar los métodos directos para la solución de sistemas de
ecuaciones lineales; las estrategias de pivoteo; y los métodos iterativos. As´ı también los
métodos correspondientes para el cálculo de valores propios.

TABLA DE CONTENIDOS
LISTA DE TABLAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . vii
LISTA DE FIGURAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ix
1. INTRODUCCION 1
1.1. Problemas clásicos del Anal´ısis Numérico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2. Descripción de un Algoritmo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2. Estudio general del error en un proceso numérico 13
2.0.1. Exactitud y precisión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.1. Reglas de redondeo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3. Resolución de ecuaciones no lineales 21
3.1. La serie de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3.2. El método de bisección . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3.3. El método de la regla falsa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.4. Iteracción de punto fijo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3.5. El método de Newton-Raphson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
3.6. El método de la secante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3.7. Ra´ıces múltiples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
4. Aproximación e interpolación 41
4.1. Mńimos cuadrados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
v

vi
4.2. Interpolación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
4.3. Fórmulas de integración de Newton-Cotes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
4.4. Regla del trapecio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
4.5. Regla de Simpson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
5. Solución numérica de ecuaciones diferenciales ordinarias: problema a
valores iniciales 55
5.1. La serie de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
5.2. Método de Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
5.3. Método de Runge-Kutta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
5.4. Eliminación Gaussiana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
6. Ejercicios resultos 71
BIBLIOGRAFIA xi

Lista de Tablas
Tabla 1.1 Cinco pasos necesarios para producir y dar soporte a programas de alta ....... 12
Tabla 2.1: Ilustraci´on de los d´ıgitos retenidos y descartados de un n´umero con cinco .... 18
vii

Lista de Figuras
Figure 1.1 Representación de la fuerza que actua sobre un ........ 2
Figure 1.2 Solución anal´ıtica al problema del paracaidista ......... 6
Figure 1.3 Uso de una diferencia finita para aproximar la .......... 7
Figure 3.1 Esquema gráfico del método de la regla falsa ............ 25
Figure 3.2 Esquema gráfico del método Newton-Raphson .......... 28
Figure 3.3 Esquema gráfico del método de la secante ................. 31
Figure 4.1 El residuo en la regresión lineal representa ................ 36
Figure 4.2 Las áreas sombreadas muestran triángulo .................. 37
Figure 4.3 Diferencia entre fórmulas de integración .................... 41
Figure 4.4 Esquema gráfico de la regla trapezoidal ..................... 43
Figure 5.1 Esquema gráfico del método de un paso ..................... 46
Figure 5.2 Método de Euler (o método de Euler-Cauchy.............. 49
Figure 5.3 Solución del método de Euler ...................................... 51
ix

Bibliograf´ıa
[1] Atkinson, K. (1989). An Introduction to Numerical Analysis. Wiley, 2nd edition.
[2] Hamming, R.W. (1987). Numerical Methods for Scientists and Engineers. Dover Pu-
blications, 2nd edition.
[3] Burden, R.L., Faires, J. D. (2002). Anlisis Numrico. Mxico: International Thomson
Editores, S.A. De C.V.
[4] Henrici, P. (1980). Elementos de Anlisis Numrico. Mxico: Editorial Trillas.
[5] Carnahan, B., Luther, H. A., Wilkes, J.O. (1969). Applied Numerical Methods. Wiley,
1st edition.
[6] Kincaid, D.R., Cheney, E.W. (2001). Numerical Analysis: Mathematics of Scientiﬁc
Computing. Brooks Cole, 3rd edition.
[7] Gibbs, W.R. (2001). Computation in Modern Physics. USA: World Scientiﬁc Publis-
hing Company, 2nd editition.
xi

Cap´ıtulo 1
Introducción
El presente trabajo es un compilación de los apuntes dados en el curso de Métodos
Númericos impartido en el semestre Agosto - Diciembre del 2017 en la Licenciatura en
F´ısica de la Facultad de Ciencias en F´ısica y Matemáticas de la Universidad Autónoma
de Chiapas.
1.1. Problemas clásicos del Anal´ısis Numérico
Recordando la segunda ley de Newton,
F = ma (1.1)
donde F es la fuerza neta que actúa sobre el cuerpo, m es la masa del objeto, y a es su
aceleración.
La ecuación (1.1) tiene varias caracter´ısticas habituales de los modelos matemáticos
del mundo f´ısico.
1. Describe un sistema o proceso natural en términos matemáticos.
2. Representa una idealización y una simplificación de la realidad.
1

2
3. Conduce a resultados predecibles, y en consecuencia puede emplearse para propósitos
de predicción.
La aceleración de la ecuación (1.1) puede despejarse,
a = F/m (1.2)
esta ecuación puede usarse para calcular la velocidad final de un cuerpo en ca´ıda libre
cerca de la superficie terrestre.
El cuerpo en descenso será un paracaidista.
Figura 1.1: Representación de las fuerzas que actúan sobre un paraca´ıdista en descenso.
FD es la fuerza hacia abajo debido a la atracción de la gravedad. FU es la fuerza hacia
arriba debido a la resistencia del aire.
Podemos crear un modelo matemático al expresar la aceleración como la razón de cambio
de la velocidad con respecto al tiempo (dv
dt ) y sustituir en la ecuación (1.1) para dar
m ·
dv
dt
= F (1.3)
donde v es la velocidad.

3
Para un cuerpo que cae dentro del per´ımetro de la Tierra, la fuerza total está compuesta
por dos fuerzas contrarias. La atracción hacia abajo debida a la gravedad FD y la fuerza
hacia arriba debida a la resistencia del aire FU .
F = FD + FU (1.4)
Si a la fuerza hacia abajo se les asiga un signo positivo, se puede usar la segunda ley para
formular la fuerza debida a la gravedad como
FD = mg (1.5)
donde g es la constante de gravitacón, o la aceleración debida a la gravedad, con un valor
de 9.8 m/s2 (mks) o 980 cm/s2 (cgs).
La resistencia del aire puede formularse de varias maneras, una es suponer que es
linealmente proporcional a la velocidad,
FU = −cv (1.6)
donde c es una constante llamada el coeficiente de arrastre (en gramos por segundo o
kg/s).
Combinando las ecuaciones (1.3) a (1.6),
m
dv
dt
= mg − cv (1.7)
dv
dt
= g −
c
m
v (1.8)
dv
(g − c
m v)
= dt,

4
haciendo
u = g −
c
m
v
du = −
c
m
dv
dv = −m
c du y − m
c
du
u = dt
du
u
= −
c
m
dt
Integrando
du
u
= −
c
m
dt
(en reposo v = 0 en t = 0)
ln(u)|v
0 = −
c
m
t
t
0
ln(g −
c
m
v)
v
0
= −
c
m
t
ln(g −
c
m
v) − ln(g) = −
c
m
t
ln(
g − c
m v
g
) = −
c
m
t
ln(1 −
c
mg
v) = −
c
m
t

5
(1 −
c
mg
v) = e− c
m
t
c
mg
v = (1 − e( c
m
)t
)
−→ v(t) =
mg
c
[1 − e− c
m
t
](1.9)
Ejemplo: Solución anal´ıtica al problema del paracaidista que cae.
Un paracaidista con una masa de 68, 100 gramos salta de un aeroplano. Apl´ıquese la
ecuación (1.9) para calcular la velocidad antes de abrir el paracaidas. El coeficiente de
arrastre c es aproximadamente igual a 12,500 g/s.
Solución: Al sustituir los valores en la ecuación (1.9) se tiene,
v(t) =
(980cm/s2)(68, 100g)
12, 500g/s
[1 − exp(−
12500g/s
68, 100g
t)]
v(t) = (5339.04cm/s)[1 − e−0.18355t/s
]
Al dar valores a t se obtiene,
t(s) v(cm/s)
0 0
2 1640.5
4 2776.9
6 3564.2
8 4109.5

6
10 4487.3
12 4749.0
∞ 5339.0
Figura 1.2: Solución anal´ıtica al problema del paracaidista.
A la ecuación (1.9) se le llama una solución anal´ıtica exacta. Si no es posible solucionar
la ecuación se tiene que usar una solución numérica que se aproxime a la solución exacta,
y emplearemos un método numérico.
La segunda ley de Newton en la aceleración se puede aproximar,
dv
dt
≈
∆v
∆t
=
v(ti+1) − v(ti)
ti+1 − ti
(1.10)
donde ∆v y ∆t son diferencias en la velocidad y el tiempo calculadas sobre intervalos

7
Figura 1.3: Uso de una diferencia finita para aproximar la primera derivada de V con
respecto a t.
finitos, v(ti) es la velocidad en el tiempo inicial ti, y v(ti+1) es la velocidad en un tiempo
más tarde ti+1. La ecuación (1.10) es una diferencia finita dividida en el tiempo ti. Al
sustituir en la ecuación (1.8) se da,
v(ti+1) − v(ti)
ti+1 − ti
= g −
c
m
v(ti) (1.11)
al ordenar esta ecuación dá,
v(ti+1) = v(ti) + [g −
c
m
v(ti)](ti+1 − ti) (1.12)
(nuevo valor de v)= (valor anterior de v)+ (valor estimado de la pendendiente) x
(incremento del tiempo)

8
Ejemplo 2: Soluci´on num´erica al problema del paracaidista que cae.
Al hacer lo mismo pero con un incremento de 2 s. En t1 = 0 la v(ti)=0 y se puede
estimar v(ti+1) en ti+1=2 s.
i = 1 : t1 = 0 y v(t1) = 0
v(t2) = v(t1) + [980 −
12500
68100
v(t1)(t2 − t1)
t2 = 2s
v(t2) = (980)(2 − 0) = 1960
cm
s
i = 2 :
v(t3) = v(t2) + [980 −
12500
65100
v(t2)](t3 − t2)
t3 = 4s
v(4) = 1960 + [980 −
12500
68100
(1960)](4 − 2)
v(4) = 3200.5
cm
s
i = 3 :

9
v(t4) = V (t3) + [980 −
12500
68100
v(t3)](t4 − t3)
t4 = 6s
v(6) = 3200.5 + [980 −
12500
68100
3200.5](6 − 4)
v(6) = 3985.6
cm
s
v(8) = 4482.5
v(10) = 4796.9
v(12) = 4995.9
∞ = 5339.0
t(s) v(cm/s)
0 0
2 1960.0
4 3200.5
6 3985.6
8 4482.5
10 4796.9

10
12 4995.9
∞ 5339.0
1.2. Descripción de un Algoritmo
1.2.1. Diseño de algoritmos
Un algoritmo es una secuencia lógica de pasos necesarios para ejecutar una tarea
espec´ıfica tal como la solución de un problema. Los buenos algoritmos tienen ciertas ca-
racter´ısticas. Siempre deben terminar después de una cantidad finita de pasos y deben ser
lo más general posible para tratar cualquier caso particular.
1.2.2. Composición de un programa
Después de confeccionar un algoritmo, el paso siguiente es expresarlo como una se-
cuenca de declaraciones de programación llamado código. Lo realizaremos en FORTRAN.
Programa de computadora en FORTRAN para el problema de la suma simple.
c Version en FORTRAN
A=25
B=15
C=A+B
WRITE(6,1) C
1 FORMAT(’ ’,F10.3)
STOP
END
↑ Columna 7
↑ Columna 5
↑ Columna 1

11
1.2.3. FORTRAN
Es la contrucción de fórmula translation (traducción de fórmulas), y se desarrolló en la
decáda de 1950. Debido a que fue expresamente diseñado para cálculos, ha sido el lenguaje
más usado en la ingenier´ıa y la ciencia.
1.2.4. Rastreo y prueba
Después de escribir el código del programa, se debe probar para buscar los errores, a
los que se les llama bugs. Al proceso de localizar y corregir los errores se les conoce como
rastreo.
1.2.5. Documentación
Después del rastreo y probado del programa, éste se debe documentar. La documen-
tación es la inclusión de comentarios que le permiten al usario implementar el programa
más fácilmente.
1.2.6. Almacenamiento y mantenimiento
Los pasos finales del programa son el almacenamiento y mantenimiento del mismo. El
mantenimiento involucra acondicionar el programa e incluso hacerle cambios que lo hagan
accesible a problemas reales.
El almacenamiento se refiere a la manera en que los programas se guardan para uso
posterior.
Compilación en fortran:
gfortran −o nombre : del : ejecutable codigo : fuente.for

12
Tabla 1.1: Cinco pasos necesarios para producir y dar soporte a programas de alta
calidad.

Cap´ıtulo 2
Estudio general del error en un
proceso numérico
2.0.1. Exactitud y precisión
Los errores asociados con los cálculos y medidas se pueden caracterizar observando su
precisión y exactitud. La precisión se refiere a:
1. El número de cifras significativas en una cantidad. La extensión en las lecturas repeti-
das.
2. La exactitud se refiere a la aproximación de un número o de una medida al valor ver-
dadero que se supone representa.
Los errores númericos se originan con el uso de aproximaciones. Estos incluyen errores
de truncamiento y los errores de redondeo, el primer caso se generan por representar apro-
ximadamente un procedimiento matemático exacto y el segundo por representar números
exactos.
Valor verdadero = Valor aproximado + error
13

14
Error numérico igual a la diferencia del valor verdadero y el valor aproximado:
Ev= valor verdadero - valor aproximado
Ev: valor exacto del error
Una manera de medir las magnitudes de las cantidades que se están evaluando es norma-
lizar el error respecto al valor verdadero, como en:
Error : relativo : funcional =
error
valor : verdadero
El error relativo también se puede multiplicar por el 100 % para expresarlo como:
v =
error : verdadero
valor : verdadero
× 100 %
donde v denota el error relativo porcentual (real).
Normalizar el error es una alternativa, usando la mejor estimación posible del valor
verdadero, esto es, a la aproximación misma, como:
a =
error : aproximado
valor : aproximado
× 100 %
donde el sub´ındice a significa que el error está normalizado a un valor aproximado.

