Probabilidad II

PROBABILIDAD II
Prof. Joan Fernando Chipia Lobo
@JoanFChipiaL

• Probabilidad y tablas de contingencia.
• Probabilidad condicional.
• Eventos independientes.
• Teorema de Bayes.
Durante la clase se explicará:

PROBABILIDAD Y TABLAS DE
CONTINGENCIA
A partir de la información suministrada en una
tabla de doble entrada, de contingencia o
bivariable, es posible calcular las
probabilidades de algunos eventos asociados
con las variables presentadas.

EJEMPLO 1
En la Tabla 1, se relaciona el tipo de café que
consume un grupo de 50 personas que asisten a
una convención y la procedencia de cada una de
ellas.
Tabla 1.
TIPO DE CAFÉ
Negro Marrón Con leche Total
PROCEDENCIA
Europa 13 11 8 32
América 12 2 4 18
Total 25 13 12 50
Fuente: Datos supuestos.

Se van a considerar los eventos:
A: la persona procede de Europa.
B: la persona consume café negro.
¿Cuál es la probabilidad de que una persona
proceda de Europa o consuma café negro?

SOLUCIÓN
Interpretación: 0,88 es la probabilidad de que una
persona de la convención proceda de Europa o
consuma café negro.

EJEMPLO 2
Para la población de personas con discapacidad del
Estado Mérida, se relacionó en el reporte anual de
los principales centros de salud, la siguiente
información:
Tabla 2.
TIPO DE INCAPACIDAD
Brazos Piernas General Total
CENTRODESALUD
IVSS 50 82 15 147
“Sor Juana
Inés de la
Cruz”
35 45 25 105
IAHULA 75 90 38 203
Total 160 217 78 455

Si se selecciona un paciente al azar de los que
se incluyeron en el reporte
a) ¿Cuál es la probabilidad de que su incapacidad
no sea en las piernas?
A: incapacidad en las piernas.
Ac: personas que no tienen incapacidad en las
piernas

b) ¿Cuál es la probabilidad de que provenga del
IVSS o del IAHULA?
B: la persona proviene del IVSS.
C: la persona proviene del IAHULA.
𝑃 𝐵 ∪ 𝐶 =
147
455
+
203
455
=
350
455
= 0,7692
𝑃 𝐵 =
147
455
𝑃 𝐶 =
203
455
𝑃 𝐵 ∪ 𝐶 = 𝑃 𝐵 + 𝑃(𝐶)

c) ¿Cuál es la probabilidad de que provenga del
IAHULA y tenga incapacidad en sus brazos?
C: La persona proviene del IAHULA.
D: la persona tiene discapacidad en los brazos.
Se debe calcular:
𝑃 𝐶 ∩ 𝐷 =
75
455
= 0,1648

EJEMPLO 3
En la Universidad de Los Andes (Mérida), se reportó
el consolidado en proporción, de las facultades a las
cuales se presentaron el mayor número de
aspirantes y su sexo.
FACULTADES
Med. Der. Hum. Cien. Total
SEXO
Masculino 0,055 0,120 0,085 0,212 0,472
Femenino 0,163 0,201 0,116 0,049 0,528
Total 0,218 0,321 0,201 0,26 1

Si se selecciona a un aspirante al azar:
a) ¿Cuál es la probabilidad de que no se haya
presentado a la facultad de medicina o sea de sexo
femenino?
E: el aspirante presentó en la facultad de medicina.
F: el aspirante es femenino.

b) ¿Cuál es la probabilidad de que no se haya
presentado a la facultad de ciencias o no sea femenino?
G: el aspirante presentó en la facultad de ciencias.
H: el aspirante es femenino.

PROBABILIDAD CONDICIONAL (I)
En ocasiones es necesario calcular la probabilidad
de evento sujeto a alguna condición o algún otro
evento que ya ocurrió.
Por ejemplo, si se considera el ejercicio en el cual
hay una vía principal en la que existen dos
semáforos.
Al pasar un vehículo por la vía se pueden definir
dos eventos:
A: el auto se detenga en el primer semáforo.
B: el auto se detenga en el segundo semáforo.

