Avl trees

Árboles AVL
Sebastián Gurin (Cancerbero)
Copyright © 2004 by Sebastián Gurin
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Free Software Foundation; with no Invariant Sections, no Front-Cover Texts,
and no Back-Cover Texts. A copy of the license is included in the section
entitled "GNU Free Documentation License".

1. Introducción
Deﬁnición. Un árbol AVL es un árbol binario de búsqueda que cumple con la
condición de que la diferencia entre las alturas de los subárboles de cada uno de sus
nodos es, como mucho 1.
La denominación de árbol AVL viene dada por los creadores de tal estructura
(Adelson-Velskii y Landis).
Recordamos que un árbol binario de búsqueda es un árbol binario en el cual cada nodo
cumple con que todos los nodos de su subárbol izquierdo son menores que la raíz y
todos los nodos del subárbol derecho son mayores que la raíz.
Recordamos también que el tiempo de las operaciones sobre un árbol binario de
búsqueda son O(log n) promedio, pero el peor caso es O(n), donde n es el número de
elementos.
La propiedad de equilibrio que debe cumplir un árbol para ser AVL asegura que la
profundidad del árbol sea O(log(n)), por lo que las operaciones sobre estas estructuras
no deberán recorrer mucho para hallar el elemento deseado. Como se verá, el tiempo
de ejecución de las operaciónes sobre estos árboles es, a lo sumo O(log(n)) en el peor
caso, donde n es la cantidad de elementos del árbol.
Sin embargo, y como era de esperarse, esta misma propiedad de equilibrio de los
árboles AVL implica una diﬁcultad a la hora de insertar o eliminar elementos: estas
operaciones pueden no conservar dicha propiedad.

1

Árboles AVL
Figure 1. Árbol AVL de enteros

A modo de ejempliﬁcar esta diﬁcultad, supongamos que al árbol AVL de enteros de
Figure 1 le queremos agregar el entero 3. Si lo hacemos con el procedimiento normal
de inserción de árbols binarios de búsqueda el resultado sería el árbol de Figure 2 el
cual ya no cumple con la condición de equilibrio de los árboles AVL dado que la altura
del subárbol izquierdo es 3 y la del subárbol derecho es 1.
Figure 2. Árbol que no cumple con la condición de equilibrio de los árboles AVL.

2

Árboles AVL

En Section 5 se pasará a explicar una serie de operaciones sobre los nodos de un árbol
AVL con las cuales poder restaurar la propiedad de equilibrio de un árbol AVL luego
de agregar o eliminar elementos.

2. Menor cantidad posible de nodos para una
altura dada
pag 115.

3. Declaración del tipo de dato
Iremos ya declarando el tipo de dato que representará un árbol AVL. Esto nos ayudará
a formalizar las cosas y nos permitirá en el correr de este documento ir deﬁniendo las
operaciones sobre el tipo de dato abstracto.
El lenguaje a utilizar será C. Fue elegido tan sólo por gustos personales del autor de
este documento. Sin embargo se tratará de usar sólo aquellas características de C que
puedan ser fácilmente implementadas en la mayoría de los lenguajes estructurados
como Pascal, Modula-2, etc.
Algunas consideraciones sobre la implementación del tipo de dato
abstracto
•

Las declaraciones que se listarán a continuación no tienen porqué tomarse al pie de
la letra. Cada programador tendrá su estilo y su forma de resolver sus problemas.

•

Las declaraciones que se listarán a continuación no tienen porqué tomarse al pie de
la letra. Cada programador tendrá su estilo y su forma de resolver sus problemas.

•

Como se podrá ver en el siguiente listado, la única diferencia de los nodos de un
árbol AVL con los de un árbol binario común es la variable altura en la estructura
nodo.

•

Los nodos de un árbol pueden almacenar cualquier tipo de dato, arbitrariamente
complejo. En este documento, por razones de simplicidad se usará el tipo de dato
más simple que soporte comparaciones, o sea los enteros (tipo int de Ansi C). En el
caso de que los datos almacenados en cada nodo sean más complicados (por ejemplo
estructuras) o sean dinámicamente almacenados en memoria, algunas funciones

3

Árboles AVL
deberán adaptarse para manejarlos. Por ejemplo, se deberá pasar como parámetros
funciones de comparación, equivalencia, y de liberación de memoria.
A continuación se lista la declaración del tipo abstracto de dato Árbol AVL:
typedef struct AVLNode AVLTree;
struct AVLNode
{
int dato;
AVLTree izq;
AVLTree der;
int altura;
};

–

—

– Como ya dijimos, por cuestiones de simplicidad, la información almacenada en
cada nodo del árbol será un entero.
— Cada nodo tendrá almacenada su propia altura con respecto a la raíz absoluta del
árbol con el que estamos trabajando. Esta característica se verá en Section 4.