15
a: error relativo porcentual aproximado.
Ciertos métodos numéricos usan un esquema iterativo para calcular resultados. Se hace
una aproximación anterior, esto se repite varias veces, en tales casos, el error a menudo se
calcula como la diferencia entre la aproximación previa y la actual. Por lo tanto, el error
relativo porcentual está dado por:
a =
aproximación : actual − aproximación : previa
aproximación : actual
× 100 %
a menudo no importa el signo del error, si no que su valor absoluto sea menor a una
tolerancia prefijada s.
| a |< s
s=(0.5×102−n) %
si se cumple este último criterio el resultado es correcto en al menos n cifras significativas.
Ejemplo: Estimación del error para métodos iterativos
A menudo se pueden representar las funciones mediante una serie infinita. La función
exponencial se puede representar como,
ex
= 1 + x +
x2
2
+
x3
3
+
x4
4
+ ...
(Expansión en series de Maclaurin)
Empezando con el primer término, ex = 1, y agregando más términos, est´ımese el valor
de e0.5. Después que se agregue cada término, calcúlesen los errores relativos porcentuales
real y aproximado. El valor real de e0.5 = 1.648721271. Agregar términos hasta que el valor
absoluto del error aproximado ea sea menor al criterio preestablecido, es que contempla
tres cifras significativas.
Solución:

16
s=(0.5×102−3) % = 0.005 %
(primer estimación)
ex
≈ 1
(segunda estimación)
ex
≈ 1 + x
para x = 0.5
e0.5
≈ 1 + 0.5 = 1.5
error relativo porcentual real,
v =
1.648721271 − 1.5
1.648721271
× 100 % = 9.02 %
a =
1.5 − 1
1.5
× 100 % = 33.3 %
a no es menor al valor prefijado, s; as´ı que se continúa agregando más términos y calcu-
lando los errores ( a < s).
(tercera estimación)
ex
≈ 1 + 0.5 + (
0.512
2
= 1.625
v =
1.648721271 − 1.6525
1.648721271
× 100 % = 1.438 %

17
a =
1.625 − 1.5
1.625
× 100 % = 7.69 %
2.1. Reglas de redondeo
1. En el redondeo, se conservan las cifras significativas y el resto se descarta (ver figura).
El último d´ıgito que se conserva se aumenta en uno si el primer d´ıgito descartado
es mayor de 5. De otra manera se deja igual. Si el primer d´ıgito descartado es 5 o
5 seguido de ceros, entonces el último d´ıgito retenido se incrementa en 1, sólo si es
impar.
2. En la suma y en las restas, el redondeo se lleva a cabo de forma tal que el último
d´ıgito retenido en la respuesta corresponda al último d´ıgito más significativo de los
números que están sumando o restando. Nótese que un d´ıgito en la columna de las
centésimas es más significativo que uno de la columna de las milésimas.
3. Para la multiplicación y para la división el redondedo es tal que la cantidad de cifras
significativas del resultado es igual al número más pequeño de cifras significativas
que contiene la cantidad en la operación.
4. Para combinaciones de las operaciones aritméticas, existen dos casos generales. Se
puede sumar o restar el resultado de las multiplicaciones o de las divisiones.
(Multiplicación o división)±(Multiplicación o división)
o también se pueden multiplicar o dividir los resultados de las sumas y las restas:
(Suma o resta)×÷(Suma o resta)

18
En ambos casos, se ejecutan las operaciones entre paréntesis y el resultado antes de
proceder con otra operación, en vez de redondear únicamente el resultado final.
Tabla 2.1: Ilustración de los d´ıgitos retenidos y descartados de un número con cinco
cifras significativas.

19
Ejemplo: Ilustraciones de las reglas de redondeo
1. Errores de redondeo
5.6723 −→ 5.67 3 cifras significativas
2. Sumas y restas
2.2 − 1.768 = 0.432 −→ 0.4
3. Multiplicación y división
a) 0.0642 × 4.8 = 0.30816 −→ 0.4
b) 945
0.3185 = 2967.032967 −→ 2970
4. Combinaciones

Cap´ıtulo 3
Resolución de ecuaciones no
lineales
3.1. La serie de Taylor
La serie de Taylor da una formulación para predecir el valor de la función en xi+1 en
términos de la función y de sus derivadas en una vecindad al punto xi.
Se construirá término a término, el primer término de la serie es:
f(xi+1) ≈ f(xi) (aproximación de orden cero) (3.1)
La ecuación (3.1) da una buena aproximación si la función que se va a aproximar es una
constante. La aproximación a primer orden se obtiene sumando otro término al anterior
para obtener:
f(xi+1) ≈ f(xi) + f (xi)(xi+1 − xi) (3.2)
f (xi) es la pendiente multiplicada por la distancia entre xi+1 y xi.
Agregando a la serie un término de 2do orden para obtener algo sobre la curvatura de la
21

22
función si es que la tiene:
f(xi+1) ≈ f(xi) + f (xi)(xi+1 − xi) +
f (xi)
2!
(xi+1 − xi)2
(3.3)
agregando más términos para desarrollar la expansión completa de la serie de Taylor:
f(xi+1) ≈ f(xi)+f (xi)(xi+1−xi)+
f (xi)
2!
(xi+1−xi)2
+
f (xi)
3!
(xi+1−xi)3
+...+
fn(xi)
n!
(xi+1−xi)n
+Rn
(3.4)
se incluye un término residual para considerar todos los términos desde (n + 1) hasta el
infinito:
Rn =
f(n+1)(ξ)
(n + 1)!
(xi+1 − xi)n+1
(3.5)
donde el sub´ındice n indica que el residuo es de la aproximación a n-ésimo orden y ξ es
un valor cualquiera de x que se encuentra en xi y xi+1.
Rn da una estimación exacta del error.
h = xi+1 − xi
y la ecuación (3.4) toma la forma:
f(xi+1) = f(xi) + f (xi)h +
f (xi)
2!
h2
+
f (xi)
3!
h3
+ ... +
f(n)(xi)
n!
hn
+ Rn
en donde
Rn =
fn+1(ξ)
(n + 1)!
hn+1

23
Ejemplo:
Usense términos en la serie de Taylor de cero a cuarto orden para aproximar la función:
f(x) = −0.1x4
− 0.15x3
− 0.5x2
− 0.25x + 1.2
desde el punto xi = 0 y con h = 1. Esto es, predecir el valor de la función en xi+1 = 1.
3.2. El método de bisección
Si una función f(x) es real y continua en el intervalo de xl a xu y f(xl) y f(xu) tienen
signos opuestos, esto es,
f(xl)f(xu) < 0
entonces hay, al menos una ra´ız real entre xl y xu.
El método de bisección, conocido también como de corte binario, de partición en dos
intervalos iguales o método de Bolzano, es un método de búsqueda incremental donde
el intervalo se divide siempre en dos. Si la función cambia de signo sobre un intervalo,
se evalúa el valor de la función en el punto medio. La posición de la ra´ız se determina
sitúandola en el punto medio del subintervalo dentro del cual ocurre un cambio de signo.
El proceso se repite hasta obtener una mejor aproximación.
Pasos:
1. Escójanse los valores iniciales xl y xu de forma tal que la función cambie de signo
sobre el intervalo. Esto se puede verificar asegurándose de que f(xl)f(xu) < 0.
2. La primera aproximación a la ra´ız xl se determina como: xr = xl+xu
2
3. Real´ıcense las siguientes evaluaciones y determ´ınense en que subintervalo cae la ra´ız:
a) Si f(xl)f(xr) < 0, entonces la ra´ız se encuentra dentro del primer subintervalo.

24
Por lo tanto, resuélvanse xu = xr y continúese en el paso 4.
b) Si f(xl)f(xr) > 0, entonces la ra´ız se encuentra dentro del segundo subintervalo.
Por lo tanto, resuélvanse xl = xr y continúese en el paso 4.
c) Si f(xl)f(xr) = 0, entonces la ra´ız es igual a xr y se terminan los cálculos.
4. Calcúlese una nueva aproximación a la ra´ız mediante:
xr =
xl + xu
2
5. Dec´ıdase si la nueva aproximación es tan exacta como se desee. Si es as´ı, entonces
los cálculos terminan, de otra manera, regrésese al paso 3.
Ejemplo (bisección):
Usese el método de la bisección para determinar la ra´ız de f(x) = e−x − x.
xl = 0 y xu = 1
xr =
xl + xu
2
=
0 + 1
2
=
1
2
= 0.5
y la cuarta iteración es:
f(0.5)f(0.625) = −0.010 < 0
la ra´ız está entre 0.5 y 0.625:
xu = 0.625
xr =
0.5 + 0.625
2
= 0.5625 y | v |= 0.819 %
El método se puede repetir para obtener mejores estimaciones.

