Texto Matematicas prepa2010 FCyT - UMSS

UNIVERSIDAD MAYOR DE SAN SIMON
FACULTAD DE CIENCIAS Y TECNOLOGÍA
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS
CUADERNILLO DE EJERCICIOS
1. ARITMÉTICA
2. ÁLGEBRA
3. GEOMETRÍA
4. TRIGONOMETRÍA
Cochabamba - Bolivia

Cuadernillo de Ejercicios de
Aritmética
Álgebra
Geometría
Trigonometría
Elaborado Por:
Ing. M.Sc. Hernán Flores García
Lic. Gualberto Cupe
Auxiliar Univ: Arcenio Canaviri Calle
Gestión I/2009
Septiembre 2009

UMSS - FCyT - Departamento de Matemáticas
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0.1. PRESENTACIÓN.-
0.1. PRESENTACIÓN.-
Las matemáticas se constituyen actualmente en el lenguaje simbólico de
las ciencias y la tecnología que permiten expresar de manera apropiada tanto
a los objetos de estudio como también la relaciones existentes entre dichos
objetos. Las materias correspondientes a las áreas de las matemáticas, física
y química; materias fundamentales de la mayoría de las carreras de formación
profesional de la Facultad de Ciencias y Tecnología; requieren un apoyo y
dominio de conocimientos previos sintetizados en las asignaturas de Aritmética,
älgebra, Geometría y Trigonometría; materias que se cursan en el ciclo medio
de estudios pero que en general requieren una consolidación firme previo al
ingreso a la Universidad.
Uno de los caminos adecuados para el aprendizaje de las matemáticas con-
siste en la realización de ejercicios expresados tanto en forma geométrica (
visual ) como también de manera algebraica ( simbólica literal ). La forma
geométrica y la forma algebraica son dos maneras de ver un mismo problema
y por lo tanto son visiones complementarias que se refuerzan mutuamente en
el proceso de aprendizaje.
La resolución de ejercicios y problemas matemáticos requiere para su buena
comprensión inicialmente de la construcción ( visual ) de figuras y diagramas
seguido de un empleo de números para cuantificar la mayoría de los elementos
explicitados como datos o información de entrada. Posteriormente corresponde
traducir, a partir de la anterior información, todas relaciones existentes entre
los datos de entrada juntamente con los datos desconocidos denominados in-
cógnitas. Todo este proceso culmina en la resolución de ecuaciones o determi-
nación de los valores desconocidos; así como también en el análisis del problema
a partir de los valores determinados en la resolución de las ecuaciones.
El presente documento conformado por ejercicios correspondientes a la Ar-
itmética, älgebra, Geometría y Trigonometría constituyen una referencia para
la prueba de ingreso a la Universidad Mayor de San Simón, para las carreras
de formación profesional relativas a la Facultad de Ciencias y Tecnología.
Como primer documento elaborado con el propósito de informar acerca del
nivel de las pruebas de ingreso a la Universidad, se irá corrigiendo, mejorando y
complementando a través de su empleo en los cursos propedeúticos organizados
para los postulantes a la Universidad.
Para concluir es necesario reiterar a los lectores estudiosos que harán uso de
este documento para apropiarse; y a la vez poner a prueba, los conocimientos
básicos de las matemáticas; que todo el esfuerzo entregado al aprendizaje de
las matemáticas se constituyen en una semilla que se desarrollará rápidamente
y con amplias perspectivas durante los estudios universitarios y es la garantía
- 3

de un exitoso aprovechamiento tanto en materias de matemáticas , como en
las de física y química.
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Índice general
0.1. PRESENTACIÓN.- . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1. ARITMÉTICA 11
1.1. TEORÍA - EJEMPLOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.1.1. EJERCICIOS RESUELTOS: . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.2. OPERACIONES FUNDAMENTALES . . . . . . . . . . . . . . 26
1.2.1. Operaciones con números enteros. Propiedades . . . . . . 26
1.2.2. Problemas con números enteros . . . . . . . . . . . . . . 26
1.2.3. EJERCICIOS PROPUESTOS . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.3. DIVISIBILIDAD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
1.3.1. Teoremas básicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
1.3.2. Criterios de divisibilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
1.3.3. Números primos.Teoremas básicos . . . . . . . . . . . . . 33
1.3.4. Descomposición en factores primos . . . . . . . . . . . . 33
1.3.5. Máximo común divisor y mínimo común divisor . . . . . 33
1.4. NÚMEROS FRACCIONARIOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
1.4.1. Operaciones con números fraccionarios . . . . . . . . . . 38
1.4.2. Simpliﬁcación de fracciones . . . . . . . . . . . . . . . . 38
1.4.3. Problemas con números fraccionarios . . . . . . . . . . . 38
1.4.4. Numeros decimales. Operaciones con números decimales.
Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
1.4.5. Sistema métrico decimal. Transformadas de unidades . . 38
1.5. RAZONES Y PROPORCIONES . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
1.5.1. Razón de dos números. Proporciones. Propiedades . . . . 47
1.5.2. Media Proporcional. Problemas sobre proporciones . . . 47
1.5.3. Regla de tres simple y compuesta. Problemas . . . . . . 47
1.5.4. Tanto por ciento. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . 47
5

ÍNDICE GENERAL
2. ÁLGEBRA
TEORÍA-EJEMPLOS 57
2.1. introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
2.2. Algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
2.2.1. Teoría de Exponentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
2.2.2. Propiedades de los exponentes . . . . . . . . . . . . . . . 60
2.2.3. Leyes de los Signos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
2.2.4. Ejercicios Ilustrativos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
2.2.5. Ecuaciones Exponenciales . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
2.2.6. Solución de una ecuación Exponencial . . . . . . . . . . 66
2.2.7. Ejemplos Ilustrativos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
2.3. Expresiones Algebraicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
2.3.1. Grado de una expresión Algebraica . . . . . . . . . . . . 69
2.3.2. Polinomio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
2.3.3. Clasiﬁcación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
2.4. Operaciones con Expresiones Algebraicas . . . . . . . . . . . . . 75
2.4.1. Suma y Resta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
2.4.2. Multiplicación de Expresiones Algebraicas . . . . . . . . 76
2.4.3. Multiplicación de Monomios . . . . . . . . . . . . . . . . 77
2.4.4. Productos Notables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
2.5. Logaritmos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
2.5.1. Propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
2.5.2. Ejercicios Ilustrativos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
3. PROBLEMAS DE ÁLGEBRA 85
3.1. EXPRESIONES ALGEBRAICAS . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
3.1.1. Operaciones con expresiones algebraicas . . . . . . . . . 85
3.1.2. Productos y cocientes notables . . . . . . . . . . . . . . . 85
3.1.3. Teoremas del residuo. Divisibilidad . . . . . . . . . . . . 85
3.1.4. Ecuaciones de primer grado con una incógnita.Problemas 85
3.1.5. Descomposición factorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
3.2. FRACCIONES ALGEBRAICAS . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
3.2.1. Fracción algebraica. Simpliﬁcación de fracciones . . . . . 95
3.2.2. Operaciones con fracciones algebraicas . . . . . . . . . . 95
3.2.3. Ecuaciones fraccionarias de primer grado con dos incóg-
nitas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
3.2.4. Problemas con ecuaciones fraccionarias . . . . . . . . . . 95
3.3. SISTEMAS DE ECUACIONES . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
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ÍNDICE GENERAL
3.3.1. Sistema de ecuaciones de primer grado con 2 incógnitas . 99
3.3.2. Métodos de resolución. Problemas . . . . . . . . . . . . . 99
3.3.3. Sistema de ecuaciones de primer grado con 3 incógnitas . 99
3.3.4. Métodos de resolución. Problemas . . . . . . . . . . . . . 99
3.4. TEORÍA COMBINATORIA BÁSICA . . . . . . . . . . . . . . 103
3.4.1. Permutaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
3.4.2. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
3.4.3. Binomio de Newton. Triángulo de Pascal . . . . . . . . . 103
3.5. RADICACIÓN Y EXPONENTES . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
3.5.1. Raíz. Expresiones radicales . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
3.5.2. Teoría de exponentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
3.5.3. Operaciones de expresiones algebraicas . . . . . . . . . . 106
3.5.4. Operaciones con radicales . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
3.6. ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO . . . . . . . . . . . . . 108
3.6.1. La ecuación de segundo grado . . . . . . . . . . . . . . . 108
3.6.2. Propiedades de raíces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
3.6.3. Resolución. Solución gráﬁca . . . . . . . . . . . . . . . . 108
3.6.4. Problemas con ecuaciones de segundo grado . . . . . . . 108
3.6.5. Teoría de las ecuaciones de segundo grado . . . . . . . . 108
3.7. PROGRESIONES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
3.7.1. Progresiones aritméticas. Progresiones geométricas . . . . 110
3.7.2. Término enésimo. Suma de una progresión . . . . . . . . 110
3.7.3. Problemas con progresiones . . . . . . . . . . . . . . . . 110
4. GEOMETRÍA 115
4.1. NOCIONES PRELIMINARES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
4.1.1. Axiomas ,postulados,teoremas . . . . . . . . . . . . . . . 116
4.2. TEORÍA - EJEMPLOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
4.2.1. Reseña histórica: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
4.3. EJERCICIOS RESUELTOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
4.4. SEGMENTOS Y ÁNGULOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
4.4.1. Segmentos. Operaciones con segmentos . . . . . . . . . . 159
4.4.2. Poligonales. Teoremas sobre poligonales . . . . . . . . . . 159
4.4.3. Ángulos. Medida de ángulos. . . . . . . . . . . . . . . . . 159
4.4.4. Tipos de ángulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
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ÍNDICE GENERAL
4.5. PERPENDICULARIDAD Y PARALELISMO . . . . . . . . . . 163
4.5.1. Definición de perpendicularidad. Postulados . . . . . . . 163
4.5.2. Teoremas sobre perpendicularidad . . . . . . . . . . . . . 163
4.5.3. Definición de paralelismo. Postulados . . . . . . . . . . . 163
4.5.4. Teoremas sobre paralelismo . . . . . . . . . . . . . . . . 163
4.5.5. Ángulos formados por rectas cortadas por una secante.
Teoremas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
4.5.6. Ángulos con lados paralelos y perpendiculares . . . . . . 163
4.6. TRIÁNGULOS Y POLÍGONOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
4.6.1. Clasificación. Rectas y puntos notables. . . . . . . . . . . 167
4.6.2. Igualdad de triángulos. Casos de igualdad . . . . . . . . 167
4.6.3. Polígonos. Teoremas sobre polígonos . . . . . . . . . . . 167
4.6.4. Cuadriláteros. Clasificación. Teoremas . . . . . . . . . . 167
4.7. PROPORCIONALIDAD Y SEMEJANZA . . . . . . . . . . . . 168
4.7.1. Segmentos proporcionales . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
4.7.2. Division de un segmento en razón . . . . . . . . . . . . . 168
4.7.3. Teoremas de Tales. Corolarios . . . . . . . . . . . . . . . 168
4.7.4. División de un segmento en partes proporcionales a var-
ios números . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
4.7.5. Semejanza de triángulos. Casos de semejanza . . . . . . . 168
4.7.6. Semejanza de triángulos rectángulos . . . . . . . . . . . 168
4.8. RELACIONES MÉTRICAS EN LOS TRIÁNGULOS . . . . . . 171
4.8.1. Proyecciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
4.8.2. Teoremas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
4.8.3. Teorema de Pitágoras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
4.8.4. Cálculo de proyecciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
4.9. CIRCUNFERENCIA Y CÍRCULO . . . . . . . . . . . . . . . . 173
4.9.1. Definiciones básicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
4.9.2. Ángulos en una circunferencia. Teoremas sobre cuerdas
y ángulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
4.9.3. Ángulo central, ángulo inscrito, semiinscrito, exterior.
Teoremas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
4.9.4. Relaciones métricas en la circunferencia . . . . . . . . . . 173
- 8

ÍNDICE GENERAL
5. TRIGONOMETRÍA 175
5.1. TEORÍA - EJEMPLOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176
5.2. ÁNGULOS Y FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS . . . . . . 183
5.2.1. Ángulos positivos y negativos . . . . . . . . . . . . . . . 183
5.2.2. Ángulos en sistema de coordenadas cartesianas . . . . . . 183
5.2.3. Funciones trigonométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
5.2.4. Variaciones de las funciones trigonométricas . . . . . . . 183
5.3. FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS DE DIFERENTES ÁN-
GULOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187
5.3.1. Círculo y líneas trigonométricas . . . . . . . . . . . . . . 187
5.3.2. Reducción al primer cuadrante . . . . . . . . . . . . . . . 187
5.3.3. Funciones trigonométricas de ángulos complementarios,
suplementarios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187
5.4. IDENTIDADES Y ECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS . . . 192
5.4.1. Expresión de una función en términos de las restantes . . 192
5.4.2. Funciones trigonométricas de la suma y diferencia . . . . 192
5.4.3. Funciones trigonométricas de los múltiplos de un ángulo 192
5.4.4. Ecuaciones trigonométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . 192
5.4.5. Resolución de triángulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192
- 9

ÍNDICE GENERAL
- 10

Capítulo 1
ARITMÉTICA
Un admirable y grandioso logro de la humanidad ha sido la construcción de
un sistema de numeración para designar cantidades y/o medidas de de difer-
entes clases de objetos, como también crear símbolos para definir relaciones
cuantitativas entre ellos.
Los objetos propios de la Aritmética son símbolos denominados números
que se utilizan para caracterizar ciertas propiedades específicas de objetos de
la realidad; por ejemplo el largo, ancho y área de un piso rectangular. Por otra
parte, en la Aritmética se estudia las operaciones de suma y multiplicación que
caracterizan o traducen simbólicamente los conceptos de reunir objetos ( suma
) y de reunir repetidamente grupos idénticos ( multiplicación ). Existen impor-
tantes relaciones entre los números expresadas en términos de las operaciones
de suma y multiplicación denominadas operaciones fundamentales.
Las partes centrales de la Aritmética requeridas en la formación universi-
taria corespondiente al área de las ciencias y la tecnología se refiere sobre todo
a:
1.- la comprensión de problemas referidos a números enteros, su planteamien-
to en símbolos numéricos, su resolución empleando razonamientos o argumen-
tos lógicos y acabando con una discusión de los resultados obtenidos.
2.- descomponer los números naturales en una determinada cantidad de
partes iguales ( divisores ) y reconocer cuándo no es posible hacerlo ( números
primos ).
3.- un manejo no solamente operacional, sino considerando el significado
contextual, de los números fraccionario y/o decimales; culminando con la com-
prensión, traducción simbólica, resolución y análisis de problemas referidos a
esta clase de números.
4.- manejar correctamente las relaciones de proporción ( directas, inver-
11

CAPÍTULO 1. ARITMÉTICA
sas) que se dan entre magnitudes y utilizar esas relaciones en la resolución de
diferentes problemas referidos a reglas de tres, razones y porcentajes.
Si bien un estudiante que está preparándose para ingresar a la Universi-
dad ya conoce el álgebra y por tanto es propenso a utilizarlo en la resolución
de problemas de aritmética; el empleo del lenguaje algebraico no está per-
mitido en una primera vez. Lo anterior ocasiona en general ( al no disponer
de herramientas algebraicas ), que un problema aritmético sea de más difícil
resolución que un problema algebraico.
- 12

1.1. TEORÍA - EJEMPLOS
1. ADICIÓN: La adición es la operación que a cada par ordenado de
números llamados sumandos, le hace corresponder un tercer número al cual se
le da el nombre de suma.
A+B=S
1.1 LEYES FORMALES
1.1.1 CLAUSURA: La suma de dos o más números enteros resulta un
número entero
1.1.2 CONMUTATIVA: En la adición el orden de los sumandos no altera
la suma total
1.1.3 ASOCIATIVA: En la adición, la suma de varios sumandos no varia
si se asocian dos o más sumandos en uno solo.
1.1.3 MODULATIVA: Existe un único número llamado cero (elemento
neutro), tal que todo número sumado con cero resulte el mismo número.
2. SUSTRACCIÓN: La sustracción de número naturales es la operación
que hace corresponder a cada par de números naturales llamados minuendo
(M) y sustraendo (S). Un tercer numero natural llamado diferencia(D)
D=M-S
2.1 LEYES FORMALES:
2.1.1 CLAUSURA: La diferencia de dos números enteros es otro número
entero
2.1.2 LEY DEL INVERSO ADITIVO: Para todo número existe uno
y solo un número llamado inverso aditivo.
2.2 PROPIEDADES DE LA SUSTRACCIÓN.
En toda sustracción la suma de lo tres elementos de ella es igual al doble
del minuendo
- 13

3. MULTIPLICACIÓN: Es la operación donde a cada par ordenado de
números llamados factores le hace corresponder un tercer número denominado
producto
A × B = C
3.1 LEYES FORMALES:
3.1.1 CLAUSURA: El producto de dos números enteros resulta un número
entero.
3.1.2 CONMUTATIVA: El orden de los factores no altera el producto.
3.1.3 MODULATIVA: Existe uno y solo un número que es el elemento
neutro multiplicativo que se denota por "1"
4 DIVISIÓN: Es la operación que hace corresponder a un par ordenado
de números naturales un tercer numero natural llamado cociente
SIMBOLOGÍA
D: Dividendo.
d: Divisor.
q: Cociente por defecto.
q + 1: Cociente por exceso.
r: Residuo por defecto
re : Residuo por exceso
4.1 CLASES DE DIVISIÓN
4.1.1 DIVISIÓN EXACTA: Aquella en la cual el dividendo contiene al
divisor un número entero "q"de veces en forma exacta
D = q × d
4.1.2 DIVISIÓN INEXACTA O EUCLIDIANA:División por defecto
cuando el dividendo contiene al divisor "q"veces, sobrando “r” unidades donde
r >0.
- 14

D = q × d + r
4.1.3 DIVISIÓN POR EXCESO: Es cuando el dividendo contiene al
divisor una vez más que lo normal y aparece un residuo por exceso
D = (q + 1) × d − re
5 DIVISIBILIDAD: Se llama divisibilidad a la parte de la teoría de los
números que estudia las condiciones que debe reunir un número para que sea
divisible por otro.
5,1,1 MÚLTIPLO: Un numero “A” es múltiplo de otro “B” cuando “A”
contiene a “B” cierto numero entero y exacto de veces
A = kB
5.1.2 DIVISOR: Se dice que un número “B” es divisor o divide a “A”
cuando esta contenido un número entero de veces.
6 CRITERIOS DE LA DIVISIBILIDAD
• Un número es divisible por dos cuando termina en 0 o en cifra par.
Ejemplo 1.1 n = 436 = 2 × 218
• Un número es divisible por tres cuando la suma de sus cifras es múlti-
plo de 3.
Ejemplo 1.2 p = 936 = 9 + 3 + 6 = m3. (m3: indica que p=936 es múltiplo
de tres)
• Un número es divisible por 4 cuando termina en 00 o las dos últimas
cifras son múltiplos de 4.
- 15

Ejemplo 1.3 p = 232, 32 = m4 (m4: indica que 32 es múltiplo de 4)
• Un número es divisible por 6 cuando cumplen simultáneamente el
criterio de divisibilidad por 2 y 3.
Ejemplo 1.4 p = 264. Termina en 4 y 2 + 6 + 4 = m3 (m3 indica que p=264
es múltiplo de 3)
7 NÚMEROS PRIMOS
7.1.1 NÚMEROS PRIMOS ABSOLUTOS: Son aquellos que tienen solo
dos divisores, el mismo número y la unidad
Ejemplos de numeros primos absolutos 2, 3, 5, 7,
7.1.2 NÚMEROS COMPUESTOS: Son aquellos números que tienen
más de dos divisores
Ejemplos 4, 9, 15, 27,
7.1.3 NUMEROS PRIMOS RELATIVOS ENTRE SI(PESI): Lla-
mados también primos relativos; se denomina así al conjunto de números que
tiene como único divisor común la unidad.
Ejemplo 1.5 Los siguientes conjuntos son de números primos relativos entre
si.
A = 2, 4, 7, 15
Los divisores de 2 son 1 y 2.
Los divisores de 4 son 1, 2 y 4.
Los divisores de 7 son 1 y 7.
Los divisores de 15 son 1, 3, 5 y 15.
7.1.3.1 REGLA PARA DETERMINAR SI UN NÚMERO PRI-
MO ES ABSOLUTO
Ejemplo: Determinar 45 es numero primo.
PASO 1: Se extrae la raíz cuadrada del número
√
45 = 6.708
PASO2: Se divide el número entre todos los números primos menores o
iguales a la raíz entera.
- 16

45/6 = 7,5
45/5 = 9
PASO3: Si todas las divisiones enteras son inexactas, entonces el número
en cuestión es primo absoluto. Pero si alguna división hubiera sido exacta.
45 no es número primo.
OBSERVACIÓN: A partir del segundo paso se pude aplicar los criterios
de divisibilidad.
DETERMINACIÓN DE LOS DIVISORES DE UN NÚMERO.
• Se descompone el número en sus factores primos.
Ejemplo 1.6 : N = 45 = 32
× 5
• Se selecciona los factores de mayor potencia, si hay varios se elige el de
menor valor.
• Seleccionamos 32
y escribimos este factor en ﬁla desde la potencia cero.
3o
31
32
1 3 9
• Los demás factores se los escribe en columna desde la potencia uno. Y
se procede a multiplicar cada uno de estos factores por los que están en ﬁla,
hasta obtener el valor numérico.
1 3 9
5 5 15 45¨¨¨B
I
c
El número de divisores de un número está dado por el producto de los
exponentes de los factores aumentados en una unidad.
N = 45 = 32
× 5
Divisores: (2 + 1)(1 + 1) = 6
- 17

8 MÁXIMO COMÚN DIVISOR
El MCD de varios números naturales es otro natural que cumple dos condi-
ciones:
1.- Es divisor común de los números dados
2.- Es el mayor posible
Ejemplo: Hallar el MCD de 24 y 40.
Números Divisores
24 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24
40 1, 2, 4, 5, 8, 10, 20, 40
1.- Sus divisores comunes son:1, 2, 4, 8.
2.- E1 mayor es 8.
El MCD(24, 40) es 8.
8.1 MÉTODOS DE DETERMINACIÓN DEL MCD.
El MCD se puede determinar por los siguientes métodos:
MÉTODO 1: FACTORIZACIÓN INDIVIDUAL Luego de de-
scomponer a los números en sus factores primos, se toman únicamente
los factores comunes afectados de sus menores exponentes.
MÉTODO 2: POR FACTORIZACIÓN SIMULTÁNEA.
Se escriben los números en ﬁla, luego se dividen simultáneamente del
menor al mayor factor primo común a dichos números, hasta que los
cocientes sean números primos relativos entre si.
MÉTODO 3: ALGORITMO DE EUCLIDES O DIVISIONES
SUCESIVAS
Ejemplo 1.7 : Hallar el MCD de 24 y 40
Método 1:
24 = 23
× 3
40 = 23
× 5 El factor común con su menor exponente es
23
= 8
Método 2:
- 18

24 40 2
12 20 2
6 10 2
3 5
40 24
(16) 1
24 16
(8) 1
16 8
(0) 2
Estos valores pueden ser anotados en una tabla.
Cocientes 1 1 2
Divisores 40 24 16 8
Residuos 16 8 0
El divisor que produce residuo cero es 8, entonces el MCD de 24 y 40 es 8.
8.1.1 PROPIEDADES DEL MCD
Sean dos números A y B primos relativos entre si, entonces el MCD es
1
Si A es múltiplo de B, entonces el MCD de A y B es B.
Si se multiplican varios números por una misma cantidad, su MCD que
multiplicado por dicha cantidad
9 MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO: El MCM de varios números naturales
es aquel numero natural que cumple dos condiciones:
1. Es un múltiplo común de todos
2. Es el menor posible.
Ejemplo 1.8 Hallar el MCM de 4, 6
- 19

.
Números Múltiplos
4 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 42, 46
6 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54, 60
Es un múltiplo común de todos 12, 24, 36
El menor múltiplo común de todos es 12
Se determina el MCM por descomposición simultáneamente y esta formado
por los factores comunes y no comunes con su mayor exponente.
9.1 PROPIEDADES DEL MCM
Sean dos números A y B primos relativos entre si, entonces el MCM es
su producto
Si A es múltiplo de B entonces el MCM es el mayor, en este caso A.
Los cocientes de dividir el MCM de un conjunto de dos o mas números
enteros positivos entre cada uno de ellos, son siempre números primos
relativos entre si.
4 = 22
6 = 2 × 3 Entonces el MCM de 6 y 4 será: 22
× 3 = 12.
1.1.1. EJERCICIOS RESUELTOS:
Ejercicio 1.1 La suma del minuendo, el sustraendo y la diferencia es 64.
Además el producto del sustraendo por la diferencia es el séxtuplo del minuen-
do. Indicar la resta del sustraendo y la diferencia.
Solución:
M − S = D ⇒ M = S + D
M + S + D = 64 ⇒ M = 32
S × D = 6 × M = 192
S × (M − S) = 192
S2
− 32S + 182 = 0
S = 8 : S = 24
D = M − S = 32 − 8 = 8
S − D = 24 − 8 = 16
- 20

Ejercicio 1.2 Si el campeonato de la liga de fútbol zonal se realiza con 24
equipos. ¿Cuántos partidos se jugaran en el torneo si todos juegan contra todos
en una sola ronda? ¿Cuál es la duración del torneo, si se juegan 12 partidos
por semana?
Solución: Cada equipo con lo s23 equipos restantes una sola vez, como en total
son 24 equipos
Se realizaran:
23 × 24
2
= 276 partidos en:
276
12
= 23 Semanas.
Ejercicio 1.3 Demostrar que el divisor de la división es igual a la suma de
los residuos por defecto y por exceso (d = rd + re).
Solución:
D = dq + r
D = d(q + 1) − r
d(q + 1) − r = dq + r
d = r + r
Ejercicio 1.4 Aumentando en nueve a los dos factores de un producto, el
producto aumenta en 549. Hallar uno de los factores si la diferencia entre
ellos es 18.
Solución:
(a + 9)(b + 9) = ab + 9a + 9b + 81
Aumento: 9a + 9b + 81 = 549
9a + 9b = 468
a + b = 52
a − b = 18
→ a = 35, b = 17
Ejercicio 1.5 Se compró un objeto que posteriormente se vendió, por 457 bo-
livianos, y se obtuvo una ganancia igual al doble del precio de compra más 37
bolivianos. ¿Cuánto costó el objeto?
Solución:
x + (2x + 37) = 457
3x = 420 : x = 140
Costó 140 bolivianos.
TEORÍA DE LA DIVISIBILIDAD
- 21

Ejercicio 1.6 Determinar los divisores de 336. Dar como respuesta la suma
de ellos.
336 = 24
× 3 × 7 Tiene (4 + 1)(1 + 1)(1 + 1) = 20 divisores
Solución:
1 2 4 8 16
3 3 6 12 24 48
7 7 14 28 56 112
21 42 84 168 336
32 64 128 256 512 = 992
Suma = 992
FRACCIONES
Es cualquier par ordenado de números de la forma f =
A
B
con una lectura “A
sobre B” donde A es un numero entero llamado numerador y B es un número
entero diferente de cero llamado denominador
CLASIFICACIÓN DE LAS FRACCIONES
POR LA COMPARACIÓN DE SUS TÉRMINOS
Una fracción propia, es aquella cuyo valor es menor que uno.
Ejemplos:
f =
3
5
1
Una fracción impropia, es aquella cuyo valor es mayor que uno.
Ejemplos:
f =
6
5
1
POR SU DENOMINADOR
Fracción ordinaria o común, es aquella cuyo denominador es diferente de una
potencia de 10.
Ejemplo 1.9 : f =
2
3
Fracción decimal, es aquella cuyo denominador es una potencia de 10.
- 22

Ejemplo 1.10 f =
3
10
POR LA COMPARACIÓN DE DIFERENTES FRACCIONES
Varias fracciones son Homogénea, cuando tienen el mismo denominador.
Ejemplo: f =
1
3
, f =
2
3
, f =
5
3
Varias fracciones son Heterogénea, cuando tienen diferentes denominadores.
Ejemplo 1.11 f =
1
3
, f =
2
7
, f =
5
8
OTROS CONCEPTOS
FRACCIÓN EQUIVALENTE: Es cuando tienen el mismo valor pero
sus términos son diferentes.
Ejemplo 1.12
1
4
,
8
32
FRACCIÓN IRREDUCIBLE: Son aquellas fracciones cuyos términos
son numero primos entre si.
Ejemplo:
3
5
,
5
7
,
2
3
FRACCIÓN DE FRACCIONES O FRACCIÓN COMPLEJA: Esta
formado por que en su denominador o en su numerador, o en ambos, existe
fracciones.
Ejemplos:
1
2
3
,
1
5
2
7
,
2
5
7
OPERACIÓN CON FRACCIONES
1 Hallar la fracción generatriz del número 0,432.
fgeneratriz =
432 − 4
990
=
428
990
= 0, 4323232 . . .
a) 214/495 b) 212/495 c) 214/491 d) 408/495 e) 212/491
2. Al simpliﬁcar el producto: 1−
1
3
1−
1
4
1−
1
5
1−
1
6
. . . 1−
1
n
se obtiene.
- 23

2
3
3
4
4
5
5
6
. . .
y
n − 1
n − 1
n
=
2
n
RAZONES Se llama razón al resultado de comparar dos cantidades.
Razón Aritmética: a−b = r Donde “a” es el antecedente, “b” el consecuente
y “ r” la Razón Aritmética.
Razón Geométrica:
a
b
= k Donde “a” es el antecedente,“b” el consecuente y
“k” la Razón Geométrica.
Esta comparación se puede hacer de dos modos:
Determinando en cuanto es mayor la primera que la segunda, para lo cual
se hará un resta.
Ejemplo 1.13 6 − 4 = 2
O calculando cuantas veces la primera contiene a la segunda.
f =
1
4
PROPORCIONES
Dadas 4 cantidades, si el valor de la razón de las dos primeras es igual al
valor de la razón de las dos restantes, entonces las 4 cantidades forman una
proporción.
Los Números 8, 6 y 4, 2 forman una proporción.
8 − 6 = 2 Donde 8 y 2 términos extremos.
4 − 2 = 2 Donde 6 y 4 términos medios.
8 y 4 Son los antecedentes.
6 y 2 Son los consecuentes.
Los Números 8, 4 y 6, 3 forman una proporción.
4
8
=
1
2
3
6
=
1
2
- 24

Regla de tres
Regla de tres simple, resulta de comparar dos magnitudes que son directa-
mente proporcionales.
Ejemplo 1.14 : Un móvil recorre 500m. en diez minutos, con velocidad con-
stante. ¿Qué tiempo empleara en recorrer los siguientes 200 m. manteniendo
su velocidad.?
Planteo:
€€€€€q
500 m 10 minutos
200 m I
x minutos
x =
10 × 200
500
= 4 minutos
Regla de tres inversas, resulta de comparar dos magnitudes que son inver-
samente proporcionales
Regla de tres compuesta, resulta de comparar más de dos magnitudes.
Una regla de tres es compuesta cuando se da una serie de n valores corre-
spondientes a n magnitudes y una segunda serie de n − 1, valores correspon-
dientes a las magnitudes ya mencionadas.
El objeto de la regla de tres compuesta es determinar el valor desconocido de
la segunda serie.
Método de la rayas.
Las magnitudes que intervienen son clasiﬁcadas en tres clases.
Primero: Causa: realizadores de la obra o acción, y condiciones que tienen para
realizarla.
Ejemplos: obreros, maquina, animales, habilidad, esfuerzo, rendimiento, etc.
Segunda: Circunstancia: Condiciones en el tiempo para realizar la obra
Ejemplo 1.15 : Días, horas diarias, raciones diarias, costo de vida, etc
Tercera: Efecto: Es la obra en si, lo realizado y los inconvenientes o condiciones
que pone le medio para realizar el trabajo.
- 25

Ejemplos:
medidas de la obra, diﬁcultades, resistencia del medio, gasto, etc.
Ejemplo 1.16 Si 6 leñadores pueden tallar 8 árboles en 8 días. ¿En cuántos
días 16 leñadores talarán 16 árboles con
1
4
de rendimiento menor que el caso
original ?
Causa Circunstancia Efecto
Leñadores Rendimiento días No
árboles
6 1 8 8
16 .75 x 16
E
E$$$$$$Xˆˆˆˆˆˆz
x =
6 × 1 × 8 × 16
16 × .75 × 8
= 8
REGLA DEL TANTO POR CIENTO:
Se llama porcentaje al tanto por ciento a una determinada cantidad con relación
a 100 unidades, esta regla es una aplicación de la regla de tres simple directa.
1.2. OPERACIONES FUNDAMENTALES
1.2.1. Operaciones con números enteros. Propiedades
1.2.2. Problemas con números enteros
1.2.3. EJERCICIOS PROPUESTOS
1. ¿ Cuándo la suma es igual a un sumando?
Respuesta: Cuando todos los sumandos menos uno son 0.
2. La suma 2+3+5+6 se puede escribir de varios modos distintos aplicando
la ley asociativa. Escribirla de 12 modos distintos.
3. Transformar la suma 9+7 en una suma equivalente de 4 sumandos. ¿Que
ley se aplica?.
Respuesta: 5 + 4 + 6 + 1 la ley asociativa.
4. ¿Que alteración sufre una suma si un sumando aumenta 6 unidades y
otro aumenta 8?
Respuesta: Aumenta 14 unidades
- 26