A continuación declaramos las operaciónes básicas sobre árboles binarios y con las
cuales trabajaremos para acceder al tipo abstracto de dato Árbol AVL de aquí en más.
Note: Si se usa algún lenguaje orientado a objetos como C++ o java y ya se
tienen clases como árboles binarios o árboles binarios de búsqueda, conviene
declarar los árboles AVL como una subclase de alguna de estas. Luego, las
operaciones declaradas a continuación se heredarán de estos tipos.

/* Constructores */
AVLTree *vacio (void);
/* devuelve un árbol AVL vacío */
AVLTree *hacer (int x, AVLTree * izq, AVLTree * der);
/* devuelve un nuevo árbol formado por una raíz con valor x,
subárbol izquierdo el árbol izq y subárbol derecho el árbol
der. */

4

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/*

Predicados

*/

bool es_vacio (AVLTree * t);
/* devuelve true sii. t es un árbol vacío. */

/*

Selectores

*/

AVLTree *izquierdo (AVLTree * t);
/* devuelve el subárbol izquierdo de t. */
AVLTree *derecho (AVLTree * t);
/* devuelve el subárbol derecho de t. */
int raiz (AVLTree * t);
/* devuelve el valor de la raíz del árbol t. Precondición:
!es_vacio(t) */
int altura (AVLTree * t);
/* devuelve la altura del nodo t en el árbol */

/*

Destructures */

void destruir (AVLTree * t, void (*free_dato) (int));
/* libera la memoria ocupada por los nodos del árbol. Si los
datos almacenados en cada nodo están almacenados dinámicamente
y se los quiere liberar también, debe pasarse como segundo
parámetro una función de tipo void func(int t) que libere
la memoria de objetos int. Si los datos no están
almacenados dinámicamente o simplemente no se los quiere
destruir (liberar de memoria), pásese como segundo parámetro
NULL. Nota: Función Recursiva! */

Note: Como se ha podido apreciar en el segmento de código anterior, se ha
tratado de usar, en lo posible, el lenguaje español tanto para los comentarios

5

Árboles AVL
como para los identificadores de variables y funciones. Sin embargo, esto se
hace sólo con motivo de ser coherentes con el documento y el autor recomienda
a los lectores programadores que en sus programas utilicen el lenguaje inglés
para nombrar los identificadores.

4. Consideraciones sobre la altura de los
nodos
Como vimos en la definición del tipo abstracto para nodos de árboles AVL, se
necesitará tener acceso a la altura cada nodo del árbol en tiempo constante. Dado que
una función para hallar la altura de un nodo dado en un árbol tendrá un tiempo de
ejecución de O(log(n)) peor caso, no nos queda otra alternativa que almacenar una
variable altura en cada nodo e irla actualizando en las inserciones y eliminaciones que
se efectúen sobre el árbol.
Como el lector ya debería saber, una función para calcular la altura de un nodo puede
escribirse recursivamente como:
int altura(AVLTree *t)
{
if(es_vacio(t))
return -1;
else
return max(altura(izquierdo(t)), altura(derecho(t)));
}

Queremos que la altura de un árbol que consta de sólo un nodo sea 0. Entonces
debemos definir la altura de un árbol vacío como -1.
Sin embargo, no podemos darnos el lujo de tener una función cuyo tiempo de
ejecución siempre es O(n) ya que, como dijimos, necesitamos la altura de un nodo en
tiempo constante. Para ello, redefiniremos la función de la siguiente manera,
aprovechando el campo altura que ahora tiene cada nodo del árbol.
int altura (AVLTree * t)
{
if(es_vacio(t))
return -1;
else

6

Árboles AVL
return t->altura;
}

Important: Debemos tener mucho cuidado en actualizar el campo altura de
cada nodo siempre que modiﬁquemos de alguna manera el árbol AVL.

