Bayes ejercicios
- 1. Ejercicios Resueltos Prob. Total y Teorema de Bayes EJEMPLO 1 En la sala de pediatría de un hospital, el 60% de los pacientes son niñas. De los niños el 35% son menores de 24 meses. El 20% de las niñas tienen menos de 24 meses. Un pediatra que ingresa a la sala selecciona un infante al azar. a. Determine el valor de la probabilidad de que sea menor de 24 meses. b. Si el infante resulta ser menor de 24 meses. Determine la probabilidad que sea una niña. SOLUCIÓN: Se definen los sucesos: Suceso H: seleccionar una niña. Suceso V: seleccionar un niño. Suceso M: infante menor de 24 meses. En los ejercicios de probabilidad total y teorema de bayes, es importante identificar los sucesos que forman la población y cuál es la característica que tienen en común dichos sucesos. Estos serán los sucesos condicionados. a. En este caso, la población es de los infantes. Y la característica en común es que sean menores de 24 meses. Por lo tanto, la probabilidad de seleccionar un infante menor de 24 meses es un ejemplo de probabilidad total. Su probabilidad será: b. Para identificar cuando en un ejercicio se hace referencia al teorema de bayes, hay que partir de reconocer esta es una probabilidad condicionada y que la característica común de los sucesos condicionantes ya ha ocurrido. Entonces, la probabilidad de que sea niña una infante menor de 24 meses será: EJEMPLO 2 Un médico cirujano se especializa en cirugías estéticas. Entre sus pacientes, el 20% se realizan correcciones faciales, un 35% implantes mamarios y el restante en otras cirugías correctivas. Se sabe además, que son de género masculino el 25% de los que se realizan correcciones faciales, 15% implantes mamarios y 40% otras cirugías correctivas. Si se selecciona un paciente al azar, determine:
- 2. a. Determine la probabilidad de que sea de género masculino b. Si resulta que es de género masculino, determine la probabilidad que se haya realizado una cirugía de implantes mamarios. SOLUCIÓN: Se definen los sucesos: Suceso F: pacientes que se realizan cirugías faciales Suceso M: pacientes que se realizan implantes mamarios Suceso O: pacientes que se realizan otras cirugías correctivas Suceso H: pacientes de género masculino a. La probabilidad de que sea de género masculino se refiere a un problema de probabilidad total, ya que es el suceso condicionado y las cirugías los condicionantes. Dicho valor será: b. Como el suceso condicionado ha ocurrido entonces se aplica el teorema de bayes, luego, el valor de la probabilidad será: EJEMPLO 3 Un Doctor dispone de tres equipos electrónicos para realizar ecosonogramas. El uso que le da a cada equipo es de 25% al primero, 35% el segundo en y 40% el tercero. Se sabe que los aparatos tienen probabilidades de error de 1%, 2% y 3% respectivamente. Un paciente busca el resultado de una ecografía y observa que tiene un error. Determine la probabilidad de que se ha usado el primer aparato. SOLUCIÓN: Se definen los sucesos: Suceso P: seleccionar el primer aparato Suceso S: seleccionar el segundo aparato Suceso T: seleccionar el tercer aparato Suceso E: seleccionar un resultado con error
- 3. Se puede observar que la pregunta es sobre determinar la probabilidad de que un examen erradosea del primer aparato, es decir, ya ha ocurrido el error. Por lo tanto, debemos recurrir al teorema de bayes. Claro está, que es necesario de igual forma obtener la probabilidad de que los aparatos produzcan un resultado erróneo, por lo tanto:
- 5. Ejercicio4: Seanlossucesos: I = Producirse incidente. A = Sonar la alarma.
- 7. OBSERVACIÓN. Elapartado b) también puede resolversemediante probabilidades condicionadas. Ciertamente, la probabilidad de la segunda estrategia viene dada por max´ {P(B),P(A/Bc )}, pues el tratamiento A se aplica una vez se sabe que el tratamiento B no ha funcionado. PeroP(A/B) = P(A),porque A yB son independientes. Luego Teniendo en cuenta que P(B c ) = 1−P(B) 6= 0 resulta P(A) = P(A/B c ). Queda asíprobado que A y B c son independientes, como sepretendía. Atendiendo a esta propiedad, encontramos que la probabilidad de la segunda estrategia es: max´ {P(B),P(A/Bc )} = max´ {P(B),P(A)} =0.3.
