Calculo vectorial

CALCULO VECTORIAL
.
E:E: KASSIR
.

Universidad Nacional de Colombia.

Bogotá, enero de 2009.

ÍNDICE GENERAL

Introducción VII

1. GEOMETRIA DEL ESPACIO EUCLIDIANO 1
1.1. El espacio vectorial Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2. Subespacios de Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.3. Producto punto y ortogonalidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.4. Transformaciones lineales y matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.5. Producto vectorial, rectas y planos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.6. Super…cies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
1.7. Coordenadas cilindricas y coordenadas esfericas . . . . . . . . . . . . . . . 35
1.8. Conceptos básicos de topologia en Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

2. FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES 49
2.1. Funciones de variable real y valor vectorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
2.2. Aplicaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
2.3. Campos escalares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
2.4. Geometría de campos escalares. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
2.5. Funciones vectoriales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
2.6. Limites y continuidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
2.7. Derivadas parciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
2.8. Derivadas direccionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

3. DIFERENCIABILIDAD 105
3.1. La diferencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
3.2. Gradiente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
3.3. Regla de la cadena . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
3.4. Funciones implicitas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
3.5. Máximos y mínimos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
3.6. Multiplicadores de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136

iii

iv ÍNDICE GENERAL

4. INTEGRALES MULTIPLES 149
4.1. Integrales dobles sobre rectángulos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
4.2. Integral doble sobre regiones generales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
4.3. Cambio de coordenadas en integrales dobles. . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
4.4. Aplicaciones de las integrales dobles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176
4.5. Integrales triples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180
4.6. Cambio de coordenadas en integrales triples . . . . . . . . . . . . . . . . . 185
4.7. Aplicaciones de las integrales triples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193

5. INTEGRALES DE LINEA 205
5.1. Integral de línea de campos escalares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206
5.2. Aplicaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212
5.3. Integral de lìnea de campos vectoriales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216
5.4. Trabajo, ‡ y circulación. . . . . . . . . . . .
ujo . . . . . . . . . . . . . . . 219
5.5. Teorema fundamental del cálculo para integrales de lìnea. . . . . . . . . . . 221
5.6. Teorema de Green . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228

6. INTEGRALES DE SUPERFICIE 241
6.1. Super…cies paramétrizadas y áreas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242
6.2. Integrales de super…cie de campos escalares . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249
6.3. Integrales de super…cie de campos vectoriales . . . . . . . . . . . . . . . . . 252
6.4. Teorema de Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255
6.5. Teorema de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260

A. Apendice 271

Afterword 273

CAPÍTULO 1

GEOMETRIA DEL ESPACIO EUCLIDIANO

Es el mejor de los buenos
quien sabe que en esta vida
todo es cuestión de medida:
un poco más, algo menos...
A. MACHADO, CXXVI
"Proverbios y cantares", XII

1

2 CAPÍTULO 1. GEOMETRIA DEL ESPACIO EUCLIDIANO

En los cursos anteriores de cálculo se consideraron funciones de variable real y valor real,
o sea funciones de…nidas sobre subconjuntos de la recta real. El cálculo vectorial considera
funciones de…nidas en espacios vectoriales euclidianos. Sin embargo muchas aplicaciones
prácticas requieren de la rica estructura geométrica del espacio euclidiano.
En este capítulo se tratará el espacio euclidiano en detalle, como una condición para
poder iniciar un curso básico de cálculo para funciones de varias variables. La belleza y la
potencia del álgebra lineal se vera con mayor claridad cuando visualisemos Rn como un
espacio vectorial. El estudio de los espacios vectoriales no es tan diferente del estudio de
Rn , ya que a partir de la geometria en R2 y R3 podemos visualizar muchos conceptos. Se
inicia con los conceptos de punto y vector en Rn , coordenadas, planos coordenados hasta
llegar a la topología básica de Rn .

1.1. El espacio vectorial Rn
El conjunto Rn es la coleción de todas las n-tuplas ordenadas de números reales y esta
determinado por Rn = f(x1 ; x2 ; :::; xn )jxi 2 Rg:Recordando que el producto cartesiano de
los conjuntos A y B no vacios es por de…nición el conjunto A B de parejas ordenadas
(a; b) tales que a 2 A y b 2 B, podemos ver que Rn es el producto cartesiano R R ::: R
(n veces).
La idea de emplear un número para situar un punto sobre una recta fue conocida por
los griegos. En 1637 Rene Descartes 1 utilizo un par de números para situar un punto en el
plano y una terna de números para situar un punto en el espacio. En el siglo Arthur Cayley
y H.G. Grassman extendierón esta idea a n-tuplas de números reales. La representación
geométrica de R, es el conjunto de los puntos P de una recta identi…cados mediante
un único número real x, luego de determinar una unidad de longitud. De igual forma
la representación geométrica de R2 , es el conjunto puntos P de un plano identi…cados
mediante una única pareja ordenada de números reales (x1 ; x2 ), escogiendo un punto …jo
0 llamado origen y dos rectas dirigidas que pasan por 0 y son perpendiculares llamadas
1

René Descartes. Nacio el 31 de marzo de 1596 en La Haye (Touraine) actual
Descartes y murio el 11 de febrero, de 1650 en Estocolmo Considerado el primer
…lósofo moderno, utilizó la ciencia y las matemáticas para explicar y pronosticar
acontecimientos en el mundo físico. Su famosa frase Çogito, ergo sum"("Pienso,
luego existo") fue el punto de partida que le llevó a investigar las bases del
conocimiento. Lo inquietaron los métodos de los geómetras griegos para llegar a
sus ingeniosas pruebas y se propuso corregirlos mediante el manejo de líneas y
…guras tridimensionales en una grá…ca. Dibujaba la grá…ca marcando unidades
en una línea horizontal (eje x) y una línea vertical (eje y); así, cualquier pun-
to de la grá…ca podía describirse con dos números. Aunque conservaba las reglas
de la geometría euclidiana, combinaba el álgebra y la geometría, consideradas en-
tonces como independientes, para formar una nueva disciplina matemática llamada
geometría analítica.

1.1. EL ESPACIO VECTORIAL RN 3

ejes de coordenadas x1 y x2 , aunque es más familiar usar para los puntos y los ejes x y
y, en lugar de x1 y x2 . Los dos ejes de coordenadas dividen el plano cartesiano en cuatro
partes llamadas cuadrantes. Las coordenadas cartesianas del punto P estan formadas por
la pareja ordenada (a; b) en donde a se denomina abscisa y es la distancia perpendicular
dirigida de P al eje x, luego su proyección en el eje x es un punto Q(a; 0), y b se denomina
ordenada y es la distancia perpendicular dirigida de P al eje y, luego su proyección en
el eje y es un punto R(0; b). Tambien la representación geométrica de R3 , es el conjunto
puntos P del espacio identi…cados mediante una única terna ordenada de números reales
(x1 ; x2 ; x3 ), escogiendo un punto …jo 0 llamado origen y tres rectas dirigidas que pasan
por 0 y son perpendiculares entre si, llamadas ejes de coordenadas x1 ; x2 y x3 ;aunque es
más familiar usar para los puntos y los ejes x, y y z, en lugar de x1 , x2 y x3 . Los tres
ejes de coordenadas determinan tres planos coordenados xy (o z = 0), xz (o y = 0 ) y
yz (o x = 0), que dividen el espacio en ocho partes llamadas octantes. Para un punto
P (a; ; b; c), a, b y c son las distancias dirigidas del punto P a los planos coordenados xy,
xz y yx respectivamente y su proyección en estos planos son los puntos (a; 0; 0), (0; b; 0) y
(0; 0; c) obtenidolos en forma geometrica trazando una perpendicular desde el punto hasta
el plano coordenado. Aunque no se puedan gra…car todos los casos, es posible imaginar la
representación geometrica Rn , como el conjunto de puntos P en Rn identi…cados mediante
una n-tupla ordenada de números reales (x1 ; x2 ; :::; xn ),.xi se denomina coordenada i-esima
o la componente i-esima de P . Se adoptara la convencion de usar letras en negrita para
denotar n-tuplas en y letras ordinarias para denotar simplemente numéros reales.

El conjunto Rn está dotado de dos operaciones algebraicas suma y producto por escalar.
Dados dos puntos X = (x1 ; x2 ; :::; xn ) y Y = (y1 ; y2 ; :::; yn ) de Rn ; su suma X + Y esta
de…nida por X + Y = (x1 ; x2 ; :::; xn )+ (y1 ; y2 ; :::; yn ) = (x1 + y1 ; x2 + y2 ; :::; xn + yn ) y dado
k 2 R, el multiplo escalar kX esta de…nido por, kX = k(x1 ; x2 ; :::; xn ) = (kx1 ; kx2 ; :::; kxn ),
geometricamente kX es una translación del punto X.

Ejemplo 1.1.1 Si P (2; 1; 3) y Q(0; 1; 1) entonces:
P + Q = (2; 1; 3) + (0; 1; 1) = (2 + 0; 1 1; 3 + 1) = (2; 0; 2),
P Q = (2; 1; 3) (0; 1; 1) = (2 0; 1 + 1; 3 1) = (2; 2; 4),
2P = 2(2; 1; 3) = (4; 2; 6)
5Q = 5(0; 1; 1) = (0; 5; 5)


Frecuentemente los elementos de Rn se denominan vectores. Ademas un vector es sim-
plemente una n- tupla ordenada de números reales representado por P Q donde P y Q son
puntos de Rn , tales que P es el punto inicial de v y Q es el punto …nal de v, numericamente
v = [qi pi ] para i = 1; 2; ::::n. Si P = 0 se dice que v esta anclado en el origen y v de
denomina vector posición del punto P:

Notación 1 v = [vi ] con i = 1; 2; 3; :::; n

Diferentes representaciones del vector [1; 2]

Geometricamente v + w

Geometricamente kv

Ejemplo 1.1.2 El vector v con punto inicial P (2; 3; 1) y punto …nal Q( 1; 1; 2) es igual
a v = [( 1; 1; 2) (2; 3; 1)] = [ 1 2; 1 3; 2 1] = [ 3; 2; 1]

Dos vectores v y w son iguales si vi = wi para todo i = 1; 2; ::::n y dos vectores
son equivalentes si tienen igual dirección, longitud y sentido, sin importar la posición que
tengan. Igual que en puntos el conjunto de vectores de Rn está dotado de dos operaciones
algebraicas, llamadas suma vectorial y producto por escalar, dados dos vectores v =
[v1 ; v2 ; :::; vn ] y w = [w1 ; w2 ; :::; wn ] de Rn ; su suma v + w esta de…nida por, v + w =
[v1 ; v2 ; :::; vn ] + [w1 ; w2 ; :::; wn ] = [v1 + w1 ; v2 + w2 ; :::; vn + wn ] y dado k 2 R, el multiplo


escalar kv esta de…nido por kv = [kv1 ; kv2 ; :::; kvn ]. El número real k se denomina escalar.
Geometricamente v y kv son paralelos, si k es positivo entonces kv tiene igual dirección
y sentido que v y si k es negativo kv tiene igual dirección y sentido contrario que v.
Nota: v w es una abreviación de v + ( w) y ( w) es una abreviación de ( 1)w

Ejemplo 1.1.3 Si v = [4; 2; 1; 0] y w = [2; 0; 1; 1] entonces
v + w = [4; 2; 1; 0] + [2; 0; 1; 1] = [4 + 2; 2 + 0; 1 1; 0 + 1] = [6; 2; 0; 1],
v w = [4; 2; 1; 0] [2; 0; 1; 1] = [4 2; 2 0; 1 + 1; 0 1] = [2; 2; 2; 1],
4v = 4[4; 2; 1; 0] = [16; 8; 4; 0]
2w = 2[2; 0; 1; 1] = [ 4; 0; 2; 2]

Ejemplo 1.1.4 Para que valores de k los vectores [ 3; 5] y [k ; 10 ] son iguales.
Por igualdad de vectores 3 = k y 5 = 10 ;
1 1
como = 2 entonces 3 = k luego k = 6
2

Un espacio vectorial es un conjunto V no vacio con dos aplicaciones + : V V ! V
y : R V ! V V , tal que para todo v; w; u de V satisface las siguientes propiedades.
(i) v + w 2 V
(ii) (v + w) + u = v + (w + u)
(iii) 90 2 V; v + 0 = 0 + v = v
(iv)9 v 2 V; v + ( v) = ( v) + v = 0
(v) v + w = w + v
(vi) kv 2 V para todo k 2 R
(viii) (k + l)v = kv + lv para todo k; l 2 R
(ix) (kl)v = k(lv) para todo k; l 2 R
(x) 1v = v

Los elementos de un espacio vectorial se denominan vectores.
Rn con la suma usual y el producto por escalar usual es un espacio vectorial.

Ejemplo 1.1.5 El conjunto V = C[0; 1] de las funciones continuas de valor real de…nidas
en el intervalo [0; 1] con f (0) = 0 y f (1) = 0, con la suma usual y el producto por escalar
entre funciones, es un espacio vectorial, pues si f 2 V y g 2 V, entonces f +g es continua
y f (0)+g(0) = f (1)+g(1) = 0. luego 0 2 V, ademas f es continua y f (0) = f (1) = 0

Ejemplo 1.1.6 El conjunto V = f5g con la suma y producto usuales en R no es espacio
vectorial ya que 5 + 5 = 10 2 V.
=


Ejercicios sección 1.1

1. Suponga que empezamos un recorrido en el origen moviendonos a lo largo del eje x 5
unidades en dirección positiva, luego nos movemos 4 unidades en dirección paralela
al eje y positivo, y por ultimo nos movemos 3 unidades hacia abajo. Cuales son las
coordenadas de nuestra posición?

2. Determine cual de los siguientes puntos P (1; 2; 3), Q(2; 1; 5), R(0; 3; 6) y S(8; 5; 2)

a) Esta mas cerca del plano xy.
b) Esta en el plano yz.
c) Esta mas lejos del plano xz

3. Cuales son las proyecciones del vector v = [1; 2; 2] en los planos coordenados. Trace
un paralelepipedo con aristas en estas proyecciones, un vértice en el origen, otro en
el extremo del vector v y halle las coordenadas de los otros vértices.

4. Cuales de las siguientes cantidades son vectores y cuales son escalares.

a) El número de estudiantes de un curso de cálculo vectorial.
b) La cantidad de información que viaja por Internet
c) La trayectoria seguida por un automovil que sale de Bogota a Cali.

5. Cual es la relación entre el vector v = [xi ] y el punto p = (xi ) para i = 1; 2; :::; n

6. Para los vectores dados v y w determine v + w, v w, 3v, 2v 5w.

a) v = [1; 2] y w = [3; 5]
b) v = [0; 2; 3] y w = [ 6; 1; 7]
c) v = [ 1; 2; 3; 4] y w = [2; 4; 6; 8]

7. Si P; Q; R; S son cuatro puntos diferentes de Rn determine de manera gra…ca.

a) QR + RS
b) P Q + QR + RS
c) P Q RS

8. Utilizando los vectores de la …gura, trazar los siguientes vectores

a) v + w
b) v w
c) 2v + 3w


9. Si x y y son dos puntos de Rn y * una operacón de…nida en Rn tal que x y = (xi yi )
con x = (x1 ; x2 ; :::; xn ) ; y = (y1 ; y2 ; :::; yn ) ; i = 1; 2; :::; n : Demuestre o refute los
siguientes enunciados

a) * es conmutativa en Rn
b) * es asociativa en Rn
c) Existe elemento neutro e en Rn tal que para todo x 2 Rn ; e x=x e=x
1
d) Para todo x existe x 2 Rn , tal que x x 1
=x 1
x=e
e) Si z x=z y con z 2 Rn diferente de e; entonces x = y

10. Determine si el conjunto dado es un espacio vectorial.

a) El conjunto de números reales x; y ; con las siguientes operaciones, x + y =
M CD(x; y) y x y = mcm(x; y).
b) El conjunto de funciones de valores reales con primera derivada continua de…nidas
en el intervalo [0; 1], con las siguientes operaciones, (f + g)0 (x) = f 0 (x) + g 0 (x)
( f )0 (x) = (f 0 (x))
c) El conjunto de matrices de 2 2 tales que a11 = 1, con la suma y el producto
por escalar usual en matrices.

11. Determine si existe un espacio vectorial con exactamente.

a) Cero elementos
b) Un elemento
c) Dos elementos

12. Suponga que si u es un elemento de un espacio vectorial V , demuestre que si u+u = 0
entonces u = 0

13. Es posible encontrar dos espacios vectoriales diferentes que posean el mismo elemento
cero. Justi…que su respuesta.

14. Uso de tecnologia (CAS)

a) Gra…que varios puntos en R2 y en R3 .
b) Gra…que varios vectores en R2 y en R3

15. Utilizando un CAS construya la función Resultante(v; w) tal que dados v y w de
R2 gra…que v; w y v + w


1.2. Subespacios de Rn
En está sección consideraremos subconjuntos de un espacio vectorial denominados
subespacios vectoriales que conservan la estructura del espacio vectorial. Un tratamiento
sin usar coordenadas de los conceptos de espacio vectorial aparecio en 1.862 en la versión
del Ausdehnungslehre de .Hermann Grassmann2 , en el aparecen las ideas basicas de la
teoria de espacios vectoriales incluyendo las nociones de subespacio, combinaciones lineales,
independencia lineal y base.
Como todo subespacio vectorial H es un espacio vectorial debe contener al vector
cero, entonces para determinar si H es subespacio vectorial, primero se debe veri…car si el
vector cero esta en H. Todos los espacios vectoriales poseen cierto tipo de subconjuntos
que tambien son espacios vectoriales denominados subespacios vectoriales.
Si H es un subconjunto no vacio de un espacio vectorial V se dice que H es subespacio
vectorial de V si:
(i) 8h1 , h2 2 H, h1 + h2 2 H
(ii) 8k 2 R; kh 2 H
El espacio vectorial V contiene dos subespacios 0 y V , llamados subespacios triviales.
Los subespacios de V diferentes de 0 y V , se llaman subespacios propios.
Ejemplo 1.2.1 El conjunto de todos los puntos de Rn con la última coordenada cero
(x1 ; x2 ; :::; xn 1 ; 0) es un subespacio vectorial de Rn y es igual a Rn 1
Ejemplo 1.2.2 El conjunto S1 = ffxn jn 2 Ngjxn ! 1 si n ! 1g no es subespacio
vectorial de el espacio vectorial de todas las sucesiones de números reales S. La sucesión
0 = fxn = 0jn 2 Ng no pertenece a S1 pues no converge a 1. La suma de dos sucesiones
convergentes a 1 es una sucesión que converge a 2. Si la sucesión x = fxn jn 2 Ng converge
a 1, entonces la sucesión y = f xn jn 2 Ng no pertenece a S1 pues converge a 1

Sean H1 y H2 dos subespacios de un espacio vectorial V: Entonces H1 H2 es un
subespacio vectorial de V . Pero veamos que si H1 y H2 son dos subespacios de un espacio
vectorial V , no necesariamente H1 [ H2 es un subespacio vectorial de V .
2

Hermann Gunter Grassmann Nacio en Stettin, 15 de abril de 1809 y murio el 26
de septiembre de 1877, fue un lingüista y matemático alemán, también fue físico,
humanista, erudito y editor. Evidentemente, la in‡uencia de su padre en esta vía
fue muy importante, y pudo haber llegado a ser profesor de matemáticas, pero ya se
había decidido a llevar a cabo investigaciones matemáticas por su cuenta. Entre los
muchos temas que abordó Grassman está su ensayo sobre la teoría de las mareas.
Lo elaboró en 1840, tomando com base la teoría de la Méchanique analytique de
Lagrange y de la Méchanique céleste de Laplace, pero exponiendo esta teoría por
métodos vectoriales, sobre los que trabajaba desde 1832. Este ensayo, publicado por
primera en los Collected Works de 1894-1911, contiene el primer testimonio escrito
de lo que hoy se conoce como álgebra lineal y la noción de espacio vectorial.

1.2. SUBESPACIOS DE RN 9

Ejemplo 1.2.3 Si H1 = f(x; y) 2 R2 jy = x2 g y H2 = f(x; y) 2 R2 jy = x3 g son
subespacios de R2 ,
H1 [ H2 no es un subespacio vectorial de R2 , veamos que (2; 4) 2 H1 y que (2; 8) 2 H2 ,
pero (2; 4) + (2; 8) = (4; 12) 2 H1 [ H2 por que (4; 12) 2 H1 y (4; 12) 2 H2 .
= = =

Si v1 ; v2 ; :::; vn son vectores de un espacio vectorial V , entonces cualquier expresion de la
forma 1 v1 + 2 v2 +:::+ n vn ; donde i 2 R se denomina combinacion lineal de v1 ; v2 ; :::; vn :
Si w es una combinación lineal de v1 ; v2 ; :::; vn , entonces esa combinación puede no ser
única. Si S es el conjunto de todas las combinaciones lineales de v1 ; v2 ; :::; vn ,entonces S
es generado por v1 ; v2 ; :::; vn . Si v1 ; v2 ; :::; vn son vectores de un espacio vectorial V , el
espacio generado por fv1 ; v2 ; :::; vn g es el conjunto de todas las combinaciones lineales
de v1 ; v2 ; :::; vn : El generador de un conjunto V es el mínimo número de vectores que lo
genera.Es decir si se agregan vectores a un conjunto generador se obtiene otro conjunto
generador. Si w es una combinación lineal de v1 ; v2 ; :::; vn y cada vi es combinación lineal
de u1 ; u2 ; :::; uk entonces w es combinación lineal de u1 ; u2 ; :::; uk

Ejemplo 1.2.4 En el conjunto Pn de polinomios de grado menor o igual a n todo poli-
nomio se puede escribir como combinación lineal de los monomios 1; x; x2 ; :::; xn

Ejemplo 1.2.5 Veri…que que si v1 ; v2 ; :::; vn ,vn+1 son n+1 vectores de un espacio vectorial
V y si v1 ; v2 ; :::; vn , genera a V entonces v1 ; v2 ; :::; vn ,vn+1 tambien genera a V .

Sea v 2 V , entonces existen escalares 1; 2 ; :::; n tales que v = 1 v1 + 2 v2 + ::: +
n vn

Si n+1 = 0 entonces v = 1 v1 + 2 v2 + ::: + n vn + n+1 vn+1 luego v1 ; v2 ; :::; vn ,vn+1
genera a V .

Propiedad 1.2.1 Si v1 ; v2 ; :::; vn son vectores de un espacio vectorial V , entonces genfv1 ; v2 ; :::
es un subespacio vectorial de V .

Si S = fv1 ; v2 ; :::; vp g y T = fw1 ; w2 ; :::; wp g son subconjuntos de un espacio
vectorial V , se dice que S y T son equivalentes si Gen(S) = Gen(T )

Los vectores v1 ; v2 ; :::; vn , se dice que son linealmente independientes si ninguno de
ellos es combinación lineal de los otros, en caso contrario se dice que son linealmente
dependientes.
El siguiente teorema demuestra que un conjunto de vectores v1 ; v2 ; :::; vn , son lineal-
mente independientes.

Teorema 1.2.1 Los vectores v1 ; v2 ; :::; vn son linealmente dependientes si y sólo si exis-
ten números reales a1 ; a2 ; :::; an no todos cero, tales que a1 v1 + a2 v2 + ::: + an vn = 0


Demostración. Supongamos que a1 6= 0;
a2 a3 an
entonces v1 = v2 v3 ::: vn
a1 a1 a1
por lo tanto v1 ; v2 ; :::; vn son linealmente dependientes

Si por el contrario v1 = b2 v2 + ::: + bn vn tenemos que a1 v1 + a2 v2 + ::: + an vn = 0
con a1 = 1 6= 0 y bi = ai para i > 1.

Teorema 1.2.2 Un conjunto de m vectores en Rn es linealmente dependiente si m > n

cg(x) g(x)
Ejemplo 1.2.6 Si f y g son funciones de C 1 [0; 1] y W (f; g)(x) = veamos
cg 0 (x) g 0 (x)
que si f y g son linealmente dependientes, entonces W (f; g)(x) = 0 para todo x 2 [0; 1]:
Supongamos que f (x) = cg(x) para algun c 2 R
cg(x) g(x)
entonces f 0 (x) = cg 0 (x) luego W (f; g)(x) = =0
cg 0 (x) g 0 (x)

C 1 [0; 1] conjunto de funciones con primera derivada continua de valor real de…nida en

el intervalo [0; 1] y se denomina Wronskiano de f y g.

Teorema 1.2.3 Cualquier conjunto de n vectores linealmente independientes en Rn gen-
era a Rn .

La dimensión de V se denota dimV . La dimensión de Rn es igual a n.

Un conjunto de vectores fv1 ; v2 ; :::; vn g es una base del espacio vectorial V si :
(i) fv1 ; v2 ; :::; vn g es linealmente independiente
(ii) fv1 ; v2 ; :::; vn g genera a V .

Si el espacio vectorial V tiene una base …nita, entonces la dimensión de V es el número
de vectores de esa base y V se llama espacio vectorial de dimensión …nita. De otra forma
V se llama espacio vectorial de dimensión in…nita. Si V = 0 entonces dimensión de V
es igual a cero. La dimensión de Rn es igual a n. La dimensión de V se nota dim V .
Cualquier espacio vectorial que contenga un subespacio vectorial de dimensión in…nita es
de dimensión in…nita.
El conjunto de vectores e1 = (1; 0; :::; 0); e2 = (0; 1; :::; 0); :::; en = (0; 0; :::; 1) es un
conjunto linealmente independiente, que genera a Rn por lo tanto constituye una base en
Rn : Esta base se denomina base canónica de Rn .

Ejemplo 1.2.7 El conjunto f1; x; x2 ; x3 g constituye una base para P3 , llamada base canóni-
ca .

Teorema 1.2.4 Cualquier conjunto de n vectores linealmente independientes en Rn es
una base de Rn .

1.2. SUBESPACIOS DE RN 11

Teorema 1.2.5 Si un espacio vectorial V tiene una base de dimensión …nita, entonces
cualquier otra base de V tiene el mismo número de vectores.

Propiedad 1.2.2 Cualquier espacio vectorial V que contiene un subespacio vectorial de
dimensión in…nita, es de dimensión in…nita.

Si V es un espacio vectorial de dimensión …nita y si B = fv1 ; v2 ; :::; vn g es una base
de V , entonces para cada vector v 2 V existen escalares c1 ; c2 ; :::; cn tales que v =
c1 v1 + c2 v2 + ::: + cn vn , luego (c1 ; c2 ; :::; cn ) es el sistema de coordenadas del vector v
relativo a la base B.

Ejemplo 1.2.8 Utilizando la base f(1; 0; 0); (1; 1; 0); (1; 1; 1)g, hallar las coordenadas de
un vector (x; y; z)
Debemos hallar escalares c1 ; c2 y c3 tales que (1; 0; 0)c1 + (1; 1; 0)c2 + (1; 1; 1)c3 =
(x; y; z)
cuya solución es (x y; y z; z)
0 0 0
Si B1 = fv1 ; v2 ; :::; vn g y B2 = fv1 ; v2 ; :::; vn g son bases de un espacio vectorial
V , en las que cada vector v 2 V se podra expresar en dos sistemas de coordenadas. Si
se conocen los vectores de la base B2 en función de los vectores de la otra base B1 , sera
posible encontrar las ecuaciones del cambo de coordenadas
0
Pn
vj = qij vi para j = 1; 2; :::; n,
i=1
entonces el sistema de coordenadas (c1 ; c2 ; :::; cn ), se podra representar en función de
0 0 0
(c1 ; c2 ; :::; cn ) de la siguiente manera
Pn
0
ci = qij vj para i = 1; 2; :::; n
j=1
Matricialmente se puede expresar de 3 siguiente manera X = QX 03
2 3 2 la 2
0
c1 c1 q11 q12 : : : q1n
6 c2 7 6 c0 7 6 q21 q22 : : : q2n 7
6 7 6 2 7 6 7
donde X = 6 . 7 ; X0 = 6 . 7 y Q = 6 .
. 5 . 5 . . ::: . 7
. . 5
4 . 4 . 4 . . .
0
cn cn qn1 qn2 : : : qnn
es una matriz invertible, llamada matriz de cambio de coordenadas.

Ejercicios sección 1.2.

1. Determine si el conjunto H es subespacio del espacio vectorial V .

a) V = Pn , H = fp 2 P j p(0) = 0g, Pn : Conjunto de los polinomios de grado
menor o igual a n
b) V = C 1 [0; 1], H = ff 2 C 1 [0; 1]jjf ’ = 0g, C 1 [0; 1] : conjunto de funciones
(0)
con primera derivada continua de valor real de…nida en el intervalo [0; 1]


c) V = C[a; b]; H = ff jf (x) 0, para todo xg

2. Sean V = M22 (el conjunto de matrices de 2 2) H1 = fA 2 M22 : a11 = 0g y
H2 = fA 2 M22 : a11 = a22 , a12 = a21 g Demuestre que H1 H2 es subespacio de
V.

3. De un ejemplo de dos subespacios vectoriales H1 y H2 de V; tal que H1 [ H2 sea
subespacio vectorial de V .

4. Determine si el conjunto dado de vectores genera el espacio vectorial dado.

a) En R2 ; (1; 2); (2; 1)
b) En P2 ; 1 x; 2 x2
2 1 0 2 0 0 2 0
c) En M22 ; ; ; ;
0 0 0 1 2 1 1 0
0 0 0
5. Muestre que si u y v estan en genfv1 ; v2 ; :::; vn g , entonces U + V y V tambien
0 0 0
estan en genfv1 ; v2 ; :::; vn g

6. Determine si el conjunto de vectores dado es linealmente dependiente o independi-
ente.

a) (1; 0; 1); (0; 1; 1); (1; 1; 0)
b) En P2 ; 1 x; x
c) En C[0; 1]; Senx; Cosx

7. Determine para que valor(es) de son linealmente dependientes los vectores (1; 2; 3); (2; 1; 4)
y (3; ; 4).

8. Considere el espacio vectorial de las funciones de variable real t. Muestre que la
siguientes parejas de funciones son linealmente independientes.

a) 1; t
b) et ; t
c) Sent; Cost

9. Demuestre que si S es linealmente independiente entonces cualquier conjunto no
vacio que resulte de S eliminando vectores es linealmente independiente.

10. Encuentre una base y su dimensión, para el subespacio vectorial H dado.

a) H = f(x; y; z): x = 2t; y = t; z = 5t ; t 2 Rg
b) H = fD 2 M33 jD es diagonalg

1.3. PRODUCTO PUNTO Y ORTOGONALIDAD 13

c) H = fp 2 P3 : p(0) = 0g

11. Veri…que que el conjunto f(1; 1; 1); (1; 1; 0); (1; 0; 0)g es una base de R3 y exprese el
vector (x; y; z) en terminos de esta base.

12. Para que valor(es) de los vectores ( ; 1; 0); (1; 0; ) y ( ; 1; ), constituyen una
base para R3 .

13. Encontrar las coordenadas del vector v relativo a la base S.

a) S = f(2; 1; 0); ( 3; 3 1); ( 2; 1: 1)g, v = (4; 13; 6).
1 1 1 1 0 1 0 0 1 4
b) S = ; ; ; ,v=
1 1 0 1 0 1 0 1 2 2
c) S = f1 + 2x x2 ; 1 3x; 2g; v = 3 2x2
0 0 0
14. Si S = fv1 ; v2 ; :::; vn g es una base de un espacio vectorial V y x = a1 v1 + a2 v2 +
::: + an vn y y = b1 v1 + b2 v2 + ::: + bn vn , vectores arbitrarios de V , encuentre las
coordenadas de x + y y de kx (k 2 R) relativo a la base S.


a) Dependencia o independencia..
b) Dimensión.

16. Utilizando un CAS construya una función COORDENADAS que determine las co-
ordenadas de un vector relativo a una base.

1.3. Producto punto y ortogonalidad
Para obtener una estructura geometrica más completa de Rn que incluya los conceptos
de distancia, ángulos y ortogonalidad, debemos dotar a Rn de un producto interior.
El producto interior en un espacio vectorial V es una aplicación <; >: V V ! R,
que asocia a cada par de vectores v y w de V un número real < v; w >, que satiface las
siguientes condiciones:
(i) hv,vi 0
(ii) hv,wi = hw,vi
(iii) hkv + lw,ui = khv,ui + lhw,ui
Para todo v; w y u 2 V y k; l 2 R

El producto interno en Rn de…nido de la siguiente forma
Pn
hv,wi = vi wi = v1 w1 + v2 w2 + ::: + vn wn con i = 1; 2; :::; n y denotado v w se
i=1
denomina producto punto, o producto escalar, o producto euclidiano en Rn


Ejemplo 1.3.1 Si v = [5; 8] y w = [ 4; 3] , v w = (5)( 4) + (8)(3) = 20 + 24 = 4

Todo productop
interior h; i en V satisface las siguientes desigualdades.
p
jhv;
(i) p wij hv; vi hw; p para todo v; w de V , desigualdad de Schwarz
wi, p
(ii) hv + w, v + w > hv; vi + hw; wi para todo v; w de V , desigualdad de
Minkowski 3 .

La norma de un vector también se conoce p como el módulo. A partir del producto
interno la norma de v esta determinada por kvk= hv, v > y se denomina norma asociada
al producto interior. Dos vectores son equivalentes, si tienen igual longitud, dirección y
sentido.
A partir del producto interno podemos determinar la longitud o medida de un vector
v 2 Rn , denominada la norma vectorial de v, como una aplicación k k : V ! R, que
a cada vector v del espacio vectorial V le asocia un número real no negativo kvk, que
satisface las siguientes condiciones :
(i) kvk 0
(ii) kkvk = jkj kvk
(iii) kv + wk kvk + kwk
Para todo v y w 2 V y k 2 R
rn
n
P 2
En el espacio vectorial R , la norma de…nida de la siguiente forma kxk = xi con
i=1
i = 1; 2; :::; n se denomina norma vectorial euclidiana

Ejemplo 1.3.2 Las siguientes son normas vectoriales en Rn :
Pn P
n
kxk1 = maxfjxi jg, kxk1 = jxi j,kxk2 = x2 para i = 1; 2; :::; n
i
i=1 i=1

Rb
En C[0; 1] de…nimos el producto interior f g = a f (x)g(x)dx , en particular en C[0; 1]
R1 x4 1
sean f (x) = 2x y g(x) = x2 entonces f g = 0 2x3 dx = j1 = 0
2 2
3

Hermann Minkowski (22 de junio de 1864 - 12 de enero de 1909) fue un
matemático alemán de origen judío que desarrolló la teoría geométrica de los
números, nació en Aleksotas, Rusia (actualmente Kaunas, Lituania), y cursó sus
estudios en Alemania en las universidades de Berlín y Königsberg, donde realizó
su doctorado en 1885. Durante sus estudios en Königsberg en 1883 recibió el pre-
mio de matemáticas de la Academia de Ciencias Francesa por un trabajo sobra
las formas cuadráticas. Impartió clases en las universidades de Bonn, Göttingen,
Königsberg y Zúrich. En Zúrich fue uno de los profesores de Einstein. Minkowski
exploró la aritmética de las formas cuadráticas que concernían n variables. Sus
investigaciones en este campo le llevaron a considerar las propiedades geométricas
de los espacios n dimensionales. En 1896 presentó su geometría de los números,
un método geométrico para resolver problemas en teoría de números.


p R1
podemos determinar la norma de g por kgk = g g, entonces g g = 0 x4 dx =
x5 1 1 1
j0 = , luego kgk = p
5 5 5
Una aplicación d : Rn Rn ! R es una distancia en Rn si dados x, y, z 2 Rn , satisface
las siguientes condiciones
(i) d(x; y) = 0 si y solo si x = y
(ii) d(x; y) 0
(iii) d(x; y) d(x; z) + d(z; y)
(iv) d(x; y) = d(y; x)

Si v es un vector de R2 y el ángulo que forma v con el eje X positivo entonces
v = [Cos ; Sen ]. Si kvk = 1 el vector v se denomina unitario. Si k k es una norma
en Rn , la aplicación d(x; y) = kx yk es una distancia en Rn denominada distancia
euclidiana.

Ejemplo 1.3.3 Hallar la distancia del punto p = (2; 3; 1) al punto q = ( 1; 0; 1):Es
equivalente a hallar la norma del vector pq p
d(p; q) = kp qk = k(2; 3; 1) ( 1; 0; 1)k = k(3; 3; 0)k = 18

Teorema 1.3.1 Sea el ángulo entre dos vectores u y v de Rn , entonces u v = kuk kvk cos

Demostración. Considerando un triángulo de lados u y v;
por la ley de los cosenos kv uk2 = kuk2 + kvk2 2 kuk kvk Cos
luego 2 kuk kvk Cos =kuk2 +kvk2 kv uk2 = u u+v v (v u) (v u) = 2u v
Por lo tanto v w = kvk kwk Cos
p
Ejemplo 1.3.4 Calcular el ángulo positivo que forma el vector v = [ 3; 1] con el eje X
positivo
Como v no es unitario construimos un vector unitario con la misma dirección de v,
"p #
p p
v [ 3; 1] 3 1 3 1
= = ; luego cos = y sen = por lo tanto =
kvk 2 2 2 2 2 6

Ejemplo 1.3.5 Suponga que v es un vector …jo de longitud 3 y w es un vector cualquiera
de longitud 2. Cuales son los valores máximo y mínimo de v w y en que posiciones de v
y w se dan estos resultados. v w = kvk kwk Cos = 3 2Cos = 6Cos :Máximo valor
es 6 cuando Cos = 1 o sea = 0. Mínimo valor es 6 cuando Cos = 1 o sea =

Dos vectores no nulos v y w de un espacio vectorial V se dice que son ortogonales si
hv; wi = 0: Un conjunto de vectores no nulos v1 ; v2 ; :::; vn de V se dice que es ortogonal si
hvi ,vj i = 0, para i 6= j: Si cada vector v i es unitario se dice que el conjunto es ortonormal.
Una base ortogonal es una base formada con vectores ortogonales. Una base ortonormal
es una base formada con vectores ortonormales.

Ejemplo 1.3.6 La base canonica de Rn es un conjunto ortonormal en Rn .


Ejemplo 1.3.7 Si v y w son vectores ortogonales de Rn tales que kvk = 3 ; kwk =
7: Calcule kv + wk y kv wk
Como v y w son ortogonales entonces v w = 0
y kv + wk2 = (v + w) (v + w) = v v + 2v w + w w = kvk2 + kwk2 = (3)2 + (7)2 =
9 + 49 = 58, p
entonces kv + wk = 58 de igual forma kv wk2 = (v w) (v w) = kvk2 +
kwk2 = (3)2 + (7)2 =p + 49 = 58,
9
luego kv wk = 58

Teorema 1.3.2 Todo conjunto ortogonal …nito de vectores no nulos es linealmente inde-
pendiente.

Demostración. Supongamos que a1 v 1 + a2 v 2 + ::: + an v n = 0 entonces para cualquier
vi
a1 (v 1 v i ) + ::: + ai (v i v i ) + ::: + an (v n v i ) = 0 vi = 0
a1 0 + a2 0 + ::: + ai kv i k + ::: + an 0 = 0
ai kv i k = 0, como v i 6= 0 , kv i k > 0 entonces ai = 0

Teorema 1.3.3 Si B = fv 1 ; v 2 ; :::; v n g es una base de un espacio vectorial V con producto
interior h:i, entonces para cada un vector u 2 V tal que u = c1 v 1 + c2 v 2 + ::: + cn v n ; con
1 i n.
u vi
(i) ci = si la base es ortogonal
vi vi
(ii) ci = u v i si la base es ortonormal

Ejemplo 1.3.8 Encontrar las coordenadas de u = (0; 1; 2; 3) en R4 relativas a la base ortogonal B =
f(1; 1; 1; 1); ( 1; 1; 1; 1); ( 1; 1; 1; 1); ( 1; 1; 1; 1)g
u vi
Como ci = y v i v i = 4 para i = 1; 2; 3; 4,
vi vi
6 3
calculamos u v1 = (0; 1; 2; 3) (1; 1; 1; 1) = 6 enonces c1 = = ,
4 2
u v 2 =(0; 1; 2; 3) ( 1; 1; 1; 1) = 4 ,enonces c2 = 1,
2 1
u v 3 = (0; 1; 2; 3) ( 1; 1; 1; 1) = 2 , entonces c3 = =
4 2
u v 4 = (0; 1; 2; 3) ( 1; 1; 1; 1) = 0;entonces c4 = 0,
3 1
por lo tanto u = v1 + v2 + v3
2 2

Propiedad 1.3.1 Proyección de un vector en otro vector

Si v y w son vectores no nulos de Rn , entonces la proyeccion de v en w es un vector
v w
con la dirección de w igual a Pr oyw v = w
kwk2
v w
Tambien es igual a Pr oyw v = w
w w


Ejemplo 1.3.9 La proyección del vector v = [2; 6] sobre el vector w = [1; 3] es igual
16 8 24
a Pr oyw v = [1; 3] = ;
10 5 5
Propiedad 1.3.2 Sean v y w vectores no nulos de Rn , entonces
(i) Pr oyw v = 0 si v y w son ortogonales
(ii) Pr oyw v es paralelo a w
(iii) v Pr oyw v es ortogonal a

Un vector v se puede expresar como la suma de un vector paralelo a un vector u y un
vector ortogonal a u, de la siguiente manera v = proyu v + (v proyu v)

Ejemplo 1.3.10 Exprese el vector v = [2; 1; 3] como la suma de un vector paralelo a
u = [3; 1; 0] y un vector ortogonal a u:
5 3 1
Como u v = 5 y u u = 10 entonces proyu v = [3; 1; 0] = ; ;0 ,
10 2 2
5 1 3 3 1
v proyu v = [2; 1; 3] [3; 1; 0] = ; ; 3 luego [2; 1; 3] = ; ;0 +
10 2 2 2 2
1 3
; ; 3
2 2

Ejercicios 1.3.

1. Determine cual de los siguientes puntos p = (1; 2; 3), q = (2; 1; 5), r = (0; 3; 6) y
s = (8; 5; 2)

a) Esta mas cerca del eje y.
b) Esta mas lejos del eje x
c) Esta mas lejos del origen

2. Calcule el producto interior entre los vectores u y v

a) u = [3; 4] y v = [2; 3]
b) u = [12; 3] y v = [ 1; 5]
c) u = [2; 1; 1] y v = [ 1; 0; 2]

3. Si v es el vector que va de (0; 0) a (3; 4) y w el vector que va de (2; 1) a
(5; 5): Demuestre que v = w
Rb
4. Demuestre que hf; gi = a f (x)g(x)dx de…ne un producto interno en C[a,b].

5. Para el producto interno de…nido en el ejercicio anterior si f (x) = x y g(x) = Senx
en C[0; 2 ] halle


a) hf; gi
b) kf k
c) kgk

6. Hallar un vector v de longitud dada, con la misma dirección del vector u.

a) kvk = 3 y u = [1; 1]
p
b) kvk = 2 y u = [3; 3]
c) kvk = 6 y u = [1; 1; 1]

7. Demuestre que kxk = maxfjxi jg es una norma en Rn .

8. Para que valor(es) de los vectores u y v son ortogonales.

a) u = [3; 4] y v = [1; ]
b) u = [ 2; 1] y v = [ ; 2]
c) u = [ 1; 1] y v = [ ; 5]

9. Demuestre que si v es ortogonal a u y w, entonces v es ortogonal a u + w para
cualesquiera y .

10. Para que valor(es) de el ángulo entre v = [2; 5] y u = [ ; 1] es igual a

a)
3
b)
4
2
c)
3
11. Halle el ángulo formado por la diagonal de un cubo y una de sus aristas.

12. Hallar la proyección de u en v

a) u = [2; 3] y v = [5; 1]
b) u = [2; 2] y v = [5; 0]
c) u = [2; 1; 2] y v = [0; 3; 4]

13. Para las funciones f (x) = x y g(x) = Senx en C[0; 2 ] halle

a) Proyg f
b) Proyf g
c) Proyf f

1.4. TRANSFORMACIONES LINEALES Y MATRICES 19

14. Si kvk = 3 y 2 < s < 1 determine ksvk


a) Producto punto
b) Norma
c) Distancia.