Así, es importante tener una función que nos permita actualizar la altura de un nodo
cualquiera del árbol y cuyo tiempo de ejecución sea O(1) en el peor de los casos. A
continuación se lista una tal función:
void
actualizar_altura (AVLTree * t)
{
if(!es_vacio(t))
t->altura = max (altura ((t)->izq), altura ((t)->der)) + 1;
}

5. Rotaciones simples
Veremos a continuación una operación sencilla sobre un árbol binario de búsqueda que
conserva el órden en sus nodos y que nos ayudará a restaurar la propiedad de equilibrio
de un árbol AVL al efectuar operaciones sobre el mismo que puedan perturbarla.
Figure 3. Árbol antes de la rotación simple

7

Árboles AVL

Miremos por un momento el árbol de Figure 3. Dado que este es un árbol de búsqueda
se debe cumplir x < y y además todos los nodos del subárbol A deben ser menores que
x y y; todos los nodos del subárbol B deben ser mayores que x pero menores que y; y
todos los nodos del subárbol C deben ser mayores que y y por lo tanto que x.
En Figure 4 se ha modificado sencillamante el árbol. Como puede verificarse
fácilmente por las desigualdades descriptas en el párrafo anterior, el nuevo árbol sigue
manteniendo el órden entre sus nodos, es decir, sigue siendo un árbol binario de
búsqueda. A esta transformación se le denomina rotación simple (o sencilla).
Figure 4. Árbol luego de la rotación simple

Veamos un ejemplo concreto. Deseamos insertar el número 3 en el árbol de enteros de
Figure 5. La inserción se muestra punteada en Figure 6. Sin embargo, como puede
verse, la inserción a provocado la pérdida de la propiedad de equilibrio del árbol ya que
dicha propiedad no se cumple en el nodo marcado con rojo. ¿Qué hacemos para
recomponer dicha pripiedad? Simplemente realizamos una rotación simple. En este
caso se dice que la rotación es izquierda ya que la "pérdida de equilibrio se produce
hacia la izquierda. En Figure 7 puede verse el árbol luego de la rotación: la propiedad
de equilibrio ha sido reestablecida. Como mostramos atrás, la rotación conserva el
orden entre los nodos, por lo que podemos afirmar que este último árbol si es AVL.

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Árboles AVL
Figure 5. Árbol AVL

Figure 6. Árbol luego de la inserción: pérdida de la propiedad de equilibrio

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Árboles AVL
marcada con rojo.

Figure 7. Reestablecimiento de la propiedad de equilibrio mediante una rotación

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simple sobre el nodo de valor 5.

Como podemos observar, el resultado luego de la rotación es un árbol AVL: posee
tanto el órden correcto de un árbol de búsqueda entre sus nodos y la propiedad de
equilibrio. En este caso el "desequilibrio" en el árbol con raíz 5 era enteramente hacia
la izquierda y por lo tanto, como ya dijimos, la rotación efectuada se denomina
rotación simple izquierda. En el caso de un "desequilibrio" hacia la derecha, la rotación
es análoga y se denomina rotación simple derecha. En Figure 8 se ven dos árboles: el
primero tiene un "desequilibrio hacia la derecha" marcado en rojo y el segundo es el
resultado de aplicar una rotación simple derecha.
Figure 8. Ejemplo de reestablecimiento de propiedad de equilibrio gracias a una

11

Árboles AVL
rotación simple derecha.

Ilustración de la operación rotación simple. en Figure 9 se ilustra la operación
rotación simple. Los arcos de colores son los que se eliminan o agregan, según sea la
rotación izquierda o derecha.

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Árboles AVL
Figure 9. Rotación simple

5.1. Implementación de la rotación simple:
void rotar_s (AVLTree ** t, bool izq);

–

/* realiza una rotación simple del árbol t el cual se
pasa por referencia. La rotación será izquierda
sii. (izq==true) o será derecha
sii. (izq==false).

