Calculo Integral Lineal

UNIDAD I
Nociones preliminares
1.1 Números reales
1.1.1 Conjunto de números reales y la recta númerica
1.1.2 Intervalos y su clasificación
1.1.3 Desigualdades y su solución
1.2 Funciones
1.2.1 Dominio y rango de una función
1.2.2 Gráficas de funciones
1.2.3 Operaciones con funciones
1.2.4 Composición de funciones

1.3 Límite de funciones
1.3.1 Concepto de límite de una función
1.3.2 Límites laterales
1.3.3 Teoremas de límites
1.3.4 Límites infinitos

1.4 Continuidad de funciones
1.4.1 Continuidad de una función, análisis gráfico
1.4.2 Teoremas de continuidad de funciones
1.4.3 Continuidad de una función en un punto y en
un intervalo

UNIDAD II
Derivada
2.1 Derivada de una función
2.1.1 La derivada como razón de cambio
2.1.2 Interpretación geométrica y física de la derivada
2.2 Cálculo de derivadas
2.2.1 Regla general de derivación
2.2.2 Estudio y aplicación de las fórmulas de derivación

2.3 Aplicación de la derivada
2.3.1 Concavidad
2.3.2 Métodos para la obtención de máximos y mínimos
2.3.3 Problemas de aplicación de máximos y mínimos
2.4 Teoremas de derivación
2.4.1 Regla de la cadena
2.4.2 Teorema de Rolle y del valor medio

UNIDAD III
Integral
3.1 La integral indefinida
3.1.1 La integral como operación inversa de la
derivación
3.1.2 Fórmulas básicas de integración
3.2 La integral definida
3.2.1 Sumas de Riemann
3.2.2 Interpretación geométrica de la integral
(área bajo la curva)
3.2.3 Teorema fundamental del cálculo

3.3 Métodos de integración
3.3.1 Por sustitución
3.3.2 Por sustitución trigonométrica
3.3.3 Por racionalización
3.3.4 Por partes

Preliminares
Sistema

de números reales

Desigualdades

El sistema de los números reales
El cálculo se basa en el sistema de los números
reales y sus propiedades.

Números reales

Números naturales: 1, 2, 3, 4, ................... (N)
Números enteros: ..-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3 ...... (Z)
Números racionales: 3/4, -5/7, m/n, ...........
(Q)
Números irracionales: 3, 7, a, , e, .........

Números complejos: a + bi; i= -1
N Z  Q  R

Propiedades de campo


Ley conmutativa:

xy=yx

2+3 = 3+2;
5 = 5 ;



x+y=y+x;

(2)(3)=(3)(2)
6 = 6

Ley asociativa: x+(y+z)=(x+y)+z;

(xy)z=x(yz)

2 + (3 + 5) = (2+3)+5;
2+8=5+5
10 = 10



(2*3)5=2(3*5)
6 * 5 =2 *15
30 = 30

Ley distributiva: x(y+z) = xy + xz
2(3 + 5) = 2*3 + 2*5
2 * 8 = 6 + 10
16 = 16



Elementos neutros:

x+0= x
2+0=2



Inversos:

x(1) = x
2*1=2

x+(-x)=0

x(x-1)= 1

2 + (-2)=0

2 (2-1)= 2(1/2)= 1

Propiedades del orden
 Tricotomía:

x<y

o

2<5

x=y o

o

2=5

x>y

O

2>5

 Transitividad:

x<y
2<5
9

y
y

y<z => x < z
5<9

=>

2<

x<y  x+z < y+z
2<5  2+3 < 5+3
5 < 8
 Multiplicativa:
z > 0 => x < y  xz < yz
8 > 0 => 2 < 5  2*8 < 5*8
16 < 40
z < 0 => x < y  xz > yz
-8 < 0 => 2 < 5  2(-8) > 5(-8)
-16 > -40
 Aditiva:

Simplifique todo lo que sea posible
1)

2)
3)

4)
5)

6)
7)

4-3(8-12)-6 =
2(3-2(4-8)) =
-4[3(-6+13)-2(5-9)]=
5[-1(7+12-16)+4]+2 =
5/ – (1/ +2/ ) =
6
4
3
¾-(7/12 – 2/9) =
1/ [1/ (1/ -1/ )+1/ ] =
3 2 4 3
6

8.

