Funciones Veritativas
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Este documento explica el concepto y uso de las tablas de verdad para determinar el valor de verdad de fórmulas proposicionales. Indica que las tablas de verdad muestran todas las posibles combinaciones de valores de verdad de las variables proposicionales para hallar la matriz principal que define la fórmula. Esta matriz puede ser tautológica, contradictoria o consistente dependiendo de su distribución de valores verdaderos y falsos. También explica cómo construir tablas de verdad para las funciones proposicionales básicas como
![ANÁLISIS MATRICIAL -I- CONSTRUIR LA MATRIZ DE LA SGT. FÓRMULA: [(p q)-> r] ↔ [p -> (q->r)] 1. Construyamos la matriz para esta fórmula de 3 proposiciones atómicas distintas. Consideremos 8 mundos posibles II. Señalemos la columna principal de toda la matriz con la ayuda de los signos de puntuación. III. Hallemos los valores de verdad de cada fórmula compleja recordando los valores de verdad dados para la conjunción, disyunción, condicional, etc. III. Determinemos si la matriz resultante es: tautológica, contradictoria o consistente. Será tautológica cuando la columna se encuentre llena de verdades, será contradictoria cuando se encuentre llena de falsedades, y será consistente, si contiene verdades y falsedades. Esto lo veremos después con más detalle.](https://image.slidesharecdn.com/funciones-veritativas-1222029439092568-8/85/Funciones-Veritativas-4-320.jpg)
![Notemos que la distribución de la verdades y falsedades es por mitades; si hay 8 mundos posibles, entonces, para el caso de la variable “ p ”, 4 de ellos serán verdades y los otros 4 serán falsedades. Hemos distribuido de 4 en 4. En el caso de la variable “ q ”, repartiremos la verdad y la falsedad de 2 en dos 2 con el fin de acaparar todas las posibilidades combinatorias. En el caso de la variable “ r ” hemos repartido la verdad y la falsedad de uno en uno. ANÁLISIS MATRICIAL -II- p q r [(p q) -> r] ↔ [(p -> (q -> r)] V V V V V V V V V V V V F V F F V V F F V F V F V V V V V V V F F F V F V V V V F V V F V V V F V V F V F F V F V F V F F F V F V V V F V V F F F F V F V F V V](https://image.slidesharecdn.com/funciones-veritativas-1222029439092568-8/85/Funciones-Veritativas-5-320.jpg)
![TABLAS DE VERDAD DE LAS FUNCIONES MOLECULARES BÁSICAS CONJUNCIÓN La conjunción es verdadera cuando las dos proposiciones que la componen son verdaderas. Simbólicamente se la define: p q= def. ~(~p ~q) Leamos la igualdad anterior. Lo que se está definiendo, es decir, la conjunción, será verdadera cuando p es verdadera y q es verdadera al mismo tiempo. Ahora fijémonos en lo que define, apliquemos nuestra lectura: la conjunción será falsa cuando al menos una de las dos proposiciones componentes sea falsa. DISYUNCIÓN DEBIL (DD) La DD o inclusiva únicamente es falsa cuando las dos proposiciones componentes son falsas. Simbólicamente se la define: p q=def. ~(~p ~q) La lectura es similar: lo que se está definiendo, a saber, la DD se define como una fórmula que es falsa cuando p y q son falsas a la vez (eso es lo que define o sirve para definir). Ahora fijémonos en la disyunción mismo ella será verdadera cuando al menos una de las proposiciones componentes lo sea. DISYUNCIÓN FUERTE (DF) La DF o exclusiva es falsa cuando sus dos proposiciones componentes son de igual valor veritativo. Esta función es totalmente opuesta a la bicondicional. Simbólicamente: p ↮ q =def ~ (p ↔ q) p ↮ q =def (p q) (~p ~q) Si tomamos en cuenta que: p↔q =def (p q) (~p ~q), podremos reemplazarla en la primera definición p ↮ q =def ~[(p q) (~p ~q)] (Reemplazando la bicondicional en la primera definición) Leamos la primera definición: la DF será falsa cuando al menos suceda una de las dos opciones: las dos proposiciones son verdaderas o las dos proposiciones son falsas. Ahora leamos la segunda: la DF será verdadera cuando suceda al mismo tiempo que al menos una de las dos proposiciones sea verdadera y que al menos una de las proposiciones sea falsa.](https://image.slidesharecdn.com/funciones-veritativas-1222029439092568-8/85/Funciones-Veritativas-7-320.jpg)