—

Nota: las alturas de t y sus subárboles serán actualizadas
dentro de esta función!
Precondición:
si (izq==true) ==> !es_vacio(izquierdo(t))
si (izq==false) ==> !es_vacio(derecho(t))
*/

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Árboles AVL
void
rotar_s (AVLTree ** t, bool izq)
{
AVLTree *t1;
if (izq) /* rotación izquierda */
{
t1 = izquierdo (*t);
(*t)->izq = derecho (t1);
t1->der = *t;
}
else /* rotación derecha */
{
t1 = derecho (*t);
(*t)->der = izquierdo (t1);
t1->izq = *t;
}

˜

/* actualizamos las alturas de ambos nodos modificados */
actualizar_altura (*t);
actualizar_altura (t1);
/* asignamos nueva raíz */
*t = t1;
}

– Declaración de la función rotar_s(). Esta declaración y el siguiente comentario
deberían ir en el archivo de cabecera, interfaz del tipo abstracto árbol AVL con el
usuario.
— Un breve comentario que explica lo que hace la función, los parámetros que acepta
y las precondiciones que éstos deben cumplir para que la función se ejecute
correctamente.
˜ Como el programador de C más experimentado puede ver, el paso a la función es el
paso por referencia clásico en C. Lo que se pasa no es un puntero a la raiz del árbol
sino la dirección de dicho puntero. De esta manera, dentro de la función podremos
cambiar la misma raiz si es necesario (lo que justamente hacemos en las
rotaciones).
™ También se acepta como segundo parámetro un valor boleano que determina si la
rotación simple a efectuar sobre el árbol es izquierda o derecha.

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Árboles AVL

6. Rotaciones dobles
Hemos visto cómo restaurar la propiedad de equilibrio cuando se presentan
desequilibrios "hacia la izquierda" o "hacia la derecha" luego de realizar inserciones en
un árbol AVL. Sin embargo y como veremos, pueden ocurrir "desequilibrios en
zig-zag", es decir desequilibios que no son ni a la derecha ni a la izquierda como es el
caso de los árboles de Figure 10.
Figure 10. Ejemplos de "desequilibrios" en los cuales no funciona la rotación
simple.

En estos casos se aplica otro tipo de rotación denominado rotación doble la cual,
análogamente a la rotación simple, puede ser izquierda o derecha según el caso.
En realidad, la rotación doble constará de dos rotaciones simples. El caso general de la
rotación doble izquierda en un árbol AVL se puede observar en Figure 11.

15

Árboles AVL
Figure 11. Rotación doble izquierda

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Árboles AVL

La rotación doble derecha es el proceso inverso a la rotación doble izquierda.
Dado que, como vimos, una rotación doble es en realidad dos rotaciones simples,
podemos implementar la función para la rotación doble tan sólo utilizando rotar_s
vista en Section 5.1 lo cual se hace a continuación:
void rotar_d (AVLTree ** t, bool izq);
/* realiza una rotación doble. Funciona análogamente a
rotar_s(). */

void
rotar_d (AVLTree ** t, bool izq)
{
if (izq)
/* rotación izquierda */
{
rotar_s (&(*t)->izq, false);
rotar_s (t, true);
}
else
/* rotación derecha */
{
rotar_s (&(*t)->der, true);
rotar_s (t, false);
}

–

—

/* la actualización de las alturas se realiza en las rotaciones
simples */
}

– Declaración de la función rotar_d(); debería ir en un archivo de cabecera.
— Los parámetros de rotar_d() son análogos a los de rotar_s() vistos en Section
5.1.

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Árboles AVL

7. Balance del árbol
Como se mostró anteriormente, cda vez que se modiﬁque el árbol (i.e. agreguen o
eliminen elementos) corremos el riesgo de que pierda su propiedad de equilibrio en
alguno de sus nodos, la cual debe conservarse si queremos obtener tiempos de
ejecución de orden O(log(n)) en el peor de los casos.
La idea general que se utiliza en esta implementación de árboles AVL para
implementar los algoritmos de inserción y de eliminación de nodos sobre un AVL es la
siguiente:
•

Efectuar los algoritmos de igual forma que en los árboles binarios de búsqueda pero

•

en cada recursión ir actualizando las alturas y rebalanceando el árbol en caso de que
sea necesario.

En Section 4 se implementó una función de tiempo de ejecución O(log(n)), peor caso,
para actualizar la altura de un nodo. Así, lo que nos falta es una función que detecte un
"desequilibrio" en un nodo dado del árbol y por medio de un número ﬁnito de
rotaciones lo equilibre.
Important: No se demostrará aquí, pero cabe señalar la existencia de un
teorema que asegura que el número máximo de rotaciones para equilibrar un
árbol AVL luego de una inserción es 2 y luego de una eliminación es log(n)
dónde n es el número de nodos.