9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.

-1/3[2/5-1/2(1/3-1/5)] =
(5/7+2/9)/(1+1/2) =
[1/2-3/4+7/8]/[1/2+3/4-7/8] =
1 - 2/2+3/4 =
2 + 3/1+5/2 =
(√2 + √ 3)(√ 2 - √ 3) =
(√ 2 + √ 3)2 =
3 √ 2 (√ 2 - √ 8) =

Ejercicios resueltos
1) 4-3(8-12)-6 =
1° se resuelve el paréntesis
4-3(-4)-6 =
El resultado (-4) se multiplica por 3
4+12-6 =
Se suman todos los positivos y los
negativos
16-6 = 10
3) -4[3(-6+13)-2(5-9)]=
1° se resuelve color verde
-4[3(7)-2(-4)]=
Se multiplica el paréntesis con
su literal
-4[21+8]=
Se resuelve color lila
-4[29]= -116
Se multiplica

5) 5/6 – (1/4+2/3) = Paréntesis ¿? a/b+c/d=(ad+cb)/bd
5/ – (1)(3)+(2)(4)/
6
(4)(3) = Simplificar
5/ – 3+8/ = 5/ –11/
6
12
6
12 Igualar denominadores (mcm)
5/ – 11/ = (5/ )(2/ ) – 11/
2/ =1, x*1=x
6
12
6
2
12
2
10/ – 11/ = – 1/
Mismo denominador (12),
12
12
12
numeradores se suman.

7) 1/3[1/2(1/4-1/3)+1/6] =
1/ [1/ (1(3)-1(4)/
)+1/6]
3 2
4(3)
1/ [1/ (3-4/ )+1/ ]
3 2
12
6

=

1/ [1/ (-1/ )+1/ ] =
3 2
12
6
1/ [-1/ +1/ ] =
3
24
6
1/ [-1/ +(1/ )(4/ )] =
3
24
6
4
1/ [-1/ +4/ ] =
3
24
24
1/ [3/ ] = 3/ = 1/
3 24
72
24

=

9) (5/7+2/9)/(1+1/2) =
(5(9)+ 2(7)/7(9))/(2/2+1/2) =
(45+14/63)/(3/2) =
(59/63)/(3/2) = a/b/c/d= ad / bc
(59)(2)/
= 118/189
(63)(3)

11) 1 - 2/(2 + 3/4) =
1 - 2/(8/4 + 3/4) =
1 - 2/1/(11/4) =
1 – 2(4)/ 1(11) = 11/11 –
8/ = 3/
11
11

13) (√ 2 + √ 3)(√ 2 - √ 3) = (a+b)(a-b)=a2-b2
(√ 2)2 – (√ 3)2 = 2-3 = -1
15) 3 √ 2 (√ 2 - √ 8) =
3 √ 2 (√ 2 - √(4*2)) =
3 √ 2 (√ 2 - √ 4* √ 2) =
3 √ 2 (√ 2 (1- √ 4)) =
3 √ 2 (√ 2 (1- 2)) =
3 √ 2 (√ 2 (-1)) =
3 √ 2 (- √ 2 ) =
-3 √ 2 √ 2 =
-3 √(2*2) =
-3 √ 4 =
-3(2) = -6

Realice las operaciones indicadas y simplifique
a)

(2x-3)(2x+3)=

b) (2x-3)2=

c)

(-3t2-t+1)2=

d) (2t-1)3=

e)

(x2-4) / (x-2)=

f) (x2-x-6)/ (x-3)=

g)

