Binomio taylor
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El documento explica la obtención del binomio de Newton mediante el desarrollo de Taylor, mostrando cómo expandir (a + b)^n a través de una función de una variable. Se describen las fórmulas y los coeficientes involucrados en el desarrollo, confirmando su validez al comprobar para n = 2 y n = 3. Finalmente, se establece que esta expansión es equivalente al desarrollo clásico del binomio de Newton.
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Binomio de Newton
Binomio de Newton
By Hector L. Cervantes C.
Abstract.- Obtención del binomio de Newton mediante un desarrollo de Taylor
Cristo esta es una expansión de Taylor para obtener el binomio elevado a una potencia
positiva, convirtiendo el binomio en una función apropiada de una variable.
Cristo de la fórmula de Newton tenemos:
( 𝒂 + 𝒃) 𝒏
= ∑ (
𝒏
𝒓
) 𝒂 𝒏−𝒓
𝒃 𝒓𝒏
𝒓=𝟎
CONVIRTIENDO EL BINOMIO EN FUNCIÓN DE UNA VARIABLE Y APROPIADA PARA
DESARROLLO DE TAYLOR
Cristo para |𝒂| > |𝒃| tenemos:
( 𝒂 + 𝒃)
𝒏
= 𝒂 𝒏 ( 𝟏 + 𝒃
𝒂
)
𝒏
Cristo ahora llamando
𝒃
𝒂
= 𝒒 tenemos entonces que 𝒒 < 1 admite un desarrollo de
Taylor
𝒂 𝒏
(𝟏 +
𝒃
𝒂
)
𝒏
= 𝒂 𝒏( 𝟏 + 𝒒) 𝒏
= 𝒂 𝒏
𝒇( 𝒒)
Donde 𝒇( 𝒒) = ( 𝟏 + 𝒒) 𝒏
para 𝑞 < 1
Cristo aplicando el teorema de Taylor a 𝒇( 𝒒) tenemos:
𝒇( 𝒒) = 𝒇(𝟎) + 𝒇´(𝟎) 𝒒 +
𝟏
𝟐!
𝒇´´(𝟎) 𝒒 𝟐
+ ⋯ +
𝟏
𝒏!
𝒇(𝟎)
𝒏
𝒒 𝒏
Donde 𝒇( 𝟎) = ( 𝟏 + 𝒒) 𝒏
= 𝟏; 𝒇´( 𝟎) = 𝒏( 𝟏 + 𝒒) 𝒏−𝟏
= 𝒏
𝒇´´( 𝟎) = 𝒏( 𝒏 − 𝟏)( 𝟏 + 𝒒) 𝒏−𝟐
= 𝒏( 𝒏 − 𝟏); ⋯; 𝒇 𝒏( 𝟎) = 𝒏!
Cristo entonces remplazando estoa valores en (4) tenemos que la expansión en torno a cero
𝒇( 𝒒) = 𝟏 + 𝒏𝒒 +
𝟏
𝟐!
( 𝒏)( 𝒏 − 𝟏) 𝒒 𝟐
+ ⋯ +
𝒏!
𝒏!
𝒒 𝒏
Cristo osea que insertando (5) en (3)
𝒂 𝒏( 𝟏 + 𝒒) 𝒏
= 𝒂 𝒏
𝒇( 𝒒) = 𝒂 𝒏
{𝟏 + 𝒏𝒒 +
𝟏
𝟐!
( 𝒏)( 𝒏 − 𝟏) 𝒒 𝟐
+ ⋯ + 𝒒 𝒏
}
Por lo cual remplazando el valor original de q
( 𝟏)
( 𝟐)
( 𝟑)
( 𝟒)
( 𝟓)](https://image.slidesharecdn.com/binomio-taylor-160920220229/85/Binomio-taylor-1-320.jpg)
![[2]
Binomio de Newton
Cristo esto significa que como ( 𝒂 + 𝒃) 𝒏
= 𝒂 𝒏
(𝟏 +
𝒃
𝒂
)
𝒏
; y simplificando lado
derecho de (6)
( 𝒂 + 𝒃) 𝒏
= 𝒂 𝒏
𝒇 (
𝒃
𝒂
) = 𝒂 𝒏
+ 𝒏𝒂 𝒏−𝟏
𝒃 +
𝟏
𝟐!