En las secciones anteriores hemos ya descripto a grandes razgos cuál rotación usar en
cada caso de desequilibrio. Esperamos que en el código siguiente el lector pueda
formalizar tales ideas.
void balancear (AVLTree ** t);
–
/* Detecta y corrige por medio de un número finito de rotaciones
un desequilibrio en el árbol *t. Dicho desequilibrio no debe
tener una diferencia de alturas de más de 2. */

void
balancear (AVLTree ** t)
{
if(!es_vacio(*t))

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Árboles AVL
{
if (altura (izquierdo (*t)) - altura (derecho (*t)) == 2)—
{
/* desequilibrio hacia la izquierda! */
if (altura ((*t)->izq->izq) >= altura ((*t)->izq->der))˜
/* desequilibrio simple hacia la izquierda */
rotar_s (t, true);
else
/* desequilibrio doble hacia la izquierda */
rotar_d (t, true);
}
else if (altura (derecho (*t)) - altura (izquierdo (*t)) == 2)™
{
/* desequilibrio hacia la derecha! */
if (altura ((*t)->der->der) >= altura ((*t)->der->izq))
/* desequilibrio simple hacia la izquierda */
rotar_s (t, false);
else
/* desequilibrio doble hacia la izquierda */
rotar_d (t, false);
}
}
}

– Declaración de la función balancear(). Esta declaración junto con el comentario
que le sigue deberían estar en un archivo de cabecera usado para la interfaz del tipo
abstracto de dato árbol avl con el usuario-programador.
— Como dice en el comentario de la función, sólo se contemplarán aquellos
desequilibrios cuya diferencia entre alturas es hasta 2.
˜ Sabiendo que en el nodo al que apunta *t hay un desequilibrio hacia la izquierda
(de diferencia de alturas 2), debemos averiguar qué clase de rotación aplicar. En
Figure 12 se explica gráﬁcamente a dónde apuntan las variables de la función en un
árbol genérico.
Figure 12. Decidiendo qué clase de rotación aplicar para solucionar

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Árboles AVL
desequilibrio en el nodo.

Como puede verse en el código, nos decidimos por una rotación simple izquierda si
el subárbol más pesado de (*t)->izq es el izquierdo o por una rotación doble
izquierda si el subárbol más pesado de (*t)->izq es el derecho.
™ Si detectamos un desequilibrio hacia la derecha, la toma de deciciones son
análogas a las de un desequilibrio hacia la izquierda, las cuales ya explicamos.

8. Inserción
Como dijimos en Section 7, implementaremos la inserción de elementos en un árbol
AVL de forma análoga a cómo lo haríamos para árboles binarios de búsqueda salvo
que en cada recursión del algoritmo veriﬁcaremos y corregiremos el equilibrio del
árbol. También es importante ir actualizando las alturas de cada nodo en cada recursión
dado que las rotaciones, inserciónes y eliminaciones pueden modiﬁcarlas.

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Árboles AVL
Dado que ya vimos funciones tanto para balancear un árbol y para actualizar la altura
de un nodo (ambas de tiempo de ejecución constante), estamos listos para implementar
el algoritmo de inserción. Esperamos que sea intuitivo.
void insertar (AVLTree ** t, int x);
/* inserta x en el árbol en un tiempo O(log(n)) peor caso. */

void
insertar (AVLTree ** t, int x)
{
if (es_vacio (*t))
*t = hacer (x, vacio (), vacio ()); /* altura actualizada
automáticamente */
else
{
if (x < raiz (*t))
insertar (&(*t)->izq, x);
else
insertar (&(*t)->der, x);
balancear (t);
}
}

9. Eliminación
La estrategia para diseñar el algoritmo de eliminación sobre árboles AVL es la misma
que para la inserción: Se utiliza el mismo algoritmo que sobre árboles binarios de
búsqueda, pero en cada recursión se detectan y corrijen errores por medio de
balancear() y se actualiza la altura del nodo actual.
Recordamos un poco la idea del algoritmo de eliminación sobre árboles binarios de
búsqueda. Primero se recorre el árbol para detectar el nodo a eliminar. Una vez hecho
esto hay tres casos a diferenciar por su complejidad:
•

Si dicho nodo es una hoja procedemos a eliminarlos de inmediato, sin más.