(x3-8) / (2x-4) =

h) (2x-2x2) / (x3-2x2+x)=

a)

(2x-3)(2x+3)= (2x)2-(3)2= 4x2-9

b) (a+b)2 = a2+2ab+b2
(2x-3)2 = (2x)2+2(2x)(-3)+(-3)2
=4x2-12x+9


(a+b+c)2= a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc
(3t2-t+1)2 =
(3t2)2+(-t)2+(1)2+2(3t2)(-t)+2(3t2)(1)+2(-t)(1)
= 9t4 + t2 + 1 - 6t3 + 6t2 - 2t
= 9t4 - 6t3 + 7t2 - 2t + 1

d) (a+b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
(2t-1)3= (2t)3 + 3(2t)2(-1) + 3(2t)(-1)2 + (-1)3
= 8t3 - 3(4t2) + 3(2t)(1) -1
= 8t3 - 12t2 + 6t –1
e) (x2-4)/(x-2)=

Factorizar el numerador. Buscar dos # que
(a)(b) den –4 y (a)+(b) den 0. (x2+0x-4)

(x-2)(x+2)/(x-2)=

Como (x-2) se encuentra en el numerador
y en el denominador, se cancela.

x+2

f) (x2-1x-6)/(x-3)= (a)(b)= -6 Y (a)+(b)= -1
(x+2)(x-3)/(x-3)= (-3)(2)= -6 Y (-3)+(2)= -1
x+2

Desigualdades
Una expresión algebraica con cualquiera de
estos símbolos (<, >, >, <) es una
Desigualdad.
Ejemplo: 5x2-4x+7 < 2x+3

4x-3 > 7x+5

Al resolver una desigualdad se encuentra
un conjunto con aquellos números reales
que la hacen verdadera. Al conjunto
solución se le llama intervalo.

Tipos de intervalos
Nombre

Notación de conjuntos

Abierto
{x: a < x < b}
Cerrado
{x: a < x < b}
Semiabierto:
Por la izquierda {x: a < x < b}
Por la derecha {x: a < x < b}
Infinito:
{x: x < b}
{x: x < b}
{x: x > a}
{x: x > a}

Gráfica

Notación de intervalos

a
a

x b
x b

(a,b)
[a,b]

a
a

x
x

b
b

(a,b]
[a,b)

b
b

a
a

x
x
x
x

(-  ,b]
(-  ,b)
[a,  )
(a,  )

Resolver la desigualdad 2x-7 > 4x-2
Se siguen los mismos pasos que al resolver una igualdad.

2x-7 > 4x-2

Los términos con variable se pasan a un lado y
los términos con constante se pasan al otro.

2x-4x > -2+7
-2x > 5 Se despeja el –2 que está multiplicando
con x y pasa a dividir con 5.

x < 5/-2

Como el número (-2) es negativo, la
desigualdad se cambia.

x < -5/2
-5/2
(- , -5/2)

-5 < 2x+6 < 4
Debemos dejar a x sola. Despejamos a 6 y 2
-5 -6 < 2x < 4 -6
-11 < 2x < -2
-11/ < x < -2/
2
2
-11/ < x < -1
2
-11/
2

[-11/2, -1)

-1

x2-x < 6
Se pasa todo a un lado.
x2-1x -6 < 0 Se factoriza. (-3)(2)=-6, (-3)+(2)=-1
(x-3)(x+2) < 0 < indica que el resultado es negativo.
(x-3) < 0
(x-3) > 0
x < +3
x > +3
(x+2) > 0
(x+2) < 0
x > -2
x < -2
-2

3

(-2,3)

-2

3

No tiene solución, no se cruzan

Tarea: Exprese el Conjunto solución
4x-7 < 3x+5
2. 7x-1 < 10x+4
3. 2x+16 < x+25
4. 6x-10 > 5x-16
5. 10x+1 > 8x+5
6. 3x+5 > 7x+17
7. -6<2x+3<-1
8. -3<4x-9<11
9. -2<1-5x<3
10. 4<5-3x<7
1.

