![INTEGRAL DEFINIDA
Si a la expresión obtenida para la suma de Riemann le tomamos el límite ya que
k =1, 2, 3, 4, 5,....,..n y existe, es decir podemos definir la integral definida de F
desde a hasta b por donde "a" representa el límite inferior y "b" el límite superior de la
integral. Observando la definición de los términos de la integral definida, observamos
que F(bk) es la altura del rectángulo que llamamos partición y Dxk es el ancho del
rectángulo de tal manera que su producto no es más que el área del rectángulo y después de
sumar cada una de estas mismas, obtendremos dicha área bajo la curva, siendo F(x), en el
intervalo dado [a, b].](https://image.slidesharecdn.com/calculo-resumen-130126170306-phpapp01/85/Calculo-resumen-4-320.jpg)
![TEOREMA DEL VALOS MEDIO PARA INTEGRALES
Este teorema es importante porque asegura que una función continua en un
intervalo cerrado alcanza su valor promedio al menos en un punto
•Si f es continua en el intervalo cerrado [a, b], existe un número c en este
intervalo tal que
f(c)(b - a) =
Demostración:
Primer caso: Si f es constante en el intervalo [a, b] el resultado es trivial puesto que c
puede ser cualquier punto.
Segundo caso: Si f no es constante en [a, b] elegimos m y M como el menor y mayor
valor que toma f en el intervalo. Dado que m £ f(x) £ M " x Î [a, b] por el teorema de
conservación de desigualdades. Aplicando propiedades:
m(b - a) M(b - a) entonces m M.
Dado que f es continua el teorema del valor intermedio asegura que f alcanza cada
valor entre su mínimo y su máximo. Por lo tanto permite deducir que debe alcanzar
el valor en algún punto c del intervalo. [a, b]. Queda demostrado que existe algún c
tal que f(c) = .](https://image.slidesharecdn.com/calculo-resumen-130126170306-phpapp01/85/Calculo-resumen-5-320.jpg)
Calculo. resumen
- 1. UNIVERSIDAD FERMIN TORO VICE-RECTORADO ACADEMICO FACULTAD DE INGENIERIA INTEGRAL DEFINIDA. RESUMEN INTEGRANTE GOMES IANNE C.I. 23.903.552 PROF: DOMINGO MENDEZ SAIA
- 2. LA INTEGRAL DEFINIDA Una sumatoria indica la suma de una serie de términos que corresponden a una Expresión algebraica. La sumatoria se denota mediante la letra griega sigma (∑) Donde "n" es un entero y representa el índice superior. El índice inferior puede comenzar en cualquier entero y el índice superior siempre será mayor o igual que el inferior. La expresión que aparece delante del símbolo de sumatoria, siempre contendrá a la variable, en este caso es "Xk". Esta expresión queda de esta manera: De esta manera se sustituyen los valores, como K=1 y nos piden Xk, se sustituye la K por el 1. Y la “n” que seria el número 6, es la cantidad de veces que se repetiría la X.
- 3. PROPIEDADES Las propiedades son muy útiles para desarrollar expresiones que nos permiten calcular áreas limitadas por curvas planas. SUMA SUPERIOR E INFERIOR Área bajo la curva Para calcular el área bajo la curva, , donde, y el intervalo continua cerrado X=a, X=b y el eje “X” se podría dividir en polígonos. Se calcula el área de cada polígono y la suma será un valor aproximado al área real. En la Fig. 1, se pueden En la Fig. 2, se observar 2 polígonos, observa que hay 9 y al calcular el área de polígonos y la parte cada uno, se observa que no nos importa es que uno de los menor que cuando polígonos no pertenece tomamos 2 polígonos. al área buscada, es Esto nos indica que a decir, que dicho mayor numero de polígono es una polígonos “n” mas es aproximación al área la aproximación al real. área real. Si el número de polígonos es muy grande, el área que se calculó es justamente el área buscada.
- 4. INTEGRAL DEFINIDA Si a la expresión obtenida para la suma de Riemann le tomamos el límite ya que k =1, 2, 3, 4, 5,....,..n y existe, es decir podemos definir la integral definida de F desde a hasta b por donde "a" representa el límite inferior y "b" el límite superior de la integral. Observando la definición de los términos de la integral definida, observamos que F(bk) es la altura del rectángulo que llamamos partición y Dxk es el ancho del rectángulo de tal manera que su producto no es más que el área del rectángulo y después de sumar cada una de estas mismas, obtendremos dicha área bajo la curva, siendo F(x), en el intervalo dado [a, b].
- 5. TEOREMA DEL VALOS MEDIO PARA INTEGRALES Este teorema es importante porque asegura que una función continua en un intervalo cerrado alcanza su valor promedio al menos en un punto •Si f es continua en el intervalo cerrado [a, b], existe un número c en este intervalo tal que f(c)(b - a) = Demostración: Primer caso: Si f es constante en el intervalo [a, b] el resultado es trivial puesto que c puede ser cualquier punto. Segundo caso: Si f no es constante en [a, b] elegimos m y M como el menor y mayor valor que toma f en el intervalo. Dado que m £ f(x) £ M " x Î [a, b] por el teorema de conservación de desigualdades. Aplicando propiedades: m(b - a) M(b - a) entonces m M. Dado que f es continua el teorema del valor intermedio asegura que f alcanza cada valor entre su mínimo y su máximo. Por lo tanto permite deducir que debe alcanzar el valor en algún punto c del intervalo. [a, b]. Queda demostrado que existe algún c tal que f(c) = .
- 6. TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CALCULO El teorema fundamental del cálculo es el teorema más importante y alcanza el nivel de uno de los más grandes logros de la mente humana. Antes de ser descubierto, desde los tiempos de Eudoxo y Arquímedes, hasta la época de Galileo y Fermat, los problemas de hallar áreas, volúmenes y longitudes de curvas eran tan difíciles que sólo un genio podía vencer el reto. Pero ahora, armados con el método sistemático que Newton y Leibniz moldearon como el teorema fundamental, es posible resolver muchos problemas. Este teorema recibe este nombre porque establece una conexión entre las dos ramas del cálculo: el cálculo diferencial y el cálculo integral. El primero, sabemos que surgió del problema de la tangente, mientras que, el cálculo integral lo hizo de un problema en apariencia no relacionado como lo es el problema del área. Fue el profesor de Newton en Cambridge, Isaac Barrow (1630–1677) quien descubrió que estos problemas están íntimamente relacionados. Se dio cuenta que la derivación y la integración son procesos inversos. El teorema fundamental del cálculo da la relación inversa precisa entre la derivada y la integral, Newton y Leibniz explotaron esta relación y la usaron para desarrollar el cálculo en un método matemático sistemático. El descubrimiento de esta asombrosa relación constituye uno de los logros matemáticos más importantes de la historia mundial. Se puede decir que es importante porque nos provee de una herramienta poderosa para evaluar integ definidas. Su más profundo significado es que sirve de eslabón entre la derivación y la integración, entre derivadas e integrales. Este eslabón aparece claramente cuando escribimos siendo F(x) una primitiva de f(x).
- 7. SUSTITUCION Y CAMBIO DE VARIABLE El método de integración por sustitución o cambio de variable se basa en la derivada de la función compuesta. Para cambiar de variable identificamos una parte de lo que se va a integrar con una nueva variable t, de modo que se obtenga una integral más sencilla. Pasos para integrar por cambio de variable 1º Se hace el cambio de variable y se diferencia en los dos términos: Se despeja u y dx, sustituyendo en la integral: 2º Si la integral resultante es más sencilla, integramos: 3º Se vuelve a la variable inicial: