Autómatas probabilísticos
- 1. UNIVERSIDAD FERMÍN TORO VICE-RECTORADO ACADEMICO DECANATO DEINGENIERÍA ESCUELA DE COMPUTACIÓN Integrantes: oDuque, Ángel oMejías, Merlyn oOviedo, Luis Autómatas y Lenguajes Formales N-317
- 2. No se habla del estado en el que se encuentra el autómata en un determinado instante, sino de la probabilidad de que se encuentre en cada uno de los estados del autómata.
- 3. DEFINICIÓ N Ma contiene las probabilidades de transición de un estado a otro cuando se recibe el símbolo a. AFP = (Σ, Q, M, P(0), F), es una quíntupla Σ: alfabeto de entrada Q: conjunto de estados, finito y no vacío M: conjunto de matrices de probabilidad de transición entre estados M = {Ma |a ∈ Σ} P(0): vector de estado inicial: contiene la probabilidad de encontrarse en el estado inicial. F⊆Q: Conjunto de estados finales o de aceptación (no vacío).
- 4. Los estados Q se representan como vértices, etiquetados con su nombre en el interior. El estado inicial q0 se caracteriza por tener una arista que llega a él, proveniente de ningún otro vértice. REPRESENTACIÓN COMO DIAGRAMAS DE ESTADOS
- 5. MATRICES DE PROBABILIDAD DE TRANSICIÓN Por cada símbolo a de Σ se define una matriz de probabilidad de transición, M(a), que define la probabilidad de dado que el autómata se encuentre en un determinado estado y reciba el símbolo de entrada a, transite a cada uno de los demás estados. ∀a ∈ Σ, ∃ M(a) = P11 P12 … P1n P21 P22 … P2n … …… … Pn1 Pn2 … Pnn Para cada estado i, se cumple: n: número de estados: | Q | pij: probabilidad de que estando en el estado i y recibiendo una a como entrada, transite al estado j. 0 ≤Pij ≤ 1
- 6. VECTORES DE ESTADOS P(t) es el vector de estados en un instante t. Indica la probabilidad decada estado en el instante t Tiene una componente para cada estado del AFP. P(t) = (P1(t), ..., Pn(t)), para un AFP con n estados Cada Pi(t) es la probabilidad de que el AFP se encuentre en el estado i. Se cumple: La probabilidad de que el AFP se encuentre en el instante t+1 en el estado i, si el símbolo que se lee es “a”, deberá considerar la suma de las probabilidades de llegar a i desde cada uno de los j posibles: Para el vector completo: P(t+1) = P(t)xM(a)
- 7. LENGUAJE ACEPTADO POR UN AFP Sea el AFP = (Σ, Q, M, P(0), F, Θ), donde Θ es un umbral con valores entre 0 y 1. Se recibe la palabra x = a1a2...ap El vector de estados en el instante p será: El lenguaje aceptado por el AFP es: L = {x l x∈Σ + y Pf(x) ≥ Θ} siendo Pf(x): probabilidad del estado final Una palabra es aceptada por un AFP cuando la probabilidad del estado final, una vez calculado el vector de estados, es ≥ Θ
- 8. AFD’S COMO AFP’S Se pueden ver los AFD’s como un caso particular de AFP: AFD = (Σ,Q, f ,q0, F) ⇒ AFP = (Σ,Q,M,P(0),F,Θ) P(0) • Es un vector booleano, que contiene un único 1, en la componente del estado inicial. ∀ a∈Σ, M(a) • Es una matriz de 0’s y 1’s que se construye a partir de f, haciendo Maij = 1 si f(qi,a) = qj y Maij = 0 en caso contrario. M(a) • Todas las filas de M(a) tendrán un solo 1. • Θ>0, lo habitual es Θ=1.
- 9. APLICACIONES DE LOS AFP’SReconocimientodeVoz • Cuando una persona habla a un micrófono el sistema puede generar como salida las palabras dichas por esta persona, para ello se hace uso de AFP llamadas cadenas de Márkov. Por poner un ejemplo si después de una a tenemos un 10 % de probabilidades de tener una d y un 1 % de tener una e, el autómata se construirá tendrá en cuenta estas probabilidades para su funcionamiento y reconocimiento de los caracteres. Robótica • Cuando un robot está en movimiento y quiere saber lo que le rodea se hacen uso de los AFP ya que los sensores siempre pueden tener un error, o existir un rozamiento en las ruedas que afecte a su percepción de los elementos que le rodean, etc. Podemos implementar en los robots un AFP para según los elementos que le rodean y las consecuencias de las acciones del robot en el entorno, este actúe de una forma u otra.