25
El error relativo aproximado a
| a |=|
xnueva
r − xanterior
r
xnueva
r
| ×100 %
xnueva
r : es la ra´ız de la iteración actual.
xanterior
r : es el valor de la ra´ız de la iteración anterior.
cuando | a | es menor que un valor previamente fijado, que define el criterio de paro, s,
el programa se detiene.
Programación del método de bisección (biseccion.for).
implicit real*8 (a-h,o-z)
F(X)=EXP(-X)-X
OPEN(5,FILE=’biseccion.dat’)
READ(5,*)XL,XU,ES,IM
1 FORMAT(3F10.0,I5)
AA=F(XL)*F(XU)
IF(AA.GE.0.0) GOTO 310
XR=(XL+XU)/2
DO 240 NI=2,IM
AA=F(XL)+f(XR)
IF (ABS(AA).EQ.0.01) GOTO 300
IF (AA.LT.0.0)XU=XR
IF (AA.GT.0.0)XL=XR

26
XN=(XL+XU)/2
IF (XN.EQ.0.0) GOTO 230
EA=ABS((XN-XR)/XN)*100
IF (EA.LT.ES) GOTO 280
230 XR=XN
240 CONTINUE
OPEN(6,FILE=’biseccion.out’)
WRITE(6,2)
2 FORMAT(’ ’,’NO SE ENCONTRO LA RAIZ’)
WRITE(6,3)XR,EA
3 FORMAT(’ ’,2F10.5)
GOTO 310
280 WRITE(6,4)XN,EA,NI
4 FORMAT(’ ’,2F10.5,I5)
GOTO 310
300 WRITE(6,5)XR
5 FORMAT(’ ’,’LA RAIZ EXACTA ES =’,F10.5)
310 STOP
END

27
3.3. Método de la regla falsa
Un defecto del método de bisección es que al dividir el intervalo xl a xu en mitades
iguales, no se toma en consideración la magnitud de f(xl) y de f(xu). Por ejemplo, si f(xl)
está mucho más cerca de cero que f(xu), es lógico que la ra´ız se encuentra más cerca de
f(xl) que de f(xu). Este método alternativo aprovecha la idea de unir los puntos con una
l´ınea recta. La intersección de esta l´ınea con el eje x proporciona una mejor estimación de
la ra´ız. El reemplazamiento de la curva por una l´ınea recta da una posición falsa de la
ra´ız, de aqu´ı el nombre de método de la regla falsa o en lat´ın, Regla falsi. Tamb´ıen se le
conoce como método de interpolación lineal.
Con el uso de triángulos semejantes, la intersección de la l´ınea recta y el eje x se puede
calcular de la siguiente manera:
f(xl)
xr − xl
=
f(xu)
xr − xu
Resolviéndose para xr
xr = xu −
f(xu)(xl − xu)
f(xl) − f(xu)
Está es la fórmula de la regla falsa.
Programación del método de la regla falsa (rfalsa.for).
F(X)=EXP(-X)-X
OPEN(5,FILE=’rfalsa.dat’)
1 FORMAT(3F10.0,I5)
AA=F(XL)*F(XU)

28
Figura 3.1: Esquema gráfico del método de la regla falsa. La fórmula se deriva de los
triángulos semejantes (áreas sombreadas).
XR=(XL+XU)/2
XR=XU-(F(XU)*(XL-XU))/(F(XL)-F(XU))
DO 240 NI=2,IM
AA=F(XL)+F(XR)
IF (AA.LT.0.0)XU=XR
IF (AA.GT.0.0)XL=XR
XN=(XL+XU)/2
XN=XU-(F(XU)*(XL-XU))/(F(XL)-F(XU))

29
230 XR=XN
240 CONTINUE
OPEN(6,FILE=’rfalsa.out’)
WRITE(6,2)
WRITE(6,3)XR,EA
3 FORMAT(’ ’,2F10.5)
GOTO 310
4 FORMAT(’ ’,2F10.5,I5)
GOTO 310
300 WRITE(6,5)XR
5 FORMAT(’ ’,’LA RAIZ EXACTA ES =’,F10.5)
310 STOP
END

30
Los métodos abiertos se basan en fórmulas que requieren de un solo valor de x o un
par de ellos pero no necesariamente encierran la ra´ız, algunas veces divergen o se alejan
de la ra´ız a medida que crece el número de iteraciones.
3.4. Iteración de punto fijo
Se emplea una fórmula que se puede desarrollar para la iteración de punto fijo o real
usando la ecuación f(x) = 0 de tal forma que x quede del lado requerido de la ecuación:
x = g(x)
Dada una aproximación inicial de la ra´ız, xi, se puede obtener una nueva aproximación
xi+1, expresada por la fórmula iterativa:
xi+1 = g(xi)
Se puede estimar el error:
| a |=|
xi+1 − xi
xi+1
| ×100 %
Ejemplo: Localizar la ra´ız de f(x) = e−x − x.
Programación del método de Iteración de punto fijo (iteracion.for).
implicit real*8(a-h,o-z)
F(X)=EXP(-X)-X
OPEN(5,FILE=’iteracion.dat’)
READ(5,*) XR,ES,IM
PRINT *, XR,ES,IM
1 FORMAT(2F10.0,I5)
DO 180 NI=1,IM
XN=F(XR)

31
IF(XN.EQ.0.0)GOTO 170
IF (EA.LE.ES) GOTO 210
170 XR=XN
180 CONTINUE
OPEN(6,FILE=’iteracion.out’)
WRITE(6,2)
NI=NI-1
210 WRITE(6,3) XN,EA,NI
3 FORMAT(’ ’,2F15.5,I5)
STOP
END

32
3.5. Método de Newton-Raphson
La fórmula de Newton-Raphson es una de las más ampliamente usadas. Si el valor
inicial de la ra´ız es xi, entonces se puede extender una tangente desde el punto [xi, f(xi)].
El punto donde esta tangente cruza al eje x representa una aproximación mejorada a la
ra´ız.
La primera derivada en x es equivalente a la pendiente:
f (xi) =
f(xi) − 0
xi − xi+1
ordenando se obtiene:
xi+1 = xi −
f(xi)
f (xi)
Conocida como la fórmula de Newton-Raphson.
3.5.1. Criterios de paro y estimación de errores
La derivación del método con la serie de Taylor proporciona un conocimiento teórico
relacionado con la velocidad de convergencia expresado como:
Ei+1 = 0(Ei)2. De esta forma, el error debe ser casi proporcional al cuadrado del error
anterior.
La serie de Taylor se puede representar como:
f(xi+1) = f(xi) + f (xi)(xi+1 − xi) +
f (ξ)
2
(xi+1 − xi)2
ξ [xi, xi+1]
truncado a la primera derivada

33
Figura 3.2: Esquema gráfico del método de Newton-Raphson.
f(xi+1) ≈ f(xi) + f (xi)(xi+1 − xi)
en x intersectado
f(xi+1) = 0, y
0 ≈ f(xi) + f (xi)(xi+1 − xi) (∗)
xi+1 = xi −
f(xi)
f (xi)
idéntica a la ecuación de Newton-Raphson.

34
xi+1 = xr en donde xr es el valor exacto de la ra´ız f(xr) = 0 y
f(xr) = f(xi) + f (xi)(xr − xi) +
f (ξ)
2
(xτ − xi)2
(∗∗)
restando (*) y (**), se obtiene:
0 = f (xi)(xr − xi+1) +
f (ξ)
2
(xr − xi)2
(∗ ∗ ∗)
El error es igual a la diferencia entre xi+1 y el valor real, xr como en:
Ev,i+1 = xr − xi+1
y la ecuación (***) se expresa como:
0 = f (xi)Ev.i+1 +
f (ξ)
2
E2
v,i
y si hay convergencia, xi y ξ se aproximan a la ra´ız xr y podemos expresar:
Ev,i+1 ≈ −
f (xr)
2f (xr)
E2
v,i
Programación del método Newton-Raphson (nraphson.for).
F(X)=EXP(-X)-X
FD(X)=-EXP(-X)-1
OPEN(5,FILE=’nraphson.dat’)
READ(5,*) XR,ES,IM
1 FORMAT(2F10.0,I5)
DO 180 NI=1,IM
XN=XR-F(XR)/FD(XR)

35
170 XR=XN
180 CONTINUE
OPEN(6,FILE=’nraphson.out’)
WRITE(6,2)
NI=NI-1
3 FORMAT(’ ’,2F12.5,I5)
STOP
END

36
3.6. Método de la secante
La derivada se puede aproximar mediante una diferencia dividida, como
f (xi) ≈
f(xi−1) − f(xi)
xi−1 − xi
Se puede sustituir en la ecuación de Newton-Raphson obteniendo la ecuación iterativa:
xi+1 = xi −
f(xi)
f (xi)
xi+1 = xi −
f(xi)
f(xi−1)−f(xi)
xi−1−xi
= xi −
f(xi)(xi−1 − xi)
f(xi−1) − f(xi)
Fórmula para el método de la secante:
xi+1 = xi −
f(xi)(xi−1 − xi)
f(xi−1) − f(xi)
No requiere que f(x) cambie de signo entre estos valores, a este método no se le clasifica
como aquellos que usan intervalos.
Ejemplo: Úsese el método de la secante para calcular la ra´ız de f(x) = e−x −x. Empiécese
con los valores iniciales de x−1 = 0 y x0 = 1.0.
Programación del método de la secante (secante.for).
F(X)=EXP(-X)-X
OPEN(5,FILE=’secante.dat’)
READ(5,*) XR,XI,IM
1 FORMAT(2F10.0,I5)
DO 180 NI=1,IM
XN=XR-(F(XR)*(XI-XR))/(F(XI)-F(XR))

37
Figura 3.3: Esquema gráfico del método de la secante.
170 XR=XN
180 CONTINUE
OPEN(6,FILE=’secante.out’)
WRITE(6,2)
NI=NI-1
210 WRITE(6,3) XN,F(XR),F(XI)
3 FORMAT(’ ’,3F12.5)
STOP
END

38
3.7. Ra´ıces Múltiples
Una ra´ız multiple corresponde a un punto donde una función es tangencial al eje x.
Por ejemplo, dos ra´ıces repetidas resultan de:
f(x) = (x − 3)(x − 1)(x − 1) (multiplicando términos)
f(x) = x3
− 5x2
+ 7x − 3 (esta función tiene una ra´ız doble)
La ra´ıces mútiples ofrecen ciertas dificultades a los métodos numéricos expuestos.
1. El hecho de que la función no cambia de signo en una ra´ız de multiplicidad par
impide el uso de los métodos confiables que usan intervalos.
2. Otro posible problema se relaciona con el hecho de que no solo f(x) se aproxima a
cero. Estos problemas afectan los métodos de Newton-Raphson y al de la secante,
los que contienen derivadas (o aproximaciones a ella) en el denominador de sus
respectivas fórmulas.
3. Se puede demostrar que el método de Newton-Raphson y el de la secante convergen
en forma lineal, en vez de manera cuadrática, cuando hay ra´ıces múltiples. Se ha
propuesto,
xi+1 = xi − m
f(xi)
f (xi)
en donde m es la multiplicidad de la ra´ız (m = 2 para una ra´ız doble, m = 3 para
una ra´ız triple, etc...)
Otra alternativa, sugerida por Ralston y Rabinowitz (1978), es proponer una función
u(x) =
f(x)
f (x)

39
Sustituyendo esta función en la ecuación de Newton-Raphson:
xi+1 = xi −
u(xi)
u (xi)
(∗)
derivando u (x):
u(x) = f(x)f (x)−1
u (x) = f (x)f (x)−1
− f(x)f (x)−2
f (x) =
f (x)
f (x)
−
f(x)f (x)
[f (x)]2
u (x) =
f (x)f (x) − f(x)f (x)
[f (x)]2
sustituyendo en (*) obtenemos:
xi+1 = xi −
f(xi)
f (xi)
f (xi)f (xi)−f(xi)f (xi)
[f (xi)]2
Método de Newton-Raphson modificado,
xi+1 = xi −
f(xi)f (xi)
[f (xi)]2 − f(xi)f (xi)

Cap´ıtulo 4
Aproximación e interpolación
4.1. M´ınimos cuadrados
Se ajustará una l´ınea recta a un conjunto de datos observados (x1, y1), ..., (xn, yn). La
expresión matemática de una l´ınea recta es,
y = a0 + a1x + E
a0: intersección con el eje de las abscisas.
a1: es la pendiente.
E: es el error o residuo entre el modelo y las observaciones.
E = y − a0 − a1x
y: valor real.
(−a0 − a1x): valor aproximado.
41

42
4.1.1. Cr´ıterios para un mejor ajuste
a) Minimizar la suma de los errores residuales,
(inadecuado)
n
i=1
Ei =
n
i=1
(yi − a0 − a1xi)
b) Minimizar la suma de los valores absolutos de las diferencias,
(inadecuado)
n
i=1
| Ei |=
n
i=1
| yi − a0 − a1xi |
c) Minimizar la suma de los cuadrados de los residuos, Sr, de la siguiente manera:
Sr =
n
i=1
E2
i =
n
i=1
(yi − a0 − a1xi)2
Ajuste de una recta utilizando m´ınimos cuadrados
Para determinar las constantes a0 y a1 se deriva la ecuaci´on Sr con respecto a sus coeﬁ-
cientes:
∂Sr
∂ao
= −2 (yi − a0 − a1xi)

43
∂Sr
∂a1
= −2 [(yi − a0 − a1xi)xi]
Igualando estas derivadas a cero, se genera un m´ınimo Sr:
0 = yi − a0 − a1xi
0 = yixi − a0xi − a1x2
i
a0 = na0
Ecuaciones normales:
na0 + a1xi = yi
a0xi + x2
i a1 = xiyi
Resolviendo para a0 y a1:
a1 =
n xiyi − xi yi
n x2
i − ( xi)2
a0 = ¯y − a1¯x
¯x: medida de x ( xi
n )
¯y: medida de y ( yi
n )
Una desviación estándar de la l´ınea de regresión se puede determinar como
Sy
x
=
Sr
n − 2
en donde Sy
x
se llama error estándar de la aproximación.