![TABLAS DE VERDAD DE LAS FUNCIONES MOLECULARES BÁSICAS CONDICIONAL La condicional es falsa cuando el antecedente es verdadero y el consecuente es falso. La definición simbólica es: p->q = def~(~p ~q) Si definimos la condicional en términos de la disyunción obtenemos otra lectura. p->q = def ~p q Para que la condicional sea verdadera basta que al menos una de los opciones sucedan que el antecedente sea falso y que el consecuente sea verdadero. BICONDICIONAL La bicondicional es verdadera cuando ambas proposiciones componentes tienen el mismo valor de verdad. Será falsa cuando ambas proposiciones tengan diferente valor de verdad p↔q =def (p q) (~p ~q) p↔q =def ~[ (~p ~q) (p q) ] Leamos la primera definición: la bicondicional será verdadera cuando al menos suceda una de las dos opciones: las dos proposiciones son verdaderas o las dos proposiciones son falsas. Ahora leamos la segunda definición: la bicondicional será falsa cuando suceda al mismo tiempo que al menos una de las dos proposiciones sea falsa y que al menos una de las proposiciones sea verdadera. NEGACIÓN La negación cumple la función de invertir del valor de verdad de una proposición. ~p=def~(p) ~p=def (~p) La negación es falsa cuando es verdadera la proposición que niega. Y es verdadera cuando es falsa la proposición que niega](https://image.slidesharecdn.com/funciones-veritativas-1222029439092568-8/85/Funciones-Veritativas-8-320.jpg)
![EJEMPLO DE APLICACIÓN Aplique el método abreviado: [p (p->q)]->q Supongamos que el conector de mayor jerarquía, es decir, -> , es falso. Pero sabemos que cuando una condicional es falsa su antecedente es verdadero y su consecuente es falso. Si esto así, entonces q deberá ser falso. O sea, q=F Además, [p (p->q)] tendrá que ser verdadero. Pero sabemos que una conjunción es verdadera únicamente cuando sus componentes son verdaderas. De ahí que p tenga que ser verdadero (p=V) y (p->q) tenga que ser también verdadero . Pero si p=V y q=F, (p->q) debería ser falso . Hemos llegado a una contradicción. Podemos concluir que suponiendo que toda la fórmula es falsa, se llega a una contradicción, lo cual prueba que no hay ningún mundo en el cual la fórmula sea falsa, es decir, el esquema analizado es una tautología pues resulta verdadera en todos los mundos posibles.](https://image.slidesharecdn.com/funciones-veritativas-1222029439092568-8/85/Funciones-Veritativas-12-320.jpg)
![EJEMPLO DE MAYOR NIVEL La siguiente fórmula: [p->(q r)] -> [(s↔q) (~s ↮ r)] ¿es tautológica o contradictoria? Supongamos que su operador principal, es decir, ->, es falso. De ahí, por tablas de verdad se infiere que antecedente será verdadero y que el consecuente será falso. Veamos el consecuente. La disyunción débil es falsa cuando sus dos proposiciones componentes son falsas. Por ello, (s↔q) será falso y (~s ↮ r) será falso. Y por la tabla de verdad del bicondicional el valor de s y q serán diferentes. Por otra parte, por tabla de verdad de la disyunción fuerte el valor de ~s y r serán iguales. De ahí se deduce que los valores de q y r son iguales, o sea q=r. Las proposiciones q y r pueden ser ambas falsas o ambas verdaderas. Sabemos que los valores de verdad de s y q son opuestos. Si s fuese verdadero, luego q será falso y en vista de que q=r también r será