Calculo
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1) El documento trata sobre ecuaciones diferenciales ordinarias. 2) Los objetivos de aprendizaje incluyen identificar características de una EDO, resolver EDO de primer orden por separación de variables y resolver problemas de ingeniería usando este método. 3) Se explican conceptos como orden, linealidad, métodos de solución como separación de variables y problemas de valor inicial.
Calculo
- 1. CÁLCULO 2 Ecuaciones Diferenciales Ordinarias Departamento de Ciencias 1
- 2. Logros de Aprendizaje 1. Identificar las características de una EDO. 2. Resolver EDO de primer orden por el método de variables separables. 3. Resolver problemas vinculados a la ingeniería usando la separación de variables. 2
- 3. ¿Qué es una ecuación diferencial? En el estudio de las ciencias e ingeniería se desarrollan modelos matemáticos para ayudar a comprender fenómenos físicos. Estos modelos a menudo dan lugar a una ecuación que contiene ciertas derivadas de una función incógnita. A una ecuación de este tipo se le denomina ecuación diferencial (ED). 3
- 4. ECUACIÓN DIFERENCIAL Ecuación que establece la dependencia de una variable respecto a otra u otras mediante derivadas es una ecuación diferencial dy 2 y ( y ') x y ' x 2 4 xy 2 ( x, t ) t senx y 2 0 dx x 2 4
- 5. Clasificación de las Ecuaciones Diferenciales Tipo El Orden La linealidad Ecuación Ecuación Es el orden de Diferencial Diferencial la más alta Lineal o no lineal ordinaria Parcial derivada presente (EDO) en la ecuación. (EDP) contienen Contienen derivadas únicamente parciales derivadas respecto de ordinarias dos o más respecto a una variables sola variable independientes independiente. .
- 6. ECUACIONES DIFERENCIALES EDP EDO Contiene No tiene Derivadas Derivadas Parciales Parciales r r r 2 xy 1 x y z EDO de Orden n EDO Lineal F x, y, y’, y’’,..., y n 0 y f ( x) an ( x ) y( n ) an1( x ) y( n1 ) ... a0 ( x ) y f ( x ) EDO de 1er. orden F(x, y, y’) 0 Homogénea f ( x) 0 6
- 7. Ecuación diferencial Ordinaria(EDO) • Si la ecuación contiene derivadas ordinarias de una o más variables dependientes con respecto a una sola variable independiente entonces la ecuación se dice que es una ecuación diferencial ordinaria (E.D.O.). 7
- 8. Qué es orden? • El orden de una ecuación diferencial ordinaria, es igual al de la derivada de mas alto orden que aparece en la ecuación. • El orden de una ecuación diferencial (ordinaria o en derivadas parciales) es el de la derivada de mayor orden en la ecuación Ejemplos dy 1. 2 xy 0 Una ecuación DiferencialOrdinaria de primer orden dx d2y 2. 2 xy y Una ecuación DiferencialOrdinaria de segundoorden dx d4y d2y 3. 4 3 2 2 Una ecuación DiferencialOrdinaria de cuarto orden dx dx
- 9. A qué se le llama grado? • Es la potencia de la derivada de mayor orden que aparece en la ecuación, siempre y cuando la ecuación este en forma polinómica, de no ser así se considera que no tiene grado. Ejemplos 1. y 5( y)3 2 y x Una ecuación DiferencialOrdinaria de segundoorden y primer grado 2. ( y)2 5 xy 0 Una ecuación DiferencialOrdinaria de primer orden y segundo grado
- 10. De acuerdo a la linealidad 10
- 11. • Ejemplos: ¿Lineales o No lineales?¿determine el orden? dv(t ) 1 1 • 1) v(t ) Vs (t ) dt RC RC • 2) dT K (Ta T ) dt dy x x 2 y 2 • 3) dx y • 4) y' p( x ) y q( x ) y 2 f ( x ) Ecuación de Riccati • 5) y' x3 y sin( x ) y 2 x 2 1 • 6) y' ' ( 1 y 2 ) y' y 0 Ecuación de Van der Pol 11
- 12. SOLUCIÓN DE UNA ECUACIÓN DIFERENCIAL 1. Solución General (integral general de la ED) Para la Ecuación F(x,y,y’,y’’,...,y(n))=0, la función y=f(x,c) que satisface dicha ecuación es la SG. La solución general es una familia de funciones parametrizadas por la constante desconocida c. 2. Solución Particular Para cada valor particular de la constante c en y=f(x,c) se obtiene una Solución Particular de la ED 12
- 13. Ejemplo: La Ecuación diferencial dy x x 2 y 2 dx y Tiene por solución General la Familia de funciones: 10 8 6 4 y 2cx c 2 2 0 -2 -4 -6 -8 -10 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 13