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.

2+3x<5x+1<16
2x-4<6-7x <3x+6
(x+5)/(2x-1)
(2x-3)/(x+1)
1/ < 5
x
7/ < 3
2x
1/
(3x-2)<4
3/
x+5 > 2
(x+2)(2x-1)(3x+7)>0
(2x+3)(3x-1)(x-2)<0

Valor absoluto
Es la distancia que existe del origen (cero) a cualquier otro
punto, ya sea hacia la izquierda o derecha. No existen distancias
negativas; se designa mediante |x| y se define como:
Ejemplo:
|5| = 5 |-5| = +5 |-25x|=25x |-a|=a |b|=b |-4x2|= 4x2

Propiedades del valor absoluto
I.

|ab|=|a|*|b|
|(2)(-3)|=|2|*|-3|=2*3=6

II.

|a/b|=|a|/|b|
|-4/2|=|-4|/|2|= 4/2 =2

III. |a+b|< |a|+|b|
|-3+2|< |-3|+|2|

IV. |a-b| > ||a| - |b||
|2-3|> ||2|-|3||

Resuelva la desigualdad. |3x-5| > 1
lo que está dentro del valor absoluto, puede ser
positivo
+(3x-5) > 1
3x > 1+5
3x > 6
x > 6/3
x>2

o

negativo
-(3x-5) > 1
3x-5 < 1/-1
3x < -1+5
x < 4/3

Tarea: Encuentre el conjunto solución de
la desigualdad
1.
2.

3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.

|x+1| < 4
|x-2| <5
|3x+4| <8
|5x/3 –2| < 6
|3x/5 +1| < 4
|2x-7| < 3
|2x-7| > 3
|5x-6| > 1
|4x+2| > 10
|x/2 +7| > 2
|2+5/x| > 1
|1/x -3| > 6

|x+1| < 4
x+1 < 4
x+1 > -4
x < 4-1 x > -4-1
x<3
x > -5
3

-5

(- ,3)  (-5,+ )

|5x/3 –2| < 6
5x/

3 –2<
5x/ <
3
5x/ <
3

5x/

6
6+2
8
5x < 8*3
5x < 24
x < 24/5
24/

3 –2 >-6
5x/ >-6+2
3
5x/ > -4
3

5x > -4*3
5x > -12
x > -12/5
5

-12/5

(- ,24/5]  [-12/5,+ )

|4x+2| > 10
4x+2 > 10
4x > 10-2
4x > 8
x > 8/ 4
x>2
2

4x+2 < -10
4x < -10-2
4x < -12
x < -12/4
x < -3
-3

(- ,-3]  [2,+ )

Aunque el cálculo fue descubierto a
fines del siglo XVII, sus fundamentos
permanecieron en estado de confusión y
desorden hasta que Cauchy y sus
contemporáneos impusieron normas de
rigor. Debemos a Cauchy la idea de
basar el cálculo en una clara definición
del concepto de límite.
Tarea: Biografía de Cauchy

Funciones y límites
Una función (f) es una regla de correspondencia entre dos
conjuntos, tal que a cada elemento del primer conjunto le
corresponde solo un elemento del segundo conjunto.