falso. En este caso, el antecedente que es verdadero podría no serlo ya que p podría ser verdadero. Concluimos que por ser posible una contradicción no es el caso que el operador principal sea falso en todos los mundos posibles. La pregunta es ¿podemos inferir que sea una tautología? Y la respuesta es no, pues falta analizar qué pasaría si los valores de s y q fueran otros. Si s fuese falso, luego q sería verdadero, y, por lo tanto, también r es verdadero. En este caso, el antecedente se mantendría verdadero sin importar el valor de p. Concluimos que el operador principal tiene al menos un caso en el que resulta falso. RESPUESTA: No es ni tautológica ni contradictoria sino que es consistente o contingente.](https://image.slidesharecdn.com/funciones-veritativas-1222029439092568-8/85/Funciones-Veritativas-13-320.jpg)
![EJERCICIOS I. Determine si los siguientes esquemas son tautológicos, consistentes o contradictorios: 1. [p->(q r)] -> [(s↔q) (~s↔r)] 2. {[(p q)->~r] (~r->s)}->[(p q)->s] 3. [(p->~r)->(r->s)]->~[(s↔q) ~p] 4. [(~r↔q) ~(p↔r)]->(p->q) II. Simbolice los siguientes argumentos y luego por el método abreviado halle su valor veritativo. 5. Si el candidato es demagogo, no tendrá éxito. Deduzco que sufrirá una censura, si recordamos que o bien tiene éxito o bien sufre una censura, y el candidato es demagogo. 6. No es cierto que Pizarro conquistó el Perú y no fue español, dado que Pizarro conquistó el Perú si y solo si no fue marino pero fue español 7. O no ganaste el concurso o no conseguiste un empleo, pues es cierto que no vendes tu casa ni ganas el concurso y consigues un empleo; y tú vendiste tu casa.](https://image.slidesharecdn.com/funciones-veritativas-1222029439092568-8/85/Funciones-Veritativas-14-320.jpg)
Funciones Veritativas
- 2. LA TABLA DE VERDAD (T. V.) Es un gráfico que nos permite establecer el valor de verdad del esquema o fórmula proposicional, considerando todas las combinaciones posibles, entre los valores de verdad de las variables que lo componen y de la regla del operador respectivo. La tabla de verdad permite hallar la matriz principal que define al esquema proposicional. Por ejemplo, si esta matriz resulta tautológica, es decir, en todos los mundos posibles es verdadero el operador principal, el razonamiento dado será valido.
- 3. DETALLES DE LA T. V. Las combinaciones, o arreglos del margen pueden armarse siguiendo diversos criterios. El más común es el de empezar por distribuir verdades y falsedades en orden y de 4 en 4 para la primera variable, para luego distribuirlos de 2 en 2 para la segunda variable, y así sucesivamente. El número de estas filas o arreglo queda establecido por los valores de verdad y el número de variables, mediante la siguiente fórmula: 2 n , donde la base representa el número de valores de verdad y el exponente el número de variables que intervienen en el esquema molecular. Ej: 2 1 , tendremos 2 arreglos, 2 3 , tendremos 8 arreglos.
- 4. ANÁLISIS MATRICIAL -I- CONSTRUIR LA MATRIZ DE LA SGT. FÓRMULA: [(p q)-> r] ↔ [p -> (q->r)] 1. Construyamos la matriz para esta fórmula de 3 proposiciones atómicas distintas. Consideremos 8 mundos posibles II. Señalemos la columna principal de toda la matriz con la ayuda de los signos de puntuación. III. Hallemos los valores de verdad de cada fórmula compleja recordando los valores de verdad dados para la conjunción, disyunción, condicional, etc. III. Determinemos si la matriz resultante es: tautológica, contradictoria o consistente. Será tautológica cuando la columna se encuentre llena de verdades, será contradictoria cuando se encuentre llena de falsedades, y será consistente, si contiene verdades y falsedades. Esto lo veremos después con más detalle.