5. x + a = 59. ¿ Cuál será la suma si x aumenta 8 y a disminuye 8?
Respuesta: 59.
6. Un sumando aumenta 56 unidades y hay tres sumandos que disminuyen
6 cada uno ¿ Qué le sucede a la suma?
Respuesta: Aumenta 38 unidades.
7. ¿Cuanto costó lo que al venderse en 12517 Bs. deja una perdida de
1318 Bs.
8. Después de vender una casa perdiendo 3184 $, presté 2006 $ y me quedé
con 15184 $. ¿Cuánto me habia costado la casa? 20374 $.
9. Para trasladarse de una ciudad a otra una persona ha recorrido: 38 km
en auto; a caballo 34 km. más que en auto; en ferrocarril 316 km mas que
en auto y a caballo; y en avión 312 km. Si todavía le faltan 516 km para
llegar a su destino, ¿Cuál es la distancia entre las dos ciudades?.
Respuesta: 1364 km.
10. Un hombre que nació en 1911 se casó a los 25 años; 3 años después nació
su primer hijo y murió cuando el hijo tenía 27 años.¿En que año murió?
Respuesta: 1966.
11. En reparar un auto se gastaron 86 $; en ponerle gomas 62 $; en pintura
19 $ y al venderlo en 136 $ menos que el costo, se recibieron 854 $ ¿Cuánto
ha costado en total el auto?
Respuesta: 1157 $.
12. Si el minuendo es 342 y el resto 156, ¿Cuál es el sustraendo?
Respuesta: 186.
13. La suma de dos números es 518 y el mayor es 312. Hallar el menor.
Respuesta: 206
14. El triplo de la suma de dos números es 63 y el duplo del menor, 20. Hallar
el mayor.
Respuesta: 11.
15. La diferencia de dos números es 8 y el mayor excede a la diferencia en
12. Hallar el mayor.
Respuesta: 20.
- 27

16. El menor de dos números es 36 y el doble del exceso del mayor sobre el
menor es 84. Hallar el mayor.
Respuesta: 78.
17. A nació en 1941, B en 1963 y C en 1923. ¿ En cuánto excedía en 1966 la
edad de C a la diferencia de las edades de A y B’
Respuesta: 21 años
18. Un hombre deja 9500 $. para repartir entre sus tres hijos y su esposa. El
mayor debe recibir 2300; el segundo 500 menos que el mayor; el tercero
tanto como los dos primeros y la esposa lo restante. ¿Cuánto recibió ésta?
Respuesta: 1300 $
19. Un comerciante pide 300 kgs. de mercancías. Primero le mandan 854 kgs.,
más tarde 123 kgs. menos que la primera vez y después 156 kgs. más que
la primera vez. ¿Cuánto falta por enviarle?
Respuesta: 405 kgs.
20. A 6 cts. cada lápiz, ¿Cuánto importarán 7 docenas?
21. Se compran 8 libros a 2$ uno 5 lapiceros a 1 $ uno y a 4 plumas fuentes
a 3$ cada una. Si se vende todo en 18 $, ¿Cuánto se pierde?
Respuesta: 15 $
22. Un auto sale de Ciudad México hacia Monterrey a 60 km. por hora y
otro sale de Ciudad Mexico hacia Acapulco a 70 km. por hora. Si salen
a las 10 de la mañana, ¿a que distancia se hallarán a la 1 de la tarde?
Respuesta: 390 km.
23. Compré 14 trajes a 30 $ ; 22 sombreros a 2 $ y 8 bastones a 5 $. Vendiendo
los trajes por 560 $, Cada sombrero a 1 $ y cada bastón a 3 $. ¿gano o
pierdo y cuánto?
Respuesta: 102 $
24. Un ganadero compró 80 cabezas de ganado a 40 $ una. Vendió 30 a 45 $ y
25 a 48 $. ¿Cuánto debe obtener de las que quedan para que la ganancia
total sea de 400 $?
Respuesta: 1050 $.
25. Se repartió cierto número de manzanas entre 19 personas y después de dar
6 manzanas a cada persona sobraron 8 manzanas. ¿Cuántas manzanas
había?
Respuesta: 122.
- 28

26. ¿Cual es el menor número que debe restarse del dividendo, en una di-
visión inexacta, para que se haga exacta?
Respuesta: r
27. ¿Cuál es el menor número que debe añadirse al dividendo, en una división
inexacta, par que se haga exacta?
Respuesta: r
28. Si en una división el dividendo se aumenta en un número igual al divisor,
¿que variación sufre el cociente? ¿Y el residuo’
Respuesta: Aumenta 1; no varía.
29. Si en una división se disminuye el dividendo en un número igual al divisor.
¿que le sucede al cociente? ¿Y al residuo?
Respuesta: Disminuye en 1; no varía.
30. Una pecera con sus peces vale 260 bolivianos, y la pecera vale 20 boli-
vianos más que los peces.¿Cuánto vale la pecera y cuánto los peces?.
Respuesta: pecera 140 bolivianos; peces 120 bolivianos.
31. 8534 excede en 1400 a la suma de dos números y en 8532 a su diferencia.
Hallar los dos números.
Respuesta: 3568 y 3566.
32. La suma de dos números es 3768 y su cociente 11. Hallar los números.
33. Entre A y B tienen 12816 $, y B tiene la tercera parte de lo que tiene A.
¿Cuánto tiene cada uno?
Respuesta: A 9612 $; B 3204 $
34. Dos autos salen de dos ciudades A y B distantes entre si 840 km. y van
al encuentro. El de A va a 50 km./h.. y el de B a 70 km./h. . Si salieron
a las
6 a.m., ¿a que hora se encontrarán y a que distancia de A y de B?
Respuesta: A la 1 p.m.; a 350 km. de A y 490 km. de B.
35. 4. A las 6 a.m. sale un auto de A a 60 km./h. y va al encuentro de otro
que sale de B a 80 km./h., a la misma hora. Sabiendo que se encuentran
a las 11 a.m., ¿cuál es la distancia entre A y B?
Respuesta: 700 km.
- 29

36. Dos móviles parten de M y N distantes entre si 99 km. y van al encuentro.
El de M sale a las 6 a.m. a 6 km./h. y el de N a las 9 a.m. a 3 km./h. ,
sabiendo que el de M descansa de 12 a 3 p.m. y a las 3 emprende de nuevo
su marcha a la misma velocidad anterior, ¿a qué hora se encontrará con
el de N que no varió su velocidad desde que salió y a que distancia de M
y N ?
Respuesta: A las 8 p.m.; a 66 km. de M y 33 km. de N ventaja es de 6 m.
por seg., y la del otro 8 m. por seg. ¿en cuánto tiempo alcanzará éste al
primero?
Respuesta: 5 seg.
37. Un auto sale de A hacia la derecha a 90 km./h. a las 12 del día y en el
mismo instante otro sale de B hacia la derecha a 75 km./h. (B está a la
derecha de A). El de A alcanza al de B a las 7 p.m. ¿Cuál es la distancia
entre A y B?
Respuesta: 105 km.
38. En un colegio hay 3 aulas. La 1ra
y la 2da
juntas tienen 85 alumnos; la
2da
y la 3ra
, 75 alumnos; la 1ra
y la 3ra
, 80 alumnos. ¿Cuántos alumnos
hay en cada clase?
Respuesta: 1ra
, 45; 2da
, 40; 3ra
, 35.
39. ¿Cuál es el número que sumado con 14, multiplicando está suma por 11
dividiendo el producto que resulta entre 44 y restando 31 de este cociente,
se obtiene 1474?
Respuesta: 6006.
40. Tenía cierta cantidad de dinero. Pagué una deuda de 86 bolivianos; en-
tonces recibí una cantidad igual a la que me quedaba y después presté
20 bolivianos a un amigo. Si ahora tengo 232 bolivianos, ¿Cuánto tenía
al principio?
Respuesta: 212 bolivianos.
41. Un estanque cuya capacidad es de 300 litros está vació y cerrado su
desagüe. ¿En cuánto tiempo se llenará si abrimos al mismo tiempo tres
llaves que vierten, la 1ra
, 36 litros en 3 minutos; la 2da
, 48 litros en 6
minutos y la 3ra
, 15 litros en 3 minutos?
Respuesta: 12 min.
42. Un estanque se puede llenar por dos llaves, una de las cuales vierte 200
litros en 5 minutos y la otra 150 litros en 6 minutos. El estanque tiene
un desagüe por el que salen 8 litros en 4 minutos. ¿En cuánto tiempo se
- 30

llenará el estanque, si estando vació, se abren al mismo tiempo las dos
llaves y el desagüe, sabiendo que su capacidad es de 441 litros?
Respuesta: 7 min.
43. Un depósito tiene tres llaves que vierten; la 1ra
, 68 ls. en 4 minutos; la
2da
, 108 ls en 6 minutos y la 3ra
, 248 ls. en 8 minutos y un desagüe por el
que salen 55 ls. en 5 minutos. Si el desagüe está cerrado y se abren las tres
llaves al mismo tiempo, el depósito se llena en 53 minutos. ¿En cuánto
tiempo puede vaciarlo el desagüe estando lleno y cerradas las llaves?
Respuesta: 5 h. 18 min.
44. Si en un estanque que está vació y cuya capacidad es de 3600 litros, se
abrieran al mismo tiempo tres llaves y un desagüe, el estanque se llenaría
en 15 minutos. Por el desagüe salen 240 litros en 4 minutos. Si el estanque
tiene 600 litros de agua y está cerrado el desagüe, ¿ En cuánto tiempo lo
acabarán de llenar las tres llaves?
Respuesta: 10 min.
45. Compré 80 libros por 5600 bolivianos. Vendí una parte por 5400, a 90
cada uno. ¿Cuántos libros me quedan y cuánto gané en cada uno de los
que vendí ?
Respuesta: Quedan 20; gané 20 bolivianos.
46. Vendí 60 sacos de azúcar por 480 bolivianos, ganando 3 en cada uno.
¿Por cuántos sacos estaba integrado un pedido que hice al mismo precio
y por el cual pagué 400?
Respuesta: 80 sacos.
47. Compre 90 libros. Vendí 35 de ellos por 280 $, perdiendo 3 $ en cada uno,
y 30 ganando 1 $ en cada uno. ¿A como vendí los que me quedaban si en
deﬁnitiva no gané ni perdí?
Respuesta: 14 $
48. Un capataz contrata un obrero ofreciendo 70 bolivianos por cada día que
trabaje y 40 por cada día que, sin culpa suya , no pueda trabajar. Al cabo
de 35 días el obrero ha recibido 2000. ¿Cuántos días trabajo y cuántos
no?
Respuesta: Trabajo 20 días, no trabajo 15 días.
49. En un Omnibus iban 40 excursionistas. Los hombres pagaban 40 cts. y
las damas 25 cts.. Los pasajes costaron en total 13.45 $ ¿Cuántos excur-
sionistas eran hombres y cuántas damas?
Respuesta: 23 hombres y 17 damas.
- 31

50. Un padre le pone 9 problemas a su hijo, ofreciéndole 5 cts. por cada prob-
lema que resuelva, pero por cada problema que no resuelva el muchacho
perderá 2 cts. Después de trabajar en los 9 problemas el muchacho recibe
31 cts. ¿Cuántos problemas resolvió y cuántos no resolvió?
Respuesta: resolvió 7, no resolvió 2.
51. Un capataz contrata un obrero, ofreciéndole 12 $ por cada día que trabaje
pero con la condición de que, por cada día que el obrero, por su voluntad,
deje de ir al trabajo, tendrá que pagarle al capataz 4 $. Al cabo de 18 días
el obrero le debe al capataz 24 $. ¿Cuántos días ha trabajado y cuántos
días ha dejado el obrero de ir al trabajo?
Respuesta:Trabajo 3 días, dejo de ir 15 días.
52. Un reloj que adelanta 4 minutos en cada hora señala las 4 y 20. Si ha
estado andando 8 horas, ¿Cuál es la hora exacta?
Respuesta: 3 y 48 min.
53. Cuál es la distancia recorrida por un atleta en una carrera de obstáculos
si ha vencido 15 obstáculos que distan 6 metros uno de otro, y si la línea
de arrancada dista 4 metros del primer obstáculo y la meta del último 8
metros?
Respuesta: 96 m.
54. Un empleado que gana 65 $ semanales ahorra cada semana cierta suma.
Cuando tiene ahorrados 98 $ ha ganado 455 $ ¿Cuaťnto ahorra a la sem-
ana
Respueta: 14 $
55. Un viajero, asomado a la ventanilla de un tren que va a 36 km. por hora,
observa que un tren estacionado en una vía adyacente pasa ante él en 12
segundos. ¿Cuál será la longitud de ese tren?
Respuesta: 120 m.
56. Un importador no quiere vender 6 automóviles cuando le ofrecen 37000
bolivianos por cada uno. Varios meses después vende los 6 por 216000.
Si en este tiempo ha gastado 6840 por concepto de alquiler del local y
otros gastos, ¿cuál es su pérdida en cada máquina?
57. Con el dinero que tenía compré cierto número de entradas a 13 cts. cada
una y me sobraron 8 cts.. Si cada entrada me hubiera costado 19 cts.
me hubieran faltado 16 cts. ¿ Cuántas entradas compré y cuánto dinero
- 32

1.3. DIVISIBILIDAD
tenía.?
Respuesta: 4, 0.60 $.
58. ¿A como tengo que vender los libros que he comprado a 6 $ para ganar
en 15 libros el precio de compra de 5 libros?.
Respuesta: A 8 $
59. 11 personas iban a comprar una ﬁnca que vale 214500 bolivianos, con-
tribuyendo por partes iguales. Se suman otros amigos y deciden formar
parte de la sociedad, con lo cual cada uno aporta 3000 menos que antes.
¿Cuántos fueron los que se sumaron a los primeros.?
Respuesta: 2
60. Se compran en un teatro 5 entradas de hombre y 6 de mujer por 27 $,
y más tarde se compran 8 de hombre y 6 de mujer por 36 $. ¿ Cuánto
cuesta cada entrada de hombre y cuánto cada una de mujer?
Respuesta: De hombre 3 $ de mujer 2 $.
1.3. DIVISIBILIDAD
1.3.1. Teoremas básicos
1.3.2. Criterios de divisibilidad
1.3.3. Números primos.Teoremas básicos
1.3.4. Descomposición en factores primos
1.3.5. Máximo común divisor y mínimo común divisor
1. Hallar el más pequeño número que tenga15 divisores.
Respuesta: 144
2. Hallar dos números enteros sabiendo que susuma es 220 y su m.c.d.es 20.
Respuesta: 200 y 20; 160 y 60; 120 y 50; 180 y 40; 140 y 80
3. Hallar el número de 3 cifras consecutivas crecientes quees divisible por
7. Su cifra de decenas es:
A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7
- 33

4. La suma de las cifras de un números es 75. Si este es lomenor posible
siempre será un múltiplo de.
A) 17 B) 23 C) 7 D) 9 E) 25
5. Cuántos divisores primos como máximo puede tener:
3551 × a (a 10)
A) 4 B) 32 C) 16 D) 9 E) 18
6. Cuántos pares de números existen tales que su producto sea4050
A) 18 B) 25 C) 12 D) 15 E) 16
7. Se aplica el algoritmo de Euclídes para obtener el M.C.D. de dos números
obteniéndose como cocientes sucesivos 1; 2; 2; 3; 2. si el M.C.D. ES 30
¿Cuál es la diferencia de los dos números ?
A) 280 B) 560 C) 420 D) 480 E) 240
8. Al calcular el M.C.D. de los números 5529 y 6441 por divisores sucesivos
. ¿Cuál fue la suma de los cocientes?
A) 15 B) 18 C) 21 D) 22 E) 23
9. Dados 4 números A; B; C y D se observa que:
M.C.D.(A; B; C) = 84
M.C.D.(B; C; D) = 396
¿Cual es el M.C.D.(A; B; C; D)?
A) 6 B) 18 C) 12 D) 24 E) 36
10. El M.C.D. de 3 númreros es 36; si se suman 4 unidades acada uno de
ellos, en ese caso su M.C.D. puede ser:
A) 4 B) 6 C) 8 D) 5 E) N.A.
11. Hallar la suma de las cifras del M.CM. de dos números cuya suma es
793 y cuyo producto es 121680
A) 20 B) 15 C) 18 D) 17 E) 13
12. Un libro tiene 256 páginas, otro tiene 160 páginas, suponiendo que los
dos están formados por cuadernillos del mismo número de páginas es
- 34

1.3. DIVISIBILIDAD
que este es número menor que 30 pero mayor que 10. Dígase cuántos
cuadernillos tiene en total los 2 libros.
A) 13 B) 18 C) 36 D) 15 E) 26
13. Para hallar el mayor múltiplo de 11 contenido en 2738, ¿ en cuánto se
debe disminuir ese número?
14. ¿Cuál es la diferencia entre 781 y el mayor múltiplo de 9 contenido en
él?
15. Escribir tres números, cuatro números primos entre si dos a dos.
16. De los números 24, 31, 27, 36, 42, 53 y 14 formar: Un grupo de cuatro
números que no sean primos entre sí; un grupo de cuatro que sean primos
entre sí; un grupo de cuatro que sean primos dos a dos.
17. Las edades de Alex, Carlos y Roberto que son tres números enteros con-
secutivos, suman 87 años. Si Roberto es el menor y Alex el mayor, ¿Cuál
es la edad de cada uno ?
18. Averiguar si son o no primos los números siguientes de los incisos a), b),
c), d), e), f), g):
a) 139. b) 289. c) 751. d) 881. e) 997., f) 601. g) 529.
19. Hallar todos los divisores simples y compuestos de 315, hallando primero
el número de divisores:
Respuesta: 12 fact.: 1, 3, 9, 5, 15, 45, 7, 21, 63, 35, 105, 315.
Respuesta: 9 fact.: 1, 3, 9, 13, 39, 117, 169, 507, 1521.
Respuesta: 32 fact. 1, 2, 4, 8, 3, 6, 12, 24, 9, 18, 36, 72, 27, 54, 108, 216,
5, 10, 20, 40, 15, 30, 60, 120, 45, 90, 180, 360, 135, 270, 540, 1080.
Respuesta: 8 fact.: 1, 7, 49, 343, 13, 91, 637, 4459.
Respuesta: 32 fact.: 1, 2, 3, 6, 7, 14, 21, 42, 11, 22, 33, 66, 77, 154, 231,
- 35

462, 13, 26, 39, 78, 91, 182, 273, 546, 143, 286, 429, 858, 1001, 2002,
303, 6006.
Respuesta: 9 fact.: 1, 7, 49, 17, 119, 833, 289, 2023, 14161.
25. Hallar por divisiones sucesivas el m.c.d. de 78, 130 y 143.
Respuesta: 13.
26. Hallar por divisiones sucesivas el m.c.d. de 168, 252, 280 y 917.
Respuesta: 7.
27. Hallar por divisiones sucesivas el m.c.d. de 31740, 47610, 95220 y 126960.
Respuesta: 15870.
28. Cite 3 divisores comunes de los números 12, 24 y 48.
29. Diga por inspección, cuál es el m.c.d. de 7 y 11; de 8, 9 y 10; de 25, 27 y
36.
30. ¿Puedes ser 4 y 6 los cocientes de dividir dos números por su m.c.d.?
31. Hallar por descomposición en factores primos (puede usarse el método
abreviado) el m.c.d. de los incisos a), b), c) y d):
a) 345 y 850. b) 54, 76, 114 y 234. c) 840, 960, 7260 y 9135.
d) 2645, 4232, 4761 y 5819.
Respuestas: a) 5. b) 2. c) 15. d) 529.
32. ¿Se podrán dividir 3 varillas de 20 cm., 24 cm. y 30 cm. en pedazos de
4 cm. de longitud sin que sobre ni falte nada entre cada varilla?
33. Dos cintas de 36 metros y 48 metros de longitud se quieren dividir en
pedazos iguales y de la mayor longitud posible. ¿ Cuál será la longitud
de cada pedazo?
Respuesta 12 m.
34. ¿Cuál será la mayor longitud de una medida con la que se puedan medir
exactamente tres dimensiones de 140 metros, 560 metros y 800 metros?
Respuesta: 20 m.
35. Se tienen tres cajas que contienen 1600 libras, 2000 libras y 3392 libras
de jabón respectivamente. El jabón de cada caja está dividido en bloques
del mismo peso y el mayor posible .¿Cuánto pesa cada bloque y cuántos
- 36

1.3. DIVISIBILIDAD
bloques hay en cada caja?
Respuesta: 16 lbs.; en la 1ra
, 100; en la 2da
, 125; en la 3ra
, 212.
36. Se quieren envasar 161 kilos, 253 kilos y 207 kilos de plomo en tres cajas,
de modo que los bloques de plomo de cada caja tengan el mismo peso y
el mayor posible. ¿Cuánto pesa cada pedazo de plomo y cuántos caben
en cada caja?
Respuesta: 23 kilos; en la 1ra
, 7; en la 2da
, 11; en la 3ra
, 9
37. Se tienen tres extensiones de 3675, 1575 y 2275 metros cuadrados de
superﬁcie respectivamente y quieren dividir en parcelas iguales. ¿Cuál
ha de ser la superﬁcie de cada parcela para que el número de parcelas de
cada una sea el menor posible?
Respuesta: 175 m2
.
38. Hallar por medio del m.c.d. el m.c.m. de 125 y 360.
Respuesta: 9000.
Respuesta: 45720.
Respuesta: 161568.
41. Hallar por medio del m.c.d. el m.c.m. de 56, 72, 124 y 360.
Respuesta: 78120.
42. Hallar por medio del m.c.d. el m.c.m. de 58, 85, 121, 145 y 154.
Respuesta: 4175710.
43. ¿Con qué cantidad, menor que 40 cts., podré comprar un número exacto
de manzanas de a 4 cts., 6 cts. y 9 cts. cada una?
44. ¿Cuál es la menor suma de dinero que se puede tener en billetes de a 2 $,
de a 5 $ o de a 20 $ y cuántos billetes de cada denominación harían falta
en cada caso?
45. ¿Cuál es la menor capacidad de un estanque que se puede llenar en un
número exacto de minutos por cualquiera de tres llaves que vierten; la
1ra
, 12 litros por minuto; la 2da
, 18 litros por minuto y la 3ra
, 20 litros
por minuto?
Respuesta: 180 litros.
- 37

46. ¿Cuál será la menor longitud de una varilla que se puede dividir en
pedazos de 8 cm., 9 cm. o 15 cm. de longitud sin que sobre ni falte nada
y cuántos pedazos de cada longitud se podrían sacar de esa varilla?
Respuesta: 360 cm.; 45 de 8, 40 de 9 y 24 de 15.
47. Hallar el menor número de bombones necesario para repartir entre tres
clases de 20 alumnos, 25 alumnos o 30 alumnos, de modo que cada alum-
no reciba un número exacto de bombones y cuántos bombones recibirá
cada alumno de la 1ra
, de la 2da
o de la 3ra
clase.
Respuesta: 300 bomb.; de la 1ra
, 15; de la 2da
, 12; de la 3ra
, 10
48. Tres galgos arrancan juntos en una carrera en que la pista es circular. Si
el primero tarda 10 segundos en dar una vuelta a la pista, el segundo 11
segundos y el tercero 12 segundos, ¿al cabo de cuántos segundos pasarán
juntos por la línea de salida y cuántas vueltas habrá dado cada uno en
ese tiempo?
Respuesta: 660 seg. u 11 min.; el 1ro
, 66; el 2do
, 60; el 3ro
, 55.
49. Tres aviones salen de una misma ciudad, el 1ro
cada 8 días, el 2do
cada
10 días y el 3ro
cada 20 días. Si salen juntos de ese aeropuerto el día 2
de enero, ¿cuáles serán las dos fechas más próximas en que volverán en
salir juntos? (el año no bisiesto).
Respuesta: 11 de febrero y 23 de marzo.
1.4. NÚMEROS FRACCIONARIOS
1.4.1. Operaciones con números fraccionarios
1.4.2. Simpliﬁcación de fracciones
1.4.3. Problemas con números fraccionarios
1.4.4. Numeros decimales. Operaciones con números dec-
imales. Problemas
1.4.5. Sistema métrico decimal. Transformadas de unidades
1. Cuántas fracciones cuyo numerador es la unidad dan un decimal exacto
con 9 cifras decimales.
A) 12 B) 15 C) 19 D) 23 E) Ninguno
- 38

2. ¿Cuántas fracciones periódicas puras de dos cifras de periodo existen
entre
1
3
,
1
5
?
A) 10 B) 12 C) 13 D) 14 E) 17
3. Si se quiere que la fracción N
D
esté comprendida entre
1
2
y
2
3
cuando
N = 12. ¿Cuátos valores enteros puede tomar D?
A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 8
4. Un grifo puede llenar un estanque en 6 horas y un desagüe puede vaciarlo
en 8 horas. ¿En que tiempo llenaría los
3
4
del estanque, si cuando se abre
el grifo y el desagüe,
1
3
del estanque ya está lleno de agua?
A) 6 horas B) 8 horas C) 12 horas D) 10 horas
E) ninguno.
5. Un depósito puede ser llenado por los conductos A y B en 70 minutos
y por los conductos B y C en 140 minutos. ¿Cuál de los tres conductos
mencionados es el más lento?
A) A B) C C) B D) A ó B E) A ó C
6. Un grifo puede llenar un estanque en 8 horas y otro en 12 horas, mientras
el tubo de desagüe lo vacía en 5 horas. Cuando el estanque está lleno
hasta
1
3
de altura se abren los grifos y el tubo de desagüe durante una
hora. ¿Qué fracción de depósito quedara al ﬁn por llenar?
A)
3
4
B)
5
7
C)
8
11
D)
21
40
E) ninguno
7. La mitad de lo que me queda de gaseosa en la botella es igual a la tercera
parte lo que ya me tome. Si tomo la cuarta parte de lo que me queda. ¿
Qué fracción de toda mi gaseosa me habré tomado?
A)
1
2
B)
7
13
C)
7
10
D)
11
19
E) ninguno
8. Una vagoneta llena de cal pesa 3720 kg; cuando contiene los
5
8
de su
capacidad pesa
95
124
del peso anterior . Hallar el peso de la vagoneta
vacía.
A) 7000 kg B) 1000 kg C) 1400 kg D) 2100 kg
E) 2400 kg
- 39

9. El costo de almacenaje diario en una aduana es
1
10
del valor de la mer-
cadería. Un comerciante comienza a retirar, al ﬁnal de cada día,
1
5
de la
mercadería almacenada.
¿ cuál debe ser el valor total de almacenaje?
A)
3
10
B)
4
21
C)
5
46
D)
3
20
E)
1
20
10. ¿Cuántos novenos hay en una unidad, en 4 unidades, en 7 unidades?
11. ¿Cuántos treceavos hay en 2 unidades, en 5 unidades?
12. ¿Cuantos medios hay en la mitad de una unidad; Cuántos tercios en la
tercera parte de una unidad; cuántos octavos en la octava parte de una
unidad?
13. Si una manzana la divido en 5 partes iguales y a un muchacho le doy
tres de esas partes y a otro el resto, ¿cómo se llaman las partes que he
dado a cada uno?
14. Diga en cuánto aumenta cada uno de los quebrados
2
3
,
4
5
,
7
8
al añadir 3
al numerador.
15. 17. Diga en cuánto disminuye cada uno de los quebrados
7
8
,
10
9
,
17
35
al
restar 6 al numerador.
16. ¿Aumenta o disminuye
8
13
si se suma 5 a sus do términos; si se resta 3?
17. ¿Disminuye o aumenta
16
11
si se suman 6 a sus dos términos; si se resta
5?
18. ¿Cuál es mayor
17
12
o
14
9
;
6
5
u
9
8
?
19. ¿Es
7
51
mayor o menor que
7
17
y cuántas veces?
20. Reducir
11
76
a quebrado equivalente de denominador 684.
Respuesta:
99
684
.
- 40

21. Reducir
7
81
Respuesta:
63
729
.
22. Reducir
7
12
Respuesta:
756
1296
.
23. Reducir
5
18
Respuesta:
1000
3600
.
24. Reducir
480
824
Respuesta:
60
103
.
25. Reducir
729
1395
Respuesta:
243
465
.
26. Reducir
320
2720
Respuesta:
2
17
.
27. Reducir a su más simple expresión
343
539
Respuesta:
7
11
260
286
Respuesta:
10
11
286
1859
Respuesta:
2
13
1598
1786
Respuesta:
17
19
- 41

2535
20280
Respuesta:
1
8
32. Simplificar 4
1
31
+ 1
1
62
+ 1
3
93
+ 4
1
4
.
Respuesta: 10
119
372
.
33. Simplificar 1
1
10
+ 1
1
100
+ 1
1
1000
+ 1
1
10000
.
Respuesta: 4
1111
10000
.
34. Simplificar 3
1
100
+ 2
1
45
+ 4
7
60
+ 1
1
800
.
Respuesta: 10
527
3600
.
35. Simplificar
1
5
+
1
3
+
1
6
+
1
30
+
1
10
+
3
25
+
4
50
Respuesta: 1
1
30
36. Simplificar 5
1
16
+ 2
1
9
+ 3
1
12
+
3
5
+
7
3
+
2
15
Respuesta: 13
77
180
. Respuesta: 498
3
20
.
37. Simplificar
1
5
+ 4
1
15
−
1
60
+
3
80
38. Simplificar 20 −
1
10
− 8 −
1
25
.
Respuesta: 11
47
50
.
39. Simplificar
7
30
−
1
60
+
1
4
+
5
3
+
7
5
−
1
20
.
Respuesta: 3
29
60
.
40. Un hombre gana mensualmente 200 $. Gasta 50
3
9
$ en alimentación de su
familia; 60 $ en alquier y 18
5
8
$ en otros gastos. ¿Cuánto puede ahorrar
- 42

mensualmente?
41. La cuarta parte del día la emplea un niño en estudiar; la sexta parte en
hacer ejercicios y la novena en divertirse, ¿Qué parte del día le queda
libre?
Respuesta:
17
36
.
42. Un hombre vende
1
3
de su finca, alquila
1
8
del resto y lo restante lo cultiva.
¿Qué porción de la finca cultiva?
Respuesta:
7
12
.
43. Tres obreros tienen que tejer 200 m. de tela. Uno teje 53
2
7
m. y otro
15
34
m.
¿Cuánto tiene que tejer el tercero?
Respuesta; 146
65
238
m.
44. Simplificar: 7
2
5
+ 5
1
6
× 28
1
4
+ 1
3
4
.
Respuesta: 377.
45. Simplificar:
1
3
−
1
5
×
1
60
+
10
25
× 5
4
15
.
Respuesta:
79
270
.
46. Simplificar: 3
1
2
+
1
8
× 6 −
2
3
× 5
1
4
+
1
12
.
Respuesta: 103
1
9
.
47. ¿Cuántos litros hay que sacar de un tonel de 560 litros para que queden
en el los
6
7
del contenido?
Respuesta: 80 l.
48. En un colegio hay 324 alumnos y el número de alumnas es los
7
18
del
total. ¿Cuántos varones hay?
Respuesta: 198.
49. De una finca de 20 hectáreas, se venden los
2
5
y se alquilan los
3
4
del
resto. ¿Cuánto queda?
Respuesta: 3 hectáreas.
- 43

50. La distancia entre dos ciudades es de 140 km. ¿Cuántas horas debe andar
un hombre que recorre los
3
14
de dicha distancia en una hora, para ir de
una ciudad a otra?
Respuesta: 4
2
3
h.
51. Si una llave vierte 8
1
4
litros de agua por minuto, ¿Cuánto tiempo em-
pleará en llenar un depósito de 90
3
4
litros de capacidad?
Respuesta: 11 min.
52. Si un kilogramo de frijoles cuesta los
3
4
de uno de manteca. ¿con cuántos
kilogramos de frijoles podré comprar 15 de manteca?
Respuesta: con 20.
53. Simpliﬁcar
5
7
36
− 4
1
18
+ 1
1
72
× 36
78 −
1
2
.
Respuesta: 1
54. Simpliﬁcar
9 ÷
1
1
3
×
4
5
×
5
12
6 ÷
1
1
2
respuesta:
1
3
55. Una tubería vierte en un estanque 200 litros de agua en
3
4
de hora y otra
300 litros en el mismo tiempo ¿Cuánto vierten las dos juntas en 2 horas?
respuesta: 1333
1
3
ls.
56. He recibido 50 $ después de haber gastado
2
3
de lo que tenía al principio
y tengo ahora 4 $ más que al principio. ¿Cuánto tenía?
Respuesta: 69 $
57. Una hacienda pertenece a tres propietarios. Al primero corresponden
5
12
;
al segundo
1
3
, y al tercero
1
4
, Si se vende en 75000 bolivianos, ¿cuánto
- 44

corresponde a cada uno?
Respuesta: 1ro
, 31250; 2do
, 2500 y 3ro
, 18750 bolivianos.
58. Si se mueren
3
5
de las palomas de un corral y se compran 2674 palomas,
el número de las que habia al principio queda aumentado en
1
3
de las que
había al principio. ¿Cuántas palomas había al principio?
Respuesta: 2865.
59. Roberto es dueño de los
2
7
de una hacienda, Carlos de
1
9
y Hernan del
resto. Si la hacienda se vende por 12600 $. ¿cuánto recibe cada uno?
Respuesta: R. 3600 $; C. 1400 $; H. 7600 $
60. Reparto cierta cantidad entre mis tres hermanos. Al mayor le doy
1
7
; al
mediano
1
8
y al menor el resto. Si al menor le he dado 34 $ más que al
mediano, ¿ cual fue la cantidad repartida y cuánto recibió cada uno?
Respuesta: 56 $; may., 8 $; med., 7 $; menor., 41 $
61. He gastado los
5
6
de mi dinero. Si en lugar de gastar los
5
6
hubiera gastado
los
3
4
de mi dinero, tendría ahora 18 $ más de lo que tengo. ¿Cuánto gaste?
Respuesta: 180 $
62. Se adquiere un libro por 4.50 $; un par de zapatos por 2 $ menos que el
libro; una pluma fuente por la mitad de lo que costaron el libro y los
zapatos. ¿Cuánto sobrará al comprador después de hacer estos pagos, si
tenía 15.83 $?
Respuesta: 5.33 $
63. El agua contenida en cuatro depósitos pesa 879.002 kgs. el primer de-
pósito contiene 18.132 kgs. menos que el segundo; 43.016 kgs. más que el
tercero, y el tercero 78.15 kgs. más que el cuarto. Hallar el peso del agua
contenida en cada deposito.
Respuesta: 1ro
, 247.197; 2do
, 265.329; 3ro
, 222.313; 4to
, 144.163 kgs.
64. El vino de un tonel pesa 1962 kgs. Si cada litro de vino pesa 0.981 kgs.,
¿cuántos litros contiene el tonel?
Respuesta: 2000 l.
65. Roberto adquiere cierto número de libros por 46.68 $ si hubiera comprado
4 más le habrian costado 77.80 $. ¿Cuántos libros ha comprado y cuánto
- 45

ganará si cada libro lo vende por 9.63 $ ?
Respuesta: Compró 6; ganará 11.10 $.
66. La suma de los cuadrados de los dos números es 1186 y el número menor
es 15. Hallar el número mayor.
Respuesta: 31.
67. Un terreno tiene 500 m. de largo y 45 de ancho. Si se le diera forma
cuadrada, ¿cuáles serían las dimensiones de este cuadrado?
Respuesta: 150 m. de lado
68. Un comerciante compró cierto número de trajes y el precio que pagó por
cada traje era la cuarta parte del número de trajes que compró. Si gastó
30976 bolivianos, ¿cuántos trajes compró y cuánto pago por cada uno?
Respuesta: 352 trajes; 88 bs.
69. ¿Cuáles son las dimensiones de un terreno rectangular de 122 m2
si su
longitud es el doble del ancho?
Respuesta: 38 m.×19 m.
70. Reducir 19 m.3
a mm.3
Respuesta: 19000000000 mm.3
71. Reducir 76895.7345 cm.3
a km.3
Respuesta: 0,0000000000768957345, km.3
72. Reducir 123456.008 m.3
a Mm.3
Respuesta: 0.000000123456008, Mm.3
73. ¿Cuánto costará pavimentar un cuarto cuadrado de 4 m. por 4 m. con
losas de 20 cm. por 20 cm. que se compran a 50 $ el millar?
Respuesta: 20 $ .
74. A 500 bolivianos el millar de baldosa, Cuánto costará pavimentar una
calle rectangular de 50 m.de largo y 8.50 m. de ancho si cada baldosa
cubre una superﬁcie de 80 cm.2
?
Respuesta: 26562.50 bolivianos
75. Se empapelan las cuatro paredes de una sala rectangular de 15 m. de
largo, 8 m. de ancho y 4 m. de altura con piezas de papel de 368 cm.2
cada una. ¿Cuántas piezas se necesitarán y cuánto importará la obra si
cada pieza de papel vale 0.25 $?
Respuesta: 5000; 1250 $.
- 46

1.5. RAZONES Y PROPORCIONES
76. Una sala rectangular tiene 15 m. de largo, 6 m. de ancho y 5 m. de altura.
La sala tiene cuatro ventanas de 1.50 m. por 2 m. ¿cuál es la superﬁcie
total de las cuatro paredes y cuántas piezas de papel de 44 cm. por 18 cm.
harán falta para cubrir las paredes?
Respuesta: 198 m2
; 2500 piezas
1.5.1. Razón de dos números. Proporciones. Propiedades
1.5.2. Media Proporcional. Problemas sobre proporciones
1.5.3. Regla de tres simple y compuesta. Problemas
1.5.4. Tanto por ciento. Problemas
1. Un trabajo puede ser hecho por 13 personas en 28 días a razón de 6
horas diarias . Si 5 de ellas aumentaron su rendimiento en 20 %. ¿Cuánto
tiempo tardaran si trabajan 8 horas diarias?
A) 20 días B) 19 días 4 h. C) 19 días 12 h. D)
18 días 3 h. E) 17 días 5 h.
Respuesta: C)
2. Un inspector Municipal llega a visitar 60 establecimientos en una semana
invirtiendo 8 horas cada día. ¿Cuántos establecimientos podrán visitar 3
inspectores en 2 semanas si se emplean 6 horas al día’
A) 135 B) 270 C) 540 D) 405 E) 315
Respuesta: D)
3. Doce hombres se comprometen a hacer una obra en 8 días. Luego de
trabajar 3 días juntos se retiran 3 hombres. ¿Cuántos días de retraso
termina la obra terminan la obra ?
A) 1
1
4
días B) 1
2
3
días C) 2
1
3
días D) 1 día
E) 2 días
Respuesta: B)
- 47

4. Una cabra sujeta a una estaca por medio de una cuerda de 3 metros
demora media hora en comer el pasto que está a su alcance. ¿Cuánto
demoraría si la cuerda fuese de 5 metros?
A) 50 min. B) 18 min. C) 1 hora D) 1 h.23
min.20seg E) 1 h.25min.30 seg
Respuesta: B)
5. Se sabe que 30 albañiles, trabajando 9 horas diarias, durante 18 días
pueden construir 3 casas. ¿Cuántos albañiles podrán construir 4 casas,
trabajando a un ritmo de 8 horas diarias durante 15 días? A) 24 B)
42 C) 40 D) 54 E) 72
Respuesta: B)
6. En una construcción, 35 obreros cavan 4 zanjas en 72 horas. ¿En cuántas
horas menos cavarán 3 zanjas, 45 obreros?.
A) 42 B) 50 C) 52 D) 16 E) Ninguno
Respuesta: A)
7. ¿Qué tanto por ciento de un número tiene por 18 % al 3 por 5 de 30 es
el 50 % de otro número, tiene por 66,6 % al 15 por 6 del 4 por 7 de 56?.
% A)25 % B) 20 % C) 30 % D) 30 % E)
40 %
8. Al ser tostado, el café pierde el 20 % de su peso. Un tendero vende cafe
tostado aS/. 11,5 el kg ganado el 15 %. Calcule a que precio se ha com-
prado el kg de cafe sin tostar.
A)S/. B) S/,10 C) S/,8 D) S/,7 E)
S/,12
G × R
9. un comerciante compro una partida de un género y vendió la mitad gana-
do el 15 % sobre el precio de compra; después vendió una cuarta parte
del resto perdiendo el 10 % sobre el precio de venta. Estas dos ventas le
han dado una ganancia de 3475 soles menos soles menos que el costo del
género sobrante. ¿ Cuánto pago el comerciante por el género?
Respuesta: $ 11 160, 59
- 48

10. A un contratista le cuesta 48 soles el metro cubico de piedra en bruto, la
que después de ser triturada, se reduce a un tercio del volumen. Para que
la trituren paga 60 soles por metro cúbico de piedra . Si ha ganado un
30 % en el contrato,¿Cuánto recibió por metro cúbico de piedra triturada?
Respuesta: 171, 60 soles
11. Habiendo comprado un comerciante una pieza de tela, vende al por menor
los
5
8
de la misma con un beneﬁcio de 60 soles por metro y el resto 40soles
de beneﬁcio. La la ganancia total es de 6300 soles , que representa el 15 %
del precio. ¿Cuál es la longitud de la pieza y el precio de compra?
Respuesta: L = 120 m costo = 42000 soles
12. Un ingeniero recarga el precio de una casa el 25 % de su valor; si al
venderla descuenta el 12 % a un comprador. Digase cuál ha sido el tanto
por ciento de utilidad.
Respuesta: 10 %
13. se vendió un radio en 12,60 soles, ganando el 14 % del precio de compra
más 5 % del precio de venta. ¿Cuáto costó el radio?
Respuesta: $ 10, 50
14. Si:
3a2
− b2
8a2 − 2b2
=
3
14
. Hallar
a + b
5a − 3b
A) 8 B) 9 C) 3 D) 4 E) 5
15. Si:
3a2
− b2
a4 − b4
=
1
3026
. Sabiendo que la media proporcional de a y b es 35.
Hallar a + b.
A) 74 B) 75 C) 76 D) 77 E) 78
16. En
a
b
=
c
d
. Se cumple que: a3
+ d3
= 65 y ad(a + c) = 20. Hallar bc
A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7
17. La suma y el producto de los 4 términos de una proporción continua son
respectivamente 192 y 194, 481. Calcular la diferencia de los extremos.
- 49

A) 75 B) 150 C) 104 D) 80 E) 144
18. Calcular la media proporcional entre “a” “b” sabiendo que “a” es la cuarta
proporcional de
5
6
,
1
4
y
2
3
y “b” es la tercia proporcional de
1
5
6.
A) 2 B) 3 C) 4 D) 6 E) 7
19. Al quitar 18 a cada uno de los números la razón entre los mismos sería
como 5 es a 7. Si la razón inicial de los mismos era como 7 es a 9.
Hallar el número mayor. A) 63 B) 72 C) 81 D)
90 E) 108
20. Si
a
80
=
80
c
. Hallar c si:
a
80
=
70
c − 5
A) 20 B) 30 C) 40 D) 80 E) 60
21. La suma de dos números es a su diferencia como 6 es a 1. Si el producto
de los dos números es 5040. Indicar la diferencia de los mismos.
A) 20 B) 16 C) 24 D) 12 E) 8
22. La razón de 2 números se eleva al cuadrado. Si a sus términos se le dis-
minuye en tres unidades calcule la diferencia de dichos números.
A)4 B) 8 C) 12 D) 9 E) 7
23. Calcule en qué relación se encuentran dos cantidades sabiendo que la
razón geométrica de tal raíz cuadrada del producto de dichas cantidades
y la semisuma de dichas cantidades es como 7 a 25.
A)3 es 4 B) 7es A 1 C)13 es a 26 D) 49 es a
1 E) 25 es a 9
24. Para 4 números a, b, c y d, además:
a
b
=
c
d
y
a
b
+
c
d
=
40
bc
calcule (d − a)min
A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 12
- 50

25. De una serie de 3 tres razones geométricas equivalente la suma de los
cuadrados de los anteriores y la suma de los cuadrados de los conse-
cuentes esta en la relación como 81 es a 121. Si el producto de los dos
últimos antecedente es 162,calcule la menor diferencia entre el menor de
los consecuentes sabiendo que el primer consecuente tiene 3 divisores.
A) 90 B) 70 C) 120 D) 130 E) 110
26. Dada la proporción a
b
= c
d
, ¿que aﬁrmación son verdaderas?
I.
(a − b)4
(c − d)4
=
a4
+ b4
c4 + d4
II.
ab
cd
=
(a + b)
(c + d)4
an
+ bn
an − bn
=
cn
+ dn
cn − dn
27. Si
a
b
=
b
c
=
c
d
=
d
e
y la diferencia entre el último consecuente y el primer
antecedente es 480 y la suma de las 4 razones es
4
3
. Hallar b + c + d.
A) 396 B) 156 C) 224 D) 386 E) 234
Respuesta: E)
28. En:
A
a
=
a
b
=
b
A
= k. Hallar: E =
2A3
+ 3b3
4a3
A)
7
6
B)
6
5
C)
5
4
D)
4
3
E)
3
2
Respuesta: C)
29. Los cuadrados de
1
2
,
1
4
y
1
8
son proporcionales a otros 3 números que
suman
147
576
. Uno de los números será:
A)
5
44
B)
7
144
C)
8
21
D)
7
176
E)
7
12
Respuesta: B)
30. S tiene la siguiente serie:
72
a
=
b
6
=
c
7
=
84
d
. Se sabe que: a+b+c+d091.
Hallar c − d
- 51

A) 4 B) 7 C) 3 D) 6 E) 8
Respuesta: C)
31. En una serie de razones geométricas iguales de razón 3, los antecedentes
son 3 números consecutivos. Hallar la suma de los consecuentes, sabiendo
que su producto es 18,960.
A) 15 B) 80 C) 7,5 D) 46 E) Ninguno
Respuesta: B)
32. La suma, la diferencia y el producto de dos números están en la misma
relación que los números 5, 3 y 40. Hallar el mayor.
A) 10 B) 20 C) 30 D) 40 E) 100
Respuesta: A)
33. La relación entre dos números es de 5 a 2. Hallar los números sabiendo
que su suma es 49.
Respuesta: 35 y 14.
34. La razón de dos números es
8
3
y su diferencia 55. Hallar los números.
Respuesta: 88 y 33.
35.
5
c
=
4
d
=
6
e
. Sabiendo que c + d + e = 120, hallar c, d y e.
Respuesta: c = 40, d = 32, e = 48.
36. Tres números cuya suma es 240 guardan entre si la relación de los
números 2, 3 y 5. Hallar los números.
Respuesta: 48, 72, y 120.
37. Una torre de 25.05 da una sombra de 33.40 m. ¿Cuál será ,a la misma
hora, la sombra de una persona cuya estatura es 1.80 m.?
Respuesta: 2.40 m.
38. Una cuadrilla de obreros emplea 14 días, trabajando 8 horas diarias, en
realizar cierta obra. Si hubiera trabajado una hora menos al día, ¿en
cuántos días habrían terminado la obra?
Respuesta: 16 días.
- 52

39. A la velocidad de 30 km. por hora un automóvil emplea 8
1
4
horas en ir
de una ciudad a otra. ¿ Cuánto tiempo menos se hubiera tardado si la
velocidad hubiera sido triple?
Respuesta: 5
1
2
h. menos.
40. Dos piezas de paño de la misma calidad cuestan, una 450 bs. y otra 300 bs.
Si la primera tiene 15 m. más que la segunda, ¿cuál es la longitud de cada
pieza?
Respuesta: 45 m.; 30 m.
41. Una guarnición de 1300 hombres tiene víveres par cuatro meses. Si se
quiere que los víveres duren 10 días más; ¿cuántos hombres habrá que
rebajar de la guarnición?
Respuesta: 100 hombres.
42. Una guarnición de 500 hombres tiene víveres para 20 días a razón de
3 raciones diarias. ¿Cuántas raciones diarias tomará cada hombre si se
quiere que los víveres duren 5 días más?
Respuesta: 2
2
5
raciones diarias.
43. Una calle de 50 m. de largo y 8 m. de ancho se halla pavimentada con
20000 baldosas ¿Cuántos baldosas serán necesarios para pavimentar otra
calle de doble largo y cuyo ancho es los
3
4
del ancho anterior?
Respuesta: 30000 baldosas
44. Una cuadrilla de 15 hombres se compromete a terminar en 14 días cierta
obra. Al cabo de 9 días sólo han hecho los
3
7
de la obra. ¿Con cuántos
hombres tendrán que ser reforzados para terminar la obra en el tiempo
ﬁjado?
45. Una pared de 5 m. de largo. 1 m. de alto y 0.07 m.de espesor ha costado
25 $. ¿Cuál será el espesor de otra pared de 14 m. de largo y 0.70 m. de
alto, por la cual se pagan 490 $?
Respuesta: 0.7 m.
46. 30 hombres se comprometen a hacer una obra en 15 días. Al cabo de 9
días solo han hecho los
3
11
de la obra. Si el capataz refuerza la cuadrilla
con 42 hombres, ¿podrán terminar la obra en el tiempo ﬁjado o no, y si
- 53

no es posible, cuántos días más necesitarán?
47. 10 hombres se comprometieron a realizar en 24 días cierta obra. Traba-
jaron 6 días a razón de 8 horas diarias. Entonces se pidió que acabaran
la obra 8 días antes del plazo que se les dio al principio. Se colocaron
más obreros, trabajaron todos 12 horas diarias y terminaron la obra en
el plazo pedido.¿Cuántos obreros se aumentaron?
Respuesta: 2 obreros.
48. Un capataz contrata una obra que debe comenzarla el día 1 de junio y
terminarla el 5 de julio. El día 1 de junio pone a trabajar 20 hombres,
los cuales trabajan hasta el día 14 inclusive a razón de 6 horas diarias.
Ese día el propietario le dice que necesita la obra terminada el día 24
de junio. Entonces, a partir del día 15, coloca más obreros, se trabajan
9 horas diarias en vez de 6 y logra complacer al propietario. ¿Cuántos
obreros aumentó el capataz a partir del día 15?
Respuesta: 8 obreros.
49. Si me rebajan el sueldo en un 20 % quedo ganando 1040 bolivianos men-
suales. ¿ Cuánto gano ahora?
50. ¿Qué número aumento en su 32 % equivale a 792?
Respuesta: 600.
51. 16. ¿A cómo hay que vender lo que ha costado 2.10 $ para ganar el 30 %
del cosó?
Respuesta: 2.73 $.
52. Un comerciante compra artículos con un descuento del 25 % del precio
de lista y los vende a un 25 % más que el precio de lista. ¿Cuál es su %
de ganancia sobre el costo?
Respuesta: 66
2
3
%
53. Se compran artículos a un 10 % menos que el precio de catálogo y se
venden un 10 % más que el precio de catálogo. ¿Qué % del costo se
gana?
Respuesta: 22
2
9
%.
54. No quise vender una casita cuando me ofrecían por ella 3840 $, con lo
cual hubiera ganado el 28 % del costo y algún tiempo después tuve que
- 54

venderla por 3750 $. ¿Qué % del costo gané al hacer la venta?
Respuesta: 25 %.
55. Dividir 225 en dos partes que sean entre si como 7 es a 8.
56. Dividir 60 en 3 partes tales que la 1ra
sea a la 2da
como 2 es a 3 y la 2da
a la 3ra
como 1 es a 5.
Respuesta: 1ra
, 6; 2da
, 9; 3ra
, 45.
57. Un campesino tiene 275 aves entre gallos, gallinas y palomas. El número
de gallinas es al de gallos como 7 es a 3 y el número de palomas es al de
gallinas como 5 es a 2. ¿Cuántas aves de cada especie tiene?
Respuesta: 70 gallinas; 30 gallos; 175 palomas.
58. Dividir 56 en cuatro partes tales que la 1ra
sea a la 2da
como 2 es a 3; la
2da
a la 3ra
como 3 es a 4 y la 3ra
a la 4ta
como 4 es a 5.
Respuesta: 1ra
, 8; 2da
, 12; 3ra
, 16; 4ta
, 20.
59. Si tengo alcohol de 40o
, 35o
, 30o
y 25o
, ¿qué cantidad de cada graduación
necesitaré para preparar 5 litros de 33o
?
de 40o
para que la mezcla resulte de 30o
Respuesta: 1 l.
60. Con alcohol de 40o
, 30o
y 20o
se quieren obtener 60 litros de alcohol de
25o
. Si en la mezcla han de entrar 10 litros de 40o
, ¿cuántos litros habrá
que poner de los otros ingredientes?
Respuesta: 40 ls. de 20o
y 10 ls. de 30o
.
61. ¿A cómo debo vender el litro de una mezcla de 30 ls. de vino de 60 bs. y
20 ls. de agua para ganar 8 bs. por litro?
62. Para obtener alcohol de 60o
, ¿qué cantidades serán necesarias de alcohol
de 70o
y 30o
?
Respuesta: 30 ls. de 70o
y 10 ls. de 30o
para 40 ls. de la mezcla.
- 55

- 56

Capítulo 2
ÁLGEBRA
TEORÍA-EJEMPLOS
2.1. introducción
El álgebra esencialmente es una generalización de la Aritmètica en el sen-
tido que los objetos que se manejan ( denominados expresiones algebraicas )
representan no a números concretos y específicos, sino a un conjunto amplio
de números; por ejemplo (a + b)2
representa al conjunto de números que se
obtienen sumando dos números cualesquiera y multiplicando dicha suma por
sí misma.
El álgebra ha recorrido en su evolución desde la denominación de los objetos
( con los que trabaja ) empleando el lenguaje cotidiano usual, pasando por una
simbología resultante de la simplificación de vocablos cotidianos hasta lograr
el uso de símbolos apropiados y eficientes que aparecen en su forma actual.
El problema central del álgebra es la búsqueda de cantidades que tengan o
cumplan determinadas condiciones; este problema se conoce como resolución
de ecuaciones. El álgebra permite la representación mediante símbolos de las
cantidades buscadas y permite la traducción simbólica de las condiciones o
relaciones cuantitativas que deben cumplir dichas cantidades. El resultado es
la construcción de un sistema de ecuaciones. Por otra parte, el álgebra ha
desarrollado un conjunto de resultados que se conocen como identidades; las
que permiten expresar las expresiones algebraicas de diferentes maneras. Y
es el empleo apropiado de dichas identidades o igualdades que permiten la
resolución de las ecuaciones.
Un primer objetivo del álgebra es manejar las diferentes identidades alge-
braicas, donde este dominio requiere de un buen manejo aritmético; por lo que
es importante considerar importante que la base de un buen aprendizaje en
57

UMSS - FCyT - Departamento de Matemáticas CAPÍTULO 2. ÁLGEBRA
TEORÍA-EJEMPLOS
álgebra está basado en un buen aprendizaje de la Aritmética.
El segundo objetivo, el principal, del ágebra es la traducción en términos de
ecuaciones de las relaciones existentes entre diferentes cantidades establecidas
com información o conjunto de datos del problema que son las que determinan
la solución o determinación de valores desconocidos conocidos como incógnitas.
Finalmente, el ágebra provee diferentes procedimientos o algoritmos de res-
olución de las ecuaciones y contiene resultados relativos a la existencia y can-
tidad de soluciones a un problema.
- 58

2.2. ALGEBRA
2.2. Algebra
Expresión Algebraica.- Es el conjunto de números y letras unidas entre
si por los signos de operación, como la suma, la resta, la multiplicación, la
división, la potenciación y la radicación.
4x3
− 3y2
+ 7z2
,
5x5
+ 8 x2 − 7xy4 + 6z
3x2y − 3xy
no son expresiones algebraicas; cos x, tan x, etc.
Término Algebraico.- Es la expresión algebraica cuyas partes no están
separadas ni por el signo más ni por el signo menos, solo contiene productos y
cocientes de números y de letras. Otra definición es un monomio separado de
otro por el signo más o por el signo menos.
Ejemplo 2.1
5x2
, 7y3
z4
, −4x4
y5
z9
Partes de un Término Algebraico.- Todo término algebraico presenta
las siguientes partes: Coeficientes, parte literal, exponente.
(−5)x7
(-5) es el coeficiente; x es parte literal y 4 el exponente.
2.2.1. Teoría de Exponentes
La teoría de exponentes tiene el objeto estudiar todas las clases de expo-
nentes que existen y las relaciones que se dan entre ellos.
La operación que permite la presencia del exponente es la potenciación, la cual
se define así:
Potenciación Es la operación que consiste en repetir un número llamado
base tantas veces como factor, como lo indica otro llamado exponente, al re-
sultado de esta operación se le denomina potencia, esto es:
Potencia = (base)exponente
Ejemplo 2.2
36
= 3 × 3 × 3 × 3 × 3 × 3 = 729
Ejemplo 2.3
45
= 4 × 4 × 4 × 4 × 4 = 1024
- 59

TEORÍA-EJEMPLOS
De forma general se tiene
an
= a × a × . . . × a × a
n veces a
2.2.2. Propiedades de los exponentes
Multiplicación de Potencias de Bases Iguales.- Para esto se escribe la
misma base, y como exponente se escribe la suma de los exponentes, esto es:
am
· an
= am+n
Ejemplo 2.4
x6
· x9
= x6+9
= x15
, x3
· x5
· x−3
· x12
= x3+5−3+12
= x17
División de Potencias de Bases Iguales:- En este caso se escribe la
misma base, y como exponente se escribe la diferencia de los exponentes. Esto
es:
am
an
= am−n
Ejemplo 2.5
27
24
= 27−4
= 23
= 8,
x9
x12
= x9−12
= x−3
,
xm+1
xm−3
= x(m+1)−(m−3)
= x4
Exponente Cero.- Toda cantidad diferente de cero, con exponente cero, es
igual a la unidad. Esto es:
a0
= 1, a = 0
Exponente Negativo
Toda cantidad diferente de cero, elevada a un exponente negativo, es igual
a una fracción cuyo numerador es 1 y cuyo denominador es igual a la misma
expresión pero con exponente hecho positivo. Esto es:
a−n
=
1
an
, a = 0
Ejemplo 2.6
5−2
=
1
52
, x−8
=
1
x8
,
a3
b5
= a3
b−5
- 60

2.2. ALGEBRA
Potencia de un producto
Para efectuar se eleva cada factor a dicha potencia. Esto es
(a · b)n
= an
· bn
Observación : En lugar de escribir (a · b)n
= an
· bn
se escribe de forma
abreviada así (a · b)n
= (ab)n
y an
· bn
= an
bn
Ejemplo 2.7
(a · b)7
= a7
· b7
, x9
y9
= (xy)9
,
5x
· 7x
35x
=
(5 · 7)x
35x
= 1
Potencia de un Cociente
Para efectuar se eleva tanto el numerador como el denominador a dicha
potencia. Esto es:
a
b
n
=
an
bn
Ejemplo 2.8
x
y
7
=
x7
y7
12m
4m
=
12
4
m
= 3m
Potencia negativa de un Cociente
Para efectuar, se invierte el cociente y la potencia se transforma en positiva
y se procede como en el caso anterior. Esto es.
a
b
−n
=
b
a
n
=
bn
an
Ejemplo 2.9
7
2
−3
=
2
7
3
=
23
73
Potencia de Potencia
Para realizar está operación se escribe la misma base y se eleva a un expo-
nente igual al producto de los exponentes. Esto es.
(am
)n
= amn
Ejemplo 2.10
(x5
)4
= x(5)(4)
= x20
9x
= (32
)x
= 32x
- 61

TEORÍA-EJEMPLOS
Raíz de una Potencia
Para extraer la raíz de una potencia se escribe la misma base y como expo-
nente, la división del exponente de la potencia entre el índice del radical. Esto
es.
n
√
ap = a
p
n
Ejemplo 2.11 Extraer
√
x8 = x
8
2 = x4
5
√
x15 = x
15
5 = x3
3 4
√
x24 =
3
x
24
4 =
3
√
x6 = x
6
3 = x3
Exponente Fraccionario
Toda cantidad elevada a un exponente fraccionario es igual a una raíz cuyo
índice es igual al denominador del exponente fraccionario y cuya cantidad
subradical es la misma cantidad elevada a un exponente igual al numerador
del exponente fraccionario. Esto es.
a
p
n = n
√
ap
Ejemplo 2.14
512
2
3 =
3
√
5122 = (
3
√
512 )2
= 82
= 64
Exponente Fraccionario Negativo
Toda cantidad elevada a un exponente fraccionario negativo es igual a una
fracción cuyo numerador es igual a la unidad, y cuyo denominador es igual al
exponente fraccionario pero hecho positivo
a− p
n =
1
a
p
n
Ejemplo 2.15 Efectuar 9−3
2 =
1
9
3
2
=
1
( 2
√
9)3
=
1
33
=
1
27
Raíz de un Producto
Para efectuar se escribe la raíz de cada factor. Así
n
√
ab = n
√
a
n
√
b , donde a ≥ 0 b ≥ 0
Ejemplo 2.16 4
(28)(34) =
4
√
28 4
√
34 = (22
)(3) = 12
7
x21y14 =
7
√
x21 7
y14 = x
21
7 y
14
7 = x3
y2
- 62

2.2. ALGEBRA
2.2.3. Leyes de los Signos
Multiplicación
Producto de dos términos de signos iguales es positivo y de signos diferentes
es negativo. Esto es
(+)(+) = (+), (−)(−) = (+), (−)(+) = (−), (+)(−) = (−)
División
Dos términos de signos iguales, divididos dan por resultado un término con
signo positivo y en el caso de signos diferentes, dan por resultado un término
de signo negativo, esto es
a)
(+)
(+)
= (+) b)
(−)
(−)
= (+) c)
(−)
(+)
= (−) d)
(+)
(−)
= (−)
Potenciación
Potencias positivas de índice par o impar dan siempre resultado positivo.
Potencias negativas de índice par dan resultado positivo y de índice impar dan
resultado negativo. Así
(+)par = (+) , (+)impar = (+) , (−)par = (+) , (+)impar = (−)
Radicación
Raíces de índice par de cantidades: a) Positivas o b) negativas tiene igual signo
que su cantidad subradical raíces de índice par de cantidades: c) positivas
tienen doble signo, positivo y negativo. Raíces de índice par de cantidades
negativas no existen en el campo real son cantidades imaginarias
impar
(+) = (+), impar
(−) = (−), par
(+) = (+), par
(−) = (imaginario)
2.2.4. Ejercicios Ilustrativos
Ejemplo 2.17 Efectuar E = (2x2
)(3x3
y2
)(x2
y)2
Solución
En la solución, de este ejercicio, se utiliza la propiedad:
am
an
= am+n
En efecto, se tiene;
E = 6(x2
x3
x(2)(2)
y2
y2
) = 6(x2+3+4
y2+2
) = 6(x9
y4
)
- 63

TEORÍA-EJEMPLOS
Ejemplo 2.18 Efectuar
E =
(3m+n
)(3m−n
)(3m+4
)
(32m+1)(3m−2)
Solución Utilizamos la propiedad:
am
an
= am+n
E =
3(m+n)+(m−n)+(m+4)
3(2m+1)+(m−2)
=
3m+n+m−n+m+4
32m+1+m−2
=
33m+4
33m−1
= 3(3m+4)−(3m−1)
= 35
= 243
Ejemplo 2.19 Calcular el valor de la expresión
E =
(2m+3
)(72m+1
) − (2m+1
)(72m
)
(2m+5)(72m) − (2m+1)(72m+1)
a) 1 b) 2m
c) 7m
d) 2 e) 3
Solución: En la solución, de este ejercicio, utilizamos una de las propiedades:
am
an
= am+n
En efecto, se tiene:
E =
(2m
23
)(72m
71
) − (22m
21
)(72m
)
(2m25)(72m) − (22m21)(72m71)
Extrayendo factor común en el denominador.
E =
(2m
)(72m
)[(23
)(71
) − 21
]
(2m)(72m)[25 − (2)(7)]
Simpliﬁcando y efectuando operaciones
E =
56 − 2
32 − 14
= 3 ∴ E = 3 Respuesta e)
Ejemplo 2.20 Determinar el valor de la expresión
E =
a−2
− b−2
a−1 + b−1
−1
a−1
− b−1
a−2b−2
- 64

2.2. ALGEBRA
a) a2
b) b2
c) a2
b2
d) 1 e) ab
Solución: En este ejercicio, se utilizara las propiedades:
a−n
=
1
an
;
a
b
−n
=
b
a
n
Utilizando lo anterior;
E =



b2
− a2
a2b2
b + a
ab



−1 


b + a
ab
1
a2b2



Simpliﬁcando las fracciones
E =
ab(b2
− a2
)
a2b2(b + a)
−1
a2
b2
(b − a)
ab
Efectuando operaciones:
E =
(b + a)(b − a)
ab(b + a)
−1
{ab(b − a)}
Utilizando la otra propiedad
E =
ab
(b − a)
{ab(b − a)}
Efectuando se obtiene
E = a2
b2
Respuesta E=a2
b2
Ejemplo 2.21 Calcular el valor de: E =
216
∗ 353
∗ 803
154 ∗ 149 ∗ 302
a) 3 b) 5 c) −3 d) 2 e) 1
Solución: Descomponiendo en factores primos, para aplicar potencia de po-
tencia (ab)n
= an
bn
E =
(3 ∗ 7)6
∗ (7 ∗ 5)3
∗ (24
∗ 5)3
(3 ∗ 5)4 ∗ (2 ∗ 7)9 ∗ (2 ∗ 3 ∗ 5)2
aplicando potencia de potencia
36
∗ 76
∗ 73
∗ 53
∗ 212
∗ 53
34 ∗ 54 ∗ 29 ∗ 79 ∗ 22 ∗ 32 ∗ 52
aplicando propiedad, para luego simpliﬁcar:
E =
36
∗ 79
∗ 56
∗ 212
36 ∗ 56 ∗ 211 ∗ 79
= 21
= 2 Respuesta: 2
- 65

TEORÍA-EJEMPLOS
Ejemplo 2.22 Calcular el valor de
E =
2x+4
+ 36(2x−2
)
2x+5 − 2(2x+3) − 4(2x+1) − 6(2x−1)
a) 5 b) − 3 c) −1 d) 2 e) −5
Solución: Por la teoría de los exponentes: am+n
= am
an
, am−n
=
am
an
E =
2x
24
+ 36(2x
2−2
)
2x25 − 2(2x23) − 4(2x21) − 6(2x2−1)
=
(16)(2x
) + 36
2x
22
(32)(2x) − (16)(2x) − (8)(2x) − 6
2x
21
=
(16)(2x
) + (9)(2x
)
(32)(2x) − (16)(2x) − (8)(2x) − (3)(2x)
=
(25)(2x
)
(5)(2x)
= 5 Respuesta: 5
2.2.5. Ecuaciones Exponenciales
Son igualdades relativas cuyas incógnitas aparecen como exponentes. Se
entiende por igualdad relativa a aquella que se veriﬁca para algunos valores
que se le asigne a sus incógnitas
Ejemplos
a) 2x
= 100 b) 238x
= 512 c) [A4x
]2−x
= B1645
2.2.6. Solución de una ecuación Exponencial
Es el valor o valores que veriﬁcan la igualdad relativa.
3x
= 81, x = 4, 34
= 81
2x
= 32, x = 5, 25
= 32
para obtener la solución se debe tener en cuenta:
Primer caso
1. Las bases de las potencias deben ser iguales.
- 66