21

Árboles AVL
•

Si dicho nodo tiene un sólo hijo, el nodo puede eliminarse después de ajustar un
apuntador del padre para saltar el nodo. Esto se muestra en Figure 13.
Figure 13. Eliminación de un nodo (7) con un sólo hijo.

•

Si dicho nodo tiene dos hijos el caso es un poco más complicado. Lo que se estila
hacer (y que de hecho se hace en el algoritmo gracias a la función auxiliar
eliminar_min()) reemplazar el nodo actual por el menor nodo de su subárbol
derecho (y luego eliminar éste).

void eliminar (AVLTree ** t, int x);
/* elimina x del árbol en un tiempo O(log(n)) peor caso.
Precondición: existe un nodo con valor x en el árbol
t. */

int eliminar_min (AVLTree ** t);
/* Función auxiliar a eliminar(). Elimina el menor nodo del árbol
*t devolviendo su contenido (el cual no se libera de
memoria). Se actualizan las alturas de los nodos.
Precondición: !es_vacio(*t) */

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Árboles AVL
void
eliminar (AVLTree ** t, int x)
{
AVLTree *aux;
if (x < raiz (*t))
eliminar (&(*t)->izq, x);
else if (x > raiz (*t))
eliminar (&(*t)->der, x);
else
{

/* coincidencia! */

if (es_vacio (izquierdo (*t)) && es_vacio (derecho (*t)))
{/* es una hoja */
free (*t);
(*t) = vacio();
}
else if (es_vacio (izquierdo (*t)))
{/* subárbol izquierdo vacio */
aux = (*t);
(*t) = (*t)->der;
free (aux);
}
else if (es_vacio (derecho (*t)))
{/* subárbol derecho vacio */
aux = (*t);
(*t) = (*t)->izq;
free (aux);
}
else
/* caso más complicado */
{
(*t)->dato = eliminar_min (&(*t)->der);
}
}
balancear (t);
}

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Árboles AVL
int
eliminar_min (AVLTree ** t)
{
if (es_vacio (*t))
{
fprintf (stderr,
"No se respeta precondición de eliminar_min()n");
exit(0);
}
else
{
if (!es_vacio (izquierdo (*t)))
{
int x = eliminar_min (&(*t)->izq);
balancear (t);
return x;
}
else
{
AVLTree *aux = (*t);
int x = raiz (aux);
*t = derecho (*t);
free (aux);
balancear (t);
return x;
}
}
}

10. Conclusión
No realizada aún.

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Árboles AVL

11. Performance
No realizada aún. Hacer: comparaciones de tiempos con otros TADs similares (ABB,
Heaps, linkedlists, etc).

Bibliography
Estructuras de datos y algoritmos, sección 4.4, pág. 114, Mark Allen Weiss.
Data Structure Techniques, Standish, 1980, section 3.7.3.
Handbook of Algorithms and Data Structures, Gonnet, 1984, section 3.4.1.

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publicly display copies.
3. COPYING IN QUANTITY
If you publish printed copies (or copies in media that commonly have printed covers)
of the Document, numbering more than 100, and the Document’s license notice
requires Cover Texts, you must enclose the copies in covers that carry, clearly and
legibly, all these Cover Texts: Front-Cover Texts on the front cover, and Back-Cover
Texts on the back cover. Both covers must also clearly and legibly identify you as the
publisher of these copies. The front cover must present the full title with all words of
the title equally prominent and visible. You may add other material on the covers in
addition. Copying with changes limited to the covers, as long as they preserve the title
of the Document and satisfy these conditions, can be treated as verbatim copying in
other respects.
If the required texts for either cover are too voluminous to fit legibly, you should put
the first ones listed (as many as fit reasonably) on the actual cover, and continue the
rest onto adjacent pages.
If you publish or distribute Opaque copies of the Document numbering more than 100,
you must either include a machine-readable Transparent copy along with each Opaque
copy, or state in or with each Opaque copy a computer-network location from which
the general network-using public has access to download using public-standard
network protocols a complete Transparent copy of the Document, free of added
material. If you use the latter option, you must take reasonably prudent steps, when you
begin distribution of Opaque copies in quantity, to ensure that this Transparent copy
will remain thus accessible at the stated location until at least one year after the last
time you distribute an Opaque copy (directly or through your agents or retailers) of that
edition to the public.
It is requested, but not required, that you contact the authors of the Document well
before redistributing any large number of copies, to give them a chance to provide you
with an updated version of the Document.
4. MODIFICATIONS
You may copy and distribute a Modified Version of the Document under the conditions
of sections 2 and 3 above, provided that you release the Modified Version under
precisely this License, with the Modified Version filling the role of the Document, thus
licensing distribution and modification of the Modified Version to whoever possesses a
copy of it. In addition, you must do these things in the Modified Version:
1. Use in the Title Page (and on the covers, if any) a title distinct from that of the
Document, and from those of previous versions (which should, if there were any,