16. Utilizando un CAS construya una función llamada proyeccion(u; v) que determine
la proyección de u en v.

1.4. Transformaciones lineales y matrices
En esta sección introducimos una clase importante de aplicaciones entre espacios vecto-
riales, aquellas que son lineales. Ya que una de las ideas centrales del cálculo multivariado
es la aproximación no lineal por medio de aplicaciones lineales. En el año 1.918 en Space-
time-Matter Hermann Weyl4 dio la de…nición abstracta de transformación lineal.
Dados V y W dos espacios vectoriales y T una aplicacion de V en W , se dice que T
es una transformación lineal si y solamente si :
(i) 8v 1 ; v 2 2 V T (v 1 + v 2 ) = T (v 1 ) + T (v 2 )
(ii) 8v 2 V y 8 2 R T ( v) = T (v)

Ademas se cumplen las siguientes propiedades
(i) T (0V ) = 0W
(ii)8v 1 ; v 2 2 V T (v 1 v 2 ) = T (v 1 ) T (v 2 )
(iii) 8v 1 ; v 2 ; :::; v n 2 V T (v 1 + v 2 + ::: + v n )

Ejemplo 1.4.1 Sea C[a; b] el conjunto de todas las funciones continuas en el intervalo
[a; b] y sea C (1) [a; b] el conjunto de todas las funciones continuas con primera derivada
continua en el intervalo [a; b], entonces la aplicación T : C[a; b] ! C (1) , de…nida por
T (f ) = f 0 es lineal, ya que T (f + g) = (f + g)0 = f 0 + g 0 y T ( f ) = ( f )0 = f 0 .
4

Hermann Weyl (1.885-1.955) Nacido: 9 de Noviembre de 1885 en Elmshorn (cer-
ca de Hamburgo), Alemania. Fallecido: 8 de Diciembre de 1955 en Zürich, Suiza, fue
educado en las Universidades de Munich y Göttingen, obtuvo su doctorado en esta
última, bajo la supervisión de David Hilbert. Después de presentar su tesis doctoral,
’Singuläre Integralgleichungen mit besonder Berücksichtigung des Fourierschen In-
tegraltheorems’ le fue concedido el título en 1908. Fue en el mismo Göttingen donde
,
él desempeñó su primer cargo docente. Matemático y …sico autor de importantes in-
vestigaciones sobre la teoria de las ecuaciones integrales y diferenciales, en el campo
de la relatividad y la mecanica cuantica. En el año 1.918 en Space-time-Matter dio
la de…nición abstracta de transformación lineal.


Ejemplo 1.4.2 Sea Mn n el conjunto de las matrices de n n, entonces la aplicación
T : Mn n ! R, de…nida por T (A) = det(A) no es lineal, ya que de manera general el
determinante de una suma no es la suma de los determinantes.

Las transformaciones lineales se denominan tambien operadores lineales si V = W . El
núcleo de la transformación T; denotado por Ker T; es el conjunto de vectores v i 2 V cuya
imagen es 0 2 W , y la imagen de la transformación T , denotada por Im T , es el conjunto
de vectores wj 2 W tales que wj = T (v i ) para algun v i 2 V .
Es decir KerT = fvi 2 V jT (vi ) = 0W g y Im T = fwj 2 W jT (vi ) = wj , para vi 2 V g
Ejemplo 1.4.3 Sea T : R2 ! R2 una transformación lineal tal que T (1; 0) = (2; 7) y
T (0; 1) = ( 3; 2); halle una expresión general para T (x; y):
Como T es lineal T (x; 0) = xT (1; 0) = x(2; 7) = (2x; 7x)
y T (0; y) = yT (0; 1) = y( 3; 2) = ( 3y; 2y),
entonces T (x; y) = T (x; 0) + T (0; y) = (2x 3y; 7x + 2y)

A la dimensión del nucleo de T se le llama nulidad de T; y a la dimensión de su imagen
se le llama rango de T .
Teorema 1.4.1 Nulidad y rango de una transformación lineal. Si T es una transforma-
cion lineal de V en W. Entonces
(i) Nulidad de T = (T ) = dim(ker T )
(ii) Rango de T = (T ) = dim(Im T )

El siguiente teorema relaciona la nulidad y el rango de una transformación lineal T :
Rn ! Rm , con la dimensión del espacio euclidiano Rn
Teorema 1.4.2 Sea T : Rn ! Rm una transformación lineal, entonces dim(Ker) +
dim(Im) = n

Veremos ahora que dada cualquier transformación lineal T de Rn en Rm existe una
matriz A de m n tal que T (x) = Ax. Tomando la base canonica de Rn tenemos que los
vectores T (ei ) determinan las columnas de la matriz A.

Teorema 1.4.3 Sea T : Rn ! Rm una transformación lineal, entonces existe una única
matriz AT de m n tal que T (x) = AT x para todo x 2 Rn
Demostración. Por contradicción supongamos que existe una matriz B de m n tal que
T (x) = Bx,
por lo tanto AT x = Bx, luego AT x Bx = (AT B)x = 0 donde 0 es la matriz
columna nula para todo x
entonces (AT B)ei = 0 para todo i = 1; 2; :::; n, por lo tanto la columna i-esima de
AT B es 0, para todo i,
entonces AT B es la matriz cero de m n de esta manera AT = B

1.4. TRANSFORMACIONES LINEALES Y MATRICES 21

Ejemplo 1.4.4 Para la transformación lineal T : R3 ! R2 , determinada por T (x; y; z) =
(x + y; y + z) determine su matriz AT .
Para obtener AT primero se halla T (ei ) para i = 1; 2; 3,
1 1 0
con estos vectores como columna se construye la matriz, luego AT =
0 1 1

Una transformación lineal T : Rn ! Rm con n = m se denomina operador lineal.
Si T : Rn ! Rn es un operador lineal, se dice que el número real es un valor propio
de T si existe un vector no nulo v 2 Rn tal que T (v) = v. Al vector v se le denomina
vector propio de T asociado al valor propio . Si A es una matriz cuadrada de orden n, su
polinomio carateristico esta determinado por p( ) = det(A I), p( ) es un polinomio en
variable de grado n. Los valores propios de una matriz cuadrada A de orden n son las
raices de su polinomio carateristico p( ). Si A es una matriz cuadrada de orden n y v es un
vector no nulo de Rn tal que Av = v entonces v es un vector propio de A. Para calcular
valores y vectores propios primero se encuentra p( ) = det(A I), luego se hallan sus
raices y por último se resuelve el sistema homogéneo (A i )v = 0.

3 3
Ejemplo 1.4.5 Para la matriz A = encuentre su polinomio característico y sus
5 1
valores y vectores propios.
3 3
Hallamos primero el polinomio característico p( ) = = 2 4 12,
5 1
los valores propios de A son las raices de p( ), o sea 2 y 6.
Para hallar los vectores propios se resuelve el sistema homogéneo (A I)v = 0 para
cada ,
3 3 x1 0 3
si = 2 entonces el sistema = tiene por solución x1 =- x2 ,luego
5 1 x2 0 5
si x2 = 1 " 3 #
3
entonces x1 = ,entonces v1 = 5
5 1
3 3
x1 0
y si = 6 entonces el sistema = tiene por solución x1 = x2 ,
5 5
x2 0
1
luego si x2 = 1 entonces x1 = 1,entonces v2 =
1

Ejercicios 1.4

1. Demuestre que la transformación dada es lineal

a) T : R3 7! R2 , tal que T (x; y; z) = [x; y; 0] , proyección.
b) T : Mmn ! Mnm , tal que T (A) = At Transposición.


c) T : R ! P3 , tal que T (a) = a + ax + ax2 + ax3

2. Demuestre que la transformación dada no es lineal.

a) T : Rn ! R, tal que T (x; y; z) = xyz
b) T : C[0; 1] ! C[0; 1], tal que T (f ) = f 2
c) T : C[0; 1] ! R, tal que

3. Sea T : R2 ! R3 una transformación lineal tal que : T (1; 0) = (2; 1; 5) y T (0; 1) =
(3; 2; 5). Halle una expresión general para T (x; y) .

4. Demuestre que si T1 y T2 son dos transformaciones lineales de V en W;entonces
T1 + T2 es una transformación lineal de V en W .

5. Encuentre la nulidad y el rango de la transformación lineal dada.

a) T : R2 ! R ; T (x; y) = x + y
b) T : Mnn ! Mnn ; T (A) = At + A
c) T : R ! P2 ; T (k) = k + kx + kx2

6. Si T :V ! W es una transformación lineal, en donde dimension de V es igual a n,
demuestre que nulidad(t)+rango(t) = n

7. Obtenga la matriz AT , que represente la transformación dada.

a) T : R2 ! R2 ; tal que T (x; y) = (ax + by; cx + dy), con a; b; c y d números reales.
b) T : P2 ! P3 , tal que T (p) = xp(x)
c) T : Mmn ! Mnm , tal que T (A) = At

8. Dada la matriz AT encuentre el valor de la transformación lineal T en el vector
indicado.

3 0
a) AT = , T (2; 3)
0 1
7 5
b) AT = ; T ( 1; 1; 1)
-10 -8
0 1
1 2 0
c) AT = @1 1 1 A, T (1; 2; 3)
3 0 1

9. Para la matriz A dada determine su polinomio característico y sus valores y vectores
propios.

1.5. PRODUCTO VECTORIAL, RECTAS Y PLANOS. 23

7 5
a)
10 8
1 2
b)
1 2
0 1
2 0 0
c) @ 1 1 2A
1 0 1

10. Demuestre que el termino independiente del polinomio caracteristico de la matriz A,
es detA.

11. Si T : V ! W es una transformación lineal y si u 2 V es combinación lineal de
v 1 ; v 2 ; :::; v n 2 V entonces T (u) 2 W es una combinación lineal de T (v 1 ); T (v 2 ); :::; T (v n )

12. Demostrar que T (x; y) = [ex ; ey ] no es lineal.

13. Uso de tecnologia (CAS).

a) Polinomio caracteristico
b) Valores propios
c) Vecores propios

14. Utilizando un CAS construya una funciòn MATRA que determine la mariz de una
transformaciòn lineal.

1.5. Producto vectorial, rectas y planos.
En el plano R2 se utiliza el concepto de pendiente para hallar la ecuación de una
recta, a partir de dos puntos diferentes sobra ella. En el espacio tambien puede hallarse la
ecuación de una recta si se conocen dos puntos diferentes sobre ella, pero ahora se utiliza
el concepto de dirección (dada por un vector5 v de R3 no nulo ) .
5

William Rowan Hamilton (1805-1865), matemático y astrónomo británico, cono-
cido sobre todo por sus trabajos en análisis de vectores y en óptica. Nació en Dublín
y estudió en el Trinity College. En 1827, sin haber obtenido su título, fue nombrado
profesor de astronomía, y al año siguiente astrónomo real para Irlanda. Hamilton
pasó el resto de su vida trabajando en el Trinity College y en el observatorio de
Dunsink, cerca de Dublín. En el campo de la dinámica, introdujo las funciones de
Hamilton, que expresan la suma de las energías cinética y potencial de un sistema
dinámico; son muy importantes en el desarrollo de la dinámica moderna y para el
estudio de la teoría cuántica.


El producto exterior, cruz o vectorial en R3 , es una función de R3 R3 en R3 , que a
cada par de vectores v y w de R3 les asocia un vector v w que satisface las siguientes
condiciones
(ii) u v = v u
(iii) (ku) v = k(u v)
(iv) u (kv + lw) = k(u v) + l(u w)
Para todo v; w y u 2 R3 y k; l 2 R.

Algebraicamente v w = [v2 w3 v3 w2 ; v3 w1 v1 w3 , v1 w2 v2 w1 ] , v = [v1 ; v2 ; v3 ] y
w = [w1 ; w2 ; w3 ]

i j k
Ejemplo 1.5.1 Si v = [2; 3; 1] y w = [1; 2; 1] entonces v w = 2 3 1 =
1 2 1
[ 1; 1; 1]

Dos vectores no nulos v y w de R3 se dice que son paralelos si v w = 0.

Teorema 1.5.1 Sea el ángulo entre dos vectores u y v de R3 entonces ku vk =
kuk kvk sen :

El área de un paralelogramo que tiene lados adyacentes u y v es igual a ku vk : Si
u; v y w son tres vectores que no estan en el mismo plano, entonces forman los lados de
un paralelepipedo cuya base es un paralelogramo de área kv wk entonces el volumen
del paralelepipedo es igual a j(u v)wj

Ejemplo 1.5.2 Calcule el volumen del paralelepipedo determinado por los vectores [1; 1; 0]; [3; 2; 0]
y [0; 7; 3].
Haciendo u = [1; 1; 0], v = [3; 2; 0] y w = [0; 7; 3]
i j k
u v= 1 1 0 = [ 1; 0; 5], luego j(u v)wj = j[ 1; 0; 5][0; 7; 3]j = 15
3 2 0

Si p = (x1 , y1 , z1 ) y q = (x2 , y2 , z2 ) son dos puntos diferentes de una recta L, entonces
el vector v = pq = [x2 x1 ; y2 y1 ; z2 z1 ] = [a; b; c] es un vector contenido en la recta
L, llamado vector director de la recta y si r = (x, y, z) es un punto cualquiera de L,
entonces v = jj pr luego tv = pr (t 2 R), por lo tanto 0r = 0p + tv determina la ecuacion
vectorial de la recta L . Tambien se puede escribir como or = op + t(oq op). Por igualdad
de vectores x = x1 + ta ; y = y1 + tb ; z = z1 + tc determinan las ecuaciones paramétricas
x x1 y y1 z z1
de la recta L. Si a; b y c son diferentes de cero = = determinan las
a b c
ecuaciones simétricas de la recta L.
El conjunto de puntos (x; y; z) obtenidos para valores de t en el intervalo [0; 1] deter-
mina el segmento de recta que une el punto p con el punto q.


Ejemplo 1.5.3 Hallar las ecuación de la recta L que pasa por los puntos p = (1; 3; 4) y
q = (2; 1; 1)
El vector v = pq = [1; 2; 5] es director de la recta L ,
luego [x; y; z] = [1; 3; 4] + t[1; 2; 5] es la ecuación vectorial de L,
y x = 1 + t, y = 3 2t, z = 4 5t son las ecuaciones parametricas de L
x 1 y 3 z 4
y = = son las ecuaciones simétricas de L
1 2 5

Teorema 1.5.2 Demostrar que el conjunto H = [(x; y; z)jx = at, y = bt, z = ct con
a; b; c 2 Rg es subespacio vectorial de R3 .

Demostración. H consta de los vectores de R3 que estan sobre una recta que pasa por
el origen,
sean v 1 = (at1 ; bt1 ; ct1 ) 2 H y v 2 = (at2 ; bt2 ; ct2 ) 2 H
entonces v 1 +v 2 = (a(t1 +t2 ); b(t1 +t2 ); c(t1 +t2 )) 2 H y kv 1 = (k(at1 ); k(bt1 ); k(ct1 )) 2
H,
luego H es subespacio vectorial propio de R3 :

Dos rectas L1 y L2 de R3 , se dicen que son sesgadas si no se intersectan y no son
paralelas. Si L1 y L2 son dos rectas de R3 , entonces: L1 es paralela a L2 si sus vectores
directores son paralelos, L1 es ortogonal a L2 si sus vectores directores son ortogonales.y
el angulo entre L1 y L2 es igual al angulo entre sus vectores directores.

y+3 z+2
Ejemplo 1.5.4 Halle el punto intersección entre las rectas L1 : x 1 = = y
2 1
x 17 z+8
L2 : =y 4= .
3 1
Utilizando la ecuación paramétrica de las rectas L1 : x = 1 + t; y = 3 + 2t; z = 2
y L2 : x = 17 + 3s; y = 4 + s; z = 8 s
Igualando x, y y z tenemos 2 t = 8 s; resolviendo el sistema s = 5 y t = 1,
luego x = 2; y = 1; z = 3 por lo tanto el punto intersección es 2; 1; 3)


Teorema 1.5.3 La distancia entre una recta L y un punto q (que no esta en L) esta
kpq vk
determinada por d = donde v es el vector director la recta L y p es un punto
kvk
cualquiera de L.

Demostración. Sea d la distancia entre q y la recta dada,.
entonces d = kpqk sen donde es el ángulo entre v y pq.
Luego kvk kpq vk sen = kpq vk.
kpq vk
Por lo tanto d = kpqk sen = .
kvk

Ejemplo 1.5.5 Calcular la distancia entre el punto q = (10; 3; 2) y la recta x = 4 2t,
y = 3 + t y z = 1 + 5t.
El vector director de la recta es v = [ 2; 1; 5];haciendo t = 0 hallamos un punto p de
la recta,
k[7; 16; 6]k
p = (4; 3; 1) y pq = [6; 0; 7] entonces pq v = [7; 16; 6] por lo tantod = =
p k[ 2; 1; 5]k
341
p
30

Una recta L de Rn que pasa por el punto p = (p1 ; p2 ; :::; pn ) y cuyo vector director es
v = [v1 ; v2 ; :::; vn ] esta determinada por el conjunto de puntos x 2 Rn tales que:
x = p + tv, t 2 R, determina la ecuación vectorial de L y xi = p + tvi para i = 1; 2; :::; n
determina las ecuaciones paramétricas de L

Si p = (xo ; yo ; zo ) es un punto y n = [a; b; c] un vector dado no nulo, entonces el
conjunto de puntos q = (x; y; z) tales que pq n = 0 determina un plano, luego [x xo ; y
yo ; z zo ] [a; b; c] = 0 realizando el producto punto obtenemos la ecuación general de un
plano ax + by + cz = d donde d = axo + byo + czo , el vector n se denomina vector normal
del plano.

Ejemplo 1.5.6 Si p = (0; 0; 0) ; q = (1; 2; 3) y r = ( 2; 3; 3) construimos los vectores pq
y pr, pq = [1; 2; 3]; pr = [ 2; 3; 3] para obtener un vector normal al plano hacemos


i j k
n = pq pr = 1 2 3 = [ 3; 9; 7], luego [x + 2; y 3; z 3] [ 3, 9,7] = 0
2 3 3

Si 1 y 2 son dos planos, entonces: 1 es paralelo a 2 si sus normales son paralelas.
1 es ortogonal a 2 si sus normales son ortogonales. El ángulo entre 1 y 2 es igual al
ángulo entre sus normales.

Ejemplo 1.5.7 Encuentre todos los puntos intersección entre los plano x y + z = 2 y
2x 3y + 4z = 7.
Las coordenadas de cualquier punto (x; y; z) sobre la recta intersección de estos dos planos debe
las ecuaciones
x y + z = 2 y 2x 3y + 4z = 7. Resolviendo el sistema obtenemos x = 1 + z;
y = 3 + 2z; z
cualquier valor Si z = t obtenemos la ecuación paramétrica de la recta intersección
x = 1 t; y = 3 + 2t; y z =

Teorema 1.5.4 La distancia entre un plano y un punto q (que no esta en ) esta
jpq nj
determinada por d = , donde n es la normal del plano y p es un punto del plano.
knk

Demostración. La distancia entre q y el plano es igual a la norma de la proyección de
pq en la normal n;
entonces si q = (x0 ; y0 ; z0 ) y ax + by + cz = d es la ecuación del plano
entonces encontramos un punto q del primer plano haciendo x = 0 y z = 0
entonces y = 6, la normal del segundo p plano es [6; 2; 4] y d = 6
0 + 12 + 0 12 3 14
luego d = p =p =
62 + ( 2)2 + 42 56 7

Ejercicios 1.5

1. Calcule el producto exterior entre los vectores u y v

a) u = [3; 4; 1] y v = [2; 3; 0]
b) u = [12; 3; 0] y v = [ 1; 5; 2]
c) u = [2; 1; 1] y v = [ 1; 0; 2]

2. Demuestre que si es el ángulo entre dos vectores u y v de R3 , entonces kv wk =
kvk kwk Sen


3. Suponga que u es un vector …jo de longitud 3 en dirección del eje x positivo y v es
un vector cualquiera en el plano xy de longitud 2.

a) Cuales son los valores máximos y mínimos de ku vk
b) Que dirección toma ku vk a medida que v gira

4. Si u + v + w = 0 demuestre que u v=v w=w u

5. Hallar la ecuación de la recta con las condiciones dadas.

a) Pasa por el punto p = (2; 1; 1) y un vector director es el vector pq donde q =
(3; 4; 2)
b) Pasa por el punto (2; 1; 4) y es paralela a la recta x = 3t; y = 2+4t y z = 2t
c) Pasa por el origen y es perpendicular a la recta x = 2+t , y = 1 t y z = 3t

6. Halle la distancia del origen a la recta dada.

a) x = 3t; y = 2 + 6t y z = 1 + t
b) Pasa por los puntos p = (1; 1; 3) y q = (2; 4; 5)

7. Halle la distancia entre las rectas

a) L1 : y L2 :

8. Demuestre que la recta que pasa por los puntos (2, 1, 5) y (8,8,7) es paralela a la
recta que pasa por los puntos (4,2, 6) y (8; 8; 2)

9. Halle la ecuación del plano con las condiciones dadas.

a) Pasa por el punto p = (2; 5; 6) y es paralelo al plano XZ
b) Pasa por el origen y es perpendicular al plano 4x y+z =9
c) Pasa por los puntos p = (1; 1; 0) y q = (3; 2; 4) ; y el vector v = [7; 1; 3] es
paralelo a el.

10. Halle la distancia entre los dos planos

a) 1 : 2x y + 3z = 4 y 2 : 4x 2y + 6z = 5

11. Veri…que que la recta se encuentra contenida en los planos 1 : 5x + y + z = 0 y
2 : 2x + 3y 2z = 5

12. Halle el punto intersección entre el plano 2x 2y + z = 12 y la recta

13. Encuentre el áangulo entre los planos 1 :x y+z =2 y 2 : 2x 3y + 4z = 7

1.6. SUPERFICIES 29

14. Determine dos planos diferentes cuya intersección es la recta x = 1 + t, y = 2 t,
z = 3 + 2t

a) Producto vectorial
b) Gra…que las siguientes rectas
c) Gra…que los siguientes planos.

16. Utilizando un CAS construya una funciòn llamada DISTPR distancia de un punto
a una recta.

1.6. Super…cies
En la sección anterior se consideraron las primeras super…cies denominadas planos, en
esta sección consideraremos los tipos más particulares de super…cies, como conjuntos de
puntos (x; y; z) que satisfacen una ecuación cartesiana y cuya intersección con un plano
en la mayoría de los casos es una cónica de Apolonio6 .

Una super…cie generada por una recta (generatriz) que se mueve a lo largo de una
curva plana (directriz) se denomina cilindro. La recta no esta contenida en el mismo
plano que contiene la curva.

6

APOLONIO DE PERGA Nació : Alrededor del 262 A.C. en Perga, Gre-
cia Ionia (Ahora Turquía). Falleció alrededor del 190 A.C en Alejandría,
Egipto. Apolonio fue conocido como “El gran geómetra” Su famoso libro
.
“Secciones Cónicas” introdujo los términos: parábola, elipse e hipérbola es-
piral. Estudió en Alejandría y luego visitó Pérgamo en donde han sido
construidas una biblioteca y una universidad semejantes a la de Alejan-
dría. Mientras, Apolonio, “El gran geómetra” estuvo en Perga, escribió la
,
primera edición de su famoso libro “Secciones Cónicas” que consta de 8 li-
,
bros. Hubo otras aplicaciones hechas por Apolonio, usando su conocimiento
sobre los conos, para resolver problemas prácticos. Desarrolló el hemiciclo,
un reloj solar que marcaba las líneas de las horas en la super…cie de una
sección cónica proporcionando mayor precisión.


Propiedad 1.6.1 Para cilindros

En el espacio la grá…ca de una ecuación en dos variables de las tres variables x; y y
z es un cilindro, cuyas generatrices son paralelas al eje de la variable que no aparece.
(1) Cilindro circular recto, si la directriz es un circulo
(2) Cilindro parabólico, si la directriz es una parabola
(3) Cilindro elíptico, si la directriz es una elipse
(4) Cilindro hiperbólico, si la directriz es una hipérbola
Una super…cie generada por una curva plana (generatriz) que gira alrededor de una
recta …ja (eje),que esta en el mismo plano de la curva, se denomina super…cie de revolu-
ción.

Si se gira la grá…ca de una función (radio) alrededor de uno de los ejes coordenados,
entonces la ecuación de la super…cie de revolución resultante tiene una de las siguientes
formas.
(a) y 2 + z 2 = (r(x))2 Si el giro es alrededor del eje X
(b) x2 + z 2 = (r(y))2 Si el giro es alrededor del eje Y
(c) x2 + y 2 = (r(z))2 Si el giro es alrededor del eje Z

Propiedad 1.6.2 Clasi…cación de las super…cies de revolución según su generatriz

(1) Paraboloide de revolución, si la generatriz es una parabola
(2) Elipsoide de revolución, si la generatriz es una elipse
(3) Hiperboloide de revolución, si la generatriz es una hiperbola

Ejemplo 1.6.1 Hallar la ecuación de la super…cie de revolución generada al girar la curva
z = x2 alrededor del eje Z. Trace la grá…ca
El radio es r = x , luego los circulos son de la forma x2 + y 2 = r2
p
entonces como x = z la ecuación de la super…cie de revolución es igual a z = x2 +y 2

Una super…cie determinada por una ecuacion polinomial de segundo grado en tres
variables, se denomina cuadrica.
donde a; b; c; d; e; f; g; h; i y j son números reales y x e y son variables
El lugar geometrico de todos los puntos interseccion entre una super…cie y un plano
coordenado, se denomina traza.

1.6. SUPERFICIES 31

TIPOS DE CUADRICAS

(1) ESFERA
x2 + y 2 + z 2 = r 2
Traza paralela al plano xy : x2 + y 2 = k 2 (Circulo)
Traza paralela al plano xz : x2 + z 2 = k 2 (Circulo)
Traza paralela al plano yz : y 2 + z 2 = k 2 (Circulo)

(2) ELIPSOIDE
Traza paralela al plano xy : (Elipse)
Traza paralela al plano xz : (Elipse)
Traza paralela al plano yz : (Elipse)

(3) PARABOLOIDE
Traza paralela al plano xz : (Parábola)
Traza paralela al plano yz : (Parábola)


(4) PARABOLOIDE HIPERBOLICO
Traza paralela al plano xy : (Hipérbola)
Traza paralela al plano xz : (Parábola)
Traza paralela al plano yz : (Parábola)

(5) HIPERBOLOIDE DE UNA HOJA (O MANTO)
x2 z 2
Traza paralela al plano xz : = k (Hipérbola)
a2 c2
2 2
y z
Traza paralela al plano yz : 2 = k (Hipérbola)
b c2
Si z = 0 entonces x2 y 2 = 0 son dos rectas.

(6) HIPERBOLOIDE DE DOS HOJAS (O MANTOS)
Traza paralela al plano xz : (Hipérbola)
Traza paralela al plano yz : (Hipérbola)

(7) CONO
Traza paralela al plano xz : (Hipérbola)
Traza paralela al plano yz : (Hipérbola)

1.6. SUPERFICIES 33

Nota : En algunos casos en que dos valores de a; b; c son iguales las trazas no son elipses
si no cí¬
rculos.

Ejemplo 1.6.2 Gra…que las trazas de la super…cie z = x2 y 2 , identi…que la super…cie y
trace su grá…ca.
Si x = k, z = k 2 x2 las trazas son parabolas; si y = k, z = x2 k 2 las trazas son
parabolas
y si z = k, k = x2 y 2 las trazas son hiperbolas. por lo tanto la super…cie es un
paraboloide hiperbolico (silla de montar).

Muchas aplicaciones reales tienen que ver con super…cies cuadricas.Geodesia, topogra…a
y cartogra…a.Antenas y radares. Cupulas


Ejercicios 1.6

1. Gra…car los cilindros determinados por las ecuaciones dadas.

a) y = jxj
b) z = Seny
c) l4x2 + 9z 2 = 1

2. Hallar la ecuación de la super…cie de revolución generada al girar la curva dada
alrededor del eje especi…cado. Trace la grá…ca

a) xy = 1 eje y
b) z = Lny eje z
c) y = Senx eje x

3. Trace las trazas de las super…cies dadas en los planos x = k, y = k y z = k.
Identi…que la super…cie y trace su grá…ca.

a) z = y 2
b) 9x2 y2 z2 = 9
c) 4x2 + 9y 2 + 36z 2 = 36

4. Relacione la ecuación con la grá…ca.

a) x2 + 2z 2 = 1
b) x2 + y 2 z2 = 1
c) x2 y2 + z2 = 1

1.7. COORDENADAS CILINDRICAS Y COORDENADAS ESFERICAS 35

4 4 4
-4 2 -4 -4 2 -4 -4 2 -4
0
z -2-20 0 -2 0
z -2-20 -2 0
z -2-20 -2
-4 2 -4 20 -4 20
2 2 2
y4 4x y4 4 x y4 4x

A. B.

(x2 +y 2 )
5. Demuestre que la super…cie con ecuación z = e es una super…cie de revolución
y trace su grá…ca.

6. Halle la ecuacion del paraboloide que tiene vertice en (0 ,0 ,2) y abre hacia abajo ,
si su interseccion con el plano XY determina un circulo de radio 4

7. Halle la ecuacion del cono tal que las curvas de nivel en el plano XY son las rectas
x = 2y

8. Halle la ecuación de una esfera si los extremos de su diametro son los puntos
(1; 2; 3) y ( 2; 4; 5)

9. Muestre que la interseccion de la super…cie x2 4y 2 9z 2 = 36 y el plano x +z = 9
es una elipse

10. Determine los valores de k para los cuales la interseccion del plano x + ky = l y
el hiperboloide eliptico de dos hojas y 2 x2 z 2 = l es :

a) Una elipse
b) Una hiperbola

11. Determine una ecuación para la super…cie que consta del conjunto de puntos p(x; y; z)
tales que la distancia de p al eje X sea el doble de la distancia de p al plano Y Z.

12. Uso tecnologia (CAS). Construya una función llamada trazas(s; v; i; n), que permita
gra…car las trazas de una super…cie.

1.7. Coordenadas cilindricas y coordenadas esfericas
Un sistema de coordenadas es una forma sistemática para representar un punto en
algún espacio especi…cando solo algunos números. Como vimos en la sección 1.1. el sistema
de coordenadas mas familiar es el sistema de coordenadas rectangulares. En R3 funciona
especi…cando las coordenadas x, y y z que representan las distancias en los ejes x, y y z
respectivamente. Las coordenadas rectangulares a veces resultan extremadamente difíciles


cuando se trata de de…nir ciertas formas comunes, como cilindros, super…cies de revolución
y esferas. Una segunda forma para determinar la ubicación de un punto en tres dimensiones
es utilizando coordendas cilindricas, convirtiendo a coordenadas polares dos de las tres
coordenadas rectangulares. El caso más usual es hacer polares en xy;luego la altura del
plano xy es z. Uno de los primeros matemáticos que utilizo coordenadas cilindricas fue
Pierre simon de Laplace.7
Propiedad 1.7.1 Construcción de las coordenadas cilindricas. Si p = (x; y; z) es un punto
de R3 que determina un vector op, asociamos a el la terna (r; ; z) tal que (r; ) son las
coordenadas polares de la proyeción de p en el plano XY y z es la distancia dirigida del
plano XY a p, entonces kproyXY opk = r, x = r cos , y = rsen y z = z, donde es el
ángulo entre proyXY op y el eje X:

p
Para convertir de coordenadas rectangulares a cilindricas empleamos r = x2 + y 2 ,
y
tan = y z = z. Las coordenadas cilindricas son una combinación de las coordenadas
x
polares en el plano con un eje coordenado.
p
Ejemplo 1.7.1 Sea p = (1; 1; 2) un punto en coordenadas rectangulares entonces para
hallar sus coordenadas cilindricas proyectamos el punto p en el plano xy y obtenemos el
p
punto q = (1; 1), entonces r = 2 y = tan 1 1 = , por lo tanto las coordenadas
p p 4
cilindricas de p son ( 2; ; 2)
4
7

Pierre-Simon Laplace (Beaumont-en-Auge (Normandía); 23 de marzo de 1749 -
París; 5 de marzo de 1827) astrónomo, físico y matemático francés que inventó y
desarrolló la Transformada de Laplace y la ecuación de Laplace. Al cumplir los 19
años, principalmente por la in‡uencia de d’Alembert, fué designado para cubrir una
plaza de matemáticas en la Escuela Real Militar de París, bajo la recomendación de
d’ Alembert. En 1973, llegó a ser miembro de la Academia de Ciencias de París. En
1785, actuando como miembro del tribunal del Cuerpo de Artillería Real, examinó y
aprobó al joven de 16 años Napoleón Bonaparte. Durante la Revolución Francesa,
ayudó a establecer el Sistema Métrico. Enseñó Cálculo en la Escuela Normal y
llegó a ser miembro del Instituto Francés en 1795. Bajo el mandato de Napoleón
fué miembro del Senado, y después Canciller y recibió la Legión de Honor en 1805.


En coordenadas cilindricas r = k determina un cilindro circular recto de radio k, r = 0
determina el eje z; = k determina un plano que forma un ángulo k con el eje z y
z = k determina tambien un plano.entonces z = x2 + y 2 que representa la ecuación de un
paraboloide.

Ejemplo 1.7.2 Encontrar una ecuación en coordenadas rectangulares equivalente a la
p
ecuación z = r2 y representar su grá…ca. Como en coordenadas cilindricas r = x2 + y 2
entonces z = r2 = x2 + y 2 representa la ecuación de un paraboloide.

Las coordenadas cilindricas son utiles en problemas que tienen simetria alrededor de
un eje, el paso a seguir es seleccionar un eje coordenado de manera que coincida con el eje
de simetria.
Si er ; e ; ez son los vectores ortonormales unitarios que determinan la dirección en
que se mide cada una de las coordenadas cilindricas r; ; z entonces er = [cos ; sen ; 0],
e = [ sen ; cos ; 0], ez = [0; 0; 1]

Propiedad 1.7.2 Construcción de coordenadas esfericas. Si p = (x; y; z) es un punto de
R3 que determina un vector op, asociamos a el la terna ( ; ; ) tal que = jjopjj determina
la distancia del punto p al origen , determina el angulo entre el eje z y op, y determina
el angulo entre proyXY op y el eje X (igual que en cilindricas) entonces x = sen cos ,
p
y = sen cos , z = cos ', donde r = jjproyXY opjj y = x2 + y 2 + z 2 :


Las coordendas esfericas tambien estan relacionadas con las coordenadas polares en el
plano.
p
Ejemplo 1.7.3 Sea un p = (1; 1; 2) punto de cuyas coordenadas rectangulares entonces
para hallar sus coordenadas esfericas.hallamos la norma del vector posición como =
p
4 = 2, = y = cos 1 1 = 0, por lo tanto las coordenadas esfericas de p son (2; ; 0)
4 4
En coordenadas esfericas = k determina una esfera de radio k, = k determina un
semicono, = k determina un plano que forma un ángulo k con el eje z.

Ejemplo 1.7.4 Encontrar una ecuación en coordenadas rectangulares equivalente a la
ecuación = 4 cos y representar su grá…ca. Multiplicando a ambos lados de la ecuación
por obtenemos obtenemos 2 = 4 cos pero 2 = x2 + y 2 + z 2 y 4 cos = 4z entonces
x2 + y 2 + z 2 = 4z por lo tanto completando cuadrado en z obtenemos x2 + y 2 + (z 2)2 = 4
que determina una esfera de centro (0; 0; 2) y radio 2

Las coordenadas esfericas son utiles en problemas que tienen simetria alrededor de un
punto, el paso a seguir es seleccionar el punto de manera que coincida con el origen.
Si e ; e , e ; son los vectores ortonormales unitarios que determinan la dirección en que
se mide cada una de las coordenadas esfericas ; ; entonces e = [sen cos ; sen sen ; cos ],
e = [ sen ; cos ; 0], e = [cos cos ; cos sen ; sen ]

Ejercicios 1.6

1. Encuentre las coordenadas rectangulares y coordenadas esfericas del punto p dado
en coordenadas cilindricas.

a) (2; =3; 2)
b) (1; =4; 2)
c) (4; 5 =4; 0)

2. Encuentre las coordenadas cilindricas y coordenadas esfericas del punto p dado en
coordenadas rectangulares.


a) (2; 2; 1)
p
b) (1; 3; 2)
c) ( 3; 2; 1)

3. Encuentre las coordenadas rectangulares y coordenadas cilindricas del punto p dado
en coordenadas esfericas.

a) (2; =6; =4)
b) (6; =4; 0)
c) (9; ; =4)

4. Escriba la ecuación dada en coordenadas cilindricas y coordenadas esfericas.

a) x2 + y 2 + z 2 2z = 0
b) 6x = x2 + y 2
c) y = xz

5. Escriba la ecuación dada en coordenadas rectangulares

a) r = 3
b) r = 4Cos
c) = =4
d) Sen = 2

6. Trace la grá…ca del sólido descrito por las desigualdades dadas en coordenadas cilin-
dricas.

a) 0 2 , 0 r 1, r z 1
2
b) 0 =2, 0 r 2, r z 4

7. Trace la grá…ca del sólido descrito por las desigualdades dadas en coordenadas es-
fericas.

a) 0 =2, 0 =2 , 1 2
b) 0 2 , 0 =4, 0 1
c) 0 2 , =2 , 0 2

8. Gra…que e identi…que la super…cie dada en coordenadas cilindricas

a) r = 2 cos


b) r = 6sen
c) r = 1 + cos

9. Gra…que e identi…que la super…cie dada en coordenadas esfericas

a) = 2 cos
b) tan2 =1
c) =1 cos

10. Utilizando un CAS gra…que los siguientes puntos en

a) Coordendas cilindricas
b) Coordenadas esfericas.

1.8. Conceptos básicos de topologia en Rn
En la Geometría euclídeana8 dos objetos serán equivalentes mientras podamos trans-
formar uno en otro mediante isometrías (rotaciones, traslaciones, re‡ exiones, etc), es decir,
mediante transformaciones que conservan las medidas de ángulo, longitud, área, volumen
y otras. Si se desea abordar de manera adecuadamente la diferenciabilidad para funciones
de varias variables se deben tener claros los conceptos de limites y continuidad para este
tipo de funciones. Uno de los conceptos de mayor di…cultad en funciones de varias variables
es el de limite ya que este concepto se de…ne sobre subconjuntos de Rn y no como se hace
para funciones de variable real y valor real, sobre subconjuntos de la recta real, muchas
veces estos subconjuntos son intervalos.
Decir que el limite de una función f : I R ! R en un punto a (que puede o no estar
en I) existe y es igual a L, signi…ca que si x esta cerca de a entonces f (x) esta cerca de L.
Aqui el concepto de cercania sobre un subconjunto de la recta real esta determinado por
8

Euclides de Alejandría (s. IV-III a. C.) fue un matemático griego, al pare-
cer era ateniense y probablemente fue alumno de la Academia. Hacia el año
300 a.C. (bajo el reinado del primer Ptolomeo), era profesor en la escuela
matemática de Alejandría, de la cual probablemente fue su fundador. Se le
considera como el gran sistematizador de la matemática en el mundo antiguo,
ya que en sus trece libros de los Elementos expone la geometría como un sis-
tema formal axiomático-deductivo, que consta de de…niciones, postulados, y
teoremas demostrados. Este texto ha servido de modelo en la posteridad a to-
do sistema axiomático. pero su gran importancia deriva del método axiomático
utilizado, que han convertido a este libro en el texto cientí…co más traducido
y editado de toda la historia y que apareció, durante más de dos mil años,
como modelo de rigor cientí…co. La introducción de cambios en el quinto postulado de Euclides propició
la aparición de geometrías « no-euclidianas» , como las de Riemann y Lobatchevski, por ejemplo. Otras
obras de Euclides son Tratado de geometría; Fenómenos; Datos, etc.

1.8. CONCEPTOS BÁSICOS DE TOPOLOGIA EN RN 41

una vecindad de centro a y radio . Para funciones de varias variables estas vecindades
estan determinadas por lo que se denominara bola abierta. Una vecindad de un punto
a 2 Rn es el conjunto de puntos x 2 Rn tales que jjx ajj < para algun 2 R+ y
se denomina n-bola abierta de centro a y radio . Notada B(a; ) = fx 2 Rn : kx ak
< g. Las bolas abiertas de R son los intervalos abiertos de centro a y extremos a ,
a + ;las bolas abiertas de R2 son las circunferencias abiertas de centro (a; b) y radio , y
las bolas abiertas de R3 son las esferas abiertas de centro (a; b; c) y radio .

Ejemplo 1.8.1 Escriba explicitamente como conjunto de puntos la bola B((1; 2; 3); 1),
utilizando la de…nición de bola abierta vemos que el centro es igual a (1; 2; 3) y el radio es
igual a 1, luego (x 1)2 + (y 2)2 + (z 3)2 = 1 es la forma explicita.

Si U Rn y a 2 Rn , se dice que x0 es un punto interior de U si existe un número real
> 0 tal que B(a, ) U . Cada uno de los puntos a de U puede ser rodeado por una bola
B(a; ) U . El conjunto de todos los puntos interiores de U se denomina interior de U
y se nota Int U o U o . Evidentemente U o U . Si U Rn y a 2 Rn , se dice que a es un
punto exterior de U si existe un número real > 0 tal que B(a, ) U c . Cada uno de los
puntos a de U puede ser rodeado por una bola B(a; ) U c . El conjunto de todos los
puntos exteriores de U se denomina exterior de U y se nota Ext U . Si U Rn y a 2 Rn ,
se dice que a es un punto frontera de U si para todo número real > 0, B(a; ) U 6= y
B(a; ) U c 6= . El conjunto de todos los puntos frontera de U se denomina la frontera
de U y se nota F ront U o @U . Un punto interior de U necesariamente es un punto de U ,
y un punto exterior de U es un punto de U c . Sin embargo, un punto frontera puede ser
de U o de U c . Si U Rn y x0 2 Rn , se dice que x0 es un punto adherente de U si para
todo número real > 0, B(x0 ; ) U 6= . El conjunto de todos los puntos adherentes
de U se denomina la adherencia de U y se nota Adh U o U . Evidentemente U U y en
consecuencia U o U . Si U Rn y x0 2 Rn , se dice que x0 es un punto de acumulación
de U si para todo número real > 0, B(x0 ; ) U 6= y B(x0 ; ) U 6= fx0 g. El
conjunto de todos los puntos de acumulacion de U se llama derivado de U y se nota
Der U o U ’ Evidentemente U ’ U . Si U
. Rn y x0 2 Rn , se dice que x0 es un punto
aislado de U si existe un número real > 0 tal que B(x0 ; ) U = fx0 g. El conjunto de
todos los puntos de aislados de U se llama aislado de U y se nota Aisl U . Si x0 2 U no
es un punto de acumulación de U entonces x0 es un punto aislado de U: Evidentemente
AislU U . Un conjunto U Rn se dice que es acotado si existe un número real > 0
tal que U B(x0 ; ) para algun x0 2 Rn elegido arbitrariamente. Un conjunto U Rn
se dice que es abierto si todos sus puntos son interiores (o sea U = U o ) y se dice que es
cerrado si su complemento es abierto(U = Rn U o sea si U = U ). Un conjunto U Rn
se dice que es compacto si es cerrado y acotado.

Ejemplo 1.8.2 Clasi…car el conjunto U = f(x; y)j 1 x2 + y 2 < 4g vemos que es el
conjunto de puntos (x; y) que estan entre las circunferencias x2 + y 2 = 1 (con frontera) y
x2 + y 2 = 2 (sin frontera). Como U tiene puntos frontera que no son interiores entonces
U no es abierto, ademas el complemento de U tiene frontera entonces U tampoco es
cerrado.por lo tanto U no es ni abierto ni cerrado.


Ejemplo 1.8.3 Demuestre que U = f(x; y; z) 2 R3 : x2 + y 2 1; ^0 z g es compacto.
El conjunto U es el cilindro cerrado de altura 2, luego U = U por lo tanto U es cerrado,
ademas U es acotado pues U B((0; 0; 0); 3) entonces U es compacto.

Ejercicios 1.7.

1. Escriba explicitamente como conjunto de puntos de Rn cada una de las siguientes
bolas abiertas

a) B((2; 3); 0;1) en R2
b) B((1; 1; 3); 2) en R3
c) B((1; 1; 2; 2); 1) en R4

2. Determinar si el conjunto dado U es abierto, cerrado, abierto y cerrado a la vez, o
ni abierto ni cerrado. Trace la grá…ca

a) U = f(x; y) j y = xg
b) U = f(x; y) j x2 + y 2 1g
c) U = f(x; y j 2 < x < 4 , 2 < y 5g

3. Determinar si el conjunto dado U es abierto, cerrado, abierto y cerrado a la vez, o
ni abierto ni cerrado.
P
n
a) U = (x1 ; x2 ; :::; xn )j xi > 0
i=1
P
n
b) U = (x1 ; x2 ; :::; xn )j1 < x2 < 4
i
i=1
P
n
c) U = (x1 ; x2 ; :::; xn )j1 < x2
i 4
i=1

4. Demuestre que ; y Rn son abiertos y cerrados a la vez

5. Demuestre que el conjunto A = fpg formado por un solo punto p 2 Rn no es abierto.

6. Demuestre que los puntos frontera de cualquier intervalo abierto (a; b) de R son los
puntos a y b
S
n
7. Demuestre que el conjunto Ai (unión de conjuntos Ai abiertos) es abierto.
i=1

T
n
8. Demuestre que el conjunto Ai (intersección …nita de conjuntos Ai abiertos) es
i=1
abierto.