A

B

A

Función
A
B
C
D
E

B
Relación

1
2
3
4
5

A

B
C
D
E

1
2
3
4
5

Conjunto: agrupación de cosas, elementos u objetos con
características en común.
Dominio: conjunto en el cual se encuentra la variable
independiente
Rango: Conjunto en el cual se encuentra la variable
dependiente.
Variable independiente: tiene valor por si misma
Variable dependiente: para existir depende del valor de la
variable independiente.
Para denotar una función se usa una letra (f, g, F, etc). =>
F(x) se lee f de x ó f en x
F(x) designa el valor que f le asigna a x.

x3 -

Si F(x) =
4 =>
F(2)= (2)3- 4 = 8-4 = 4
F(-1)= (-1)3- 4 = -1-4 =-5
F(a)= (a)3- 4 = a3- 4
F(a+h)= (a+h)3-4
= a3+3a2h+3ah2+h3-4

Si F(x) = x2- 2x =>
F(4)= (4)2- 2(4) = 16-8 = 8
F(4+h)= (4+h)2- 2(4+h)
= 16+8h+h2-(8+h)
= 16+8h+h2-8-h
= h2+7h+8
F(4+h)-F(4) = h2+7h+8 – 8
= h2+7h
F(4+h)-F(4)/
(h2+7h)/
h =
h
= h(h+7)/ h
= h+7

G(x) = 1/x
G(a) = 1/a
G(a+h) = 1/(a+h)
G(a+h)-G(a) = 1/(a+h) - 1/a
[G(a+h)-G(a)]/h = [1/(a+h) - 1/a]/h
= [1(a)-(1)(a+h)/(a+h)(a)]/h
= [a-a-h/(a+h)(a)]/h
= [-h/(a+h)(a)] / h/1
= (-h)(1) / (a+h)(a)(h)
= -h / (a2+ah)h
= -1 / (a2+ah)

Para f(x) = x2-1,
encuentre:
a)
b)
c)
d)

e)
f)
g)
h)
i)

f(1) =
f(k) =
f(-2) =
f(-6) =
f(0) =
f(1/2) =
f(2t) =
f(3x) =
f(1/x) =

Para F(x) = 3x3+x,
encuentre:

Para G(y) = 1/ y-1
encuentre:

F(-6) =
b) F(1/2) =
c) F(3.2) =
d) F(3) =
e) F() =
f) F(1/x ) =
g) F(x) =
h) F(2x) =

a)

a)

G(0) =
b) G(2y) =
c) G(0.999) =
d) G(1.01) =
e) G(-x) =
f) G(a) =
g) G(2t) =
h) G(-y) =

Operaciones con
funciones
(f+g)(x) = f(x) + g(x)
II. (f-g)(x) = f(x)-g(x)
III. (f*g)(x) = f(x)*g(x)
IV. (f / g)(x) = f(x) / g(x)
V. (fg)(x) = f(g(x))
I.

Ejemplo: Si f(x) = x2 y g(x) = x+1
(f+g)(x) = f(x) + g(x) = x2 + x+1
 (f-g)(x) = f(x)-g(x) = x2 – (x+1)
= x2 – x - 1
III. (f*g)(x) = f(x)*g(x)= (x2)(x+1)
= x3 + x2
IV. (f / g)(x) = f(x) / g(x) = (x2)/(x+1)
V. (fg)(x) = f(g(x))= f(x+1) = (x+1)2


Clasificación parcial
de funciones
Función constante: f(x) =

k;
Función identidad: f(x) = x;
Función lineal:
f(x) = ax + b
Función cuadrática:
f(x) = ax2 + bx + c
Función cúbica: f(x)=ax3+bx2+cx+d
Función polinomial:
f(x)=axn+...+ax+a
Función racional:
f(x)= (axn+...+a)/(axn+.+a)
Función valor absoluto:
f(x)=| axn+..+ax+a |
Función exponencial: f(x) = ex
Función logaritmica: f(x) = log x

Para f(x)= x/x-1 y g(x)= (1+x2),
encuentra cada valor si es posible:
a) (f+g)(2)=
b) (f*g)(0)
c) (g/f)(3)=
d) (f g)(0)=
e) (g f)(8)=
f) (g f)(0)=

Para f(x)= x3+2 y g(x)=2/x-1,

Para f(x)= x2+x y g(x)=2/x+3,
a) (f-g)(2)=
b) (f/g)(1)
c) g2(3)=
d) (f g)(1)=
e) (g f)(1)=
f) (g g)(3)=