Es posible considerar la probabilidad de que el
vehículo se deba detener en el segundo
semáforo, sabiendo que se detuvo en el primero.
Es decir, se quiere reconocer la probabilidad de
que ocurra el evento B, sabiendo que ya ocurrió
el evento A.
En este caso, se establece una condición que
está representada por el evento A.
PROBABILIDAD CONDICIONAL (II)

PROBABILIDAD CONDICIONAL (III)
Para dos eventos A y B, en el cual uno de ellos
hace el papel de condición sobre el otro.
Es decir, se debe considerar que uno de los dos
eventos ya ocurrió y se quiere saber qué sucede
con el otro.
Dados dos eventos A y B, se llama probabilidad
condicional de A dado B o P(A/B) a:

EJEMPLO 4
Para conformar el comité de emergencias de los
estudiantes de medicina, se presentaron 4
candidatos. Luisa (L), Marina (M), Carlos (C) y
Eleonora (E). Se decidió que se haría la primera
votación entre los miembros de la comisión y
quien ganara sería el presidente.
Luego, se haría una nueva votación entre los 3
candidatos que quedaran y el de mayor votación
sería el coordinador.

Si se sabe que el presidente fue Carlos ¿cuál es
la probabilidad de que Marina sea la
coordinadora?
A: Carlos es el presidente del comité.
B: Marina es la coordinadora del comité.
A es la condición sobre B, por lo tanto, se debe
calcular P(B/A)

EJEMPLO 5
En un concesionario funciona una oficina de
ventas de seguros para automóviles. Se ha
determinado que la probabilidad de que un cliente
compre su automóvil en el concesionario es de
0,58.
La probabilidad de que un cliente compre una
póliza de seguro contra todo riesgo es de 0,42 y
la probabilidad de que el cliente compre el auto y
el seguro en el concesionario es de 0,35.

Si llega un cliente al concesionario y compra el
auto, ¿cuál es la probabilidad de que compre
el seguro allí?
E: el cliente compra el automóvil en el concesionario.
F: el cliente compra el seguro en el concesionario.

EVENTOS INDEPENDIENTES (I)
Dos sucesos aleatorios son independientes entre
sí, cuando la probabilidad de cada uno de
ellos, no está influida porque el otro suceso
ocurra o no, es decir, cuando ambos sucesos no
están relacionados.

EVENTOS INDEPENDIENTES (II)
Si dos eventos son independientes, se cumple
cualquiera de las siguientes sentencias:
Dos eventos no son independientes si al menos una de
las sentencias no se cumple.
Es importante aclarar que los términos independiente y
mutuamente excluyente no significan la misma cosa.

EJEMPLO 6
En un grupo de pacientes, que consta de 60
mujeres y 40 varones, se observa que 24 mujeres
y 16 varones usan lentes. Si un paciente es
elegido aleatoriamente, la probabilidad de que el
paciente utilice lentes es 0,4

a) ¿Cuál es la probabilidad de que un paciente
elegido aleatoriamente use lentes dado que es
varón?
A: el paciente es varón.
B: el paciente usa lentes.
Se puede concluir que los eventos ser varón y usar
lentes, en el grupo en estudio son independientes.

b) Determine si usar lentes y no ser varón son
eventos independientes.

TEOREMA DE BAYES (I)
Es una aplicación de las probabilidades
condicionales, que son llamadas probabilidades
a posteriori. En el campo de ciencias de la
salud, se utiliza ampliamente la aplicación de
leyes de probabilidad, y conceptos relacionados
en la evaluación de pruebas de detección y
criterios de diagnóstico.

A los médicos les interesa tener mayor
capacidad para predecir correctamente la
presencia o ausencia de una enfermedad, a
partir del conocimiento de los resultados
(positivos o negativos) de pruebas y el estado
de los síntomas (presentes o ausentes) que se
manifiestan.
TEOREMA DE BAYES (II)

El teorema de Bayes es relevancia puesto que vincula la
probabilidad de A dado B con la probabilidad de B dado A.
EJEMPLO 7
Es decir que sabiendo la probabilidad de tener un dolor de
cabeza dado que se tiene gripe, se podría saber (si se
tiene algún dato más), la probabilidad de tener gripe si se
tiene un dolor de cabeza.
Este sencillo ejemplo la alta relevancia del teorema en
cuestión para la ciencia en todas sus ramas, puesto que
tiene vinculación íntima con la comprensión de la
probabilidad de aspectos causales dados los efectos
observados.

En pruebas de detección, se debe considerar con
cuidado que no siempre son pruebas infalibles,
en otras palabras, el procedimiento puede arrojar
un falso positivo o un falso negativo.
DEFINICIONES:
1. Un falso positivo resulta cuando la prueba
indica que el estado es positivo, cuando en
realidad es negativo.
2. Un falso negativo resulta cuando una prueba
indica que un estado es negativo, cuando en
realidad es positivo

El Teorema sirve para evaluar la utilidad de los
resultados de la prueba y el estado de los
síntomas, por lo tanto determina si el individuo
tiene o no alguna enfermedad:
1. Dado que un individuo tiene la enfermedad, ¿qué
probabilidad existe de que la prueba resulte positiva (o
la presencia de un síntoma)?
2. Dado que un individuo no tiene la enfermedad,
¿cuál es la probabilidad de que la prueba resulte
negativa (o la ausencia de un síntoma)?