S
n
9. Demuestre que el conjunto Ai (unión …nita de conjuntos Ai cerrados) es cerrado.
i=1

T
n
10. Demuestre que el conjunto Ai (intersección de conjuntos Ai cerrados) es cerrado.
i=1

11. Demuestre que la frontera de A es un conjunto cerrado.

12. Demuestre que los intervalos abiertos de R son conjuntos abiertos

13. Demuestre que los intervalos cerrados de R son conjuntos cerrados

EJERCICIOS DE REPASO DEL CAPITULO 1
PREGUNTAS DE VERDADERO-FALSO

Determine si el enunciado es verdadero o falso, justi…cando su respuesta.

1. Todo espacio vectorial contiene a 0.

2. Todo subconjunto de un espacio vectorial es subespacio vectorial.

3. Dos rectas en el espacio que no se intersectan, son paralelas.

4. Si dos planos se intersectan, la intersección es una recta.

5. Toda transformación lineal T : V ! W es invertible.

6. Un cilindro es una super…cie cuya directriz es un circulo.

7. La intersección entre dos super…cies es una curva cerrada.

8. Las coordendas cilindricas pueden ser de la forma x = x, y = r cos z = rsen

9. En coordenadas esfericas el radio de una esfera es igual a

10. Si un conjunto no posee frontera entonces es abierto.

PREGUNTAS DE SELECCION MULTIPLE CON UNICA RESPUESTA.

1. El conjunto de puntos (x; y; z) 2 Rn con la suma y el producto usual es un espacio
vectorial si:
A. x = 1 B. y = x C. z = xy D. y 0

2. Si A es un subespacio vectorial de V y B A, se puede a…rmar que tambien es
subespacio vectorial de V
A. B B. A B C. A B D. A [ B.


0 0 0
3. Si B1 = fv1 ; v2 ; :::; vn g y B2 = fv1 ; v2 ; :::; vm g son bases de un espacio vectorial
V , es correcto a…rmar que:
A. n < m B. n > m C. n = m D. dim V = n + m

4. Un vector unitario en la misma dirección y sentido de [ 1; 2; 3] es:
1 1 1 2 3 1 1 2 3
A. 1; ; B. p ; p ; p C. p [1; 2; 3] D. ; ;
2 3 14 14 14 14 14 14 14
x+1
5. Para las rectas con ecuaciones L1 : [x; y; z] = [1; 2; 3] + t[2; 3; 4] y L2 : =
6
y 3 z+5
= se puede a…rmar que:
1 2
A. Son paralelas B. Son ortogonales C. Son Oblicuas D. Se interceptan
en un punto

6. Cual de las siguientes rectas esta contenida en el plano 2x 3y + z = 1

a) A. x = 1 + 2t, y = 2 3t, z = 5 + t B. x = 1 t, y = 2 t, z = 1 t C.
x = 1 2t, y = 2 + 3t, z = 1 t D. x = t + 1, y = t + 2, z = t + 5

3 1 2
7. La transformación lineal asociada a la matriz A = es igual a:
2 0 3

a) A. T (x; y) = [3x + 2y; x; 2x + 3y] B. T (x; y) = [3x y + 2z; 2x + 3z] C.
T (x; y) = [2; 0; 3] D. T (x; y) = [5x; y; 5z]

8. La ecuación de la super…cie de revolución generada al girar la curva z = x2 alrededor
del eje x es igual a:
p
a) A. z = x2 + y 2 B. x = y 2 + z 2 C. x2 = y 2 + z 2 D. x2 = y2 + z2

(x2 +y 2 )
9. Para la super…cie z = e es correcto a…rmar que sus trazas son:

a) A. Parabolas si x = k B.Hiperbolas si y = k C. Exponenciales si z =
k D. Circulos si z = k

10. Si A Rn es abierto y si x 2 A es correcto a…rmar que A fxg :

a) A. es abierto B. es cerrado C. es abierto y cerrado a la vez D. no es
ni abierto ni cerrado

PREGUNTAS DE SELECCION MULTIPLE CON MULTIPLE RESPUESTA.


Si 1 y 2 son correctas marque A Si 2 y 3 son correctas marque B
Si 3 y 4 son correctas marque C Si 2 y 4 son correctas marque D
Si 1 y 3 son correctas marque E

1. Si A y B son matrices de n n y una operación de…nida en Mn n tal que A B = AB
entonces es correcto a…rmar que es:

1. Asociativa 2. Conmutativa 3. Invertiva 4. Modulativa:
A. B. C. D. E.

2. Dados los vectores U = [5; 4; 7] y V = [ 10; 8; k] se puede a…rmar que:
82
1. Si k = 14 U y V son paralelos. 2. Si k = 0, kU k = kV k 3. Si k = ,
7
U y V son ortogonales (perpendiculares) 4. Si k = 2 el ángulo entre U y V es 30o
A. B. C. D. E.

3. Sea P2 (t) el espacio vectorial de los polinomios de grado menor igual a 2 y sea
W = genfSg donde S = ft2 + 1; t + 1g entonces es correcto a…rmar que:

1. Los vectores de S son linealmente dependientes 2. W = fat2 + bt + cjc =
a + bg 3. gen(S) = P2 (t) 4. S es una base de W
A. B. C. D. E.

4. Para la normas vectorial kxk1 = maxfjxi jg de…nida en Rn es correcto a…rmar que:

1.k[2; 3; 0]k1 = 2 2. ku]k1 = kv]k1 si sólo si u = v 3. d([2; 1; 1]; [1; 0; 3]) =
4 4. d(v; 0) = kv]k1
A. B. C. D. E.
2 3
1 2 3
5. Para la matriz A = 4 1 2 3 5 es correcto a…rmar que:
1 2 3

1.p( ) = 3 + 6 2 es su polinomio característico 2. = 6 es un valor propio
3.[1; 1; 1] es un vector propio 4.posee tres valores propios diferentes
A. B. C. D. E.

6. Es correcto a…rmar que la recta x = t, y = 4t, z = 7t es la intersección de los planos:

1. x 2y +z = 0 2. x+2y z = 0 3. 2x+3y 2z = 0 4. 2x 3y +2z = 0
A. B. C. D. E.
x+2 y 7 z 2 x 1 y+2
7. Sean p(2; 3; 5) un punto, L1 : = = y L2 : = =z+1
3 4 4 3 4
dos rectas y : 3x 2y + 7z = 4 es un plano, entonces es correcto a…rmar que la
distancia entre:


35
1. L1 y L2 es 3 2. p y L1 es 4;5 3. p y L2 es 4. p y es p
62
A. B. C. D. E.

8. Al reducir la ecuación 9x2 + y 2 z2 2y + 2z = 0 a una de las formas estándar, su
clasi…cación es:

1
1. Cono elíptico con vértice en ; 1; 1 2. Cono elíptico con el eje paralelo al
3
eje z 3. Cono elíptico con vértice en (0; 1; 1) 4. Cono elíptico con el eje paralelo al
eje x.
A. B. C. D. E.

9. La ecuación de la super…cie z = xy es equivalente a:

r 2 cot csc
1.. y = xz 2. z = sen(2 ) 3. = 4. x = yz
2 sen(2 )
A. B. C. D. E..

10. Si A y B son dos conjuntos cerrados de Rn entonces
_ _ _ _
1. A [ B es cerrado 2. A B es abierto 3. A [ B es abierto 4. A B
es cerrado
A. B. C. D. E.

PREGUNTAS ABIERTAS

1. Muestre que el conjunto de todos los numeros reales positivos forma un espacio
vectorial con las operaciones x + y = xy y x = x

2. Demuestre que cualquier combinación lineal de dos vectores paralelos es un vector
paralelo a ambos.

3. Demuestre que los vectores (1; a; a2 ); (1; b; b2 ) y (1; c; c2 ) son linealmente independi-
entes si a; b y c son diferentes.

4. Si V es el espacio vectorial de todas las funciones de valor real continuas y S el
conjunto de todas las funciones diferenciables. Pruebe que S no genera a V sobre R.
(Mostrando que f (X) = jxj no pertenece al generado por S)

5. Si v1 y v2 son vectores unitarios no paralelos, demuestre que el conjunto fv1 ,v2 ; v1
v2 g es una base.
P
n
6. Demuestre que kxk = jxi j es una norma en Rn .
i=1


7. Cada pareja de vectores u, v y w de R3 forma un angulo de . Suponiendo que:
3
kuk = 2 , kvk = 2 y kwk = 3 , calcule ku + v + wk

8. Los tres angulos directores de un cierto vector unitario son iguales y su valor esta
entre 0 y 2 , cual es el vector ?

9. Si u; v; w son vectores ortonormales y u+ v+ w = demuestre que = u, = v,
= w y de una interpretación geometrica.

10. Si v1 ; v2 ; :::; vn es una base ortonormal de Rn y x = s1 a1 + s2 a2 + ::: + sn an , y =
t1 a1 + t2 a2 + ::: + tn an entonces x y = s1 t1 + s2 t2 + ::: + sn tn .

11. Demuestre que si v es un vector de R3 y , y son los angulos que forma v con
los respectivos ejes de coordenadas, entonces cos2 + cos2 + cos2 = 1

12. Sean u, v y w vectores unitarios que son ortogonales entre si. Mostrar que si a =
u+ v+ w entonces = a u , = a v , = a wc

13. Si v y w son vectores de R3 y ademas kvk = 3 y kwk = 7. Si v w = 5 halle
kv wk

14. Demuestre que v proyw v es ortogonal a w, para todo v y w:
1
15. Demuestre que si T : V ! W es una transformación lineal y si T existe, entonces
T 1 es una transformación lineal.

16. Si A es una matriz de 2 2 demuestre que el polinomio caracteristico de A es igual
a P ( ) = 2 traza(A) + jAj

17. Sean P; Q; R tres puntos no colineales de R3 Si v = P Q y w = P R y S es el punto
1
medio del vector QR demuestre que P S = 2 (v + w)

18. Hallar la ecuacion del conjunto de rectas que pasan por el punto (2; 3; 4) y son
paralelas al plano XY y al plano XZ

19. Hallar la ecuación del plano que satisface las condiciones dadas:

a) Pasa por el punto P = (3; 2; 1) y es paralelo al plano 3x 2y + 4z = 7
b) Contiene al eje Z y forma un ángulo de con el eje X positivo.
4
c) Sus intersecciones con los ejes son : X = A, Y = B y Z = C

20. Dos caras de un cubo se encuentran en los planos 3x y + 2z = 5 y 3x y + 2z = 7
Calcule el volumen del cubo.

21. Mostrar que tres vectores A, B y C estan en el mismo plano que pasa por el origen
si y solo si existen escalares , y no todos nulos, tales que A + B + C = 0


22. Sea V = (3; 4; 5) y suponga que W es cualquier punto en R3 . Cuando genfV; W g es
una recta? Que tipo de recta?

23. Suponga que U; V y W son puntos arbitrarios de R3 . Bajo que circunstancias genfU; V; W g
es un plano, es una recta, es un punto

24. Sea W el plano que contiene a la recta y = x en el plano XY y tambien contiene al
eje Z. Encuentre una base para W .

25. Identi…que la super…cie z = xy haciendo una rotación adecuada de los ejes en el
plano XY .

26. Hallar la ecuación de la super…cie que satisface las condiciones dadas.

a) El conjunto de todos los puntos P (x; y; z) equidistantes del punto (0; 5; 0) y del
plano y = 5.
b) El conjunto de todos los puntos P (x; y; z) equidistantes del punto (2; 0; 0) y del
plano yz.
c) El conjunto de todos los puntos P (x; y; z) tales que la distancia de P al eje X
sea el triple de la distancia de P al plano Y Z.

27. Debido a las fuerzas causadas por su rotación, la tierra es un elipsoide oblato en
lugar de una esfera. El radio ecuatorial mide 3963 millas y el radio polar mide 3950
millas. Determine la ecuación del elipsoide, asumiendo que el centro de la tierra está
en (0; 0; 0) y que la traza formada por el plano z = 0 corresponde al ecuador.

28. Demuestre que la curva intersección entre las super…cies x2 + 2y 2 z 2 + 3x = 1 y
2x2 + 4y 2 2z 2 5y = 0 se encuentra en un plano.

29. Encuentre una ecuación en coordenadas cilindricas y una ecuación en coordenadas
rectangulares equivalente a la ecuacióon Sen Cos = 1.

30. Encuentre una ecuación en coordenadas rectangulares y una ecuación en coordenadas
esfericas equivalente a la ecuación r2 Cos(2 ) + z 2 = 1
p
31. Describa el sólido acotado inferiormente por el cono z = x2 + y 2 e superiormente
por la esfera x2 + y 2 + z 2 = 1

32. La parabola z = 4y 2 (con x = 0) se hace girar alrededor del eje Z. Escriba una
ecuación para la super…cie resultante en coordenadas cilindricas.

33. Determine la ecuación de una esfera con centro en (h; i; j) y radio k, en coordenadas
esfericas.

CAPÍTULO 2

FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES

El que espera desespera
dice la voz popular
!Que verdad tan verdadera¡
La verdad es lo que es,
y sigue siendo verdad
aunque se piense al revés.
A. MACHADO, CXXXVI
"Proverbios y cantares"

49

50 CAPÍTULO 2. FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES

En los cursos anteriores de calculo, se estudiaron funciones de valor real y variable real.
Funciones f : A ! B donde tanto A como B son subconjuntos de R. A es el dominio
de f , B el codominio de f y el rango o recorrido de f es el conjunto de los b 2 B tales
que b = f (a) , con a 2 A. En este capitulo se generalizará para dimensiones mayores el
estudio de todos los tipos de funciones F cuyo dominio es un subconjunto de Rn y cuyas
imagenes son puntos de Rm , denominadas funciones de varias variables.
Una regla F que asocia a cada elemento x de U Rn exactamente un punto z de Rm ,
se denomina función de Rn en Rm .
F : U Rn en Rm ; con z = F(x) donde x = (x1 ; x2 ; :::; xn ) 2 U y z = (z1 ; z2 ; :::; zm ) 2
Rm

2.1. Funciones de variable real y valor vectorial
Las funciones de varias variables que estan más relacionadas con las vistas en los
cursos anteriores de cálculo son las funciones de variable real y valor vectorial. La forma
mas sencilla es considerar un vector de funciones de variable real y valor real. En esta
sección se estudiaran este tipo de funciones, su estudio no es tan diferente del estudio
de las funciones de variable real y valor real tratadas en los anteriores cursos de cálculo
ya que si fk son funciones de I R en R y consideramos el vector f (t) = [fk (t)] con
k = 1; 2; :::; m entonces f es una función de I R en Rm .
Una función f cuyo dominio es un subconjunto I de R y cuyo rango es un subconjunto
de Rm con m 2 se denomina función de variable real y valor vectorial, por simplicidad
la denominaremos función real-vectorial.

Notación 2 f :I R en Rm con w = f (t) donde w = (w1 ; w2 ; :::; wm ) 2 Rm

Si f es una función real-vectorial de I R en Rm , entonces para cada wk de w; fk (t) =
wk se denomina función componente o coordenada de f . Las funciones componentes o
coordenadas de una función de variable real y valor vectorial f son funciones fk de variable
real y valor real, que se trataron en los cursos anteriores de cálculo.

Propiedad 2.1.1 Si f : es una función real-vectorial de I R en Rm , entonces:
(i) El dominio de f es el mayor subconjunto I de R en el que f esta de…nida, o sea el
conjunto de números reales t tales que f (t) existe.
(ii) El codominio de f es Rm .
(iii) El rango o recorrido de f es el conjunto f (I), o sea el conjunto de puntos f (t)
para cada t 2 I.

Ejemplo 2.1.1 Sean f1 (t) = 2 + 3t, f2 (t) = 5 + t2 y f3 (t) = 2t3 , podemos formar la
función f (t) = [2 + 3t; 5 + t2 ; 2t3 ], tambien podemos representar a f usando la base
canonica de R3 como f (t) = (2 + 3t)i + ( 5 + t2 )j + (2t3 )k. El dominio de f es R, ya que
el dominio de cada una de sus funciones componentes es R, el rango de f es el conjunto
R = f(w1 ; w2 ; w3 )jw2 5g.

2.1. FUNCIONES DE VARIABLE REAL Y VALOR VECTORIAL 51

Como todas las funciones componentes de una función real-vectorial dependen de la
misma variable t, entonces t se denomina parametro, luego la grá…ca de una función real-
vectorial es una curva parametrizada, los unicos casos que se pueden gra…car de manera
convencional son los de R en R2 denominadas curvas planas paramerizadas y los de R en
R3 , denominadas curvas en el espacio parametrizadas.
Ejemplo 2.1.2 Dibujar la curva plana representada por la función real-vectorial f (t) =
[cos t; 3sent] 0 t 2
y2
x = cos t y y = 3sent, despejando cos t y sent obtenemos x2 = cos2 t y = sen2 t
9
y2
entonces x2 + = 1 es su ecuación rectangular,
9
la grá…ca de esta ecuación es una elipse
y
4

2

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5
x
-2

-4

La intersección entre dos super…cies se puede representar por medio de una función
real-vectorial de R en R3 .
Ejemplo 2.1.3 Encuentre una función real-vectorial que represente la curva intersección
p
entre el cono z = x2 + y 2 y el plano z = 1 + y.

p
Reemplazando la segunda ecuación en la primera ecuación, obtenemos 1+y = x2 + y 2
x2 1
luego 1 + 2y = x2 entonces y =
2 2
t2 1 1 t2 t2 1 1 t2
por lo tanto si x = t, y = y z = + , y f (t) = t; ; +
2 2 2 2 2 2 2 2

Ejemplo 2.1.4 La curva plana trazada por un punto p sobre la circunferencia de un
círculo de radio r, cuando el círculo rueda a lo largo de una recta se denomina cicloide
(el matemático francés Blaise Pascal 1 la estudio en 1649). Las ecuaciones paramétricas
de la cicloide son
x = r( sen ) y = r(1 cos ) 2R

Si dos objetos se desplazan por el espacio siguiendo dos trayectorias, para saber si se
chocarán, se debe saber si las trayectorias se cortan y si ademas los objetos estarán en la
misma posición en lá intersección de sus trayectorias

Ejemplo 2.1.5 Dos partículas siguen las trayectorias de…nidas por las siguientes fun-
ciones f (t) = [t2 ; t2 ; t2 ] y g(t) = [4t 3; 7t 12; 5t 6].¿ chocarán?
Se
Veamos para que valor(es) de t son iguales las funciones f y g.
t2 = 4t 3, entonces t2 4t + 3 = 0 luego t = 3 o t = 1
1

Blaise Pascal (Clermont-Ferrand, Auvernia, Francia, 19 de junio de 1623
- París, 19 de agosto de 1662), matemático, físico y …lósofo religioso francés.
Considerado el padre de las computadoras junto con Charles Babbage. Sus
contribuciones a las ciencias naturales y aplicadas incluyen la invención y
construcción de calculadoras mecánicas, estudios de la teoría matemática de
probabilidad, investigaciones sobre los ‡uidos y la aclaración de conceptos
tales como la presión y el vacío. Después de una experiencia religiosa profun-
da en 1654, Pascal abandonó las matemáticas y la física para dedicarse a la
…losofía y a la teología, publicando en este periodo sus dos obras más conoci-
das: Las Lettres provinciales (Cartas provinciales) y Pensées (Pensamientos).
Con dieciséis años escribió su primer trabajo serio sobre matemática a modo
de prueba llamado Essai pour les coniques (Ensayo sobre cónicas), basándose en un trabajo de Desargues
que había merecido su interés..En 1654, Pascal mantiene correspondencia con Pierre de Fermat y envía
una primera aproximación al cálculo de probabilidades, ese mismo año publica el tratado del triángulo
aritmético en el que describe las propiedades y aplicaciones del triángulo aritmético o triángulo de Pascal,
manera de presentar coe…cientes binomiales (aunque los matemáticos chinos conocían el triángulo desde
siglos atrás).


t2 = 7t 12 entonces t2 7t + 12 = 0 luego t = 4 o t = 3
t2 = 5t 6 entonces t2 5t + 6 = 0 luego t = 3 o t = 2
por lo tanto se chocarán en t = 3

Los conceptos de límite, continuidad, derivada e integral, se generalizan facilmente a
una función real-vectorial.

Si f es una función real-vectorial de I R en Rm y a es un punto interior o frontera
de I se dice que limite cuando t tiende a a de f (t) es igual a L, escrito l mf (t) = L
t!a
si y solamente si 8 2> 0, 9 > 0, tal que si jt aj < implica que kf (t) Lk <2.

Una función real-vectorial f tiene límite en a si cada una de sus funciones componentes
fk tiene límite en a, o sea l mf (t) = L si y solamente si l mfk (t) = Lk para k = 1; 2; ::::m.
t!a t!a

Nota : A partir de las funciones componentes fk de una función de valor vectorial F
podemos asegurar que l mF(t) = L si y sólamente si l mFk (t) = Lk 8k = 1; 2; :::; m. O
t!a t!a
sea el límite de una función vectorial existe, si existen los límites de las funciones que
lo componen, cada uno de estos límites es de una función de variable real y valor real
considerados en el curso de cálculo de una variable.

Ejemplo 2.1.6 Si f (t) = [cos t; sent] demuestre que l mf (t) = [1; 0]
t!0
Utilizando la de…nición formal de límite si jtj < pveamos que k[cos t; sent] [1; 0]k <2,
k[cos t; sent] [1; 0]k = k(cos t 1; sent)k = (cos t 1)2 + (sent)2 jcos t 1j +
jsentj < 2
por lo tanto si jtj < implica que jcos t 1j < y jsentj < , luego = 2
2 2

Propiedad 2.1.2 Suponga que f y g son funciones de variable real y valor vectorial que
poseen límite cuando t ! a y sea c una constante, entonces:
a. l m(f (t) g(t)) = l mf (t) l mg(t)
t!a t!a t!a
b. l mcf (t) = cl mf (t)
t!a t!a
c. l m(f (t) g(t)) = l mf (t) l mg(t)
t!a t!a t!a
d. l m(f (t) g(t)) = l mf (t) l mg(t) en R3
t!a t!a t!a

sent t 2
Ejemplo 2.1.7 Evaluar l m ; e ; t + 3t + 2 :
t!0 t
Calculamos el límite de cada una de sus funciones componentes (si existen).
sent
lm = 1, l met = 1 y l m(t2 + 3t + 2) = 2
t!0 t t!0 t!0
sent t 2
luego l m ; e ; t + 3t + 2 = [1; 1; 2]
t!0 t


Una función real-vectorial f es continua en a si:
a. f (a) existe
b.l mf (t) existe
t!a
c. l mf (t) = F (a)
t!a

f es continua en a si y solamente si l mf (t) = f (a)
t!a

Una función real-vectorial f es continua en a si cada una de sus funciones componentes
fk es continua en a.

sent t 2
Ejemplo 2.1.8 La función real-vectorial f (t) = ; e ; t + 3t + 2 es discontinua en
t
t = 0, pero está discontinuidad es removible ya que el límite en t = 0 existe (ejemplo
anterior), luego f se puede volver continua redi…niendola de la siguiente manera F (t) =
8
< sent t 2
; e ; t + 3t + 2 si t 6= 0
t
:
[1; 1; 2] si t = 0

La derivada de una función f real-vectorial se puede de…nir de la misma manera que
para las funciones de variable real y valor real, excepto que la derivada ahora es un vector.
f (a + h) f (a)
Si f es derivable en a entonces f 0 (a) = l m siempre que el lìmite
h!0 h
exista. f es derivable en a si y solamente si f 0 (a) = [fk (a)]
0

Si p y q son puntos cuyos vectores posición son f (t) y f (t + h) entonces el vector pq
es secante a la curva determinada por f (t). Si h ! 0 el vector tiende a un vector que esta
en la recta tangente, por lo tanto el vector f 0 (t) se denomina vector tangente a la curva
determinada por f (t) en el punto p, siempre que f 0 (t) exista y f 0 (t) 6= 0.
Ejemplo 2.1.9 Calcule la derivada de f (t) = [tsent; t2 ; cos(3t)].
Derivando cada una de las funciones componentes obtenemos
f 0 (t) = [sent + t cos t; 2t; 3sen(3t)]
Ejemplo 2.1.10 Encuentre la ecuación de la recta tangente a la curva determinada por
p
f (t) = ln t; 2 t; t2 en el punto (0; 2; 1).
1 1
Hallamos el vector tangente f 0 (t) = ; p ; 2t
t 2 t
1
en el punto t = 1, f 0 (1) = 1; ; 2
2
1
luego [x; y; z] = [0; 2; 1] + t 1; ; 2 es la ecuación vectorial de la recta.
2

La curva determinada por una función real-vectorial f es suave o regular en un inter-
valo abierto I si f 0 (t) es continua y f 0 (t) 6= 0 para todo valor t del intervalo I.


Propiedad 2.1.3 Si f y g son funciones real-vectorial derivables y c es una constante,
entonces:
a. (f (t) g(t))0 = f 0 (t) g 0 (t)
b. (cf (t))0 = cf 0 (t)
c. (f (t) g(t))0 = f 0 (t) g(t) + f (t) g 0 (t)
d. (f (t) g(t))0 = f 0 (t) g(t) + f (t) g 0 (t) (en R3 )

Igual que con las funciones de variable real y valor real, la segunda derivada de una
función real-vectorial f es la derivada de f 0 , o sea f 00 (t) = (f 0 (t))0

Ejemplo 2.1.11 La segunda derivada de f (t) = [tsent; t2 ; cos(3t)] es
f 00 (t) = [sent + t cos t; 2t; 3sen(3t)]0 = [2 cos t tsent; 2; 9 cos(3t)]

De manera similar la integral de una función real-vectorial se puede de…nir de la misma
manera que para las funciones de variable real y valor real, excepto que la integral es un
vector.
Una función real-vectorial derivable F es una antiderivada de una función real-vectorial
f en un intervalo I si F 0 (t) = f (t) en cada t de I.
La integral inde…nida de una función real-vectorial f respecto a t es el conjunto de todas
R
las antiderivadas de f y se nota por f (t)dt = F (t) + C, donde F es una antiderivada
R R
de f . Si f es una función real-vectorial integrable, entonces f (t)dt = fk (t)dt + ck

Ejemplo 2.1.12 Hallar f (t) sabiendo que f 0 (t) = [cos t; 2tsent2 ; 2t] y f (0) = [1; 0; 3]
Integrando f 0 (t) obtenemos
f (t) = [sent + c1 ; cos t2 + c2 ; t2 + c3 ]
como f (0) = [1; 0; 3]
c1 = 1; c2 = 1 y c3 = 3
entonces f (t) = [sent + 1; cos t2 + 1; t2 + 3]

R 1
Ejemplo 2.1.13 Evaluar ; cos t; 3t dt
t
Integrando cada una de las funciones coordenadas obtenemos
R 1 3
; cos t; 3t dt = ln t + c1 ; sent + c2 ; t2 + c3
t 2

Si f es una funcióni
hR real-vectorial de…nida y acotada en un intervalo I = [a; b], entonces
Rb b
a
f (t)dt = a fk (t)dt

Teorema 2.1.1 Si fh es una función real-vectorial continua en un intervalo I = [a; b],
i
Rb Rb
entonces a f (t)dt = a fk (t)dt


Demostración. Utilizando la de…nición de integral de…nida en una variable
Rb P
n
a
f (t)dt = l m f (ti )4t
n!1i=1
P
n
= lm fk (ti )4t
n!1 i=1
Pn
= l m fk (ti )4t
n!1
hR i=1 i
b
= a fk (t)dt

R4 p
Ejemplo 2.1.14 Evaluar 1 t; t; et dt.
Integrando cada una de las funciones coordenadas y aplicando el teorema fundamental
del cálculo.
R4 t2 15
1
tdt = j4 =1
2 2
R4p 1 4 1
1
tdt = p j1 =
2 t 4
R4 t t 4 4
1
e dt = e j1 = e e
R4 p t 15 1 4
Por lo tanto 1 t; t; e dt = ; ;e e
2 4

Propiedad 2.1.4 Si f y g son funciones real-vectorial continuas en un intervalo I = [a; b]
y c es R
una constante, entonces:
Rb Rb
b
a. a (f (t) g(t))dt = a f (t)dt g(t)dt
Rb Rb a
b. a (cf (t))dt = c a f (t)dt
Rb Rb Rb
c. a (f (t) g(t))dt = a f 0 (t)dt a g(t)dt
Rb Rb Rb
d. a (f (t) g(t))dt = a f (t)dt a
g(t)dt (en R3 )


1. Para la función real-vectorial determine la imagen de 1, h, h + 4h

p 1
a) f (t) = t;
t
b) f (t) = [ln t; et ; tt ]
c) f (t) = [t; t2 ; t3 ; t4 ]

2. Para la función real-vectorial determine dominio, rango y grá…ca.

a) f (t) = [2t + 1; t2 ]
b) f (t) = [3 cos t; 2sent]
c) f (t) = [t cos t; tsent; t]


3. Evaluar el límite.(si existe).

1 1
a) l m ; 2
t!0 t2 +1 t 1
t 1
b) l m ;
t!0 sent cos t
p
et 1 1 + t 1 cos t 1
c) l m ; ;
t!0 t t t

4. Determinar la continuidad de la función real-vectorial.
t+1 t 1
a) f (t) = ;
t 1 t+1
p
b) f (t) = ln t; t 1; sent
c) f (t) = [tan t; 2t ; t 1]

5. Para cada función real-vectorial.hallar f 0 (t) y f 00 (t)

a) f (t) = [e3t ; sen(2t)]
b) f (t) = [2t ; log t; t3 ]
p
c) f (t) = senht; cosh t; t

6. Hallar la ecuación de la recta tangente a la grá…ca de la función real-vectorial f .

a) f (t) = [t + 1; t2 + 1; t3 + 1], para t = 0
b) f (t) = [et ; e2t ; e3t ] para t = 1
c) f (t) = [sent; cos t; t] para t =

7. Encontrar los intervalos donde la función real-vectorial es suave.

a) f (t) = [t2 ; t3 ]
2 2t
b) f (t) = ;
1+t 1+t
p p p
c) f (t) = t; 3 t; 4 t

8. Si f (t) = y g(t) = hallar

a) (f (t) g(t))0
b) (f (t) + g(t))0
c) (f (t) g(t))


9. Hallar f (t) para las condiciones dadas.
p
a) f 0 (t) = 2t; t , f (0) = [1; 2]
p
b) f 0 (t) = 2t; 3t2 ; t , f (1) = [1; 1; 0]
c) f 0 (t) = [t; et ; tet ], f (0) = [1; 1; 1]

10. Evaluar la integral de la función real-vectorial
R
a) [et ; 3t; ln t] dt
R1
b) 0
[t; et ; tet ] dt
R =4
c) 0
[cos t; sent; sec2 ] dt

11. Si f es derivable demuestre que kf (t)k es constante si y solamente si f (t) f 0 (t) = 0

12. Hallar los puntos sobre la curva determinada por la función f (t) = [t; 1 + t2 ] en los
que:

a) f (t) y f 0 (t) son perpendiculares.
b) f (t) y f 0 (t) son paralelos con el mismo sentido.
c) f (t) y f 0 (t) son paralelos con sentido contrario.

13. Utilizando un CAS construya una función que permita gra…car una funcíon real-
vectorial y su recta tangente en un punto dado.

2.2. Aplicaciones
Se puede representar el movimiento de una particula en el plano o en el espacio uti-
lizando una función de variable real y valor vectorial, luego utilizar la primera y segunda
derivada de esta función para determinar la velocidad y la aceleración de la particula.
A partir de la posición de una particula y bajo ciertas condiciones es posible hallar la
velocidad, la aceleración y la rápidez de la particula

Si una función real vectorial f determina la posición de un objeto en el plano o en el
espacio y f tiene primera y segunda derivada, entonces:
velocidad del objeto es v(t) = f 0 (t),
v(t)
dirección del movimiento del objeto es ,
kv(t)k
aceleración del objeto es a(t) = f 00 (t)
rapidez del objeto es kv(t)k = kf 0 (t)k

2.2. APLICACIONES 59

Ejemplo 2.2.1 Hallar la velocidad, la dirección, la aceleración y la rapidez de una partícu-
la que se mueve a lo largo de la hélice circular determinada por f (t) = [a cos t; asent; bt]
con a > 0 y b > 0:
Velocidad v(t) = [ asent; acost; b]
asent a cos t b
Dirección p ; p ;p
a 2 + b2 a 2 + b2 a 2 + b2
Aceleración a(t) = [ a cos t; asent; 0]
p
Rapidez kv(t)k = a2 + b2

El matemático suizo John Bernoulli2 mostro que entre las curvas posibles que unen
dos puntos A y B, una particula tomará el menor tiempo posible de deslizamiento de A a
B si la curva es parte de un arco invertido de una cicloide.

Consideremos el objeto como un proyectil y supongamos que la unica fuerza que actua
sobre el después de su lanzamiento, es la gravedad. Supongamos que el movimiento ocurre
en un plano vertical que puede representarse por el plano xy y el origen un punto sobre la
super…cie de la tierra. La fuerza gravitatoria para un proyectil de masa m es F = mgj
donde g = 32 pies=seg 2 o g = 9;81 m=seg 2 , por la segunda ley del movimiento de Newton
esta misma fuerza produce una aceleración a(t) tal que F = ma(t) luego mgj = ma(t)
entonces a(t) = gj es la aceleración del proyectil.

Teorema 2.2.1 Despreciando la resistencia del aire, la trayectoria de un proyectil lanzado
de una altura inicial h con rapidez inicial v0 y ángulo de elevación se describe por medio
1 2
de la función real-vectorial f (t) = (v0 cos )ti + h + (v0 sen )t gt j donde g es la
2
constante de gravedad.
2

Johann Bernoulli (Basilea, Suiza 27 de julio de 1667 - misma ciudad, 11 de
enero de 1748), también conocido como Jean o John, fue un matemático, médico
y …lólogo suizo. Su padre de religión calvinista deseaba que su hijo se convirtiera
en comerciante y aceptó entrar como aprendiz en el negocio familiar de especias
y medicinas, pero terminó por hacerlo tan mal que su contrariado padre se vio
obligado a recti…car su orientación originaria, entonces su padre decidió que se
convirtiera en médico, profesión también relacionada con el negocio familiar. En
1683 ingresa en la Universidad de Basilea y saca el título de médico, sin embargo
durante este tiempo junto a su hermano Jakob también se dedicó a aprender el
lenguaje de los números. Las novedades matemáticas de Leibniz sobre el cálculo
in…nitesimal cautivaron a ambos hermanos. En 1691 viaja a París para guiar a
los matemáticos franceses en el uso del cálculo entre los cuales se hallaba el marqués de Guillaume de
l’Hôpital. En Francia se convirtió en defensor de Leibniz en la polémica que mantenía con Isaac Newton
por quien había sido el primero en enunciar los principios del cálculo in…nitesimal. Se centró en el cálculo
in…nitesimal y resolvió la ecuación diferencial de Bernoulli, propuesta por su hermano. Sus hijos Nicolau,
Daniel y Johann Bernoulli fueron grandes matemáticos.


Demostración. Integrando la aceleración a(t) = gj dos veces obtenemos
R R
v(t) = a(t)dt = gjdt = gtj + c1
R R 1 2
f (t) = v(t)dt = ( gtj + c1 )dt = gt j + c1 t + c2
2
Usando el siguiente hecho v(0) = v 0 y f (0) = f 0 hallamos c1 y c2
c1 = v 0 y c2 = f 00 (t)
1 2
luego f (t) = gt j + v 0 t + f 0
2
utilizando las condiciones iniciales f 0 = hj, v0 = kv 0 k
v 0 = xi + yj = kv 0 k cos i + kv 0 k sen j = v0 cos i + v0 sen j
1 2
por lo tanto f (t) = gt j + (v0 cos i + v0 sen j)t + hj
2
1 2
= v0 cos ti + h + v0 sen t gt j
2
Para el movimiento de un proyectil cuando se lanza desde el origen sobre una super…cie
horizontal con una rapidez inicial v0 y un ángulo de lanzamiento .
(v0 sen )2
Altura máxima ymax =
2g
2v0 sen
Tiempo de vuelo t =
g
2
v0
Alcance xmax = sen(2 )
g

Ejemplo 2.2.2 Un proyectil se dispara con una rapidez inicial de 500 m=s con un ángulo
de elevación de 450
Consideremos v0 = 500 m=s, = 450 y g = 9;8 m=s2
(500 sen450 )2
altura máxima ymax = = 6377;55 m
2(9;8)
2 500 sen450
tiempo de vuelo t = = 72;15 s
9;8
5002
alcance xmax = sen(900 ) = 25510;2 m
9;8

Si una función real-vectorial f representa una curva suave C en un intervalo abierto
f 0 (t)
I entonces el vector T (t) = es un vector tangente unitario a C y el vector N (t) =
kf 0 (t)k
T 0 (t)
con T 0 (t) 6= 0 es un vector normal unitario a C
kT 0 (t)k
Ejemplo 2.2.3 Para la curva determinada por f (t) = [3sent; 3 cos t; 4t] determine T y N
Hallamos v(t) = [3 cos t; 3sent; 4] y kv(t)k = 5
3 cos t 3sent 4
luego T (t) = ; ;
5 5 5
y N (t) = [ sent; cos t; 0]


Una curva puede representarse por medio de diferentes funciones real-vectorial, o se
pueden parametrizar de diferentes formas, dependiendo del parámetro que se elija.

Teorema 2.2.2 La longitud de una curva continuamente diferenciable C determinada por
Rb
f (t), para t 2 [a; b] es s = a kf 0 (t)k dt

La longitud de arco es independiente de la parametrización que se utilice.
Si C es una curva suave determinada por una función f (t) de…nida en un intervalo
Rt
[a; b]. Para a t b, la función longitud de arco está dada por s(t) = a kf 0 (u)k du.
A la longitud de arco tambien se denomina parámetro longitud de arco y es una función
nonegativa.
ds
Utilizando el teorema fundamental del cálculo podemos ver que = kf 0 (t)k y en
dt
forma diferencial es ds = kf 0 (t)k dt

Ejemplo 2.2.4 Encuentre la longitud de la curva determinada por f (t) = [cos t; sent; ln cos t],
0 t
4 p
f 0 (t) = [ sent; cos t; tan t] y kf 0 (t)k = 1 + tan2 t
R =4 2t + =4 3
s = 0 sec tdt = ln tan j0 = ln tan ln tan 0;88
4 8 4

Si C es una curva suave determinada por una función f (t), la curvatura K en t está
kT 0 (t)k
dada por K =
kf 0 (t)k
Si C es una curva suave determinada por una función f (s) donde s es el parámetro
dT
longitud de arco, la curvatura K en s está dada por K = = kT 0 (s)k
ds
En un circulo tiene la misma curvatura en todos sus puntos.

1
Teorema 2.2.3 En un circulo de radio r la curvatura es igual a
r
Ejemplo 2.2.5 Encuentre la curvatura de f (t) = [t; t2 ; t3 ], en el punto (1; 1; 1)
p
f 0 (t) = [1; 2t; 3t2 ] y kf 0 (t)k = 1 + 4t2 + 9t4
f 0 (t) [1; 2t; 3t2 ]
de modo que T (t) = =p
p kf 0 (t)k 1 + 4t2 + 9t4
19 p
y kT 0 (1)k = , kf 0 (1)k = 14
7p
19
entonces K = p 0;166
7 14



1. Para la función f determine velocidad, dirección, aceleración y rapidez.

a) f (t) = [1 cos t; 1 sent]
b) f (t) = [1 cos t; 1 sent]
c) f (t) = [1 cos t; 1 sent]

2. Determine la longitud de la curva determinada por

a) f (t) = [1 cos t; 1 sent], 0 t
b) f (t) = [t; ln t; t ln t], 1 t 2
3=2 2
c) f (t) = 2t; 4t ; 3t , 0 t 1

3. Hallar la curvatura de f donde s es el parámetro de longitud de arco.

a) f (s) = [2 + s; 3]
b) f (s) = [2 + s; 3]

4. Hallar la curvatura de

a) f (t) = [cos t; sen2 t]
b) f (t) = [et cos t; et sent]
c) f (t) = [1; t; t2 ]

5. Determine la altura máxima, el iempo de vuelo y el alcance de un proyectil lanzado
desde el origen con los siguientes datos.

a) v0 = 500 m=s, = 600
b) v0 = 300 m=s, = 450
c) v0 = 600 m=s, = 300

6. Un proyectil se lanza desde el suelo con un ángulo de 150 con el piso. El proyectil debe
alcanzar un blanco a 150 pies de distancia. Determine la velocidad inicial requerida.

7. Hallar al ángulo con el que debe lanzarse un objeto para que

a) Tenga la máxima altura
b) Tenga el máximo alcance

2.3. CAMPOS ESCALARES 63

8. Un objeto de masa m sigue una trayectoria cuya posición en cada insante esta
determinada por f (t) = [a cos t; bsent], hallar la fuerza que actua sobre el objeto.

9. En los juegos olimpicos de Beiging la bielorusa Aksana Miankova lanzo un martillo
de 4 Kg. con un ángulo de 400 con respecto a el suelo, con una velocidad inicial de
28;35 m=seg y obtuvo la medalla de oro, determine:

a) Alcance del martillo.
b) Máxima altura alcanzada por el martillo.

10. Cual es la longitud de un camino constante. f : R ! Rm , f (t) = c

11. Para la helice determinada por f (t) = [a cos t; asent; bt], con a; b > 0 cual es la
máxima curvatura para un valor …jo b.

12. Utilizando un CAS construya una función que determine la curvatura.

2.3. Campos escalares
Existen muchas funciones de valor real que dependen de dos o más variables reales por
ejemplo el volumen V de un cilindro circular recto, depende de su altura h y de su radio
r; o la temperatura de una particula en el espacio depende de sus coordenadas x ; y y z,
la velocidad de una reacción quimica depende de la temperatura y de la presión del medio
ambiente en que ocurre. En esta sección se estudiaran funciones de valor real que dependen
de más de una variable real, o sea funciones reales de variable vectorial, funciones cuyo
dominio es un subconjunto de Rn y de imagenes números reales, denominadas campos
escalares.
Una funcion F cuyo dominio es un subconjunto D de Rn con n 2 y cuyo rango es
R se denomina campo escalar, F es una función de variable vectorial y valor real.

Notación 3 F :D Rn en R con z = F (x) donde x = (x1 ; x2 ; :::; xn ) 2 U y z 2 R

Nota : Cuando se trabaja en R2 o en R3 es usual usar x; y y z en lugar de x1 , x2 y
x3 ; y ademas z = F (x; y) o w = F (x; y; z)

Propiedad 2.3.1 Si F es un campo escalar de D Rn en R, entonces:
(i) El dominio de F es el mayor subconjuto D de Rn en el que F esta de…nido, o sea
el conjunto de las x tales que F (x) existe.
(ii) El codominio de F es R.
(iii) El rango o recorrido de F es el conjunto F (D), o sea el conjunto de puntos F (x)
para cada x 2 D.


Ejemplo 2.3.1 El campo escalar F (x; y) = 2x2 + 3y 2 asocia a cada (x; y) 2 R2 un único
número real 2x2 + 3y 2 , luego si (x; y) = (1; 2) F (1; 2) = 14.
El dominio de F es todo R2 pues 2x2 + 3y 2 esta de…nido para toda pareja (x; y) de R2
El rango de F es el conjunto de los z 2 R no negativos pues 2x2 + 3y 2 0 para toda
pareja (x; y) de R

Si F es un campo escalar de dos variables entonces el dominio D de F es una región
del plano xy, si F es de tres variables, enonces su dominio D es una región del espacio.