2.2. ALGEBRA
2. Para que haya igualdad los exponentes de las potencias, como consecuen-
cia, deben ser iguales, esto es:
Si Am
= An
entonces m = n
Segundo caso
1. Los exponentes de las potencias deben ser iguales.
2. Para que haya igualdad las bases de las potencias, como consecuencia,
deben ser iguales, esto es:
Si Am
= Bm
entonces A = B
Ejemplo 2.23 Resolver la ecuación exponencial
2793−x
=
3
√
3
a) 2 b) 4 c) 6 d) 8 e) 5
Solución: Igualando las bases de las potencias, para lo cual se escoge la base
3
(33
)93−x
= 3
1
3
Efectuando operaciones, se tendrá
3(3)(93−x)
= 3
1
3
Igualando los exponentes
3 ∗ 93−x
=
1
3
Igualando a la base común 3
3 ∗ (32
)3−x
= 3−1
Efectuando
31
∗ 36−2x
= 3−1
31+6−2x
= 3−1
Igualando bases
7 − 2x = −1
7 + 1 = 2x
8 = 2x
4 = x Respuesta: x = 4
Observación : 3 · 93−x
= 3 ∗ 93−x
= (3)(93−x
)
- 67

TEORÍA-EJEMPLOS
2.2.7. Ejemplos Ilustrativos
Ejemplo 2.24 Resolver 53x−5
= 1259x+4
es :
a) −14 b) 14 c) −13 d) 4 e) − 4
Solución: Expresando en base 5
Potencia de potencia 53x−5
= 5(3)(9x+4)
Bases iguales 3x−5
= (3)(9x+4
)
Expresando como potencia de 3 3x−5
= (3)(32
)x+4
Potencia de potencia: 3x−5
= (3)(32x+8
)
3x−5
= 32x+9
bases iguales x − 5 = 2x + 9
x = −14
Respuesta: x = −14
Ejemplo 2.25 Resolver la ecuación exponencial.
4x+1
2 − 3x−1
2 = 3x+1
2
a) 1 b) − 1 c)
1
2
d) 2 e) ninguno
Solución : Aplicando multiplicación de potencias de bases iguales
4x
4
1
2 − 3x
3−1
2 = 3x
3
1
2
efectuando, exponente negativo
4x
√
4 − 3x 1
√
3
= 3x
√
3
4x
2 − 3x 1
√
3
= 3x
√
3
- 68

2.3. EXPRESIONES ALGEBRAICAS
común denominador
4x
2
√
3 − 3x
= 3x
√
3
√
3
4x
2
√
3 − 3x
= 3x
3
4x
2
√
3 = (4)(3x
)
4x
3x
=
2
√
3
4x
3x
=
√
4
√
3
4
3
x
=
4
3
1
2
bases iguales
x =
1
2
Respuesta : x =
1
2
2.3. Expresiones Algebraicas
2.3.1. Grado de una expresión Algebraica
Grado de una expresión algebraica es una característica relacionada con
el exponente de sus letras, el cual debe ser un número entero y positivo y
permite determinar el número de sus soluciones de una ecuación. Puede ser de
dos tipos, relativo y absoluto.
Grado Relativo.- Se reﬁere a una sola letra.
Grado Absoluto.- Se reﬁere a todas las letras
Grados de un monomio
Monomio.- Es la mínima expresión algebraica que posee tiene un solo
término algebraico
Ejemplo 2.26
5xy4
, −3xyz2
,
8x
y
Binomio.- Es una expresión algebraica de dos términos
Ejemplo 2.27
5x + 6y, 7x5
− 7xyz3
- 69

TEORÍA-EJEMPLOS
Trinomio.- Es una expresión algebraica de tres términos
Ejemplo 2.28
−5x + 5x + 6y, 8x − 7x5
− 7xyz3
, x4
− 12xy +
xy
2z2
Grados de un Monomio
Grado absoluto (G.A.).- El grado absoluto de un monomio está dado por
la suma de los exponentes de todas sus letras.
Grado Relativo.- Está dado por el exponente de la letra referida a dicho
monomio.
Ejemplo 2.29 Dado E = 59
x3
y4
w7
entonces
(a) G.A.M.=3+4+7=14
(b) G.R.M. =



G.R.(x) = 3 con respecto a x
G.R.(y) = 4 con respecto a y
G.R.(w) = 7 con respecto a w
2.3.2. Polinomio
Es una expresión algebraica que tiene dos o mas términos algebraicos, recibe
el nombre de binomio cuando tiene dos términos; trinomio cuando tiene 3
términos. Un polinomio en la variable x se representa de la siguiente manera
P(x) = anxn
+ an−1xn−1
+ an−2xn−2
+ . . . + a2x2
+ a1x1
+ a0
donde a0, a1, a2, . . . , an
Grados de un Polinomio
Se llama grado de una expresión algebraica racional entera, a una carac-
terística relacionada con los exponentes se sus letras.
Grado absoluto de un polinomio
G.A.P. : Está dado por él término que tiene mayor grado absoluto.
Grado Relativo de un polinomio
G.R.P. : Está dado por el término de mayor exponente de la letra del polinomio.
Ejemplo 2.30 Determinar los grados del polinomio.
P(x) = 6x3
y5
z3
+ 8x2
y5
z + 7x6
yz9
- 70

Solución.-
1. Se tiene
a) Grado absoluto de 6x3
y5
z3
. . . es 11
b) Grado absoluto de 8x2
y5
z . . . es 8
c) Grado absoluto de 7x6
yz9
. . . es 16
Luego el grado absoluto del polinomio es el mayor, esto es: 16.
1. Grado Relativo G.R.(x) = 6
2. Grado Relativo G.R.(y) = 5
3. Grado Relativo G.R.(z) = 9
Notación.- La representación de un polinomio es mediante sus variables y
constantes.
P(x, y, z) = a3
+ by6
+ cz9
donde.
P : nombre genérico
x, y, z: Variables
a, b, c: Constantes
2.3.3. Clasiﬁcación
Los polinomios se clasiﬁcan en:
Polinomio ordenado
Son aquellos polinomios dispuestos en forma descendente o ascendente, esto
es por que los valores de los exponentes de la letra considerada es ascendente
o descendente
Ejemplo 2.31 Dado el polinomio
P(x, y) = x4
y9
− 6x7
y8
+ 9x10
y5
El polinomio es creciente respecto a x, es decreciente respecto de y
- 71

TEORÍA-EJEMPLOS
Polinomio completo
Se caracteriza por que los exponentes de la letra considerada existen desde
el mayor hasta el cero inclusive, denominado este último término independiente
del polinomio con respecto a esta letra.
Ejemplo 2.32 Sea el polinomio
P(x, y) = 7x3
+ 6x2
y + 7xy2
+ 9y3
Es polinomio completo con respecto a x, y su término independiente con re-
specto a está letra es 9y3
Propiedades de un polinomio completo
Propiedad 1: El número de términos de un polinomio es igual al grado de
polinomios más uno.
Propiedad 2: La diferencia de grados relativos de dos términos consecutivos
es igual a la unidad
G.R.(tx+1) − G.R(tx) = 1
Polinomio Homogéneo
Se caracteriza por que todos sus términos tienen igual grado absoluto
Ejemplo 2.33 Sea el polinomio P(x, y) = 5x3
y6
+ 8x2
y7
− 4xy8
Polinomio Heterogéneo
Son aquellos polinomios cuyos términos no todos tienen igual grado abso-
luto
Ejemplo 2.34 Sea el polinomio P(x, y) = 9x7
y − 6x3
y + 8x5
y6
Polinomio Idénticos
Se caracteriza por que sus términos semejantes tienen iguales coeﬁcientes
Polinomio idénticamente Nulo
Si sus coeﬁcientes son iguales a cero.
Ejemplo 2.35 Sea el polinomio:
P(x) = a4x4
+ a3x3
+ a2x2
+ a1x1
+ a0
es idénticamente nulo quiere decir a4 = a3 = a2 = a1 = a0 = 0
- 72

Polinomio Entero en x
Es aquel que se caracteriza porque todos sus exponentes son enteros y su
única variable es “x” .
Un polinomio P(x) se representa así:
De primer grado: P(x) = ax + b
De segundo grado P(x) = ax2
+ bx + c
De tercer grado: P(x) = ax3
+ bx2
+ cx + d, y así sucesivamente.
Valor Numérico de un Polinomio
Es el valor que toma dicho polinomio, cuando se reemplaza en el valores
asignados a sus variables.
Ejemplo 2.36 Sea el polinomio: P(x, y) = x2
+ y3
− 9, hallar P(3, −2)
Solución : Se reemplaza los valores de x, y , esto es
P(3, −2) = (3)2
+ (−2)3
− 9 = 9 − 8 − 9 = −8
Ejemplos Ilustrativos
Ejemplo 2.37 En el siguiente monomio:
xn
ym
z5n
x1−myn−3zm−2
el grado relativo respecto a x es 12, el grado relativo respecto a y es 10, Hallar
el grado relativo respecto a z.
Solución : Para hallar el grado respecto a z se debe calcular los valores de m
y n.
Datos: Por dato (1) la diferencia de los exponentes de x es 12.
GRx : n − (1 − m) = 12
n − 1 + m = 12
n + m = 13 ♣
Por dato (2), la diferencia de exponentes de y es 10.
GRx : m − (n − 3) = 10
m − n + 3 = 10
m − n = 7 ♠
- 73

TEORÍA-EJEMPLOS
sumando ♣ y ♠:
2m = 20; m = 10
reemplazando en ♣
n + 10 = 13; n = 3
Luego
GRz = 5n − (m − 2) = 5n − m + 2
sustituyendo los valores de m y n:
GRz = 5(3) − 10 + 2 = 7
Respuesta: GRz = 7
Ejemplo 2.38 Hallar el valor de “ m” para que la siguiente expresión sea de
segundo grado.
M =


3
(a−2b
m
5 )
−1
2
4
a3 a0b
−m
5


−3
Solución : Trabajando con el numerador:
3
(a−2b
m
5 )
−1
2 = a
(−2)( −1
2 )
3 b
( m
5 )( −1
2 )
3 = a
1
3 b
−m
30
trabajando con el denominador
4
a3 a0b
−m
5 = a
3
4 b
−m
40
Reemplazando los equivalentes en la proposición:
M =
a
−1
3 b
−m
30
a
3
4 b
−m
40
−3
= a
1
3
−3
4 b
−m
30
+ m
40
M = a
−5
12 b
−m
120
−3
= a
−5
12 b
−m
120
−3
= a
5
4 b
m
40
Por el dato G.A.M.
5
4
+
m
40
= 2 :
50 + m
40
= 2 ∴ m = 30
Respuesta. : m = 30
- 74

2.4. OPERACIONES CON EXPRESIONES ALGEBRAICAS
Ejemplo 2.39 Si an
bn
= kn
donde k es una constante, calcular el G.A. de
M =
kn
+ b2n
a−2nkn + 1
+
kn
+ a2n
b−2nkn + 1
Solución : Trabajando con cada expresión:
M1 =
kn
+ b2n
a−2nkn + 1
=
an
bn
+ b2n
a−2nanbn + 1
=
bn
(an
+ bn
)
bn
an
+ 1
=
an
bn
(an
+ bn
)
bn + an
=
√
anbn = a
n
2 b
n
2
M2 =
kn
+ a2n
b−2nkn + 1
=
an
bn
+ a2n
b−2nanbn + 1
=
an
(bn
+ an
)
an
bn
+ 1
=
an
bn
(bn
+ an
)
an + bn
=
√
anbn = a
n
2 b
n
2
G.A.M1 =
n
2
+
n
2
=
2n
2
= n
G.A.M2 =
n
2
+
n
2
=
2n
2
= n
Por lo tanto G.A de M es n
Respuesta: mGAM = n
2.4. Operaciones con Expresiones Algebraicas
2.4.1. Suma y Resta
Para sumar o restar expresiones algebraicas, se suman o se restan términos
semejantes, se denomina términos semejantes a aquellos que tienen la misma
parte literal afectada por los mismos exponentes, los coeﬁcientes pueden ser
iguales o diferentes.
- 75

TEORÍA-EJEMPLOS
Supresión de signos
Es la operación que permite eliminar los signos de agrupación, se opera así:
1. Cuando el signo de colección está precedido del signo más, se elimina sin
producir ningún cambio:
a + (b − c) = a + b − c
2. Cuando el signo de colección está precedido del signo menos, se elimina
cambiando de signo a todos los términos que se encuentran dentro de el,
así:
a − (b − c) = a − b + c
Introducción de Signos de Colección
Es la operación que permite agrupar dos o más términos en uno, está
operación se realiza así:
1. Cuando va ir precedido del signo más, se escribe el signo de colección
respectivo, sin realizar ningún cambio de signo a los términos que quedan
dentro de el, así
a + b − c = a + (b − c)
Cuando va ir precedido del signo menos, se escribe el signo de colección
respectivo, cambiando de signo de colección respectivo, cambiando de
signo a todos los términos que se introducen. Así:
a − b + c = a − (b − c)
2.4.2. Multiplicación de Expresiones Algebraicas
Deﬁnición 2.4.1 La multiplicación es una operación que consiste en obten-
er una tercera expresión llamada producto, conociendo otras dos expresiones
llamadas multiplicando y multiplicador
El multiplicador y el multiplicando son llamados factores del producto
Propiedades
1. Conmutatividad : ab = ba
el orden de los factores no altera el producto
- 76

2.4. OPERACIONES CON EXPRESIONES ALGEBRAICAS
2. Asociatividad: abcd = (ab) ∗ (cd) = (abc) ∗ d
Los factores de un producto pueden agruparse de cualquier modo.
1. El término independiente del producto es igual al producto de los térmi-
nos independientes de los factores
2. El grado de producto de dos polinomios es igual a la suma de los grados
de los factores
2.4.3. Multiplicación de Monomios
Cuando son dos Monomios
Se multiplican los signos, luego los coeﬁcientes y por último las partes
literales utilizando la teoría de los exponentes
Multiplicación de Polinomios
1. Se ordenan los polinomios con respecto a una letra preferentemente en
forma descendente, completando con ceros en cada término que falla y
se escribe uno debajo del otro.
2. Se multiplican separadamente cada término del multiplicador, por cada
uno de los términos del multiplicando.
3. Los productos parciales que se escriben en forma ordenada uno debajo
del otro de tal manera que constituyen términos semejantes.
4. Se suman los productos parciales, obteniéndose el producto total
Ejemplo 2.40 Multiplicar 4x3
+ 5x2
y + 7xy2
− 2y3
por 2x2
− 5xy + 3y2
Solución :
4x3
+ 5x2
y + 7xy2
− 2y3
+2x2
− 5xy + 3y2
8x5
+ 10x4
y + 14x3
y2
− 4x2
y3
−20x4
y3
− 25x3
y2
− 35x2
y3
+ 10xy4
+12x3
y2
+ 15x2
y3
+ 21xy4
− 6y5
8x5
− 10x4
y + x3
y2
− 24x2
y3
+ 31xy4
− 6y5
- 77

TEORÍA-EJEMPLOS
2.4.4. Productos Notables
Definición 2.4.2 Denominados también identidades algebraicas. Se llaman
productos notables a ciertos productos que cumplen reglas fijas y cuyo resultado
puede ser escrito por simple inspección, es decir sin verificar la multiplicación:
1. Cuadrado de una suma y una diferencia de dos cantidades
(a + b)2
= a2
+ 2ab + b2
(a − b)2
= a2
− 2ab + b2
2. Producto de una suma por su diferencia de dos cantidades
(a + b)(a − b) = a2
− b2
da diferencia de cuadrados
3. Cuadrado de un trinomio
(a + b + c)2
= a2
+ b2
+ c2
+ 2ab + 2ac + 2bc
4. Cubo de una Suma o de una Diferencia
(a + b)3
= a3
+ 3a2
b + 3ab2
+ b3
(a − b)3
= a3
− 3a2
b + 3ab2
− b3
5. Producto de dos Binomios que tienen un término común
(x + a)(x + b) = x2
+ (a + b)x + ab
6. Producto de tres Binomios que tienen un término común
(x + a)(x + b)(x + c) = x3
+ (a + b + c)x2
+ (ab + ac + bc)x + abc
7. Producto de un binomio por un trinomio que da una suma o diferencia
de cubos
(a + b)(a2
− ab + b2
) = a3
+ b3
(a − b)(a2
+ ab + b2
) = a3
− b3
8. Identidades de Legendre:
(a + b)2
+ (a − b)2
= 2(a2
+ b2
)
(a + b)2
− (a − b)2
= 4ab
9. Identidades de Lagrange.
(ax + by)2
+ (bx − ay)2
= (x2
+ y2
)(a2
+ b2
)
(ax+by+cz)2
+(bx−ay)2
+(cx−az)2
+(cy−bz)2
= (a2
+b2
+c2
)(x2
+y2
+z2
)
- 78

2.5. LOGARITMOS
2.5. Logaritmos
Definición 2.5.1 El logaritmo de un número positivo N, en base b, positiva
y distinta de la unidad, es el exponente x a que debe elevarse otro número
llamado base para obtener dicho número.
Definición 2.5.2 Se llama logaritmo de un número N, en una base dada b,
positiva y distinta de la unidad, al exponente x a que debe elevarse otro número
llamado base para obtener el número dado. Esto es:
logb N = x ⇔ bx
= N
Notación logarítmica notación exponencial
Donde
N =Número positivo
b = Número positivo y diferente de 1 base, b 0, b = 0
x = exponente de la base.
De la definición deducimos que
N = blogb N
Identidad que es útil algunas veces
Ejemplo 2.41 Hallar el logaritmo de 81 en base 3
Solución: Por definición de logaritmos
log3 81 = x ⇔ 3x
= 81
⇔ 3x
= 34
bases iguales ⇒ x = 4
Ejemplo 2.42 Hallar el logaritmo de 8 3
√
4 en base 5
√
2
Solución: Sea x el logaritmo buscado. Por definición:
log 5√
2 8 3
√
4 = x ⇔ ( 5
√
2)x
= 8 3
√
4
⇔ 2
x
5 = 23
(22
)
1
3
⇔ 2
x
5 = 23+2
3
⇔ 2
x
5 = 2
11
3
igualando exp
x
5
=
11
3
de donde x =
55
3
Por lo tanto
log 5√
2 8
3
√
4 =
55
3
- 79

TEORÍA-EJEMPLOS
2.5.1. Propiedades
1. P1. La base de un sistema de logaritmos no puede ser negativa
2. P2. En todo sistema de logaritmos, el logaritmo de la base es igual a la
unidad: logb b = 1
3. P3. En todo sistema, el logaritmo de 1 es cero, logb 1 = 0
4. P4. Logaritmo de un producto: logb(M · N) = logb M + logb N
5. P5 El logaritmo de un producto es igual a la suma de los logaritmos de
los factores
6. P6. Logaritmo de un cociente: logb
M
N
= logb M − logb N
7. P7. El logaritmo de un cociente es igual al logaritmo del dividendo menos
el logaritmo del divisor.
8. P8. Logaritmo de una potencia: logb Mn
= n logb N
9. P9. El logaritmo de una potencia es igual al exponente multiplicado por
el logaritmo de la base (del mismo)
10. P10. Logaritmo de una Raíz: logb
n
√
M =
logb M
n
11. P11. El logaritmo de una raíz es igual al logaritmo de la cantidad sub-
radical dividido entre el índice de la raíz.
12. P12 En todo sistema de logaritmos, si se eleva a la base y al número
a una potencia “n”,o a una raíz “n”, el resultado es igual al logaritmo
dado, no varia.
logb N = logbn Nn
= log n√
b
n
√
N
Cambio de un sistema a otro
logb N =
loga N
loga b
Cologaritmo.- Se llama cologaritmo de un número, al logaritmo del
recíproco de un número
cologb = logb
1
N
= − logb N
- 80

2.5. LOGARITMOS
2.5.2. Ejercicios Ilustrativos
Ejemplo 2.43 Hallar log8 0,125
Solución:
log8 0.125 ⇔ log8 0.125 = x
⇔ 8x
= 0.125 =
1
8
= 8−1
⇒ x = −1
∴ log8 0.125 = −1
Ejemplo 2.44 Hallar log9
√
3 0.1
Solución:
log9
√
3 0.1 ⇔ (9
√
3)x
= 0.1
sea a = 0.1 = 0.1111111 . . . (2.1)
multiplicando por 10 ambos miembros en ecuación (2.1)
10a = 1.1111111 . . . (2.2)
(2.2) - (2.1) : 9a = 1 ⇒ a =
1
9
=
1
32
= 3−2
⇒ a = 3−2
Luego
(9
√
3)x
= 0.1
(32
3
1
2 )x
= 3−2
3
5
2
x
= 3−2
⇒ 5
2
x = −2 ⇒ x =
−4
5
∴ log9
√
3 0.1 =
−4
5
Ejemplo 2.45 Hallar el valor de x para que se cumpla la igualdad 5 log x −
log 288 = 3 log
x
2
Solución: Aplicando propiedad de logaritmo de una potencia y cociente
log x5
− log 288 = log
x
2
3
log
x5
288
= log
x
2
3
- 81

TEORÍA-EJEMPLOS
Igualando logaritmos
x5
288
=
x
2
3
=
x3
8
⇒ x3
= 0 ∨
x2
288
−
1
8
= 0
x2
=
288
8
= 36 ⇒ x = 6 ∨ x = −6
Por tanto el valor que puede tomar x es 6 ∴ x = 6
Observación: x no pude tomar el valor de -6 debido a que x5
y
x
2
3
tienen
que ser positivos por deﬁnición de logaritmos
Ejemplo 2.46 Hallar el valor de y para que se cumpla la igualdad
logb(y + 1) + logb(y − 5) + logb
1
7
= 0
Solución: Aplicando propiedades, producto de logaritmos y deﬁnición de log-
aritmos
(y + 1)(y − 5)
7
= b0
⇔
(y + 1)(y − 5)
7
= 1 ⇒ y2
− 4y − 12 = 0
(y − 6)(y + 2) = 0 ⇒ y = −2 ∨ y = 6 ∴ y = 6
Ejemplo 2.47 Hallar el valor de x para que se cumpla la igualdad
4
9
4x−9
=
9
4
9x−4
Solución:
4
9
4x−9
=
9
4
9x−4
4
9
4x−9
=
1
4
9
9x−4 ⇒
4
9
13x−13
= 1
⇒ 13x − 13 = 0 ⇒ x = 1
Ejemplo 2.48 En la siguiente ecuación logarítmica, encontrar la solución
positiva de “x”
log(x+3) 6 −
log(3+x) 4
log(4−x) 4
= 1
A) 2 B) 4 C) 3 D) 6 E) Ninguno
- 82

2.5. LOGARITMOS
Solución: Aplicando cambio de base en base 10:
log 6
log(x + 3)
−
log 4
log(3 + x)
log 4
log(4 − x)
= 1 ⇔
log 6
log(x + 3)
−
log(4 − x)
log(3 + x)
= 1
común denominador log 6 − log(4 − x) = log(x + 3)
Propiedad de cociente
log
6
4 − x
= log(x + 3)
6
4 − x
= x + 3
x2
− x − 6 = 0
(x − 3)(x + 2) = 0
De donde se tiene x = 3
Ejemplo 2.49 Hallar el valor de x para que se cumpla la igualdad
3log x+1
− 5log x−1
= 5log x
− 3log x−1
Solución: sea y = log x
reemplazando y = log x en 3log x+1
− 5log x−1
= 5log x
− 3log x−1
3y+1
− 5y−1
= 5y
− 3y−1
⇒ 3y+1
+ 3y−1
= 5y
+ 5y−1
⇒ 3(y+1)+1−1
+ 3y−1
= 5y−1
+ 5y+(−1+1)
⇒ 3y−1
32
+ 3y−1
= 5y−1
+ 5y−1
51
⇒ 3y−1
(32
+ 1) = 5y−1
(1 + 51
)
⇒ 10 · 3y−1
= 6 · 5y−1
⇒ (2)(5) · 3y−1
= (2)(3) · 5y−1
⇒ 3−1
· 3y−1
= 5−1
· 5y−1
⇒ 3y−2
= 5y−2
3y−2
= 5y−2
(2.3)
la ecuación (2.3) se veriﬁca si los exponentes de 3 y 5 son cero es decir si
y − 2 = 0
de donde y = 2
reemplazando y = 2 en y = log x
2 = log x ⇒ x = 100
- 83

TEORÍA-EJEMPLOS
Ejemplo 2.50 Resolver el sistema de ecuaciones
log√
2(y − x) = 4
3x
· 2y
= 576
Solución
log√
2(y − x) = 4
3x
· 2y
= 576
≡
y − x = (
√
2)4
3x
· 2y
= 576
≡
y − x = 4
3x
· 2y
= 576
≡
y − x = 4 (♣1)
3x
· 2y
= 576 (♠2)
de (♣1) se tiene
y = x + 4 (♣1.2)
reemplazando y = x + 4 en la ecuación (♠2)
3x
· 2x+4
= 576
de donde
3x
· 2x
· 24
= 576 ⇒ 3x
· 2x
=
576
24
= 36 ⇒ 3x
· 2x
= 6x
= 62
⇒ x = 2
reemplazando x = 2 en (♣1) se tiene y = 6
∴ x = 2, y = 6
Nota: 3x
· 2x
=
3x
1
2x
=
3x
1
2
x =



3
1
2



x
= 6x
- 84

Capítulo 3
PROBLEMAS DE ÁLGEBRA
3.1.1. Operaciones con expresiones algebraicas
3.1.2. Productos y cocientes notables
3.1.3. Teoremas del residuo. Divisibilidad
3.1.4. Ecuaciones de primer grado con una incógnita.Problemas
3.1.5. Descomposición factorial
1. Si los polinomios:
A = 3x4
− 5x2
+ x − 1; B = 2x4
+ x3
− 2x + 3; C = 4x3
− x2
+ 7; D =
3x2
−4x+2; E = x4
−2x3
+5x; F = −x3
−9x; G = −x4
−3x3
−x2
+3x−9.
Calcular: M = A − {B + C − [D − E − (F + G)]} − x3
A) 2x4
B) x3
C) x4
D) 2x3
E) 2x
Respuesta: C)
2. Simpliﬁcar:
E = 2x − {−y + [2 − (−x − y − 2 + (x + y)])
A) x B) 0 C) y D) 2y E) 2x Re-
spuesta : C)
85

CAPÍTULO 3. PROBLEMAS DE ÁLGEBRA
3. Una persona A, tiene a pesetas, otra persona B tiene b pesetas, las dos
juntas su dinero y gastan en tres ocasiones diferentes una suma descono-
cida x. En el momento de separarse, A toma una suma c. Lo que le queda
a B es:
A) a + b + 3c − x B) a + b + x − c C) a + b − x − c D)
a + b − 3x − c E) a + b + 3x − c
Respuesta: B)
4. Efectuar: a
b
a
+ b
a
b
2
A) 0 B) a C) 4ab D) −4ab E) N.A.
Respuesta: C) 4ab
5. Efectuar: ( 5 + 2
√
6)( 5 − 2
√
6)
A) 10 B) 5 C)
√
10 D) 1 E)
√
13
6. Efectuar: (x2
+ x + 6)(x2
+ x − 3) − (x2
+ x + 9)(x2
+ x − 6)
A) 12 B) 18 C) 15 D) 36 E) 45
7. El primero y el último término de un binomio cuadrado perfecto son 36x2
y 4y2
z2
. ¿Cuál de los siguientes podría ser el término central
A) 24xyz B) 2xyz C) 12x2
y2
z2
D) 12xyz E) 6x2
yz
Respuesta: A) 24xyz
8. Si x2
− 3x + 2 ≡ (x − k)2
+ p ¿Cuál es el valor de p ?
A) −1
4
B) 2 C) 3 D) −2 E) 1
9. Hallar el valor de: (a + b)(b + c)(a + c). A partir de estas condiciones:
a + b + c = 6 a3
+ b3
+ c3
= 24
A) 64 B) 32 C) 16 D) 8 E) 4
10. Si a + b + c = 0, hallar el valor de:
a2
bc
+
b2
ac
+
c2
ab
A) 3 B) −3 C) 1 D) 0 E) 6
- 86

11. Si: xy = b;
1
x2
+
1
y2
= a, entonces (x + y)2
es igual a:
A) (a + 2b)2
B) a2
+ b2
C) b(ab + 2) D) ab(b + 2)
E) 1
a
+ 2b
12. Si: (x − y)2
+ (x − z)2
+ (y − z)2
= 0, calcular:
x5
+ y5
+ z5
(x + y + z)5
A) 9 B) 3 C) 1 D)
1
3
E)
1
9
13. Si: (a + b)2
+ (a − b)2
= −2ab, Hallar el valor de:
a2
+ b2
ab
+
a3
− b3
3ab
A) 1 B) 2 C) 3 D) 0 E) −1
Respuesta: E) − 1
14. Si x =
3
3
√
8 +
3
3 −
√
8, calcular: x3
− 3x + 4
A) 4 B) 6 C) 8 D) 10 E) 12
15. Si x + y + z + w = 2a. Simpliﬁcar:
(a − x)2
+ (a − y)2
+ (a − z)2
+ (a − w)2
(x + y)2 + (x − y)2 + (z + w)2 + (z − w)2
A) 1 B) 2 C)
1
2
D) −
1
2
E) Ninguno
16. Si (s +
1
x
)2
= 45; Hallar (x2
−
1
x2
)12
A) 15625 B) 16525 C) 156250 D) 12565 E) 16552
17. Sabiendo que: a + b + c = 1; ab + bc + ac = 2; determinar el valor de:
3(a4
b4
+ c4
) − 4(a3
+ b3
+ c3
)
A) 0 B) −1 C) 23 D) 17 E) 6
18. Efectuar
E = (x2
− y2
)(x2
+ y2
) + 2y(x3
+ y3
) − (x2
− y2
)2
− 2x2
y(x + y)
A) x3
B) y3
C) 2x2
y2
D) 0 E) x4
- 87

19. Efectuar
E = 3
(2x + 3y + z − 2t)3 − 9y(2x + z − 2t)(2x + 3y + z − 2t) − (2x + z − 2t)3
A) 3x B) 3y C) 3z D) y E) z
20. Efectuar:
E =
a
b
+
b
a
2
+
a
b
−
b
a
2 2
− 4
a
b
2
−
b
a
2 2
a
b
3
+
b
a
3 2
−
a
b
3
−
b
a
3 2
A) 4ab B)
4
ab
C) 16ab D)
16
ab
E) 4
Respuesta : E) 4
21. ¿Que lugar ocupa el término que es idéntico en los cocientes notables,
x700
− y300
x7 − y3
;
x560
− y480
x7 − y6
con respecto al primero de ellos?
A) 21avo
B) 40avo
C) 41avo
D) 31avo
E) 42avo
22. En el cociente notable:
x5m−1
− y12m−5
xm−5 − ym−1
. Calcular el grado absoluto del
término central de su desarrollo.
A) 55 B) 60 C) 66 D) 70 E)
80
23. Hallar el resto de la division
(15x4
+ 9x2
+ 13)3
+ (15x4
+ x2
+ 11)2
+ 13
15x4 + 9x2 + 10
A) 40 B) 41 C) 42 D) 28 E)
26
24. Hallar el resto de la division:
(x − 2)7
+ (x − 3)6
+ (x − 4)5
+ 10
(x − 2)(x − 3)(x − 4)
- 88

y dar la suma de los coeﬁcientes de dicho resto.
A) 49 B) 211 C) −214 D) 46 E)
47
25. Hallar el resto en la division
(x + 1)35
+ 7(x + 1)28
+ 3(x + 1)7
+ 3
x2 + 2x + 2
A) 6 + 4x B) 5 + 4x C) 5 − 4x D)
6 − 4x E) 2 − 4x
26. Calcular “m” si la division
(x2
+ y2
+ z2
) + m(x4
+ y4
+ z4
)
x + y + z
es exacta.
A) 1 B) −1 C) 2 D) −2 E)
3
27. Hallar el resto de:
xn+1
− (n + 1)x + n
(x + 1)(x − 1)
; Para n = número par positivo.
A) nx B) x C) 0 D) nx−n E) −nx+m
Respuesta : C)
28. Si el siguiente polinomio :
(mx + 1)2
+ (m + x)2
+ mx es divisible entre (x + 1). Calcular m.
A) n2 B) −2 C) 4 D) 5 E) 0
Respuesta : A)
29. Calcular m si el resto de la división de:
x3
− mx2
+ 7x − 1 entre x − 2, es el triple del resto de dividir:
x2
− (m + 2)x − 11 entre x + 2
A) −3 B) 4 C) 5 D) 3 E) −4
Respuesta : D)
- 89