- 11. Estamos interesados en calcular los coeficientes falso-positivo α y falso-negativo β para los casos estudiados. A tal fin, sean los sucesos: T + = {el diagnóstico es positivo}, T − = {el diagnóstico es negativo}. Al ser equiprobable cada caso estudiado, según los datos inferidos de la tabla encontramos que Por definición, α = P(T +/R −) = P(T+ ∩R −) P(R−) , β = P(T−/R +) = P(T− ∩R +) P(R+) . Ahora bien, el número de casos con biopsia benigna clasificados como positivos es de 7, por lo que P(T + ∩R −) = 7 500. De igual manera, P(T− ∩R +) = 19 500. Consecuentemente, α = 7 500 402 500 =7 402 = 0.017, β = 19 500 98 500 = 19 98 = 0.194 Como conclusión podríamos decir que el cirujano patólogo detecta la enfermedad en pacientes que no la tienen en un 1.7%, mientras queno detecta la enfermedad en pacientes que la tienen en un 19.4% delos casos. OBSERVACIÓN. Para la determinación del coeficiente falso-positivo α podemos razonar también del siguiente modo. De las 402 biopsias benignas, 7 han sido falsamente clasificadas como malignas; por tanto, α = 7/402 = 0.017. Similarmente β = 19/98 =0.194, ya que hay 98 biopsias malignas de las cuales 19 han sido clasificadas erróneamentecomo benignas. Ejercicio 5.6. Un test detecta la presencia de cierto tipo T de bacterias en el agua con probabilidad 0.9, en caso de haberlas. Si no las hay, detecta la ausencia con probabilidad de 0.8. Sabiendo que la probabilidad de que una muestra de agua contenga bacterias del tipo T es 0.2, calcular la probabilidad de que: a) Realmente haya presencia de bacterias cuando el test
- 12. ha dado resultado positivo. b) Realmente haya presencia de bacterias cuando el test ha dado resultado negativo. c) Haya bacterias y además el test dé positivo. d) O haya bacterias, o el test dé positivo. RESOLUCIÓN. Consideramoslos sucesos: A1 = {la muestra contiene bacterias tipo T}, A2 = {la muestra no contiene bacterias tipo T}. Nótese que ambos sucesos A1 y A2 forman un sistema completo, es decir, son complementarios en el espacio muestral del experimento que estamos considerando. Por hipótesis P(A1) = 0.2, obligando a que P(A2) = P(A c 1 ) = 1−0.2 = 0.8. Por otra parte, sean los sucesos: T + = {el test detecta la presencia de bacterias}, T − = {el test no detecta la presencia de bacterias}
- 13. RESOLUCIÓN. Sean los sucesos: A1 = {el paciente padece la dolencia}, A2 = {el paciente no padece la dolencia}. De acuerdo a los datos del problema,
- 14. P(A1) = 0.001 y, por complementación de sucesos, P(A2) = 1−0.001 =0.999. Sean, asimismo, los sucesos: T + = {el resultado del test es positivo}, T − = {el resultado del test es negativo}. Conformea los datos que nos proporcionan, sabemos que: P(T +/A1) = 0.96 y P(T+/A2) = 0.05. Al igual que en el Ejercicio 5.6, por tratarsede sucesos condicionados complementarios de los anteriores: P(T −/A1) = 0.04 y P(T −/A2) = 0.95. a) La probabilidad de que el test detecte correctamente la presencia de la enfermedad viene dada por P(A1/T+), la cual, en virtud del Teorema de Bayes, puede ser calculada como: c) El coeficiente falso-positivo α = P(T +/A2) = 0.05 es un dato del problema, mientras que el coeficiente falso-negativo vale β = P(T−/A1) = 0.04, como vimos anteriormente.