44
y
x: indica que el error es para un valor predicho de y correspondiente a un valor particular
de x.
Figura 4.1: El residuo en la regresi´on lineal representa el cuadrado de la distancia vertical
entre un punto y la l´ınea recta.
Programa de m´ınimos cuadrados ajustando una l´ınea recta (mcuadrados.for).
DATA SX/0./, SY/0./, X2/0./, XY/0./
OPEN(5,FILE=”mcuadrados.dat”)
READ(5,*) N
1 FORMAT(I5)
DO 170 I=1,N
READ(5,*) X,Y
2 FORMAT(2F10.0)

45
SX=SX+X
SY=SY+Y
X2=X2+X*X
XY=XY+X*Y
170 CONTINUE
XM=SX/N
YM=SY/N
A1=(N*XY-SX*SY)/(N*X2-SX*SX)
A0=YM-A1*XM
OPEN(6,FILE=”mcuadrados.out”)
WRITE(6,3) A0, A1
3 FORMAT(’ ’,2F10.7)
STOP
END

46
4.2. Interpolación
f(x) = a0 + a1x + a2x2 + ... + anxn
(polinomio de n-ésimo orden para (n + 1) puntos)
4.2.1. Interpolación lineal
La forma más simple de interpolación es la de conectar dos puntos con una l´ınea recta,
esto es la interpolación lineal.
f1(x) − f(x0)
x − x0
=
f(x1) − f(x0)
x1 − x0
Figura 4.2: Las áreas sombreadas muestran triángulos semejantes.

47
Reordenando:
f1(x) = f(x0) +
f(x1) − f(x0)
x1 − x0
(x − x0) −→ Interpolación lineal
4.2.2. Polinomios de interpolación de Newton
Ajuste de un polinomio de n-ésimo orden a los (n+1) puntos. El polinomio de n-ésimo
orden es:
fn(x) = b0 + b1(x − x0) + ... + bn(x − x0)(x − x1)...(x − xn−1)
se requiere encontrar los b0, ..., bn; (n+1) puntos se requieren para obtener un polinomio de
n-ésimo orden: x0, x1, ..., xn. Usando estos datos, con las ecuaciones siguientes se evalúan
los coeficientes:
b0 = f(x0)
b1 = f[x1, x0]
b2 = f[x2, x1, x0]
.
.
.
bn = f[xn, xn−1, ..., x1, x0]
las evaluaciones entre corchetes son diferencias divididas finitas. La primera diferencia di-
vidida finita se represena como:
f[xi, xj] =
f(xi) − f(xj)
xi − xj
La segunda diferencia dividida finita es,

48
f[xi, xj, xk] =
f[xi, xj] − f[xj, xk]
xi − xk
La n-ésima diferencia dividida finita es,
f[xn, xn−1, ..., x1, x0] =
f[xn, xn−1, ..., x1] − f[xn−1, xn−2, ..., x0]
xn − x0
El polinomio de interpolación es,
fn(x) = f(x0) + (x − x0)f[x1, x0] + (x − x0)(x − x1)f[x2, x1, x0]
+... + (x − x0)(x − x1)...(x − xn−1)f[xn, xn−1, ..., x0]
(Polinomio de interpolación con diferencias divididas de Newton)
Ejemplo: Úsese la siguiente información para evaluar f(x) = ln(x) en x = 2.
x f(x)=ln(x)
0 0
2 1960.0
4 3200.5
6 3985.6
8 4482.5
10 4796.9
12 4995.9
∞ 5339.0
Aproximacióndelerror :Rn = F[xn+1, xn, xn−1, ..., x0](x − x0)(x − x1)...(x − xn)

49
4.2.3. Polinomios de interpolación de Lagrange
Este polinomio es una reformulación del polinomio de Newton que evita los cálculos
de las diferencias divididas. Esto es,
fn(x) =
n
i=0
Li(x)f(xi)
en donde
Li(x) =
n
j=0,j=i
x − xi
xi − xj
en donde Π denota el producto de. Por ejemplo, la versión lineal (n = 1) es:
f1(x) =
x − x1
x0 − x1
f(x0) +
x − x0
x1 − x0
f(x1)
y la versión de segundo orden es:
f(x2) =
(x − x1)(x − x2)
(x0 − x1)(x0 − x2)
f(x0) +
(x − x0)(x − x2)
(x1 − x0)(x1 − x2)
f(x1) +
(x − x0)(x − x1)
(x2 − x0)(x2 − x1)
f(x2)
Error aproximado de Lagrange es:
Rn = f[x, xn, xn−1, ..., x0]
n
i=0
(x − xi)

50
4.3. Fórmulas de integración de Newton-Cotes
Las fórmulas de integración de Newton-Cotes son los esquemas más comunes dentro de
la integración numérica. Se basan en la estrategia de reemplazar una función complicada
o un conjunto de datos tabulares con una función aproximada que sea más fácil de integrar:
I =
b
a
f(x)dx ≈
b
a
fn(x)dx (∗)
en donde fn(x) es un polinomio de la forma:
fn(x) = a0 + a1x + ... + an−1xn−1
+ anxn
Figura 4.3: Diferencia entre fórmulas de integración.
a) cerradas: los puntos al principio y al final de los l´ımites de integración.
b) abiertas: tienen los l´ımites de integración extendidos más allá del rango de los datos.

51
4.4. Regla del trapecio
La regla del trapecio o regla trapezoidal es la primera de las fórmulas cerradas de
Newton-Cotes. Corresponde al caso en donde el polinomio de la ecuación (∗) es de primer
orden.
I =
b
a
f(x)dx ≈
b
a
f1(x)dx
f1(x) = f(a) +
f(b) − f(a)
b − a
(x − a)
El área bajo la l´ınea recta es una aproximación de la integral de f(x) entre los l´ımites a
y b:
I ≈
b
a
[f(a) +
f(b) − f(a)
b − a
(x − a)]dx
El resultado de la integración es,
I ≈ (b − a)
f(a) + f(b)
2
al que se le llama regla trapezoidal.
Error de truncamiento en la regla trapezoidal:
Et = −
1
12
f (ξ)(b − a)3
Programa de la regla trapezoidal (trapezoidal.for).
DIMENSION F(10), Y(20)
REAL IN
COMMON N,A,B
READ (5,1) N
1 FORMAT(I5)

52
Figura 4.4: Esquema gr´aﬁco de la regla trapezoidal.
NI=N-1
READ(5,2) A,B
2 FORMAT(2F10.0)
H=(B-A)/NI
DO 170 I=1,N
READ(5,3) Y(I)
3 FORMAT(F10.0)
170 CONTINUE
CALL TRAP(Y,IN)
WRITE(6,4)IN
4 FORMAT(’ ’,F10.3)
STOP

53
END
SUBROUTINE TRAP(Y,IN)
DIMENSION Y(20)
REAL IN
COMMON N,A,B
NI=N-1
SU=Y(1)
DO 1030 I=2,NI
SU=SU+2*Y(1)
1030 CONTINUE
HT=(SU+Y(N))/(2*NI)
IN=(B-A)/HT
RETURN
END

54
4.5. Regla de Simpson
Si podemos conectar más de 3 o 4 puntos (una parábola o polinomio de 3er orden). A
éstas fórmulas se les conoce como reglas de Simpson.
4.5.1. Regla de Simpson de 1
3
Esta fórmula resulta de sustituir un polinomio de 2do orden en la ecuación (∗):
I ≈
b
a
f(x)dx ≈
b
a
f2(x)dx
Si a = x0 y b = x2; f2(x) polinomio de Lagrange de segundo orden, la integral es:
I ≈
x2
x0
[
(x − x1)(x − x2)
(x0 − x1)(x0 − x2)
f(x0)+
(x − x0)(x − x2)
(x1 − x0)(x1 − x2)
f(x1)+
(x − x0)(x − x1)
(x2 − x0)(x2 − x1)
f(x2)]dx
Integrando,
I ≈
h
3
[f(x0) + 4f(x1) + f(x2)]
Regla de Simpson de 1
3
donde h = (b−a)
2 .
Ev = −
1
90
h5
f4
(ξ) Error : de : truncamiento.
Programa de la regla de simpson.

Cap´ıtulo 5
Solución numérica de ecuaciones
diferenciales ordinarias: problema
a valores iniciales
Solución de ecuaciones diferenciales ordinarias de la forma,
dy
dx = f(x, y) (problema del paracaidista)
Valor actual = valor anterior + pendiente x tamaño del paso
o en términos matemáticos:
yi+1 = yi + φh (∗∗)
5.1. La serie de Taylor
La serie de Taylor da una formulación para predecir el valor de la función en xi+1 en
términos de la función y de sus derivadas en una vecindad al punto xi.
Se construirá término a término, el primer término de la serie es:
55

56
Figura 5.1: Esquema gráfico del método de un paso.
f(xi+1) ≈ f(xi) (aproximación de orden cero) (5.1)
La ecuación (5.1) da una buena aproximación si la función que se va a aproximar es una
constante. La aproximación a primer orden se obtiene sumando otro término al anterior
para obtener:
f(xi+1) ≈ f(xi) + f (xi)(xi+1 − xi) (5.2)
f (xi) es la pendiente multiplicada por la distancia entre xi+1 y xi.
Agregando a la serie un término de 2do orden para obtener algo sobre la curvatura de la
función si es que la tiene:

57
f(xi+1) ≈ f(xi) + f (xi)(xi+1 − xi) +
f (xi)
2!
(xi+1 − xi)2
(5.3)
agregando más términos para desarrollar la expansión completa de la serie de Taylor:
f(xi+1) ≈ f(xi)+f (xi)(xi+1−xi)+
f (xi)
2!
(xi+1−xi)2
+
f (xi)
3!
(xi+1−xi)3
+...+
fn(xi)
n!
(xi+1−xi)n
+Rn
(5.4)
se incluye un término residual para considerar todos los términos desde (n + 1) hasta el
infinito:
Rn =
f(n+1)(ξ)
(n + 1)!
(xi+1 − xi)n+1
(5.5)
donde el sub´ındice n indica que el residuo es de la aproximación a n-ésimo orden y ξ es
un valor cualquiera de x que se encuentra en xi y xi+1.
Rn da una estimación exacta del error.
h = xi+1 − xi
y la ecuación (5.4) toma la forma:
f(xi+1) = f(xi) + f (xi)h +
f (xi)
2!
h2
+
f (xi)
3!
h3
+ ... +
f(n)(xi)
n!
hn
+ Rn
en donde
Rn =
fn+1(ξ)
(n + 1)!
hn+1
Ejemplo:

58
Usense términos en la serie de Taylor de cero a cuarto orden para aproximar la función:
f(x) = −0.1x4
− 0.15x3
− 0.5x2
− 0.25x + 1.2
desde el punto xi = 0 y con h = 1. Esto es, predecir el valor de la función en xi+1 = 1.
5.2. Método de Euler
La primera derivada proporciona una aproximación directa a la pendiente en xi:
0 = f(xi, yi)
donde f(xi, yi) es la ecuación diferencial evaluada en xi y yi. Esta aproximación se sustituye
en la ecuación (∗∗):
yi+1 = yi + f(xi, yi)h
Método de Euler (o método de Euler-Cauchy o de pendiente puntual).
Rn =
y(n+1)(ξ)
(n + 1)!
hn+1
”término residual”
Ejemplo: Util´ıcese el método de Euler para integrar numéricamente la ecuación
f(x, y) = −2x3
+ 12x2
− 20x + 8.5
de x = 0 hasta x = 4 con un tamaño de paso de 0.5. La condición inicial en x = 0 es
y = 1. La solución exacta esta dada por la ecuación:
y = −0.5x4
+ 4x3
− 10x2
+ 8.5x + 1
Solución: Implementando el método de Euler:

59
Figura 5.2: Método de Euler (o método de Euler-Cauchy o de pendiente puntual).
y(0.5) = y(0) + f(0, 1)0.5
y(0) = 1
y la aproximación a la pendiente en x = 0 es:
f(0, 1) = −2(0)3
+ 12(0)2
− 20(0) + 8.5 = 8.5
Por lo tanto:
y(0.5) = 1.0 + 8.5(0.5) = 5.25