Ejemplo 2.3.2 Determine el dominio de los siguientes campos escalares, de manera al-
gebraica y geometríca.
p
1 x2 y 2
a. F (x; y) = b: F (x; y) = ln(xy)
pxy
1 x2 y 2
a. La expresión es válida si xy 6= 0 y 1 x2 y 2 > 0
xy
xy 6= 0 si x 6= 0 y y 6= 0, 1 x2 y 2 > 0 si x2 + y 2 < 1
D = f(x; y)jx2 + y 2 < 1,x 6= 0, y 6= 0g

gra…camente son los puntos del circulo, sin los ejes.
b. La expresiòn ln(xy) es vàlida si xy > 0
x > 0 y y > 0, o x < 0 y y < 0
D = f(x; y)jxy > 0g

gra…camente los puntos del primer y tercer cuadrante, sin los ejes.


Existen funciones que pueden estar de…nidas por una tabla y no por una fórmula.

Ejemplo 2.3.3 La siguiente tabla muestra el valor de un plan (en miles de pesos) en
telefonia celular, x representa el número de minutos utilizados en el operador Kassir, y
representa el número de minutos utilizados en otros operadores.
x n y 0 100 200
200 35 60 80
300 50 70 85
500 70 90 100
Se ve que un plan de 300 minutos en plan Kassir y 100 minutos en otros operadores
cuesta $70.000
El plan más economico vale $35.000 y consta de 200 minutos solamente al operador
Kassir.

Ejemplo 2.3.4 Para la función de producción de Cobb-Douglas3 P (L; K) = 50L0;6 K 0;4 ,
L representa la cantidad de mano de obra (horas trabajadas en un año) y K represen-
ta al capital invertido (maquinaria, equipo y sedes, en miles de dólares). Para 150 ho-
ras trabajadas en un año y 200 mil dólares en capital invertido la producción será de
P (150; 200) = 50(150)0;6 (200)0;4 = 8414;66

Dos campos escalares F y G de D Rn en R son iguales si F (x) = G(x) para todo
x de U , entonces deben tener igual dominio e igual rango.

Ejemplo 2.3.5 Los campos escalares F (x; y) = Lnxy y G(x; y) = Lnx + Lny no son
iguales.porque tienen diferente dominio.
Dominio de F es f(x; y)jxy > 0g y dominio de G es f(x; y)jx > 0 y y > 0g
Los campos escalares F (x; y) = jx + yj y G(x; y) = jxj + jyj no son iguales aunque
tienen igual dominio R2
Pues tienen imagenes diferentes. contraejemplo F (1; 1) = 0 y G(1; 1) = 2

Propiedad 2.3.2 Si F es un campo escalar de D Rn en R, entonces se dice que:
3

En economía, la función Cobb-Douglas es una forma de función de producción, ampliamente usada
para representar las relaciones entre un producto y las variaciones de los insumos tecnología , trabajo
y capital. Fue propuesta por Knut Wicksell (1851-1926) e investigada con respecto a la evidencia es-
tadística concreta, por Charles Cobb y Paul Douglas en 1928. El establecimiento de la función partió de
la observación empírica de la distribución de la renta nacional total de Estados Unidos entre el capital
y el trabajo. Los datos mostraron que se mantenía más o menos constante a lo largo del tiempo y a
medida que crecía la producción, la renta del total de los trabajadores crecía en la misma proporción que
la renta del conjunto de los empresarios. Douglas solicitó a Cobb establecer una función que resultara
en participación constante de los dos factores si ganaban en su producto marginal.


(i) F es inyectivo o uno a uno si a cada elemento del rango de F le corresponde ex-
actamente un elemento del dominio de F . Si F (x) = F (y) entonces x = y o si x 6= y
entonces F (x) 6= F (y)
(ii) F es sobreyectivo si el codominio de F es igual al rango de F . O sea si todo F (x) del
codominio de F proviene de por lo menos un elemento x del dominio de F .
(iii) F es biyectivo si F es inyectivo y sobreyectivo.
Propiedad 2.3.3 Algunos tipos de campos escalares. Si F : D Rn ! R es un campo
escalar se dice que F es:
(i) Campo escalar constante si F (x) = c (Constante) 8x 2 D
(ii) Campo escalar lineal si F (x) = a1 x1 + a2 x2 + ::: + an xn + b o F (x) = a x + b
con b 2 R y ai reales no todos cero.
(iii) Campo escalar polinomial si F (x) = a1 xr1 + a2 xr2 + ::: + an xrn + b con ai ,b 2 R
1 2 n
y ri 2 N.
G(x)
(iv) Campo escalar racional si F (x) = Con G(x) y F (x) campos escalares
H(x)
polinomiales.
(v) Campo escalar máximo (de n números) F (x) = max(x1 ; x2 ; :::; xn ) = xM tal que
xM xi , 8i = 1; 2; :::; n
(vi) Campo escalar mínimo (de n números) F (x) = m n(x1 ; x2 ; :::; xn ) = xm tal que
xm xi , 8i=1; 2; :::; n

Si F es un campo escalar de D Rn en R y g una funcion de I R en R, entonces
goF es un campo escalar de D Rn en R.
Nota : No se pueden componer dos campos escalares
y
Ejemplo 2.3.6 Si F x y; = y 2 x2 halle F (x; y) y su dominio.
x
y u
Haciendo u = x y y v = y resolviendo el sistema para x y y,obtenemos x =
x 1 v
uv
yy=
1 v
2 2 2 2
uv u xy x
entonces F (u; v) = luego F (x; y) = =
1 v 1 v 1 y 1 y
x2 (1 y 2 ) x2 (1 + y)
=
(1 y)2 1 y
El dominio de F es f(x; y)jy 6= 1g
Propiedad 2.3.4 Si F es un campo escalar de D1 Rn en R y G es un campo escalar
de D2 Rn en R, entonces de…nimos los siguientes camos escalares.
(i) kF : D1 Rn en R, con k 2 R tal que (kF )(x) = kF (x)
(ii) F G : D1 D2 Rn en R, tal que (F G)(x) = F (x) G(x)
(iii) F G : D1 D2 Rn en R, tal que (F G)(x) = F (x) G(x)
F F F (x)
(iv) : E Rn en R, tal que (x) = , donde E = D1 D2 fx 2
G G G(x)
D2 jG(x) = 0g



1. En las siguientes expresiones determine si es posible expresar a z como una función
de x y y (z = F (x; y)), a y como función de x y z (y = G(x; z)), a x como una
función de y y z (x = H(y; z))

a) xy + yz + xz = 3
b) ln(x + 2y + 3z) = 0
c) sen(x + y) + cos(y + z) = 1

2. Para los campos escalares dados determine la imagen de (k; 0); (0; k) ; (k; k); (x +
4x; y) y (x; y + 4y)

1
a) F (x; y) = p
x2 + y 2
b) F (x; y) = SenxCosy
c) F (x; y) = Ln(xy + x + y)

3. Para los campos escalares dados determine para que valores de (x; y), F (x; y) = k:
A donde envia F los puntos de la recta y = x . A donde envia F los puntos del
circulo unitario x2 + y 2 = 1

a) F (x; y) = x + y
x+y
b) F (x; y) = 2
x + y2
c) F (x; y) = Sen(x2 + y 2 )

4. Para los campos escalares dados determine dominio y rango.

x2 + y 2
a) F (x; y) =
x2 y 2
b) F (x; y) = Ln(xLny)
p p p
c) F (x; y; z) = x + y + z

5. Para los campos escalares dados gra…que su dominio y determine que tipo de con-
junto es.
p
a) F (x; y) = 4 x2 y 2
b) F (x; y) = sen 1 (x y)
x2 y2
c) F (x; y) = e

6. Determine si los campos escalares dados son iguales o no, justi…cando su respuesta.


a) F (x; y) = jxyj y G(x; y) = jxj jyj
p p p
b) F (x; y) = xy y G(x; y) = x y
r p
x x
c) F (x; y) = y G(x; y) = p
y y

F
7. Para los campos escalares F y G dados determine F + G; F G; y sus respectivos
G
dominios.

a) F (x; y) = x + y ; G(x; y) = x y
p p
b) F (x; y) = x + y + 1 ; G(x; y) = xy
x+y+z 1
c) F (x; y; z) = ; G(x; y; z) =
x y z x+y+z

8. Determine F (x; y) y su dominio.

a) F (x + y; x y) = x2 + y 2
x
b) F (x y; x + y) = + 1
y
x
c) F ( y ; xy) = xy + 1

9. Para el campo escalar dado F y la funcion dada g, determine goF
p 1
a) F (x; y) = x2 + y 2 ; g(t) =
t
1
b) F (x; y) = (x + 2)y+3 ; g(t) = Ln
t
c) F (x; y; z = T an(x + y + z) ; g(t) = et

10. Para el campo escalar determine dominio y rango.
8
< 12xy
si (x; y) 6= (0; 0)
a) F (x; y) = x2 + y 2
: 0 si (x; y) = (0; 0)
x2 + 4y 2 si x2 + 4y 2 5
b) F (x; y) =
3 si x2 + 4y 2 > 5
( x
3+1
si y 6= 1
c) F (x; y) = y
0 si y = 1

11. De una interpretacion geometrica del campo escalar F (x) = xi , (xi = i-esima coor-
denada de x)

2.4. GEOMETRÍA DE CAMPOS ESCALARES. 69

12. Se depositan $50000 en un titulo de ahorro a una tasa de interés compuesto con-
tiuamente r durante t años. Construya una tabla para determinar la cantidad para
r = 0;02, 0;05, 0;10, 0;15 y t = 1; 5; 10; 20
13. La temperatura en un punto (x; y) de una placa de metal plana está determinda por
40
T (x; y) = donde T se mide en grados centigrados, x, y en metros. Elija
1 + x2 + y 2
cuatro puntos de la placa (uno en cada cuadrante) y halle su temperatura.
14. Utilizando un CAS construya un campo escalar y evaluelo en varios puntos.

2.4. Geometría de campos escalares.
Si F es un campo escalar de D Rn en R , de…nimos la grá…ca de F como un conjunto
de puntos de Rn+1 tales que grá…ca f = f(x1 ; x2 ; :::; xn ; z) 2 Rn+1 jf (x1 ; x2 ; :::; xn ) 2 Dg
Nota: Los unicos campos escalares que se pueden gra…car de manera convencional son
los de R2 en R y su grá…ca es una super…cie.
Si F es un campo escalar de D Rn en R un conjunto de nivel es un subconjunto de
n
R en el que F es constante. Si n = 2 los conjuntos de nivel se denominan curvas de nivel
y se obtienen intersectando la super…cie con un plano horizontal. Si n = 3 los conjuntos
de nivel se denominan super…cies de nivel.

Ejemplo 2.4.1 Gra…cas de algunos campos escalares

-4 -4
-2 0
-100 0 -2
z -202 2
-30
4 4
y -40 x

F (x; y) = 4 x2 y2

10

z 5
-4 -4
-2 0 -2
0 0
22
4 4
y x
F (x; y) = jxj + jyj


1.0
-4 0.5
z -0.50 0 -2 -4
0.0
-2
-1.02 2
4 4
y x

F (x; y) = sen(x + y)

1.0

z 0.5
-4 0.0 -4
-2 -2
0 0
2 2
4 4
y x
(x2 +y 2 )
F (x; y) = e

Para un campo escalar F (x; y), la grá…ca de la funcion que se obtiene al mantener …ja
x y hacer variar a y se denomina seccion transversal de F con x …ja, la gra…ca de F (x; y)
con x = k es una curva o seccion transversal que se obtiene intersectando la gra…ca de F
con el plano x = k. De la misma forma se de…ne seccion transversal de F con y …ja.

Ejemplo 2.4.2 Describir las secciones transversales del campo escalar F (x; y) = x2 y 2
con x …ja y luego con y …ja, luego describa la forma de la gra…ca de F .
Las secciones transversales con x …ja en x = k son F (k; y) cuyas gra…cas son parabolas
que abren hacia abajo y las secciones transversales con y …ja en y = k son F (x; k) cuyas
gra…cas son parabolas que abren hacia arriba. La super…cie es un paraboloide hiperbolico
denomina silla de montar.


Las lineas de contorno o curvas de nivel de un campo escalar F (x; y) son las curvas
que se obtienen al intersectar la gra…ca de F con planos horizontales y cuyas ecuaciones
son F (x; y) = k o z = k (k numero real).
p
Ejemplo 2.4.3 Dibujar un diagrama de curvas de nivel de F (x; y) = x2 + y 2 y rela-
cionarlo con la gra…ca de F . p
Las curvas de nivel tienen por ecuación x2 + y 2 = k para k
p 0 y son circulos de
radio k, la super…cie es un cono circular.

La ley de Coulomb4 determina que la magnitud de cada una de las fuerzas eléctricas con
que interactúan dos cargas puntuales en reposo es directamente proporcional al producto
4

Charles-Augustin de Coulomb (Angoulême, Francia, 14 de junio de 1736 - París,
23 de agosto de 1806). Físico e ingeniero militar francés. Se recuerda por haber
descrito de manera matemática la ley de atracción entre cargas eléctricas. En su
honor la unidad de carga eléctrica lleva el nombre de coulomb (C). Entre otras teorías
y estudios se le debe la teoría de la torsión recta y un análisis del fallo del terreno
dentro de la Mecánica de suelos. Fue el primero en establecer las leyes cuantitativas
de la electrostática, además de realizar muchas investigaciones sobre: magnetismo,
rozamiento y electricidad. Sus investigaciones cientí…cas están recogidas en siete
memorias, en las que expone teóricamente los fundamentos del magnetismo y de la
electrostática. En 1777 inventó la balanza de torsión para medir la fuerza de atracción
o repulsión que ejercen entre si dos cargas eléctricas, y estableció la función que liga
esta fuerza con la distancia. Con este invento, culminado en 1785, Coulomb pudo establecer el principio,
que rige la interacción entre las cargas eléctricas, actualmente conocido como ley de Coulomb


de la magnitud de ambas cargas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia
que las separa.Si V (x; y) es el potencial électrico en un punto (x; y) del plano xy, entonces
las curvas de nivel de V se llaman curvas equipotenciales, porque en todos los puntos de
ellas el potencial électrico es el mismo.
c
Ejemplo 2.4.4 Trace algunas curvas equipotenciales si V (x; y) = p para
r2 x2 y2
r=4yc=1

Es imposible visualizar un campo escalar F de mas de tres variables mediante una gra…-
ca, debido a que estaria en un espacio de dimension mayor o igual a cuatro. Sin embargo
podemos saber sobre un campo escalar F de tres variables examinando sus super…cies de
nivel, que son super…cies con ecuaciones F (x; y; z) = k donde k es un numero real.

Ejemplo 2.4.5 Describa las super…cies de nivel de F (x; y; z) = x2 + y 2 + z 2
Las super…cies son esferas concentricas de radio w = F (x; y; z), w > 0.


1. Gra…que los campos escalares dados

a) F (x; y) = xy
y
b) F (x; y) = ArcT an x
c) F (x; y) = Ln(x2 + y 2 )

2. Describir las secciones transversales del campo escalar

a) F (x; y) = 2 x2 y2
x2 y 2
b) F (x; y) = e
c) F (x; y) = xseny

3. Dibujar un diagrama de curvas de nivel de los campos escalares dados


a) F (x; y) = xy 2 x3
b) F (x; y) = xy 3 yx3
p
c) F (x; y) = Sen x2 + y 2

4. Describa las super…cies de nivel de los campos escalares dados

a) F (x; y; z) = x2 + y 2
b) F (x; y; z) = x2 y2 + z2
c) F (x; y; z) = x2 + 2y 2 + 3z 2

5. Relacione cada campo escalar con alguna de las grá…cas A a C

a) F (x; y) = jxyj
b) F (x; y) = xy(y 2 x2 )
c) F (x; y) = cos x + cos y

200 2
-4 100 -4 -4 1 -4
-2 0
z -1000 0 -2 z -2-10 0 -2
0
-200 2
2 -2 2
2
y4 4x y4 4x

A. B.

20
z 10
-4 -4
-2 0 -2
0 0
2 2
y 4 4x

C.

6. Determine donde se de…ne G y como es la grá…ca de G respecto a la grá…ca de F ,
justi…que su respuesta.

a) G(x; y) = F (x x0 ; y y0 ) donde (x0 ; y0 ) es un punto dado de R2
b) G(x; y) = F (kx; ky) donde k 2 R
c) G(x; y) = F (x; y)


7. Una lamina de metal tiene una temperatura T (x; y) en cada punto (x; y), las cur-
vas de nivel de T se denomnan isotermas porque la temperatura es igual en todos
60
los puntos de la curva. Para la función T (x; y) = gra…que algunas
1 + x2 + 2y 2
isotermas.
8. Utilizando un CAS construya una función que permita gra…car las curvas de nivel
de un campo escalar dado.

2.5. Funciones vectoriales
Una función F cuyo dominio es un subconjunto D de Rn y cuya imagen esta en Rm
se denomina función vectorial si n; m > 1. F es una función de variable vectorial y valor
vectorial.
Notación 4 F :D Rn en Rm con z = F(x)
Propiedad 2.5.1 Si F es una función vectorial de D Rn en Rm , entonces:
(i) El dominio de F es el mayor subconjunto D de Rn en el que F esta de…nida, o sea
el conjunto de las x 2 Rn tales que F(x) existe.
(ii) El codominio de F es Rm .
(iii) El rango o recorrido de F es el conjunto F (D), o sea el conjunto de puntos F (x)
para cada x 2 D.

Dos funciones vectoriales F y G de D Rn en Rm son iguales si F (x) = G(x) para
todo x de D, luego deben tener igual dominio e igual rango.
Si F es una función vectorial de D Rn en Rm , entonces para cada zi de z; Fi (x) =
zi se denomina función componente o coordenada de F . Las funciones componentes o
coordenadas de una función vectorial F son funciones Fi denominadas campos escalares,
que se trataron en la anterior sección. (zi = F (x))
Propiedad 2.5.2 Una función vectorial F de D1 Rn en Rm se dice que es lineal si
satisface las siguientes condiciones:
(i) F (x + y) = F (x) + F (y) para todo x; y de D
(ii) F (kx) = kF (x) 8k 2 R
1 1 1 1
Ejemplo 2.5.1 La función vectorial F (x; y) = ; ; + asocia a cada (x; y) 2
x+y x y x y
R2 un único vector F (x; y) 2 R3 cuyas funciones coordenadas son
1 1 1 1
F1 (x; y) = ; F2 (x; y) = y F3 (x; y) = + .
x+y x y x y
Dominio de F1 = f(x,y)jx 6= yg, Dominio de F2 = f(x; y)jx 6= yg y Dominio de
F3 (x; y) = f(x; y)jx 6= 0 y y 6= 0g.
Luego dominio de F = f(x; y)jx 6= y y x 6= yg

2.5. FUNCIONES VECTORIALES 75

Propiedad 2.5.3 Si F es una función vectorial de D Rn en Rm , entonces:
(i) F es inyectiva o uno a uno si a cada elemento del rango de F le corresponde
exactamente un elemento del dominio de F . Si F (x) = F (y) entonces x = y o si x 6= y
entonces F (x) 6= F (y)
(ii) F es sobreyectiva si el codominio de F es igual al rango de F . O sea si todo
F (x) del codominio de F proviene de por lo menos un elemento x del dominio de F ,.codominio
de F es Rm .
(iii) F es biyectiva si F es inyectiva y sobreyectiva.
Ejemplo 2.5.2 Sea F(x; y) = [a11 x + a12 y; a21 x + a22 y] veamos que si F es inyectivo en-
tonces F es sobreyectivo. Supongamos que F (x1 ; y1 ) = F (x2 ; y2 ) implica que x1 = x2 y
y1 = y2 , luego [x1 ,y1 ] = [x2 ; y2 ], entonces F es inyectivo y como dominio de F es R2 y
rango de F es R2 entonces F es sobreyectivo.

Si en una función vectorial F de D Rn en Rm n es igual a m, entonces F se
denomina campo vectorial. La grá…ca de un campo vectorial esta determinada por un
conjunto de vectores en Rn de inicio x 2 D y extremo F (x).
Ejemplo 2.5.3 Gra…car algunos vectores del campo vectorial F (x; y) = [ y; x]

Propiedad 2.5.4 Algunos tipos de campos vectoriales. Si F : D Rn ! Rn es un campo
vectorial se dice que F es:
(i) Campo vectorial constante si F (x) = [k] 8x 2 D
(ii) Campo vectorial identico (radial) si F (x) = [x] 8x 2 D
(iii) Campo vectorial lineal si F (x) = [a x] 8x 2 D y a 2 Rn
(iv) Campo vectorial gradiente si F (x) = rF (x) 8x 2 D, donde F es un campo
escalar de D Rn en R diferenciable en x

Algunos ejemlos …sicos de campos vectoriales son los campos de velocidades (describen
el movimiento de un sistema de partìculas), los campos gravitatorios (los de…ne la ley de
gravitación de Newton5 ) y los campos de fuerzas electricas (los de…ne la ley de Coulomb):
Si F es una función vectorial de D Rn en Rm y G una función vectorial de E Rm
en Rp , entonces GoF es una función vectorial de D Rn en Rp . (E = F (D))
5


x
Ejemplo 2.5.4 Sean F(x; y) = [2x + 3y; xy] y G(x; y) = x 2y; , hallar FoG(x; y),
y
GoF(x; y), F (G(1; 1)) y G(F(1; 1)).
x x x 3x x2 2xy
FoG(x; y) = F(G(x; y)) = F x 2y; = 2(x
2y) + 3 ; (x 2y) = 2x 4y + ;
y y y y y
2x + 3y
GoF(x; y) = G(F(x; y)) = G(2x + 3y; xy) = 2x + 3y 2xy;
xy
F (G(1; 1)) = F( 1; 1) = (1; 1)
G(F (1; 1) = G(5; 1) = (3; 5)

Propiedad 2.5.5 Algebra de funciones vectoriales. Si F es una función vectorial de
D1 Rn en Rm y G es una función vectorial de D2 Rn en Rm , entonces de…nimos
las siguientes funciones vectoriales.
(i) kF : D1 Rn en Rm , con k 2 R tal que (kF )(x) = kF (x)
(ii) F G : D1 D2 Rn en Rm , tal que (F G)(x) = F (x) G(x)


1. Para las funciones vectoriales dadas determine dominio y rango.

a) F (x; y) = [x2 y; xy 2 ; 1 + x + y]
p p
b) F (x; y) = [ x; y]
c) F (x; y; z) = [Ln(x + y); Ln(1 z); exyz ]

2. Gra…que algunos vectores del campo vectorial dado

a) F (x; y) = [x; x]

Isaac Newton nacido el 25 de diciembre de 1642, en Woolsthorpe, Lincolnshire,
Inglaterra, fallecido el 20 de marzo de1727, en Cambridge, Cambridgeshire,
Inglaterra. Es el más grande de los astrónomos ingleses; se destacó también como
gran físico y matemático. Fue un niño prematuro y su padre murió antes de su
nacimiento, a los treinta y siete años. Isaac fue educado por su abuela, preocupada
por la delicada salud de su nieto. Desde …nales de 1664, Newton parece dispuesto
a contribuir personalmente al desarrollo de las matemáticas. Aborda entonces el
teorema del binomio, a partir de los trabajos de Wallis, y el cálculo de ‡uxiones.
Fue en realidad un genio al cual debemos el descubrimiento de la ley de gravitación
universal, que es una de las piedras angulares de la ciencia moderna. Fue uno de
los inventores del cálculo diferencial e integral. Estableció las leyes de la mecánica
clásica, y partiendo de la ley de gravitación universal dedujo las leyes de Kepler en forma más general.
Logró construir el primer telescopio de re‡exión. También son importantes sus contribuciones al estudio
de la luz. Sus obras más importantes publicadas son la Optica, en la que explica sus teorías sobre la luz, y la
obra monumental Philosophiae Naturalis Principia Mathematica, comúnmente conocida como Principia,
en la cual expone los fundamentos matemáticos del universo.

2.6. LIMITES Y CONTINUIDAD 77

b) F (x; y) = [ y; x]
c) F (x; y) = [x2 ; y 2 ]

3. Para las funciones vectoriales dadas F y G halle F oG y GoF

a) F (x; y) = [x + y; x y] y G(x; y) = [xy; x=y]
b) F (x; y) = [x + y; x y] y G(x; y) = [Sen(2x + 3y); Cos(2x 3y)]
c) F (x; y) = [x; y; x + y] y G(x; y; z) = [ex+y ; ey+z ]

4. Determine dos ejemplos de campos vectoriales F y G diferentes tales que F oG =
GoF 6= I (campo vectorial identico)

5. Determine dos ejemplos de campos vectoriales F y G tales que F oG 6= GoF

6. Sean F de D Rn en Rm y G de V Rm en Rp dos funciones vectoriales

a) Si F y G son inyectivas, es GoF inyectiva ?
b) Si F y G son sobreyectivas, es GoF sobreyectiva ?
c) Si F y G son biyectivas, es GoF biyectiva ?

7. Sea F de D Rn en Rm un campo vectorial , suponga que G y H de V Rn en
Rp dos funciones vectoriales tales que GoF = HoF , entonces si G = H. Pruebe
que F es sobreyectiva.

8. Si F es un campo vectorial lineal de R2 en R2 , demuestre que F ((x1 ; y1 )+k(x2 ; y2 )) =
F (x1 ; y1 ) + kF (x2 ; y2 )

9. Una partícula se mueve en el campo de velocidad V (x; y) = [x2 ; x`y 2 ] si su posición
en el tiempo t = 3 es (2; 1), determine su posición en el tiempo t = 4

10. Utilizando un CAS gra…que varios campos vectoriales.

2.6. Limites y continuidad
Uno de los conceptos de mayor di…cultad en funciones de varias variables es el concepto
de límite, ya que para saber el comportamiento de una función de varias variables alrededor
de un punto a hay que considerar la función de…nida en cercanias de a, o sea en bolas
abiertas de centro a y radio ; y no linealmente como se hace en funciones de una variable,
sobre intervalos de la forma (a ; a + ). Consideraremos la de…nición formal de límite
para los diferentes tipos de funciones de varias variables.


Gran parte de la terminologia empleada para de…nir límites y continuidad en funciones
de varias variables la introdujo el matemático aleman Karl Weierstrass6 .
El punto a es un punto limite del conjunto D subconjunto de Rn si y sólo si cualquier
bola abierta con centro en a contiene puntos de D diferentes de a.

Ejemplo 2.6.1 Cualquier conjunto …nito de puntos no tiene puntos limite. Cada punto
de Rn es punto límite de Rn . El origen 0 de Rn es punto límite de Rn 0.

Si F es una función vectorial de D Rn en Rm y a 2 Rn es un punto interior o
frontera de D se dice que limite cuando x tiende a a de F (x) es igual a L, escrito
l m F (x) = L si y solamente si 8 2> 0, 9 > 0 tal que si x 2 B(a; ) ) y 2 B(L; 2),
x!a
(x 6= a). Tambien se puede escribir de la siguiente forma: Si jjx ajj < implica que
kF (x) Lk <2

Si F es un campo escalar de D Rn en R y a 2 Rn es un punto interior o frontera
de D se dice que limite cuando x tiende a a de F (x) es igual a L, escrito
l m F (x) = L si y solamente si 8 2> 0, 9 > 0, tal que si jjx ajj < implica que
x!a
jF (x) Lj <2

Ejemplo 2.6.2 Demuestre que lm 2x + 3y = 8
(x;y)!(1;2)
Utilizando la de…nición formal de límite, veamos que 8 > 0, 9 > 0
tal que k(x; y) (1; 2)k < implica que j2xp 3y 8j < y
+
luego k(x; y) (1; 2)k = k(x 1; y 2)k = (x 1)2 + (y 2)2 <
implica que jx 1j < y jy 2j <
veamos ahora que j2x + 3y 8j <
j2x + 3y 8j = j2x 4 + 3y 6j j2x 4j + j3y 6j 2 jx 2j + 3 jy 2j < 5
luego = 5
6

Karl Weierstrass nació en Ostenfelde, Westfalia (actualmente Alemania) y murió
en Berlín (Alemania). Estudió matemáticas en la Universidad de Münster, además
de sus prolí…cas investigaciones cabe señalar que fue profesor de cátedra en la
Universidad de Berlín en la cual tuvo entre sus discípulos a Georg Cantor, Fer-
dinand Georg Frobenius, Wilhelm Killing, Leo Königsberger, Carl Runge y So…a
Kovalevskaya. Citado como el « padre del análisis moderno» , Weierstrass dio las
de…niciones actuales de continuidad, límite y derivada de una función, que siguen
vigentes hoy en día. Esto le permitió demostrar una serie de teoremas que estaban
entonces sin demostrar como el Teorema del valor medio, el Teorema de Bolzano-
Weierstrass y el Teorema de Heine-Borel. También realizó aportes en convergencia
de series, en teoría de funciones periódicas, funciones elípticas, convergencia de
productos in…nitos, cálculo de variaciones, análisis complejo, etc


Ejemplo 2.6.3 Demuestre que lm x2 + 2y = 6
(x;y)!(2;1)
Utilizando la de…nición formal de límite, veamos que 8 > 0, 9 > 0
tal que k(x; y) (2; 1)k < implica que jx2 p 2y 6j <
+
luego k(x; y) (2; 1)k = k(x 2; y 1)k = (x 2)2 + (y 1)2 <
implica que jx 2j < y jy 1j <
veamos ahora que jx2 + 2y 6j <
jx2 + 2y 6j = jx2 4 + 2y 2j jx2 4j + j2y 2j jx 2j jx + 2j + 2 jy 1j
acotando jx + 2j con = 1
luego 1 < x 2 < 1 implica que 3 < x + 2 < 5
entonces jx + 2j < 5
por lo tanto jx 2j jx + 2j + 2 jy 1j < 7 , luego = 7
!
x2 y x2
Ejemplo 2.6.4 Demuestre que lm ;p = (0; 0)
(x;y)!(0;0) x2 + y 2 x2 + y 2
x2 y x2
Basta demostrar que lm = 0 y que lm p =0
(x;y)!(0;0) x2 + y 2 (x;y)!(0;0) x2 + y 2
por hipotesis jxj < y jyj <
x2 y
implica para el primer limite que 2 <
x + y2
x2
y para el segundo limite que p <
x2 + y 2
x2 y x2 jyj (x2 + y 2 ) jyj
empezando con el primer limite 2 = 2 = jyj <
x + y2 x + y2 x2 + y 2
entonces =
x2 x2 x2 + y 2 p
para el segundo limite p =p p = x2 + y 2 =
x2 + y 2 x2 + y 2 x2 + y 2
entonces =

Propiedad 2.6.1 Si F y G son campos escalares de D Rn en R, a 2 Rn es un punto
interior o frontera de U y ademas l m F (x) = L y l m G(x) = M entonces:
x!a x!a
(i) l m (kF )(x) = l m kF (x) = k l m F (x) = kL, 8k 2 R
x!a x!a x!a
(ii) l m (F G)(x) = l m (F (x) G(x)) = l m F (x) l m G(x) = L M
x!a x!a x!a x!a
(iii) l m (F G)(x) = l m (F (x) G(x)) = L M
x!a x!a
F F (x) L
(iv) l m (x) = l m = si M 6= 0
x!a G x!a G(x) M

Demostración. (ii) Como l m F (x) = L entonces 8 > 0 consideremos ,
x!a 2
9 1 > 0 tal que si x 2 B(a; 1) =) F (x) 2 B(L; ) con x 6= a
2


de igual forma l m G(x) = M entonces 8 > 0 consideremos ,
x!a 2
9 2 > 0 tal que si x 2 B(a; 2 ) =) G(x) 2 B(L; ) con x 6= a
2
veamos que dado > 0 existe > 0 tal que si
x 2 B(a; ) =) (F (x) G(x)) 2 B(L; ) con x 6= a
tomando 0 m nf 1 ; 2 g
aplicando la desigualdad triangular tenemos
j(F (x) G(x)) (L + M )j = j(F (x) L) (G(x) M )j jF (x) Lj jG(x) Mj <
+ =
2 2
es decir (F (x) G(x)) 2 B(L M ; )

Ejemplo 2.6.5 Demuestre que lm 2x + 3y = 8, utilizando la de…nición formal de
(x;y)!(1;2)
límite. p
si jj(x; y) (1; 2)jj < , entonces jj(x; y) (1; 2)jj = jj (x 1)2 + (y 2)2 jj < ,
luego jx 1j < y jy 2j < , veamos que jF (x; y) 8j <2, jF (x; y) 8j = j2x + 3y 8j
2 jx 1j + 3 jy 2j < 5 ,
2
luego = , por lo tanto jj(x; y) (1; 2)jj < implica que jF (x; y) 8j < 5 =2
5

El campo escalar del ejemplo anterior es polinomial aparentemente un límite muy
facíl, pero por ser de grado uno, en el siguiente ejemplo consideramos un campo escalar
polinomial de grado dos.

Ejemplo 2.6.6 Si F (x; y) = x2 + xy demuestre que lm F (x; y) = 6, utilizando la
(x;y)!(2;1)
de…nición formal de límite. p
Si jj(x; y) (2; 1)jj < , entonces jj(x; y) (2; 1)jj = jj (x 2)2 + (y 1)2 jj < ,
luego jx 2j < y jy 1j < , veamos que jF (x; y) 6j <2, jF (x; y) 6j = jx2 + xy 6j
jx2 4j + jxy 2j < jx 2j jx + 2j + jyj jx 2j
el incoveniente surge en jx + 2j y jyj, luego debemos acotar a ,
consideremos a 1, entonces jx 2j < 1 y jy 1j < 1, 1 < x 2 < 1 y 1 <
y 1 < 1,
a la primera desigualdad le sumamos 4 y a la segunda desigualdad le sumamos 1 y
obtenemos 3 < x + 2 < 5 y 0 < y < 2,
luego jx + 2j < 5 y jyj < 2 y jF (x; y) 5j < 5 jx 2j jx + 2j + 2 jx 2j < 7 ,
luego = m n(1; ) por lo tanto jj(x; y) (2; 1)jj < implica que jF (x; y) 5j < 7 =
7

Propiedad 2.6.2 Si F es un campo escalar polinomial de Rn en R y a 2 Rn , entonces
l m F (x) = F (a)
x!a


Tambien a partir de las funciones componentes de una función vectorial F (x) =
[F1 (x); F2 (x); :::; Fn (x)]se puede a…rmar que el limite de una función vectorial existe si
existen los limites de los campos escalares que lo componen o sea l m F (x) = L si y solo
x!a
si l m Fk (x) = Lk , 8k + 1; 2; :::; n
x!a
El siguiente teorema nos permite comprobar que el límite de una función vectorial F
existe, si existe el límite de los campos escalares Fk que lo componen.

Teorema 2.6.1 Suponga que F (x) = [F1 (x); F2 (x); :::; Fm (x)] es una función vectorial de
D Rn en Rm y a 2 Rn es un punto interior o frontera de D, entonces
l m F (x) = L si y sólo si l m Fk (x) = Lk , k = 1; 2; ; :::; m
x!a x!a

Demostración. Si l m F (x) = L, utilizando la de…nición formal de límite,
x!a
8 2> 0, 9 > 0 tal que si jjx ajj < implica que kF (x) Lk <2,
pero jjx ajj < implica que jFk (x) Lk j kF (x) Lk <2,
para cada k = 1; 2; :::; m,
reciprocamente
8 2> 0, 9 k > 0 tal que si jjx ajj < implica que jF (x) Lj < p ,
m
consideremos = m n( 1 ; 2 ; :::; m ) r
qP
2 2
entonces jjx ajj < implica que kF (x) Lk = jFk (x) Lk j < m =2
m

Ejemplo 2.6.7 Si F (x; y) = [x2 + xy 3 ; 3xy; 2x3 + 5y 2 ] demuestre que lm F (x; y) =
(x;y)!( 1;0)
[1; 0; 2],
utilizando el teorema anterior vemos que
l m [x2 +xy 3 ; 3xy; 2x3 +5y 2 ] = [ l m x2 +xy 3 ; lm 3xy; lm 2x3 +
(x;y)!( 1;0) (x;y)!( 1;0) (x;y)!( 1;0) (x;y)!( 1;0)
5y 2 ] = [1; 0; 2],
aplicando la propiedad para campos escalares polinomiales.

Sea F un campo escalar de…nido en todo Rn (excepto posiblemente en un subconjunto
acotado), se dice que el limite de F cuando x tiende a in…nito (xi ! 1, 8i = 1; 2; :::; n)
es L, si dado 2> 0 existe N > 0 tal que kxk > N ) jF (x) Lj < 2

Teorema 2.6.2 Unicidad del límite. Si F es un campo escalar de D Rn en R, a 2 Rn
es un punto interior o frontera de D, l m F (x) = L y l m F (x) = M , entonces L = M
x!a x!a

Propiedad 2.6.3 Si F es un campo escalar racional de D Rn en R ,tal que F (x) =
P (x) P (a)
entonces l m F (x) = F (a) = , si Q(a)6= 0
Q(x) x!a Q(a)


Si F es un campo escalar de D R2 en R y (a; b) es un punto interior o frontera de D,
entonces l m (l mF (x; y)) y l m(l m F (x; y)) se denomian límites iterados de F en (a; b). Si
x!a y!b y!b x!a
F es un campo escalar de D Rn en R y a 2 Rn es un punto interior o frontera de D,
entonces F posee a lo más n! límites iterados en a. Si los limites iterados existen y son
iguales, no es condicion su…ciente para asegurar que el limite existe, pero si son diferentes
si es condicion su…ciente para asegurar que el limite no existe.

2xy
Ejemplo 2.6.8 Hallar los limites iterados de F (x; y) = en el origen
x2 + y 2
2xy 2xy
lm lm =0y lm lm 2 =0
x!0 y!0 x2
+y 2 y!0 x!0 x + y 2
los limites iterados son iguales por lo tanto no es su…ciente para a…rmar que el limite
en el origen existe.

x2 y 2
Ejemplo 2.6.9 Hallar los limites iterados de F (x; y) = en el origen
x2 + y 2
x2 y 2 x2 y 2
lm lm =1y lm lm 2 = 1
x!0 y!0 x2 + y 2 y!0 x!0 x + y 2
los limites iterados son diferentes por lo tanto es su…ciente para a…rmar que el limite
no existe en el origen.

Si F es un campo escalar de U R2 en R ; tal que (x; y) ! (0; 0) entonces en
+
coordenadas polares r ! 0 para todo . Se debe tener cuidado con el cálculo del limite
utilizando coordenadas polares.

x3 y 2
Ejemplo 2.6.10 Utilizando coordenadas polares hallar el limite de F (x; y) = en
x2 + y 2
el origen
r5 cos3 sen2 r5 cos3 sen2
lm = lm = l m r3 cos3 sen2 = 0 para todo
+
r!0 r2 cos2 + r2 sen2 r!0+ r2 r!0+

x2 y 2
Ejemplo 2.6.11 Utilizando coordenadas polares hallar el limite de F (x; y) =
x2 y 2 + (x y)2
en el origen
r4 cos2 sen2 r2 cos2 sen2
lm = lm 2
r!0 r 4 cos2 sen2 + r 2 (cos2
+ sen2 ) r!0+ r cos2 sen2 + (cos2 sen2 )
si = el limite es igual a 1
4
pero si = 0 el limite es igual a 0
por lo tanto el limite no existe en el origen

Si F es un campo escalar de D Rn en R y a 2 U , se dice que F es continuo en a
si y solamente si F (x) = F (a)
Se dice que F es continuo en D si F es continuo en todos los puntos de D


Si un campo escalar F no es continuo en a 2 D, se dice que es discontinuo en a
Nota: A partir de las funciones componentes de una función vectorial F podemos
asegurar que F es continua en a 2 D si y solamente si cada una de las funciones Fi que
componen a F son continuas en a.
x2 y + xy 2
Ejemplo 2.6.12 Determine si es posible rede…nir el campo escalar F (x; y) =
x2 + y 2
en el origen para que sea continuo alli.
Los limites iterados existen y son iguales a cero
x2 y + xy 2 x2 y + xy 2
lm lm 2 =0y lm lm 2 =0
x!0 y!0 x + y 2 y!0 x!0 x + y 2
supongamos que el limite existe y es igual a cero
utilizando la de…nición formal de limte
veamos que 8 > 0, 9 > 0 tal quep
k(x; y) (0; 0)k = k(x; y)k = x2 + y 2 < implica que jxj < y jyj <
x2 y + xy 2 x2 y + xy 2 x2 jyj + jxj y 2 (jxj + jyj)(x2 + y 2 )
y < implica que =
x2 + y 2 x2 + y 2 x2 + y 2 x2 + y 2
jxj + jyj < 2
concluimos que = 2
entonces el limite existe y es igual a cero
8 2
< x y + xy 2
si (x; y) 6= (0; 0)
por lo tanto F (x; y) = x2 + y 2
:
0 si (x; y) = (0; 0)
Propiedad 2.6.4 Todo campo escalar polinomial F de Rn en R , es continuo en todo Rn

Propiedad 2.6.5 Todo campo escalar racional F de D Rn en R , es continuo en su
dominio D, puesto que es el cociente de dos campos escalares continuos.
x2 + y 2 + 1
Ejemplo 2.6.13 Determine la continuidad del campo escalar F (x; y) =
x2 + y 2 1
el campo escalar es discontinuo en el circulo unitario x2 + y 2 = 1
por lo tanto es continuo en el conjunto f(x; y) 2 R2 jx2 + y 2 6= 1g

Propiedad 2.6.6 Si F y G De son campos escalares de D Rn en R, continuos en
a 2 D, entonces :
(i) kF es continuo en a 8k 2 R
(ii) F G es continuo en a
(iii) F G es continuo en a
F
(iv) es continuo en a si G(a) 6= 0
G
Teorema 2.6.3 Si F es un campo escalar de D Rn continuo en a 2 D y g es una
función de R en R continua en F (a) entonces el campo escalar H(x) = (goF )(x) es
continuo en a



1. Demuestre los limites dados.

a) lm (x2 + y 2 ) = 2
(x;y)!(1; 1)
!
4 4
xy x (y 2)
b) lm p ; 2 + (y
= (0; 4)
(x;y)!(0;0) x2 + y2 x 2)2
!
xy + xz + yz x2 y 2 z 2
c) lm p ; 2 = (0; 0)
(x;y;z)!(0;0;0) x2 + y 2 + z 2 x + y 2 + z 2

2. Demuestre que los limites dados no existen

xy 2
a) lm
(x;y)!(0;0) x2 + y 4

x3 y 2
b) lm
(x;y)!(0;0) x6 + y 4

xy + xz + yz
c) lm
(x;y;z)!(0;0;0) x2 + y 2 + z 2

3. Encuentre el limite si existe o demuestre que no existe.

(x 1)4=3 (y 1)4=3
a) lm
(x;y)!(1;1) (x 1)2=3 + (y 1)2=3
sen(x + y + z)
b) lm
(x;y;z)!(0;0;0) x+y+z
c) lm (x2 + y 2 + z 2 )Ln(x2 + y 2 + z 2 )
(x;y)!(0;0)

4. Utilice coordenadas polares para calcular el limite del campo escalar dado en el
origen

x2 y 2
a) F (x; y) =
x2 + y 2
Sen(x2 + y 2 )
b) F (x; y) =
x2 + y 2
c) F (x; y) = (x2 + y 2 )Ln(x2 + y 2 )

5. Determine las condiciones de las constantes a; b; c para que exista el límite dado.
xy
a) lm
(x;y;z)!(0;0;0) ax2 + by 2 + cz 2


xa y b
b) lm
(x;y)!(0;0) (x2 + y 2 )c

6. Determine la continuidad del campo escalar dado
8
< x3 y 2
si (x; y) 6= (0; 0)
a) F (x; y) = x4 + 3y 4
:
1 si (x; y) = (0; 0)
x2 + 4y 2 si x2 + 4y 2 5
b) F (x; y) =
3 si x2 + 4y 2 > 5

7. Determine si es posible rede…nir los campos escalares dados en el origen, para que
sean continuos alli.

3x2 y
a) F (x; y) =
x4 + y 4
b) F (x; y) = (1 + xy)1=xy
SenxSen(3y)
c) F (x; y) =
2xy

8. Pruebe que los campos vectoriales dados son continuos en R2

a) F (x; y) = [x2 + y 2 ; x2 y2]
b) F (x; y) = [Sen(x + y); Cos(x + y)]
c) F (x; y) = [ex+y ; ex y ]

9. Utilice el teorema 4.1. para determinar donde el campo escalar H (H(x; y) = goF (x; y))
es continuo.
t
a) F (x; y) = x2 y 2 ; g(t) =
t+1
b) F (x; y) = x + T any ; g(t) = t2 + 1
c) F (x; y) = yLnx ; g(t) = et
( x
si y 6= 1
10. Determine si el campo escalar F (x; y) = y3 +1 es continuo en (0; 1)
0 si y = 1

11. Utilizando un CAS construya una función que permita calcular límites por trayec-
torias.


2.7. Derivadas parciales
Sea F un campo escalar de D R2 en R, de…nido en (a; b) 2 D , supongamos que
hacemos variar solamente a x mientras y permanece constante (y = b) entonces estamos
considerando una función de una sola variable x, (x) = F (x; b), si es derivable en a
entonces 0 (a) determina la derivada parcial de F respecto a x en (a; b) y utilizando la
(a + h) (a) F (a + h; b) F (a; b)
de…nición de derivada 0 (a) = l m =lm
h!0 h h!0 h
@F
Notación: Fx (a; b) o F1 (a; b) Lagrange, (a; b) Jacobi, D1 F (a; b) Cauchy7
@x
De igual forma supongamos que hacemos variar solamente a y mientras x permanece
constante (x = a) entonces estamos considerando una función de una sola variable y,
'(y) = F (a; y), si ' es derivable en b entonces '0 (b) determina la derivada parcial de F
'(b + k) '(b)
respecto a y en (a; b) y utilizando la de…nición de derivada '0 (a) = l m =
k!0 k
F (a; b + k) F (a; b)
lm
k!0 k
@F
Notación: Fy (a; b) o F2 (a; b) Lagrange, (a; b) Jacobi, D2 F (a; b) Cauchy.
@y

Para dar una interpretación geométrica de las derivadas parciales, recordemos que todo
campo escalar z = F (x; y) representa geometricamente una super…cie S. Si F (a; b) = c,
entonces el punto P (a; b; c) se encuentra en S. Al variar x y permanecer y constante
(y = b) estamos considerando la curva intersección C1 (traza) entre la super…cie S y el
plano vertical y = b, la curva C1 es la grá…ca de la función (x) = F (x; b) de modo que
la recta tangente a C1 en P tiene como pendiente a 0 (a). De igual forma al variar y y
permanecer x constante (x = a) estamos considerando la curva intersección C2 (traza)
entre la super…cie S y el plano vertical x = a, la curva C2 es la grá…ca de la función
'(y) = F 8a; y) de modo que la recta tangente a C2 en P tiene como pendiente a '0 (b).