30. Hallar el resto de dividir:
P(x) = (x − 1)6
x3
(2 − x3
), entre (x2
− 2x − 2).
A) 128 B) −128 C) −216 D) 216 E) 0
Respuesta : C)
31. Al dividir un polinomio P(x) entre (x + a)4
se obtuvo como residuo:
(x3
− 3a2
x + 2a3
). Calcular el resto de dividir P(x) entre (x + a)2
.
A) x + a B) 4 C) xa2
+ 4x3
D) 4a3
E) x +
4a
Respuesta : D)
32. Al dividir un polinomio P(x) entre (x − 3)2
deja un residuo (x − 3). ¿
Cuál es el resto de dividir el cuadrado de P(x) entre (x − 3)?
A) 3 B) 9 C) 0 D) −3 E) 8
Respuesta : C)
33. Hallar el residuo de.
x3(n+2)
+ 33n
÷ [x9
+ 3]
A) 3n
B) 33n
C) 33n−1
D) 0 E) 1−3n3
Respuesta : D)
34. Resolver la ecuación:
(a + b)x
a − b
+
ax
a + b
−
a − b
a + b
=
ax
a − b
+
a + b
a2 − b2
A) 2b B) 2a C) 2 D) 2a+2b E)
a + b
35. Resolver la ecuación:
√
4a + b − 5x+
√
4b + a − 5x = 3
√
a + b − 2x
A) a B) 1 C) 2a D) 3a E)
2b
36. ¿ Cuántos alumnos faltaron a la clase de algebra, sabiendo que el número
de los que faltaron es menor que 15, que disminuyendo dicho número es
su mitad más 8, resulta igual a 4 veces su octava parte menos 2?
- 90

A) 8 B) 4 C) 14 D) absurdo E)
Indeterminado
37. En una carretera de distancia 22,5 km., un ciclista avanza a 40 km/h,
pero al llegar al tramo ﬁnal, cambia su velocidad a 50 km/h, haciendo
un tiempo total de 33 minutos. ¿Cuál es la longitud del tramo ﬁnal?
A) 2 500 m B) 1 000 m C) 500 m D)
2 000 m E) 1 500 m
Respuesta: 2 500 m.
38. Dividir 196 en tres partes tales que la segunda sea el duplo de la primera
y la suma de las dos primeras exceda a la tercera en 20.
Respuesta: 36, 72 y 88
39. Un comerciante adquiere 50 trajes y 35 pares de zapatos por 16000 bo-
livianos. Cada traje costó el doble de lo que costó cada par de zapatos
mas 50 bolivianos. Hallar el precio de un traje y de un par de zapatos.
Respuesta: Par de zapatos, 100 bs. ; traje 250 bs.
40. 6 personas iban a comprar una casa contribuyendo por partes iguales pero
dos de ellas desistieron del negocio y entonces cada una de las restantes
tuvo que poner 2000 bolivianos más . ¿Cuál era el valor de la casa?
Respuesta: 24000 bs. costo de casa
41. El largo de un buque, que es 461 pies, excede en 11 pies a 9 veces el
ancho. Hallar el ancho.
Respuesta: 50
42. Tengo 1.85 $ en monedas de 10 y 5 centavos. Si en total tengo 22 monedas,
¿cuántas son de 10 centavos y cuántas de 5 centavos?
43. Hallar 3 números enteros consecutivos, tales que el duplo del menor más
el triplo del mediano más el cuadruplo del mayor equivalga a 740.
44. Un hombre ha recorrido 150 kilómetros. En auto recorrió una distancia
triple que a caballo y a pie, 20 kilómetros menos que a caballo. ¿Cuántos
kilómetros recorrió de cada modo?
Respuesta: En auto 102 km.; a caballo, 34 km. y a pie 14 km.
45. La diferencia de los cuadrados de dos números enteros consecutivos es
31. Hallar los números.
Respuesta: 15 y 16
- 91

46. 5 personas han comprado una tienda contribuyendo por partes iguales.
Si hubiera habido 2 socios más, cada uno hubiera pagado 800 bolivianos
menos. ¿Cuánto costó la tienda?
Respuesta: 14000 bs.
47. En cada día, de lunes a jueves, gané 6 $ más que lo que gané el día
anterior. Si el jueves gané el cuadruplo de lo que gané el lunes, ¿cuánto
gané cada día?
Respuesta: Lunes, 6 $; martes 12 $; mierciles 18 $ y jueves 24 $
48. Una sala tiene doble largo que ancho. Si el largo se disminuye en 6 m. y
el ancho se aumenta en 4 m. la superﬁcie de la sala no varía, Hallar las
dimensiones de la sala.
Respuesta: Largo 24 m. y ancho 12 m.
49. Dentro de 4 años la edad de Adrián será el triplo de la de Roberto, y
hace dos años era el quintuplo. Hallar las edades actuales.
Respuesta: Edad actual de Adrián 32 años; edad actual de Roberto 8
años
50. Si la ecuación : (n − 2)x2
+ 3x + 1 = 0, es de 1er
grado en x, es necesario
que n sea:
A) 1 B) −2 C) −1 D) 2 E) 3
51. Resolver:
2 − x
3
+
3 − x
4
+
3
4
=
x − 4
5
.
x − 5
6
A) −4 B) 8 C) −8 D) 4 E) 12
52. Despeje x de:
2x + a
b
−
b − x
a
=
3ax + (a − b)2
ab
A) b B) a C) ab D) 2a E) 2b
- 92

53. Resolver:
3
3 +
3
x +
3
4
=
3
3 +
3
x +
3
5
A) 1 B) −
2
3
C)
1
4
D) 0 E) x
54. Si la ecuación:
a
b
(x − a) =
b
a
(x − b); es incompatible, es correcto que:
A) 2a−b = 0 B) a−b = 0 C) a+b = 0 D) a2
−3b = 0
E) a + 2b = 0
55. Resolver: √
3x − 2 +
√
2x − 1 =
√
5x − 4 +
√
4x − 3
indicando luego la naturaleza de la raíz:
A) Primo B) Par C) Irracional D) Impar E)
Fracción
56. Resolver para x :
ax − 1
a
+
bx − 1
b
= (2 − a − b)x
A) a + b B) ab C)
1
ab
D) a + b − 2 E) a − b
57. ¿ Para qué valor de del parámetro n la ecuación en x :
8nx + 2n − 9 = nx + 2(x + n + 7);
será incompatible?
A)
7
2
B) −
7
2
C)
2
7
D) −
2
7
E)
3
7
58. Hallar el valor de a para que el grado del siguiente polinomio sea 9:
3xa+1
y − 4a+2
xa
y − 5x2
A) 6 B) 7 C) 8 D) 9 E) 5
- 93

59. El polinomio: xm+3
+ xn+1
y + y4
es homogéneo. Hallar: m + n.
A) 4 B) 3 C) 5 D) 6 E) no se puede deter-
minar
60. hallar 2a + b, si se tiene que:
(2a − b)x2
+ 4bx + 2c ≡7x2
+ 20x − 5
A) 21 B) 17 C) 19 D) 11 E) 13
61. Hallar el valor de n, para para que el grado de (2xn+2
y)3
sea 18.
A) 1 B) 3 C) 4 D) 5 E) 7
62. Hallar n de tal forma que la expresión:
3
3xn2
÷ (2n
x−2,5) + nx
n2
3
+1
sea de grado
7
3
. Luego respecto al valor de n se puede afirmar:
A) 2, 1 n 2, 5 B) 1, 5 n 2, 2 C) 4 n 5
D) 3 n 4
63. los polinomios: P(x) = 2(mx + n)2
+ mx2
− 2n; R(x) = 4(9x2
+ 8x + p)
son idénticos. Hallar P(−1), sí además se sabe que: m 0
A) 8 B) 12 C) −4 D) 0,5 n 1 E) 0 E)
−6
64. Si Q(x) = x + 2x2
+ 3x3
+ 4x4
+ . . . 100x100
. Halle Q(−1)
A) 100 B) 99 C) 50 D) 25 E) 199
65. Encontrar el polinomio cuadrático F(x) que verifica:
F(x +
1
√
2
) + F(x + −
1
√
2
) ≡ 6x2
+ 8x + 5 para luego indicar la suma de
sus coeficientes:
A) 1 B) 8 C) 2 D) 9 E) 13
66. Si: P(x; y) ≡ (abc+16)x−a
yb
−(bc+a)xb
yc
+(b−c)x−a
yc
es un polinomio
idénticamente nulo. Calcular a + b + c.
A) 8 B) 4 C) 2 D) 1 E) 0
- 94

3.2. FRACCIONES ALGEBRAICAS
3.2.1. Fracción algebraica. Simpliﬁcación de fracciones
3.2.2. Operaciones con fracciones algebraicas
3.2.3. Ecuaciones fraccionarias de primer grado con dos
incógnitas
3.2.4. Problemas con ecuaciones fraccionarias
1. El equivalente de:
a−1
b−1
+ a−2
b−1
b−2 − a−2
, es :
A)
1
a + b
B)
b(a + 1)
(a + b)(a − b)
C) a − b D) a + b E) Ninguno
Respuesta B)
b(a + 1)
(a + b)(a − b)
2. Efectuar :
x + 4
x − 3
÷
x + 1
x − 1
A)
x2
− 3x + 4
x2 − 2x + 3
B)
x2
+ 3x + 4
x2 − 2x − 3
C)
x2
+ 3x − 4
x2 − 2x − 3
D)
x2
− 3x − 4
x2 + 2x + 3
E) ninguno
3. Para que valores de m, la expresión mostrada no está deﬁnida en el
conjunto de los números reales.
1
m2
− m − 2
m2 − 4
A) {−2; −1} B) {−1; 2; −2} C) {2; −2} D) {−1; 2}
E) {1; −1; 2; −2}
4. ¿ Cuál es el M.C.D. de P(x); Q(x) y R(x)?
P(x) = 6x2
(x+1)3
(x−1)3
; Q(x) = 8x(x+1)2
(x+2); R(x) = 12x2
(x+1)2
(x+3)2
A) x2
+ x + 1 B) (x − 1)(x2
+ 1) C) (x + 1)(x2
− 1)
D) x(x2
− 1) E) 2x(x + 1)2
- 95

5. El producto de dos polinomios es x4
− 18x2
+ 81 y el cociente de su
M.C.M. y su M.C.D. es x2
− 6x + 9. Determinar es M.C.D. de dichos
polinomios.
A) x2
− 9 B) x + 1 C) x − 1 D) (x + 1)(x + 3) E)
x + 3
6. La expresión simplificada de : 2 −
2
1 −
2
2 −
2
x2
; es :
A) 1 B) 2x2
C) 0 D) 2x E) x2
7. Si a + b + c = 0; donde a = 0; b = 0; c = 0, hallar el valor de :
a − b
c
+
b − c
a
+
c − a
b
c
a − b
+
a
b − c
+
b
c − a
A) −1 B) 3 C) 9 D) 8 E) 0
8. Si :
a
b
=
c
d
.
Reducir :
(a + c)(b + d)
(a + b + c + d)
−
ab
a + b
−
cd
c + d
A) 1 B) −1 C) 0 D) 2 E) −2
9. ¿Cuál debe ser el valor de n para que la fracción :
x3
− nx2
+ 19x − n − 4
x3 − (n + 1)x2 + 23x − n − 7
admita simplificación?
A) 7 B) 6 C) 5 D) 15 E) 8
10. Simplificar la fracción f =
6x2
− 8xy − 8y2
+ 26yz − xz − 15z2
12x2 − xy − 6y2 + 29yz + xz − 35z2
y mar-
car la suma del denominador y denominador
A) 7x + y + 2z B) 7x − y + 2z C) 6x − y + 2z
D) 6x + y + 2z E) 6x + 2z
11. Si mab = nac = pbc = 4, simplificar f =
mnpabc(ab + ac + bc)(m + n + p)
(a + b + c)(mn + mp + np)
A) 1 B) 4 C) 16 D) m+n+p E)
a + b + c
- 96

12. calcular m − n si la fracción f =
(4m + n)x2
+ 5xy + 3(2m − 1)y2
(m − 2n)x2 + 10xy − 7(n + 1)y2
es in-
dependiente de x y y. A) 20 B) 7 C) 11 D)
8 E) 6
Respuesta 11
13. Simpliﬁcar f = (
x3
− 7x + 6
x2 − 2x − 15
) ÷ (
x3
− 2x2
− x + 2
x2 − 4x − 5
)
A)
x + 2
x + 1
B)
x − 2
x − 1
C)
x − 1
x + 2
D) x+ 1
E) 1
14. Simpliﬁcar : f =
b
a + b
+
2b2
a2 − b2
b2
a − b
+
3b2
a + b
−
2ab2
a2 − b2
4b
a
−
a + b
a − b
+
a − b
a + b
A)
a2
− b2
−2
B) −a C)
a
b
D)
a(a2
− b2
)
−2
E) Ninguno
Respuesta: D)
a(a2
− b2
)
−2
15. La diferencia de dos números es 6 y la mitad del mayor excede en 10 a
los
3
8
del menor. Hallar los números.
Respuesta: 62, 56.
16. Un número se aumento en 6 unidades; esta suma se dividió entre 8 ; al
cociente se le sumó 5 y esta nueva suma se dividió entre dos , obteniendo
4 de cociente. Hallar el número.
Respuesta: 18.
17. Un hombre gasta la mitad de su sueldo mensual en el alquiler de la casa
y alimentación de su familia y
3
8
del sueldo en otros gastos. Al cabo de
15 meses ha ahorrado 300 $. ¿Cuál es su sueldo mensual?
Respuesta: 160 $
18. ¿A qué hora, entre las 9 y 10 coinciden las agujas del reloj?
19. Adrián y Beto trabajando juntos hacen una obra en 6 días, Beto solo
puede hacerla en 10 días. ¿En cuántos días puede hacerla Adrián?
Respuesta: 15 días
- 97

20. Un capataz contrata un obrero ofreciéndole un sueldo anual de 3000 $ y
una sortija. Al cabo de 7 meses el obrero es despedido y recibe 1500 $ y
la sortija. ¿ Cuál era el valor de la sortija?
Respuesta: 600 $
21. Un padre de familia gasta los
3
5
de su sueldo anual en atenciones de su
casa;
1
8
en ropa,
1
20
en paseos y ahorra 810 $ al año. Cuál es su sueldo
anual?
Respuesta: 3600 $
22. Un comandante dispone sus tropas formando un cuadrado y ve que le
quedan fuera 36 hombres. Entonces pone un hombre más en cada lado
del cuadrado y ve que le faltan 75 hombres para completar el cuadrado.
¿Cuántos hombres había en el lado del primer cuadrado y cuántos hom-
bres hay en la tropa?
Respuesta: Cantidad de hombres en el lado del 1er
cuadrado, 55 hombres;
Hombres en la tropa, 3061
23. Un número de dos cifras excede en 18 A seis veces la suma de sus cifras.
Si la cifra de las decenas excede en 5 a la cifra de las unidades, ¿cuál es
el número?
Respuesta: 72.
24. Un hombre compró un bastón, un sombrero y un traje. Por el bastón
pagó 15 $. ¿El sombrero y el bastón le costaron los
3
4
del precio del traje
y el traje y el bastón 5 $ más que el doble del sombrero. ¿Cuánto le costo
cada cosa?
Respuesta: Bastón, 15 $; sombrero, 45 $; traje, 80 $
25. Un conejo es perseguido por un perro. El conejo lleva una ventaja inicial
de 50 de sus saltos al perro. El conejo da 5 saltos mientras el perro da
2, pero el perro en 3 saltos avanza tanto como el conejo en 8 saltos.
¿Cuántos saltos debe dar el perro para alcanzar al conejo?
Respuesta: 300 saltos
26. Una liebre lleva una ventaja inicial de 60 de sus saltos a un perro. La
liebre da 4 saltos mientras el perro da 3 , pero el perro en 5 saltos avanza
tanto como la liebre en 8. ¿Cuántos saltos debe dar el perro para alcanzar
a la liebre?
Respuesta: 225. saltos
- 98

3.3. SISTEMAS DE ECUACIONES
27. Dos personas A y B, distantes entre si 70 km, parten en el mismo in-
stante y van uno hacia el otro. A va a 9 km, por hora y B a 5 km por
hora. ¿Qué distancia ha andado cada uno cuando se encuentran?
28. Un tren de carga que va a 42 km por hora es seguido 3 horas después
por un tren de pasajeros que va a 60 km por hora. ¿ En cuántas horas
el tren de pasajeros alcanzará al de carga y a qué distancia del punto de
partida?
3.3.1. Sistema de ecuaciones de primer grado con 2 in-
cógnitas
3.3.2. Métodos de resolución. Problemas
3.3.3. Sistema de ecuaciones de primer grado con 3 in-
cógnitas
3.3.4. Métodos de resolución. Problemas
1. Deﬁna la condición que debe cumplir a y b, ab = 0 de modo que el sis-
tema adjunto.
x − y − a = 0
x(x2
− b) − y(y2
− b)) = 0
presente soluciones imaginarias.
A) a2
− 4b 0 B) 2a2
− b 0 C)
a
2
2
− 3b 0 D)
a
2
2
− b 0
E) a2
− 2b 0
Respuesta : D)
2. Un terreno cuadrado se vende en dos lotes. El primero es rectángulo uno
de cuyos lados mide 30m y el otro los 3/5 del lado del cuadrado; el se-
gundo lote se vende en S/,12400 arazón de S/,2, 50 el m2
. Calcule el lado
del cuadrado.
- 99

A) 80 B) 62 C) 50 D) 43 E) 92
Respuesta : A)
3. Pedro, Pablo y Juan son hermanos. Pablo tiene 11 años , Juan tiene 5
años más que pedro y la suma de los a`nos de Juan y pedro no alcanza a
los de Pablo. ¿Cuántos años tiene Pedro, si su edad es un número impar?
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5
Respuesta : A)
4. Calcule m de modo que el sistema
3x − 6y = 1
5x + my = 2
se veriﬁque para valores positivos de x y negativos de y
A) m −12 B) m −10 C) m 10 D) m 12 E) m 0
Respuesta : A)
5. Del sistema
ax = by =
1
x
+
1
y
+
1
z
despeje y en términos de a, b y c
A)
√
a + b + c
a
B)
√
a + b + c
b
C)
√
a + b + c
c
D)
a
√
a + b + c
E)
b
√
a + b + c
Respuesta : B)
6. Calcular : x − y de:
10x + 9y = 8
8x − 15 = −1
A) 6 B)
1
2
C) 3 D)
1
6
E)
1
3
7. ¿Qué valor de x satisface el sistema
9x − 4y = 2
3x + 8y = 3
?
- 100

A) 1 B)
1
2
C)
1
3
D)
1
4
E)
1
6
8. Calcular el valor de x + y



5
√
x
−
3
√
y
=
3
2
4
√
y
−
2
√
x
=
1
3
A) 9 B) 10 C) 11 D) 12 E) 13
9. Encontrar el valor de x del sistema :
mx − 2y = 3
3x + y = 4
; m = 0
A)
3m − 8
m + 6
B)
3m + 8
m − 6
C)
3m + 8
m2 + 6
D)
3m + 8
m + 6
E) Ninguno
10. Halle el valor de x del sistema :



x + y − 1
x − y + 1
= a
x + y − 1
x − y + 1
= ab
A)
a + 1
ab + 1
B)
a − 1
ab + 1
C)
a + 1
ab − 1
D)
a + 1
a + b
E)
b + 1
ab + 1
11. Calcular : a − b, si el siguiente sistema :
3x + 5y = 1
ax − by = 10
admita inﬁnitas soluciones
A) 20 B) 40 C) 30 D) 60 E) 80
12. Luego de resolver el sistema:



2x − 3y + 8z = 2
6x + 9y − 12z = 3
4z + 6y + z = 5
;
- 101

Calcular el valor de :
x
yz
A) 6 B) 12 C)
5
2
D) 3 E) Ninguno
13. Halle el valor de n para que el sistema :



3x + 7y + 2z = 1
2x + 3y + 7z = 1
nz + 2y + 3z = 0
,
se cumple que: y = z
A) −1 B) 0 C) 1 D) 2 E) Ninguno
14. El perímetro de un cuarto rectangular es 18 m y 4 veces el largo equivale
a 5 veces el ancho. Hallar las dimensiones de cuarto.
Respuesta: 5m × 4m
15. 5. Hallar tres números tales que la suma del 1ro
y el 2do
excede en 18 al
tercero; la suma del 1ro
y el 3ro
excede en 78 al segundo, y la suma del
2do
y el 3ro
excede en 102 al 1ro
.
Respuesta: 48, 60, 90
16. Dos bolsas tienen 200 bolivianos. Si de la bolsa que tiene mas dinero
se sacan 15 bolivianos y se ponen en la otra, ambas tendrían lo mismo.
¿Cuánto tiene cada bolsa?
Respuesta: 115 bs. ; 85 bs.
17. Cierto número de personas alquiló un ómnibus para una excusión. Si hu-
bieran ido 10 personas más, cada uno habría pagado 5 bolivianos menos,
y si hubieran ido 6 personas menos, cada una habría pagado 5 bolivianos
más. ¿Cuántas personas iban en la excursión y cuánto pago cada una ?
Respuesta: Nro
de personas,30; precio de pago, 20 bs.
18. Dos números están en la relación de 3 a 5. Si cada número se disminuye
en 10, la relación es de 1 a 2. Hallar los números.
Respuesta: 30 y 50
- 102

3.4. TEORÍA COMBINATORIA BÁSICA
19. En 5 horas Adrián camina 4 km. más que Roberto en 4 horas, y Adrián
en 7 horas camina 2 km. más que Roberto en 6 horas. ¿Cuántos km.
anda cada uno en cada hora?
Respuesta: Adrián 8 km.; Roberto, 9 km.
20. El perímetro de un rectángulo es 58 m. Si el largo se aumenta en 2 m. y
el ancho se disminuye en 2 m, el área se disminuye en 46m2
. Hallar las
dimensiones del rectángulo.
Respuesta: 25m × 4m
3.4.1. Permutaciones
3.4.2. Problemas
3.4.3. Binomio de Newton. Triángulo de Pascal
1. ¿ De cuántas maneras pueden seleccionarse una consonante y una vocal
de las letras de la palabra cautivo?
Respuesta : 12.
2. Hay 8 candidatos para un concurso de Literatura, 7 para uno de matemáti-
cas y 4 para uno de Ciencias naturales. ¿de cuántas maneras pueden ser
caliﬁcados los concursantes?
Respuesta : 224.
3. ¿ Cuántas ordenaciones diferentes pueden formarse tomando 5 letras de
la palabra cubierto?
Respuesta : 6720.
4. Si el cuádruplo del número de variaciones de n objetos tomados de 3 en 3
es igual al quíntuplo del número de variaciones de n−1 objetos tomados
de 3 en 3, hallar n.
Respuesta : 15.
5. ¿Cuántas permutaciones pueden formarse con las letras de la palabra
cuaderno? ¿Cuántas comenzaran con c y terminarán con o?
Respuesta : 403020., 144.
- 103

6. ¿Cuantas combinaciones diferentes pueden formarse tomando 4 de los
díjitos 3, 4, 7, 5, 8, 1? ¿ Cuátos números diferentes pueden formarse con 4
de estos díjitos’?
Respuesta : 15., 360.
7. ? cuántos cambios pueden hacerse con un llamador de 7, siendo siempre
la nata mas aguda campanas
Respuesta: 720.
8. ¿Cuántas permutaciones pueden formarse con las letras de la p alabra
estudio, sin que se separen la letras t y u?
Respuesta: 1440.
9. En el consejo de una ciudad hay 25 consejos y 10 oﬁciales. ¿ Cuántos
comites pueden formarse si deben constar de 5 consejeros y 3 oﬁciales?
Respuesta: 6375600.
10. Hallar el número de combinaciones de 50 objetos tomados 46 a un tiempo.
Respuesta: 230300.
11. ’‘De cuántas maneras pueden ordenarse las letras de la palabra vinals,
si las letras ia deben ocupar solamente lugares impares?
Respuesta: 144.
12. En una biblioteca hay 20 libros latinos y 6 griegos. ¿De cuántas maneras
pueden colocarse en un estante los libros en grupos de 5, de los cuales 3
sean latinos y 2 griegos?
Respuesta: 2052000.
13. ¿De cuántas maneras pueden repartirse 12 objetos entre 4 personas?
14. En unas elecciones se necesitan para tres díjitos 10, 15 y 20 agentes re-
spectivamente. Si hay 45 solicitantes ¿de cuántas maneras pueden ser
elegidos para los diferentes distritos?
15. ¿De cuántas maneras pueden ordenarse 10 hojas de examen si deben
quedar de tal manera que la hoja mejor contestada y la peor no queden
juntas?
Respuesta: 2903040.
16. Se dispone de 3 señoritas de ojos verdes, 4 señoritas de ojos negros y 2
señoritas de ojos pardos. Se desea formar un grupo de 6 señoritas, donde
- 104

al menos una de ellas tenga ojos verdes. ¿De cuántas maneras podemos
hacerlo considerando las señoritas diferentes entre si?
A) 681 B) 168 C) 56 D) 28 E) 70
Respuesta : C)
17. La suma de los números combinatorios de tres filas consecutivas del trián-
gulo de Pascal es 3584. ¿Cuál es la primera fila consecutiva?
A) 7a. fila B) 8va. fila C) 9na. fila D) 10ma. fila
E) 11ava. fila
Respuesta: B)
18. Se coloca los elementos del triángulo de Pascal, uno a continuación de
otro. ¿Qué número ocupa el lugar 155?
A) 19 B) 155 C) 17 D) 12 E) 153
Respuesta: C)
19. Encuentre el coeficiente del término que tenga como parte literal a2
b5
x5
y5
en (a + b + x + y)12
A)
11!
5!
B)
12!
4!
C)
12!
5!7!
D)
11!
2 × 5!
E)
10!
3!4!5!
Respuesta: D)
20. En el desarrollo de (1 − x2
)−2
existe un término tal que al sumar su co-
eficiente con el exponente de x se obtiene 39. ¿ Qué lugar ocupa dicho
término?
A) 18 B) 19 C) 20 D) 21 E) 22
Respuesta: C)
- 105

3.5. RADICACIÓN Y EXPONENTES
3.5.1. Raíz. Expresiones radicales
3.5.2. Teoría de exponentes
3.5.3. Operaciones de expresiones algebraicas
3.5.4. Operaciones con radicales
1. Determinar el valor de la expresión
E =
a−2
− b−2
a−1 + b−1
−1
a−1
− b−1
a−2b−2
A) a2
B) b2
C)a2
b2
D) 1 E)
ab
2. Simpliﬁcar la expresión:
E = (x−2
+ y−2
)−1
(xy−1
+ x−1
y)
A) x B) y C)
x
y
D) 1 E)
xy
3. simpliﬁcar
E =
3
x2y 4
y3z
5
√
xz2
3
13 5
√
x 4
√
y 20
√
z
A) x B) z
3
5 C) z D) xyz E) Ninguno Respuesta:
B)z
3
5
4. Calcular el valor de
E =
1285n
4
725n+3
645n
A) 7 B) 1 C) 49 D) 343 E)
2401
- 106

3.5. RADICACIÓN Y EXPONENTES
5. Si xxx
= a; xx = b; entonces se puede afirmar que:
A) bx
= a B) xb
= a C) b = ax
D) xa
= b E) ninguno
6. El valor numérico de
√
x
√
x cuando x =
1
2
, es:
A) 4
√
8 B)
1
3
√
2
C) 2 D)
4
√
2
2
E)
1
2
7. Efectuar:
[(6561)
1
2 ]
1
2
1
2
A) 6
√
3 B)
√
3 C) 8
√
3 D) 3 E) 8
√
27
8. En la expresión reducida de :
A = ab−3
.c3
1
2
.(a7
b4
.c2
)
1
3 (a−5
.bc)
1
6 en cuándo excede el exponente de
c al exponente de a
A)
2
3
b) 1 C)
1
3
D)
4
3
E)
5
3
9. Siendo a + b = 2; reducir:
R = aaa a2
. a−a2a ab
A) 2 B) 4 C) 1 D) 16 E) 8
10. Simplificar
M =
2a 1
a2
8a
.
1
8
(
8
a2a)
4
a + (
8
a4a)
2
a
A) 1 B) a C) a8
D) a16
E) 256
11. Simplificar:
x3+8 2x2
+ 3x + 4
x
32x2
x+2
A) 2 B) 1
2
C) 4 D) 8 E) 16
- 107

3.6. ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO
3.6.1. La ecuación de segundo grado
3.6.2. Propiedades de raíces
3.6.3. Resolución. Solución gráﬁca
3.6.4. Problemas con ecuaciones de segundo grado
3.6.5. Teoría de las ecuaciones de segundo grado
1. Formar las ecuaciones cuyas raíces son
−4
5
,
3
7
Respuesta: 35x2
+ 13x − 12 = 0.
2. Formar las ecuaciones cuyas raíces son
m
n
, −
n
m
Respuesta: mnx2
+ (n2
− m2
)x − mn = 0
3. Formar las ecuaciones cuyas raíces son 7 ± 2
√
5.
Respuesta: x2
− 14x + 29 = 0.
4. Hallar los valores de m para que la ecuación x2
− 15 − m(2x − 8) = 0
tenga raíces iguales
Respuesta: 3, 5.
5. ¿Para qué valores de m las raíces de la ecuación
x2
− bx
ax − c
=
m − 1
m + 1
serán
iguales en magnitud pero de signos contrarios?
Respuesta:
a − b
a + b
.
6. Hallar la condición para que una de las raíces de ax2
+ bx + c = 0 sea
iguale n veces la otra.
Respuesta: nb2
= (1 + n)2
ac
7. formar la ecuación cuyas raíces sean los cuadrados de la suma y de la
diferencia de las raíces de 2x2
+ 2(m + n)x + m2
+ n2
= 0.
Respuesta: x2
− 4mnx − (m2
− n2
)2
= 0.
8. ¿Para qué valor de m la expresión y2
+ +2xy + 2x + my − 3 podrá
descomponerse en dos factores racionales?
Respuesta: 2
- 108

3.6. ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO
9. Hallar el valor de m que haga qué la expresión 2x2
+ mxy + 3y2
− 5y − 2
sea equivalente al producto de dos factores lineales.
Respuesta: = 7
10. La suma de dos números es 9 y la suma de sus cuadrados 53. Hallar los
números.
Respuesta: 7 2
11. Un número es el triplo de otro y la diferencia de sus cuadrados es 1800.
Hallar los números.
Respuesta: 15, 45
12. Hallar 2 números consecutivos tales que el cuadrado del mayor exceda
en 57 al triplo del menor.
Respuesta: 8, 9
13. La diferencia de dos números es 7 y su suma multiplicada por el número
menor equivale a 184. Hallar los números.
Respuesta: Nro
mayor, 15; Nro
menor, 8
14. Una persona compró cierto número de libros por 180 $. Si hubiera com-
prado 6 libros menos por el mismo dinero, cada libro le habría costado1 $
más. ¿Cuántos libros compró y cuánto le costó cada una?
Respuesta: 36 libros y 5 $
15. Una compañia de 180 hombres está dispuesta en filas. El número de
soldados de cada fila es 8 más que el número de filas que hay. ¿Cuántas
filas hay y cuántos soldados en cada una?
Respuesta: 10 filas; Nro
de soldados, 18
16. Entre cierto número de personas compran un auto que vale 1200 $. El
el dinero que paga cada persona excede en 194 al número de persona.
¿Cuántas personas compraron el auto?
Respuesta: 6
17. Un tren emplea cierto tiempo en recorrer 240 km. Si la velocidad hubiera
sido 20 km por hora más que la que llevaba hubiera tardado 2 horas
menos en recorrer dicha distancia. ¿En qué tiempo recorrió los 240 km?
Respuesta: 6 h.
18. Un hombre compro cierto número de naranjas por 7.50 bolivianos se
comió 5 naranjas y vendiendo las restantes a 20 ctvos. más de lo que le
costó cada una recupero lo que había gastado. ¿Cuántas naranjas compró
- 109

y a qué precio?
19. El producto de dos números es 352, y si el mayor se divide por el menor,
el cociente es 2 y el residuo 10. Hallar los números.
Respuesta: 32 y 11
20. Se han comprado 2 piezas de tela que juntas miden 20 m. El metro de
cada pieza costó un número de bolivianos igual al número de metros de
la pieza. Si una pieza costó 9 veces lo que la otra, ¿Cuál era la longitud
de cada pieza?
21. Un hombre ha ganado 84 $ trabajando cierto número de días, si su jornal
diario hubiera sido 1 $ menos, tendría que haber trabajado 2 días más
para ganar 84 $, ¿cuántos días trabajó y cuál es su jornal?
Respuesta: Dias trabajado, 12; Valor del joranal, 7 $
22. Los gastos de una excursión son 90 $. si desisten de ir 3 personas, cada
una de las restantes tendría que pagar 1 $ más. ¿Cuántas personas van
en la excursión y cuánto paga cada una?
Respuesta: Personas que van 18; Valor de pago, 5 $
23. La edad de Roberto hace 6 años era la raíz cuadrada de la edad que
tendrá dentro de 6 años. Hallar la edad actual.
Respuesta: Edad actual 10 años
3.7. PROGRESIONES
3.7.1. Progresiones aritméticas. Progresiones geométric-
as
3.7.2. Término enésimo. Suma de una progresión
3.7.3. Problemas con progresiones
1. ¿Cuántos términos hay que tomar de la progresión aritmética
5;9;13;17; . . .
para que la suma valga 10.877?
Respuesta: 73 Términos
- 110