- 14. Problemas de Valor Inicial El Problema tiene la forma: dy Resuelva : f ( x, y ) dx Sujeta a : y ( x0 ) y0 • La condición adicional se le conoce como condición inicial. • Con las condiciones iniciales es posible encontrar la solución particular de la ecuación diferencial. 14
- 15. EDO de primer orden y de primer grado • En general suele expresarse una EDO de primer orden y primer grado de la siguiente manera: dy 1. f ( x, y ) y f ( x, y ) (Forma Explícita) dx 2. M ( x, y )dx N ( x, y )dy 0 (Forma Implícita) 15
- 16. MÉTODOS DE SOLUCIÓN NO existe un método general para resolver ED’s. Para los casos particulares bien identificados sí se tienen procedimientos para calcular dicha solución. El método entonces consiste en saber Identificar el tipo de ED Separables, Homogéneas, Con Coeficientes Lineales, Exactas, Lineales, de Bernoulli y de Riccati. 16
- 17. SEPARACIÓN DE VARIABLES Reescribir la ecuación como una ecuación de variables separadas: f ( y)dy g ( x)dx Donde f(y) es una función exclusivamente de y y g(x) es una función exclusivamente de x. Esta ecuación se resuelve integrando a ambos lados: y x y0 f ( y)dy g ( x)dx x0 17
- 18. • La ED de la forma f1 ( y) g1 ( x)dx f 2 ( y) g 2 ( x)dy • Se denomina ED de variables separables, ya que es inmediata su reescritura como una ED con variables separadas: f 2 ( y) g1 ( x) dy dx f1 ( y ) g 2 ( x) 18
- 19. Ejemplo 1: Resolver la ecuación dy x dx y Solución: Separando variables ydy = -xdx Integrando y2 x2 c1 2 2 Reescribiendo x2+y2 = c2 19
- 20. Ejemplo 2: dy x2 • Encontrar la solución general de dx 1 y 2 Solución: Despejando para obtener de un lado de la ecuación función de x y del otro lado función de y , y luego integrando. Resulta: dy x2 dx 1 y 2 (1 y 2 ) dy x 2 dx (1 y 2 )dy x 2 dx y3 x3 (y ) C 3 3 20
- 21. 21
- 22. Crecimiento y Decrecimiento La tasa de crecimiento de una población crece en forma proporcional a la población total, P(t), en cualquier instante t. dP kP dt Donde: P(t): Población en el tiempo t. K: es la constante de proporcionalidad. 22
- 23. Decrecimiento radiactivo La muestra de un material que contiene N(t) átomos de cierto isótopo radioactivo en el tiempo t, decrece espontáneamente por unidad de tiempo. dN k N dt Ley de Desintegración radiactiva La velocidad de desintegración de una sustancia radiactiva en un instante dado es proporcional a la cantidad de sustancia presente en ese instante. 23
- 24. Diseminación de una Enfermedad Para la diseminación de una enfermedad contagiosa, la razón con que se difunde no sólo es proporcional a la cantidad de persona x(t) que han contraído la enfermedad , sino también a y(t) a los sujetos que no han sido expuestos todavía al contagio. dx k x y dt Constante de proporcionalidad Si una persona infectada se introduce en una población de n personas ( x y) n dx k x( n x) dt 24
- 25. CIRCUITOS ELÉCTRICOS Ley de Kirchhoff El voltaje a través de un circuito cerrado debe ser igual a las caídas de voltaje en el mismo. “La suma algebraica de las diferencias de potencial en una trayectoria (o malla) cerrada es igual a cero” 25
- 26. CIRCUITO RL Inductor: L Inductancia L: henries (h) Caída de voltaje: dI L dt Resistor: R Resistencia R: ohm (Ω) Caída de voltaje: I R dI Donde: I R L V V: es el voltaje constante dt 26
- 27. CIRCUITO RC Q VIR 0 C Donde: V: Voltaje (constante) suministrado por la fuente. IR: Diferencia de potencial (variable) a través del resistor R. Q/C: Diferencia de potencial (variable) en el capacitor C. dQ La intensidad de corriente I se define como: I (t ) dt dQ Q Donde: V R V, R y C son constantes y dt C Q=Q(t) 27
- 28. Ley de Enfriamiento de Newton dT La rapidez con la que se enfría un objeto es proporcional a la dt diferencia entre su temperatura y la del medio ambiente que lo rodea. dT k T A dt Donde: T(t): Temperatura del objeto en el instante t. A: Temperatura constante del medio que lo rodea. K: Constante de proporcionalidad. 28
- 29. Ley de Torricelli La razón de cambio de un volumen V de agua en un tanque de drenado, respecto al tiempo, es proporcional a la raíz cuadrada de la profundidad y del agua en el tanque. dV k y dt Si el tanque es un cilindro con paredes verticales y una sección transversal de área A, entonces V=Ay, luego dy h y dt Donde h=k/A es una constante. 29