( 𝒏)( 𝒏 − 𝟏) 𝒂 𝒏−𝟐
𝒃 𝟐
+ ⋯ + 𝒃 𝒏
Cristo la comprobación de la formula obtenida (7) para 𝑛 = 2,3 son correctas
IDENTIFICACIÓN DE LOS COEFICIENTES DE DESARROLLO DE TAYLOR (7)
∑
𝟏
𝒓!
𝒏( 𝒏 − 𝟏) ⋯ ( 𝒏 − 𝒓 + 𝟏) 𝒂 𝒏−𝒓
𝒃 𝒓
𝒏
𝒓=𝟎
= ( 𝒂 + 𝒃) 𝒏
Para el erre-cimo término tenemos que el coeficiente 𝒏( 𝒏 − 𝟏) ⋯ ( 𝒏 − 𝒓 + 𝟏) es igual
a:
𝒏( 𝒏 − 𝟏) ⋯ ( 𝒏 − 𝒓 + 𝟏) =
𝑛!
( 𝑛 − 𝑟)!
Por tanto para coeficiente de erre-cimo término tenemos:
𝟏
𝒓!
𝒏( 𝒏 − 𝟏) ⋯ ( 𝒏 − 𝒓 + 𝟏) 𝒂 𝒏−𝒓
𝒃 𝒓
=
𝑛!
𝑟! ( 𝑛 − 𝑟)!
Además:
𝑛!
𝑟! ( 𝑛 − 𝑟)!
= (
𝑛
𝑟
)
Insertando (9) en (8)
∑ (
𝑛
𝑟
) 𝒂 𝒏−𝒓
𝒃 𝒓
𝒏
𝒓=𝟎
= ( 𝒂 + 𝒃) 𝒏
Es precisamente el desarrollo del binomio de Newton
Q.E.D
( 𝟔)
( 𝟕)
( 𝟖)
( 𝟗)](https://image.slidesharecdn.com/binomio-taylor-160920220229/85/Binomio-taylor-2-320.jpg)
Binomio taylor
- 1. [1] Binomio de Newton Binomio de Newton By Hector L. Cervantes C. Abstract.- Obtención del binomio de Newton mediante un desarrollo de Taylor Cristo esta es una expansión de Taylor para obtener el binomio elevado a una potencia positiva, convirtiendo el binomio en una función apropiada de una variable. Cristo de la fórmula de Newton tenemos: ( 𝒂 + 𝒃) 𝒏 = ∑ ( 𝒏 𝒓 ) 𝒂 𝒏−𝒓 𝒃 𝒓𝒏 𝒓=𝟎 CONVIRTIENDO EL BINOMIO EN FUNCIÓN DE UNA VARIABLE Y APROPIADA PARA DESARROLLO DE TAYLOR Cristo para |𝒂| > |𝒃| tenemos: ( 𝒂 + 𝒃) 𝒏 = 𝒂 𝒏 ( 𝟏 + 𝒃 𝒂 ) 𝒏 Cristo ahora llamando 𝒃 𝒂 = 𝒒 tenemos entonces que 𝒒 < 1 admite un desarrollo de Taylor 𝒂 𝒏 (𝟏 + 𝒃 𝒂 ) 𝒏 = 𝒂 𝒏( 𝟏 + 𝒒) 𝒏 = 𝒂 𝒏 𝒇( 𝒒) Donde 𝒇( 𝒒) = ( 𝟏 + 𝒒) 𝒏 para 𝑞 < 1 Cristo aplicando el teorema de Taylor a 𝒇( 𝒒) tenemos: 𝒇( 𝒒) = 𝒇(𝟎) + 𝒇´(𝟎) 𝒒 + 𝟏 𝟐! 