7

Augustin Louis Cauchy (n. París 1789 - y Scenaux 1857) Matemático y
físico frances, mayor de los seis hijos de un abogado católico y realista,que
hubo que retirarse a Arcueil cuando estalló la Revolución. Fue educado en casa
por su padre y no ingresó en la escuela hasta los trece años,aunque pronto
empezó a ganar premios académicos. A los dieciséis años ingresa en la École
Polytechnique parisina y a los dieciocho asistía a una escuela de ingeniería
civil, donde se graduó tres años después. Su primer trabajo fue como ingeniero
militar para Napoleón, ayudando a construir las defensas en Cherburgo. En
1813 retorna a París y es persuadido por Laplace y Lagrange para convertirse
en un devoto de las matemáticas. Publicó un total de 789 trabajos, entre los que
se encuentran el concepto de límite, los criterios de convergencia las fórmulas
y los teoremas de integración y las ecuaciones diferenciales de Cauchy-Riemann. Su extensa obra introdujo
y consolidó el concepto fundamental de rigor matemático.

2.7. DERIVADAS PARCIALES 87

De manera general si F es un campo escalar de D Rn en R de…nido en a 2 D, supong-
amos que hacemos variar solamente a xk mientras las otras variables xi (xi = ai ) per-
manecen constantes, entonces estamos considerando una función (xk ) = F (a1 ; a2 ; :::; xk ; :::; an )
de una sola variable, si es derivable en a entonces 0 (a) ( determina la derivada parcial de
(ak + h) (ak )
F respecto a xk en a y utilizando la de…nición de derivada 0 (a) = l m =
h!0 h
F (a1 ; a2 ; :::; xk + h; :::; an ) F (a1 ; a2 ; :::; ak ; :::; an )
lm
h!0 h
@F
Notación: Fxk (a) o Fk (a) Lagrange, (a) Jacobi, Dk F (a) Cauchy.Lagrange Jacobi
@xk
Cauchy;
Nota : A partir de las funciones componentes Fi de una función vectorial F podemos


@F @F1 @F2 @Fn
asegurar que (a) = (a); (a); :::; (a)
@xk @xk @xk @xk

Ejemplo 2.7.1 Hallar las primeras derivadas parciales de F (x; y) = xcosy + ysenx
Primero …jamos y, y derivamos respecto a x para obtener
@F
(x; y) = cos y + y cos sx
@x
De igual forma …jamos x, y derivamos respecto a y para obtener
@F
(x; y) = xseny + senx
@y
p
Ejemplo 2.7.2 Hallar las primeras derivadas parciales de F (x; y) = 3 xy en (0; 0)
Aqui debemos utilizar la de…nición de derivada para hallar las derivadas parciales.
@F F (h; 0) F (0; 0) 0 0
(0; 0) = l m =lm =0
@x h!0 h h!0 h
@F F (0; h) F (0; 0) 0 0
y (0; 0) = l m =lm =0
@y h!0 h h!0 h

Propiedad 2.7.1 Si F y G son campos escalares de D Rn en R que poseen primeras
derivadas parciales en a, entonces
@(F G) @F @G
(a) = (a) (a)
@xk @xk @xk
@(kF ) @F
(a) = k (a)
@xk @xk
@(F G) @F @G
(a) = (a) G(a) + F (a) (a)
@xk @xk @xk
@F @G
(a) G(a) F (a) (a)
@ F @xk @xk
(a) =
@xk G G2 (a)

Si F es un campo escalar de U Rn en R, que posee primeras derivadas parciales
continuas en a 2 U y cada una de estas derivadas tambien poseen primeras derivadas
parciales continuas en a, entonces F posee segundas derivadas parciales continuas en a.
@2F
Notacion : (a) = Fxj xi (a) = Dji F (a): Se puede seguir de manera inductiva
@xi @xj
hasta un orden m (m 2 N)

Ejemplo 2.7.3 Hallar las segundas derivadas parciales de F (x; y) = sen(x+y)+cos(x y)
Las primeras derivadas parciales son
@F @F
(x; y) = Cos(x + y) Sen(x y) y (x; y) = Cos(x + y) + Sen(x y)
@x @y
Las derivadas parciales de segundo orden son

2.7. DERIVADAS PARCIALES 89

@2F
(x; y) = Sen(x + y) Cos(x y)
@x2
2
@ F
(x; y) = Sen(x + y) + Cos(x y)
@y@x
@2F
(x; y) = Sen(x + y) + Cos(x y)
@x@y
@2F
(x; y) = Sen(x + y) Cos(x y)
@y 2


1. Utilizando la de…nición halle las primeras derivadas parciales del campo escalar F

a) F (x; y) = xy 2 + x2 y
x
b) F (x; y) = x +
x+y
p
c) F (x; y) = x + y

2. Halle las primeras derivadas parciales del campo escalar F .

a) F (x; y) = xy
xyz
b) F (x; y; z) =
x+y+z
p
c) F (x; y; z) = x2 + y 2 + z 2

3. Hallar las primeras derivadas parciales del campo escalar F .en el punto dado

xy
a) F (x; y) = , p = (1; 2)
x+y
b) F (x; y) = x cos y + ysenx, p = (0; =4)
y
c) F (x; y) = arctan , p = (1; 1)
x

4. Halle las primeras derivadas parciales del campo escalar F . Si g es una función de R
en R, diferenciable.
Rx y
a) F (x; y) = x+y
g(t)dt
R x=y
b) F (x; y) = xy
g(t)dt
R yx
c) F (x; y) = xy
g(t)dt


5. A partir de la grá…ca del campo escalar F
determine el signo de

a) Fx (1; 1)
b) Fy (1; 1)
c) Fxy (1; 1)

xny 1 2 3
0 7;5 5;2 3;8
6. A partir de la tabla de valores de un campo escalar F
2 16;1 14;3 12; 3
4 21;9 18;4 15;7
estime

a) Fx (2; 2)
b) Fy (0; 1)
c) Fxy (2; 2)

7. Hallar las derivadas parciales de la función vectorial dada.

a) F (x; y; z) = (xy + yz + zx; xyz)
p p y
p
b) F (x; y) = 2x + 3y; x y px ; x2 + y 2 + z 2
c) F (x; y; z) = (sen(2x + 3y); cos(3y + 4z); tan(4x + 5z))

8. Halle las segundas derivadas parciales del campo escalar F .

y
a) F (x; y) = ArcT an x
b) F (x; y) = ex Cosy + ey Cosx
c) F (x; y) = xSeny + yCosx

9. Compruebe que el campo escalar F satisface la ecuación de Laplace.Fxx + Fyy = 0

2.8. DERIVADAS DIRECCIONALES 91

1
a) F (x; y) =
x+y
p
b) F (x; y) = Ln x2 + y 2
y
c) F (x; y) = ArcT an x

10. En un estudio realizado sobre el sistema de créditos académicos, la nota aproximada
en un parcial de cálculo vectorial, en función de y el número de horas asistidas a
clase y de x el número de horas dedicadas a estudiar, viene dada por N (x; y) =
5
y @N
200 , para 0 y 32 y 0 x 64 (cuatro semanas). Calcular y
80 0;2x @x
@N
y determinar cual de las variables x o y, tiene mayor efecto sobre la nota.
@y

11. Utilizando un CAS represente geometricamente las derivadas parciales de un campo
escalar.

2.8. Derivadas direccionales
En funciones de una variable hablar de la derivada de una función f en un punto a
signi…ca hablar de la variación instantanea de f en a, pero en funciones de varias variables
para estudiar estos cambios en un punto a 2 D hay que …jar una dirección v en Rn y no se
hablara simplemente de la derivada de F en a sino de la derivada de F en a en la dirección
del vector v.
Si F es un campo escalar de D Rn en R, a 2 D y v es un vector de Rn no nulo,
F (a + tv) F (a)
entonces al limite l m si existe se denominara derivada respecto al vector
t!0 t kvk
F (a + tv) F (a)
v de F en a:Si el vector v es unitario, entonces al limite l m si existe, se
t!0 t
denominara derivada direccional de F en a con respecto a v
@F
Notación: F 0 (a; v); Fv (a) Lagrange, (a) Jacobi, Dv F (a) Cauchy.
@v
@F @Fk
A partir de las funciones componentes de F podemos asegurar que (a) = (a)
@v @v

Ejemplo 2.8.1 Hallar la derivada direccional de F (x; y) = 2x + 3y en el punto ( 1; 1)
en dirección [3; 4]
3 4
como el vector no es unitario lo normalizamos y v = ;
5 5
3 4
luego F 0 (( 1; 1); ; )
5 5


3 4
F (( 1; 1) + t ; ) F ( 1; 1)
5 5
=lm
t!0 t
3 4
F (( 1 + t; 1 + t) F ( 1; 1)
=lm 5 5
t!0 t
3 4
2( 1 + t) + 3(1 + t) + 2 3
=lm 5 5
t!0 t
6 12
2+ t+3+ t+2 3
=lm 5 5
t!0 t
18
t 18
=lm 5 =
t!0 t 5

Sean F es un campo escalar de D R2 en R y (a; b) 2 D, suponga que v es el vector
unitario que forma un ángulo con el eje X positivo y v = [Cos ; Sen ]; entonces si existe
F ((a; b) + t(cos ; sen )) F (a; b)
el limite l m se denomina derivada direccional de F en
t!0 t
(a; b) en dirección

Ejemplo 2.8.2 Hallar la derivada direccional de F (x; y) = 2x2 + 3y 2 en cualquier punto,
en la dirección indicada por el ángulo
v = [cos ; sen ]
@F F ((a; b) + t(Cos ; Sen )) F (a; b)
luego (a; b) = l m
@v t!0 t
F (a + tcos ; b + tsen ) F (a; b)
=lm
t!0 t
2(a + tcos )2 + 3(b + tsen )2 2a2 2b2
=lm
t!0 t
2a2 + 4at cos + 2t2 cos2 + 3b2 + 6btsen + 3t2 sen2 2a2 2b2
=lm
t!0 t
4at cos + 2t2 cos2 + 6btsen + 3t2 sen2
=lm
t!0 t
= l m4a cos + 2t cos2 + 6bsen + 3tsen2
t!0
= 4a cos + 6bsen

Teorema 2.8.1 Si F es es un campo escalar de D Rn en R y es una función de
I R en R, tal que (t) = F (a + tv) para a 2 D y v un vector unitario de Rn , entonces
0
(t) existe si y solo si F 0 (a + tv : v) existe y ademas 0 (t) = F 0 (a + tv; v) (En particular
0
(0) = F 0 (a; v)

Demostración. Como es una función de variable real y valor real, entonces
0 (t + h) (t)
(t) = l m
h!0 h


ademas (t) = F (a + tv
F (a + (t + h)v) F (a + tv)
luego 0 (t) = l m
h!0 h
F (a + tv + hv) F (a + tv)
=lm
h!0 h
= F 0 (a + tv; v)
si t = 0, 0 (t) = F 0 (a; v)

Un campo escalar F de D Rn en R, es derivable en a 2 D si existe la derivada
direccional F 0 (a; v) para todo vector v de Rn
8
< xy 2
si (x; y) 6= (0; 0)
Ejemplo 2.8.3 Hallar la derivada direccional de F (x; y) = x2 + y 4
:
0 si (x; y) = (0; 0)
en el origen, en cualquier dirección.
Sea v = [v1 ; v2 ] un vector unitario cualquiera, aplicando el teorema
t3 v1 v 2 2
tv1 v2
(t) = F ((0; 0) + t(v1 ; v2 )) = F (tv1 ; tv2 ) = 2 2 2 4 = 2 4
t v1 + t4 v2 v1 + t2 v2
v2
entonces F 0 ((0; 0); v) = 2 para todo v por lo tanto F es derivable en el origen.
v1

Se puede veri…car como ejercicio que el campo escalar F no es continuo en el origen,
lo cual nos permite asegurar que en varias variables para que una función sea derivable no
necesariamente debe ser continua.

Teorema 2.8.2 Teorema del valor medio para campos escalares. Sean F :D Rn ! R
un campo escalar a y b elementos de D, tal que , [a; b] D y v es un vector unitario de
Rn en direccion b a, si F es continuo en [a; b] y tiene derivadas direccionales en (a; b) en
direccion v, entonces existe (0 < < 1) tal que F (a + hv) F (a) = F 0 (a + hv; v)h,
donde h = k[a; b]k. Nota : [a; b] es el segmento de recta que une a a y b

Demostración. Sea una función de [0; h] en R tal que (t) = F (x0 + tv)
Vemos que es continua en [0; h] ya que F lo es en [a; b]
(t + h) (t)
Ademas (t) = l m
h!0 h
F (a + (t + h)v) F (a + tv)
=lm
h!0 h
F (a + tv + hv) F (a + tv)
=lm
h!0 h
@F
= (a + tv)
@v 0
de modo que para t 2 (0; 1) (t) existe y es igual a la derivada direccional de F
en a + tv 2 (a; b)
en dirección v, aplicando el teorema del valor medio a la función


0 (h) (0)
existe 2 (0; 1) tal que ( h) =
h
o sea F (a + hv) F (a) = F 0 (a + hv; v)h

@F
Propiedad 2.8.1 Si F y G son campos escalares de U Rn en R tales que (a) y
@v
@G
(a) existen en dirección de un vector unitario v de Rn entonces
@v
@(F G) @F @G
(i) (a) = (a) (a)
@v @v @v
@(kF ) @F
(ii) (a) = k (a) k 2 R
@v @v
@(F G) @F @G
(iii) (a) = (a) G(a)+F (a) (a)
@v @v @v
@F @G
@ F (a) G(a)+F (a) (a)
(iv) = @v @v
@v G G 2 (a)

Demostración. (i) Por de…nición
@(F G) (F G)(x0 + tv) (F G)(x0 )
(a) = l m
@v t!0 t
F (a + tv) G(a + tv) F (a) G(a)
=lm
t!0 t
F (a + tv) F (a) G(a + tv) G(a)
=lm =lm
t!0 t h!0 t
@F @G
= (a) (a)
@v @v
Si F es un campo escalar de D Rn en R y a 2 D y ei es un vector de la base canonica
F (a + tei ) F (a)
de Rn entonces al limite l m si existe, se denominara derivada parcial de
t!0 t
F en a con respecto a la variable xi .
@F
Notacion: F 0 (a; ei ); (a) de Jacobi; Fi (a); Di F (a) de Cauchy; Fxi (x0 ).
@xi
@F @Fk
A partir de las funciones componentes de F , (a) = (a) 8k = 1; 2; :::; m
@xi @xi


Alembert8 publicarón varios articulos sobre la teoría
Leonhard Euler y Jean Le Ron D’
de las derivadas parciales


1. Utilizando la de…nición hallar la derivada direccional del campo escalar F en el punto
p, en dirección v

a) F (x; y) = 2x + 3y, p = (1; 1), v = [1; 1]
b) F (x; y) = x2 + xy, p = (1; 0), v = [3; 4]
c) F (x; y; z) = xy + yz + xz, p = (0; 1; 1), v = [1; 2; 2; ]

2. Hallar la derivada direccional del campo escalar F en el punto p, en dirección v.

a) F (x; y) = (2x + 3y)3 , p = (1; 1), v = [ 1; 1]
b) F (x; y) = sen(xy), p = ( =41; =4), v = [4; 3]
p
c) F (x; y) = xyz, p = (1; 0; 1), v = [2; 2; 1]

3. Encuentre la derivada direccional del campo escalar F en el punto p ; en dirección
al punto q

a) F (x; y) = 2x 7y + 1 ; p = (0; 0) ; q = (1; 1)
b) F (x; y) = x2 2xy + 5y 2 ; p = ( 1; 2) : q = (3; 5)
c) F (x; y; z) = xy + xz + yz ; p(0; 1; 2) ; q = (3; 1; 4)
8

Jean le Rond d’ Alembert (1717-1783), matemático, …lósofo y enciclope-
dista francés. Nació en París y era hijo natural de la escritora francesa
Claudine Guérin de Tencin; y fue abandonado de niño en las escaleras de
la iglesia de Saint Jean le Rond, de donde proviene su nombre. Estudió
en la escuela Mazarin, donde se distinguió en matemáticas, física y as-
tronomía. A la edad de 22 años escribió su primer libro: Memoria sobre
el cálculo integral (1739). Su trabajo cientí…co más importante, Tratado de
dinámica (1743), marca una época en la ciencia de la mecánica, ya que
enuncia la teoría conocida como el principio de D’ Alembert, que descubrió
a los 26 años que dice lo siguiente: el resultado de las fuerzas ejercidas
sobre un sistema es equivalente a la fuerza efectiva sobre todo el sistema.
Su obra Re‡exiones sobre la causa general de los vientos (1746) contiene el primer concepto del cálculo
de ecuaciones en derivadas parciales. En 1749 propuso la primera solución analítica de la precesión de
los equinoccios. En 1751 se asoció con el enciclopedista francés Denis Diderot para editar la gran Enci-
clopedia francesa. Aunque abandonó la redacción en 1758 debido a las presiones gubernamentales sobre la
publicación, D’Alembert continuó trabajando en artículos de ciencia y …losofía.


4. Halle la derivada direccional del campo escalar F , en el punto p, en la dirección
indicada por

a) F (x; y) = x2 y 3 + 2x4 y ; p = (1; 2) y = =3
2 3
b) F (x; y) = (x y) ; p = (3; 1) y = 3 =4
2
xy
c) F (x; y) = p = (0; 0) y = =4
x2 + y2

5. Hallar la derivada direccional de la función vectorial dada en el punto p, en dirección
v.
3 4
a) F (x; y) = (x2 y 3 ; 2x4 y) p = (1; 2) v = ;
5 5

b) F (x; y) = (ex Seny; ex Cosy) p = (1; 4 ) v = p1 ; p2
5 5
p
c) F (x; y; z) = x
y
+ y;
z
xyz p = (4; 2; 1) v = (1; 1; 1)

6. Determine si el campo escalar F es derivable en el origen
p
a) F (x; y) = xy
x + y si x = 0 o y = 0
b) F (x; y) =
1 en otra parte
8
<12xy
si (x; y) 6= (0; 0)
c) F (x; y) = x2 + y 2
: 0 en otra parte

7. Encuentre (si existe) un campo escalar F tal que F 0 (a; v) > 0

a) Para a …jo y v cualquiera.
b) Para a cualquiera y v …jo.

8. Utilizando un CAS represente geometricamente las derivadas direccionales de un
campo escalar.



1. Si f es una función real-vectorial de…nida en a entonces f 0 (a) es tangente a la grá…ca
de f en a.


2. Una curva C es suave si esta determinada por una función de variable real y valor
vectorial f derivable en todo su dominio.

3. Si f es diferenciable, kf k es diferenciable.

4. La integral de una función f real-vectorial es un vector.

5. Las funciones coordenadas de un campo escalar son funciones de variable real y valor
real.

6. No es posible componer dos campos escalares.

7. La grá…ca de una función vectorial F de R2 en R3 es un conjunto de vectores en R5

8. Si el límite de un campo escalar F existe en el origen utilizando coordenadas polares,
entonces el límite de F existe en el origen.

9. Si un campo escalar F posee derivadas parciales en un punto a entonces F es continuo
en a.

10. Si un campo escalar F posee derivada direccional en un punto a en todas las direc-
ciones, entonces F es derivable en a.

PREGUNTAS DE SELECCIÓN MULTIPLE CON UNICA RESPUESTA

1. Sea F una función de valor vectorial que representa la curva intersección entre las
super…cies z = xy y x2 + y 2 = 4, entonces es correcto a…rmar que:
p p p p
A. F (t) = t; 4 t2 ; t 4 t2 B. F (t) = t; 4 t2 ; t 4 t2 C.
F (t) = [cos t; sent; cos tsent] D. F (t) = [2 cos t; 2sent; 2sen(2t)]
t
2. La grá…ca de la función vectorial F (t) = [e cos t; e t sent; e t ] se encuentra en:

A. Una esfera B. Un cono C. Un paraboloide D. En un hiperboloide

Cos(2 )
3. Para el campo escalar F (r; ) = es correcto a…rmar que sus curvas de nivel
r2
son:

a)
A. Cardiodes B. Lemniscatas C. Espirales E. Círculos

4. El campo escalar F (x; y) = x + y es inyectivo en el siguiente dominio.


A. R2 B. x2 + y 2 1 C. y = x D. y x
( 1 1
(x + y)sen sen y si (x; y) 6= (0; 0)
5. El valor de k para el cual el campo escalar F (x; y) = x
k si (x; y) = (0; 0)
es continuo en (0; 0), es:

A. 0 B. 1 C. 1 D.Ninguno
8
< (x + y)2
si (x; y) 6= (0; 0)
6. Para que el campo escalar F (x; y) = x2 + y 2 sea continuo en
:
k si (x; y) = (0; 0)
(0; 0); es correcto a…rmar que:

A. k = 0 B. k = 1 C. k = 2 D. No existe ningun k
( x
si y 6= 0
7. Para el campo escalar F (x; y) = y se puede a…rmar que en (0; 1)
0 si y = 0

A. El límite a lo largo de y = x es igual a 1 B. El límite a lo largo de y = x + 1
es igual a 0.
C. El límite en coordenadas polares es igual a cot D. El límite a lo largo de
x = (y 1)2 es igual a -2
p
8. Para el campo escalar F (x; y) = 3 xy es correcto a…rmar que en el origen (0; 0):

A. es derivable B. Fx = Fy C. Fx es continua D.Fy es continua

9. La derivada direccional de F (x; y) = 2x2 + 3y 2 en el punto (a; b) en dirección dada
por un ángulo (formado con el eje x) es:

A. 4a B. 6b C.4a + 6b D.4a cos + 6b cos

10. La derivada direccional de F (x; y; z) = x2 + 2y 2 + 3z 2 en el punto P (1; 1; 0) en
dirección al punto Q(2; 1; 2) es igual a:

A. 0 B. 2 C. 2 D. 6

PREGUNTAS DE SELECCIÓN MULTIPLE CON MULTIPLE RESPUESTA



1. Para una función real-vectorial f constante se puede a…rmar que

1. Dominio es R 2 Rango es Rm 3. Su grá…ca es un punto 4. Es inyec-
tiva.
A. B. C. D. E.

2. Si la trayectoria de un objeto que se mueve en el espacio está determinada por
f (t) = (4t; 3 cos t; 3sent), es correcto a…rmar que:

1. d(t) = (2t2 ; 3sent; 3sent) es su posición. 2. v(t) = (4; 3sent; 3 cos t)
es su velocidad
3. a(t) = (4; 3 cos t; 3 cos t) es su aceleración 4. k = 5 es su rápidez
A. B. C. D. E.

3. Para el campo escalar F (x; y) = xy se puede a…rmar que:

1
1. F (x; y) = F (y; x) 2. F ( x; y) = F (x; y) 3. F (x; y) = 4.
F (x; y)
F ( x; y) = F (x; y)
A. B. C. D. E.

4. Si F (x; y) = Ln(xy) entonces es correcto a…rmar que:

1. Las curvas de nivel de F son hipérbolas. 2. La grá…ca de F es una super…cie
de revolución
3. Dominio de F es D = f(x; y) 2 R2 jxy > 0g 4. Rango de F es E = fz 2
Rjz > 0g.
A. B. C. D. E.

5. Si F (xy; x=y) = x2 y 2 es correcto a…rmar que:

1. F (0; 0) = 0 2. F (1; 1) = 0 3. F (1; 1) = 2 4. F (2; 1) = 3
A. B. C. D. E.
1 1
6. Para el campo escalar F (x; y) = (x + y)sen sen es correcto a…rmar que en el
x y
punto (0; 0)

1. El límite no existe 2. Los límites iterados no existen
3. El límite es igual a in…nito 4. El límite existe
A. B. C. D. E.
( y
3+1
si x 6= 1
7. Para el campo escalar F (x; y) = x es correcto a…rmar que
0 en otra parte
en el punto (1; 0)


1. F No tiene límite 2. Existen las derivadas parciales de F
3. Existe la derivada direccional de F en todas las direcciones 4. F es continuo
A. B. C. D. E.

8. Para el campo vectorial F (x; y) = [ex ; ln y] se puede a…rmar que:

1. Dominio es R2 2. Rango es R2 3. es inyectivo 4. F (0; e) = [1; 1]
A. B. C. D. E.
Ryp
9. Si F (x; y) = x 1 + t3 dt es correcto a…rmar que:

3x2 3y 2
1. Fxy = Fyx 2. Fxx +Fyy = 0 3. Fxx = p 4. Fyy = p
2 1 + x3 2 1 + y3
A. B. C. D. E.

10. Si F es un campo escalar de R2 en R, entonces su derivada direccional puede estar
determinada por:

1. Un número real 2. Un vector de R2 3. Una super…cie 4. Una recta
tangente.
A. B. C. D. E.

PREGUNTAS ABIERTAS
1
1. Hallar el punto de corte de f (t) = et ; 2sen t + 2
; t2 2 y g(t) = [u; 2; u2 3],
y el àngulo de intersección.

2. Para la función f real-vectorial de R en R3 , calcular f 0 y f 00

a) f (t) = a + tb
b) f (t) = a + tb + t2 c

3. Hallar una función real-vectorial f de R en R3 que satisfaga las siguientes condi-
ciones: f 00 (t) = c, f 0 (0) = b, f (0) = a para todo t real

4. Para el campo escalar dado determine dominio, rango y grá…ca.

a) F (x; y) = xy
p p
b) F (x; y) = x y
x2 y2
c) F (x; y) = e

5. Sean x, y positivas y sea T el triángulo de vértices (0; y), (x; 0), ( x; 0). Se representa
con F (x; y) el perímetro de dicho triángulo.


a) Gra…car el triángulo T
b) Hallar una fórmula para F (x; y)
c) Gra…car la curva de nivel para F (x; y) = 2

6. Determine si es posible rede…nir el campo escalar dado en el origen para que sea
continuo alli.

a) F (x; y) = (x2 + y 2 )Ln(x2 + y 2 )
x2 + y 2
b) F (x; y) =
xy
x
c) F (x; y) = s
x+y
x y

7. Para el campo escalar determine dominio, rango e identi…que las super…cies de nivel
z
a) F (x; y; z) =
x2
+ y2
z2 1
b) F (x; y; z) = 2
x + y2
z2 + 1
c) F (x; y; z) = 2
x + y2

8. Demostrar que si un objeto se mueve con rapidez constante, sus vectores velocidad
y aceleración son ortogonales.

9. Demuestre que si l m F (x) = L, para F : D Rn ! R, entonces
x!a

a) l m (F (x))2 = L2
x!a
p p
b) l m jF (x; y)j = jLj
x!a

10. Para que valor(es) de n, el límite dado existe

xn
a) lm
(x;y)!(0;0) x2 + y 2

xn + y n
b) lm
(x;y)!(0;0) xy

11. Determine si los campos escalares dados son derivables en el origen.
p
a) F (x; y) = 3 xy


x + y si x = 0 o y = 0
b) F (x; y) =
1 en otra parte
( x
si y 6= 0
c) F (x; y) = y
0 si y = 0

12. Hallar la derivada direccional de F (x; y) = Ax2 + Bxy + Cy 2 en (a; b) en dirección
al punto (b; a) si

a) a > b
b) b > a

PROBLEMAS

1. Un balón de voleibol es golpeado cuando está a 4 pies sobre el suelo y a 12 pies de
una red que tiene 6 pies de altura. Deja el punto de impacto con una rapidez inicial
de 35 pies/s y un ángulo de 270o , sin ser tocado por el equipo contrario.

a) ¿Cual es la máxima altura alcanzada por el balón?
b) ¿A que distancia (horizontal) se encuentra el balón del punto donde tocara el
suelo?
c) ¿En que momento se encuentra el balón a la altura de la red?
Sugerencia: Utilice la ecuación vectorial para el lanzamiento de un proyectil
ideal desde el punto (x0 ; y0 ), R = x0 + (v0 cos )t; (y0 sen )t 1 gt2 y g = 32
2

2. La trayectoria que sigue un balón de futbol cuando el portero saca de meta está de-
terminada por F (t) = [(25 cos 9 )t; (25sen 9 )t 2;5t2 ], donde t está dada en segundos
y la trayectoria en metros.

a) ¿Cuándo tocará el balón el piso?
b) ¿En que instante el balón alcanzará la máxima altura?
c) ¿Que rápidez lleva el balón a los 3 segundos?

3. En los juegos olimpicos de Beiging el sloveno Primoz Kozmus lanzo un martillo de
7;2 Kg. con un ángulo de 450 con respecto a el suelo, alcanzando una distancia de
82;02 m y obtuvo la medalla de oro, determine:

a) Velocidad inicial del lanzamiento.
b) Máxima altura alcanzada por el martillo.


4. En el instante t = 0 una partícula sale despedida de la super…cie x2 + 3y 2 + 4z 2 = 7
por el punto (0; 1; 1), en una dirección normal a la super…cie a una velocidad de 5
unidades por segundo. ¿En que instante atraviesa la esfera x2 + y 2 + z 2 = 130?

5. Supongamos que nos encontramos en un estadio y el publico esta haciendo la ola.
Esta consiste en que el publico se pone de pie y se sienta de manera tal que se
forma una ola que se desplaza dando vuelta al estadio. Supongamos que H(x; t) =
5 + cos(0; 5x t) determina la altura (en pies) sobre el nivel del piso, de la cabeza
del espectador del asiento número x en el tiempo t segundos.

a) Explicar el signi…cado de H(x; 5) en términos de la ola y encuentre el periodo.
b) Explicar el signi…cado de H(2; t) en términos de la ola y encuentre el periodo.
c) Encontrar la rapidez de la ola.
@H
d) Evalué e interprete (2; 5) en términos de la ola.
@x
@H
e) Evalué e interprete (2; 5) en términos de la ola.
@t
6. Una cuerda de guitarra que vibra se tensa a lo largo del eje x, entre x = 0 y x = .,
si el campo escalar Z = F (x; t) = cos tsenx, determina el desplazamiento en un
tiempo t, de un punto x de la cuerda:

a) ¿Que representan las funciones F (x; 0) y F (x; 1)?
b) F (x; 0) representa el desplazamiento de toda la cuerda en el tiempo t = 0, osea
no hay desplazamiento.
c) F (x; 1) representa el desplazamiento de toda la cuerda en el tiempo t = 1:
d) ¿Que representan las funciones F (0; t) y F (1; t)?

7. Se estima que el número de ejercicios que realiza diariamente los alumnos dep curso
un
p
depcálculo vectorial está dado por el campo escalar F (x; y) = 30 x + y +40 x 1
58 y + 1 donde x determina el número de alumnos juicios y y determina el número
de alumnos desjuiciados. En la actualidad el curso consta de 14 alumnos juiciosos y
8 desjuiciados. Estime a que razón se estan realizando diariamente los ejercicios si
se retira un alumno desjuiciado y llega un alumno juicioso.

CAPÍTULO 3

DIFERENCIABILIDAD

Busca a tu complementario
que marcha siempre contigo
y suele ser tu contrario
ANTONIO MACHADO
"Proverbios y cantares XVI"

105

106 CAPÍTULO 3. DIFERENCIABILIDAD

3.1. La diferencial
A partir de los anteriores cursos de cálculo sabemos que toda función f de I R
en R que sea derivable en un punto a 2 I es continua en a, para funciones de varias
variables esta a…rmación no siempre es cierta.Una manera de justi…car el concepto de
diferenciabilidad para funciones de variable real y valor real es la siguiente: Una función
f de I R en R es diferenciable en a 2 I si existe una constante A tal que f (a + h) =
r(h)
f (a) + Ah + r(h) donde r es una función tal que l m = 0 entonces despejando A
h!0 h
f (a + h) = f (a) r(h)
obtenemos A = y aplicando límite cuando h ! 0 A = f 0 (a) por
h 0 h
lo tanto f (a + h) = f (a) + f (a)h + r(h).
La siguiente grá…ca determina la interpretación geométrica de la diferencial

La ecuación de la recta tangente a la grá…ca de f en a es igual a y = f 0 (a)(x a) + f (a)
y su imagen en a + h es f 0 (a)h + f (a) por lo tanto r(h) = f (a + h) f 0 (a) f (a), vemos
que r(h) es la distancia entre la recta tangente y la curva en el punto a + h y a medida
que h tiende a cero el residuo r(h) tiende a cero, esto garantiza que la curva es suave en
cercanias de a.
Consideremos ahora un campo escalar F de de D Rn en R y (a; b) 2 D, generalizan-
do la de…nición anterior diremos que F es diferenciable en (a; b) si existen A y B constantes
R(v1 ; v2 )
tales que F ((a; b)+(v1 ; v2 )) = F (a; b)+Av1 +Bv2 +R(v1 ; v2 ) donde lm =0
(v1 ;v2 )!(0;0) k(v1 ; v2 )k
y v = [v1 ; v2 ] es un vector de R2 , veamos cuales son las constantes A y B.
R(v1 ; 0) F (a + v1 ; b) F (a; b)
Haciendo v = [v1 ; 0], = A y aplicando lìmite cuando
v1 v1
@F
v1 tienede a cero A = (a; b)
@x
R(0; v2 ) F (a; b + v2 ) F (a; b)
de igual manera ahora sea v = [0; v2 ], = B y aplicando
v2 v2
@F
lìmite cuando v2 tienede a cero B = (a; b)
@y

3.1. LA DIFERENCIAL 107

Concluimos que una condición necesaria para que un campo escalar F sea diferenciable
en un punto (a; b) es que existan sus derivadas parciales en ese punto, sin embargo esta
condición no es su…ciente como veremos más adelane, y F ((a; b) + (v1 ; v2 )) = F (a; b) +
@F @F
(a; b)v1 + (a; b)v2 + R(v1 ; v2 ).
@x @y
Geometricamente ahora la función está representada por una super…cie y a medida que
nos acercamos a un punto donde la función es diferenciable la super…cie se parece más a
un plano. Sea S una super…cie de ecuación z = F (x; y) donde F posee primeras derivadas
parciales continuas en (a; b) y sea P (a; b; c) un punto de S. Sean C1 la intersección de S
y con el plano x = a, y C2 la intersección de S con el plano y = b: Las curvas C1 y C2
pasan por el punto P y tienen por tangentes a las rectas T1 y T2 entonces si existe un
plano tangente a la super…cie S en el punto P contiene a las rectas T1 y T2 , o sea si C
es cualquier otra curva sobre la super…cie S que pasa por P , entonces la tangente a C en
P esta contenida en el plano tangente a S en P , luego el plano tangente a S en P esta
formado por todas las tangentes en P a curvas contenidas en S y que pasan por P . Por lo
tanto, el plano tangente a S en P es el plano que mejor aproxima a la super…cie S es un
entorno del punto P .
Supongamos que F tiene derivadas parciales continuas, la ecuación del plano tangente
a la super…cie z = F (x; y) en el punto P (a; b; c) es z = F (a; b) + Fx (a; b)(x a) +
Fy (a; b) La función lineal cuya grá…ca es este plano tangente, es decir L(x; y) = F (a; b) +
Fx (a; b)(x a) + Fy (a; b) se denomina linealización de F en (a; b) y la aproximación
F (x; y) F (a; b) + Fx (a; b)(x a) + Fy (a; b) se llama aproximación lineal o aproximación
del plano tangente de F en (a; b)

Ejemplo 3.1.1 Hallar la ecuación del plano tangente a la super…cie z = x2 y 2 en el
punto (2; 1; 3)
Si F (x; y) = x2 y 2 entonces
Fx (x; y) = 2x Fy (x; y) = 2y
Fx (2; 1) = 4 Fy (2; 1) = 2
Entonces la ecuación del plano tangente en (2; 1; 3) es z 3 = 4(x 2) 2(y 1)


luego z = 4x 2y 3

La linealización de F en (2; 1) es L(x; y) = 4x 2y 3 y es una buena aproximación
de F (x; y)
cuando (x; y) está cerca de (2; 1) y la aproximación lineal es F (x; y) 4x 2y 3
en el punto (2;1; 0;9) la aproximación lineal es F (2;1; 0;99) 4(2;1) 2(0;99) 3 = 3;42
que es muy cercana al valor verdadero de F (2;1; 0;99) = (2;1)2 (0;99)2 = 3;4299

Como toda función f de I R en R que sea derivable en un punto a 2 I es continua en
a y puede ser aproximada en un entorno de a mediante una función lineal, para una función
de varias variables F de D Rn en Rm que posea todas las derivadas direccionales F 0 (a; v)
para todo v, no podemos asegurar que sea continua en a, debido a esto necesitamos de un
concepto que implique la continuidad y la existencia de las derivadas, dicho concepto se
denomina LA DIFERENCIAL y F puede ser aproximada en un entorno de a, B(a; ) D,
tal que si B(a; ) D para todo vector v 2 Rn , kvk < de modo que (a + v) 2 B(a; ).
Un campo escalar F de D Rn en R, se dice que es diferenciable en a 2 D; si existe
una transformacion lineal Ta (v) de Rn en R y un campo escalar E : de Rn en R , tales
que F (a + v) = F (a) + Ta (v) + E(a;v) para jjvjj < de manera que E(a; v) ! 0 cuando
kvk ! 0.
Nota: Ta es llamada la diferencial de F en a

Teorema 3.1.1 Si F es una función vectorial de D Rn en Rm diferenciable en a, si y
solamente si sus funciones coordenadas Fk (campos escalares) son diferenciables en a.

Teorema 3.1.2 Si F es un campo escalar de D Rn en Rm diferenciable en a con
diferencial Ta entonces existe la derivada F (a; v), para todo v 2 Rn y Ta (v) = F (a; v)
0

F (a + tv) F (a)
Demostración. Veamos que l m = F 0 (a; v) existe para todo a y es
t!0 t
igual a Ta (v)


Como F es diferenciable en a para todo w 2 Rn con kwk <2
entonces F (a + w) = F (a) + Ta (w) + E(w) con l m E(w) = 0
jjwjj
kwk!0
Sea v 2 Rn
(i) Si v = 0 entonces F 0 (a; 0) = Ta (0) = 0
2
(ii) Si v 6= 0 sea w = tv con jtj <
kvk
entonces F (a + tv) = F (a) + Ta (tv) + E(tv)
= F (a) + tTa (v) + E(tv)
F (a + tv) F (a) E(tv)
luego = Ta (v) +
t t
aplicando limite cuando t tiende a cero
F (a + tv) F (a) E(tv)
lm = l m Ta (v) + = Ta (v) 6= 0
t!0 t t!0 t

Teorema 3.1.3 Si F es diferenciable en a con diferencial Ta entonces F es continuo en
a
Teorema 3.1.4 Si F es diferenciable en a con diferencial Ta entonces F es derivable en
a (existe F 0 (a; v) para todo v 2 Rn unitario)
p
Ejemplo 3.1.2 Veri…car que el campo escalar F (x; y) = x2 + y 2 no es diferenciable en
el origen.
consideremos el vector v = [v1 ; v2 ] unitario
aplicando el teorema
(t) = F ((0; 0) + t [v1 ; v2 ])
p
= F (tv1 ; tv2 ) = t2 (V12 + V22 ) = jtj
concluimos que no es derivable en el origen
por lo tanto F no es diferenciable en el origen.
@F
Teorema 3.1.5 Si existen las derivadas parciales en una cierta bola B(a; ) y son
@xk
continuas en a entonces F es diferenciable en a
@2F
Teorema 3.1.6 Si F es un campo escalar de D R2 en Rdiferenciable entonces =
@x@y
@2F
@y@x

Propiedad 3.1.1 Si F y G son campos escalares de D1 ; D2 Rn en R diferenciables en
a entonces
(1) F G es diferenciable en a
(2) kF es diferenciable en a
(3) F G es diferenciable en a
F
(4) es diferenciable en a
G


Todo campo escalar polinomial es diferenciable en Rn .

2x + 3y
Ejemplo 3.1.3 El campo escalar F (x; y) = es diferenciable en todo R2 , pues
x2 `
+ y2 + 1
es el cociente de dos funciones polinomiales y ademas el denominador es siempre diferente
se cero.

Si z = F (x; y) es un campo escalar de R2 en R y suponga que x cambia de a a
a + 4x y y cambia de b a b + 4y;entonces el correspondiente incremento de z es 4z =
F ( a + 4x; b + 4y) F (a; b), luego.4z representa el cambio en el valor de F cuando (x; y)
cambia de (a; b) a ( a + 4x; b + 4y).

Si z = F (x; y) es un campo escalar de R2 en R que posee derivadas parciales continuas
en D entonces si (a; b) es un punto interior de D 4F = F ( a + 4x; b + 4y) F (a; b)
Fx (a; b) 4 x + Fy (a; b) 4 y luego F ( a + 4x; b + 4y) F (a; b) + Fx (a; b) 4 x + Fy (a; b) 4 y

Si z = F (x; y) es un campo escalar de R2 en R y 4x y 4y son los incrementos de
x y y respectivamente entonces las diferenciales de x y y son dx = 4x y dy = 4y y la
diferencial total de z es igual a dz = Fx (a; b) 4 x + Fy (a; b) 4 y

Si z = F (x; y), entonces F es diferenciable en (a; b) si 4z se puede exprezar en la
forma 4z = Fx (a; b) 4 x + Fy (a; b) 4 y + 1 4 x + 2 4 y donde 1 , 2 ! 0 cuando
(4x; 4y) ! (0; 0)

Si z = F (x) es un campo escalar de U Rn en R diferenciable en x0 2 U , entonces
P @F
n Pn
4z = (x0 ) 4 xi + Ei 4 xi donde Ei ! 0 cuando 4xi ! 0
i=1 @xi i=1

Ejemplo 3.1.4 Si z = 3x2 + 2y 2 y (x; y) cambia de (1; 2) a (1;1; 1;95) compare los valores
de 4z y dz.
@z @z
dz = dx + dy = 6xdx + 4ydy
@x @y
si x = 1, dx = 4x = 0;1, y = 2, dy = 4y = 0;05
entonces dz = 6(1)(0;1) + 4(2)( 0;05) = 0;2
el incremento de z es 4z = F (1;1; 1;95) F (1; 2)
= 0;235
se puede ver que 4z dz pero es más facíl calcular dz


Ejemplo 3.1.5 El radio y la altura de un cilindro miden 8 cm y 20 cm respectivamente,
pero hay un error en la medición de máximo 0;1 cm estime el error máximo en el calculo
del volumen.
El volumen de un cilindro de radio r y altura h es igual a V = r2 h
@V @V
La diferencial de V es dV = dr + dh = 2 rhdr + r2 dh
@r @h
como cada error es de máximo 0;1 cm, j4rj 1 y j4hj 1
si r = 8, h = 20, dr = 1 y dh = 0;1
entonces dV = 2 (8)(20)(0;1) + (8)2 (0;1) = 38;4 cm3 es el error máximo en el
calculo del volumen.