- 5. Notemos que la distribución de la verdades y falsedades es por mitades; si hay 8 mundos posibles, entonces, para el caso de la variable “ p ”, 4 de ellos serán verdades y los otros 4 serán falsedades. Hemos distribuido de 4 en 4. En el caso de la variable “ q ”, repartiremos la verdad y la falsedad de 2 en dos 2 con el fin de acaparar todas las posibilidades combinatorias. En el caso de la variable “ r ” hemos repartido la verdad y la falsedad de uno en uno. ANÁLISIS MATRICIAL -II- p q r [(p q) -> r] ↔ [(p -> (q -> r)] V V V V V V V V V V V V F V F F V V F F V F V F V V V V V V V F F F V F V V V V F V V F V V V F V V F V F F V F V F V F F F V F V V V F V V F F F F V F V F V V
- 6. LA VERDAD Asumiremos que la verdad es un predicado que se aplica a las proposiciones. Por ejemplo: “ La nieve es blanca” es verdadera ¿Qué es lo que implica que alguna oración sea verdadero? Implica que esa oración tiene un contenido que se da en la realidad o que se corresponde con ella. En el ejemplo anterior si la oración “la nieve es blanca” es verdadera, entonces efectivamente en la realidad podemos ver que la nieve es blanca. Pero si tuviéramos la oración “Los triángulos son cuadrados” y dijéramos que esta es falsa ¿Qué implicaría esto? Implicaría que su contenido no se da en la realidad o que sus conceptos se contradicen. En el ejemplo anterior si la oración “Los triángulos son cuadrados” es falsa, entonces resulta que los triángulos no son cuadrados. De igual manera, partiendo de un hecho de la realidad (real o conceptual) podemos obtener una oración verdadera o falsa. Ejemplo: Lima es la capital del Perú implica que la oración “Lima es la capital del Perú” es verdadera. 2+3 no es 4 implica que la oración “2+3=4” es falsa. En términos formales: si p es verdadero entonces p y si p entonces p es verdadero. Es decir, (p es verdadero -> p) (p -> p es verdadero). O equivalentemente: p es verdadero si y solo si p. O sea, p es verdadero ↔ p Igualmente sucede con la falsedad: si p es falso entonces ~p y si ~p entonces p es falso. Es decir, (p es falso -> p) (~p->p es falso). O equivalentemente: p es falso si y solo si ~p. O sea, p es falso ↔ ~p En vista de esto, cada vez que veamos p, podremos leerla como p es verdadero, y por el contrario cada vez que veamos ~p, podremos leerla como p es falso.
- 7. TABLAS DE VERDAD DE LAS FUNCIONES MOLECULARES BÁSICAS CONJUNCIÓN La conjunción es verdadera cuando las dos proposiciones que la componen son verdaderas. Simbólicamente se la define: p q= def. ~(~p ~q) Leamos la igualdad anterior. Lo que se está definiendo, es decir, la conjunción, será verdadera cuando p es verdadera y q es verdadera al mismo tiempo. Ahora fijémonos en lo que define, apliquemos nuestra lectura: la conjunción será falsa cuando al menos una de las dos proposiciones componentes sea falsa. DISYUNCIÓN DEBIL (DD) La DD o inclusiva únicamente es falsa cuando las dos proposiciones componentes son falsas. Simbólicamente se la define: p q=def. ~(~p ~q) La lectura es similar: lo que se está definiendo, a saber, la DD se define como una fórmula que es falsa cuando p y q son falsas a la vez (eso es lo que define o sirve para definir). Ahora fijémonos en la disyunción mismo ella será verdadera cuando al menos una de las proposiciones componentes lo sea. DISYUNCIÓN FUERTE (DF) La DF o exclusiva es falsa cuando sus dos proposiciones componentes son de igual valor veritativo. Esta función es totalmente opuesta a la bicondicional. Simbólicamente: p ↮ q =def ~ (p ↔ q) p ↮ q =def (p q) (~p ~q) Si tomamos en cuenta que: p↔q =def (p q) (~p ~q), podremos reemplazarla en la primera definición p ↮ q =def ~[(p q) (~p ~q)] (Reemplazando la bicondicional en la primera definición) Leamos la primera definición: la DF será falsa cuando al menos suceda una de las dos opciones: las dos proposiciones son verdaderas o las dos proposiciones son falsas. Ahora leamos la segunda: la DF será verdadera cuando suceda al mismo tiempo que al menos una de las dos proposiciones sea verdadera y que al menos una de las proposiciones sea falsa.