3. Dada una prueba positiva de detección (o la
presencia de un síntoma), ¿qué probabilidad
existe de que el individuo tenga la enfermedad?
4. Dado el resultado negativo de una prueba de
detección (o la ausencia de un síntoma), ¿cuál es
la probabilidad de que el individuo no tenga la
enfermedad?

Tabla 4
Enfermedad
Presente (D) Ausente (DC) Total
Resultado
deprueba
Positivo (T) a b a+b
Negativo (TC) c d c+d
Total a+c b+d n
Muestra de n individuos (con n muy grande)
clasificados en referencia cruzada según el estado de
enfermedad y el resultado del estado de detección.
Por ejemplo, “a” es el número de individuos que tienen
la enfermedad con un resultado positivo en la prueba
de detección.
PROCEDIMIENTO PARA DAR RESPUESTA A
LAS PREGUNTAS ENUNCIADAS

SENSIBILIDAD de una prueba o síntoma:
ESPECIFICIDAD de una prueba o síntoma:
Es la probabilidad de un resultado positivo de la prueba
dada la presencia de la enfermedad, se calcula:
𝑃 𝑇/𝐷 =
𝑎
𝑎 + 𝑐
Es la probabilidad de un resultado negativo de la
prueba dada la ausencia de la enfermedad, se
calcula:
𝑃 𝑇 𝑐/𝐷 𝑐 =
𝑑
𝑏 + 𝑑

POSITIVIDAD de una prueba o síntoma:
NEGATIVIDAD de una prueba o síntoma:
Es la probabilidad de que un individuo tenga la
enfermedad, dado que el resultado positivo en la
prueba de detección, se halla:
𝑃 𝐷/𝑇 =
𝑎
𝑎 + 𝑏
Es la probabilidad de que un individuo tenga la
enfermedad, dado que el resultado positivo en la
prueba de detección, se halla:
𝑃 𝐷 𝐶
/𝑇 𝐶
=
𝑑
𝑐 + 𝑑

EJEMPLO 7
Un equipo de investigación pretende evaluar una
prueba de detección propuesta para la enfermedad
de Alzheimer. La prueba se basa en una muestra
aleatoria de 950 pacientes. Los datos se obtuvieron
de una población de individuos con edades de 65
años o más.
Los resultados se muestran en la Tabla 5.

Tabla 5.
Presencia de Alzheimer
Si (D) No (DC) Total
Resultado
deprueba
Positivo (T) 416 25 441
Negativo (TC) 34 475 509
Total 450 500 950
A partir de la Tabla 5, hallar sensibilidad,
especificidad, positividad y negatividad.

𝑃 𝑇 𝐷 =
𝑎
𝑎 + 𝑐
=
416
450
= 0,9244
Sensibilidad:
Especificidad:
𝑃 𝑇 𝑐
𝐷 𝐶
=
𝑑
𝑏 + 𝑑
=
475
500
= 0,95
Interpretación: 0,9244 es la probabilidad de que
la prueba sea positiva, dada la presencia de la
enfermedad.
Interpretación: 0,95 es la probabilidad de que la
prueba sea negativa, dada la ausencia de la
enfermedad.

𝑃 𝐷 𝑇 =
𝑎
𝑎 + 𝑏
POSITIVIDAD
𝑃 𝐷 𝑇 =
416
441
= 0,9433
Interpretación: 0,9433 es la probabilidad de que un
sujeto tenga la enfermedad, dado que presenta un
resultado positivo en la prueba.

𝑃 𝐷 𝑐 𝑇 𝑐 =
𝑑
𝑐 + 𝑑
NEGATIVIDAD
𝑃 𝐷 𝑐 𝑇 𝑐 =
475
509
= 0,9332
Interpretación: 0,9332 es la probabilidad de que un
sujeto no tenga la enfermedad, dado que presenta un
resultado negativo en la prueba.

REFERENCIA
Daniel, W. (2010). Bioestadística: Base
para el análisis de las ciencias de la salud
(4a. Ed.). México: Limusa Wiley.
FINALMENTE, LOS INVITO A LA PÁGINA WEB DE
BIOESTADÍSTICA:
URL http://www.webdelprofesor.ula.ve/ciencias/joanfchipia/

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