60
La soluci´on verdadera en x = 0.5 es:
y(0.5) = −0.5(0.5)4
+ 4(0.5)3
− 10(0.5)2
+ 8.5(0.5) + 1 = 3.21875
El error es:
Ev= verdadero - aproximado= 3.21875 − 5.25 = −2.03125
o, como error relativo porcentual, v = −63.1 %
En el segundo paso:
y(1.0) = y(0.5) + f(0.5, 5.25)0.5
= 5.25 + [−2(0.5)3 + 12(0.5)2 − 20(0.5) + 8.5]0.5 = 5.875
Programa del m´etodo de Euler (meuler.for).
IMPLICIT REAL*8(A-H,O-Z)
F(X,Y)=4*EXP(0.8*X)-0.5*Y
OPEN(5,FILE=’meuler.dat’)
READ(5,*) X0,X1
1 FORMAT(2F10.0)
READ(5,*) Y0
2 FORMAT(F10.0)
READ(5,*) H
READ(5,*) PI
NP=(X1-X0)/PI
NC=PI/H
X=X0

61
Figura 5.3: Soluci´on del m´etodo de Euler.
Y=Y0
OPEN(6,FILE=’meuler.out’)
WRITE(6,3) X,Y
3 FORMAT(’ ’,2F20.3)
DO 270 I=1,NP
DO 250 J=1,NC
CALL EUL(SL)
Y=Y+SL*H
X=X+H
250 CONTINUE
WRITE(6,3) X,Y
270 CONTINUE

62
STOP
END
SUBROUTINE EUL(SL)
COMMON X,Y
F(X,Y)=4*EXP(0.8*X)-0.5*Y
SL=F(X,Y)
RETURN
END

63
5.3. Método de Runge-Kutta
Los métodos de Runge-Kutta tienen la exactitud del esquema de la serie de Taylor sin
necesitar del cálculo de derivadas superiores. Existen muchas variaciones pero todas ellas
se pueden ajustar a la forma general de la ecuación,
yi+1 = yi + φ(xi, yi, h)h
donde
φ(xi, yi, h): función de incremento y puede interpretarse como el promedio de la pendiente
sobre el intervalo.
φ se puede escribir como,
φ = a1k1 + a2k2 + ... + ankn
a s: son constantes.
k s: se pueden escribir como,
k1 = f(xi, yi)
k2 = f(xi + p1h, yi + q11k1h)
k3 = f(xi + p2h, yi + q21k1h + q22k2h)

64
.
.
.
kn = f(xi + pn−1h, yi + qn−1,1k1h + qn−1,2k2h + ... + qn−1,n−1kn−1h)
Para n = 2 se tiene el método de Runge-kutta de segundo orden.
5.3.1. Método de Runge-Kutta de segundo orden
La versión de segundo orden es (n = 2),
yi+1 = yi + φ(xi, yi, h)h
φ = a1k1 + a2k2
k1 = f(xi, yi)
k2 = f(xi + p1h, yi + q11k1h)
Recordando que la serie de Taylor de segundo orden para yi y f(xi, yi) se escribe como,
yi+1 = yi + f(xi, yi)h + f (xi, yi)
h2
2
f (xi, yi) =
∂f
∂x
+
∂f
∂y
dy
dx
yi+1 = yi + f(xi, yi)h + (
∂f
∂x
+
∂f
∂y
dy
dx
)
h2
2
yi+1 = yi + [a1k1 + a2k2]h

65
expandiendo
k2 = f(xi + pih, yi + q11k1h)
en la serie de Taylor a segundo orden se obtiene,
f(xi + p1h, yi + q11k1h) = f(xi, yi) + p1h
∂f
∂x
+ q11k1h
∂f
∂y
+ 0(h2
)
sustituyendo este resultado y el valor de k1 = f(xi, yi) en
yi+1 = yi + [a1k1 + a2k2]h se tiene,
yi+1 = yi + a1f(xi, yi)h + a2h[f(xi, yi) + p1h
∂f
∂x
+ q11k1h
∂f
∂y
]
yi+1 = yi + [a1f(xi, yi) + a2f(xi, yi)]h + [a2p1
∂f
∂x
+ a2q11f(xi, yi)
∂f
∂y
]h2
+ 0(h3
)
Comparando los términos con la serie de Taylor,
a1 + a2 = 1
a2p1 =
1
2
a2q11 =
1
2
Por lo que tenemos 4 incóngnitas y 3 ecuaciones, se tiene que tener el valor de una incógni-
ta para determinar el valor de las otras tres.
Supóngase que conocemos a2:
a1 = 1 − a2

66
p1 =
1
2a2
q11 =
1
2a2
5.4. Eliminaci´on Gaussiana
Programa de eliminaci´on Gaussiana (egaussiana.for).
c Eliminacion de Gauss
dimension a(5,6), b(5,6), y(5), x(5)
y(1) = 0.468
y(2) = 0.695
y(3) = 0.398
y(4) = 0.913
y(5) = 0.483
a(1,1) = 0.546
a(1,2) = 0.447
a(1,3) = 0.242
a(1,4) = 0.194
a(1,5) = 0.795
a(2,1) = 0.380
a(2,2) = 0.276
a(2,3) = 0.581
a(2,4) = 0.108
a(2,5) = 0.416

67
a(3,1) = 0.721
a(3,2) = 0.022
a(3,3) = 0.853
a(3,4) = 0.068
a(3,5) = 0.312
a(4,1) = 0.151
a(4,2) = 0.759
a(4,3) = 0.186
a(4,4) = 0.597
a(4,5) = 0.757
a(5,1) = 0.192
a(5,2) = 0.509
a(5,3) = 0.041
a(5,4) = 0.411
a(5,5) = 0.632
a(1,6) = y(1)
a(2,6) = y(2)
a(3,6) = y(3)
a(4,6) = y(4)
a(5,6) = y(5)
open(55,ﬁle=’egauss.out’,status=’unknown’)
call gauss(a, 5, 6, 5)
call mdisplay(a, 5, 6)
stop
end

68
subroutine gauss(a,n,m,ldim)
dimension t(1000),a(ldim,1)
do 10 i=1,n-1
con=1./a(i,i)
do 5 k=1,m+1-i
5 t(k)=-con*a(i,k+i-1)
call elim (a(i,i),t,n-i,m+1-i,ldim,con)
10 continue
return
end
subroutine elim(a,t,nn,m,ldim,con1)
dimension a(ldim,1),t(1)
do 4 i=2,nn+1
con=a(i,1)
do 3 j=1,m
3 a(i,j)=a(i,j)+con*t(j)
!a(i,1)=con1*con
4 continue
return
end
subroutine mdisplay(a, lrow, lcol)
dimension a(lrow, lcol)
doi = 1, lrow
print10, (a(i, j), j = 1, lcol)
write(55, 10)(a(i, j), j = 1, lcol)

69
10 format(6F10.3)
enddo
print *,
return
end

Cap´ıtulo 6
Ejercicios resueltos de los
diferentes métodos usados en el
curso de Métodos Numéricos
71

Un problema potencial en los métodos de búsqueda por incremento es el de escoger
la longitud del incremento. Si la longitud es muy pequeña, la búsqueda llega a consumir
demasiado tiempo. Por otro lado, si la longitud es demasiado grande, existe la posibilidad
de que raíces muy cercanas entre sí pasen inadvertidas (figura 5.16). El problema se
complica con la posible existencia de raíces múltiples. Un remedio parcial para estos
casos consiste en calcular la primera derivada de la función f′(x) al inicio y al final de
cada intervalo. Cuando la derivada cambia de signo, puede existir un máximo o un
mínimo en ese intervalo, lo que sugiere una búsqueda más minuciosa para detectar la
posibilidad de una raíz.
Aunque estas modificaciones o el empleo de un incremento muy fino ayudan a
resolver el problema, se debe aclarar que métodos tales como el de la búsqueda incre-
mental no siempre resultan sencillos. Será prudente complementar dichas técnicas au-
tomáticas con cualquier otra información que dé idea de la localización de las raíces.
Esta información se puede encontrar graficando la función y entendiendo el problema
físico de donde proviene la ecuación.
PROBLEMAS
x6x0 x1 x2 x3 x4 x5
f(x)
x
FIGURA 5.16
Casos donde las raíces
pueden pasar inadvertidas
debido a que la longitud
del incremento en el método
de búsqueda incremental
es demasiado grande. Ob-
serve que la última raíz a la
derecha es múltiple y podría
dejar de considerarse inde-
pendientemente de la longi-
tud del incremento.
5.1 Determine las raíces reales de f(x) = –0.5x2
+ 2.5x + 4.5:
a) Gráficamente
b) Empleando la fórmula cuadrática
c) Usando el método de bisección con tres iteraciones para
determinar la raíz más grande. Emplee como valores inicia-
les xl = 5 y xu = 10. Calcule el error estimado ea y el error
verdadero et para cada iteración.
5.2 Determine las raíces reales de f(x) = 5x3
– 5x2
+ 6x – 2:
a) Gráficamente
b) Utilizando el método de bisección para localizar la raíz más
pequeña. Use los valores iniciales xl = 0 y xu = 1 iterando
PROBLEMAS 139
hasta que el error estimado ea se encuentre debajo de es =
10%.
5.3 Determine las raíces reales de f(x) = −25 1 82x − 90x2
+ 44x3
– 8x4
+ 0.7x5
:
a) Gráficamente
b) Usando el método de bisección para localizar la raíz más
grande con es = 10%. Utilice como valores iniciales xl = 0.5
y xu = 1.0.
c) Realice el mismo cálculo que en b), pero con el método de
la falsa posición y es = 0.2%.
5.4 Calcule las raíces reales de f(x) = –12 – 21x + 18x2
– 2.75x3
:
Chapra-05.indd 139Chapra-05.indd 139 6/12/06 13:49:246/12/06 13:49:24

a) Gráficamente
b) Empleando el método de la falsa posición con un valor es
correspondiente a tres cifras significativas para determinar
la raíz más pequeña.
5.5 Localice la primera raíz no trivial de sen x = x2
, donde x está
en radianes. Use una técnica gráfica y bisección con un interva-
lo inicial de 0.5 a 1. Haga el cálculo hasta que ea sea menor que
es = 2%. Realice también una prueba de error sustituyendo la
respuesta final en la ecuación original.
5.6 Determine la raíz real de ln x2
= 0.7:
a) Gráficamente
b) Empleando tres iteraciones en el método de bisección con
los valores iniciales xl = 0.5 y xu = 2.
c) Usando tres iteraciones del método de la falsa posición, con
los mismos valores iniciales de b).
5.7 Determine la raíz real de f(x) = (0.8 – 0.3x)/x:
a) Analíticamente
b) Gráficamente
c) Empleando tres iteraciones en el método de la falsa posición,
con valores iniciales de 1 a 3. Calcule el error aproximado
ea y el error verdadero et en cada iteración.
5.8 Calcule la raíz cuadrada positiva de 18 usando el método de
la falsa posición con es = 0.5%. Emplee como valores iniciales
xl = 4 y xu = 5.
5.9 Encuentre la raíz positiva más pequeña de la función (x está
en radianes) x2
| cos ͱහx | = 5 usando el método de la falsa posición.
Para localizar el intervalo en donde se encuentra la raíz, grafique
primero esta función para valores de x entre 0 y 5. Realice el
cálculo hasta que ea sea menor que es = 1%. Compruebe su res-
puesta final sustituyéndola en la función original.
5.10 Encuentre la raíz positiva de f(x) = x4
– 8x3
– 35x2
+ 450x
–1001, utilizando el método de la falsa posición. Tome como
valores iniciales a xl = 4.5 y xu = 6, y ejecute cinco iteraciones.
Calcule los errores tanto aproximado como verdadero, con base
en el hecho de que la raíz es 5.60979. Emplee una gráfica para
explicar sus resultados y hacer el cálculo dentro de un es = 1.0%.
5.11 Determine la raíz real de x3.5
= 80:
a) En forma analítica.
b) Con el método de la falsa posición dentro de es = 2.5%.
Haga elecciones iniciales de 2.0 a 5.0.
5.12 Dada
f(x) = –2x6
– 1.5x4
+ 10x + 2
Use el método de la bisección para determinar el máximo de
esta función. Haga elecciones iniciales de xl = 0 y xu = 1, y rea-
lice iteraciones hasta que el error relativo aproximado sea menor
que 5%.
5.13 La velocidad v de un paracaidista que cae está dada por
v
gm
c
e c m t
= −( )−
1 ( / )
donde g = 9.8 m/s2
. Para un paracaidista con coeficiente de
arrastre de c = 15 kg/s, calcule la masa m de modo que la velo-
cidad sea v = 35 m/s en t = 9s. Utilice el método de la falsa po-
sición para determinar m a un nivel de es = 0.1%.
5.14 Se carga una viga de la manera que se aprecia en la figura
P5.14. Emplee el método de bisección para resolver la posición
dentro de la viga donde no hay momento.
140 MÉTODOS CERRADOS
)
3’ 3’ 2’4’
100 lb/ft 100 lb
5.15 Por un canal trapezoidal fluye agua a una tasa de Q = 20
m3
/s. La profundidad crítica y para dicho canal satisface la
ecuación
0 1
2
3
= −
Q
gA
B
c
donde g = 9.81m/s2
, Ac = área de la sección transversal (m2
), y
B = ancho del canal en la superficie (m). Para este caso, el ancho
y el área de la sección transversal se relacionan con la profundi-
dad y por medio de
B = 3 + y y A y
y
c = +3
2
2
Resuelva para la profundidad crítica con el uso de los métodos a)
gráfico, b) bisección, y c) falsa posición. En los incisos b) y c),
haga elecciones iniciales de xl = 0.5 y xu = 2.5, y ejecute iteracio-
nes hasta que el error aproximado caiga por debajo del 1% o el
número de interaciones supere a 10. Analice sus resultados.
5.16 Suponga el lector que está diseñando un tanque esférico
(véase la figura P5.16) para almacenar agua para un poblado
pequeño en un país en desarrollo. El volumen de líquido que
puede contener se calcula con
V h
R h
=
−
π 2 3
3
[ ]
Figura P5.14