𝒇´´(𝟎) 𝒒 𝟐 + ⋯ + 𝟏 𝒏! 𝒇(𝟎) 𝒏 𝒒 𝒏 Donde 𝒇( 𝟎) = ( 𝟏 + 𝒒) 𝒏 = 𝟏; 𝒇´( 𝟎) = 𝒏( 𝟏 + 𝒒) 𝒏−𝟏 = 𝒏 𝒇´´( 𝟎) = 𝒏( 𝒏 − 𝟏)( 𝟏 + 𝒒) 𝒏−𝟐 = 𝒏( 𝒏 − 𝟏); ⋯; 𝒇 𝒏( 𝟎) = 𝒏! Cristo entonces remplazando estoa valores en (4) tenemos que la expansión en torno a cero 𝒇( 𝒒) = 𝟏 + 𝒏𝒒 + 𝟏 𝟐! ( 𝒏)( 𝒏 − 𝟏) 𝒒 𝟐 + ⋯ + 𝒏! 𝒏! 𝒒 𝒏 Cristo osea que insertando (5) en (3) 𝒂 𝒏( 𝟏 + 𝒒) 𝒏 = 𝒂 𝒏 𝒇( 𝒒) = 𝒂 𝒏 {𝟏 + 𝒏𝒒 + 𝟏 𝟐! ( 𝒏)( 𝒏 − 𝟏) 𝒒 𝟐 + ⋯ + 𝒒 𝒏 } Por lo cual remplazando el valor original de q ( 𝟏) ( 𝟐) ( 𝟑) ( 𝟒) ( 𝟓)
- 2. [2] Binomio de Newton Cristo esto significa que como ( 𝒂 + 𝒃) 𝒏 = 𝒂 𝒏 (𝟏 + 𝒃 𝒂 ) 𝒏 ; y simplificando lado derecho de (6) ( 𝒂 + 𝒃) 𝒏 = 𝒂 𝒏 𝒇 ( 𝒃 𝒂 ) = 𝒂 𝒏 + 𝒏𝒂 𝒏−𝟏 𝒃 + 𝟏 𝟐! ( 𝒏)( 𝒏 − 𝟏) 𝒂 𝒏−𝟐 𝒃 𝟐 + ⋯ + 𝒃 𝒏 Cristo la comprobación de la formula obtenida (7) para 𝑛 = 2,3 son correctas IDENTIFICACIÓN DE LOS COEFICIENTES DE DESARROLLO DE TAYLOR (7) ∑ 𝟏 𝒓! 𝒏( 𝒏 − 𝟏) ⋯ ( 𝒏 − 𝒓 + 𝟏) 𝒂 𝒏−𝒓 𝒃 𝒓 𝒏 𝒓=𝟎 = ( 𝒂 + 𝒃) 𝒏 Para el erre-cimo término tenemos que el coeficiente 𝒏( 𝒏 − 𝟏) ⋯ ( 𝒏 − 𝒓 + 𝟏) es igual a: 𝒏( 𝒏 − 𝟏) ⋯ ( 𝒏 − 𝒓 + 𝟏) = 𝑛! ( 𝑛 − 𝑟)! Por tanto para coeficiente de erre-cimo término tenemos: 𝟏 𝒓! 𝒏( 𝒏 − 𝟏) ⋯ ( 𝒏 − 𝒓 + 𝟏) 𝒂 𝒏−𝒓 𝒃 𝒓 = 𝑛! 𝑟! ( 𝑛 − 𝑟)! Además: 𝑛! 𝑟! ( 𝑛 − 𝑟)! = ( 𝑛 𝑟 ) Insertando (9) en (8) ∑ ( 𝑛 𝑟 ) 𝒂 𝒏−𝒓 𝒃 𝒓 𝒏 𝒓=𝟎 = ( 𝒂 + 𝒃) 𝒏 Es precisamente el desarrollo del binomio de Newton Q.E.D ( 𝟔) ( 𝟕) ( 𝟖) ( 𝟗)