3.7. PROGRESIONES
2. Hallar una progresión aritmética sabiendo que la suma de sus cuatro
términos es igual a 26 y el producto de sus mismos términos vale 880
Respuesta: El problema tiene 4 soluciones:
(1) 2; 5; 8, 11; 14; . . .
(2) 11; 8; 5, 2; −1; . . .
(3)
13 −
√
1609
2
;
39 −
√
1609
6
;
39 +
√
1609
6
,
13 +
√
1609
2
; . . .
(4)
13 +
√
1609
2
;
39 +
√
1609
6
;
39 −
√
1609
6
,
13 −
√
1609
2
; . . .
3. Hallar la suma de todos los números naturales de dos cifras.
Respuesta: 4905
4. Una progresión aritmética tiene 20 términos. La suma de los términos que
ocupan lugares pares vale 250 y las de los términos que ocupan lugares
impares vale 220. Hallar los términos centrales de la progresión.
Respuesta: Los términos centrales son iguales, respectivamente a 22 y 25
5. hallar una progresión aritmética en la que la suma de un número cualquiera
de términos sea siempre el triple del número de términos elevado al
cuadrado.
Respuesta: 3; 9; 15; 21; . . .
6. Hallar la suma de todos los números de dos cifras que, al dividirlos por
4, den como resto la unidad.
Respuesta: 1210
7. En una P.A se sabe que la suma de los “a” primeros términos, es la suma
de los “b” primeros como “a” es a “b” . Dar la razón de la progresión,
siendo a = b.
A) a B) b C) a+b D) a−b E)
0
8. Hallar tres números en progresión geométrica sabiendo que la suma del
primero y el tercero es igual a 52 y que el cuadrado del segundo es 100.
Respuesta: (1) 50; 10; 2 o (2) 50; −10; 2, o los mismos números en orden
inverso
9. Hallar cuatro números en progresión geométrica tales que la suma de los
extremos valga 27 y el producto de los medios sea igual a 72
Respuesta: 3; 6; 12; 24. o en orden inverso 24; 12; 6; 3.
- 111

10. Hallar cuatro números en progresión geométrica sabiendo que la suma
de los extremos es igual a 35 y la suma de los medios es igual a 30.
Respuesta: 8; 12; 18; 27.
11. Hallar el primer término y la razón de una progresión geométrica que
consta de nueve términos, tales tales que el producto de sus extremos
sea igual a 2.304 y la suma de los términos cuarto y sexto sea igual a 120
Respuesta: (1) u1 = 3; q = 2 (2) u1 = −3, q = −2 (3) u3 =
768; q =
1
2
(4) u4 = −768; q = −
1
2
12. Hallar an y sn en la progresión geométrica 2, 4, 8, . . . hasta 10 términos.
Respuesta: 1024; 2046
13. Hallar an y sn en la progresión geométrica 1, 4, 16, . . . hasta 7 términos.
Respuesta: 4096; 5461
14. Hallar an y sn en la progresión geométrica 48, 24, 12, . . . hasta 6 términos
Respuesta:
3
2
; 94
1
2
15. En cada uno de los ejercicios a, b y c, se dan 3 de los 5 elementos de una
proigresión geométrica. Calcular los otros dos términos
a) a1 = 1, an =
−32
243
, r = −
2
3
Respuesta: s6 =
135
243
; n = 6
b) a1 = 2, a6 = 64, n = 6. Respuesta: r = 2; s6 =
126
c) r = 2, s7 = 635, n = 7.
Respuesta: a1 = 5; a7 = 230.
16. Interpolar 5 medios geométricos entre 1
8
y 8.
Respuesta:
1
4
;
1
2
, 1, 2, 4
17. Hallar la media geométrica entre x2
y y2
Respuesta: xy
18. El tercer término de una progresión geométrica es 3, y el séptimo término
es 3/16. Calcular la razón y el primer término.
Respuesta: r = 1
2
, a1 = 12
- 112

3.7. PROGRESIONES
19. El tercer término de una progresión geométrica es 9 y el sexto término es
243 .Hallar el séptimo término y la suma de los primeros seis términos.
Respuesta: a7 = 729; s6 = 364.
20. Un recipiente contiene 36 litros de alcohol puro. Se sacan seis litros y se
reemplazan con agua. Si esta operación se efectúa seis veces, calcular la
cantidad de alcohol puro que queda en el recipiente.
Respuesta: 12 73
1273
lts.
21. La media aritmética de dos números positivos diferentes es 5 y su media
geométrica es 4. Calcular los números.
Respuesta: 2, 8.
- 113

- 114

Capítulo 4
GEOMETRÍA
La geometría estudia objetos denominados figuras geométricas que son sim-
plificaciones de formas que aparecen en la naturaleza. A lo largo de siglos se
fueron acumulando diferentes resultados acerca de las figuras geométricas las
que fueron estructurados en un conjunto de resultados denominados axiomas
y teoremas; habiéndose usado como instrumento de obtención de resultados el
método deductivo de razonamiento. Sin embargo, la traducción de esos resul-
tados aplicados a figuras concretas pueden describirse empleando instrumentos
como la regla y el compás.
El objetivo del estudio de la geometría como preparación al ingreso para
realizar estudios universitarios, se refiere sobre todo a familiarizarse con los
resultados más importantes conocidos como teoremas; y en algunos casos es-
peciales es recomendable la comprensión de los fundamentos o causas que dan
lugar a dichos teoremas. Es recomendable emplear en la resolución de proble-
mas instrumentos como la regla y el compás; apoyados en algunos puntos con
razonamientos deductivos.
Como otro objetivo del estudio de la geometría es el de resolver problemas
relativos a la determinación de figuras desconocidas ( incógnitas ) a partir
de una información consistente también de figuras ( datos ) a través del uso
de teoremas y relaciones entre teoremas empleando para ello razonamientos
deductivos; habilidad que sustentará con mucho el aprendizaje de asignaturas
específicas correspondientes a carreras del área de las ciencias y la tecnología.
115

CAPÍTULO 4. GEOMETRÍA
4.1. NOCIONES PRELIMINARES
4.1.1. Axiomas ,postulados,teoremas
4.2.1. Reseña histórica:
El término Geometría deriva de dos voces GEO = TIERRA, METREIN =
MEDIDA; medida de la tierra.
El origen de la geometría se debe a la necesidad del hombre de medir las
tierras, especíﬁcamente en Egipto lugar donde los continuos desbordes del rio
Nilo provocaba la desaparición de límites en los terrenos adyacentes. Razón
por la cual, se hacia necesario un medio para restablecer estas demarcaciones,
dando lugar a la que posteriormente sería una ciencia.
Entre los sabios que enriquecieron el conocimiento y desarrollo de la
gemetría tenemos:
Tales de Mileto (640 años A.C.)
Pitágoras de Samos (569-470 A.C.)
Euclides (384-275 A.C.)
Platón (Siglo IV A.C.)
Arquímedes de Sisacusa (287-212 A.C.)
TÉRMINOS MATEMÁTICOS:
En matemáticas se emplean muchos términos matemáticos, entre los mas im-
portantes se tiene:
Proposición Matemática: Se llama proposición matemática al conjunto de
palabras que aﬁrman o niegan propiedades matemáticas.
Axioma: Es una proposición evidente que no necesita ser demostrada.
Ejemplo: El todo es mayor que cualquiera de sus partes.
Postulado: Es una proposición que se admite sin demostración.
Ejemplo: Por dos puntos pasa una y sola una recta.
Teorema: Es una proposición que para su aceptación es necesario demostrar,
consta de dos partes hipótesis y tesis.
Hipótesis: Es la proposición inicial que se asume como verdadero.
- 116

Tesis: Es la proposición que se debe demostrar. Ejemplo: Si un triángulo es
equilátero entonces es equiángulo.
Hipótesis: triángulo equilátero
Tesis: Es equiángulo
SEGMENTOS
Definiciones:
El punto: Se considera que el punto tiene posicion y carece de dimensión
alguna
Línea: Es un caso particular de un conjunto de puntos que carece de anchura
y espesor
Línea recta: Es aquella línea longitudinal alineada en una misma dirección
Semirrecta: Es cada una de las partes en que queda dividida una línea recta
mediante un punto
Puntos Colineales: Son puntos que pertenecen a una misma recta
Línea Poligonal : Conjunto de dos o mas segmentos consecutivos trazadas
en direcciones diferentes
Segmento de recta: Es una porción de línea recta limitada por dos puntos
Segmentos Congruentes: Son aquellos que tienen igual longitud
Propiedades:
P.1 El segmento total es igual a la suma de sus partes
P.2 El segmento total es mayor que cualquiera de sus partes
P.3 Toda recta que pasa por el punto medio de un segmento se dice que biseca
al segmento dado
Definiciones:
Ángulo es una porción del plano determinado por dos semirrectas que tienen
un punto común
Elementos de un ángulo:
Vértice: Es el punto común de las semirrectas
Lados: Son las semirrectas
Clasificación de ángulos:
a) Por su magnitud
Ángulo nulo: Su medida es igual a cero grados
- 117

Ángulos agudos: Son aquellos ángulos menores que 90o
Ángulos Rectos: Son aquellos cuyo ángulo es igual 90o
Ángulo Obtusos: Son aquellos ángulos mayores que 90o
Ángulos llanos: Son aquellos cuyo ángulo es igual 180o
b) Según su característica
Ángulos Complementarios: Son dos ángulos cuya suma es igual a
90o
Ángulos Suplementarios: Son dos ángulos cuya suma es igual a 180o
c) Según su posición
Ángulos consecutivos o contiguos: Tienen el mismo vértice y un lado
común
Ángulos adyacentes: Son dos ángulos consecutivos y suplementarios
Ángulos opuestos por el vértice: Son los ángulos cuyos lados son semirrec-
tas opuestas
Bisectriz de un ángulo: Es la semirrecta que divide al ángulo en dos partes
iguales
Propiedades de Ángulos:
P.1 Los complementos de un mismo ángulo son iguales
P.2 Los suplementos de un mismo ángulo son iguales
P.3 Los ángulos opuestos por el vértice son iguales
Deﬁnición 4.2.1 (Rectas paralelas): Dos rectas son paralelas, cuando estando
en un mismo plano no tienen ningún punto común
Deﬁnición 4.2.2 (Recta transversal) Es una recta que intersecta a dos o mas
rectas en puntos diferentes
Paralelos y secantes
Teorema 4.2.3 Dos ángulos que tienen sus lados perpendiculares, son iguales
o suplementarios.
Teorema 4.2.4 Dos ángulos que tienen sus lados respectivamente paralelos,
son iguales o suplementarios.
- 118

12
3 4
56
7 8
E B
A
LL
2
L
1 C
O
3
Figura 4.1:
Teorema 4.2.5 Los ángulos alternos internos son iguales ∠3 = ∠5, ∠4 = ∠6
(véase Figura 4.1)
Teorema 4.2.6 Los ángulos correspondientes son iguales ∠2 = ∠6, ∠1 =
∠5, ∠3 = ∠7, ∠4 = ∠8 (véase Figura 4.1)
Teorema 4.2.7 Los ángulos alternos externos son iguales. ∠2 = ∠8, ∠1 = ∠7
(véase Figura 4.1)
Teorema 4.2.8 Los ángulos conjugados internos son suplementarios. ∠3 +
∠6 = 180o
, ∠4 + ∠5 = 180o
(véase Figura 4.1)
Teorema 4.2.9 Los ángulos conjugados externos son suplementarios. ∠2 +
∠7 = 180o
, ∠1 + ∠8 = 180o
(véase Figura 4.1)
TRIÁNGULOS
Deﬁnición 4.2.10 (Triángulo) Es una porción del plano limitado por tres
rectas que se cortan de dos en dos.
(véase Figura 4.2 página 120)
α, β, γ; Ángulos interiores A, B, C : Vértices
x, y, z: Ángulos exteriores AB; AC; CB : Lados
Clasiﬁcación
Por sus lados:
a) Triángulo equilátero: Tienen tres lados iguales
b) Triángulo escaleno: Tienen tres lados desiguales
c) Triángulo Isósceles: Tienen dos lados iguales y uno desigual
- 119

A
B
C
x
y
z
α
βγ
Figura 4.2:
Por sus ángulos:
a) Triángulo Rectángulo: Tienen un ángulo recto
b) Triángulo obtusángulo: Tienen un ángulo obtuso
c) Triángulo acutángulo: Tienen tres ángulos agudos
Teorema 4.2.11 La suma de los ángulos interiores de un triángulos es de
180o
grados
Teorema 4.2.12 En todo triángulo un ángulo exterior es igual a la suma de
los ángulos interiores no adyacentes
Teorema 4.2.13 La suma de los ángulos exteriores de un triángulo es igual
a 360o
Teorema 4.2.14 En todo triángulo isósceles, a lados iguales se oponen ángu-
los iguales.
Teorema 4.2.15 Cada ángulo de un triángulo equilátero es igual a 60o
Teorema 4.2.16 Cada ángulo agudo de un triángulo rectángulo isósceles es
igual a 45o
LÍNEAS NOTABLES DE UN TRIÁNGULO
Deﬁnición 4.2.17 (Mediana) Es el segmento de recta trazada desde un vér-
tice hasta el punto medio del lado opuesto de un triángulo.
El punto de intersección de las 3 medianas se llama Baricentro
Deﬁnición 4.2.18 (Bisectriz) Es el segmento de recta que divide en dos partes
iguales el ángulo interior de todo triángulo.
El punto de intersección de las bisectrices se llama Incentro.
- 120

Definición 4.2.19 (Mediatriz) Es el segmento de recta perpendicular trazada
en el punto medio de cada lado del triángulo.
El punto de intersección de las mediatrices se llama Circuncentro
Definición 4.2.20 (Altura) Es el segmento de recta perpendicular trazada
desde un vértice al lado opuesto.
El punto de intersección de las 3 alturas se llama Ortocentro.
Congruencia de triángulos
Definición 4.2.21 Dos o mas triángulos son congruentes cuando tienen la
misma forma y tamaño. Por lo tanto si dos triángulos son congruentes sus
lados y sus lados correspondientes (homólogos) son iguales.
La congruencia de triángulos se indica por: “∼=”.
Por ejemplo: El triángulo ABC es congruente al triángulo A B C , se denota:
ABC ∼= A B C (ver Figura 4.3)
I II
A B
C
A
'
B
C
' '
Figura 4.3:
Criterios de congruencia de triángulos
La congruencia de dos triángulos implica la igualdad respectiva de sus 6 ele-
mentos.
Criterio 1.- Dos o mas triángulos son congruentes si tienen dos lados y el án-
gulo comprendido entre ellos respectivamente iguales (L.A.L.) ( véase Figura
4.4 página 122)
Criterio 2.- Dos o mas triángulos son congruentes si tienen un lado igual y
dos ángulos adyacentes a el, respectivamente iguales (A.L.A.) (ver Figura 4.5)
Criterio 3.- Dos o mas triángulos son congruentes si tienen los tres lados de
un triángulo iguales a los correspondientes lados del otro triángulo(L.L.l.) (ver
- 121

I ∼= II
a b a b
I II
ϕ ϕ
Figura 4.4:
I ∼= II
I II
ϕ ϕβ β
a a
Figura 4.5:
I ∼= II
I II
a
b bc c
a
Figura 4.6:
- 122

Figura 4.6)
Criterio 4.- Dos triángulos rectángulos son congruentes cuándo tienen respec-
tivamente iguales un ángulo agudo y un cateto (A.C.) (ver Figura 4.7 página
123)
I ∼= II
a a
I II
θ θ
Figura 4.7:
tivamente iguales los dos catetos (C.C.) (ver Figura 4.8 página 123)
I ∼= II
I IIa
b b
a
Figura 4.8:
tivamente iguales la hipotenusa y un ángulo agudo (H.A.) (ver Figura 4.9)
I ∼= II
I II
θ θ
c c
Figura 4.9:
- 123

tivamente iguales la hipotenusa y un cateto (H.C.) (ver Figura 4.10 página 124)
I ∼= II
I II
c ca a
Figura 4.10:
Teorema 4.2.22 En todo triángulo isósceles, se traza la altura relativa al lado
desigual, el triángulo quedara dividido en dos triángulos rectángulos parciales
congruentes entre si:
Teorema 4.2.23 En todo triángulo isósceles a lados iguales se oponen ángulos
iguales entre sí:
Teorema 4.2.24 todo triángulo equilátero es equiángulo
Propiedades de la bisectriz
Teorema 4.2.25 Todo punto situado sobre la bisectriz de un ángulo equidista
de sus lados.
Propiedades de la mediatriz
Teorema 4.2.26 Todo punto situado sobre la mediatriz de un segmento equidista
de los extremos del segmento.
Paralela media en un triángulo
Teorema 4.2.27 Si desde el punto medio de un lado de un triángulo se traza
una paralela a otro lado , está paralela pasa por el punto medio del segundo
lado y es igual a la mitad del tercer lado.
Teorema 4.2.28 El ángulo formado por la mediana y la altura trazada desde
el vértice del ángulo recto de un triángulo rectángulo, es igual a la diferencia
de los ángulos agudos
- 124

A
C
B
D
E
F
Figura 4.11:
Polígonos
Deﬁnición 4.2.29 (Línea quebrada) Es un conjunto de segmentos de rectas
que siguen direcciones distintas. (ver Figura 4.11 página 125)
- 125

Definición 4.2.30 (Lineal poligonal) Es una línea quebrada que se cierra so-
bre si misma
Definición 4.2.31 Polígono es la porción del plano limitada por una línea
poligonal cerrada (figura formada por tres o mas segmentos que se cortan de
dos en dos).
A
B
C D
E
β
β
α
α
α
2
3
1
1
β
2
3
Figura 4.12:
Elementos del polígono
(véase Figura 4.12)
Lados: AB, BC, CD; DE
Vértices: A, B, C, D, etc.
Ángulos interiores: Son los ángulos formados por dos lados consecutivos.
Ejemplo 4.1 . α1, α2, α3, α4, ...etc. (véase Figura 4.12)
Ángulos exteriores: Son los ángulos formados por un lado y la prolon-
gación del lado consecutivo sobre los vertices. Ejem. β1, β2, β3, etc.
Diagonales: Son líneas rectas que unen dos vértices no consecutivos. Ejem
AD, AC
Perímetro de un polígono.- Es la longitud total de su contorno o suma
de sus lados
Observación
El número de lados es igual al número de vertices.
El número de triángulos formados a partir de un vértice es igual a (n − 2)
donde n: número de lados
- 126

Clasiﬁcación
Por el número de sus lados:
De acuerdo al número de lados, los polígonos pueden ser:
Triángulos de tres lados, cuadriláteros de cuatro lados, Pentágonos de cinco
lados, Hexágonos de seis lados, Heptágonos de siete lados, Octágonos de ocho
lados, Nonágonos de nueve lados, Decágonos de diez lados, Pentadecágonos,
Dodecágonos.
Por la forma de su entorno
a) Polígono Convexos: Cuando al atravesarlos una recta lo corta en dos
puntos.
b) Polígono Cóncavos: Cuando una recta al atravesarlos lo corta en mas
de dos puntos.
c) Polígono plano: Cuando todas sus partes se hallan en un mismo plano.
d) Polígono equilátero: Cuando todos sus lados son iguales entre si
e) Polígono equiángulo: Cuando tienen todos sus ángulos iguales
f) Polígono regular: Los polígonos son regulares cuando todos sus lados
y sus ángulos son iguales.
g) Polígono irregular: Son polígonos Irregulares si sus lados y sus ángu-
los son diferentes.
Propiedades de los polígonos
Teorema 4.2.32 La suma Si de los ángulos interiores de un polígono cóncavo
ó convexo de n lados es igual a (n − 2) ángulos llanos.
Teorema 4.2.33 El valor de un solo ángulo interior de un polígono convexo
regular de n lados es:
α =
180o
(n − 2)
n
- 127

Teorema 4.2.34 La suma de los ángulos exteriores de un polígono convexo
es igual a 4 ángulos rectos.
Sβ = 360o
Teorema 4.2.35 El valor de un solo ángulo exterior de un polígono regular
convexo de n lados es:
β =
360◦
n
Teorema 4.2.36 La suma de los ángulos centrales de un polígono regular es
igual a cuatro angulos rectos
Sθ = 360o
Teorema 4.2.37 El valor de un solo ángulo central de un poligono regular de
n lados es:
θ =
360◦
n
Teorema 4.2.38 El número de diagonales que pueden trazarse desde un vér-
tice en un polígono es igual al número de lados menos tres
d = n − 3
Teorema 4.2.39 El número total de diagonales de un polígono de n lados es:
DT =
n (n − 3)
2
Cuadriláteros
Los cuadriláteros son polígonos de cuatro lados (ver Figura 4.13 página 129)
Elementos del cuadrilátero
(Véase Figura 4.13 página 129)
A, B, C, D : Vertices AD, DC, CB, BA : Lados
α : Ángulo interno β Ángulo externo.
Los cuadriláteros son polígonos convexos de cuatro lados, se clasiﬁcan en
paralelogramos, trapecios y trapezoides.
- 128

A B
D
C
αβ
Figura 4.13:
Paralelogramos: Son cuadriláteros que tienen sus lados opuestos paralelos.
Se clasiﬁcan en:
Romboide: Es un paralelogramo que tiene sus ángulos y sus lados opuestos
iguales dos a dos. Llamado comúnmente paralelogramo
Rombo : Es un paralelogramo que tiene sus 4 lados iguales y sus ángulos
opuestos iguales dos a dos. Las diagonales de un rombo son bisectrices de los
ángulos y perpendiculares entre si; una se llama diagonal mayor y la otra di-
agonal menor.
Rectángulo : Es un paralelogramo que tiene sus 4 ángulos iguales y rectos
y sus lados opuestos iguales dos a dos. Las diagonales de un rectángulo son
iguales.
Paralelogramo cuadrado.- Es un paralelogramo que tiene sus 4 ángulos
iguales y rectos y sus 4 lados iguales. Las diagonales del cuadrado son perpen-
diculares entre si y bisecan a los ángulos del cuadrado.
Propiedades de los paralelogramos
Propiedad 1: En todo paralelogramo los ángulos opuestos son iguales.
Propiedad 2: En todo paralelogramo los ángulos adyacentes a un mismo lado
son suplementarios.
Propiedad 3: En todo paralelogramo los lados opuestos son iguales.
Propiedad 4: En todo paralelogramo las diagonales se cortan mú
tuamente en partes iguales.
Propiedad 5: Las diagonales de un rectángulo son iguales.
Propiedad 6: Las diagonales de un rombo son perpendiculares entre si y bi-
sectrices de sus ángulos.
Propiedad 7: Las diagonales de un cuadrado son iguales, perpendiculares y
bisectrices de sus ángulos.
Propiedad 8: En todo cuadrilátero la suma de sus ángulos interiores es igual
a 360o
- 129

Deﬁnición 4.2.40 (Trapecio) Son cuadriláteros que tienen dos lados opuestos
paralelos llamados bases del trapecio y dos lados no paralelos.( ver Figura 4.14
página 130)
Α
Β
Ε
H
D
C
F
Figura 4.14:
Así en el trapecio ABCD : AD, BC son bases (Ver Figura 4.14)
Mediana de un trapecio: Es el segmento de recta EF (Ver Figura 4.14
página 130) que une los puntos medios de los lados no paralelos del trapecio
ABCD.
Altura de un trapecio: Es la distancia AH (Ver Figura 4.14) que existe
entre las dos bases del trapecio ABCD.
Los trapecios se clasiﬁcan en.
a) Trapecio escaleno.- Es aquel que tiene sus lados no paralelos desiguales.
b) Trapecio Isósceles.- Es aquel que tiene sus lados no paralelos iguales.
c) Trapecio rectángular.- Es aquel que tiene dos ángulo rectos
Propiedades de los trapecios
Paralela media de un trapecio
Es el segmento que une los puntos medios de los lados no paralelos.
Propiedad 1.- La mediana de un trapecio es igual a la semisuma de sus
bases.
Propiedad 2.- En todo trapecio el segmento de recta que une los puntos
medios de las diagonales es igual a la semidiferencia de las bases.
Propiedad 3: Los ángulos adyacentes a una misma base de un trapecio isósce-
les son iguales y los ángulos opuestos son suplementarios.
Propiedad 4.- Las diagonales de un trapecio isósceles son iguales.
- 130

Proporcionalidad
Razón de dos segmentos
La razón entre dos segmentos es la comparación por cociente entre las medidas
de dichos segmentos expresados en la misma unidad. Así : (ver Figura 4.15
página 131)
AB
CD
=
8
2
= 4,
CD
AB
=
2
8
=
1
4
C D
A B
Figura 4.15:
Segmentos proporcionales
Dos segmentos rectilíneos son proporcionales a otros dos cuando lo son sus
valores numéricos. Así, si tenemos los segmentos: AB = 4u y CD = 5u,
MN = 8u y RS = 10u, tenemos la proporción:
AB
CD
=
MN
RS
En general, si AB = a y CD = b, MN = c y RS = d, se tiene la proporción
geométrica a/b = c/d
clases



directa
a
b
=
c
d
, b = c b = 0, d = 0
continua
a
b
=
b
d
, b = c
inversa
a
b
=
d
c
c = 0
reciproca
a
c
=
d
b
Cuarto, tercero y medio proporcionalidad.
Se llama “cuarto proporcional” respecto de tres segmentos a, b y c a un
segmento “x” que cumple con la condición:
a
b
=
c
x
- 131

Se llama ”tercero proporcional” respecto de dos segmentos a, b a un segmento
“x” que cumple la condición:
a
b
=
b
x
Se llama ”medio proporcional” respecto de dos segmentos a, b a un segmento
“x” que cumple la condición:
a
x
=
x
b
de donde: x2
= ab ⇒ x =
√
ab
Proporcionalidad de segmentos
Teorema 4.2.41 Si varias paralelas determinan segmentos iguales en una de
dos transversales cualquiera, determinarán también segmentos iguales entre sí
en la otra transversal.
Teorema 4.2.42 (Teorema de Thales) Si varias paralelas son cortadas por
2 transversales o secantes, entonces determinan en ellas segmentos propor-
cionales.
Teorema 4.2.43 Toda paralela a un lado de un triángulo divide a los otros
dos en segmentos proporcionales.
Semejanza de triángulos
Deﬁnición 4.2.44 Dos triángulos cualesquiera son semejantes cuando tienen
sus ángulos respectivamente iguales y sus lados homólogos proporcionales.
Ángulos homólogos.- Son los ángulos respectivamente iguales.
Lados homólogos.- Son los lados opuestos a ángulos iguales de dos triángulos
semejantes.
Razón de semejanza.- Es la relación de dos lados homólogos cualesquiera.
El signo de semejanza es “∼” y se lee “semejante a”.
La semejanza de los triángulos ABC y MNP se denota:
ABC ∼ MNP
Se lee: “triángulo ABC es semejante al triángulo MNP :
Teorema fundamental de la semejanza de triángulos
- 132

Teorema 4.2.45 Toda paralela a un lado de un triángulo forma, con los otros
dos lados, un triángulo parcial semejante al total.
Criterios de semejanza de triángulos
Para que dos triángulos sean semejantes se debe cumplir uno de los siguientes
casos:
Criterio 1: Dos triángulos son semejantes cuando tienen dos ángulos re-
spectivamente iguales. (ver Figura 4.16 página 133)
Hipótesis
Sean ∆ABC, y ∆DEF
BAC = EDF
BCA = EFD
Tesis
∆ABC ∼ ∆DEF
A
B
C
D
E
F
Figura 4.16:
Criterio 2: Dos triángulos son semejantes cuando tienen un ángulo igual y
los lados que lo forman proporcionales. (ver Figura 4.17)
Hipótesis
ABC = DEF
AB
DE
=
BC
EF
Tesis
∆ABC ∼ ∆DEF
- 133

A
B
C
D
E
F
Figura 4.17:
Criterio 3: Dos triángulos son semejantes cuando tienen sus tres lados pro-
porcionales. (ver Figura 4.18 página 134)
Hipótesis
AB
ED
=
AC
DF
=
BC
EF
Tesis
∆ABC ∼ ∆DEF
A
B
C
D
E
F
Figura 4.18:
Criterios particulares
a) Dos triángulos rectángulos son semejantes cuando tienen un ángulo agudo
igual. (ver Figura 4.19)
∆ABC ∼ ∆DEF
⇔
ACB = DFE
- 134

A
B
C
E
FD
Figura 4.19:
b) Dos triángulos rectángulos son semejantes si sus catetos son propor-
cionales. ( ver Figura 4.20 página 135)
∆ABC ∼ ∆DEF
⇔
AB
DE
=
AC
DF
=
BC
EF
A
B
C
E
FD
Figura 4.20:
c) Dos triángulos isósceles son semejantes cuando tienen el ángulo del vértice
igual, ó uno de los de la bases iguales.
d) Todos los triángulos equiláteros son semejantes.
e) Dos triángulos son semejantes si tienen sus lados respectivamente paralelos
o perpendiculares.
Teorema 4.2.46 En todo triángulo, la bisectriz de un ángulo interior divide
al lado opuesto en dos segmentos proporcionales a los lados contiguos del trián-
gulo.
Teorema 4.2.47 En todo triángulo la bisectriz de un ángulo exterior divide a
la prolongación del lado opuesto en dos segmentos proporcionales con respecto
a los lados contiguos del triángulo.
- 135

Relaciones métricas en un triángulo rectángulo
Si en un triángulo rectángulo ABC recto en B, se traza la altura BH desde
el ángulo recto, se tiene que el segmento m es proyección del cateto c y el
segmento n es proyección del cateto b.
Elementos del triángulo rectángulo: (ver ﬁgura4.21)
A
B
C
m
bc
n
h
a
H
Figura 4.21:
AB = c, BC = b : catetos
AC = a : hipotenusa
BH = h : Altura relativa a la hipotenusa.
AH = m : Proyección de c sobre la hipotenusa.
HC = n : Proyección de b sobre la hipotenusa.
Teorema 4.2.48 En un triángulo rectángulo si se traza la altura correspon-
diente a la hipotenusa, se forman 2 triángulos semejantes entre si y cada uno
semejante al triángulo dado.
Teorema 4.2.49 En todo triángulo rectángulo la altura correspondiente a la
hipotenusa es media proporcional entre las proyecciones de los catetos sobre la
hipotenusa.
Teorema 4.2.50 En todo triángulo rectángulo el producto de los catetos es
igual al producto de la hipotenusa por la altura correspondiente a ella.
Teorema 4.2.51 En todo triángulo rectángulo cada cateto es media propor-
cional entre la hipotenusa y su proyección sobre ella.
- 136

Teorema de Pitágoras
Teorema 4.2.52 En todo triángulo rectángulo, la suma de los cuadrado de
los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa.
Relaciones en triángulos rectángulos notables
Si los ángulos agudos de un triángulo rectángulo son de 30 y 60, . entonces
El cateto opuesto al ángulo de 60◦
vale la mitad de la hipotenusa por la
raíz cuadrada de tres .
El cateto opuesto al ángulo de 30o
es igual a la mitad de la hipotenusa.
CIRCUNFERENCIA Y CÍRCULO
Deﬁniciones
Circunferencia.- Es el conjunto de puntos que están en un mismo plano
y que equidistan de otro punto del mismo plano llamado centro.
Círculo.- Es la porción interior del plano limitado por una circunferencia.
Elementos de la circunferencia
Se tiene:
( ver Figura 4.22 página 137 )
A
B C
D E
Q R
H
T
I
G
F O
N
M
Figura 4.22:
OA : Radio HI: Tangente BC, QR: Cuerdas
FG: Secante O: Centro DE : Diámetro
AE: Arco
- 137

Propiedades de la circunferencia
Propiedad 1: En toda circunferencia, a arcos iguales corresponden cuer-
das iguales.
Propiedad 2: En toda circunferencia las cuerdas iguales equidistan del cen-
tro.
Propiedad 3: Todo diámetro perpendicular a una cuerda, divide a la cuerda
y al arco que subtiende en dos partes iguales.
Propiedad 4: Los arcos de una circunferencia comprendidos entre dos cuerdas
paralelas son iguales.
Propiedades de las tangentes a una circunferencia
Deﬁnición 4.2.53 Tangente de una circunferencia es la perpendicular al ra-
dio en el punto de tangencia. (ver Figura 4.23 página 138)
A
T T'
O
Figura 4.23:
Propiedad 1: La tangentes trazadas desde un punto exterior a un circunfer-
encia son iguales.
Propiedad 2: Las tangentes interiores comunes a dos circunferencias son
iguales.
Propiedad 3: La tangentes exteriores comunes a dos circunferencias son
iguales.
Cuadrilátero inscrito en una circunferencia
Cuadrilátero inscrito en una circunferencia es aquel cuadrilátero que tiene
sus vértices en la circunferencia. Por ejemplo, el cuadrilátero ABCD es inscrito
a la circunferencia.
Ángulos y medidas en la circunferencia
Ángulo central.-
- 138