- 8. TABLAS DE VERDAD DE LAS FUNCIONES MOLECULARES BÁSICAS CONDICIONAL La condicional es falsa cuando el antecedente es verdadero y el consecuente es falso. La definición simbólica es: p->q = def~(~p ~q) Si definimos la condicional en términos de la disyunción obtenemos otra lectura. p->q = def ~p q Para que la condicional sea verdadera basta que al menos una de los opciones sucedan que el antecedente sea falso y que el consecuente sea verdadero. BICONDICIONAL La bicondicional es verdadera cuando ambas proposiciones componentes tienen el mismo valor de verdad. Será falsa cuando ambas proposiciones tengan diferente valor de verdad p↔q =def (p q) (~p ~q) p↔q =def ~[ (~p ~q) (p q) ] Leamos la primera definición: la bicondicional será verdadera cuando al menos suceda una de las dos opciones: las dos proposiciones son verdaderas o las dos proposiciones son falsas. Ahora leamos la segunda definición: la bicondicional será falsa cuando suceda al mismo tiempo que al menos una de las dos proposiciones sea falsa y que al menos una de las proposiciones sea verdadera. NEGACIÓN La negación cumple la función de invertir del valor de verdad de una proposición. ~p=def~(p) ~p=def (~p) La negación es falsa cuando es verdadera la proposición que niega. Y es verdadera cuando es falsa la proposición que niega
- 9. LAS FUNCIONES DE VERDAD A B A B A B A -> B A ↔ B A ↮ B ~A V V V V V V F F V F F V F F V F F V F V V F V V F F F F V V F V
- 10. CLASIFICACIÓN DE LAS FUNCIONES PROPOSICIONALES Considerando la distribución de los valores de verdadero y falso, en la matriz principal de la tabla de verdad de las fórmulas proposicionales, éstas se clasifican en: tautológicas, contingentes y contradictorias. Fórmulas proposicionales tautológicas (T). Son aquellas cuya matriz principal contiene únicamente valores de verdadero. Fórmulas proposicionales contingentes o consistentes (Q). Son aquellas cuya matriz principal contiene tanto valores de verdadero como de falso. Fórmulas proposicionales contradictorias ( ). Son aquellas cuya matriz principal contiene únicamente valores de falso.
- 11. MÉTODO ABREVIADO Es un método que abrevia la elaboración de la tabla de verdad. Consiste en los siguientes pasos: 1. Suponemos que el operador principal de la fórmula es falso o verdadero. 2. Elegimos alternativas de asignación de valores que permitan que se cumpla o no este supuesto en todo el esquema, respetando la jerarquía de los operadores. 3. Si se cumple la suposición, o sea no hay incoherencias veritativas, cuando menos hay un caso de falso o de verdadero en la tabla de verdad, y por ende el esquema no será tautológico o no será contradictorio respectivamente. (En el primer caso faltaría descartar si la función proposicional es contradictoria o consistente; en el segundo caso, si es tautológica o consistente) 4. Si no se cumple dicha suposición, es decir, si se halla una contradicción, podemos concluir que no hay ni un solo caso de falso o de verdadero, y que, por lo tanto, la fórmula será tautológica o contradictoria, respectivamente. 5. Por último, si el esquema no presenta incoherencias bajo ninguno de los 2 presupuestos básicos (que la fórmula sea verdadera o falsa), entonces no es ni tautológico ni contradictorio. Esto implicará que sea contingente o consistente.