Sea F : D Rn ! R un campo escalar de…nido en un conjunto abierto D, se dice que
F es homogéneo de grado (real) si F (tx) = t F (x) para todo x 2 D, para todo t > 0.

Ejemplo 3.1.6 El campo escalar F (x; y) = 2x3 + 5xy 2 y 3 es homogéneo de grado 3.
F (tx; ty) = 2(tx)3 + 5(tx)(ty)2 (ty)3 = 2t3 x3 + 5t3 xy 2 t3 y 3
= t3 (2x3 + 5xy 2 y 3 ) = t3 F (x; y)

Teorema 3.1.7 de Euler1 para funciones homogéneas. Sea F : D Rn ! R un campo
escalar homogéneo de grado de…nido en un conjunto abierto D de Rn . Sea a un punto
a
no nulo de D y sea v = un vector unitario en dirección de a entonces si la derivada
kak
direccional F 0 (a; v) existe: F 0 (a; v) = F (a).
kak

Demostración. Utilizando la de…nición de derivada direccional
F (a + tv) F (a)
F 0 (a; v) = l m
t!0 t
a
F a+t F (a)
kak
=lm
t!0 t
1

Leonhard Euler (nombre completo, Leonhard Paul Euler) nació el 15 de abril de
1707 en Basilea, Suiza, y murió el 18 de septiembre de 1783 en San Petersburgo,
Rusia. Fue un respetado matemático y físico, y está considerado como el principal
matemático del siglo XVIII y como uno de los más grandes de todos los tiempos.
Vivió en Rusia y Alemania la mayor parte de su vida y realizó importantes des-
cubrimientos en áreas tan diversas como el cálculo o la teoría de grafos. También
introdujo gran parte de la moderna terminología y notación matemática, particular-
mente para el área del análisis matemático, como por ejemplo la noción de función
matemática.[1] También se le conoce por sus trabajos en los campos de la mecánica,
óptica y astronomía. Euler ha sido uno de los matemáticos más prolí…cos, y se calcu-
la que sus obras completas reunidas podrían ocupar entre 60 y 80 volúmenes.[2] Una
a…rmación atribuida a Pierre-Simon Laplace expresa la in‡uencia de Euler en los matemáticos posteriores:
« Lean a Euler, lean a Euler, él es el maestro de todos nosotros.


kak + t
F a F (a)
kak
=lm
t!0 t
como F es homogéneo de grado
kak + t kak + t
F a = a F (a)
kak kak
kak + t
a F (a) F (a)
0 0 kak
luego F (a; v) = F (a; v) = l m
t!0 t
kak + t
a 1
kak
= F (a)l m
t!0 t
= F (a)
kak

Corolario 3.1.1 Sea F : D Rn ! R un campo escalar homogéneo de grado de…nido
P @F
n
en un conjunto abierto D de Rn .entonces xi (x) = F (x).
i=1 @xi


1. Para cada uno de los campos escalares en el punto dado, uilice la de…nición de
diferenciabilidad para exprezar el residuo.

a) F (x; y) = 3xy, p(2; 5)
x+2
b) F (x; y) = , p( 1; 2)
y 3
c) F (x; y) = ln x + ln y, p(2; 3)

2. Determine la ecuación del plano tangente a la super…cie en el punto dado.

a) z = xy, p(1; 1; 1)
b) z = x ln y, p(2; 1; 0)
c) z = cos(x 2y), p(2; 1; 1)

3. Encuentre la aproximación lineal del campo escalar F en el origen y utilicela para
aproximar F (0;05; 0;2).

a) F (x; y) = x2 + y 2 + 3
x+2
b) F (x; y) =
y+3
c) F (x; y) = ex cos y


4. Muestre que los campos escalares dados son diferenciables en su dominio.
xy
a) F (x; y) = p
x2 + y 2
(x2 +y 2 )
b) F (x; y) = e
c) F (x; y) = Ln(1 + x2 + y 2 )

5. Muestre que las funciones vectoriales dadas son diferenciables en su dominio.
p
a) F (x; y) = [x2 + 3xy + y 2 ; x + y]
b) F (x; y) = [xseny; y cos x; tan xy]
x
c) F (x; y) = ex+2y ; ln(x + y);
y
6. Demuestre que los campos escalares dados no son diferenciables en el origen
8
< p xy si (x; y) 6= (0; 0)
a) F (x; y) = x2 +y 2
: 0 si (x; y) = (0;0)
8
< xy 3
si (x; y) 6= (0; 0)
b) F (x; y) = x3 + y 3
:
0 si (x; y) = (0;0)
8
< xy(x2 y 2 )
si (x; y) 6= (0; 0)
c) F (x; y) = x2 + y 2
:
0 si (x; y) = (0;0)

7. Determine si el campo escalar dado es homogéneo.

a) F (x; y) = exy
x2 y
b) F (x; y) = 2
x + y2
c) F (x; y) = x tan y

8. El radio de la base y la altura de un cono circular recto miden 12 cm y 25 cm
respectivamente, si hay un error en la mediciòn de 0;1 cm en cada medida, utilizando
diferenciales estime el error en el calculo del volumen del cono.
9. La siguiente tabla registra la velocidad de un ventilador de un disposiivo de aire
hnt 10 20 30
0;25 35 53 68
acondicionado en terminos de la humedad y la temperatura ambiente.
0;50 25 42 57
0;75 18 27 34
determine una aproximación lineal a la función velocidad para h = 50 y t = 10, y
estime la velocidad cuando h = 55 y t = 12:


10. Utilizando un CAS construya una funciòn que permita hallar la diferencial total de
un campo escalar dado.

3.2. Gradiente
Si F es un campo escalar de U Rn en R diferenciable en a 2 U entonces el vector
@F
rF (a) = (a) si existe se denomina gradiente de F en a.
@xi

Ejemplo 3.2.1 Encontrar el gradiente del campo escalar F (x; y; z) = sen(x + 2y + 3z)
en el punto (0; =2; =3).
Hallamos las primeras derivadas parciales de F en (0; =2; =3),
@F
(x; y; z) = cos(x + 2y + 3z) = cos(0 + + ) = cos(2 ) = 1;
@x
@F
(x; y; z) = 2cos(x + 2y + 3z) = 2cos(0 + + ) = 2cos(2 ) = 2
@y
@F
(x; y; z) = 3cos(x + 2y + 3z) = 3 cos 0 + + ) = 3cos(2 ) = 3
@z
luego rF (0; =2; =3) = [1; 2; 3]

Propiedad 3.2.1 Si F y G son campos escalares de D1 ; D2 Rn en R diferenciables en
a 2 D1 D2 entonces:
(i) r(F G)(a) = rF (a) rG(a)
(ii) r(kF )(a) = krF (a), (k 2 R)
(iii) r(F G)(a) = rF (a)G(a) + F (a)rG(a)
F rF (a)G(a) F (a)rG(a)
(iv) r (a) = si G(a) 6= 0
G (G(a))2

Ejemplo 3.2.2 Un campo escalar F de U R2 en R, diferenciable en (2; 1) posee
derivadas direccionales iguales a 3 en dirección al punto (3; 1) e igual a 2 en dirección
al punto (2; 2). Hallar la derivada direccional de F en (2; 1) en direcciòn al punto [3; 0]
Primero determinamos el gradiente de F en (2; 1
Construimos los vectores directores de las derivadas
v 1 = [(3; 1) (2; 1)] = [1; 0]
@F
entonces F 0 ((2; 1); [1; 0]) = 3 = (2; 1)
@x
ahora v 2 = [(3; 1) (2; 1)] = [0; 1]
@F
entonces F 0 ((2; 1); [0; 1]) = 2 = (2; 1)
@x
por lo tanto rF (2; 1) = [3; 2]
Ahora construimos el vector director v 3
v 3 = [(3; 0) (2; 1)] = [1; 1]
lo hacemos unitario, dividiendolo por su norma

3.2. GRADIENTE 115

entonces como F es diferenciable en [2; 1] !
p p !! p p p
0 2 2 2 2 5 2
F (2; 1); ; = [3; 2] ; =
2 2 2 2 2

Teorema 3.2.1 Si F es un campo escalar de D Rn en R diferenciable en a 2 D y v
es un vector unitario de Rn , entonces F 0 (a; v) = rF (a) v

Demostración. Por de…nición F ’ (a;v) = Ta (v). Y como T es una transformación lineal,
0
entonces F (a;v) = Ta (v1 e1 + v2 e2 + ::: + vn en )
= Ta (v1 e1 ) + Tx0 (v2 e2 ) + ::: + Tx0 (vn en )
= v1 Ta (e1 ) + v2 Ta (e2 ) + ::: + vn Ta (en )
= (v1 ; v2 ; :::; vn ) (Ta (e1 ); Ta (e2 ); :::; Ta (en ))
@F @F @F
= (v1 ; v2 ; :::; vn ) (a); (a); :::; (a)
@x1 @x2 @xn
= v rF (a) = rF (a) v

Gra…ca gradiente

Teorema 3.2.2 Si F es un campo escalar de D Rn en R diferenciable en a 2 D
0
entonces F (a; v) = krF (a)k cos donde es el ángulo entre rF (a) y el vector v

x
Ejemplo 3.2.3 Hallar la derivada direccional de F (x; y) = e cos y en el punto (1; 0) en
dirección [1; 1]
1 1
Como el vector [1; 1] no es unitario lo dividimos por su norma, v = p ; p
2 2
1 1 1 1
Aplicando el teorema F 0 (1; 0); p ; p = rF (1; 0) p ; p
2 2 2 2
rF (x; y) = [ e x cos y; e x seny] = [ e 1 ; e 1 ]
1 1 1 1 2e 1
luego F 0 (1; 0); p ; p = [ e 1; e 1] p ; p = p
2 2 2 2 2

Teorema 3.2.3 Si F es un campo escalar de D R2 en R diferenciable en (a; b) y
rF (a; b) 6= 0 entonces rF (a; b) es ortogonal a la curva de nivel de F que pasa por (a; b).


Teorema 3.2.4 del valor medio. Si F es un campo escalar diferenciable en cada punto
del segmento ab entonces existe c punto del segmento tal que F (b) F (a) = rF (c)(b a)

Algunas de las aplicaciones interesantes de cálculo diferencial sobre campos escalares
diferenciables a partir del gradiente son las variaciones máximas y/o mínimas en un punto
dado,y la ecuación de la recta normal y del plano tangente a una super…cie.

Propiedad 3.2.2 Derivadas direccionales máximas y mínimas. Si F es un campo escalar
de D Rn en R, y a 2 D, entonces la derivada direccional F 0 (a; v) es :
(i) Maxima si v tiene la misma direccion del rF (a) y su valor es krF (a)k
(ii) Minima si v tiene la misma direccion de rF (a) y su valor es krF (a)k
(iii) Nula si v y rF (a) son ortogonales

2
Alexis Claude Clairautl

Ejemplo 3.2.4 La temperatura en un punto (x; y) de una lamina esta dada por T (x; y) =
x
2 + y2
desde el punto (1; 2), en que dirección crece la temperatura más rápidamente? A
x
que ritmo se produce este crecimiento ?
Hallamos el gradiente de T en (1; 2)
y 2 x2 2xy
rT (x; y) = ;
2 + y 2 )2 (x2 + y 2 )2
(x
3 4
rT (1; 2) = ;
25 25
3 4
la dirección de mayor crecimiento en (1; 2) es ;
25 25
3 4
y la razón de mayor crecimiento es ; =1
25 25
2

Alexis Claude Clairault(también conocido como Clairault, a secas) (* 3 de mayo
de 1713 - y 17 de mayo de 1765) fue un matemático francés. nacido en París, donde
su padre era profesor de matemáticas, fue considerado un niño prodigio. A los 12
años escribió un desarrollo sobre cuatro curvas geométricas,y llegó a alcanzar tal
progreso en el tema (bajo la tutela de su padre), que a la edad de 13 años leyó ante
la Academia francesa un resumen de las propiedades de las cuatro curvas que había
descubierto. Tres años más tarde, completó un tratado sobre curvas de doble cur-
vatura, Recherches sur les courbes a double courbure, que la valió su admisión a la
Academia de Ciencias Francesa tras su publicación en 1731, a pesar de que aún no
contaba con la mínima edad legal de 18 años para ser admitido. En 1739 y 1740,
Clairaut publicó más trabajos sobre el cálculo integral, en particular sobre la existen-
cia de factores integrantes para la resolver ecuaciones diferenciales de primer orden (un tema que interesó
también a Johann Bernoulli y Reyneau). Concretamente, en 1740 publica su obra Sobre la integración o
la construcción de las ecuacio-nes diferenciales de primer orden, donde introduce, independientemente de
Leonhard Euler (1707-1783), el uso del factor integrante.

3.2. GRADIENTE 117

Si S es una super…cie de R3 de…nida implicitamente por un campo escalar F de D
R3 en R, diferenciable en a 2 D, entonces rF (a) es ortogonal a S en a y rF (a)
[(x; y; z) x0 ] = 0 determina la ecuación del plano tangente a S en a y [x; y; z] =
a + trF (a) determina la ecuacion vectorial de la recta normal a S en a.

Ejemplo 3.2.5 Hallar la ecuación del plano tangente y de la recta normal a la super…cie
determinada por z = x2 + y 2 en el punto (2; 1; 5).
Llevamos la ecuación de la super…cie a la forma implicita F (x; y; z) = x2 + y 2 z
Calculamos la normal del plano tangente a S (gradiente de F )
rF (x; y; z) = [2x; 2y; 1] en el punto rF (2; 1; 5) = [4; 2; 1]
entonces [4; 2; 1] [x 2; y 1; z 5] = 0
4x + 2y z = 5 determina la ecuación del plano tangente
y [x; y; z] = [2; 1; 5] + t [4; 2; 1] es la ecuación vectorial de la recta normal

Ejercicios.secciòn 3.2.

1. Hallar el gradiente del campo escalar F en el punto P

a) F (x; y) = x2 y 2 ; P = (2; 3)
p
b) F (x; y) = 3 xy ; P (3; 5)
c) F (x; y; z) = T an(x y + z) ; P = ( ; ; )

2. Hallar la derivada direccional del campo escalar dado en el punto P en dirección v

a) F (x; y) = e2x 3y
, P = (1; 1) y v = [3; 4]
b) F (x; y) = x4 + 2xy 2 + y 3 , P = (0; 2) y v = [ 1; 1]
p
c) F (x; y; z) = xyz, P = (1; 1; 1) y v = [1; 2; 3]

3. Para el campo escalar F (x; y) = x2 + y 2 determine los puntos (x; y) 2 R2 donde el
gradiente de F :

a) Forma un ángulo de /4 con el vector U = [1; 1]
b) Tenga la misma direccion del vector U = [ 3; 4]
c) Sea perpendicular al vector U = [ 1; 1]

4. Encuentre la razón de cambio máxima de F en P y la dirección en que esta ocurre.

a) F (x; y) = e2x+3y ; P = (0; 0)
b) F (x; y) = xx + y y ; P = (1; 1)
p
c) F (x; y; z) = ArcT an x + y + z ; P = (1; 1; 1)


5. Halle la ecuación del plano tangente y de la recta normal a la super…cie dada en el
punto P

a) z = xy P = (1; 2; 2)
2 2
b) z = (x2 + y 2 )e (x +y ) P = (0; 0; 0)
p
c) z = x + y P = (2; 2; 2)

6. Sea F es un campo escalar de D R2 en R, diferenciable en P . Suponga que
@F @F
(P ) = 3 y (P ) = 2 , en que dirección:.
@x @y
@F
a) (P ) = 1
@v
@F
b) (P ) = 1
@v
@F
c) (P ) = 0
@v
7. Determine los puntos del elipsoide (x 1)2 + 2(y 2)2 + 3(z + 1)2 = 6 donde sus
planos tangentes son paralelos al plano xy
8. Una esfera con centro (1; 2; 1) pasa por el origen. Halle la ecuación del plano tangente
a esta esfera en el origen.
9. Demuestre que el plano tangente al hiperboloide x2 +y 2 z 2 = 1 en el punto (a; b; 0)
es igual a ax + by = 1
10. Determine la intersección entre el eje Z y el plano tangente a la super…cie z = ex+y
en el punto (1; 1; 1)
11. Determine los puntos de la super…cie z = x4 4xy 3 + 6y 2 2 donde el plano tangente
es horizontal.
12. Si F (x; y) = x2 y 2 , utilice el gradiente rF (2; 1) para determinar la ecuación de la
recta tangente a la curva de nivel F (2; 1) = 3 en el punto (2; 1). Gra…que la curva
de nivel, la recta tangente y el gradiente.
13. Un pajaro carpintero está contruyendo su nido en un árbol a una altura de 4 m.
Si desde alli vuela en dirección al punto (1; 0; 4) su temperatura aumenta a razón
de 20 por m, si vuela en dirección al punto (0; 1; 4) su temperatura no cambia, si
vuela en dirección al punto (0; 0; 3) su temperatura disminuye a razón de 30 por m.
¿A que razón cambia su temperatura cuando vuela en dirección al punto ( 1; 1; 5)?.
Considere el árbol como el eje z y su base el origen (0; 0; 0).
14. Utilizando un CAS gra…que algunas curvas de nivel de un campo escalar dado y
algunos gradientes.

3.3. REGLA DE LA CADENA 119

3.3. Regla de la cadena
La regla de la cadena para funciones de variable real y valor real tratadas en los
anteriores cursos de cálculo permite derivar una función compuesa, para funciones de
varias variables primero consideraremos las funciones vectoriales ya que en estas funciones
fue posible determinar la compuesta, luego consideraremos la regla de la cadena para
camos escalares.

Si F es una función vectorial de D Rn en Rm diferenciable en a 2 D; entonces la
matriz3 JF (a) = [rFk (a)] se denomina matriz jacobiana de F en a. Las …las de la matriz
jacobiana de una función vectorial F estan determinadas por los gradientes sus funciones
componentes Fk :
Si m = 1 la matriz jacobiana es igual al gradiente.

Teorema 3.3.1 Si F es una función vectorial de D Rn en Rm diferenciable en a 2 D
y G es una función vectorial de U * Rm en Rp diferenciable en F (a) 2 D ; entonces
GoF es diferenciable en a y ademas J(GoF )(a) = JG(F (a))JF (a).:Nota : D* =F (D)

Ejemplo 3.3.1 Determine la matriz jacobiana de la función vectorial F (x,y) = [x2 y 3 ,5x3 2y 4
en p = (2; 3)
2xy 3 3x2 y 2
JF (x; y) =
15x2 8y 3
2(2)(3)3 3(2)2 (3)2 108 324
JF (2; 3) = 2 3 =
15(2) 8(3) 60 216

3

Arthur Cayley (Richmond, Reino Unido, 16 de agosto de 1821 - Cambridge,
26 de enero de 1895) fue un matemático británico. Es uno de los fundadores de
la escuela británica moderna de matemáticas puras. Además de su predilección
por las matemáticas, también era un ávido lector de novelas, le gustaba pintar,
apasionado de la botánica y de la naturaleza en general, y a…cionado al alpinismo.
Fue educado en el Trinity College de Cambridge. Estudio durante algún tiempo
la carrera de leyes con lo que trabajó de abogado durante 14 años, a la vez que
publicaba un gran número de artículos. Luego pasó a ser profesor en Cambridge.
Fue el primero que introdujo la multiplicación de las matrices. Es el autor del
teorema de Cayley-Hamilton que dice que cualquier matriz cuadrada es solución
de su polinomio característico. Dio la primera de…nición moderna de la noción
de grupo. Recibió la Royal Medal en 1859 y la Medalla Copley en 1882. En combinatoria, su nombre
está unido a la fórmula nn - 2 que enumera los árboles decorados con n picos. Se llama a veces octavas
de Cayley o números de Cayley a los octoniones. Es el tercer matemático más proli…co de la historia,
sobrepasado tan solo por Euler y Cauchy, con aportaciones a amplias áreas de la matemática. Cayley es
autor de una colección de artículos suyos llamado Çollecterd Mathematica Papers of Cayley", que contiene
966 artículos en trece grandes volúmenes.


Ejemplo 3.3.2 Comprobar la regla de la cadena para GoF , si F (x; y) = [xseny; ysenx]
y G(u; v) = [2u 3v; eu v ; uv] :
Hallamos primero la matriz jacobiana de GoF
GoF (x; y) = G(F (x; y)) = G( xseny; ysenx) = [2xseny 3ysenx; exseny ysenx ; xysenxseny]
2 3
2seny 3y cos x 2x cos y 3senx
JGoF (x; y) = 4(seny + y cos x)exseny ysenx (x cos y senx)exseny ysenx 5
ysenxseny + xy cos xseny xsenxseny + xysenx cos y
hallamos ahora las matrices jacobianas de G y de F respectivamente
2 3
2 3
JG(u; v) = 4eu v eu v 5
v u 2 3
2 3
JG(F (x; y)) = JG(xseny; ysenx) = 4exseny ysenx exseny ysenx 5
ysenxv xseny
seny x cos y
JF (x; y) =
y cos x senx
JG(F (x; y)) JF (x; y) =
2 3 2 3
2 3 2seny 3y cos x 2x cos y 3senx
seny x cos y
= 4exseny ysenx exseny ysenx 5 = 4(seny + y cos x)exseny ysenx (x cos y senx)exseny ysenx 5
y cos x senx
ysenxv xseny ysenxseny + xy cos xseny xsenxseny + xysenx cos y

Teorema 3.3.2 Si F es un campo escalar de D Rn en R diferenciable en x 2 D y
@Gi
si xi = Gi (y) son campos escalares de Ei Rm en R que poseen deivadas parciales
@yj
@F P @F @Gi
n
entonces = para j = 1; 2; :::; m
@yj i=1 @xi @yj

@F @F
Ejemplo 3.3.3 Dados F (x; y) = senx cos y, x = s2 t y y = st2 , hallar y .
@s @t
Aplicando la regla de la cadena
@F @F @x @F @y
= + = CosxCosy(2st) SenxSeny(t2 )
@s @x @s @y @s
@F @F @x @F @y
= + = CosxCosy(s2 ) SenxSeny(st)
@t @x @t @y @t

Ejemplo 3.3.4 Dado F (x; y) = x2 + xy. supongamos que no sabemos x(u; v) y y(u; v),
@x @y
pero sabemos que x(1; 2) = 3, y(1; 3) = 2, (1; 2) = 1, y (1; 2) = 5:entonces
@u @u
@f
podemos usar la regla de la cadena para calcular (1; 2):
@u
@F @F
Necesitaremos saber y en el punto (x(1; 2); y(1; 2)) = (3; 2):
@x @y
@F
(3; 2) = (2)(3) + ( 2) = 4
@x


@F
(3; 2) = 3
@y
Ahora empleamos la regla de la cadena:
@F @F @x @F @y
= +
@u @x @u @y @u
= (4)( 1) + (3)(5) = 11

Ejemplo 3.3.5 Dado F (x; y) = f (x2 + y; 3xy), donde f es un campo escalar de R2 en R
diferenciable. Si rf (2; 3) = [5; 4] hallar la dirección demayor crecimiento de F en (1; 1).
La dirección de mayor crecimiento es la del gradiente unitario de F
Utiliando la regla de la cadena hallamos el gradiente de F
@F
(1; 1) = D1 f (2; 3)2x + D2 f (2; 3)3y = (5)2 + (4)3 = 10 + 12 = 22
@x
@F
(1; 1) = D1 f (2; 3)1 + D2 f (2; 3)3x = (5)1 + (4)3 = 17
@y
entonces rF (1; 1) =[22; 17]
[22; 17]
luego v =
k[22; 17]k

Ejemplo 3.3.6 En un triángulo rectangulo un cateto crece a razón de 2 cm/min y el
otro cateto decrece a razón de 1 cm/min. Hallar la variación de la hipotenusa cuando los
catetos miden 10 cm y 12 cm respectivamente.
Consideremos el teorema de Pitagoras p
h2 = c2 + c2 con c1 = 10, c2 = 12 entonces h = 244 15;62
1 2
@h @c1 @c2 @c1 @c2
Aplicando la regla de la cadena 2h = 2c1 + 2c2 con =2y = 1
@t @t @t @t @t
@h 1
entonces = ((10)(2) + (12)( 1)) = 0;51 cm= m n
@t 15;62

Teorema 3.3.3 Sean F es un campo escalar de D Rn en R diferenciable en a 2 D y
C una curva de Rn parametrizada por medio de . Si 0(t) existe y es diferente de cero
para todo t de I, entonces F 0(a; T(t0 )) determina la derivada direccional de F a lo largo
de C y es igual a F 0(a; T(t0 )) = rF (a) T(t0 ). Nota: (t0 ) = a

Ejemplo 3.3.7 Hallar la derivada direccional de F (x; y) = 2x2 y + 3xy 2 a lo largo del
p p !
2 2
circulo unitario en el punto ; :
2 2
Parametrizamos el circulo x2 + y 2 = 1 de la siguiente manera
x = Cost ; y = Sent , (t) =[Cost; Sent]
luego ’ = [ Sent; Cost]
(t)
0
(t) es unitario, por lo tanto 0 (t) = T (t)
p p !
2 2
para t = , (t) = p y T = ;
4 4 2 2

p p !
2 2
hallamos ahora el gradiente de F en ;
2 2
rF (x; y) = [4xy! 3y 2 ; 2x2 + 6xy]
+
p p
2 2 1
rF ; = ; 2
2 2 2
p p ! p p !!
2 2 2 2
luego F 0 ; ; ;
2 2 2 2
" p p # p
1 2 2 3 2
= ; 2 ; =
2 2 2 4

Ejercicios.sección 3.3.

1. Determine la matriz jacobiana de la función vectorial dada, en el punto p.

a) F (x,y) = (Sen(x + y); xex+y ; x + y), p = (1; 1)
1 y x
b) F (x,y) = xy , , , p = (1; 1)
x x+y
c) F (x; y; z) = [xy ; y z ; z x ], p = (1; 1; 1)

2. Determinar un campo vectorial G de D R2 en R2 cuya matriz jacobiana en a 2 D,
a b
sea la matriz dada. si JF (a) = .
c d

2a 2b
a) JG (a) =
3c 3d
a + 3c b + 3b
b) JG (a) =
c a d b
4a + 5 4b 12
c) JG(a)=
a + c + 3 a + c 10

3. Determine la matriz jacobiana del campo vectorial dado, en el origen, si f1 y f2 son
campos escalares de R2 en R diferenciables

a) F (x; y) = (x + f1 (x; y); y + f2 (x; y))
b) F (x; y) = ef1 (x;y) ; ef2 (x;y)
c) F (x; y) = (f1 (x; y)f2 (x; y); xy)

4. Comprobar la regla de la cadena para F oG si F (x; y; z) = (xy; z) y G(u; v) =
(u2 v; uv 2 ; 4u)


5. Sea F (x ,y) = [ex+2y ; sen(y + 2); 2x] y G(u; v; w) = [u + 2v 2 + 3w3 ; 2v u2 ]

a) Calcular las matrices jacobianas de F y G
b) Calcular la funcion compuesta H(u; v;,w) = F (G(u; v; w))
c) Calcular la matriz jacobiana de H en (1; 1; 1)

6. Describa como son los campos vectoriales F : Rn ! Rn , cuya matriz jacobiana en
todo punto a 2 Rn es una matriz diagonal.

7. Sea F : Rn ) Rn un campo vectorial tal que F (x) = x , x 2 Rn . Demuestre que la
matriz jacobiana de F en cualquier punto A es la matriz identica.
@z @z
8. Utilice la regla de la cadena para hallar y si:
@s @t
s
a) z = xey ; x = st ; y = t
b) z = SenxCosy ; x = (s + t)2 ; y = (s t)2
p
c) z = T an(x + y) ; x = st ; y = s2 t

9. La siguiente tabla lista valores de una funcion F (x; y) y sus derivadas parciales, dado
x(u; v) = uv y y(u; v) = u + v 2 : Encuentre las siguientes derivadas parciales en los
@F @F
(x; y) F (x; y)
@x @y
(1; 1) 3 2 2
(1; 2) 5 1 1
puntos indicados:
(2; 1) 2 0 7
(2; 5) 1 2 3
(2; 3) 11 1 1
(3; 2) 2 1 0

@F
a) en (u; v) = (1; 2)
@u
@F
b) en (u; v) = (2; 1)
@v

10. Hallar la derivada direccional de F a lo largo de la curva C en el punto P

a) F (x; y) = x2 y 2 ; C : y = ex ; P = (0; 1)
p p !
2 2
b) F (x; y) = e2x+3y ; C : x2 + y 2 = 1 P = ;
2 2
c) F (x; y; z) = (x + 2y + 3z)2 ; C : (t) = (Cost; Sent; t) ; P = (0; 1; =2)


11. Suponga que F es un campo escalar yp 1 (y = x2 ), C2 (y = x3 ) dos curvas tales que
p C
0 0
F ((1; 1); C1 ) = 5 ; F ((1; 1); C2 ) = 10 , hallar la derivada direccional de F en
(1; 1) a lo largo de la curva dada.

p
a) y = x
1
b) y =
x
c) y = 2x 1

12. En un cilindro circular recto el radio crece a razón de 3 cm/min y la altura crece a
razón de 2 cm/min. Hallar la variación del volumen cuando el radio mide 8 cm y la
altura 9 cm.

13. A que razón cambia el volumen de una caja rectangular cuando se incrementa su
ancho de 6cm a una razón de 2 cm/min, se incrementa su longitud de 10 cm/min a
una razón de 3 cm/min y decrece su altura de 8 cm a una razón de 1 cm/min.

14. El radio de un cono circular recto crece a razón de 5 cm/min y el volumen decrece
a razón de 3 cm/min. Hallar la variación de la altura del cono cuando el radio mide
7 cm y el volumen es igual a 30 cm3

15. Un automovil A viaja en dirección norte por una carretera a 120 Km/hora, otro
automovil viaja en dirección oeste por una carretera a 90 km/hora, los automoviles
se acercan al cruce de estas dos carreteras, a que razón cambia la distancia entre los
dos autos cuando estan a 0.5 Km y 0.4 Km respectivamente del cruce.
p
16. Hallar la derivada direccional de F (x; y; z) = e x 2y 3z
en el punto P = (0; 1; 2)
a lo largo de la curva interseccion entre x2 + y 2 = z 2 1, y = 1

a) Parametrizando la curva interseccion
b) Sin parametrizar la curva interseccion

17. Hallar los puntos (x; y) y las direcciones para que la derivada direccional de F (x; y) =
3x2 + y 2 sea maxima , si esta en el circulo unitario.

18. Utilizando un CAS construya una función para hallar la derivada direccional de un
campo escalar a lo largo de una curva.

3.4. FUNCIONES IMPLICITAS 125

3.4. Funciones implicitas
Uno de los temas más importanes en la historia del cálculo es el teorema de la función
implicita. En el capitulo anterior la grá…ca de una función y = (x) se puede ver como una
curva de nivel, correspondiente al nivel cero de un campo escalar z = F (x; y), entonces el
nivel cero esta constituido por el conjunto de puntos (x; y) tales que F (x; y) = y (x) = 0.
El reciproco no siempre es cierto, hay casos donde no existe el nivel cero o donde no es
posible despejar a y en terminos de x, por ejemplo si F (x; y) = x2 +y 2 +2 no existen puntos
(x; y) tales que x2 + y 2 = 2 y si consideramos el campo escalar F (x; y) = ax2 + by 2 1,
vemos que no podemos determinar una funciónp = (x), claramente se ve que ax2 +by 2 = 1
p y
1 ax 2 1 ax2
de…ne dos funciones y = yy = : Si es posible obtener de manera
b b
local una función y = (x) de…nida en una vecindad de a tal que b = (a), signi…ca que
dado un punto (a; b) del nivel cero de un campo escalar z = F (x; y) existe una bola abierta
de centro (a; b) que contiene la grá…ca de y = (x). Cuando tal bola y tal función existen
se dice que la función y = (x) esta de…nida implicitamente por F (x; y) = 0, se debe tener
ademas que F (x; y = (x)) = 0 para toda x del dominio de . El teorema de la función
implicita4 garantiza la existencia de y = (x) pero no dice como se halla.

Teorema 3.4.1 Derivación implicita. Si F es un campo escalar de D R2 en R y
sea (a; b) 2 D tal que F (a; b) = 0: Supongamos que F posee primeras derivadas parciales
@F
continuas en alguna bola B de centro (a; b) y que (a; b) 6= 0. entonces F (x; y) = 0 se
@y
puede resolver para y en terminos de x y de…nir así una función y = (x) con dominio
en una vecindad de a, tal que b = (a), la cual tiene derivadas continuas y y 0 = 0 (x) =
@F
(x; y)
@x
@F
(x; y)
@y
4

Gottfried Wilhelm von Leibniz (Leipzig, 1 de julio de 1646 - Hannover, 14
de noviembre de 1716) fue un …lósofo, matemático, jurista y político alemán,
nacido en Leipzig en julio de 1646. Fue uno de los grandes pensadores del siglo
XVII y XVIII, y se le reconoce como el "último genio universal". Descubrió el
cálculo in…nitesimal, independientemente de Newton, y su notación es la que
se emplea desde entonces. También descubrió el sistema binario, fundamento
de virtualmente todas las arquitecturas de las computadoras actuales. Junto
con René Descartes y Baruch Spinoza, es uno de los tres grandes racionalis-
tas del siglo XVII. Su …losofía se enlaza también con la tradición escolástica
y anticipa la lógica moderna y la …losofía analítica. Leibniz también hizo con-
tribuciones a la tecnología, y anticipó nociones que aparecieron mucho más
tarde en biología, medicina, geología, teoría de la probabilidad, psicología, ingeniería y ciencias de la in-
formación. Sus contribuciones a esta vasta lista de temas está desperdigada en diarios y en decenas de
miles de cartas y manuscritos no publicados. Hasta el momento, no se ha realizado una edición completa
de sus escritos, y por ello no es posible aún hacer un recuento integral de sus logros.


Teorema 3.4.2 Derivación implicita generalizado. Si F es un campo escalar de D
Rn en R y sea a 2 D tal que F (a) = 0: Supongamos que F posee primeras derivadas
@F
parciales continuas en alguna bola B de centro a y que (a) 6= 0. entonces F (x) = 0
@xn
se puede resolver para xn en terminos de x1 ; x2 ; :::; xn 1 y de…nir así una función xn =
(x1 ; x2 ; :::; xn 1 ) con dominio en una vecindad de a, la cual tiene derivadas continuas y
@F
(x1 ; x2 ; :::; xn 1 )
@ @xi
(x1 ; x2 ; :::; xn 1 ) = (para todo i = 1; 2; :::; n 1).
@xi @F
(x1 ; x2 ; :::; xn 1 )
@xn
Ejemplo 3.4.1 Veri…que que el campo escalar F (x; y) = 2xy +y 4 satisface las hipotesis
del teorema de la función implicita en algún punto p del nivel cero de F .
1
El nivel cero de F es 2xy + y = 4 una curva en xy que no esta de…nida en x =
2
hallamos ahora las derivadas parciales de F
@F @F
(x; y) = 2y y (x; y) = 2x + 1 son continuas en R2
@x @y
@F
@y (x; y) 2y
la derivada del nivel cero = @x = en forma implicita
@x @F 2x + 1
(x; y)
@y
4
y en forma explicita el nivel cero es y =
2x + 1
8 1
y su derivada es y 0 = 2
la cual no existe en x =
(2x + 1) 2
1 1 1
Ejemplo 3.4.2 La ecuación + + = 1 de…ne implicitamente a z como función de
x y z
@z @z
x y y, hallar y
@x @y
1 1 1
Consideremos a F (x; y; z) = + + =1
x y z
y apliquemos el teorema anterior
@F 1
2
@z x2 = z
luego = @x = 1
@x @F x2
@y z2
@F 1
@z @y y2 z2
y = = 1 =
@y @F y2
z 2
@y
p
Ejemplo 3.4.3 La ecuación F xy; x2 + z 2 = 0 de…ne implicitamente una super…cie
S de R3 , si D1 F (1; 2) = 3 y D2 F (1; 2) = 2, hallar la ecuación del plano tangente y de la
recta normal a S en (1; 1; 3).

3.4. FUNCIONES IMPLICITAS 127
p
Ejemplo 3.4.4 Hallamos el gradiente de en F en (1; 1; 3)
@F p x 1
(1; 1, 3) = D1 F (1; 2)Y + D2 F (1; 2) p = (3)1 + (2) 2 = 3 + 1 = 4
@x x 2 + z2
@F p
(1; 1, 3) = D1 F (1; 2)X + D2 F (1; 2)0 = (3)1 + 0 = 3
@y p
@F p z 3 p
(1; 1, 3) = D1 F (1; 2)0 + D2 F (1; 2) p = (3)0 + (2) = 3
@Z x2 + z 2 p 2
Luego la ecuación del plano tangente a S en 1; 1; 3 es
p p
4; 3; 3 x 1; y 1; z 3 =0
p
4x + 3y + 3z = 10 p
y la ecuación de la recta normal a S en 1; 1; 3 es
p p
[x; y; z] = 1; 1; 3 + t 4; 3; 3

Si F es un campo vectorial de D Rn en Rn diferenciable para todo a 2 D , ademas
F (a) = [b] y JF (a) 6= 0; entonces existe la función inversa del campo vectorial F , F 1
campo vectorial de D Rn en Rn diferenciable en F 1 (b) 2 D y JF 1 (b) = (JF (a)) 1 .
(F 1 oF )(a) = a 2 D y (F oF 1 )(b) = b 2 U

Ejemplo 3.4.5 Hallar la inversa del campo vectorial F (x; y) = [5x; 3y]
Hallamos la matriz jacobiana de F
5 0
JF (x; y) =
0 3
y det (JF (x; y)) = 15 2 3
1
1 3 0 6 07
luego (JF (x; y)) 1 = = 43 15
15 0 5 0
hx y i 5
1
entonces F (x; y) = ;
3 5

Ejercicios sección 3.4..

1. Veri…que que el campo escalar dado satisface las hipotesis del teorema de la función
implicita en algun punto p del nivel cero de F y halle la derivada de la función
y = f (x) determinada por el nivel cero.

a) F (x; y) = 4x + 5y 6
b) F (x; y) = x2 + 3y 2 + 1
c) F (x; y) = ex + ey 10


@z
2. La ecuación dada de…ne implicitamente a z como función de x y y . Hallar y
@x
@z
@y

a) xy + yz + zx = 5
b) Cos(x + y) + Cos(y + z) = 1
c) ex+y+z = xyz

@2z @2z
3. Para las ecuaciones del numeral anterior halle y
@y@x @x@y
4. Suponga que F (x; y) = f (2x + 3y; x y) donde f : R2 ! R es un campo escalar
diferenciable tal que rf (7; 1) = [3; 4].hallar.

a) Gradiente de F en (2; 1)
b) Derivada direccional de F en (2; 1) en dirección [1; 1]
c) Dirección de mayor crecimiento de F en (2; 1)

5. Para el campo escalar del numeral anterios encuentre: Suponga que

a) Ecuación del plano tangente a F en (2; 1). Si F (2; 1) = 3
b) Ecuación de la recta normal a F en (2; 1): Si F (2; 1) = 3

@w @w @w
6. Sea w = F (x y; y z; z x) demuestre que + + =0
@x @y @z
7. Las dos ecuaciones x + y = uv y xy = u v de…nen a x y y como funciones
implicitas de u y v. Halle las primeras derivadas parciales de x y y en funcion de u
y v.
@z @z
8. Si z = y + F (x; y) y F es diferenciable, demuestre que y +x =x
@x @y
9. Hallar la función inversa del campo vectorial

a) F (x; y) = (x + 2y; 2x y)
b) F (x; y) = (Cos(x + y); Sen(x y))
c) F (x; y) = (ex Cosy; ex Seny)

10. Utilizando un CAS construya una funciòn que permita hallar la inversa de un campo
vectorial.

3.5. MÁXIMOS Y MÍNIMOS 129

3.5. Máximos y mínimos
En esta sección se considerarán máximos y minimos de campos escalares, su estudio es
similar al considerado para funciones de variable real y valor real y tambien se considera
la función de Taylor para determinar condiciones su…cienes para que un campo escalar
tenga extremo local en un punto.

Si F es un campo escalar de D Rn en R y a 2 D, entonces:
(i) F posee un maximo relativo o local en a si existe una bola B (a) D tal
que F (x) F (a) 8x 2 B (a)
(ii) F posee un minimo relativo o local en a si existe una bola B (a) D tal
que F (x) F (a) 8x 2 B (a)

Ejemplo 3.5.1 Demostrar que el origen es un punto critico del campo escalar F (x; y) =
p
x2 + y 2 y es un mínimo.
Utilizando el rango del campo escalar
R = fz 2 R; z 0g
vemos que para (0; 0) la imagen es cero
y no existe ninguna pareja (x; y) cuya imagen sea menor que cero

Si F es un campo escalar de D Rn en R y diferenciable en a 2 D y ademas
rF (a) = 0, entonces a es un punto critico o estacionario de F .
Si a es punto critico y a no es ni maximo ni minimo entonces a es llamado punto de
silla.

Ejemplo 3.5.2 Hallar los puntos criticos de F (x; y) = x2 + y 2 + 4x 6y
Hallamos el gradiente de F
@F @F
(x; y) = 2x + 4 y (x; y) = 2y 6
@x @y
igualamos a (0; 0)
2x + 4 = 0, 2y 6 = 0 entonces x = 2 y y = 3
puesto que (x + 2)2 0 y (y 3)2 0 , se tiene que F (x; y) 13
por lo tanto F ( 2; 3) = 13 es un mínimo local,
y de hecho es el mínimo absoluto de F .

Si F es un campo escalar de D Rn en R diferenciable en a 2 D y ademas a es un
@2F
punto critico de F entonces a la matriz cuadrada de orden n H(a) = (a)
@xi @xj
se denominara matriz hessiana5 de F en a o hessiano de F en a

5


Teorema 3.5.1 de Taylor de segundo orden para campos escalares. Sea F un campo es-
@2F
calar de D Rn en R , tal que las derivadas parciales de segundo orden son
@xi @xj
continuas en alguna bola B (a) 2 D.entonces para todo a 2 Rn tal que a + x 2 B, se tiene
la formula de Taylor de segundo orden para F en a,
F (a + x) = F (a) + rF (a)x + 2 xH(a+ 2 x)xt donde 0 <2< 1
1

la cual se puede escribir tambien como
1
F (a + x) = F (a) + rF (a)x + 2 xH(a)xt + r(x) en donde el residuo r(x) tiene la
r(x)
propiedad l m =0
x!0 kxk

Ejemplo 3.5.3 Encontrar la fórmula de Taylor de segundo orden para F (x; y) = ysenx
alrededor del origen.
F (0; 0) = 0
@F @F
(x; y) = y cos x, (x; y) = senx
@x @y
@2F @2F @2F
(x; y) = ysenx, (x; y) = cos x, (x; y) = 0
@x2 @y@x @y 2
@F @F @2F @2F @2F
(0; 0) = 0, (0; 0) = 0, (0; 0) = 0, (0; 0) = 1, (0; 0) = 0
@x @y @x2 @y@x @y 2
1
entonces F (x; y) = F (0; 0) + rF (0; 0) [x; y] + [x; y] H(0; 0) [x; y]t + r([x; y])
2
1 0 1 t
luego F (x; y) = [x; y] [x; y] + r([x; y]) = xy + r([x; y])
2 1 0

Si a es un punto critico de un campo escalar F entonces la fórmula de Taylor toma la
1
forma F (a + x) F (a) = xH(a)xt + r(x), puesto que r(x) tiende a cero, entonces el
2
signo de F (a + x) F (a) es el mismo signo de la forma cuadrática xH(a)xt , por lo tanto
la naturaleza del punto critico la determina el signo de la forma cuadrática.
El hessiano, conocido también como discriminante o matriz hessiana, fue
introducido en el año de 1844 por Hesse, matemático alemán quien nació en
1811 y murió en 1874. Esto sucedió luego de que Carl Gustav Jacob Jacobi
(1804-1851) introdujera "los jacobianos". Lo que hizo Jacobi con esto fue ex-
presar los cambios de variable de las integrales múltiples en términos de estos.
Respecto a los detalles biográ…cos de Ludwig Otto Hess se sabe que nació pre-
cisamente en Konigsberg, Alemania (aunque actualmente es Rusia) el 22 de
abril de 1811. Estudió con Jacobi en su ciudad natal (Konigsberg), donde se
desempeñó primero como maestro de física y química y posteriormente como
profesor. En 1856 se trasladó a Heidelberg, donde permaneció doce años, antes
de tomar un puesto en Munich, donde falleció el 4 de agosto de 1874. Ludwig
Otto Hess se hizo tan famoso por una matriz que introdujo en un artículo de 1842 referido a curvas cúbicas
y cuadráticas.