Es el ángulo que tiene su vértice en el centro de la circunferencia y como lados
dos radios de la misma.
Ángulo inscrito.- Es el ángulo que tiene su vértice sobre la circunferencia
y sus lados son dos cuerdas.
Su Medida, es igual a la mitad del arco comprendido entre sus lados. (ver
Figura 4.24 página 139)
Hipotesis: ABC
Sea x el ángulo inscrito y
AC el arco que subtienden
sus lados ABC =
AC
2
Tesis
x =
AC
2
A
B
C
O D
α
α
β 2β
2α
β
x
Figura 4.24:
Ángulo semi-inscrito.- Es el ángulo que tiene su vértice sobre la circunfer-
encia y sus lados son una cuerda y una tangente.
Su medida es igual a la mitad del arco comprendido entre sus lados.
Ángulo interior.- Es el ángulo que tiene su vértice dentro de la circun-
ferencia y sus lados son dos cuerdas que se cortan.
Ángulo exterior.- Es el ángulo que tiene su vértice fuera de la circunferencia
y sus lados son dos secantes y/o dos tangentes o una secante y una tangente.
Ángulo Ex-inscrito.- Es el ángulo que tiene su vértice sobre la circunferencia
y sus lados son una cuerda y una secante. Su medida es la semisuma de los
arcos determinados por la cuerda y la secante.
- 139

Relaciones métricas en un circulo
Teorema 4.2.54 Cuando dos cuerdas de una circunferencia se cortan el pro-
ducto de los segmentos de una de ellas es igual al producto de los segmentos
determinados sobre la otra.
Teorema 4.2.55 Si desde un punto exterior a una circunferencia se trazan
dos secantes; el producto de una secante por su segmento externo, es igual al
producto de la otra secante por su segmento exterior.
Teorema 4.2.56 Si desde un punto exterior a una circunferencia se trazan
una tangente y una secante, la tangente es media proporcional entre la secante
y su parte exterior
Teorema 4.2.57 El producto de dos lados de un triángulo es igual al producto
de la altura correspondiente al tercer lado por el diámetro de la circunferencia
circunscrita al triángulo.
4.3. EJERCICIOS RESUELTOS
Ejercicio 4.1 Sobre una recta se tienen los puntos consecutivos A, B, C, D, E.
si: AC + BD + CE = 44 m; AE = 25 m; DE = 2AB; Hallar la longitud del
segmento AB.
Solución:
A B C D E
25m
Figura 4.25: Ejercicio 4.1
AC + BD + CE = 44 AB + BD + DE = 25
AC + CE = AE AB + 19 + 2AB = 25
AE + BD = 44 ∴ AB = 2 m
25 + BD = 44
BD = 19 m
- 140

Ejercicio 4.2 Sobre una recta se consideran los puntos consecutivos A, B y
C. Si: M es el punto medio de AB; AB · MC = AC · BC; AB = 8 m.Hallar
el segmento BC.
Solución:
A B C
4 x4
M
AB · MC = AC · BC
8(4 + x) = (8 + x)x
32 + 8x = 8x + x2
x2
= 32
∴ x = BC = 4
√
2 m
Ejercicio 4.3 Sobre una recta se consideran los puntos consecutivos A, B, C
y D. Si: CD = 3AB; AD +3BC = 60 m. Hallar la longitud del segmento AC.
Solución:
A B C D
x y 3x
AD + 3BC = 60 4(x + y) = 60
4x + y + 3y = 60 ∴ x + y = AC = 15 m
4x + 4y = 60
Ejercicio 4.4 Los puntos colineales consecutivos A, B, C y D son tales que:
AD = 18 m; BD = 13 m; AC = 12 m. Hallar el segmento BC.
- 141

A B C D
Solución.-
AD = AB + BD AC = AB + BC
18 = AB + 13 12 = 5 + BC
AB = 5 m ∴ BC = 7 m
Ejercicio 4.5 Sobre una línea recta se tienen los puntos consecutivos P, Q, R;
si: PQ = 2QR + 1; PR = 31 m. Hallar el segmento QR.
Solución.-
P Q R
31 − x x
Figura 4.29: Ejercicio 4.5PQ = 2QR + 1
31 − x = 2x + 1
∴ x = QR = 10 m
Ejercicio 4.6 A, B, C son puntos colineales y consecutivos si: 7AB = 8BC; AC =
45 m. Hallar el segmento BC.
Solución.-
A B C
45 − x x
7AB = 8BC 315 − 7x = 8x
7(45 − x) = 8x ∴ x = BC = 21 m
- 142

Ejercicio 4.7 Hallar la medida de un ángulo, sabiendo que su complemento
y su suplemento forman 208 grados.
Solución.- x : medida del ángulo
Complemento: (90 − x)
Suplemento: (180 − x)
(90 − x) + (180 − x) = 208
∴ x = 31 grados
Ejercicio 4.8 El doble del complemento de un ángulo mas el triple del suple-
mento del mismo ángulo es igual a 500 grados. Hallar la medida del ángulo.
Solución.-
x : ángulo
2(90 − x) + 3(180 − x) = 500
180 − 2x + 540 − 3x = 500
∴ x = 44 grados
Ejercicio 4.9 El doble de la medida de un ángulo es igual al triple de la medida
de su complemento. Hallar la medida del ángulo.
Solución.-
x : ángulo
2x = 3(90 − x)
∴ x = 54 grados
Ejercicio 4.10 La suma de los complementos y suplementos de las medidas
de dos ángulos es igual a 230 grados si la diferencia de las medidas de ambos
ángulos es 15 grados. Calcular los ángulos ángulo.
Solución.- sean α; β : ángulos
(90 − α) + (180 − β) = 230
α + β = 40
α + β = 40
α − β = 15
(♦)
Resolviendo el sistema (♦) se obtiene los valores de α y β
∴ α =
55
2
grados; β =
25
2
grados
Ejercicio 4.11 Si al suplemento de un ángulo se lo disminuye el el sextup-
lo de su complemento, resulta la mitad del ángulo. Hallar la medida del ángulo.
- 143

Solución.-
x : ángulo
(180 − x) − 6(90 − x) =
x
2
360 = 5x −
x
2
180 − x − 540 + 6x =
x
2
∴ x = 80 grados
Ejercicio 4.12 Si a un ángulo le aumentamos el cuadrado de su complemento
se tiene un ángulo llano. Calcular el ángulo.
Solución.-
x : ángulo (x − 99)(x − 80) = 0
x + (90 − x)2
= 180 ∴ x1 = 80 grados, x2 = 80 grados
x2
− 179x + 7920=0
Ejercicio 4.13 Calcular el menor ángulo que forman las bisectrices de los dos
ángulos agudos de un triángulo rectángulo.
Solución.-
B
A C
β β
α
α
θ
γO
CO; BO : Bisectrices θ = 135
2β + 2α = 90o
γ + θ = 180o
β + α = 45o
γ = 180 − 135
β + α + θ = 180o
γ = 45o
θ = 180o
− (β + α) ∴ el ángulo menor es γ = 45o
Ejercicio 4.14 La diferencia de los ángulos formados por las bisectrices de
los ángulos adyacentes y el lado común mide 8 grados. Hallar el complemento
del menor de los ángulos adyacentes.
- 144

Ο
α
αβ
β
B
C A
X
Y
Solución.-
OX; OY : Bisectrices 2β = 82o
α − β = 8o
Complemento 2β = 90 − 82
β + α = 90o
∴ C(2β) = 8o
2α = 98o
Ejercicio 4.15 En el gráﬁco de abajo (Figura 4.33) si L1 L2 Hallar β
Solución.-
L
L
1
2
50 βο
5
ο
α+30
ο
+2α
5 + 2α + 50 + β = 180 α = 25
2α + β = 125 ∴ β = 75o
5 + 2α = α + 30
Ejercicio 4.16 En la Figura 4.16: L1 L2. Hallar: “x”
- 145

x
30
o
o
20
α
β
L
L
L
1
2
Solución.-
Línea auxiliar L L1 L2 x = α + β
α = 30 ∴ x = 50o
β = 20
Ejercicio 4.17 En la Figura 4.17: AB CF; AC DE. Hallar α, β
Solución.-
130o
A
B
D
E
Fα
β
C
AB CF : α + 130 = 180 α = β : Lados s
α = 50o
∴ β = 50o
Ejercicio 4.18 En la Figura 4.36 (véase 4.36 página 147) L1 L2 L3;
α + θ = 70o
. Hallar α; β
- 146

Solución: (ver ﬁgura 4.36 página 147)
α = 30o
30o
+ θ = 70o
L
L
L1
2
3
ο
α
θ
30
β
β = θ θ = 40o
α + θ = 70o
∴ α = 30o
; β = 40o
Ejercicio 4.19 En la Figura 4.37 (véase 4.37 página 147) L1 L2. Hallar
α; β
2α−β
α+β
120ο
L
L
1
2
Solución: (ver ﬁgura 4.37 página 147)
α + β = 120 3α = 240
2α − β = 120 ∴ α = 80o
; β = 40o
Ejercicio 4.20 Dado un triángulo ABC (Figura 4.38) DE BC. Demostrar
que el ABC es semejante con ADE.
Demostración.-
ACB = AED ángulos correspondientes
- 147

A
B C
D E
ABC = ADE ángulos correspondientes
A = A ángulo común
∴ ABC ∼ ADE
Ejercicio 4.21 Demostrar que la altura en un triángulo isósceles divide al
triángulo en dos triángulos iguales (congruentes)
Demostración:
I II
A
B CH
1. AB = AC por ser isósceles
2. AH : Altura
3. B = C por 1.
4. BH = HC AH = altura=mediatriz
∴ ABH ∼= AHC
Ejercicio 4.22 Demostrar que todo punto de la bisectriz equidista de sus la-
dos.
- 148

O
Q
A
C
B
R
Pα
α
Demostración:
OC: Bisectriz
1. AOC = BOC
2. OP = OP: Lado común a OPQ y ORP
3. PQO ∼= PRO:
4. PQ = PR
Ejercicio 4.23 Demostrar que la diagonal de un paralelogramo divide en dos
triángulos iguales.
Demostración:
Α
B
E
C
BC AE
CAE = BCA
BAC = ACE
AC = ACE Lado común
∴ ABC ∼= AEC
- 149

Ejercicio 4.24 Demostrar que todo punto situado sobre la mediatriz de un
segmento equidista de los extremos del segmento.
Demostración:
A
M
Q
B
AQ = BQ
QM : Mediatriz.
MQ = MQ Lado común
AM = BM Poi ser QM
⇒ AQM ∼= BQM
∴ AQ = BQ Lados homólogos
Ejercicio 4.25 La suma de los ángulos interiores de un polígono es 720o
.
Calcular el número de lados.
Solución:
S = 180(n − 2) Suma de ángulos interiores 720 = 180(n − 2)
S = 720 Dato ∴ n = 6 lados
Ejercicio 4.26 El ángulo interior de un polígono regular es igual a 120o
gra-
dos. Hallar el número de lados
Solución:
α =
180(n − 2)
n
: ángulo interior
α = 120o
Dato
120o
=
180(n − 2)
n
120 n = 180 n − 360
∴ n = 6 lados
- 150

Ejercicio 4.27 En que polígono, el número de diagonales, es igual al número
de lados.
Solución:
n(n − 3)
2
: Número de diagonales n2
− 3n = 2n
n: Número de lados n2
− 5n = 0
n(n − 3)
2
= n n(n − 5) = 0 ∴ n = 5
Ejercicio 4.28 Cuantos lads tiene el polígono convexo donde la suma de las
medidas de los ángulos interiores es 5 veces la suma de las medidas de los
ángulos exteriores
Solución:
Si = 5Se Se = 360o
Si = 180(n − 2) 180(n − 2) = 5 · 360 ⇒ n = 12 lados
Ejercicio 4.29 Cuanto mide cada uno de los ángulos interiores de un polígono
regular de 18 lados.
Solución:
180(n − 2): Suma de ángulos interiores
i =
180(n − 2)
n
: Ángulo interior
i =
180(18 − 2)
18
: Sustituyendo valores
∴ i = 160o
Ejercicio 4.30 La suma de las medidas de los ángulos interiores de cierto
polígono regular excede a la suma de los ángulos exteriores en 900 grados.
Cuantos lados tiene el polígono
Solución:
Si = Se + 900o
180n − 360 = 360 + 900
180(n − 2) = 360 + 900 ∴ n = 9 lados
- 151

γφ
β
ψθ
α
B
C
A E
Ejercicio 4.31 Demostrar que en todo Cuadrilátero la suma de sus ángulos
interiores es 360 grados
Solución:
AC: Línea auxiliar (θ + α) + (γ + φ) + β + ψ = 360
ABC : α + β + φ = 180 ∴ A + C + B + E = 360o
ACE : θ + γ + ψ = 180
Ejercicio 4.32 En todo paralelogramo las diagonales se interceptan en su pun-
to medio.
Solución:
Α
B
E
C
P
θ
β α
γ
BC AE BC = AE
γ = α BPC ∼= APE
β = θ ∴ AP = CP lados homólogos
- 152

Ejercicio 4.33 En un cuadrilátero se tiene : B =
2
3
A; B =
4
5
D; C =
3
4
B.
Hallar el ángulo A
Solución:
A + B + C + D = 360o
3
2
B + B +
3
4
B +
5
4
B = 360o
B = 80o
A =
3
2
B
∴ A = 120
Ejercicio 4.34 En un cuadrilátero se tiene:
A =
3x
4
B =
2x
3
+ 55o
D = 3x − 20o
C = x
Solución:
A + B + C + D = 360o
Suma de ángulos
3x
4
+
2x
3
+ 55o
+ x + 3x − 20 = 360o
Sustituyendo valores
65x
12
= 325 x = 60o
A =
3x
4
= 45o
C = x = 60o
B =
2x
3
+ 55 = 95o
D = 3x − 20 = 160o
Ejercicio 4.35 En un triángulo ABC; AB = 12 m; BC = 8 m se inscribe un
cuadrado con uno de sus vértices en B y el opuesto sobre la hipotenusa. Hallar
el lado del cuadrado.
- 153

Solución:
Α
α
α
β
BC
E F
x
x
8
12
AEF ∼ ABC
x
8
=
12 − x
12
EF
CB
=
AF
AB
Lados homólogos ∴ x =
24
5
m
Ejercicio 4.36 Demostrar que : AOB ∼ DOC
Solución:
A
B
CD
α
θ
β
γ
Ο
α = γ AOB = DOC opuesto por el vértice
β = θ ∴ AOB ∼ DOC
Ejercicio 4.37 Calcular el lado del cuadrado de la Figura 4.47
- 154

A
B
C
D E
FG
AGD DBE x2
= DB × EC lados homólogos
x2
= AD × BE Lados homólogos x2
× x2
= AD × BE × DB × EC
DBE ∼ EFC x4
= 16 x = 2 m
. Si AD × DB × BE × EC = 16 m4
Ejercicio 4.38 En todo triángulo la bisectriz interior divide al triángulo en
dos triángulos semejantes.
Solución:
BE : Bisectriz BE = BE lado común
A
B
CE
ABE = EBE ∴ ABE ∼ EBC
Ejercicio 4.39 En el gráﬁco de abajo (Figura 4.49) Hallar a, b h c = 90o
en
dos triángulos semejantes.
- 155

Solución:
AB
C
9 16
25
h
b
a2
= 25 × 9 =⇒ a=15 h2
= 9 × 16 =⇒ h=12
b2
= 16 × 25 =⇒ b=20
a
Ejercicio 4.40 Las proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa de un trián-
gulo rectángulo (A = 90o
) son dos veces consecutivos y la altura relativa a la
hipotenusa es
√
56. Calcular la hipotenusa
Solución:
B
h
A
c
b
C
a
x+1 x
h2
= x(x + 1) (x + 8)(x − 7) = 0
(
√
56)2
= x2
+ x x = 7, x + 1 = 8
x2
+ x − 56 = 0 ∴ a=15
- 156

Ejercicio 4.41 La relación de las proyecciones de los catetos B y c sobre la
hipotenusa es
9
16
. El producto de laos catetos bc = 8. Calcular la hipotenusa
del triángulo rectángulo .
Solución:
h
b
B C
A
c
m n
a
b2
= an; c2
= am a2
= b2
+ c2
por teorema de Pitágoras
b2
c2
=
n
m
=
9
16
a2
=
32
3
+
64 × 3
32
b
c
=
3
4
, bc = 8 ∴ a = 2
√
3
c =
32
3
,
8
√
3
√
32
- 157

Ejercicio 4.42 Demostrar el teorema de Pitágoras
Demostración:
h
b
B
C
A
c
a
m n
a2
= c × n a2
+ b2
= c(n + m)
b2
= c × m c × c
a2
+ b2
= c × n + c × m ∴ a2
+ b2
= c2
- 158

4.4. SEGMENTOS Y ÁNGULOS
4.4.1. Segmentos. Operaciones con segmentos
4.4.2. Poligonales. Teoremas sobre poligonales
4.4.3. Ángulos. Medida de ángulos.
4.4.4. Tipos de ángulos
1. En una recta se ubica los puntos consecutivos A, B, C, D y E de modo
que
AC
2
=
BD
3
=
CE
5
, además la suma de las longitudes del segmento
que une los puntos medios de AC; BC con el segmento que une los pun-
tos medios de CE y CD es k. Calcule
k
AE
A)
3
7
B)
2
3
C)
2
5
D)
3
5
E)
2
7
Respuesta: E)
2. Se tiene los ángulos consecutivos AOB, BOC y COD, tal que m AOD =
80o
. Calcule la medida del ángulo formado por las bisectrices OM y
ON de los ángulos AOC y BOD respectivamente, sabiendo que M y N
pertenecen a la región interior del ángulo BOC y m BOM+m CON =
20o
A) 40o
B) 30o
C) 25o
D) 20o
E) 10o
Respuesta: D)
3. Sobre una línea recta se consideran los puntos consecutivos A, B, C, D;
de modo que: AB.BD + AC.CD = AD.BC y AB.CD = 8 m2
. Calcular
la longitud del segmento BC.
A) 1 m B) 2 m C) 3 m D) 4 m E) 5 m
4. Sobre una línea recta se consideran los puntos consecutivos A, B, C ;
luego se toma el punto medio M de BC. Hallar AM. Si: AB+AC = 14 m
A) 3 m B) 4 m C) 5 m D) 7 m E) 9 m
- 159

5. Sobre una línea recta se consideran los puntos consecutivos A, B, C y D;
con la siguiente condición:
AB
AC
+
CD
BC
= 1
calcular x Si:
x3
n
=
BC
AC
+
BC
BD
; n 0
A)
√
n B) n C) 2n D) 3
√
n E)
n
2
6. Sobre una línea recta se consideran los puntos consecutivos A, B, C, D y
E con la siguiente condición:
AD = DE AB = BD
AC + BD + CE + AE = 72
Calcular la longitud del segmento BC. Si
1
BC
+
2
AE
= 1
A)
16
15
µ B)
15
16
µ C)
7
8
µ D)
8
7
µ E) 1 µ
7. Sobre una línea recta se consideran los puntos consecutivos A, B, C, D, E
y F con la siguiente condición:
AB = EF =
BE
3
.
Calcular la longitud del segmento BE Si:
AC + BD + CE + DF = 24
A) 6 µ B) 7.5 µ C) 8, µ D) 9 µ E) 12 µ
8. Sobre una línea recta se consideran los puntos consecutivos A, B, C y D
con la siguiente condición
AD(CD − BC) = BD.CD
2.AD − BD
AD.AB
=
3x − 1
10
.
Calcular el valor de x Si : AC = 4
A) 1 B) 2 C) 2,5 D) 0,5 E) 3
- 160

9. En una línea recta se consideran los puntos consecutivos A, B, C, D y E
tal que AC =
AD
2
; 3.DE = AE y 4.AB = BC.
Hallar BD. Si: CD = 5
A) 3 B) 5 C) 7 D) 9 E) 13
10. Sobre una línea recta se consideran los puntos M, N, P, Q consecutivos
.“A” punto medio de MP; “B” punto medio de NQ.
Si: MN = 5 µ, PQ = 11 µ. Hallar: AB
A) 4 µ B) 6 µ C) 8µ D) 10 µ E) 12 µ
11. Sobre una línea recta se consideran los puntos consecutivos A, B, C y D;
se sabe que AC =
√
m y se cumple las siguientes condiciones:
AB.AD = BC.CD BC2
− AB2
= AB.CD.
Hallar: (CD)2
A) m2
B)
√
m C)
√
m D) m E)
m2
2
12. La suma de los complementos y su suplementos de las medidas de dos
ángulos es igual a 230o
. Si se sabe que la diferencia de las medidas de
ambos ángulos es 15o
. Calcular el complemento de la medida del mayor
ángulo.
A) 5o
B) 10o
C) 15o
D) 62o
30 E) 60o
13. En la ﬁgura mostrada, calcular : α. Si AB = CD
A) 10o
B) 15o
C) 18o
30 D) 20o
E)
Α
Β
C
2α
α
D
Figura 4.53: 13
- 161

22o
30
Respuesta: E)
14. En la figura mostrada, calcular : xo
. Si QC = 2.BP
A) 10o
B) 15o
C) 20o
D) 30o
E) 45o
Respuesta: D)
Α C
B
P
Q
xo
Figura 4.54: 14
15. En la figura mostrada MC = a; AC = MB = b; AB = a+b; m MAC = 30o
y m MCA = 40o
. Calcular: m MBC.
A) 35o
B) 20o
C) 25o
D) 20o
E) 10o
Respuesta: C) A) 35o
B) 20o
C) 25o
D) 20o
x o
B
A C
M
Figura 4.55: 15
E) 10o
16. En la figura mostrada, calcular: θ.
A) 8o
B) 10o
C) 15o
D) 12o
E) 5o
Respuesta: B)
- 162

4.5. PERPENDICULARIDAD Y PARALELISMO
2θ
4θ
4θ 2θ
Figura 4.56: 16
4.5. PERPENDICULARIDAD Y PARALELIS-
MO
4.5.1. Definición de perpendicularidad. Postulados
4.5.2. Teoremas sobre perpendicularidad
4.5.3. Definición de paralelismo. Postulados
4.5.4. Teoremas sobre paralelismo
4.5.5. Ángulos formados por rectas cortadas por una se-
cante. Teoremas
4.5.6. Ángulos con lados paralelos y perpendiculares
1. En el gráfico Figura 4.57 (véase Figura 4.57 página 164 )L1//L2 y el
ángulo ABC es agudo, calcule el mínimo valor de x.
A) 20o
B) 21o
C) 22o
D) 18o
E) 19o
Respuesta: E)
- 163

A
BC
2β
3β
3θ
2θ
Figura 4.57: 1
2. Determinar el número de grados en los ángulos requeridos Figura (véase
Figura 4.58 página 164 )
Hipótesis:
−→
AB
−−→
CD;
m∠BAE = 50;
m∠DCE = 40.
Hallar: m∠α + m∠β =
(Nota: El símbolo m∠α indica la medida del ángulo α)
Respuesta : 90
A
E
B
DΧ
α
β
40
50
ο
ο
Figura 4.58: 2
3. Determinar el número de grados en los ángulos requeridos
Hipótesis: AC ∼= BC;
AC⊥BC.
Hallar: m∠A = (m: indica la medida del ángulo)
Respuesta: 45
- 164

4.5. PERPENDICULARIDAD Y PARALELISMO
Α
C
B
Figura 4.59: 3
4. Hallar m∠α :, L m; r s
Respuesta: 55
125ο
α
s
r
L
m
Figura 4.60: 4
5. Hallar m∠α :, L m
Respuesta: 18
58o
40
m
L
α
o
Figura 4.61: 5
- 165

6. Hallar m∠α :
Respuesta: 50
α
40o
Figura 4.62: 6
7. La suma de las medidas de los ángulos de cualquier triángulo es ............
8. Una recta que corta dos o mas rectas se llama ...........
9. Dos rectas paralelas a la misma recta son ............ entre si.
10. Si dos triángulos isósceles tienen una base común, la recta que une sus
vértices es ......... a la base. Respuesta: Perpendicular
11. Un triángulos es .......... si dos de sus alturas son congruentes.
12. Los ángulos agudos de un triángulo rectángulo son ...........
13. Si las sumas de las medidas de dos de los ángulos de un triángulo es igual
a la medida del tercer ángulo, el triángulo es
14. Ningún triángulo rectángulo puede tener un ángulo ..........
15. Los dos ángulos externos en cualquiera de los vértices de un triángulo
son ángulos .........y, por lo tanto, son ángulos .........
- 166

4.6. TRIÁNGULOS Y POLÍGONOS
4.6. TRIÁNGULOS Y POLÍGONOS
4.6.1. Clasiﬁcación. Rectas y puntos notables.
4.6.2. Igualdad de triángulos. Casos de igualdad
4.6.3. Polígonos. Teoremas sobre polígonos
4.6.4. Cuadriláteros. Clasiﬁcación. Teoremas
1. ¿ Cuántos lados tiene el polígono regular cuya medida de un ángulo
externo es igual a los
2
13
de la medida de un ángulo interno.?
A) 12 lados B) 8 lados C) 15 lados D) 14 lados
E) 16 lados
Respuesta: C)
2. ¿Cuantos lados tiene un polígono cuya suma de las medidas de sus án-
gulos internos y externos es 3960o
?
A) 21 lados B) 20 lados C) 22 lados D) 18 la-
dos E) 16 lados
Respuesta: C)
3. Un Polígono regular tiene dos lados más que otro, pero su ángulo central
mide 30o
menos que la medida del otro , luego el polígono es :
A) Pentágono B) heptágono C) exágono D) oc-
tágono E) triágulo
Respuesta: C)
4. Se tienen dos polígonos regulares cuyos números de diagonales se diferen-
cian en 342 y cuyas medidas de sus ángulos centrales están en la relación
como 2 es a 3. Hallar la diferencia de las medidas de sus ángulos centrales.
A) 5o
B) 6o
C) 12o
D) 8o
E) N.A.
Respuesta: A)
5. El ángulo formado por las bisectrices interiores de los ángulos B y C de
un triángulo ABC es el doble de ángulo A. Hallar los ángulos interiores
del triángulo si: B − C = 20o
.
- 167

6. En un triángulo acutángulo ABC : B+C = 140o
. Hallar el menor ángulo
formado por las alturas trazadas desde los vértices B y C.
7. En un triángulo rectángulo ABC recto en A, uno de los ángulos agudos
es 15 grados más que el cuadruplo del otro. Hallar el ángulo que forman
la mediana y la altura trazadas desde el vértice del ángulo recto.
8. Se da un triángulo ABC;. A = 80o
, Sobre el lado AB se ubica un punto
D de tal modo que BD = DC, y DA = AC. Hallar el ángulo BCA.
Respuesta 75o
9. En un triángulo isósceles MPQ se trazan las alturas relativas a los lados
iguales, el ángulo del vértice P mide 46o
. Calcular la medida de los án-
gulos formados al cortarse las alturas.
Respuesta: x = 134o
4.7. PROPORCIONALIDAD Y SEMEJANZA
4.7.1. Segmentos proporcionales
4.7.2. Division de un segmento en razón
4.7.3. Teoremas de Tales. Corolarios
4.7.4. División de un segmento en partes proporcionales
a varios números
4.7.5. Semejanza de triángulos. Casos de semejanza
4.7.6. Semejanza de triángulos rectángulos
1. En un triángulo ABC, obtuso en B, se traza la bisectriz interior BM y
las alturas AN y CQ respectivamente. Si AN = a y CQ = b, calcule la
longitud de la altura trazada desde M en el triángulo MBC
A) ab B)
a
b
C)
√
ab D)
ab
a + b
E)
a + b
ab
Respuesta: D)
2. Según el gráﬁco PQRS es un cuadrado de centro O. Si AP = 4 y
SC = 9, calcule PT. A) 5, 4 B) 1, 8 C) 1, 2 D)
2, 4 E) 3, 6
Respuesta: E)
- 168

4.7. PROPORCIONALIDAD Y SEMEJANZA
O
T
B
SA C
P
RQ
Figura 4.63: 2
3. En la ﬁgura mostrada P y T son puntos de tangencia, O es centro de la
semicircunferencia . Calcule OH, si se sabe que PH = 15, HT = 8 y el
radio de la circunferencia mide 13.
A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 9
P
C
T
BHO
A
Figura 4.64: 3
Respuesta: C)
4. En un triángulo ABC se trazan las bisectrices interiores AQ y CP. Hal-
lar QC, si: AP = 2 m, PB = 3 m y BQ = 4 m.
A) 5 m B) 1,6 m C) 4, 57 m D) 3, 43 m E)
6 m
Respuesta: C)
5. En la ﬁgura mostrada: PQ//AC. Si: + AB = 20 m y BC = 15 m. Hallar
:PQ.
A)
15
2
m B)
25
6
m C)
16
3
m D)
30
7
m E)
40
9
m
Respuesta: B)
- 169

P Q
B
CA
Figura 4.65: 5
6. En la ﬁgura mostrada: MNPQ es un cuadrado. Si FM = 2 m y
QT = 6 m. Hallar : BE.
A)
3
5
√
10 m B)
3
5
√
15 m C)
2
3
√
7 m D) 3, 5 m
O T
B
A C
P
Q
E
M
N
Figura 4.66: 6
E) 2 m
Respuesta: A)
7. En un triángulo ABC, AB = 20, BC = 10 y AC = 21, se trazan las
bisectrices, interior BD y exterior BE. Hallar DE.
Respuesta 28
8. Sea M = 2, 8 cm, N = 4,1 cm. Hallar una tercera proporcional entre M
y N si N es media proporcional.
9. Dado un triángulo ABC, si trazamos un segmento MN paralelo a BC,
escribir todas las proporciones que resulten.
10. Dos segmentos a y b son proporcionales a c y d. Si: a = 6 m; b = 8 m;
c + d = 21 m. Hallar c y d.
11. Si la razón de semejantes de dos triángulos es 6/5 y el perímetro del
mayor es 72 m. cual es el perímetro del menor.
- 170

4.8. RELACIONES MÉTRICAS EN LOS TRIÁNGULOS
Respuesta: a) 70 m. b) 60 m, c) 50 m, d) 55 m. e) 45 m.
4.8. RELACIONES MÉTRICAS EN LOS TRIÁN-
GULOS
4.8.1. Proyecciones
4.8.2. Teoremas
4.8.3. Teorema de Pitágoras
4.8.4. Cálculo de proyecciones
1. Calcule el radio de la circunferencia inscrita en el cuadrado ABCD; si
EC = 2 m y DF = 3 m.
A) 2 m B) 3 m C) 4 m D) 6 m E) 9 m
B
E C
D
A F
Figura 4.67: 1
Respuesta: D)
2. En un triángulo acutángulo ABC; si: AB = 7 m; AC = 12 m la altura
relativa a AC mide 6 m. Hallar la longitud del tercer lado.
Respuesta: 10,3 m
3. Dado un triángulo rectángulo, uno de los catetos mide 12m y su proyec-
ción sobre la hipotenusa mide 6m. Determinar la longitud del otro cateto.
Respuesta:
√
412 m
- 171

4. Si del punto medio de un cateto de un triángulo rectángulo se baja una
perpendicular sobre la hipotenusa, la diferencia de los cuadrados de los
segmentos formados sobre la hipotenusa es igual al cuadrado del otro
cateto.
5. En un triángulo acutángulo ABC, el lado AB = 15 m ; BC = 14m y la
proyección del lado AC sobre BC mide 5 m. Hallar el lado AC.
Respuesta: 13 m
6. Los tres lados de un triángulo ABC son: a = 25 m; b = 39 m y c = 56 m.
Calcular la altura respecto al lado C.
7. En un triángulo rectángulo la hipotenusa mide 15 cm y la altura respecto
a ella mide 6 cm Hallar la longitud del cateto menor.
a) 2
√
5, b) 3
√
5 c) 4
√
5 d) 5
√
3 e) 4
√
3
8. En un trapecio la base mayor AB mide 8 m, y la diagonal BD mide
6 m. Hallar la base menor, si las diagonales son perpendiculares y que
CAB = 30o
.
a) 2 m b) 3 m. c) 4.2 m d) 2.4 m, e) 4 m
9. Las proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa de un triángulo rec-
tángulo son 2 números enteros consecutivos y la altura relativa a la
hipotenusa mide
√
42. Calcular la medida de la hipotenusa.
Respuesta: 13.
- 172

4.9. CIRCUNFERENCIA Y CÍRCULO
4.9. CIRCUNFERENCIA Y CÍRCULO
4.9.1. Deﬁniciones básicas
4.9.2. Ángulos en una circunferencia. Teoremas sobre cuer-
das y ángulos
4.9.3. Ángulo central, ángulo inscrito, semiinscrito, exte-
rior. Teoremas.
4.9.4. Relaciones métricas en la circunferencia
1. Desde un punto P exterior a una circunferencia se traza las tangentes
PA, PB (A y B puntos de tangencia) y la secante PCD de modo que
la m APB = mCBD = 90o
; calcule la mAC.
A) 30o
B) 53o
C) 50o
D) 75o
E) 74o
Respuesta: D)
2. Desde un punto P exterior a una circunferencia se traza las tangentes
PA y PB (A y Bpuntos de tangencia). Luego se traza la cuerda AC de
modo que la distancia de P a AC es igual a la longitud de AC. Calcule
la m APB.
A) 30o
B) 83o
C) 106o
D) 74o
E) 53o
Respuesta: E)
3. En una circunferencia de 15m. de radio, dos cuerdas se cortan y dan por
producto de sus segmentos respectivos 200 m2
. Hallar la distancia del
centro de la circunferencia al punto de intersección de las cuerdas.
4. En un triángulo ABC, por los vertices A y C pasa una circunferencia
que corta a AB en M y BC en N. La tangente trazada por C, es paralela
a AB. Si AC = 12 y BC = 16, hallar NC.
Respuesta: 9
- 173

5. Se da una circunferencia de centro O y de diámetro AB. Se traza la
cuerda RS que corta en P. Hallar el radio de la circunferencia si AP =
2 m, PS = 8 m y RB = 3AS m.
Respuesta: 13 m. m.
- 174