- 12. EJEMPLO DE APLICACIÓN Aplique el método abreviado: [p (p->q)]->q Supongamos que el conector de mayor jerarquía, es decir, -> , es falso. Pero sabemos que cuando una condicional es falsa su antecedente es verdadero y su consecuente es falso. Si esto así, entonces q deberá ser falso. O sea, q=F Además, [p (p->q)] tendrá que ser verdadero. Pero sabemos que una conjunción es verdadera únicamente cuando sus componentes son verdaderas. De ahí que p tenga que ser verdadero (p=V) y (p->q) tenga que ser también verdadero . Pero si p=V y q=F, (p->q) debería ser falso . Hemos llegado a una contradicción. Podemos concluir que suponiendo que toda la fórmula es falsa, se llega a una contradicción, lo cual prueba que no hay ningún mundo en el cual la fórmula sea falsa, es decir, el esquema analizado es una tautología pues resulta verdadera en todos los mundos posibles.
- 13. EJEMPLO DE MAYOR NIVEL La siguiente fórmula: [p->(q r)] -> [(s↔q) (~s ↮ r)] ¿es tautológica o contradictoria? Supongamos que su operador principal, es decir, ->, es falso. De ahí, por tablas de verdad se infiere que antecedente será verdadero y que el consecuente será falso. Veamos el consecuente. La disyunción débil es falsa cuando sus dos proposiciones componentes son falsas. Por ello, (s↔q) será falso y (~s ↮ r) será falso. Y por la tabla de verdad del bicondicional el valor de s y q serán diferentes. Por otra parte, por tabla de verdad de la disyunción fuerte el valor de ~s y r serán iguales. De ahí se deduce que los valores de q y r son iguales, o sea q=r. Las proposiciones q y r pueden ser ambas falsas o ambas verdaderas. Sabemos que los valores de verdad de s y q son opuestos. Si s fuese verdadero, luego q será falso y en vista de que q=r también r será falso. En este caso, el antecedente que es verdadero podría no serlo ya que p podría ser verdadero. Concluimos que por ser posible una contradicción no es el caso que el operador principal sea falso en todos los mundos posibles. La pregunta es ¿podemos inferir que sea una tautología? Y la respuesta es no, pues falta analizar qué pasaría si los valores de s y q fueran otros. Si s fuese falso, luego q sería verdadero, y, por lo tanto, también r es verdadero. En este caso, el antecedente se mantendría verdadero sin importar el valor de p. Concluimos que el operador principal tiene al menos un caso en el que resulta falso. RESPUESTA: No es ni tautológica ni contradictoria sino que es consistente o contingente.
- 14. EJERCICIOS I. Determine si los siguientes esquemas son tautológicos, consistentes o contradictorios: 1. [p->(q r)] -> [(s↔q) (~s↔r)] 2. {[(p q)->~r] (~r->s)}->[(p q)->s] 3. [(p->~r)->(r->s)]->~[(s↔q) ~p] 4. [(~r↔q) ~(p↔r)]->(p->q) II. Simbolice los siguientes argumentos y luego por el método abreviado halle su valor veritativo. 5. Si el candidato es demagogo, no tendrá éxito. Deduzco que sufrirá una censura, si recordamos que o bien tiene éxito o bien sufre una censura, y el candidato es demagogo. 6. No es cierto que Pizarro conquistó el Perú y no fue español, dado que Pizarro conquistó el Perú si y solo si no fue marino pero fue español 7. O no ganaste el concurso o no conseguiste un empleo, pues es cierto que no vendes tu casa ni ganas el concurso y consigues un empleo; y tú vendiste tu casa.
- 15. BIBLIOGRAFÍA GARCÍA, Ó. (2007) Lógica. Lima: UNMSM. PISCOYA, L. (1997) Lógica. Lima: UNMSM. REA RAVELLO, B. (2003) Introducción a la Lógica. Lima: Mantaro.