donde V = volumen [m3
], h = profundidad del agua en el tanque
[m], y R = radio del tanque [m].
a) Si los valores iniciales son de 0 y 40ºC, con el método de
la bisección, ¿cuántas iteraciones se requerirían para deter-
minar la temperatura con un error absoluto de 0.05ºC.
b) Desarrolle y pruebe un programa para el método de bisec-
ción a fin de determinar T como función de una concen-
tración dada de oxígeno, con un error absoluto preespecifi-
cado como en el inciso a). Dadas elecciones iniciales de 0 y
40ºC, pruebe su programa para un error absoluto de 0.05ºC
para los casos siguientes: osf = 8, 10 y 12 mg/L. Compruebe
sus resultados.
5.18 Integre el algoritmo que se bosquejó en la figura 5.10, en
forma de subprograma completo para el método de bisección
amigable para el usuario. Entre otras cosas:
a) Construya enunciados de documentación en el subprograma
a fin de identificar lo que se pretende que realice cada sec-
ción.
b) Etiquete la entrada y la salida.
c) Agregue una comprobación de la respuesta, en la que se
sustituya la estimación de la raíz en la función original para
verificar si el resultado final se acerca a cero.
d) Pruebe el subprograma por medio de repetir los cálculos de
los ejemplos 5.3 y 5.4.
5.19 Desarrolle un subprograma para el método de bisección
que minimice las evaluaciones de la función, con base en el seu-
docódigo que se presenta en la figura 5.11. Determine el núme-
ro de evaluaciones de la función (n) para el total de iteraciones.
Pruebe el programa con la repetición del ejemplo 5.6.
5.20 Desarrolle un programa amigable para el usuario para el
método de la falsa posición. La estructura del programa debe ser
similar al algoritmo de la bisección que se bosquejó en la figura
5.10. Pruebe el programa con la repetición del ejemplo 5.5.
5.21 Desarrolle un subprograma para el método de la falsa po-
sición que minimice las evaluaciones de la función en forma
similar a la figura 5.11. Determine el número de evaluaciones de
la función (n) para el total de iteraciones. Pruebe el programa por
medio de la duplicación del ejemplo 5.6.
5.22 Desarrolle un subprograma amigable para el usuario para
el método de la falsa posición modificado, con base en la figura
5.15. Pruebe el programa con la determinación de la raíz de la
función del ejemplo 5.6. Ejecute corridas hasta que el error re-
lativo porcentual verdadero esté por debajo de 0.01%. Elabore
una gráfica en papel semilogarítmico de los errores relativo,
porcentual, aproximado y verdadero, versus el número de itera-
ciones. Interprete los resultados.
PROBLEMAS 141
hV
R
Figura P5.16
Si R = 3m, ¿a qué profundidad debe llenarse el tanque de modo
que contenga 30 m3
? Haga tres iteraciones con el método de la
falsa posición a fin de obtener la respuesta. Determine el error
relativo aproximado después de cada iteración.
5.17 La concentración de saturación de oxígeno disuelto en agua
dulce se calcula con la ecuación (APHA, 1992)
ln o
T
sf
a
= − +
×
−
×
139 34411
1 575701 10 6 642308 15
.
. . 00
1 243800 10 8 621949 10
7
2
10
3
11
4
T
T T
a
a a
+
×
−
×. .
donde osf = concentración de saturación de oxígeno disuelto en
agua dulce a 1 atm (mg/L) y Ta = temperatura absoluta (K).
Recuerde el lector que Ta = T + 273.15, donde T = temperatura
(ºC). De acuerdo con esta ecuación, la saturación disminuye con
el incremento de la temperatura. Para aguas naturales comunes
en climas templados, la ecuación se usa para determinar que la
concentración de oxígeno varía de 14.621 mg/L a 0ºC a 6.413
mg/L a 40ºC. Dado un valor de concentración de oxígeno, puede
emplearse esta fórmula y el método de bisección para resolver
para la termperatura en ºC.

verdadera. Mientras que para el caso de una sola ecuación los métodos gráficos son
útiles para obtener un buen valor inicial, ningún procedimiento tan simple está disponi-
ble para el caso de múltiples ecuaciones. Aunque existen algunos métodos avanzados
para obtener una primer aproximación aceptable, los valores iniciales a menudo deben
obtenerse mediante prueba y error, con el conocimiento del sistema físico que se está
modelando.
El método de Newton-Raphson para dos ecuaciones puede generalizarse para re-
solver n ecuaciones simultáneas. Debido a que el camino más eficiente para esto impli-
ca el álgebra matricial y la solución de ecuaciones lineales simultáneas, se pospondrá su
estudio para la parte tres.
6.1 Utilice la iteración simple de punto fijo para localizar la raíz
de
f(x) = 2 sen x x( )–
Haga una elección inicial de x0 = 0.5 e itere hasta que ea ≤ 0.001%.
Compruebe que el proceso converge en forma lineal según se
describió en el recuadro 6.1.
6.2 Determine la raíz real más grande de
f(x) = 2x3
– 11.7x2
+ 17.7x – 5
a) En forma gráfica.
b) Con el método de iteración simple de punto fijo (tres itera-
ciones, x0 = 3). Nota: asegúrese de haber desarrollado una
solución que converja a la raíz.
c) Con el método de Newton-Raphson (tres iteraciones, x0 = 3,
d = 0.001).
d) Con el método de la secante (tres iteraciones x–1 = 3,
x0 = 4).
e) Con el método de la secante modificado (tres iteraciones,
x0 = 3, d = 0.01). Calcule el porcentaje aproximado de
errores relativos para sus soluciones.
6.3 Utilicelosmétodosdea)iteracióndepuntofijo,yb)Newton-
Raphson, para determinar una raíz de f(x) = –x2
+ 1.8x + 2.5 con
el uso de x0 = 5. Haga el cálculo hasta que ea sea menor que
es = 0.05%.Asimismo, realice una comprobación del error de su
respuesta final.
6.4 Determine las raíces reales de f(x) = –1 + 5.5x – 4x2
+ 0.5x3
:
a) en forma gráfica, y b) con el método de Newton-Raphson
dentro de es = 0.01%.
6.5 Emplee el método de Newton-Raphson para determinar una
raíz real de f(x) = –1 + 5.5x – 4x2
+ 0.5x3
con el uso de eleccio-
nes iniciales de a) 4.52, y b) 4.54. Estudie y use métodos gráfi-
cos y analíticos para explicar cualquier peculiaridad en sus
resultados.
6.6 Determine la raíz real más pequeña de f(x) = –12 – 21x +
18x2
– 2.4x3
: a) en forma gráfica, y b) con el empleo del método
de la secante para un valor de es que corresponda a tres cifras
significativas.
6.7 Localice la primera raíz positiva de
f(x) = sen x + cos(1 + x2
) – 1
donde x está en radianes. Para localizar la raíz, use cuatro itera-
ciones del método de la secante con valores iniciales de a) xi–1
= 1.0 y xi = 3.0; y b) xi – 1 = 1.5 y xi = 2.5, y c) xi–1 = 1.5 y
xi = 2.25.
6.8 Determine la raíz real de x3.5
= 80, con el método de la se-
cante modificado dentro de es = 0.1%, con el uso de una elección
inicial de x0 = 3.5 y d = 0.01.
6.9 Determine la raíz real más grande de f(x) = 0.95x3
– 5.9x2
+
10.9x – 6:
b) Con el uso del método de Newton-Raphson (tres iteraciones,
xi = 3.5).
c) Con el método de la secante (tres iteraciones, xi–1 = 2.5 y
xi = 3.5).
d) Por medio del método de la secante modificado (tres itera-
ciones, xi = 3.5, d = 0.01).
6.10 Determine la menor raíz positiva de f(x) = 8 sen(x)e–x
– 1:
b) Con el uso del método de Newton-Raphson (tres iteraciones,
xi = 0.3).
PROBLEMAS
PROBLEMAS 167

168 MÉTODOS ABIERTOS
c) Con el método de la secante (tres iteraciones, xi–1 = 0.5 y
xi = 0.3).
d) Por medio del método de la secante modiﬁcado (cinco
iteraciones xi = 0.3, d = 0.01).
6.11 La función x3
+ 2x2
– 4x + 8 tiene una raíz doble en x = 2.
Emplee a) el método estándar de Newton-Raphson [ec. (6.6)],
b) el método de Newton-Raphson modificado [ec. (6.9a)], y c)
el método de Newton-Raphson modificado [ec. (6.13)] para re-
solver para la raíz en x = 2. Compare y analice la tasa de conver-
gencia con un valor inicial x0 = 1.2.
6.12 Determine las raíces de las siguientes ecuaciones no linea-
les simultáneas, por medio de los métodos de a) iteración de
punto fijo, y b) Newton-Raphson:
y = – x2
+ x + 0.75
y + 5xy = x2
Utilice valores iniciales de x = y = 1.2, y analice los resultados.
6.13 Encuentre las raíces de las ecuaciones simultáneas que
siguen:
(x – 4)2
+ (y – 4)2
= 5
x2
+ y2
= 16
Use un enfoque gráfico para obtener los valores iniciales. En-
cuentre estimaciones refinadas con el método de Newton-Raph-
son para dos ecuaciones, que se describe en la sección 6.5.2.
6.14 Repita el problema 6.13, excepto que
y = x2
+ 1
y = 2 cos x
6.15 El balance de masa de un contaminante en un lago bien
mezclado se expresa así:
V
dc
dt
W Qc kV c= – –
Dados los valores de parámetros V = 1 × 106
m3
, Q = l × 105
m3
/año y W = l × 106
g/año, y k = 0.25 m0.5
/año, use el método
de la secante modificado para resolver para la concentración de
estado estable. Emplee un valor inicial c = 4 g/m3
y d = 0.5.
Realice tres iteraciones y determine el error relativo porcentual
después de la tercera iteración.
6.16 Para el problema 6.15, la raíz puede localizarse con iteración
de punto fijo como
c
W Qc
kV
=