- 11. Posteriormente y siguiendo con este mismo afán de emular el funcionamiento del cerebro humano se han ido desarrollando numerosos modelos de redes neuronales artificiales (RNA). Con este aporte “nace” el campo de la inteligencia artificial. En la década de los 40, el neurobiólogo Warren McCulloch y el estadístico Walter Pitts, Propusieron un modelo que tomaba ciertas características de una neurona biológica el cual trataba de explicar el funcionamiento del cerebro humano por medio de una red de células conectadas entre si.
- 12. Son las entradas de la célula Es un umbral que tiene como valor un numero entero Es el nombre de la célula. Es la salida. q(t) = estado en el que se encuentra la célula en un determinado instante t
- 13. AUTÓMATA DE CÉLULAS DE MCCULLOCH-PITTS Compuesto por un conjunto de células interconectadas entre si, las células presentan las siguientes propiedades: Puede estar en dos estados Activo (1) Inactivo (0). Pueden recibir dos tipos de señales a partir de otras células como entradas del autómata: positivas (1) o negativas (0). Pueden tener una o varias entradas (ei) de dos tipos: *Excitadoras : *Inhibidoras : Tienen una salida o respuesta r(t), que será 1 si el estado de la célula es activo o 0 si el estado es inactivo. Su salida puede ir a una o varias células (incluida ella misma). Dispone de una transición g, que permite transitar entre estados a partir de las entradas a una célula.
- 14. r(t) = q(t), con lo que la salida en un determinado instante t depende sólo del estado en ese instante; q(t + 1) = g(e(t)), con lo que el estado en el instante t + 1 sólo es función de la entrada en el instante t y es calculado por la función de transición g a partir de las entradas en el instante previo t; r(t + 1) = q(t + 1) = g(e(t)) , con lo que la salida en el instante t + 1 sólo depende del estado al que transicione la célula a partir de las entradas en el instante previo t.
- 15. Las células se activaran si la suma de las señales de entrada es mayor o igual que el umbral
- 16. COMPORTAMIENTO DE UNA CÉLULA, EJEMPLO: 1 C1 r e 1 e 2 e 3 e1(t) e2(t) e3(t) q(t+1) = r(t+1) 0 0 0 0 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 1 1 1 0 0 0 1 0 1 0 1 1 0 0 1 1 1 1 Tabla de Transición
- 17. CONSTRUCCIÓN DE UN AUTÓMATA FINITO EQUIVALENTE Para cada Autómata de Células de McCulloch-Pitts hay un AF equivalente. Para construirlo, se distinguen dos casos: De todas las entradas, sólo puede haber una activa en cada instante t. puede haber 2 posibilidades (e1=0 , e2=1) (e1=1 , e2=0) ACTIVACIÓN ÚNICA En el segundo caso, para pasar de un Autómata de Células a un AF, puede haber varias entradas activas al mismo tiempo o no haber ninguna activa. Puede haber 4 posibilidades (e1=0 , e2=0) (e1=0 , e2=1) (e1=1 , e2=0) (e1=1 , e2=2). ACTIVACIÓN MÚLTIPLE
- 18. EL AUTÓMATA FINITO EQUIVALENTE COMO:
- 19. EJEMPLO: Se tiene el siguiente autómata de células: C1: •Tiene un umbral de 0 •Tienes 2 entradas: una inhibidora (e1) y una excitadora (r2). •Tiene un salida r1 Se observa que: C2: •Tiene un umbral de 1 •Tienes 2 entradas excitadoras: (r1) y (e2) •Tiene un salida r2 = r que es la salida del Autómata.
- 20. ƒ 10 01 q00 q00 q11 q01 q10 q11 q10 q01 q11 q11 q11 q11
- 21. DIAGRAMA DE TRANSICIÓN DE ESTADO ASOCIADO AL EJEMPLO ANTERIOR: Se puede simplificar el AF equivalente, eliminando aquellos estados inaccesibles desde el estado inicial. En este caso q10,q01 son inaccesibles y se pueden eliminar.
- 22. CONSTRUCCIÓN DE UN AUTÓMATA DE CÉLULAS EQUIVALENTE DE UN AUTÓMATA FINITO Para cada AF hay un Autómata de Células de McCulloch-Pitts equivalente, y se construye de la siguiente manera:
- 23. EJEMPLO: SE TIENE EL SIGUIENTE AUTÓMATA FINITO: ƒ 0 1 q q p r r p p p r
- 24. AUTÓMATA DE CÉLULAS CORRESPONDIENTE AL AF DEL EJEMPLO: