Calculo proposicional (tarea 1)

REPUBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA
UNIVERSIDAD FERMIN TORO
CABUDARE, EDO LARA
ESTRUCTURAS DISCRETAS
CALCULO PROPOSICIONAL
AUTOR: NATALI ANGARITA A.
C.I: 13.098.764

Proposición:
En el desarrollo de cualquier teoría matemática se hacen afirmaciones en
forma de frases y que tienen un sentido pleno. Tales afirmaciones, verbales o escritas,
las denominaremos enunciados o proposiciones.
Llamaremos de esta forma a cualquier afirmación que sea verdadera o falsa,
pero no ambas cosas ala vez.
Las siguientes afirmaciones son proposiciones.
(a) Venezuela es un país
(b) El perro es un animal
(c) 20 es un número par
(d) El estado Lara tiene un Gobernador.
Una de las características de las proposiciones es que se denotan con letras
minúsculas como p,r,q,v…..etc.
Tipos de Proposiciones
Las proposiciones pueden ser simples o compuestas; las simples equivalen al
tipo de proposiciones que no pueden descomponerse en otras como las del ejemplo
anterior y las compuestas están determinadas por la presencia de uno o varios
conectores lógicos.
Por ejemplo:
(a) Mi carro es nuevoytiene los asientos de cuero.
(b) Ella es estudiosa o tiene una mente brillante
(c) Si mañana es lunes entonces hay examen.
Donde las palabrasy, o, si, entonces, actúan como conectivos entre las
proposiciones simples.
La propiedad fundamental de una proposición compuesta es que su valor de
verdad está completamente determinado por los valores de verdad de las
proposiciones que la componen junto con la forma en que están conectadas.
Variables de Enunciado
Es una proposición arbitraria con un valor de verdad no especificado, es decir, puede
ser verdad o falsa. En el cálculo lógico, prescindiremos de los contenidos de los
enunciados y los sustituiremos por variables de enunciado. Toda variable de
enunciado p, puede ser sustituida por cualquier enunciado siendo sus posibles
estados, verdadero o falso. El conjunto de los posibles valores de una proposición p,
los representaremos en las llamadas tablas de verdad, ideadas por L.Wittgenstein
(Viena 1889-Cambridge 1951)
Tablas de Verdad

La tabla de verdad de una
los siguientes valores de verdad.
p1 p2 p3
V V V
V V F
V F V
V F F
F V V
F V F
F F V
F F F
Conexión entre Proposiciones
Existen distintas formas de conectar proposiciones entre sí. Prestaremos
especial atención a las tablas de verdad de las proposiciones compuestas que
pueden formarse utilizando las distintas conexiones.
1.-Conjunción:
Dadas dos proposiciones cualesquierapyq, llamaremos conjunción de ambas a
la proposición compuesta “pyq” y la notaremosp∧ q. Esta proposición será
únicamente en el caso de queambas proposiciones lo sean.
Esto implica que si p y q son ambas verdaderas entonces p ∧ q es verdad, Y que si al
menos una de las dos es falsa, entonces p ∧ q es falsa; por lo que su tabla de verdad
estaría dada por.
p q p ∧ q
V V V
V F F
F V F
F F F
2.- Disyunción:
Dadas dos proposiciones cualesquierapyq, llamaremos disyunción de ambas a
la proposición compuesta “p o q” y la notaremosp v q. Esta proposición será
si al menos una de las dos p o q los son.
Esto implica que si p o q son verdaderas entonces p v q es verdad, Y que si las dos
son falsas, entonces p v q es falsa; por lo que su tabla de verdad estaría dada por:
p q p v q
V V V
V F V
F V V
F F F

3.- Disyunción Exclusiva:
Dadas dos proposiciones cualesquierapyq, llamaremos disyunción exclusiva de
ambas a la proposición compuesta “p o q” pero no “ambos” y la notaremospv q. Esta
proposición será si al menos una de las dos p o q los son pero no ambas a
la vez.
Esto implica que si p o q son tienen distintos valores de verdad entonces p v q es
verdad, Y que si las dos son tienen los mismos valores de verdad, entonces p v q es
falsa; por lo que su tabla de verdad estaría dada por:
p q p v q
V V F
V F V
F V V
F F F
4.- Negación:
Dadas una proposición cualquierap, llamaremos “negación de p” a la
proposición compuesta “no p” y la notaremos¬p. Esta proposición será verdadera
cuando p sea falsa y será falsa cuando p sea verdadera.
Esto implica que el valor verdadero de la negación de cualquier proposición es
siempre opuesto al valor verdadero de la afirmación original. La tabla de verdad sería:
p ¬p
V F
F V
Tautologías y Contradicciones:
SeaP una proposición compuesta de las proposiciones simples p1,p2,p3,….pn
Es una Tautología (T) si es verdadera para todos los valores de verdad que se
asignen a p1,p2,p3,…pn
Es una Contradicción (C) si es falsa para todos los valores de verdad que se asignen
a p1,p2,p3,…pn
Una proposición que no es Tautología ni Contradicción se llama usualmente
Contingencia
Proposición Condicional:
Dadas dos proposiciones cualesquierapyq, llamaremos proposición condicional
a la proposición compuesta “si p entoncesq” y la notaremosp→ q.

A la “proposición p" se le llamará hipótesis y a la q tesis. Esta proposición será
falsa únicamente siendo verdad la hipótesis la tesis o conclusión es falsa. Por lo que
su tabla de verdad estaría dada por:
p q p→ q
V V V
V F F
F V V
F F V
Proposición bicondicional:
Dadas dos proposiciones cualesquierapyq, llamaremos proposición
bicondicional a la proposición compuesta “si y solo si q” y la notaremosp←→ q. Esta
será verdadera en los casos en que ambas p y q tengan los mismos valores de
verdad, y su tabla de verdad es la siguiente:
p q p←→ q
V V V
V F F
F V F
F F V
Implicaciones Lógicas más Comunes:
La tabla siguiente presenta algunas implicaciones lógicas con los nombres que
usualmente reciben.
Adición. P ⇒ 8 (PVQ)
Simplificación: (P ∧ Q) ⇒P
Ley del Modus Ponendo Ponens [(P→Q)∧P] ⇒Q
Ley del Modus Tollendo Tollens [(P→Q)∧¬Q] ⇒¬P
Leyes de los Silogismos Hipotéticos
[(P→Q) ∧ (Q→R)] ⇒ (P→R)
[(P←→Q) ∧ (Q←→R)] ⇒ (P←→R)
Leyes de los silogismos disyuntivos.
[¬P∧ (P∨Q)] ⇒Q [P∧ (¬P∨¬Q] ⇒¬Q
Ley del Dilema Constructivo.
[(P→Q) ∧ (R→S) ∧ (P∨R)]⇒ (Q∨S)
Contradicción.
(P→C)=⇒¬P

Equivalencias Lógicas más Comunes:
Al igual que en la implicación lógica, veamos una tabla con las equivalencias l
lógicas más útiles juntocon los nombres que reciben.
Idempotencia de la conjunción y la disyunción.
(P∧P)⇐⇒P
(P∨P)⇐⇒P
Conmutatividad de la conjunción y la disyunción.
(P∧Q)⇐⇒ (Q∧P)
(P∨Q)⇐⇒ (Q∨P)
Asociatividad de la conjunción y la disyunción. .
[(P∧Q) ∧R]⇐⇒ [P∧ (Q∧R)]
[(P∨Q) ∨R]⇐⇒ [P∨ (Q∨R)]
Distributividad de∧respecto de∨y de∨respecto de∧
[P∧ (Q∨R)]⇐⇒ [(P∧Q) ∨ (P∧R)]
[P∨ (Q∧R)]⇐⇒ [(P∨Q) ∧ (P∨R)]
Leyes de De Morgan.
¬ (P∨Q) ⇐⇒ (¬P∧¬Q)
¬ (P∧Q) ⇐⇒ (¬P∨¬Q)
Leyes de dominación.
P∨T⇐⇒T
P∧C⇐⇒C
Leyes de identidad.
P∧T⇐⇒P
P∨C⇐⇒P
Doble negación.
¬¬P⇐⇒P
Implicación.
(P→Q)⇐⇒ (¬P∨Q)
Exportación.
[P→ (Q→R)]⇐⇒ [(P∧Q) →R]
Contrarecíproca

(P→Q)⇐⇒ (¬Q→¬P)
Reducción al absurdo.
(P→Q)⇐⇒ [(P∧¬Q) →C]

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