28

Árboles AVL
be listed in the History section of the Document). You may use the same title as a
previous version if the original publisher of that version gives permission.
2. List on the Title Page, as authors, one or more persons or entities responsible for
authorship of the modifications in the Modified Version, together with at least five
of the principal authors of the Document (all of its principal authors, if it has fewer
than five), unless they release you from this requirement.
3. State on the Title page the name of the publisher of the Modified Version, as the
publisher.
4. Preserve all the copyright notices of the Document.
5. Add an appropriate copyright notice for your modifications adjacent to the other
copyright notices.
6. Include, immediately after the copyright notices, a license notice giving the public
permission to use the Modified Version under the terms of this License, in the
form shown in the Addendum below.
7. Preserve in that license notice the full lists of Invariant Sections and required
Cover Texts given in the Document’s license notice.
8. Include an unaltered copy of this License.
9. Preserve the section Entitled "History", Preserve its Title, and add to it an item
stating at least the title, year, new authors, and publisher of the Modified Version
as given on the Title Page. If there is no section Entitled "History" in the
Document, create one stating the title, year, authors, and publisher of the
Document as given on its Title Page, then add an item describing the Modified
Version as stated in the previous sentence.
10. Preserve the network location, if any, given in the Document for public access to a
Transparent copy of the Document, and likewise the network locations given in the
Document for previous versions it was based on. These may be placed in the
"History" section. You may omit a network location for a work that was published
at least four years before the Document itself, or if the original publisher of the
version it refers to gives permission.
11. For any section Entitled "Acknowledgements" or "Dedications", Preserve the Title
of the section, and preserve in the section all the substance and tone of each of the
contributor acknowledgements and/or dedications given therein.
12. Preserve all the Invariant Sections of the Document, unaltered in their text and in
their titles. Section numbers or the equivalent are not considered part of the section
titles.

29

Árboles AVL
13. Delete any section Entitled "Endorsements". Such a section may not be included
in the Modified Version.
14. Do not retitle any existing section to be Entitled "Endorsements" or to conflict in
title with any Invariant Section.
15. Preserve any Warranty Disclaimers.
If the Modified Version includes new front-matter sections or appendices that qualify
as Secondary Sections and contain no material copied from the Document, you may at
your option designate some or all of these sections as invariant. To do this, add their
titles to the list of Invariant Sections in the Modified Version’s license notice. These
titles must be distinct from any other section titles.
You may add a section Entitled "Endorsements", provided it contains nothing but
endorsements of your Modified Version by various parties--for example, statements of
peer review or that the text has been approved by an organization as the authoritative
definition of a standard.
You may add a passage of up to five words as a Front-Cover Text, and a passage of up
to 25 words as a Back-Cover Text, to the end of the list of Cover Texts in the Modified
Version. Only one passage of Front-Cover Text and one of Back-Cover Text may be
added by (or through arrangements made by) any one entity. If the Document already
includes a cover text for the same cover, previously added by you or by arrangement
made by the same entity you are acting on behalf of, you may not add another; but you
may replace the old one, on explicit permission from the previous publisher that added
the old one.
The author(s) and publisher(s) of the Document do not by this License give permission
to use their names for publicity for or to assert or imply endorsement of any Modified
Version.
5. COMBINING DOCUMENTS
You may combine the Document with other documents released under this License,
under the terms defined in section 4 above for modified versions, provided that you
include in the combination all of the Invariant Sections of all of the original
documents, unmodified, and list them all as Invariant Sections of your combined work
in its license notice, and that you preserve all their Warranty Disclaimers.
The combined work need only contain one copy of this License, and multiple identical
Invariant Sections may be replaced with a single copy. If there are multiple Invariant
Sections with the same name but different contents, make the title of each such section
unique by adding at the end of it, in parentheses, the name of the original author or
publisher of that section if known, or else a unique number. Make the same adjustment