Propiedad 3.5.1 Condiciones su…cientes para la existencia de extremos locales. Sea F
un campo escalar de D Rn en R diferenciable en a 2 D y ademas a es punto critico
de F entonces :
(i) Si la forma cuadratica Q(x) = xH(a)xt es de…nida positiva,entonces F tiene un
minimo local en a.
(ii) Si la forma cuadratica Q(x) = xH(a)xt es de…nida negativa,entonces F tiene un
maximo local en a.

Propiedad 3.5.2 Criterio para la determinación de extremos locales en campos escalares
de R2 en R. Sea F un campo escalar de D R2 en R diferenciable en a y ademas a es
un punto critico de F entonces :
(i) F posee un maximo en a si j 4 H(a)j > 0 y D11 F (a) < 0
(ii) F posee un minimo en a si j 4 H(a)j > 0 y D11 F (a) > 0
(iii) F posee un punto de silla en a si j 4 H(a)j < 0
(iv) el criterio no decide si j 4 H(a)j = 0

Ejemplo 3.5.4 Encontrar e identi…car los puntos criticos del campo escalar F (x; y) =
y 3 + 3x2 y 3x2 3y 2 + 2
Calculamos primero el gradiente de F
rF (x; y) = [6xy 6x; 3y 2 + 3x2 6y]
lo igualamos al vector cero, entonces
6x(y 1) = 0 tenemos que x = 0 o y = 1
reemplazando en la segunda ecuación
para x = 0, 3y 2 6y = 3y(y 1) = 0,
tenemos que y = 0 o y = 1
para y = 1, 3 + 3x2 6 = 3x2 3 = 3(x 1)(x + 1) = 0
tenemos que x = 1 o x = 1
por lo tanto los puntos criticos son (0; 0); (0; 1); (1; 1) y ( 1; 1)
hallamos ahora la matriz hessiana de F (x; y)
6y 6 6x
H(x; y) =
6x 6y 6
cuyo determinante es jH(x; y)j = (6y 6)2 36x2
clasi…camos cada punto critico con el determinante
jH(0; 0)j = 36 y D11 F (0; 0) = 6 < 0 entonces (0; 0; F (0; 0)) es máximo
jH(0; 2)j = 36 y D11 F (0; 2) = 6 > 0 entonces (0; 2; F (0; 2)) es mínimo
jH(1; 1)j = 36 entonces (1; 1; F (1; 1)) es punto de silla
jH( 1; 1)j = 36 entonces ( 1; 1; F ( 1; 1)) es punto de silla

Hay casos donde el criterio no decide o el campo escalar posee in…ntos criticos.

x2 y 2
calculando el gradiente de F


rF (x; y) = [2xy 2 ; 2x2 y]
que es igual a (0; 0) en x = 0 o y = 0
posee in…nitos criticos todos los puntos de los ejes x, y
2y 2 4xy
la matriz hessiana es igual a H(x; y) =
4xy 2x2

cuyo determinante es jH(x; y)j = 4x2 y 2 16x2 y 2 = 12x2 y 2
el critico (0; 0) no se puede clasi…car
pero utilizando el rango se puede ver que F posee alli un mínimo

senx + cos y en la región acotada por 0 < x < ; 1 < y < 4
calculando el gradiente de F
rF (x; y) = [cos x; seny]
que es igual a (0; 0) en x = + n , y = n (n 2 Z)
2
posee in…nitos criticos si no se acota su dominio
luego en la región dada los criticos son
;0 , ;
2 2
senx 0
la matriz hessiana es igual a H(x; y) =
0 cos y
cuyo determinante es (jH(x; y)j =) senx cos y
clasi…camos cada punto critico con el determinante
H ; 0 = 1 y D11 F ; 0 = 1 < 0, entonces ; 0; F ; 0 es máximo
2 2 2 2
H ; = 1 y D11 F ; 0 = 1 > 0, entonces ; 0; F ; 0 es mínimo
2 2 2 2

Para encontrar los valores máximos y mínimos absolutos de un campo escalar F en
una región cerrada y acotada D.

1. Determinar los criticos de F en el interior de D y clasi…carlos con el criterio del
hessiano.

2. Determinar los criticos de F en la frontera de D y clasi…carlos utilizando criterios
de una variable.

3. Determinar los máximos y mínimos absolutos.

Ejemplo 3.5.7 Determinar los máximos y mínimos absolutos de F (x; y) = x2 y 2 en la
región triangular de vértices (0; 0), (2; 0) y (0; 2).
Primero hallamos el gradiente de F
rF (x; y) = [2x; 2y], que se anula en (0; 0)
este punto no es interior es frontera
en el lado x = 0, F (0; y) = y 2 , está función tiene mínimo en (0; 0)


en el lado y = 2 x, F (x; 2 x) = 0, está función no tiene criticos
y en el lado y = 0, F (x; 0) = x2 , está función tiene máximo en (2; 0)
por lo tanto el máximo absoluto ocurre en (2; 0)
y el mínimo absoluto ocurre en (0; 2)



1. Demostrar que el origen es un punto critico del campo escalar dado, y es un mínimo.

a) F (x; y) = jxj + jyj
b) F (x; y) = x2=3 + y 2=3
(x2 +y 2 )
c) F (x; y) = (x2 + y 2 )e

2. Demostrar que los campos escalares no tienen extremos locales.

a) F (x; y) = x3 + 5x + y 3 + 2y
b) F (x; y; z) = ArcT an(x + 2y + 3z)
c) F (x; y; z) = Ln(x + 2y + 3z)

3. Encuentre la formula de Taylor del campo escalar F en el origen

a) F (x; y) = sen(2x + y)
b) F (x; y) = e2x+3y
1
c) F (x; y) =
1+x+y

4. Determinar si con la informacion dada se puede decir si F posee un maximo, o un
minimo, o un punto de silla en (x0 ; y0 )

a) Fxx (x0 ; y0 ) = 9 Fyy (x0 ; y0 ) = 4 Fxy (x0 ; y0 ) = 6
b) Fxx (x0 ; y0 ) = 3 Fyy (x0 ; y0 ) = 8 Fxy (x0 ; y0 ) = 2

5. A parir de las curvas de nivel del campo escalar F

a) F (x; y) = x2 + xy + y 2
b) F (x; y) = x3 3xy + y 3
c) F (x; y) = x4 x2 + 2x + y 4 y2

6. Para el campo escalar dado encontrar e identi…car los puntos criticos del campo
escalar dado.
1 1
a) F (x; y) = xy+ +
x y
b) F (x; y) = 3x2 y + y 3 3x2 3y 2 + 1
c) F (x; y) = x4 + y 4 4xy + 5
d) F (x; y) = x3 + y 3 + 3y 2 3x 9y + 2


7. Demuestre que el campo escalar F tiene un número in. . . nto de criticos y que el
criterio del hessiano no decide.

a) F (x; y) = x2 y 2
b) F (x; y) = x2 + 4y 2 4xy + 2
c) F (x; y) = (x 1)2 (y + 4)2

8. Para el campo escalar dado encontrar e identi…car los puntos criticos.

a) F (x; y) = x2 2xy + 2y en la región triangular de vértices (0; 0), (1; 1) y (2; 0)
b) F (x; y) = x + 2xy 2 en la región D = f(x; y)j0
3
x 2, 0 y 3g
2 3 2 2
c) F (x; y) = 2x y + 3xy en la región acotada por x + y 1

9. La base de un acuario de volumen V es metalica y los lados son de vidrio. El costo
por unidad de área de la base es el doble de la unidadt de área de vidrio, determine
las dimensiones que minimizan el costo del material utilizado.
10. Una caja rectangular sin tapa se debe construir con 60 cm2 de cartón. Determine el
volumen máximo de la caja.
11. Encuentre las dimensiones de una caja cuyo volumen es 1000 cm3 que tenga la
mínima área super…cial.
12. Muestre que (0; 0) es un punto critico de F (x; y) = x2 + kxy + y 2 sin importar el
valor de k
13. Determine los valores de k para que el campo escalar F (x; y) = x2 + kxy + y 2 posea
en (0; 0)

a) Un mínimo
b) Un máximo
c) Un punto de silla

14. Sea F (x; y) = ax2 by 2 donde a, b 2 R. Determine los valores de a y b de modo que
F tenga en el punto (0; 0) un:

a) Máximo
b) Mínimo
c) Punto de silla

15. Utilizando un CAS construya una función que permita clasi…car los puntos criticos
de un campo escalar dado.


3.6. Multiplicadores de Lagrange
A diferencia de la sección anterior donde se considerarón métodos para hallar los ex-
tremos de un campo escalar en su dominio, ahora consideraremos métodos para encontrar
los extremos de un campo escalar sujeto a unas restricciones. Supongamos que quer-
emos encontrar los extremos de un campo escalar z = F (x; y) cuando sus variables x, y
varían en un conjunto determinado de puntos del plano, que podría ser una curva. Sean F
y G campos escalares de R2 en R,diferenciables, supongamos que F cuando está restringui-
da a la curva de nivel C determinada por G(x; y) = c tiene un puno critico en (a; b) y
que rG(a; b) 6= (0; 0) entonces existira un número real tal que rF (a; b) = rG(a; b),
si 6= 0 signi…ca que las curvas de nivel de F (x; y) y G(x; y) que pasan por (a; b) tienen
la misma tangente en (a; b), es decir los vectores rF (a; b) y rG(a; b) son paralelos, y
para cierto valor de son colineales sobre la curva de nivel. Para encontrar un máximo
@F @G @F @G
o un mínimo de F resolvemos el sistema (x; y) = (x; y), (x; y) = (x; y) y
@x @x @y @y
G(x; y) = c

Ejemplo 3.6.1 Para una elipse de centro (3; 0) y semiejes de longitudes 1 y 2 (x, y
respectivamente), encontrar los puntos de la elipse más cercanos y más alejados del origen.
y2
La elipse tiene por ecuación (x 3)2 + =1
4 p
para un punto (x; y) la distancia al origen está dada por x2 + y 2
por comodidad utilizamos como función la distancia al cuádrado
F (x; y) = x2 + y 2
la restricción es la elipse, o sea
y2
G(x; y) = (x 3)2 + 1
4
considerando rF (x; y) h rG(x;iy)
=
y
obtenemos [2x; 2y] = 2x 6;
2
y
luego 2x = (2x 6) y 2y =
2
entonces y = 0 o = 4
criticos (4; 0) y (2; 0)
por lo tanto la distancia al origen es
d(4; 0) = 4 y d(2; 0) = 2
está más cerca del origen (2; 0)
y está mas lejos del origen (4; 0)

Hay casos donde el critico es uno solo o varios pero con la misma imagen, su clasi…cación
se realiza tomando otro punto de la restricción y comparando las imagenes en la función
a optimizar. Ademas no todos los problemas son de caracter geometríco.

3.6. MULTIPLICADORES DE LAGRANGE 137

Ejemplo 3.6.2 Optimizar el producto de dos numéros cuya suma sea igual a 10
La función es F (x; y) = xy
la restricción es G(x; y) = x + y 10
considerando rF (x; y) = rG(x; y)
obtenemos [y; x] = [1; 1]
luego 2x = 10, x = 5
critico (5; 5), F (5; 5) = 25
para saber si es máximo o mínimo
tomemos otro punto de la restricción
(10; 0) con F (10; 0) = 0
por lo tanto el producto en (5; 5) es máximo

Supongamos que queremos obtener los extremos del campo escalar F cuando (x; y; z)
varía en una super…cie S determinada por un campo escalar G, se reduce a hallar los
extremos de una campo escalar con una restricción. La expresión G(x; y; z) = 0 es una
super…cie de nivel (cero) de G y rG(a; b; c) es normal a la supe…cie S en (a; b; c), entonces
los vectores rF (a; b; c) y rG(a; b; c) son linealmente dependientes, entonces existe una
constante tal que rF (a; b; c) = rG(a; b; c):
p
Ejemplo 3.6.3 Hallar la distancia más corta del punto (4; 0; 0) al cono z = x2 + y 2
Utilizando multiplicadores de Lagrange
minimizamos la distancia del punto (4; 0; 0) al cono
p
D((x; y; z); (4; 0; 0)) = (x 4)2 + y 2 + z 2
por comodidad tomamos la distancia al cuadrado
F (x; y; z) = (x 4)2 + y 2 + z 2 restringuida a el cono
p
G(x; y; z) = x2 + y 2 z
entonces (2(x 4); 2y; 2z) = p 2x ; p 2y ; 1
x2 +y 2 x +y 2
2
p
luego = 2z = 2 x2 + y 2
4
por lo tanto 2(x 4) = 4x, x =
3
2y = 4y, y = 0
q
4 2 4
z= 3
+0= 3
luego la distancia mínima es p
4 4 4 5
D ; 0; ; (0; 0; 0) =
3 3 3

Supongamos que queremos obtener los extremos del campo escalar F cuando (x; y; z)
varía en la curva C intersección entre las super…cies G1 y G2 , se reduce a hallar los
extremos de una campo escalar con dos restricciones. Las expresiones G1 (x; y; z) = 0 y
G2 (x; y; z) = 0 son super…cies de nivel (cero) de G1 y G2 , y rG1 (a; b; c) y rG2 (a; b; c)
son normales a la curva C en (a; b; c), entonces los vectores rF (a; b; c), rG1 (a; b; c) y


rG2 (a; b; c) se encuentran en el mismo plano (normal a C en (a; b; c)), luego son linealmente
dependientes,entonces existen constantes 1 y 2 tales que rF (a; b; c) = 1 rG1 (a; b; c) +
2 rG2 (a; b; c)

Propiedad 3.6.1 Multiplicadores de Lagrange (Maximos y minimos condicionados o Max-
imizadores de Lagrange). Si F es un campo escalar de D Rn en R sujeto a lo más a n-1
condiciones Gi campos escalares de D Rn en R, entonces los maximos y/o minimos de
F sujeto a Gi estan en la solucion del sistema
Gi (x1 ; x2 ; :::; xn ) = 0 (8i = 1; 2; :::; n)
Pm
rF (x1 ; x2 ; :::; xn ) = i rGi (x1 ; x2 ; :::; xn ): i es llamado multiplicador de Lagrange
i=1
6
( i 2R)

Ejemplo 3.6.4 Hallar el volumen del máximo paralelepipedo rectangular con tres aristas
sobre los ejes positivos y uno de sus vértices en el plano 2x + 3y + 6z = 12
Consideremos las dimensiones del paralelepipedo como x, y, z
luego V (x; y; z) = xyz es la función a maximizar
la restricción es el plano 2x + 3y + 6z = 12
luego G(x; y; z) = 2x + 3y + 6z 12
considerando rF (x; y; z) = rG(x; y; z)
obtenemos [yz; xz; xy] = [2; 3; 6]
yz = 2 , xz = 3 y xy = 6
3
igualando 1 y 2 obtenemos x = y
2
1
igualando 2 y 3 obtenemos z = y
2
reemplazando en la restricción
4 2
y= ,x=2yz=
3 3
16 3
por lo tanto V = u
9
6

Joseph Louis Lagrange (bautizado como Giuseppe Lodovico Lagrangia) (25 de
enero de 1736 en Turín - 10 de abril de 1813) fue un matemático, físico y as-
trónomo, procedía de una ilustre familia parisiense, que tenía profundo arraigo en
Cerdeña, y algún rastro de noble linaje italiano. A los diecinueve años de edad,
obtuvo fama resolviendo el así llamado problema isoperimétrico, que había descon-
certado al mundo matemático durante medio siglo. Comunicó su demostración en
una carta a Euler, el cual se interesó enormemente por la solución, de modo
especial en cuanto concordaba con un resultado que él mismo había hallado.En
realidad Lagrange no sólo había resuelto un problema, también había inventado
un nuevo método, un nuevo cálculo de variaciones, que sería el tema central de
la obra de su vida. Siguió residiendo en Prusia durante veinte años, produciendo
obras de alta distinción, que culminaron en su Mécanique Analytique. Decidió publicarla en Francia, a
donde fue llevada a salvo por uno de sus amigos.



1. Determinar los puntos máximos y/o mínimos del campo escalar dado con la restric-
ción indicada.

a) F (x; y) = 25 x2 y 2 ; x2 + y 2 = 4y
b) F (x; y) = xy ; 9x2 + y 2 = 4
c) F (x; y) = x2 y2 ; x + 2y = 6

ción indicada.

a) F (x; y; z) = x + y + z, x2 + y 2 + z 2 = 1
b) F (x; y; z) = x2 y 2 z 2 , x2 + y 2 + z 2 = 1
c) F (x; y; z) = x2 + y 2 + z 2 , +2y + 3z = 6 y x y z= 1

ción indicada.

a) F (x; y; z) = x2 + y 2 + z 2 , x + 2y + 3z = 6 y x + y + z = 1
b) F (x; y; z) = xyz, x + y + z = 4 y x y z=3
c) F (x; y; z) = x2 + y 2 + z 2 + w2 , x + y + 2z = 1, 2x z + w = 2 y y + 3z + 2w = 1

4. Determine los puntos mas cercanos y mas alejados del origen de:

a) x2 + y 2 + xy = 4
b) (x 3)2 + (y 2)2 = 1
c) (x 2)2 + (y 1)2 + (z 2)2 = 16

5. Hallar el punto del paraboloide z = x2 + y 2 más proximo al punto p = (3; 6; 4):


6. Hallar los puntos de la curva intersección entre las super…cies x2 xy + y2 = 1 y
x2 + y2 = 1 que estan m as cerca del origen.

7. Determinar las dimensiones de una lata cilindrica de volumen 1000 cm3 , cuya area
super…cial sea mínima.

8. Determinar las dimensiones de la caja rectangular de volumen máximo que puede
ser inscrita en elelipsoide x2a2 +y2b2 +z2c2 = 1

9. Encuentre la ecuación del plano que pasa por el punto (a; b; c) del primer octante y
que forma un tetraedro con los planos coordenados, de volumen máximo

10. La ganancia que obtiene un comerciante por la venta de tres productos diferentes
x, y y z , de precios U$2, U$1 y U$5 respectivamente es G(x; y; z) = x1=2 y 1=3 z 1=6 .
Determinar cuantas cántidades debe comprar de cada producto para maximizar su
ganancia si dispone de U$120.

11. Un alumna de economía de la PUJ tiene $60.000 para invertir en galletas y chocolati-
nas, las galletas cuestan $200 la unidad y las chocolatinas $300 la unidad. Suponga
que la utilidad obtenida por la venta de x galletas y y chocolatinas esta dada por
la función de utilidad de Cobb-Douglas U (x; y) = 10x0;6 y 0;4 . ¿Cuántas unidades de
galletas y chocolatinas debería comprar la alumna para maximizar la utilidad?

12. Carrefour desea colocar una bodega para abastecer a tres de sus supermercados. El
primer supermercado (Hayuelos) se sitúa a 8 Km. al oeste del segundo supermercado
(Av.19) y este a 6 Km. al norte del tercer supermercado (20 de julio). Los analistas de
costos de Carrefour han calculado que sus costos de transporte son proporcionales
al cuadrado de la distancia entre la bodega y los supermercados. Si el segundo
supermercado se localiza en el origen del sistema de coordenadas, determinar en que
lugar se debe construir la bodega de abastecimiento a …n de minimizar los costos de
transporte.
P
m
13. Maximizar F (x1; x2 ; :::; xn ) = x1 x2 :::xn sujeto a xi = 1
i=1

m
14. Maximizar F (x1; x2 ; :::; xn ) = x1 + x2 + ::: + xn sujeto a xi = 1
i=1

15. Utilizando un CAS interpretar geometricamente un campo escalar restringido.




1. Si las derivadas parciales mixtas de un campo escalar F en un punto son iguales, el
campo es diferenciable en el punto.

2. Si una función de varias variables posee todas las derivadas en un punto, entonces
es diferenciable.

3. El gradiente de un campo escalar en un punto P , es un vector anclado en P -

4. Si el gradiente de un campo escalar F y un vector v tienen igual dirección y sentido,
la derivada direccional del campo escalar F en dirección v es máxima.

5. El plano tangente a una super…cie solo hace contacto con la super…cie en un punto

6. Para hallar la derivada direccional de un campo escalar a lo largo de una curva hay
que parametrizar la curva.

7. Es posible hallar la inversa de un campo escalar.

8. Si el gradiente de un campo escalar en un punto se anula, el punto es critico

9. Si el determinante de la matriz Hessiana de un campo escalar es igual a cero, el
campo escalar no posee puntos criticos

10. En multiplicadores de Lagrange un campo escalar F de Rn en R posee n-1 restric-
ciones.


1. La resistencia R de un alambre es proporcional a su longitud e inversamente pro-
1
porcional al cudrádo del radio, es decir R = k 2 Si el error relativo en la medición
r
de la longitud es 5 % y el error relativo en la medición del radio es 10 %, entonces el
error relativo en la medición de R en el peor de los casos es:

A. 0;95 % B. 0;25 % C. 25 % D. 50 %

2. La diferencial de la función F (t; ) = et sen es igual a:

A. du = et sen dt + et cos d B. du = et sen 4t + et cos 4
C. 4u = et sen 4t + et cos 4 D. 4u = et sen 4 + et cos 4 + 1 4t + 2 4


3. El radio de un cono circular recto aumenta a razón de 1; 8 pulg/seg mientras que
su altura disminuye a razón de 2; 5 pul/seg. La razón de cambio a la que cambia el
volumen del cono cuando el radio es 120 pulg y la altura es 140 pulg es igual a:

A. 8160 B. 40 C. 8000 D. 3200

4. La máxima razón de cambio de F (x; y) = ln(x2 + y 2 ) en (1; 2) es:
p
4 2 5
A. ln5 B. 5 C. D.
5 5

5. El vector tangente a la curva intersección entre el paraboloide z = x2 + y 2 y el
elipsoide 4x2 + y 2 + z 2 = 9 en el punto (1; 1; 2) es igual a:

A. [2; 2; 1] B. [8; 2; 4] C. [10; 16; 12] D. [10; 16; 12]

6. La ecuación xz + yz = 1 de…ne implicitamente a z como una función de x y y,
entonces es correcto a…rmar que:

@2z z @2z z
A. 2
= B. =
@x (x + y)2 @y 2 (x + y)2
@2z 2z @2z z xz yz
C. = D. =
@x@y (x + y)2 @y@x (x + y)3

7. Para que valor de k el campo escalar F (x; y) = y 3 + 3x2 y kx2 ky 2 + 2 posee un
máximo en (0; 0), un mínimo en (0; 2) y un punto de silla en (1; 0).

A. k > 0 B. k < 6 C. 3<k<3 D. 0 < k < 3

8. El campo escalar F (x; y) = x2 2 + 3y 2 2 + 2xy + ax + by + c tiene un valor mínimo
local de 15 en (3; 1) cuando:

A. a = 8, b = 12 y c = 39 B.a = 8, b = 12 y c = 15
C. a = 8, b = 12 y c = 39 D. a = 8, b = 12 y c = 33

9. Usted debe diseñar una cubeta para fabricar hielo de costo mínimo que contenga
12 pulg 3 de agua, si la bandeja esta dividida en 12 compartimientos iguales de base
cuadráda y el costo del material empleado es de U$1 por pulg 2 .De que manera
resolveria este problema utilizando multiplicadores de Lagrange.


A. Minimizar F (x; y; z) = xy + 3xz + 7yz sujeto a x = 2y y xyz = 12
B. Minimizar F (x; y; z) = xy + 3xz + 7yz sujeto a x = 3y y xyz = 12
C. Minimizar F (x; y; z) = xyz sujeto a 2xy + 2xz + 2yz = 12
D. Minimizar F (x; y; z) = xyz sujeto a xy + 3xz + 7yz = 12

10. Si se utilizan muliplicadores de Lagrange para hallar la distancia más corta desde el
p
punto (4; 0; 0) al cono z = x2 + y 2 se debe:
p
A. Minimizar F (x; y; z) = z x2 + y 2 sujeto a G(x; y; z) = (x 4)2 + y 2 + z 2
p
B. Minimizar F (x; y; z) = (x 4)2 + y 2 + z 2 sujeto a G(x; y; z) = z x2 + y 2
p
C. Minimizar F (x; y; z) = x2 + y 2 + z 2 sujeto a G(x; y; z) = z x2 + y 2
p
D. Minimizar F (x; y; z) = z x2 + y 2 sujeto a G(x; y; z) = x2 + y 2 + z 2


8 3
< x y xy 3
si (x; y) 6= (0; 0)
1. Para el campo escalar F (x; y) = x2 + y 2 se puede a…rmar
:
0 si (x; y) = (0; 0)
que:

1. F no es diferenciable en (0; 0) 2. Fxy (0; 0) 6= Fyx (0; 0)
3. Fx (0; 0) y Fy (0; 0).no existen 4. F es diferenciable en (0; 0)
A. B. C. D. E.

2. Si F es un campo escalar de R2 en R2 diferenciable en (2; 1) que posee derivadas
direccionales iguales a 3 en dirección al punto (3; 1) y es iguala a 2 en dirección
al punto (2; 2), entonces es correcto a…rmar que:

1. Fx (2; 1) = 3 2. Fy (2; 1) = 2
p p
3. Dv F (2; 1) = 5 si V = [1; 1] 4. 13 Dv F (2; 1) 13
A. B. C. D. E.


3. Si F es un campo escalar de R3 en R diferenciable entonces:
@F @F @F
1. rF (x; y; z) = ; ; en coordenadas cilindricas
@r @ @z
@F @F @F
2. rF (x; y; z) = ; ; en coordenadas esfericas
@ @ @
@F 1 @F @F
3. rF (x; y; z) = ; ; en coordenadas cilindricas
@r r @ @z
@F 1 @F 1 @F
4. rF (x; y; z) = ; ; en coordenadas esfericas
@r @ sen @
A. B. C. D. E.
x2 3y 2 9z 2
4. La temperatura en un punto (x,y,z) esta dada por T (x; y; z) = e . La mayor
razón de incremento en un punto P , se puede determinar:
1. Encontrando el máximo de la función T
2. Usando multiplicadores de Lagrange
3. Calculando krT (P )k
4. Calculando la derivada direccional F 0 (P ; W ) donde W = rT (P ) para 2R
A. B. C. D. E.
5. Suponga que se sustituyen las coordenadas polares x = r cos , y = rsen en el
campo escalar w = F (x; y), entonces:
@w @w
1. = Fx cos + Fy sen 2. = Fx sen + Fy cos
@r @
@w sen @w @w cos s @w
3. Fx = cos 4. Fy = sen
@r r @ @r r @
A. B. C. D. E.
6. Para el elipsoide 3x2 + 2y 2 + z 2 = 9 en el punto p(1; 1; 2)
1. 3x 2y + 2z = 34 es su plano tangente
2. [x; y; z] = [6; 4; 4] + t[1; 1; 2] es su recta normal
3. [6; 4; 4] es su vector tangente
4. 3x 2y + 2z = 9 es su plano tangente
A. B. C. D. E.
7. Sean F (x; y) = [cos y + x; ex+y ] y G(u; v) = [Ln(uv); senv u], entonces es correcto
a…rmar que:
" 1 1 #
1 ex+y sen(senv u) + cos vsen(senv u) +
1. JF (x; y) = 2. JF oG(u; v) = u v
seny ex+y ve senv u
uvesenv u
uesenv u + uv cos vesenv u
" 1 2 3
1 # ex+y senyex+y
3. JG(u; v) = u v 4.JGoF (x; y) = 4 cos y + x cos y + x 5
1 cos v e x+y x+y
cos(e ) + 1 ex+y x+y
cos(e ) + seny
A. B. C. D. E.


8. Las ecuaciones x+y = uv y xy = u v de…nen implícitamente a x y y como funciones
de u y v, entonces:

@y vy 1 @y y x @x ux + 1 @x x y
1. = 2. = 3. = 4. =
@u y x @v uy 1 @v x y @u xv 1
A. B. C. D. E.

9. Para el campo escalar F (x; y) = x2 + xy 2 + y 4 se puede a…rmar que:

1. Posee punto de silla en (0; 0) 2. No tiene puntos críticos
3. El criterio del hessiano no decide 4. Posee mínimo en (0; 0)
A. B. C. D. E.
p
10. Para encontrar la distancia mínima de la curva y = 1 x2 al punto (0; 1), se debe
utilizar:

1. Criterio del Hessiano 2. Multiplicadores de Lagrange.
3. Criterio de una variable 4. Geometría.
A. B. C D. E.

PREGUNTAS ABIERTAS

1. Si F es una función vectorial de D Rn en Rm diferenciable en a y 8v 1 ; v 2 de Rn
demuestre que F ’(a;v 1 + v 2 ) = F ’
(a;v 1 ) + F ’
(a;v 2 )

2. Si A es una matriz simétrica de n n, y F (x) = xt Ax demuestre que rF (x) = 2Ax
x2 y 2
3. Sea P un punto de la elipse + = 1 y sea T un vector tangente a la elipse en P .
a2 b 2
Si F (x; y) = d1 + d2 determina la suma de las distancias de los focos a P . Pruebe
que T rF (x; y) = 0 y de una interpretacion geometrica del resultado.

4. Si F1 y F2 son campos escalares de R2 en R diferenciables, determine la matriz
jacobiana en el origen del campo vectorial F (x; y) = [x2 F1 (x; y); y 2 F2 (x; y)]

5. Sea H(x) = F (G(x)) tal que F es un campo escalar diferenciable en G(a) = b
y G es un campo vectorial diferenciable en a . Utilizar la regla de la cadena para
demostrar que el gradiente de H puede expresarse como combinacion lineal de los
vectores gradientes de las componentes de G , asi :rH(a) = Dk F (b)rGk (a)

6. Hallar la derivada direccional de F (x; y; z) = Senx + Cosy + T anz a lo largo de la
curva intersección entre las super…cies y = ex y z = xy en el punto P = (1; e; e)

7. Hallar la direccion de mayor crecimiento de el campo escalar z = F (x; y) dado
implicitamente por ArcT an(x + y + z) + 3xyz + z = 0

p
8. Sea F un campo escalar y C1 y C2 dos curvas tales que :F 0 ((1; 1); C1 ) = 5,
p
F 0 ((1; 1); C2 ) = 10 con C1 : y = x2 y C2 : y = x3 respectivamente. Hallar la deriva-
da direccional de F en (1; 1) a lo largo de y = x

9. Demuestre que la suma de los cuadrados de las coordenadas x, y, z de las intersec-
ciones con los ejes X, Y , Z de cualquier plano tangente a la super…cie x2=3 + y 2=3 +
z 2=3 = a2=3 es igual a la constante a2 .
p p p p
10. Demuestre que los planos tangentes a la super…cie x + y + z = a cortan los
ejes coordenados en puntos cuya suma de distancias al origen es constate

11. Sea F : Rn ! R un campo escalar de…nido asi : F (x1 ; x2 ; :::; xn ) = f (x1 ; x1 + x2 ; x1 +
x2 + x3 ; :::; x1 + x2 + ::: + xn). donde f : R2 ! R. Si rf (1; 2; :::; n) = (1; 2; :::; n)
Halle rF (1; 1; :::; 1)

12. Sea F : Rn ! R un campo escalar de…nido asi : F (x1 ; x2 ; :::; xn ) = f (x1 ; x1 x2 ; x1 x2 x3 ; :::; x1 x2 :::xn ) donde
f : R2 ! R . Si rf (1; 2; ::.,n) = (a1 ; a2 ; :::; an ) Halle rF (1; 1; :::; 1)

13. Obtenga la formula de Taylor de segundo orden del campo escalar dado en el
origen. F (x; y) = Ln(1 x) + Ln(1 y)

14. Para que valor de k el campo escalar F (x; y) = y 3 + 3x2 y kx2 ky 2 + 2 tiene un
maximo en (0; 0), un mínimo en (0; 2) y un punto de silla en (1; 1)

15. Encuentre los puntos criticos del campo escalar F analizando todos los casos posibles
para p y q reales no nulos.

a) F (x; y) = xy + px + qy
p q
b) F (x; y) = xy + +
x y
2
x y2
c) F (x; y) = +
p q
R x+y
16. Considere el campo escalar F (x; y) = xy g=t)dt, con g : R ! R una función
diferenciable, tal que g(1) = g(2) = 3, g 0 (1) = 3 y g 0 (2) = 4.:Demuestre que (1; 1) es
punto critico de F

17. Hallar los puntos criticos de F (x; y) = (x y)n sobre la curva x2 + y 2 = 1

18. Sea n un entero mayor que 2 y sea F (x; y) = axn + cy n , donde ac 6= 0. Determinar
la naturaleza de los puntos criticos de F .

19. Hallar la distancia mas corta desde el origen hasta la interseccion entre los planos
a1 x + b1 y + c1 z = d1 y a2 x + b2 y + c2 z = d2 ,si a1 + b1 + c1 = a2 + b2 + c2 = 1

20. Hallar la minima distancia desde el punto (1; 0) a la parabola y 2 = 4x


PROBLEMAS

1 1 1
1. La fórmula = + determina la resistencia total R de dos resistores conectados
R R1 R2
en paralelo, con resistencias R1 y R2 . Si las medidas de las resistencias, en ohms son
R1 = 25, R2 = 100 con un posible error en cada medida de 0;5 ohms. Calcular y dar
un estimativo para el máximo error en el valor calculado de R.
2. La temperatura T en un punto (x; y) de una placa metalica colocada en el plano XY
es inversamente proporcional a la distancia al origen. La temperatura en P =(3; 4)
es 100o C

a) Calcule la razon de cambio de T en P en direccion i + j
b) En que direccion aumenta mas rapido T ?
c) En que direccion disminuye mas rapido T ?
d) En que direccion no cambia T ?

3. Suponer que una montaña tiene la forma de un paraboloide z = c ax2 by 2 , donde
a , b y c son constantes positivas

a) En que direccion esta aumentando mas rapido la altitud si una persona se halla
en el punto (1; 1).
b) Si se suelta una canica en el punto (1; 1) en que direccion comenzara a rodar?

4. En cierto rombo una diagonal crece a razon de 10 cm/seg y el lado crece a razon de
3 cm/seg (conservandose la forma del rombo). Halle la variacion del area del rombo
p
en el momento en que la otra diagonal mide 20 21 cm y el lado 50 cm.
5. Un alumno comienza a subir desde la calle 45 hacia la carrera 5 a 3 pies/seg, 5minutos
despúes una alumna baja por el tunel de la calle 40 (situado a 550 pies de la calle
45) hacia la caracas a 4 pies/seg. Con que velocidad se separan los dos alumnos 5
minutos después de que la alumna inicia su recorrido?
6. Suponer que un pato esta nadando en la curva x =Cost , y =Sent y que la temper-
atura del agua esta dada por la formula T (x; y) = x2 ey xy 3 . Hallar la tasa de
cambio de la temperatura que puede sentir el pato.

a) Mediante la regla de la cadena
b) Diferenciando
1
7. Encontrar los valores máximo y mínimo del campo electrico F (x; y) = p
x2 + y 2
sobre el borde de un monitor cuya forma está determinada por la ecuación 2x +3y 4 =
4

32


8. Una empresa fabrica dos tipos de zapatillas para micfrofutbol y para voleibol. El
ingreso total de x1 unidades de zapatillas para microfutbol y x2 unidades de zapatillas
para voleibol es I(x1 ; x2 ) = 5x2 8x2 2x1 x2 + 42x1 + 102x2 donde x1 y x2 estan
1 2
dadas en miles de unidades. Hallar el número de zapatillas que maximizan el ingreso.

9. Un velero parte de Santa Marta y navega con viento del norte. Su vela forma con
el norte un ángulo y con el eje del casco un ángulo el casco, a su vez, forma
un ángulo con la dirección este (véase la …gura). Si el viento sopla con veloci-
dad w, la componente norte de la fuerza del viento sobre el velero viene dada por
wsen sen sen = . Si esta componente es positiva el velero puede “navegar contra
el viento” Utilizando multiplicadores de Lagrange máximizar la fuerza del viento.
.

p
10. Un egiptologo encontro dentro de una piramide de base cuadrada de lado 2m y
altura 2m una caja rectangular de mayor volumen posible con las joyas de Tutanka-
mon, la posición de la caja era tal que cada arista de la tapa superior estaba sobre
cada una de las caras laterales de la piramide. ¿Cual es el volumen de la caja?

CAPÍTULO 4

INTEGRALES MULTIPLES

Ni vale nada el fruto
cogido sin sazón...
Ni aunque te elogie un bruto
ha de tener la razón.
ANTONIO MACHADO
"Proverbios y cantares"

149

150 CAPÍTULO 4. INTEGRALES MULTIPLES

En el curso anterior de cálculo se integraron funciones f de R en R cuya interpretación
bajo ciertas condiciones era el área debajo de la curva . Algunas de estas integrales se
calcularon por diferentes metodos de integración y otras se aproximaron por métodos
numericos. Este tipo de integrales se denominan simples por ser de una variable y nos
serviran para generalizar las integrales multiples. Los capitulos 2 y 3 estan dedicados
al cálculo diferencial multivariado, ahora nos dedicaremos al estudio del cálculo integral
multivariado. El concepto más importante que motiva la teoria de integración es el cálculo
de volumenes de conjuntos en Rn :
En este capitulo se integraran campos escalares de R2 en R y de R3 en R por medio de
integrales dobles y de integrales triples sobre regiones de R2 y R3 , haciendo más enfasis
en el aspecto geometrico de la región de integración que en el cálculo de la integral. En
la primera sección se trataran integrales dobles sobre rectángulos utilizando inicialmente
el concepto partición sobre un rectangulo, calculando la integral de un campo escalar
escalonado como una consecuencia de función escalonada en una variable y termina con
integrales iteradas. En la segunda sección se trataran integrales dobles sobre regionen
más generales haciendo enfasis en la región de integración y en el cambio del orden de
integración. En la tercera sección se tratará el cambio de coordendas haciendo más enfasis
en coordenadas polares, En este capitulo tambien se le dara mayor importancia al aspecto
geométrico de una región de integración R obtenida de R por medio de un cambio de
coordenadas apropiado. En la cuarta sección se trataran algunas aplicaciones geometricas
y …sicas con integrales dobles. En la quinta sección se trataran integrales triples. En la sexta
sección se trataran cambios de coordenadas en integrales triples haciendo más enfasis en
coordenadas cilindricas y esfericas. En la septima sección se trataran algunas aplicaciones
geometricas y …sicas con integrales triples.

4.1. Integrales dobles sobre rectángulos.
El objetivo de esta sección es introducir el concepto de integral doble para campos
escalares, similar a la forma como se trabaja en una variable empezaremos con el concepto
de antiderivada bajo ciertas condiciones, luego seguiremos con los conceptos de partición
sobre rectangulos, campo escalar escalonado, ya que la manera más sencilla de abordar
el concepto de integral doble es iniciarlo con campos escalares escalonados como una
consecuencia de función escalonada en una variable.

En el capitulo 3 se vio como derivar parcialmente un campo escalar respecto a una
variable manteniendo constantes las otras variables, emplearemos un procedimieno similar
para integrar campos escalares.

Un campo escalar F es una antiderivada de un campo escalar respecto a x en un
intervalo I si Fx (x; y) = (x; y) para todo x en I. De manera similar un campo escalar F
es una antiderivada de un campo escalar ' respecto a y en un intervalo J si Fy (x; y) =
'(X; Y ) para todo y en J.

4.1. INTEGRALES DOBLES SOBRE RECTÁNGULOS. 151

Cuando resolvemos una ecuación diferencial de la forma
dz
= Fx (x; y) o dz = Fx (x; y)dx,
dx
la operación que determina todas las soluciones de esta ecuación se denomina anti-
derivación o integral inde…nida y se denota por
R
z = Fx (x; y)dx = F (x; y) + C(y)

Ejemplo 4.1.1 Si Fx (x; y) = 3x2 y 3 entonces manteniendo y constante podemos integrar
respecto a x yRobtenemos
F (x; y) = Fx (x; y)dx
R
= 3x2 y 3 dx
R
= y 3 3x2 dx propiedad de la integral ya que y es constante
= y 3 x3 + C(y) una antiderivada de 3x2 es x3
= x3 y 3 + C(y) C(y) es una función de y 2

De igual manera podemos considerar una ecuación diferencial de la forma
dz
= Fy (x; y) o dz = Fy (x; y)dy
dy R
cuya soluciòn es z = Fy (x; y)dy = F (x; y) + C(x)

Podemos concluir que al integrar con respecto a x o a y se puede recobrar F (x; y)
parcialmente, pero no es tan facil recobrar totalmente un campo escalar a partir de sus
derivadas parciales, por lo tano abordaremos este tema en el siguiente capitulo.

Tambien podemos extender la integral inde…nida a integral de…nida utilizando el teo-
rema fundamental del cálculo.
R2
Ejemplo 4.1.2 1
3x2 y 3 dx = x3 y 3 j2 = 23 y 3
1 13 y 3 = 7y 3

De manera similar podemos integrar respecto a y, manteniendo x constante. Ambos
procedimientos se pueden generalizar de la siguiente manera.
R h2 (y) h (y)
h1 (y)
Fx (x; y)dx = F (x; y)jh2 (y) = F (h2 (y); y) F (h1 (y); y)
1
respecto a x
R g2 (x) g (x)
Fy (x; y)dy = F (x; y)jg2 (x) = F (x; g2 (x))
g1 (x) 1
F (x; g1 (x))
respecto a y

Por ahora tanto h como g son funciones constantes, o sea las integrales estan de…nidas
sobre intervalos.
Supongamos que R es una región rectangular de R2 determinada por R = I J, tal
que I = [a; b] y J = [c; d] entonces
R = f(x; y) 2 R2 j a x b, c y dg, y sean Px y Py dos particiones de I y J
respectivamente, tales que


Px = f x0 ; x1 ; :::; xn g con a = x0 < x1 < ...< xn = b
y Py = fy0 ; y1 ; :::; ym g con c = y0 < y1 < ... < ym = d,
entonces P = Px Py es una particion de R determinada por
P = f(xi ; yj )j xi 2 Px y yj 2 Py , con i = 1,2,...,n j = 1,2,...,mg.

Si la partición Px tiene n + 1 elementos y n subintervalos de longitud 4xi = xi xi 1
y la partición Py tiene m + 1 elementos y m subintervalos de longitud 4yj = yj yj 1
entonces la región rectangular R queda dividida en nm rectángulos Rij de área 4xi 4 yj .

Un campo escalar F de…nido en una región rectángular R de R2 , se llama escalonado
si existe una partición P de R, tal que F es constante en cada rectángulo abierto Rij de
R.

Propiedad 4.1.1 Si F y G son campos escalares escalonados entonces kF +lG con k; l 2
R, es campo escalar escalonado.

Sea F ,un campo escalar escalonado de…nido en una región rectángular R de R2 , P una
partición de R en nm rectángulos Rij de R2 y F (x; y) = cij (constante)Ren el interior de
R
cada rectángulo Rij entonces F es integrable en R y su integral es igual a R F (x; y)dA =
PP
n m
cij (xi xi 1 )(yj yj 1 )
i=1j=1
Nota: dA es un diferencial de area determinado por dA = dxdy o dA = dydx de
acuerdo al orden de integración.

Ejemplo 4.1.3 Calcular la integral del campo escalar
2 si (x; y) 2 R1 [ R2
F (x; y) = sobre R = R1 [ R2 [ R3 :,
5 si (x; y) 2 R3
Utilizando la siguiente partición
R1 = [1; 2] [1; 2] , R2 = [2; 3] [1; 2] y R3 = [3; 4] [1; 2]..