–
2
o bien como
c
W kV c
Q
=
–
De las que solo una convergerá para valores iniciales de 2 < c < 6.
Seleccione la que sea correcta y demuestre por qué siempre lo será.
método de Newton-Raphson, con base en la figura 6.4 y la
sección 6.2.3. Pruébelo por medio de repetir el cálculo del
ejemplo 6.3.
método de la secante, con base en la figura 6.4 y la sección 6.3.2.
Pruébelo con la repetición de los cálculos del ejemplo 6.6.
6.19 Haga un programa amigable para el usuario para el método
de la secante modificado, con base en la figura 6.4 y la sección
6.3.2. Pruébelo con la repetición del cálculo del ejemplo 6.8.
método de Newton-Raphson para dos ecuaciones, con base en
la sección 6.5. Pruébelo con la solución del ejemplo 6.10.
6.21 Use el programa que desarrolló en el problema 6.20 para
resolver los problemas 6.12 y 6.13, con una tolerancia de
es = 0.01%.
6.22 El antiguo método de dividir y promediar, para obtener una
apoximación de la raíz cuadrada de cualquier número positivo,
a, se formula del modo siguiente:
x
x a x
=
+ /
2
Demuestre que éste es equivalente al algoritmo de Newton-Ra-
phson.
6.23 a)Aplique el método de Newton-Raphson a la función f(x)
= tanh (x2
– 9) para evaluar su raíz real conocida en x = 3. Use
un valor inicial de x0 = 3.2 y haga un mínimo de cuatro iteracio-
nes. b) ¿Converge el método a su raíz real? Bosqueja la gráfica
con los resultados para cada iteración que obtenga.
6.24 El polinomio f(x) = 0.0074x4
– 0.284x3
+ 3.355x2
– 12.183x
+ 5 tiene una raíz real entre 15 y 20. Aplique el método de
Newton-Raphson a dicha función con valor inicial x0 = 16.15.
Explique sus resultados.
6.25 Emplee el método de la secante con la función del círculo
(x + 1)2
+ (y – 2)2
= 16, a fin de encontrar una raíz real positiva.
Haga que el valor inicial sea xi = 3 y xi–1 = 0.5. Aproxímese a la
solución del primer y cuarto cuadrantes. Cuando resuelva para

f(x) en el cuarto cuadrante, asegúrese de tomar el valor negativo
de la raíz cuadrada. ¿Por qué diverge la solución?
6.26 Suponga el lector que está diseñando un tanque esférico
(véase la figura P6.26) de almacenamiento de agua para un po-
blado pequeño de un país en desarrollo. El volumen del líquido
que puede contener se calcula con
V h
R h
=
−
π 2 3
3
[ ]
donde V = volumen [pie3
], h = profundidad del agua en el tanque
[pies], y R = radio del tanque [pies].
Si R = 3m, ¿a qué profundidad debe llenarse el tanque de modo
que contenga 30 m3
? Haga tres iteraciones del método de Newton-
Raphson para determinar la respuesta. Encuentre el error relati-
vo aproximado después de cada iteración. Observe que el valor
inicial de R convergerá siempre.
hV
R
Figura P6.26
PROBLEMAS 169

c version fortran
A= -0.5
B=2.5
C=4.5
R=(B*B)-(4*A*C)
if(R .le. 0) then
write(*,*)"elrecultado es real"
else
D=(sqrt(R))
35 X1=(-B+D)/(2*A)
X2=(-B-D)/(2*A)
40 print*,X1
print*,X2
end if
stop
end
problema5.1b

f(x)=-0.5*x**2+2.5*x+4.5
open(5,file='programa1c.dat')
read(5,1)XL,XU,ES,IM
1 format(3f10.0,I5)
AA=f(XL)*f(XU)
if(AA.GE.0.0) GOTO 310
XR=(XL+XU)/2
DO 240 NI=2,IM
AA=f(XL)+f(XR)
if(AA.EQ.0.0) GOTO 300
if(AA.LT.0.0)XU=XR
if(AA.Gt.0.0) XL=XR
XN=(XL+XU)/2
if(XN.EQ.0.0) GOTO 230
if(EA.LT.ES) GOTO 280
230 XR=XN
240 continue
open(6,FILE='programa1c.out')
write(6,2)
2 format(' ','no se encontro la raiz')
write(6,3)XR,EA
3 format(' ',2f10.3)
GOTO 310
280 write(6,4)XN,EA,NI
4 format(' ',2f10.3,I5)
GOTO 310
300 write(6,5)XR
5 format(' ','la raiz exacta es=',f10.3)
310 stop
end
problema5.1c

f(x)=5*x**3-5*x**2+6*x-2
open(5,file='programa2b.dat')
read(5,*)XL,XU,ES,IM
1 format(3f10.0,I5)
AA=f(XL)*f(XU)
XR=(XL+XU)/2
DO 240 NI=2,IM
AA=f(XL)+f(XR)
if(AA.LT.0.0)XU=XR
if(AA.Gt.0.0) XL=XR
XN=(XL+XU)/2
230 XR=XN
240 continue
open(6,FILE='programa2b.out')
write(6,2)
write(6,3)XR,EA
3 format(' ',2f10.3)
GOTO 310
4 format(' ',2f10.3,I5)
GOTO 310
300 write(6,5)XR
310 stop
end
problema5.2b

f(x)=-25+82*x-90*x**2+44*x**3
1 format(3f10.0,I5)
AA=f(XL)*f(XU)
XR=(XL+XU)/2
DO 240 NI=2,IM
AA=f(XL)+f(XR)
if(AA.LT.0.0)XU=XR
if(AA.Gt.0.0) XL=XR
XN=(XL+XU)/2
230 XR=XN
240 continue
write(6,2)
write(6,3)XR,EA
3 format(' ',2f10.3)
GOTO 310
4 format(' ',2f10.3,I5)
GOTO 310
300 write(6,5)XR
310 stop
end
problema5.3b

F(X)=-25+82*x-90*x**2+44*x**3
OPEN(5,FILE='programa3c.dat')
1 FORMAT(3F10.0,I5)
AA=F(XL)*F(XU)
c XR=(XL+XU)/2
DO 240 NI=2,IM
AA=F(XL)+F(XR)
IF (AA.LT.0.0)XU=XR
IF (AA.GT.0.0)XL=XR
C XN=(XL+XU)/2
230 XR=XN
240 CONTINUE
OPEN(6,FILE='programa3c.out')
WRITE(6,2)
2 FORMAT(' ','NO SE ENCONTRO LA RAIZ')
WRITE(6,3)XR,EA
3 FORMAT(' ',2F10.5)
GOTO 310
4 FORMAT(' ',2F10.5,I5)
GOTO 310
300 WRITE(6,5)XR
5 FORMAT(' ','LA RAIZ EXACTA ES =',F10.5)
310 STOP
END
problema5.3c

F(X)=-12-21*x+18*x**2-2.75*x**3
OPEN(5,FILE='programa4b.dat')
1 FORMAT(3F10.0,I5)
AA=F(XL)*F(XU)
c XR=(XL+XU)/2
DO 240 NI=2,IM
AA=F(XL)+F(XR)
IF (AA.LT.0.0)XU=XR
IF (AA.GT.0.0)XL=XR
C XN=(XL+XU)/2
230 XR=XN
240 CONTINUE
OPEN(6,FILE='programa4b.out')
WRITE(6,2)
WRITE(6,3)XR,EA
3 FORMAT(' ',2F10.5)
GOTO 310
4 FORMAT(' ',2F10.5,I5)
GOTO 310
300 WRITE(6,5)XR
310 STOP
END
problema5.4b

f(x)=sin(x)-x**2
open(5,file='programa5.dat')
1 format(3f10.0,I5)
AA=f(XL)*f(XU)
XR=(XL+XU)/2
DO 240 NI=2,IM
AA=f(XL)+f(XR)
if(AA.LT.0.0)XU=XR
if(AA.Gt.0.0) XL=XR
XN=(XL+XU)/2
230 XR=XN
240 continue
open(6,FILE='programa5.out')
write(6,2)
write(6,3)XR,EA
3 format(' ',2f10.3)
GOTO 310
4 format(' ',2f10.3,I5)
GOTO 310
300 write(6,5)XR
310 stop
end
problema5.5

f(x)=log(x**2) -0.7
1 format(3f10.0,I5)
AA=f(XL)*f(XU)
XR=(XL+XU)/2
DO 240 NI=2,IM
AA=f(XL)+f(XR)
if(AA.LT.0.0)XU=XR
if(AA.Gt.0.0) XL=XR
XN=(XL+XU)/2
230 XR=XN
240 continue
write(6,2)
write(6,3)XR,EA
3 format(' ',2f10.3)
GOTO 310
4 format(' ',2f10.3,I5)
GOTO 310
300 write(6,5)XR
310 stop
end
problema5.6b

F(X)=log(x**2) -0.7
1 FORMAT(3F10.0,I5)
AA=F(XL)*F(XU)
c XR=(XL+XU)/2
DO 240 NI=2,IM
AA=F(XL)+F(XR)
IF (AA.LT.0.0)XU=XR
IF (AA.GT.0.0)XL=XR
C XN=(XL+XU)/2
230 XR=XN
240 CONTINUE
WRITE(6,2)
WRITE(6,3)XR,EA
3 FORMAT(' ',2F10.5)
GOTO 310
4 FORMAT(' ',2F10.5,I5)
GOTO 310
300 WRITE(6,5)XR
310 STOP
END
problema5.6c

F(X)=(0.8-0.3*x)/x
1 FORMAT(3F10.0,I5)
AA=F(XL)*F(XU)
c XR=(XL+XU)/2
DO 240 NI=2,IM
AA=F(XL)+F(XR)
IF (AA.LT.0.0)XU=XR
IF (AA.GT.0.0)XL=XR
C XN=(XL+XU)/2
230 XR=XN
240 CONTINUE
WRITE(6,2)
WRITE(6,3)XR,EA
3 FORMAT(' ',2F10.5)
GOTO 310
4 FORMAT(' ',2F10.5,I5)
GOTO 310
300 WRITE(6,5)XR
310 STOP
END
problema5.7b

F(X)=X**4-8*X**3-35*X**2+450*X-1001
OPEN(5,FILE='programa8.dat')
1 FORMAT(3F10.0,I5)
AA=F(XL)*F(XU)
c XR=(XL+XU)/2
DO 240 NI=2,IM
AA=F(XL)+F(XR)
IF (AA.LT.0.0)XU=XR
IF (AA.GT.0.0)XL=XR
C XN=(XL+XU)/2
230 XR=XN
240 CONTINUE
OPEN(6,FILE='programa8.out')
WRITE(6,2)
WRITE(6,3)XR,EA
3 FORMAT(' ',2F10.5)
GOTO 310
4 FORMAT(' ',2F10.5,I5)
GOTO 310
300 WRITE(6,5)XR
310 STOP
END
problema5.10

F(X)=X**3.5 -80
1 FORMAT(3F10.0,I5)
AA=F(XL)*F(XU)
c XR=(XL+XU)/2
DO 240 NI=2,IM
AA=F(XL)+F(XR)
IF (AA.LT.0.0)XU=XR
IF (AA.GT.0.0)XL=XR
C XN=(XL+XU)/2
230 XR=XN
240 CONTINUE
WRITE(6,2)
WRITE(6,3)XR,EA
3 FORMAT(' ',2F10.5)
GOTO 310
4 FORMAT(' ',2F10.5,I5)
GOTO 310
300 WRITE(6,5)XR
310 STOP
END
problema5.11b

f(x)=-12*x**5-6*x**3+10
open(5,file='programa10.dat')
1 format(3f10.0,I5)
AA=f(XL)*f(XU)
XR=(XL+XU)/2
DO 240 NI=2,IM
AA=f(XL)+f(XR)
if(AA.LT.0.0)XU=XR
if(AA.Gt.0.0) XL=XR
XN=(XL+XU)/2
230 XR=XN
240 continue
open(6,FILE='programa10.out')
write(6,2)
write(6,3)XR,EA
3 format(' ',2f10.3)
GOTO 310
4 format(' ',2f10.3,I5)
GOTO 310
300 write(6,5)XR
310 stop
end

F(X)=2*sin(sqrt(x)) -x
READ(5,*) XR,ES,IM
PRINT *, XR,ES,IM
1 FORMAT(2F10.0,I5)
DO 180 NI=1,IM
XN=F(XR)
170 XR=XN
180 CONTINUE
WRITE(6,2)
NI=NI-1
3 FORMAT(' ',2F15.5,I5)
STOP
END
problema6.1

F(X)=2*x**3-11.7*x**2+17.7*x-5
READ(5,*) XR,ES,IM
PRINT *, XR,ES,IM
1 FORMAT(2F10.0,I5)
DO 180 NI=1,IM
XN=F(XR)
170 XR=XN
180 CONTINUE
WRITE(6,2)
NI=NI-1
3 FORMAT(' ',2F15.5,I5)
STOP
END
problema6.2b

F(X)=x**3+2*x**2-4*x+8
FD(X)=3*x**2+4*x-4
FD2(X)=6*X+4
READ(5,*) XR,ES,IM
1 FORMAT(2F10.0,I5)
DO 180 NI=1,IM
XN=XR-(F(XR)*FD(XR))/(FD(XR)*FD(XR)-F(XR)*FD2(XR))
170 XR=XN
180 CONTINUE
WRITE(6,2)
NI=NI-1
3 FORMAT(' ',2F12.5,I5)
STOP
END

F(X)=2*x**3-11.7*x**2+17.7*x-5
OPEN(5,FILE='programa12d.dat')
READ(5,*) XR,XI,IM
1 FORMAT(2F10.0,I5)
DO 180 NI=1,IM
170 XR=XN
180 CONTINUE
OPEN(6,FILE='programa12d.out')
WRITE(6,2)
NI=NI-1
3 FORMAT(' ',3F12.5)
STOP
END
problema6.2d

F(X)=2*x**3-11.7*x**2+17.7*x-5
OPEN(5,FILE='programa12e.dat')
READ(5,*) A,XR,XI,IM
1 FORMAT(2F10.0,I5)
DO 180 NI=1,IM
XN=XR-(A*XR*F(XR)/(F(XR+A*XR)-F(XR)))
170 XR=XN
180 CONTINUE
OPEN(6,FILE='programa12e.out')
WRITE(6,2)
NI=NI-1
3 FORMAT(' ',3F12.5)
STOP
END
problema6.2e

F(X)=-x**2+1.8*x+2.5
FD(X)=-2*x+1.8
READ(5,*) XR,ES,IM
1 FORMAT(2F10.0,I5)
DO 180 NI=1,IM
XN=XR-F(XR)/FD(XR)
170 XR=XN
180 CONTINUE
WRITE(6,2)
NI=NI-1
3 FORMAT(' ',2F12.5,I5)
STOP
END
problema6.3

F(X)=-1+5.5*x-4*x**2+0.5*x**3
FD(X)=5.5-8*x+3*0.5*x**2
READ(5,*) XR,ES,IM
1 FORMAT(2F10.0,I5)
DO 180 NI=1,IM
XN=XR-F(XR)/FD(XR)
170 XR=XN
180 CONTINUE
WRITE(6,2)
NI=NI-1
3 FORMAT(' ',2F12.5,I5)
STOP
END
problema6.4b

F(X)=-1+5.5*x-4*x**2+0.5*x**3
FD(X)=5.5-8*x+3*0.5*x**2
OPEN(5,FILE='programa15a.dat')
READ(5,*) XR,ES,IM
1 FORMAT(2F10.0,I5)
DO 180 NI=1,IM
XN=XR-F(XR)/FD(XR)
170 XR=XN
180 CONTINUE
OPEN(6,FILE='programa15a.out')
WRITE(6,2)
NI=NI-1
3 FORMAT(' ',2F12.5,I5)
STOP
END
problema6.5a

F(X)=-1+5.5*x-4*x**2+0.5*x**3
FD(X)=5.5-8*x+3*0.5*x**2
READ(5,*) XR,ES,IM
1 FORMAT(2F10.0,I5)
DO 180 NI=1,IM
XN=XR-F(XR)/FD(XR)
170 XR=XN
180 CONTINUE
WRITE(6,2)
NI=NI-1
3 FORMAT(' ',2F12.5,I5)
STOP
END
problema6.5b

F(X)=-12-21*x+18*x**2-2.4*x**3
READ(5,*) XR,XI,IM
1 FORMAT(2F10.0,I5)
DO 180 NI=1,IM
170 XR=XN
180 CONTINUE
WRITE(6,2)
NI=NI-1
3 FORMAT(' ',3F12.5)
STOP
END
problema6.6b

F(X)=sin(x)+cos(1+x**2)-1
READ(5,*) XR,XI,IM
1 FORMAT(2F10.0,I5)
DO 180 NI=1,IM
170 XR=XN
180 CONTINUE
WRITE(6,2)
NI=NI-1
3 FORMAT(' ',3F12.5)
STOP
END
problema6.7a

READ(5,*) XR,XI,IM
1 FORMAT(2F10.0,I5)
DO 180 NI=1,IM
170 XR=XN
180 CONTINUE
WRITE(6,2)
NI=NI-1
3 FORMAT(' ',3F12.5)
STOP
END
problema6.7b

READ(5,*) XR,XI,IM
1 FORMAT(2F10.0,I5)
DO 180 NI=1,IM
170 XR=XN
180 CONTINUE
WRITE(6,2)
NI=NI-1
3 FORMAT(' ',3F12.5)
STOP
END
problema6.7c

F(X)=x**(7/2) -80
1 FORMAT(2F10.0,I5)
DO 180 NI=1,IM
170 XR=XN
180 CONTINUE
WRITE(6,2)
NI=NI-1
3 FORMAT(' ',3F12.5)
STOP
END
problema6.8

F(X)=0.95*x**3-5.9*x**2+10.9*x-6
FD(X)=3*0.95*x**2-5.9*2*x+10.9
READ(5,*) XR,ES,IM
1 FORMAT(2F10.0,I5)
DO 180 NI=1,IM
XN=XR-F(XR)/FD(XR)
170 XR=XN
180 CONTINUE
WRITE(6,2)
NI=NI-1
3 FORMAT(' ',2F12.5,I5)
STOP
END
problema6.9b

F(X)=0.95*x**3-5.9*x**2+10.9*x-6
READ(5,*) XR,XI,IM
1 FORMAT(2F10.0,I5)
DO 180 NI=1,IM
170 XR=XN
180 CONTINUE
WRITE(6,2)
NI=NI-1
3 FORMAT(' ',3F12.5)
STOP
END
problema6.9c

F(X)=0.95*x**3-5.9*x**2+10.9*x-6
1 FORMAT(2F10.0,I5)
DO 180 NI=1,IM
170 XR=XN
180 CONTINUE
WRITE(6,2)
NI=NI-1
3 FORMAT(' ',3F12.5)
STOP
END
problema6.9d

F(X)=8*sin(x)*exp(-x)-1
FD(X)=8*(-1*sin(x)*exp(-x)+cos(x)*exp(-x))
READ(5,*) XR,ES,IM
1 FORMAT(2F10.0,I5)
DO 180 NI=1,IM
XN=XR-F(XR)/FD(XR)
170 XR=XN
180 CONTINUE
WRITE(6,2)
NI=NI-1
3 FORMAT(' ',2F12.5,I5)
STOP
END
problema6.10b

READ(5,*) XR,XI,IM
1 FORMAT(2F10.0,I5)
DO 180 NI=1,IM
170 XR=XN
180 CONTINUE
WRITE(6,2)
NI=NI-1
3 FORMAT(' ',3F12.5)
STOP
END
problema6.10c

1 FORMAT(2F10.0,I5)
DO 180 NI=1,IM
170 XR=XN
180 CONTINUE
WRITE(6,2)
NI=NI-1
3 FORMAT(' ',3F12.5)
STOP
END
problema6.10d

F(X)=x**3+2*x**2-4*x+8
FD(X)=3*x**2+4*x-4
READ(5,*) XR,ES,IM
1 FORMAT(2F10.0,I5)
DO 180 NI=1,IM
XN=XR-F(XR)/FD(XR)
170 XR=XN
180 CONTINUE
WRITE(6,2)
NI=NI-1
3 FORMAT(' ',2F12.5,I5)
STOP
END
problema6.11a

F(X)=x**3+2*x**2-4*x+8
FD(X)=3*x**2+4*x-4
FD2(X)=6*X+4
READ(5,*) XR,ES,IM
1 FORMAT(2F10.0,I5)
DO 180 NI=1,IM
XN=XR-(F(XR)*FD(XR))/(FD(XR)*FD(XR)-F(XR)*FD2(XR))
170 XR=XN
180 CONTINUE
WRITE(6,2)
NI=NI-1
3 FORMAT(' ',2F12.5,I5)
STOP
END
problema6.11b

F(X)=-1*x**2+x+0.75
OPEN(5,FILE='programa22a1.dat')
READ(5,*) XR,ES,IM
PRINT *, XR,ES,IM
1 FORMAT(2F10.0,I5)
DO 180 NI=1,IM
XN=F(XR)
170 XR=XN
180 CONTINUE
OPEN(6,FILE='programa22a1.out')
WRITE(6,2)
NI=NI-1
3 FORMAT(' ',2F15.5,I5)
STOP
END
problema6.12a

F(X)=(x**2)/(5*x+1)
READ(5,*) XR,ES,IM
PRINT *, XR,ES,IM
1 FORMAT(2F10.0,I5)
DO 180 NI=1,IM
XN=F(XR)
170 XR=XN
180 CONTINUE
OPEN(6,FILE='programa22a2.out')
WRITE(6,2)
NI=NI-1
3 FORMAT(' ',2F15.5,I5)
STOP
END
problema6.12b

F(X)=-1*x**2+x+0.75
FD(X)=-2*x+1
READ(5,*) XR,ES,IM
1 FORMAT(2F10.0,I5)
DO 180 NI=1,IM
XN=XR-F(XR)/FD(XR)
170 XR=XN
180 CONTINUE
OPEN(6,FILE='programa22b1.out')
WRITE(6,2)
NI=NI-1
3 FORMAT(' ',2F12.5,I5)
STOP
END
problema6.12a

F(X)=(x**2)/(5*x+1)
FD(X)=(5*x**2+2*x)/(25*x**2+10*x+1)
READ(5,*) XR,ES,IM
1 FORMAT(2F10.0,I5)
DO 180 NI=1,IM
XN=XR-F(XR)/FD(XR)
170 XR=XN
180 CONTINUE
OPEN(6,FILE='programa22b2.out')
WRITE(6,2)
NI=NI-1
3 FORMAT(' ',2F12.5,I5)
STOP
END
problema6.12b

F(X)=sqrt(5-(x-4)**2)+4
FD(X)=-(x-4)/sqrt(5-(x-4)**2)
READ(5,*) XR,ES,IM
1 FORMAT(2F10.0,I5)
DO 180 NI=1,IM
XN=XR-F(XR)/FD(XR)
170 XR=XN
180 CONTINUE
WRITE(6,2)
NI=NI-1
3 FORMAT(' ',2F12.5,I5)
STOP
END
problema6.13a

F(X)=sqrt(16-x**2)
FD(X)=-1*x/sqrt(16-x**2)
READ(5,*) XR,ES,IM
1 FORMAT(2F10.0,I5)
DO 180 NI=1,IM
XN=XR-F(XR)/FD(XR)
170 XR=XN
180 CONTINUE
WRITE(6,2)
NI=NI-1
3 FORMAT(' ',2F12.5,I5)
STOP
END
problema6.13b

F(X)=tanh(x**2-9)
FD(X)=-1*tanh(x**2-9)/x
READ(5,*) XR,ES,IM
1 FORMAT(2F10.0,I5)
DO 180 NI=1,IM
XN=XR-F(XR)/FD(XR)
170 XR=XN
180 CONTINUE
WRITE(6,2)
NI=NI-1
3 FORMAT(' ',2F12.5,I5)
STOP
END
problema6.23a

F(X)=0.0074*x**4-0.284*x**3+3.355*x**2-12.183*x+5
FD(X)=4*0.0074*x**3-3*0.284*x**2+2*3.355*x-12.183
READ(5,*) XR,ES,IM
1 FORMAT(2F10.0,I5)
DO 180 NI=1,IM
XN=XR-F(XR)/FD(XR)
170 XR=XN
180 CONTINUE
WRITE(6,2)
NI=NI-1
3 FORMAT(' ',2F12.5,I5)
STOP
END
problema6.24

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