30

Árboles AVL
to the section titles in the list of Invariant Sections in the license notice of the combined
work.
In the combination, you must combine any sections Entitled "History" in the various
original documents, forming one section Entitled "History"; likewise combine any
sections Entitled "Acknowledgements", and any sections Entitled "Dedications". You
must delete all sections Entitled "Endorsements".
6. COLLECTIONS OF DOCUMENTS
You may make a collection consisting of the Document and other documents released
under this License, and replace the individual copies of this License in the various
documents with a single copy that is included in the collection, provided that you
follow the rules of this License for verbatim copying of each of the documents in all
other respects.
You may extract a single document from such a collection, and distribute it
individually under this License, provided you insert a copy of this License into the
extracted document, and follow this License in all other respects regarding verbatim
copying of that document.
7. AGGREGATION WITH INDEPENDENT WORKS
A compilation of the Document or its derivatives with other separate and independent
documents or works, in or on a volume of a storage or distribution medium, is called an
"aggregate" if the copyright resulting from the compilation is not used to limit the legal
rights of the compilation’s users beyond what the individual works permit. When the
Document is included in an aggregate, this License does not apply to the other works in
the aggregate which are not themselves derivative works of the Document.
If the Cover Text requirement of section 3 is applicable to these copies of the
Document, then if the Document is less than one half of the entire aggregate, the
Document’s Cover Texts may be placed on covers that bracket the Document within
the aggregate, or the electronic equivalent of covers if the Document is in electronic
form. Otherwise they must appear on printed covers that bracket the whole aggregate.
8. TRANSLATION
Translation is considered a kind of modiﬁcation, so you may distribute translations of
the Document under the terms of section 4. Replacing Invariant Sections with
translations requires special permission from their copyright holders, but you may
include translations of some or all Invariant Sections in addition to the original versions
of these Invariant Sections. You may include a translation of this License, and all the
license notices in the Document, and any Warranty Disclaimers, provided that you also
include the original English version of this License and the original versions of those

31

Árboles AVL
notices and disclaimers. In case of a disagreement between the translation and the
original version of this License or a notice or disclaimer, the original version will
prevail.
If a section in the Document is Entitled "Acknowledgements", "Dedications", or
"History", the requirement (section 4) to Preserve its Title (section 1) will typically
require changing the actual title.
9. TERMINATION
You may not copy, modify, sublicense, or distribute the Document except as expressly
provided for under this License. Any other attempt to copy, modify, sublicense or
distribute the Document is void, and will automatically terminate your rights under this
License. However, parties who have received copies, or rights, from you under this
License will not have their licenses terminated so long as such parties remain in full
compliance.
10. FUTURE REVISIONS OF THIS LICENSE
The Free Software Foundation may publish new, revised versions of the GNU Free
Documentation License from time to time. Such new versions will be similar in spirit
to the present version, but may differ in detail to address new problems or concerns.
See http://www.gnu.org/copyleft/.
Each version of the License is given a distinguishing version number. If the Document
speciﬁes that a particular numbered version of this License "or any later version"
applies to it, you have the option of following the terms and conditions either of that
speciﬁed version or of any later version that has been published (not as a draft) by the
Free Software Foundation. If the Document does not specify a version number of this
License, you may choose any version ever published (not as a draft) by the Free
Software Foundation.
ADDENDUM: How to use this License for your documents
To use this License in a document you have written, include a copy of the License in
the document and put the following copyright and license notices just after the title
page:
Copyright (c) YEAR YOUR NAME. Permission is granted to copy, distribute and/or
modify this document under the terms of the GNU Free Documentation License,
Version 1.2 or any later version published by the Free Software Foundation; with no
Invariant Sections, no Front-Cover Texts, and no Back-Cover Texts. A copy of the
license is included in the section entitled "GNU Free Documentation License".
If you have Invariant Sections, Front-Cover Texts and Back-Cover Texts, replace the
"with...Texts." line with this:

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Árboles AVL
with the Invariant Sections being LIST THEIR TITLES, with the Front-Cover Texts
being LIST, and with the Back-Cover Texts being LIST.
If you have Invariant Sections without Cover Texts, or some other combination of the
three, merge those two alternatives to suit the situation.
If your document contains nontrivial examples of program code, we recommend
releasing these examples in parallel under your choice of free software license, such as
the GNU General Public License, to permit their use in free software.

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