Capítulo 5
TRIGONOMETRÍA
La trigonometría estudia sobre todo relaciones o razones que se dan en un
triángulo rectángulo. Estas relaciones conocidas como funciones trigonométri-
cas, por una parte permiten determinar elementos de un triángulo a partir de
otros elementos del triángulo y por otra parte permiten describir adecuada-
mente fenómenos naturales periódicos.
La trigonometría permite expresar en forma algebraica algunos resultados
importantes de la geometría, lo referido específicamente a triángulos; y es-
encialmente permite generalizar estos resultados en términos del concepto de
función. Las así llamadas funciones trigonométricas juegan un papel impor-
tante en la física y materias afines que se cursan en carreras de la Facultad
de Ciencias y Tecnología pues permiten describir modelos matemáticos de
fenómenos conocidos como periódicos y también son útiles para definir deter-
minadas magnitudes físicas.
Un objetivo importante en el aprendizaje de la trigonometría es el de com-
prender claramente las variaciones que sufren los valores trigonométricos a
medida que varía el ángulo correspondiente. Por otra parte, también se es-
tudian las relaciones existentes entre las diferentes funciones trigonométricas
conocidas como indentidades trigonométricas; y éstas últimas se emplean en
la resolución de las igualdades conocidas como ecuaciones trigonométricas.
Cabe reiterar que las funciones trigonométricas son de importancia porque
se emplean a lo largo de la formación universitaria en ciencias y tecnología en
el transcurso de varias asignaturas y durante casi toda la carrera de formación
profesional.
175

CAPÍTULO 5. TRIGONOMETRÍA
Medidas de ángulos y arcos. Para medir un ángulo o un arco se toma
como unidad de medida un arco un ángulo pequeño.
Para medir un ángulo o un arco existen dos sistemas importantes: el sistema
sexagesimal y el sistema circular.
a) Sistema sexagesimal.- Considera la unidad de medida la 360 ava parte
de la circunferencia o circulo. Cada parte se llama“grado sexagesimal”.
Cada grado dividido en 60 partes llamadas “minuto” y cada minuto dividido
en 60 partes llamadas segundos. Un arco de 20 grados, 25 minutos y 30
segundos, Por ejemplos se escribe así: 20O
25 30
b) Sistema circular o radial.- La unidad de medida fundamental es
el radian(rad). En geometría, la circunferencia se mide así C = 2πr pero en
como en trigonometría el radio es unitario entonces la circunferencia valdrá
C = 2π radios pero se dice C = 2π radianes radianes.
Equivalencia.- Equivalencia entre el sistema circular y el sistema sexa-
gesimal 2π rad = 360o
Longitud de un arco.- S es la magnitud del arco expresada en unidades
lineales que pueden ser centímetros, pulgadas, pies, metros, etc. Se calcula
multiplicando el ángulo central en radianes por su radio. ( ver Figura 5.1)
S=αr
r
S
α
Figura 5.1:
Sistema de coordenadas rectangulares.- Es un conjunto de dos rectas,
en lo general un eje horizontal (eje de abscisas) y otra vertical (eje de las
ordenadas), el punto de intersección de las 2 rectas se llama origen de las co-
ordenadas, Las abscisas que están a la derecha del eje de las ordenadas son
positivas, y las que están a la izquierda son negativas. Las ordenadas que están
por encima del eje de las abscisas son positivas, y las que están por debajo son
negativas. Los ejes dividen al plano en cuatro partes iguales llamados cuad-
rantes I, II, III, IV
- 176

Definición 5.1.1 (Función trigonométrica) Es aquella donde la variable in-
dependiente es un ángulo, Existen 6 funciones trigonométricas que reciben los
nombres de seno, coseno, tangente, cotangente secante y cosecante.
Definición de las funciones trigonométricas en un triángulo rectángulo.-
Tomando en cuenta los 2 catetos y la hipotenusa de un triángulo, las funciones
trigonométricas de un ángulo agudo se define de la siguiente manera.
Para las funciones trigonométricas se considera el triángulo rectángulo de la
Figura 5.2
sen A =
Cateto Opuesto
Hipotenusa
=
a
b
, cot A =
cateto adyacente
cateto opuesto
=
c
a
cos A =
Cateto Adyacente
Hipotenusa
=
c
b
, sec A =
hipotenusa
cateto adyacente
=
b
c
tan A =
Cateto opuesto
Cateto Adyacente
=
a
c
, csc A =
hipotenusa
cateto opuesto
=
b
a
AB
C
b
c
a
Figura 5.2:
Cuadro 5.1: Signo algebraicos de las funciones
SEN COS TAN COT SEC CSC
I C + + + + + +
II C + - - - - +
III C - - + + - -
IV C - + - - + -
Los signos algebraicos de las funciones trigonométricas son muy importantes
para no cometer errores.
a) Ángulos negativos.- Las funciones trigonométricas de ángulos negativos
son iguales a las funciones trigonométricas del mismo nombre del ángulo pos-
itivo, todas de signo contrario excepto el coseno y la secante que tienen signo
- 177

Cuadro 5.2:
0o
30o
45o
60o
90o
120o
135o
150o
180o
270o
360o
sen 0 1
2
√
2
2
√
3
2
1
√
3
2
√
2
2
1
2
0 −1 0
cos 1
√
3
2
√
2
2
1
2
0 −1
2
√
2
2
−
√
3
2
−1 0 1
tan 0
√
3
3
1
√
3 −
√
3 −1 −
√
3
3
0 0
cot
√
3 1
√
3
3
0 −
√
3
3
−1 −
√
3 0
sec 1 2√
3
2√
2
2 −2 − 2√
2
− 2√
3
-1 0
csc 2 2√
2
2√
3
1 2√
3
2√
2
2 −1
positivo.
sen(−α) = − sen α cot(−α) = − cot α
cos(−α) = cos α sec(−α) = sec α
tan(−α) = − tan α cot(−α) = − csc α
Ejemplo 5.1 Ubicar en que cuadrante se encuentra el ángulo de 780o
Solución:
780 360
60 2
60o180o
Figura 5.3: Ejemplo 5.1
780o
se encuentra en el primer cuadrante y ha dado dos vueltas completas
Ejemplo 5.2 Simpliﬁcar y calcular y =
sen(−135) + cos 180
√
2 + 2
2
- 178

Solución:
y =
sen(−135) + cos 180
√
2 + 2
2
=
− sen 135 + cos 180
√
2 + 2
2
Reemplazando lo valores de sen 135o
y cos 180o
(ver Cuadro 5.2 página 178)
y =
−
√
2
2
− 1
√
2 + 2
2
=
−
√
2 − 2
2√
2 + 2
2
=
−(
√
2 + 2)
√
2 + 2
= −1
∴ y = −1
Ejemplo 5.3 Por que factor debe multiplicarse sec 45o
para ser igual a csc 45o
Solución: x sec 45o
= csc 45o
x =
csc 45o
sec 45o
=
1
sen 45o
1
cos 45o
=
cos 45o
sen 45o
=
1
√
2
2
1
√
2
2
= 1
Ejemplo 5.4 Calcular el cos 75o
Solución:
cos 75o
= cos(45o
+ 30o
) = cos 45o
cos 30o
− sen 45o
sen 30o
=
√
2
2
·
√
3
2
−
√
2
2
·
1
2
=
√
2 ·
√
3
4
−
√
2
4
=
√
2
4
(
√
3 − 1)
- 179

FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS A DIFERENTES ÁNGU-
LOS Ángulos confinarles Ángulos cofinales.- Se llaman ángulos cofinales a
todos aquellos ángulos que tiene los mismos lados se expresan de la siguiente
forma α + 2πk o α + 360o
k siendo k un número entero positivo, negativo o
cero.
Las funciones trigonométricas del mismo nombre de ángulos cofinales son
iguales:
sen(α + 2πk) = sen α
cos(α + 2πk) = cos α
tan(α + 2πk) = tan α
cot(α + 2πk) = cot α
sec(α + 2πk) = sec α
csc(α + 2πk) = csc α
REDUCCIÓN GENERAL DE REDUCCIÓN.- Toda función trigonométri-
ca de un ángulo de la forma (n · 90o
± β) ó (n ·
π
2
± β) donde es un ángulo
agudo positivo cualquiera es igual:
a) Si n es par es igual a la misma función trigonométrica del ángulo
b) Si n es impar es igual a la cofunción de la función trigonométrica. del ángulo
En ambos casos el signo algebraico es el signo de la función dada de acuerdo
al cuadrante donde pertenece
Ejemplo 5.5
sen(270 − β) = sen(3 · 90 − β) = −cosβ
Ejemplo 5.6
cos(180 + β) = cos(2 · 90 + β) = − cos β
Ejemplo 5.7 csc(−300)
Solución:
csc(−300) = − csc 300 = − csc(3 · 90 + 30) = sec 30 =
2
3
√
3
- 180

IDENTIDADES Y ECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS
Expresión de una función en términos de las otras funciones.-
sen2
β + cos2
β = 1; tan β =
sen β
cos β
; cot β =
cos β
sen β
;
sec β =
1
cos β
; csc β =
1
sen β
; cot β =
1
tan
1 + tan2
β = sec2
β; 1 + cot2
β = csc2
β
funciones trigonométricas de la suma de ángulos
sen(α + β) = sen α cos β + sen β cos α
cos(α + β) = cos α cos β − sen α sen β
tan(α + β) =
tan α + tan β
1 − tan α tan β
funciones trigonométricas de la diferencia de ángulos
sen(α − β) = sen α cos β − sen β cos α
cos(α − β) = cos α cos β + sen α sen β
tan(α − β) =
tan α − tan β
1 + tan α tan β
Funciones trigonométricas para el ángulo doble
sen 2α = 2 sen α cos α
cos 2α = cos2
α − sen2
α = 2 cos2
α − 1 = 1 − 2 sen2
α
tan 2α =
2 tan α
1 − tan2
α
cot 2α =
cot2
α − 1
2 cot α
Funciones trigonométricas de ángulo mitad
sen
α
2
=
1 − cos α
2
(3)
cos
α
2
=
1 + cos α
2
(4)
tan
α
2
=
1 − cos α
1 + cos α
(5.1)
- 181

Suma y Diferencia de Senos y Cosenos
sen α + sen β = 2 sen
α + β
2
cos
α − β
2
sen α − sen β = 2 cos
α + β
2
sen
α − β
2
cos α + cos β = 2 cos
α + β
2
cos
α − β
2
cos α − cos β = −2 sen
α + β
2
sen
α − β
2
Ejemplo 5.8 Simpliﬁcar: y = sen(β + 45) + sen(β − 45).
Solución: Sabiendo que:
sen(α + β) = sen α cos β + sen β cos α (5.2)
cos(α − β) = cos α cos β + sen α sen β (5.3)
y = cos(β + 45) + sen(β − 45) Por dato
= cos β cos 45 − sen β sen 45 + sen β cos 45 − cos β cos 45 Por 5.2 y 5.3
= cos β
√
2
2
− sen β
√
2
2
+ sen β
√
2
2
− cos β
√
2
2
Por el Cuadro5.2 página 178
= 0
Ejemplo 5.9 Demostrar: tan α − tan β =
sen(α − β)
cos α cos β
Solución: Sea y = tan α − tan β
y =
sen(α − β)
cos α cos β
=
sen α cos β − sen β cos α
cos α cos β
=
sen α cos β
cos α cos β
−
sen β cos α
cos α cos β
= tan α − tan β
∴ tan α − tan β =
sen(α − β)
cos α cos β
- 182

5.2. ÁNGULOS Y FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
Ejemplo 5.10 Resolver la ecuación trigonométrica 5 sen x = 6 cos2
x
Solución:
5 sen x = 6(1 − sen2
x)
6 sen2
x + 5 sen x − 6 = 0
Resolviendo la ecuación de segundo grado
sen x =
2
3
x1 = 41o
; x2 = 138o
sen x = −
3
2
5.2. ÁNGULOS Y FUNCIONES TRIGONOMÉTRI-
CAS
5.2.1. Ángulos positivos y negativos
5.2.2. Ángulos en sistema de coordenadas cartesianas
5.2.3. Funciones trigonométricas
5.2.4. Variaciones de las funciones trigonométricas
1. En qué cuadrante está el ángulo 225o
Respuesta. III.
Respuesta. IV.
3. En qué cuadrante está el ángulo −315o
Respuesta. I.
Respuesta: II.
Respuesta. I.
- 183

Respuesta: Entre II y III.
En los ejercicios 11, 12, 13, 14, 15, 16 y 17, dar un ángulo positivo y
uno negativo que tengan cada uno el mismo lado inicial y el mismo lado
terminal que cada uno de los siguientes ángulos.
11. 45o
Respuesta: 405o
, −315o
12. −30o
13. 120o
Respuesta: 480o
, −240o
14. −200o
15. −390o
Respuesta: 330o
, −30o
16. 340o
17. 330o
En los ejercicios 18, 19, 20, 21 y 22, hallar las funciones del ángulo XOP
para las siguientes posiciones de P (siendo OX el lado inicial en cada
caso ). Expresar las soluciones como fracciones comunes en la forma más
simple. Las soluciones están dadas en el orden seno, coseno, tangente.
18. (−4, 3). Respuesta:
3
5
, −
4
5
, −
3
4
, etc.
19. (−1, −2). Respuesta: −
2
√
5
5
, −
√
5
5
, 2, etc.
20. (−15, 8).
21. (−1, −1). Respuesta: −
√
2
2
, −
√
2
2
, 1, etc.
- 184

5.2. ÁNGULOS Y FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
22. (−6, 8). Respuesta:
4
5
, −
3
5
, −
4
3
, etc.
23. ¿Que ángulo positivo menor que 360o
tiene el mismo lado terminal que
−30o
? ¿Cuáles son los valores de las funciones de −30o
?
Respuesta: 330o
; −
1
2
,
√
3
2
, −
√
3
3
, etc.
En los ejercicios 24, 25 Hallar los valores de las funciones de los sigu-
ientes ángulos. Dibujar en cada caso una figura indicando sobre ella por
una flecha la magnitud y dirección del ángulo, y por números los valores
de x, y, r.
24. −60o
Respuesta: −
√
3
2
,
1
2
, −
√
3, etc
25. −390o
Respuesta: −
1
2
,
√
3
2
, −
3
3
, etc.
26. Calcular las Funciones trigonométricas del ángulo α, sabiendo que: sen α =
4
5
27. Calcular las funciones trigonométricas de α, sabiendo que: csc α =
5
2
Respuesta: sen α =
2
5
; cos α =
√
21
5
; tan α =
2
√
21
21
; sec α =
5
√
21
21
;
cot α =
√
21
2
.
28. sec α =
6
5
Respuesta: sen α =
√
11
6
; cos α =
5
6
; tan α =
√
11
5
; csc α =
6
√
11
11
; cot α =
5
√
11
11
.
29. cot α =
1
3
Respuesta: sen α =
3
√
10
10
; cos α =
√
10
10
; tan α = 3; csc α =
√
10
3
; sec α =
√
10
En los ejercicios 30, 31, 32, 33, 34, verificar las identidades:
30. 1 + sen α tan α =
sen α + cot α
cot α
- 185

31. (sen α + cos α)2
+ (cos α − sen α)2
= 2
32.
tan α + 1
1 − tan α
=
1 + cot α
cot α − 1
33.
tan
π
2
− α
tan
π
2
− α − tan
π
2
− β
= 1 −
tan α
tan α − tan β
34.
tan α + tan β
tan
π
2
− α + tan
π
2
− β
= tan α · tan β .
35. hallar el valor de las expresiones siguientes:
a)
2 sen 30o
tan 60o
+
1
cos 180o
− tan 30o
Respuesta: −1
b)
tan 45o
+ sec 45o
sen 90o − sen 45o
+
1
cos 360o + cos 65o
− tan 30o
Respuesta: 6 + 2
√
2
c)
tan 45o
cos 60o
sec 180o + 2
+
sen 30o
− cot 60o
tan 360o + 1
Respuesta:
3 −
√
3
3
36. Estudiar las variaciones del seno y tangente en el primer cuadrante; del
coseno y de la cotangente en el segundo y de la secante y cosecante en el
tercero.
37. Si a = 30o
; b = 180o
; c = 90o
; d = 270o
. Hallar el valor de las expresiones:
a)
cos2a + 2 sen a
sen c + cot d
Respuesta :
√
2
2
b)
cos2 0o − 3 tan a cos b
1 + 3 cot 60o
Respuesta:1
c)
cos2
60o
sen a
−
cos b tan 45o
1 + 3 sec2 b
2 −
cot 60o
+ 3 sec2
60o
1 − csc2 45o
Respuesta:
3
43
- 186

5.3. FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS DE DIFERENTES ÁNGULOS
5.3. FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS DE
DIFERENTES ÁNGULOS
5.3.1. Círculo y líneas trigonométricas
5.3.2. Reducción al primer cuadrante
5.3.3. Funciones trigonométricas de ángulos complemen-
tarios, suplementarios
1. Expresar las funciones trigonométricas de los siguientes ángulos por las
de un ángulo menor de 45o
a) 74o
b) 85o
. c)140o
d) 166o
2. Hallar los valores de las funciones trigonométricas de 135o
y 150o
3. Reducir a un ángulo menor de 45o
, las funciones trigonométricas de los
siguientes ángulos:
a) 118o
b) 172o
c) 102o
51
4. Expresar las siguientes funciones trigonométricas por las de un ángulo
agudo: a) sen 99o
b) tan 136o
c) cos 147o
5. Hallar los valores de las siguientes funciones:
a) sen 210o
Respuesta: −
1
2
b) tan 225o
Respuesta: 1 c) sec 240o
Respuesta:
−2
6. Reducir al primer cuadrante las funciones trigonométricas de los sigu-
ientes ángulos
a) 285o
b) 310o
c) 209o
d) 306o
7. Expresar las funciones trigonométricas de los siguientes ángulos como las
de un ángulo de menor de 45o
a) 289o
b) 297o
c) 352o
- 187

8. Reducir las funciones trigonométricas de los siguientes ángulos las de un
ángulo positivo menor de 45o
a) −82o
b) −132o
c) −234o
d) −356
9. Hallar los valores de las siguientes funciones:
a) sen(−30o
) b) cot(−120o
) c) sen(−300o
)
d) sec(−315o
) e) sen(−225o
)
10. Reducir las funciones trigonométricas de los siguientes ángulos a las de
un ángulo positivo menor de 45o
:
a) 748o
b) 249o
c) 3889o
d) 12096o
e) 6120o
11. hallar los valores de las siguientes funciones trigonométricas:
a) sen(−330o
) b) sen 2820o
c) cos(−420o
) d) cot 675o
12. Simpliﬁcar las expresiones:
a)
cos(−x)
cos(180o − x)
−
sen(360o
+ x)
sen(−x)
) Respuesta: 0
b)
sen(90o
+ a)
cos(−a)
+
cos(90o
− a)
sen a
Respuesta: 2
13. Calcular las funciones trigonométricas del ángulo α = 120o
14. Calcular las funciones trigonométricas del ángulo: α = 212o
15. Calcular las funciones trigonométricas del ángulo α = 315o
En los ejercicios 16,17, . . ., 29, expresar las funciones trigonométricas de
los siguientes ángulos, mediante las funciones trigonométricas de un án-
gulo del primer cuadrante.
16. 112o
40
Respuesta:
sen 112o
40 = sen 77o
20
cos 112o
40 = − cos 77o
20
tan 112o
40 = − tan 77o
20
- 188

csc 112o
40 = csc 77o
20
sec 112o
40 = − sec 77o
20
cot 112o
40 = − cot 77o
20
17. 164o
18. 205o
15 28
Respuesta:
sen 205o
15 28 = − sen 25o
15 28
cos 205o
15 28 = − cos 25o
15 28
tan 205o
15 28 = tan 25o
15 28
csc 205o
15 28 = − csc 25o
15 28
sec 205o
15 28 = − sec 25o
15 28
cot 205o
15 28 = cot 25o
15 28
19. 249o
20. 221o
50 53
21. 309o
27 16
Respuesta:
sen 309o
27 16 = − sen 50o
32 44
cos 309o
27 16 = cos 50o
32 44
tan 309o
27 16 = − tan 50o
32 44
csc 309o
27 16 = − csc 50o
32 44
sec 309o
27 16 = sec 50o
32 44
cot 309o
27 16 = − cot 50o
32 44
22. 285o
23. 346o
13 58
24. 331o
45 19
25. −110o
49 20
Respuesta:
sen(−110o
49 20 ) = − sen 69o
10 40
cos(−110o
49 20 ) = − cos 69o
10 40
tan(−110o
49 20 ) = tan 69o
10 40
csc(−110o
49 20 ) = − csc 69o
10 40
- 189

sec(−110o
49 20 ) = − sec 69o
10 40
cot(−110o
49 20 ) = cot 69o
10 40
26. −66o
5 8
27. −857o
28. −315o
45 23
29. −638o
15 57
30. Calcular el valor de la expresión:
sen(180o
− α) cos(90o
− α) + sen(90o
+ α) cos(180o
− α)
Respuesta: −1.
31. Calcular el valor de la expresión:
sen(π − α) cos(π + α)
tan(2π + α)
Respuesta: − cos2
α
32. Calcular el valor de la expresión
tan2
(2π + α) sen2 π
2
− α − cos(π − α) sen(−α)
Respuesta: 0.
33. En un triángulo rectángulo ABC, b=24, c=10. Calcular las funciones
trigonométricas de C.
34. Dado sen(B) =
4
5
, b = 540. Hallar la hipotenusa del triángulo
Respuesta: 50.
35. Hallar la hipotenusa de un triángulo rectángulo sabiendo que cos C =
4
5
y b = 16
Respuesta: 20
36. En un triángulo rectángulo ABC, sen B =
5
16
, hallar las funciones
restantes de B.
- 190

37. En el triángulo rectángulo ABC, c = 48 cm. y sec C =
13
5
Respuesta: a = 52 : b = 20
38. Dado cos(B) =
3
4
construir el ángulo B y hallar las demás funciones de
este ángulo.
39. Si sec(B) = 4,25 construir B y calcular todas las funciones.
40. sen 30o
cos(45o
)
Respuesta:
√
2
4
41.
30o
cos(45o)
+
sec 45o
tan 45o
Respuesta:
3
√
2
2
42. Hallar x en la ecuación: 2x sen 45o
cot 30o
= cos 60o
Respuesta:
√
6
12
43. Probar la siguiente identidad:
sen 30o
cos 45o
− cos 60o
tan 30o
=
√
2 − 1
2
44. Hallar el valor númerico de la expresión: tan 60o
− cot2
45o
cos 30o
Respuesta:
√
3
2
45. Hallar el valor númerico de la expresión
sen 45o
tan 45o
−
cos2
60o
sen 30o
Respuesta:
√
6 − 3
6
46. Probar la identidad:
4 tan2
30o
sec2
45o
1 − cot2
60o
= 3
- 191

3 sen 45o
sen2
30o
csc2 30o − 1
4
cot2
45o
−
2 sec 60o
cos 45o
1 − cot2
30o
= −
79
√
2
10
4 cos2
30o
sen2
45o
tan 60o
3 csc2 30o − 2 cos2 45o
+
cos2
60o
16 sec2 60o
=
1 + 9
√
3
48
49. Calcular las funciones trigonométricas de x sabiendo que: sen x =
3
5
50. Calcular las funciones trigonométricas de x sabiendo que: sec x = −1
2
3
51. Calcular las funciones trigonométricas de x sabiendo que: cos x = −
20
29
52. Calcular las funciones trigonométricas de x sabiendo que: sen x = −
2
7
53. Calcular las funciones trigonométricas de x sabiendo que: tan x = 22
5
5.4. IDENTIDADES Y ECUACIONES TRIGONO
MÉTRICAS
5.4.1. Expresión de una función en términos de las restantes
5.4.2. Funciones trigonométricas de la suma y diferencia
5.4.3. Funciones trigonométricas de los múltiplos de un
ángulo
5.4.4. Ecuaciones trigonométricas
5.4.5. Resolución de triángulos
1. Si cos a =
8
17
, csc b = 5
5
4
, hallar sen(a + b) y tan(a − b)
Respuesta:
77
85
;
13
85
.
- 192

5.4. IDENTIDADES Y ECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS
2. Si tan x =
2
11
, tan y =
24
7
,hallar tan(x − y) y cot(x + y)
Respuesta: −2;
29
278
3. Si sen x =
1
2
, cos y = −
√
3
2
, hallar cos(x + y) y tan(x − y). Sabiendo que
x es un ángulo del segundo cuadrante e y del tercer cuadrante.
Respuesta: −1; −
√
3
4. Probar que:
a)
cos(x − y)
cos x sen y
= tan x + cot y.
b)
tan(x − y) + tan y
1 − tan(x − y) tan y
= tan x.
5. Hallar sen 75o
, usando sen(x+y) = sen x cos y+cos x sen y y las funciones
de 45o
, 30o
.
6. Si tan x =
3
4
y tan y =
7
24
, hallar sen(x + y) y cos(x + y) cuándo x y y
son ángulos agudos
Respuesta: sen(x + y) =
4
5
, cos(x + y) =
3
5
.
7. Hallar cos(210o
+A) si sec A = −
√
3 y A termina en el segundo cuadrante.
Demostrar que:
8. sen(45o
+ x) =
cos x + sen x
√
2
9. sen(y + 135o
) =
cos y − sen y
√
2
.
10. Hallar el sen 15o
, usando las funciones de de 45o
y 30o
.
Respuesta:
√
6 −
√
2
4
.
11. Hallar sen(x − y) y cos(x − y), sabiendo que tan x =
4
3
y tan y =
3
4
, y
que x termina en el tercer cuadrante e y en el primero.
Respuesta: sen(x − y) = −
7
25
, cos(x − y) = −
24
25
.
- 193

12. cos(x − 315o
) =
cos x − sen y
√
2
13. cos(30o
+ y) − cos(30o
− y) = − sen y.
14. sen(x + y) sen(x − y) = sen2
x − sen2
y.
15. Hallar tan 75o
conocidas las funciones de 45o
y 30o
.
Respuesta: 2 +
√
3.
16. Hallar tan(x+y) y tan(x−y), teniendo como datos tan x =
1
2
y tan y =
1
4
.
Respuesta:
6
7
,
2
9
.
Demostrar que:
17. tan(A − 60o
) =
tan A −
√
3
1 +
√
3 tan A
.
18. tan x + tan y =
sen(x + y)
cos x cos y
.
19. tan(x + 45o
) + cot(x − 45o
) = 0.
20. Calcular las funciones trigonométricas del ángulo de 75o
considerando a
dicho ángulo como la suma: 30o
+ 45o
.
Respuesta: sen 75o
=
√
2(1 +
√
3)
4
, cos 75o
=
√
2(
√
3 − 1)
4
, tan 75o
=
2 +
√
3, csc 75o
=
√
2(
√
3 − 1), sec 75o
=
√
2(
√
3 + 1), cot 75o
=
2 −
√
3
21. Calcular las funciones trigonométricas del ángulo de 15o
considerando a
dicho ángulo como la diferencia : 60o
− 45o
Respuesta: sen 15o
=
√
2(
√
3 − 1)
4
, cos 15o
=
√
2(1 +
√
3)
4
, tan 15o
=
2 −
√
3, csc 15o
=
√
2(
√
3 + 1), sec 15o
=
√
2(
√
3 − 1), cot 15o
=
2 +
√
3
22. Sabiendo que: sen α =
2
√
2
3
y cos β =
√
15
4
calcular: sen(α+β) y cos(α−
β)
Respuesta: sen(α + β) =
2
√
30 + 1
12
; sen(α − β) =
2
√
30 − 1
12
- 194

23. Sabiendo que: cos α =
4
5
y cos β =
7
25
calcular: cos(α + β) y cos(α − β)
Respuesta: cos(α + β) = −
44
125
; cos(α − β) =
4
5
24. Determinar el ángulo x del 2do
cuadrante que veriﬁca la siguiente ecuación:
sen(x − 30o
)
tan(x + 180o)
=
√
3 cos x
Respuesta: x = 150o
Veriﬁcar las siguientes identidades:
25.
sen(π − α)
cos(π + α)
−
cos
π
4
− α
sen
π
4
+ α
= tan α − 1
26.
1
1 + tan2
α
= cos2
α
27. Si sen a =
12
13
, hallar las funciones de 2a
28. Dado cos x =
1
2
, hallar sen x y tan x.
Respuesta:
√
3
2
;
√
3.
29. Dado tan a = −11
3
, Hallar cos(2a) y cot(2a) siendo a del cuarto cuad-
rante.
Respuesta: −
7
25
;
7
24
.
30. Dado sen x = −
3
5
, siendo x del tercer cuadrante, hallar tan(3x).
Respuesta: −2
29
44
31. Sabiendo que tan x = 2 y que x está en el tercer cuadrante, hallar
sen 2x, cos 2x, tan 2x.
Respuesta: sen 2x =
4
5
, cos 2x = −
3
5
, tan 2x = −
4
3
32. Si A está en el tercer cuadrante y sen A = −
3
5
, hallar
- 195

a) cos(90o
+ A). Respuesta:
3
5
.
b) cot(180o
− 2A). Respuesta: −
7
24
.
c) sec(270o
− 2A). Respuesta: −
25
24
.
Resolver las siguientes ecuaciones para ángulos positivos menores de 360o
33. 3 sen x = 2 − 2 sen2
(x) 30o
, 150o
34. cos2
x−
1
2
= sen2
x Respuesta: 30o
, 150o
, 210o
, 330o
.
35. cos x =
2 tan x
1 + tan2
x
Respuesta: 30o
, 180o
36. sec(2x) =
1
sen x
Respuesta: 30o
, 150o
, 270o
.
Resolver las siguientes ecuaciones para valores de x comprendidos entre
0o
y 360o
:
37. sen2
x =
1
4
Respuesta: 30o
, 150o
, 210o
, 330o
.
38. tan2
x − 3 = 0. Respuesta: 60o
, 120o
, 240o
, 300o
.
39. sen2
2x − 1 = 0. Respuesta: 45o
, 135o
, 225o
, 315o
.
40. cot2 x
2
= 3. Respuesta: 60o
, 300o
.
Hallar, en radianes, todos los ángulos comprendidos entre 0 y 2π que
satisfacen a las siguientes ecuaciones:
41. (tan x + 1)(
√
3 cot x − 1) = 0. Respuesta:
π
3
,
3π
4
,
4π
3
,
7π
4
42. 2 cot θ sen θ + cot θ = 0.
Resolver las siguientes ecuaciones para valores del ángulo comprendido
entre 0o
y 360o
.
43. 4 sec2
y − 7 tan2
y = 3. Respuesta: 30o
, 150o
, 210o
, 330o
.
- 196

44. sen x + cos x = 1.
45. cot2
θ − 3 csc θ + 3 = 0. Respuesta: 30o
, 90o
, 150o
.
46. tan2
x + cot2
x − 2 = 0.
47. cos 2x + cos x = −1. Respuesta: 90o
, 120o
, 240o
, 270o
.
48. sen(30o
+ x) − cos(60o
+ x) = −
√
3
2
Respuesta: 210o
, 330o
.
49. sen x sen
x
2
= 1 − cos x. Respuesta: 0o
, 360o
.
50. sen
x
2
+ cos x = 1.
51. cos2
x + 2 sen x = 0. Respuesta: 204o
28 , 335o
32 .
52. sec2
x − 4 tan x = 0.
53. sen x + sen 2x + sen 3x = 0.
Respuesta: 0o
, 90o
, 120o
, 180o
, 240o
, 270o
, 360o
.
54. tan x + tan 2x + tan 3x = 0.
55. sen 4x − cos 3x = sen 2x.
Respuesta: 30o
, 90o
, 150o
, 210o
, 270o
, 330o
.
56. El extremo de un poste que partió dista 8,45 m. de la base del poste y
forma con el suelo un ángulo de 40o
28 . Hallar la altura original del poste.
Respuesta: 18,31 m.
57. En un triángulo ABC, A = 60o
, a = 8 m., b = 6 m. . Calcular c usando la
ley de los cosenos.
Respuesta: 9,08 m.
58. Calcular qué longitud debe tener una escalera, para que, apoyada en la
pared alcance una altura de 2,85 m. al formar con el plano de la base un
ángulo de 58o
1
Respuesta: 3,36 m.
- 197

59. Una de las diagonales de un rombo es de 30 cm. y forma con uno de los
lados del mismo un ángulo de 25o
42 11 . Calcular la otra diagonal y el
perímetro del rombo.
Respuesta:
diagonal: 14, 44 cm.
perímetro: 66, 588 cm.
60. La altura correspondiente a la hipotenusa de un triángulo rectángulo,
determina sobre ella dos segmentos de 2, 5 cm y 4, 9 cm respectivamente.
Calcular cada uno de los ángulos agudos del triángulo rectángulo dado.
Respuesta: 54o
27 44 y 35o
32 16 .
61. Hallar el área de un triángulo isóseles de 48.54m. de altura, siendo el
ángulo del vértice 26o
48 .
Respuesta: 561,12 m2
.
62. El lado de un triángulo equilátero mide 384.06m. Hallar su área
Respuesta: 63870 m2
.
- 198

Bibliografía
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CIONES CULTURAL.
[2] Aurelio Baldor, ÁLGEBRA. PUBLICACIONES CULTURAL.
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[16] Nathan O. Niles, TRIGONOMETRÍA PLANA.
199

Texto Matematicas prepa2010 FCyT - UMSS

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