Si f(x)= (x2-1) y g(x)= 2/x,
encuentra las fórmulas
a) (f/g)(x)
b) (f g)(x)=
c) (f+g)(x)=
d) (g f)(x)=
e) (f-g)(x)=
f) (f*g)(x)=

a)
b)
c)
d)

(f/g)(x)
(f g)(x)=
(f+g)(x)=
(g f)(x)=

Introducción a los límites
Estamos listos para una nueva idea importante, la noción de límite. Es
ésta idea la que distingue el cálculo de otras ramas de las matemáticas. De
hecho, podríamos definir el cálculo como un estudio de los límites.

Noción intuitiva
F(x)= (x3-1)/(x-1).
Comencemos analizando la gráfica de la función; tabulemos:
x -1 -½ 0 1 2
f(-1)= ((-1)3-1)/((-1)-1)=(-1-1)/(-1-1)= -2/-2 = +1
y +1 0.75 1  7
f(½) = ((-½)3-1)/((-½)-1)=(-1/8 –8/8)/(-½-2/2)= -9/8/- 3/2=+0.75
f(1)= ((1)3-1)/((1)-1)=(1-1)/(1-1)= 0/0 = Indeterminado
Considere la función determinada por la fórmula

Graficando lo tabulado:

¿Qué pasa de 0 a 2?

Tabulemos mas dentro de ese
intervalo, sin tocar el uno.
x 0.5 0.7 0.9 0.999 1.001 1.5 1.7

Podemos concluir que el límite de
f(x)= (x3-1)/(x-1) = 3;
Pero, en ésta forma es erroneo.
Necesitamos aplicar el límite, en el punto
donde la función no existe.

y 1.75 2.19 2.71 2.997 3.003 4.75 5.59

Lim f(x)= lim (x3-1)/(x-1)

7

x -> 1
6

x -> 1

=lim (x2+x+1)(x-1)/(x-1)

5

x -> 1

=lim (x2+x+1) = 12+1+1

4

x -> 1

3

=3

2
1

La grafica tiene una rompimiento en el
punto (1,3); no existe ahí. Pero, tratando de
analizar la gráfica, podemos pensar que
cuando x=1, su imagen (y)=3.

1.9000

1.7000

1.5000

1.0010

1.0000

0.9999

0.9990

0.9000

0.7000

0.5000

0.0000

-0.5000

-1.0000

-2.0000

0

Significado intuitivo de límite
Def.: Decir que lim f(x)=L
significa que cuando x está cerca,
pero difiere de c, f(x) está cerca de L.
=> Decir que lim f(x)=3, significa que
cuando x está cerca de uno, pero no es uno,
f(x) está cerca de 3, pero no es 3.

Ejemplos:
Encuentre:
Lim(4x-5)=4(3)-5 = 12-5 = 7
x3

Lim(x2-x-6)/(x-3)=[(32-3-6)]/(3-3)
x3

=[(9-9)]/(3-3)
=0/0=

Como nos dió infinito el resultado, no se
debe resolver así. Debemos factorizar el
numerador.

Propiedades de la raíz.
(a*b) = a * b
a/b = a / b
(a+b)  a + b
a-b  a - b
a* a = (a*a) = a2 = a


 Lim (x-1)/((x-1))=
x1

Lim ((x-1)) ((x-1))/((x-1))=
x1

Lim(x2-x-6)/(x-3)=lim
x3

(x+2)(x-3)/(x-3)

x3

= lim (x+2) = 3+2 = 5
x3

Cuando x se acerca a 3, f(x) se acerca a 5.
Lim (x-1)/((x-1))=(1-1)/((1-1))
x1

= 0/0 = 0/0 = 
Para resolver esta función, necesitamos
conocer las propiedades de la raíz.

Lim ((x-1)) = (1-1) = 0 = 0
x1

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