De acuerdo a la partición se ve claramente que 4x = 1 y 4y = 1
y de acuerdo a los valores que toma F (x; y) en la partición
R R
R
F (x; y)dA = ( 2)(1) + ( 2)(1) + (5)(1) = 1

Propiedad 4.1.2 Si F y G son campos escalares escalonados de R2 en R de…nidos en
una region rectangular R deRR2 y k 2 R, entonces:
R R R
(i) R R kF (x; y)dA = k R F (x; y)dA
R R R R R
(ii) R R(F (x; y) G(x; y))dA= R F (x; y)dA
R R R R R R
G(x; y)dA
(iii) R F (x; y)dA = R F (x; y)dA + R F (x; y)dA
Si R = R1 [ R2 (dos rectángulos) y int(R1 ) int(R2 ) = ;
(iv)RSiRF (x; y) G(x; y) 8(x; y) 2 R entonces
R R
R
F (x; y)dA R
G(x; y)dA
Demostración. Se realiza utilizando la de…nición de integral doble y propiedades de la
sumatoria.

Sea F un campo escalar de R2 en R de…nido y acotado en una región rectángular R de
2
R , supongamos que existe una constante M 2 R tal que jF (x; y)j M , entonces existen
dos campos escalares escalonados G(x; y) = M y H(x; y) = M de…nidos en R, tales que
G(x; y)
R R F (x; y) H(x; y) para todo (x; y) 2 R: Si existe un único número I tal que
R R R R
R
G(x; y)dA I R
H(x; y)dA entonces F es integrable en R y R F (x; y)dA =
I.
Sea F es un campo escalar de R2 en R de…nido y acotado en una región rectángular
R de R2 , P una partición de R en nm rectángulos Rij .y (xi ; yj ) es un punto arbitario de
cada Rij entonces
PP
n n
F (xi ; yj ) x y determina una suma de Riemman de F sobre R
i=1j=1
Si seleccionamos en cada rectángulo Rij el punto que tenga la mayor imagen Mij
obtenemos una suma superior
PP
n n
U= Mij x y,
i=1j=1
de igual manera si en cada rectángulo Rij seleccionamos el punto que tenga la menor
imagen mij obtenemos una suma inferior
PP
n n
L= mij x y,
i=1j=1
entonces


PP
n n PP
n n PP
n n
mij x y F (xi ; yj ) x y Mij x y
i=1j=1 i=1j=1 i=1j=1
PP
n n
por lo tanto U y L son aproximaciones de F (xi ; yj ) x y:
i=1j=1

Sea F un campo escalar de de R2 en R de…nido y acotado en una región rectángu-
R R
lar R de R2 , entonces la integral doble de F sobre R se de…ne como R F (x; y)dA =
PP
n n
lm F (xi ; yj ) x y siempre que el límite exista, ademas si existe, decimos
( x y)!(0;0)i=1j=1
que F es integrable sobre R.
La integral doble de F sobre R es el límite de las sumas de Riemann. 1
R R
Ejemplo 4.1.4 Utilizando los valores F (x; y) de la tabla dada estimar R F (x; y)dA si
R = [1; 2] [2; 4] :
xny 2 3 4
1 5 4 3
1;5 7 6 5
2 10 8 4
De acuerdo a la tabla podemos asegurar que 4x = 0;5, 4y = 1
y R tiene una partición de cuatro rectángulos
los valores de la tabla son las imagenes de los vértices de los rectángulos.
luego L = (4 + 3 + 4 + 6)(0;5)(1) = 8;5
y U = (7 + 6 + 8 + 10)(0;5)(1) = 15;5
R R
por lo tanto 8;5 R
F (x; y)dA 15;5
1

Georg Friedrich Bernhard Riemann Nacio el 17 de septiembre de 1826 en Breselenz,
actual Alemania, murio el 20 de junio de 1866 en Selasca Italia. Matemático alemán
que en su corta vida contribuyó a muchísimas ramas de las matemáticas: integrales de
Riemann, aproximación de Riemann, método de Riemann para series trigonométric-
as, matrices de Riemann de la teoría de funciones abelianas, funciones zeta de Rie-
mann, hipótesis de Riemann, teorema de Riemann-Roch, lema de Riemann-Lebesgue,
integrales de Riemann-Liouville de orden fraccional, aunque tal vez su más conocida
aportación fue su geometría no euclidiana, basada en una axiomática distinta de la
propuesta por Euclides, y expuesta detalladamente en su célebre memoria Sobre las
hipótesis que sirven de fundamento a la geometría.

R3R2 y
Ejemplo 4.1.5 Muestre que 1 0
dydx < 5.
x
y
El campo escalar F (x; y) = 2 para todo (x; y) 2 R = [1; 3] [0; 2]
x
entonces consideremos la siguiente partición de R,
R1 : [1; 2] [0; 1], R2 : [1; 2] [1; 2], R3 : [2; 3] [0; 1] y R4 : [2; 3] [1; 2],
y
los valores máximos que toma el campo escalar en cada uno de estos rectángulos
x
1
es 1, 2; y 1, respectivamente,
2
R3R2 y 1
entonces 1 0 dydx 1(1)(1) + 2(1)(1) + (1)(1) + 1(1)(1) = 4;5
x 2

Si una region rectángular esta de…nida por R = [a; b] [c; d] de R2 entonces el área de
R está dada por
RbRd RdRb
A = a c dydx (o A = c a dxdy)
Si F es un campo escalar de R2 en R continuo en una region rectángular R = [a; b]
[c; d] de R2 y ademas F (x; y) 0 8(x; y) 2 R, entonces el volumen debajo de la grá…ca de
F sobre R está dado por
RR RdRb
b d
V = a c F (x; y)dydx (o V = c a F (x; y)dxdy)

Ejemplo 4.1.6 Estime el volumen del sólido de…nido sobre la región rectangular R =
[0; 2] [0; 2] y bajo el paraboloide z = 1 + x2 + y 2
8
6
z 4
2
0 0

1 1

2 x y 2

Utilizando las particiones Px = f0; 1; 2g y Py = f0; 1; 2g
entonces P determina cuatro rectangulos Rij de lado uno
eligiendo como punto muestral la esquina superior derecha de cada rectángulo Rij
PP
2 2
V = F (xi ; yj ) x y
i=1j=1
= F (1; 1) + F (1; 2) + F (2; 1) + F (2; 2)
= 4 + 6 + 6 + 9 = 25


Teorema 4.1.1 Si F es un campo escalar de R2 en R acotado e integrable en una región
rectangular R de R2 y supongamos que para cada y 2 [c; d] existe una función g de [c; d]
Rb
en R tal que g(y) = a F (x; y)dx entonces g es integrable y
R R Rd RdRb
R
F (x; y)dA = c g(y)dy = c a F (x; y)dxdy

Demostración. Si y son dos campos escalares escalonados en R,
tales que G(x; y) F (x; y) H(x; y) 8(x; y) 2 R
Rb Rb Rb
entonces a G(x; y)dx a
F (x; y)dx a
H(x; y)dx
Rb Rb
o sea a G(x; y)dx g(y) a
H(x; y)dx
como g es integrable respecto a y
RdRb Rd RdRb
c a
G(x; y)dxdy c
g(y)dy c a
H(x; y)dxdy
Como G y H son dos campos escalares escalonados en R
y F (x; y) es integrable en R;
Rd R
entonces I = c g(y)dy = R F (x; y)dxdy

Nota : De igual forma si suponemos que para cada x 2 [a; b] existe una función h de
Rd
[a; b] en R tal que h(x) = c F (x; y)dy entonces f es integrable y
R R Rb RbRd
R
F (x; y)dA = a h(x)dy = a c F (x; y)dxdy

Teorema 4.1.2 de Fubini. Si F es un campo escalar de R2 en R continuo en una región
rectángular R = [a; b] [c; d] de R2 ; entonces F es integrable en R y la integral doble de F
sobre R es igual a.
R R Rd Rb Rb Rd
R
F (x; y)dA = c a
F (x; y)dy dx = a c F (x; y)dx dy

Demostración.
Por el teorema anterior vemos que para cada y 2 [c; d]
Rb
g(y) = a F (x; y)dx determina un área A(y) sobre el intervalo [c; d]
R Rd Rd Rb
luego R F (x; y)dA = c A(y)dy = c a
F (x; y)dy dx


De igual forma para para cada x 2 [a; b]
Rd
h(x) = c F (x; y)dy determina un área A(x) sobre el intervalo [a; b]
R Rb Rb Rd
luego R F (x; y)dA = a A(x)dy = a c F (x; y)dx dy

R1R 1
Ejemplo 4.1.7 Calcular 0 0 (x + y)dydx
R1R 1 R1 y2 1
(x + y)dydx == 0 xy + j dx
0 0
2 0
R1 1 1 x2 x 1 1 1
= 0 x+ j0 dx = + j0 = + = 1
2 2 2 2 2


1. Hallar la antiderivada del campo escalar dado

a) Fx (x; y) = cos x + y
b) Fy (x; y) = x + seny
c) Fx (x; y) = e2x+3y

2. Evaluar la integral dada.
R1 2
a) 1
x + y 2 + 1dx
Re
b) 1 x ln ydy
R2 y +1
c) 1 dx
x+2


3. Determine si el campo escalar dado es escalonado en el rectángulo R = [a; b] [c; d]
con a,b,c,d reales positivos.

a) F (x; y) = [[x]] + [[y]]
b) F (x; y) = [[x + y]]
c) F (x; y) = [[x]] [[y]]

4. Calcule la integral del campo escalar F sobre la región rectangular R = [ 2; 2]
[ 2; 2], considerando la partición de R en cuatro rectángulos Ri donde i determina
el cuadrante.

a) F (x; y) = 15i
7 si (x; y) 2 R1 [ R2
b) F (x; y) =
3 si (x; y) 2 R3 [ R4
8
> 2
> si (x; y) 2 R1
<
5 si (x; y) 2 R2
c) F (x; y) =
> 10
> si (x; y) 2 R3
:
15 si (x; y) 2 R4

5. Para el campo escalar dado y de…nido en el rectángulo R. Trace un diagrama de la
partición de R , indique los valores de F en la partición y calcule la integral de F
sobre R

a) F (x; y) = [2x][3y] R = [0; 2] [ 1; 2]
b) F (x; y) = [x + 1][y + 2] R = [ 1; 3] [ 2; 2]
c) F (x; y) = [x2 ][y 2 ] R = [0; 3] [0; 2]
R1R1 x2 y 2
6. Estimar la integral 0 0
e dydx utilizando:

a) 4 rectangulos
b) 8 rectangulos
c) 16 rectangulos
R R
7. Utilizando los valores F (x; y) de la tabla dada estimar R
F (x; y)dA si R = [1; 2]
[2; 4] :

xny 1;25 1;50 1;75 2;00
0;75 1 0;98 0;83 0;79
1;50 0;97 0;81 0;76 0;68
2;25 0;80 0;73 0;67 0;56
3;00 0;71 0;66 0;52 0;44

4.2. INTEGRAL DOBLE SOBRE REGIONES GENERALES 159

8. Estime el volumen debajo de la super…cie dada sobre la región rectangular R =
[0; 1] [0; 1], considerando la partición de R en cuatro rectángulos Ri donde i deter-
mina el cuadrante.
a) F (x; y) = xy
p
b) F (x; y) = x2 + y 2
c) F (x; y) = sen(x + y)
9. Calcular la integral doble del campo escalar dado.sobre la región R:
a) F (x; y) = 2x + 3y, R = [ 1; 2] [2; 3]
b) F (x; y) = ex+y ; R = [0; 2] [1; 3]
c) F (x; y) = xseny, R = [0; 1] [0; =2]
1 R1R1 1 1
10. Demuesre que < 0 0 <
2 x+y+3 3
11. Represente gra…camente el volumen determinado por la integral dada.
R1R1
a) 0 0 (2 x y)dydx
R1R1
b) 0 0 (2 x2 y 2 )dydx
R1R1 p
c) 0 0 ( x2 + y 2 dydx
12. Utilizando un CAS construya una función que permita gra…car paralelepipedos sobre
una partición de una región rectangular dada:

4.2. Integral doble sobre regiones generales
En la sección anterior se considerarón integrales dobles sobre regiones rectangulares,
en esta sección se considerarán integrales dobles sobre regiones más generales. Suponemos
que la región no rectangular es acotada, o sea puede estar contenida dentro de una
región rectangular R.


Si F es un campo escalar de…nido y acotado en una región y G es un campo es-
calar de…nido y acotado en una región rectangular R que contiene a tal que G(x; y) =
F (x; y) si (x; y) 2 R R R R
entonces F (x; y)dA = R G(x; y)dA
0 si (x; y) 2
=

A continuación veremos los diferentes tipos de regiones generales para integrales dobles.

REGION TIPO I
Sea F es un campo escalar de R2 en R continuo en una region de R2 determinada
por dos funciones continuas de variable x en un intervalo [a; b] tal que
= f(x; y) 2 R2 ja x b, g1 (x) y g2 (x)g
R R R b R g (x)
entonces F (x; y)dA = a g12(x) F (x; y)dydx

REGION TIPO II
por dos funciones continuas de variable x en un intervalo [a; b] tal que
= f(x; y) 2 R2 jc y d, h1 (y) x h2 (y)g
R R R d R h (y)
entonces F (x; y)dA = c h12(y) F (x; y)dxdy

REGION TIPO III
por dos funciones continuas de variable x,
g1 (x) g2 (x) con g1 (x0 ) = g2 (x0 ) y g1 (xn ) = g2 (xn )
R R R x R g (x)
entonces F (x; y)dA = x0n g12(x) F (x; y)dydx


REGION TIPO IV
por dos funciones continuas de variable y,
h1 (y) h (y) con h1 (y0 ) = h2 (y0 ) y h1 (ym ) = h2 (ym )
R R 2 R y R h (y)
entonces F (x; y)dA = y0m h12(y) F (x; y)dxdy

Nota: Cualquier otra región se puede representar por la unión de varias regiones de
diferente tipo.

R p R p
3 p
3 2
Ejemplo 4.2.1 Calcular 0 y2
sen x3 dxdy

la integral interna no es facìl de hallar en el orden dado,
cambiando el orden de integración
R p 2 R px
3 p
0 p 0
sen x3 dydx
R3 2 p p Rp 2p
3 p
= 0 sen x 03 yj x dx = xsen x3 dx
0

p
p
3 3 x
utilizando la sustitución u = x2 , du = dx
2
Rp 2p
3 p 2 R 2 4
0
xsen x3 dx = 0
senudu = cos uj0 =
3 3 3
R R
Ejemplo 4.2.2 Para la integral F (x; y)dA gra…que la región de integración
2
p p
= (x; y) 2 R j 1 x 1, 1 x2 y 4 x2 y escriba la integral doble
con sus respectivos límites.
La región de integración es la porción de un anillo circular.

R R R 1 R p4 x2
luego F (x; y)dA = 1
p
1 x2
F (x; y)dydx

Ejemplo 4.2.3 Para la suma de integralesp dada gra…que la región de integración e invierta
R p2 R p4 y2
1 R p2 R 4 y 2
el orden. 0 p F (x; y)dxdy + p y
1 F (x; y)dxdy
1 y2 2
De acuerdo a los límites de integración de la primera integral y de la segunda integral
obtenemos la siguiente región

cambiando el orden de integración se generan tres regiones

entonces la suma de integrales es p
igual a
R p2 R p4 y2
1 R p2 R 4 y 2
0
p F (x; y)dxdy + p y
1 F (x; y)dxdy
1 y2 2


R1 Rx R p2 R x R 2 R p4 x2
= 1
p
p
1 x2
F (x; y)dydy + 1 0
F (x; y)dydx + p
2 0
F (x; y)dydx
2

Podemos extender el teorema de Fubini 2 a regiones generales si F es un campo escalar
de R2 en R, continuo en una region de R2 determinada por a x b, 1 (x) y
R b R 2 (x)
2 (x), y tambien por c y d, 1 (y) x 2 (y) entonces a 1 (x)
F (x; y)dydx =
R d R 2 (y)
c (y)
F (x; y)dxdy
1

R R
Ejemplo 4.2.4 Calcular jx + yj dA si = [0; 1] [0; 1]
x y si x y
Como jx yj =
y x si x y

R R R1R x R1R 1
entonces jx yj dA = 0 0 (x y)dydx + 0 x (y x)dydx
R1 y2 x R 1 y2
= 0 xy j0 dx + 0 xy j1 dx
x
2 2
R 1 x2 R1 1 x2 x3 x x2 x3 1 1
= 0 dx + 0 x+ dx = + + j0 =
2 2 2 6 2 2 6 3

Propiedad 4.2.1 Si F y G son campos escalares R2 en R continuos en una region de
R2 y k 2 R, entonces:
2

Guido Fubini nacio el 19 de enero de 1879 en Venecia Italia, murio el 6 de ju-
nio en Nueva York USA. Le apodaban ’ pequeño gigante’porque tenía un cuerpo
el
pequeño y una mente grande, aunque la conclusión del teorema de Fubini se sabía
desde hacía tiempo, y se la había aplicado con éxito en varios casos, no fue proba-
da en general hasta 1907. Los intereses de Fubini en matemáticas fueron amplios
trabajo en analisis, geometría diferencial, ecuaciones diferenciales, funciones de
varias variables complejas, cálculo de variaciones, donde estudió la reducción del
Weierstrass integrante de un Lebesgue integral y también trabajó en la expresión
de super…cie integrales en términos de dos integraciones simples. Fubini También
trabajó en la teoría de grupos. En particular estudió lineal y los grupos de auto-
mor…sos de funciones. Su obra más importante fue el diferencial de la geometría
proyectiva, donde utiliza el cálculo diferencial absoluto

R R R R
(i) R R kF (x; y)dA = k F (x; y)dA
R R R R
(ii) R R(F (x; y) G(x; y))dA=
R R F (x;Ry)dA
R G(x; y)dA
(iii) F (x; y)dA = 1 F (x; y)dA + 2 F (x; y)dA
Si = 1 [ 2 (dos regiones) y int( 1 ) int( 2 ) = ;
(iv)RSiR F (x; y) G(x; y) 8(x; y) 2
R R entonces
F (x; y)dA G(x; y)dA

R R
1. Para la integral F (x; y)dA gra…que la región de integración y escriba la inte-
gral doble con sus respectivos límites.si:

a) = f(x; y)j0 x 2, x y x + 1g
b) = f(x; y)j 1 x 1, 1 x2 y 4 x2 g
1 4
c) = (x; y)j1 y 3; x
y y

2. Plantear la integral doble de F (x; y) en la región acotada por:

a) y 2 = 2x y y 2 = 8 2x
b) y = x2 y x = y 2
c) x2 + y 2 1

3. Para la integral dada dibuje la region de integracion, invierta el orden y plantee la
integral resultante.
R 1 R px
a) 0 x2
F (x; y)dydx
R R Senx
b) 0 0
F (x; y)dydx
R 1 R 4 x2
p
c) 1
p
1 x2
F (x; y)dydx

4. Para la integral dada dibuje la region de integracion, invierta el orden y plantee la
integral resultante.
R1R 2
p
y
a) 0 y
F (x; y)dxdy
R1R 3y
p
b) 0 2
F (x; y)dxdy
R1Re
c) 0 ey
F (x; y)dxdy

5. Calcular la integral dada

R1R y p
a) 0 y2
xydxdy
R R y
b) 0
sen(x + y)dxdy
0
R2Rx 1 1
c) 1 0 dydx
x+y
R R
a) 2x + 3ydA si esta acotada por y = x2 4, y = 4 x2
R R
b) xydA si esta acotada por un triángulo de vértices en (0; 0), (1; 1) y (2; 0)
R R 2
c) x + y 2 dA si esta acotada por x2 + y 2 = 4

R1R3 2
a) 0 3y ex dxdy
R1R1 p
b) 0 py x3 + 1dxdy
R1R1
c) 0 py Senx3 dxdy
R R R R R R
8. Suponga que xdA = 5 ; ydA = 3 y dA = 2 y calcule
R R
a) 5dA
R R
b) (x + y + 1)dA
R R
c) (3x 2y + 7)dA
R R
9. Calcular [[x + y]] dA si = [0; 2] [0; 2]. Donde [[x + y]] es la parte entera de
(x + y)
10. Utilizar una integral doble para hallar el área de la región dada.

a)

b)


c)

11. Utilizar una integral doble para calcular el área de la región acotada por las grá…cas
de las curvas dadas.

a) y = x3=2 ; y = x
p p
b) x + y = 2 ; x = 0 y = 0
p p p
c) y = 1 x2 ; y = 4 x2 ; y = x; y = 3x

12. Utilizar una integral doble para hallar el volumen limitado por las ecuaciones.

a) z = 4 2x2 y2, z = 0
b) z = 1 x2 y2, z = 1 x
c) z = 1 x2 , z = 0, y = 0, y = 3

13. Utilizando integrales dobles hallar el volumen debajo de la super…cicie dada por el
campo escalar F sobre la región

a) F (x; y) = y, está acotada por un triángulo de vértices en (0; 0), (1; 0) y (0; 1).
p
b) F (x; y) = xy, está acotada por y = 1 x2 , y = 0
c) F (x; y) = 1 + x2 + y 2 , está acotada por jxj + jyj 1

14. Utilizando integrales dobles hallar el volumen de una piramide de altura h y base
cuadrada de lado l.

15. Utilice un CAS para gra…car regiones de integración.

4.3. CAMBIO DE COORDENADAS EN INTEGRALES DOBLES. 167

4.3. Cambio de coordenadas en integrales dobles.
Una de las tecnicas más poderosas en integrales simples es la de sustitución o cambio
de variable, para integrar una función f (x) continua en un intervalo [a; b] se cambia la
variable x por otra variable t, haciendo x = g(t) donde g es una función derivable con
Rb
derivada g0(t) continua en un intervalo [c; d] tal que g([a; b]) = [c; d] entonces a f (x)dx =
Rd
c
f (g(t))g 0 (t)dt:

El objetivo de esta sección es realizar un procedimiento analogo para integrales dobles,
la integración por sustitución (o cambio de variable), el proceso resulta más complicado
pues se deben cambiar ambas variables x, y por las variables u, v por ejemplo. Este cambio
se realiza mediante una transformación geométrica de R2 en R2 . Se emplearan tecnicas
que simpli…caran los calculos y sera fundamental el aspecto geométrico de la nueva región
de integración , obtenida de , la integral a calcular debe ser mas sencilla de calcular
en que en .

Si T es un campo vectorial de R2 en R2 tal que 8(u; v) 2 , T (u; v) =
[T1 (u; v); T2 (u; v)] = (x; y) 2 , luego T ( ) = , si ademas existe T 1 de R2 en
1 1
R2 tal que 8(x; y) 2 , T 1 (x; y) = [T1 (x; y); T2 (x; y)] = (u; v) 2 , luego
1
T ( ) = .entonces T es una biyección denominada cambio de coordenadas. La trans-
formación T (u; v) = (x; y) suele escribirse como
T (u; v) x
T (u; v) = 1 =
T2 (u; v) y

Si T es un cambio de coordenadas de R2 en R2 diferenciable en , entonces
la matriz
2 3
@x @x
@T (u; v) @(x; y) 6 @u @v 7
JT (u; v) = = = 4 @y @y 5
@(u; v) @(u; v)
@u @v


se denomina matriz jacobiana de T y su determinante

@x @x
J = @u
@y
@v
@y
@u @v

3
se denomina jacobiano.

Si A es el area encerrada por y A es el área encerrada por entonces A
es proporcional a A , luego existe un factor de proporcionalidad jJj 2 R+ tal que A =
jJj A donde J es el jacobiano de la transformacion T (u; v).

Ejemplo 4.3.1 La función T (u; v) = [u + v; 2uv] transforma el triángulo de vértices
(0; 0), (1; 0) y (1; 1) en una región del plano xy, determine la grá…ca de y halle el
área de .

Haciendo x = u + v, y = 2uv hallemos las imagenes de los vértices
T (0; 0) = (0; 0); T (1; 0) = (1; 0) y T (1; 1) = (2; 2)
como T no es lineal debemos hallar los caminos que unen estos puntos
(0; 0) y (1; 0) : u = u, v = 0 ) x = u; y = 0
(1; 0) y (1; 1) : u = 1 ; v = v ) x = 1 + v ; y = 2v ) y = 2x 2
x2
(1; 1) y (0; 0) : u = v ) x = 2u ; y = 2u2 ) y =
2
3

Carl Gustav Jakob Jacobi. Nacio el 10 de diciembre de 1804 en Potsdam, Prusia,
actual Alemania, murio el 18 de febrero de 1851 en Berlín. Fue un matemático alemán,
autor muy prolí…co, contribuyó en varios campos de la matemática, principalmente en
el área de las funciones elípticas, el álgebra, la teoría de números y las ecuaciones
diferenciales. También se destacó en su labor pedagógica, por la que se le ha considerado
el profesor más estimulante de su tiempo. Sus trabajos más relevantes se produjeron
en el campo del álgebra, en el que introdujo y desarrolló el concepto de determinante,
aplicándolo así mismo al estudio de las funciones de varias variables, lo que hoy en
día se conoce como el jacobiano.


Para hallar el área de integrando en hallamos el jacobiano de la transformacióon
@x @x
@(x; y) 1 1
J= = @u @y =
@y
@v = 2u 2v
@(u; v) 2v 2u
R1R u @u @v R1 R1
Luego A = 0 0 (2u 2v)dvdu = 0 (2uv v 2 ) ju du = 0 (2u2 u2 ) du
0
R1 2 u3 1 1
= 0 u du = j0 =
3 3

Sin embargo, en algunas ocasiones, se desconoce la transformación T (u; v) = (x; y) más
apropiada, en estos casos, se propone una transformación inversa T 1 (x; y) = (u; v), la cual
vendrá dada por las ecuaciones que limitan a la región o por la función integrando.y el
jacobiano se halla de la siguiente manera.
1
J=
@u @u
@x @y
@v @v
@x @y

Teorema 4.3.1 Sea A una matriz de 2 2 con detA 6= 0 y sea T una transformación
u
lineal de R2 en R2 dada por T (u; v) = A , entonces T transforma paralelogramos
v
en paralelogramos y vértices en vértices. Además si T ( ) es un paralelogramo es un
paralelogramo.

Teorema 4.3.2 Sea F es un campo escalar de R2 en R2 en variables x,
y de…nidas en . Sea T un campo vectorial de R2 en R2 diferenciable con
jacobiano no nulo entonces
R R R R
F (x; y)dA = F (T (u; v))JdA
R R
Ejemplo 4.3.2 Utilizando un cambio de coordenadas apropiado calcular la integral xydxdy
donde es la región acotada por las curvas y = x; y = 3x; xy = 1 y xy = 3 en el
primer cuadrante.
y
Haciendo el siguiente cambio de coordenadas u = ; v = xy
x


hallamos el jacobiano inverso J
@u @u
y 1
@(u; v) 2y
J = = @x @y = x2 x =
@v @v =2
@(x; y) y x x
@x @y
1
entonces J =
R R 2u R3R3 v
luego xydxdy = 1 1 dvdu
2u
R 3 v2 3 R3 2
= 1 j1 du = 1 du = 2 ln uj3 = 2 ln 3
1
4u u
R R y x
Ejemplo 4.3.3 Calcular cos dA en la región acotada por las rectas y = 0,
y+x
x = 0, x + y = 1, x + y = 2, empleando un cambio de coordenadas adecuado.
A partir del integrando T 1 (x; y) = [u; v]
u = y x, v = y + x
entonces = f(u; v)j v u v, 1 v 2g

@(u; v) 1 1
jacobiano J = = = 2
@(x; y) 1 1
R R y x R2Rv u 1 3
cos dA = 1 v cos dudv = sen1
y+x v j 2j 2

A continuación se describe un caso particular del cambio de variable para integrales


dobles: cambio a coordenadas polares. Considere que se desea calcular una integral doble
R R
F (x; y)dA donde es una región como la mostrada en la …gura

La región está de…nida como sigue:
= f(x; y)jr1 x2 + y 2 r2 , tan 1 x y tan 2 xg
Para expresar la región en coordenadas polares, denotada es necesario hacer la
trasformación de coordenadas
T : R2 ! R2 , determinada por T (r; ) = (r cos ; rsen ) = (x; y)
Por lo tanto la región es f(r; )jr1 r r2 , 1 2g

R R
Al emplear el teorema de cambio de variable en una integral doble, se tiene: F (x; y)dA =
R R @(x; y)
F (r cos ; rsen ) dA
@(r; )
el jacobiano de esta transformación es
@x @x
@(x; y) @r @ cos rsen
J= = @y @y = =r
@(r; ) sen r cos
@r @
Teorema 4.3.3 Cambio a coordenadas polares en integrales dobles. Sea F un campo
escalar R2 en R continuo en una region rectangular de R2 determinada por
R R =
f(r; )jr1 r r2 , 1 2 g donde 0 2 1 2 entonces F (x; y)dA =
R 2 R r2
1 r1
F (r cos ; rsen )rdrd

R Rp
Ejemplo 4.3.4 Calcular 1 x2 y 2 dA donde = f(x; y)jx2 + y 2 1, x 0g
La región de integración es medio circulo y su interior

entonces los limites de integracíón son
0 ,0 r 1
R Rp R R1p 2
luego 1 x2 y 2 dA = 0 0 1 r2 rdrd =
3

En algunas ocasiones, la región D es más general que la planteada anteriormente, tal
como la región que se ilustra a continuación

Entonces, la región de la …gura puede expresarse en coordenadas polares como sigue:
= f(r; )jr1 ( ) r r2 ( ), 1 2g
Al emplear la ecuación de cambio de variable resulta:
R R R Rr ( )
F (x; y)dA = 12 r12( ) F (r cos ; rsen )rdrd
No siempre circulos se envian en rectangulos.

R R 2 2
Ejemplo 4.3.5 Calcular x +y dA donde es un circulo con centro en (1; 0) y radio
1
la ecuación del circulo es (x 1)2 + y 2 = 1
x2 + y 2 = 2x
en polares es r2 = 2r cos
luego y0 r 2 cos
2 2


Ejemplo 4.3.6 Hallar el área encerrada por las curvas r = , r = 2 , para 0 2

R2 R2 4
A= 0
rdrd =
3


1. Hallar el jacobiano de la transformación dada.

a) T (u; v) = (2u v; u + 3v)
v
b) T (u; v) = uv;
u
c) T (u; v) = (e cos v; eu senv)
u

2. Para las transformaciones del numeral anterior hallar el jacobiano de la transforma-
ción inversa.

3. A partir de la transformación dada T , gra…car la imagen de la región .

a) T (u; v) = (2u + v; u 2v), es un triángulo de vértices (0; 0), (1; 0), (1; 1).
b) T (u; v) = (u2 v 2 ; 2uv), = f(u; v)j0 u 2, 0 v 2g
2 2 2 2
c) T (u; v) = (u v ; 2uv), = f(u; v)ju + v 1g

4. Calcular


R R 1
a) dA, si esta acotada por x = 0, y = 0, x + y = 1; x + y = 4,
x+y
utilizando la transformación T (u; v) = [u uv; uv]
R R
b) xydA donde es el circulo unitario x2 + y 2 1, utilizando la siguiente
transformación T (u; v) = (u2 v 2 ; 2uv)
R R dxdy
c) p donde es un cuadrado de lado 1, realizando la siguiente
1 + x + 2y
v
transformación T (u; v) = u;
u
5. Utilice un cambio de coordenadas adecuado para calcular la integral doble dada
R
a) (x y)2 Sen2 (x + y)dA si
R
es el paralelogramo de vértices ( ; 0), (2 , ) ,
( ,2 ) y (0, )
r
R R y p
b) xy dAsi esta acotada por xy = 1, xy = 9, y = x; y = 4x
x
R R 1
c) 1+xy
dA si esta acotada por xy = 1, xy = 2, y = x y y = 2x

6. Utilice un cambio de coordenadas adecuado para calcular la integral doble dada.
R R
a) (x + y + 1)dA si es el rectángulo de vértices (0; 1), (1; 0), (3=2,1=2) y
(1=2; 3=2)
R R
b) xydA si está acotada por y = 2x, y = x, y = 2x 2, y = x + 1
R R
c) 2xdA si está acotada por y = x2 , y = x2 + 1, y = 1, y = 2

7. Utilice un cambio de coordenadas adecuado para calcular la integral doble dada.

R R x+y
a) cos dA si está acotada por x + y = 1, x + y = 2, x = 0, y = 0
x y
R R 1
b) dAsi esta acotada por y = x2 , y = 2x2 , x = y 2 , x = 2y 2
xy
R R
c) ydA donde es la región acotada por las curvas y 2 = 4 4x y 2 = 4+4x y
el eje X

8. Gra…car la región dada en un plano polar.

a) = f(x; y)j1 x2 + y 2 4g
b) = f(x; y)j0 x 1, 0 y xg
2 2
c) = f(x; y)jx + (y 1) 1g

9. Evalue la integral dada utilizando coordenadas polares.


R 1 R p1 x2 2 2
a) 0 0
ex +y dA
R p2 R p4 y 2 1
b) 0 y 1+x2 +y 2
dA
R 2 R p2x x2 p
c) 0 0
x2 + y 2 dA

10. Evalue la integral dada utilizando coordenadas polares.
R R
a) xydA donde es la intersección entre los circulos r 4Cos y r 4Sen
R R
b) xydA donde es un circulo con centro en (1; 0) y tangente al eje y.
R R y
c) a tan x dA donde = f(x; y)j1 x2 + y 2 4g

11. Use una integral doble para hallar el área de la región.encerrada por la curva dada.

a) r = cos(2 )
b) r2 = 4 cos(2 )
c) r = 2sen(3 )

12. Use una integral doble y un cambio de coordenadas adecuado para hallar el área de
la región.encerrada por:

x2 y 2
a) + 2 =1
a2 b
b) y = x , x = y 2
2

p p
c) x + y = 1

13. Use coordenadas polares para hallar el volumen del sólido.

a) Debajo del paraboloide z = x2 + y 2 y arriba del disco x2 + y 2 4
b) Dentro de la esfera x2 + y 2 + z 2 = 4 y fuera del cilindro (x 1)2 + y 2 = 1
c) Comun a las esferas x2 + y 2 + z 2 = 1 y x2 + y 2 + (z 1)2 = 1

14. Calcular el área interior simultaneamente a las tres circunferencias x2 + y 2 = 1,
x2 + y 2 = 2x y x2 + y 2 = 2y

15. Utilizando un CAS construya una función que permita hallar el jacobiano de una
transformación.dada.


4.4. Aplicaciones de las integrales dobles.
A continuación, se explica como determinar la masa de una …gura plana no homogénea,
de área determinada por , para regiones donde la densidad varía en cada punto (x; y) 2
.La densidad tiene unidades de masa por área unitaria.Para esta aplicación, considere
que la función densidad es continua en la región .
Sea una región del plano xy, tal que su densidad viene dada por la función de
2
R en R, la cual es continua 8(x; y) 2 , entonces
R R
m= (x; y)dA 4

Ejemplo 4.4.1 Determine la masa de la placa plana limitada por las curvas y = 4 x2 ,
y = x + 2, cuya densidad en cada punto (x; y) es (x; y) = x + y

La región está de…nida como
= f(x; y)j 2 x 1, x + 2 y 4 x2 g
Por lo tanto 2
R1 R4 x
m = 2 x+2 (x + y)dydx
4

Arquímedes de Siracusa (en griego antiguo: ) (c. 287 a. C. –
c. 212 a. C.) fue un matemático griego, físico, ingeniero, inventor y astrónomo.
Aunque se conocen pocos detalles de su vida, es considerado uno de los cientí…cos
más importantes de la antigüedad clásica. Entre sus avances en física se encuen-
tran sus fundamentos en hidrostática, estática y la explicación del principio de
la palanca. Generalmente, se considera a Arquímedes uno de los más grandes
matemáticos de la historia, y el más grande de la antigüedad. Usó el método de
agotamiento para calcular el área bajo el arco de una parábola con la sumatoria de
una serie in…nita, y dio una aproximación extremadamente precisa del número
Pi. También de…nió la espiral, fórmulas para los volúmenes de las super…cies de
revolución y un ingenioso sistema para expresar números muy largos. Arquímedes
murió durante el sitio de Siracusa (214– 212 a. C.), cuando fue asesinado por un soldado romano, a pesar
de las órdenes de que no debía ser dañado.

4.4. APLICACIONES DE LAS INTEGRALES DOBLES. 177
R1 y 2 4 x2
= xy +
2
j
2 x+2
dx
R 1 x4 11x2
= 2 x3 + 6 dx
2 2
5
x x4 11x3
= + 6xj1 2
10 4 6
171
=
20

En …sica se consideran otros tipos de densidad, que se pueden considerar de igual
manera como en el caso anterior, por ejemplo si la densidad de carga(en unidades de carga
por área) se distribuye sobre una lamina plana de forma y está dada por (x; y) en cada
punto (x; y) 2 , entonces la carga total q está dada por
R R
q= (x; y)dA

Ejemplo 4.4.2 La densidad de carga (x; y) = 2xy +y 2 en Coulombs por metro cuadrado
se distribuye sobre la región rectangular = f(x; y)j0 x 1, 1 y 2g. Encuentre la
carga total sobre
R1R2 23
q = 0 1 2xy + y 2 dydx =
6

El momento estático o primer momento de una partícula alrededor de un eje se de…ne
como el producto de su masa y la distancia que la separa de ese eje. A continuación, se
trata especí…camente, los momentos estáticos de una lamina plana alrededor de los ejes
coordenados.

MOMENTOS ESTÁTICOS DE LAMINAS PLANAS
R2 en R, la cual es continua 8(x; y) 2 , entonces el momento estático alrededor del
R R
eje x, denotado por Mx , se obtiene como Mx = y (x; y)dA
MientrasRque el momento estático alrededor del eje y, denotado por My , se calcula
R
como My = x (x; y)dA
Las coordenadas (x; y) del centro de masa de una lamina que ocupa la región y que
tiene función de densidad (x; y) son:
My 1 R R Mx 1 R R
x= = x (x; y)dA y= = y (x; y)dA
M m M m

Ejemplo 4.4.3 Hallar el centro de masas de una lamina triangular de vértices en (0; 0),
(a; 0) y (a; a) con a > 0, cuya densidad en cada punto (x,y) es (x; y) = x2 + y 2
Hallamos primero la masa
RaRx a4
m = 0 0 (x2 + y 2 )dydx =
3
ahora hallamos los primeros momentos
RaRx 3a5
Mx = 0 0 y(x2 + y 2 )dydx =
20


RaRx 2 2 4a5
My = 0 0 x(x + y )dydx =
15
4a 9a
luego (x; y) = ;
5 20

El momento de inercia o segundo momento de una partícula alrededor de un eje se
de…ne como el producto de su masa y la distancia al cuadrado que la separa de ese eje.
A continuación, se trata especí…camente, los momentos de inercia de una lamina plana
alrededor de los ejes coordenados.

MOMENTOS DE INERCIA
2
R en R, la cual es continua 8(x; y) 2 , entonces el momento de inercia alrededor
R R 2
del eje x, denotado por Ix , se obtiene como Ix = y (x; y)dA
Mientras que el momento de inercia alrededor del eje y, denotado por Iy , se calcula
R R 2
como Iy = x (x; y)dA
Luego el momento de inercia respecto al origen (momento polar de inercia) denotado
por Io , se calcula como
R R 2
Io = Ix + Iy = (x + y 2 ) (x; y)dA

Para un campo escalar F de R2 en R integrable en una región de R2 el valor promedio
es la integral sobre dividida entre el área de .

Teorema 4.4.1 del valor medio.
Si F es un campo escalar de R2 en R continuo en una región de R2 , entonces existe
(a; b) 2 tal R R
que
F (x; y)dA
F (a; b) =
Area( )

Ejemplo 4.4.4 Halle la altura promedio del paraboloide z = x2 + y 2 , sobre el rectángulo
0 x 1, 0 y 2.
El valor de la integral de F sobre el rectangulo es
R1R2 2 10
0 0
(x + y 2 ) dydx =
3
el área del rectángulo es 2
5
luego la altura promedio es
3

1. Halle la masa de la lamina plana
p p
a) y = 1 x2 ; y = 4 x2 ; y = 0 y (x; y) = x2 y
1
b) y = ; y = 0; x = 1; x = 1 y (x; y) = k
1 + x2

4.4. APLICACIONES DE LAS INTEGRALES DOBLES. 179

c) Cuadrado de lado 1 y (x; y) = jx yj

2. Encuentre la carga total sobre la lamina plana.

a) Triangular de vértices (1; 0), (1; 1) y (0; 1), (x; y) = xy
b) Circular x2 + y 2 9, (x; y) = (x + y)2
c) Acotada por y = x2 , x = y 2 , (x; y) = x2 + y 2

3. Halle el momento respecto al eje x y al eje y de las laminas del ejercicio 1

4. Halle el centro de masas de la lamina plana.

a) y = x2 , y = x y (x; y) = 5
b) y = Senx ; 0 x y (x; y) = x + y
x2
c) y = e ; y = 0; x = 1; x = 1 y (x; y) = jxyj

5. Halle el momento polar de inercia de las laminas del ejercicio 4

6. Determine el valor promedio de:

a) El producto de dos numeros, si cada uno de estos varia entre 0 y 1
b) La suma de los cuadrados de dos numeros no negativos, si estos varian de tal
modo que su suma nunca es mayor a 1

7. Hallar la masa de un cono circular de altura H y radio R, sabiendo que la densidad
en cada punto es proporcional a su distancia al vértice del cono.

8. Una lamina homogénea tiene forma de triángulo equilatero de lado a, calcule el
momento de inercia con respecto a :

a) La altura
b) La base.

9. Una lamina homogénea tiene forma de cuadrado de lado a, calcule el momento de
inercia con respecto a :

a) La diagonal
b) El lado

10. Utilizando un CAS construya una función que permita hallar el centro de masas de
una lamina plana dada.


4.5. Integrales triples
En esta sección consideraremos integrales triples extendiendo de forma anloga lo visto
en integrales dobles para campos escalares, la región de integración ahora es un sólido,
empezaremos con integrales triples sobre paralelepipedos.consecuencia de integrales dobles
sobre rectangulos, luego consideraremos integrales triples sobre sólidos generales, haciendo
enfasis en la proyección del solido ya que sobre la proyección trabajaremos la integral doble
asociada a la integral triple.

Supongamos que Q es un paralelepipedo de R3 determinado por Q = I J K, tal
que I = [a; b], J = [c; d] y K = [e; f ], entonces Q = f(x; y; z) 2 R3 j a x b, c y d,
e z f g, y sean Px , Py y Pz tres particiones de I, J y K respectivamente, tales que
Px = f x0 ; x1 ; :::; xn g con a = x0 < x1 < ...< xn = b
Py = f y0 ; y1 ; :::; ym g con c = y0 < y1 < ...< ym = d
y Pz = fz0 ; z1 ; :::; zo g con e = z0 < z1 < ::: < zo = f ,
entonces P = Px Py Pz es una particion de Q determinada por
P = f(xi ; yj ; zk )j xi 2 Px , yj 2 Py , zk 2 Pz con i = 1,2,...,n, j = 1,2,...,m, k =
1; 2; :::; og.
Si la partición Px tiene n + 1 elementos y n subintervalos de longitud 4xi = xi xi 1 ,
la partición Py tiene m + 1 elementos y m subintervalos de longitud 4yj = yj yj 1 y la
partición Pz tiene o + 1 elementos y o subintervalos de longitud 4zk = zk zk 1 entonces el
paralelepipedo Q queda dividido en nmo paralelepipedos Qijk de volumen 4xi 4 yj 4 zk .

Sean F ,un campo escalar escalonado de…nido en un paralelepipedo Q de R3 , P una
partición de Q en nmo paralelepipedos Qijk de R3 y F (x; y; z) = cijk (constante) en el
interior de cada paralelepípedo Qijk entonces F es integrable en Q y su integral es igual
a
RRR PP P
n m o
Q
F (x; yz)dV = cijk (xi xi 1 )(yj yj 1 )(zk zk 1 )
i=1j=1k=1
Nota: dV es un diferencial de volumen determinado por dV = dxdydz en algun orden
de integración.

Sea F un campo escalar de R3 en R de…nido y acotado en un paralelepipedo Q de R3 ,
supongamos que existe una constante M 2 Q tal que jF (x; y; z)j M , entonces existen
dos campos escalares escalonados G(x; y; z) = M y H(x; y; z) = M de…nidos en Q, tales
que G(x; y; z)R F (x; y; z) H(x; y; R Rpara todo (x; y; z) 2 Q: Si existe un único número
RR z) R
I tal que G(x; y; z)dV I H(x; y; z)dV entonces F es integrable en Q y
RRR Q Q

Q
F (x; y; z)dV = I.
Sea F es un campo escalar de R3 en R de…nido y acotado en un paralelepipedo Q de
R3 , P una partición de Q en nmo paralelepipedos Qijk .y (xi ; yj ; zk ) es un punto arbitario
de cada Qijk entonces
PP P
n n o
F (xi ; yj ; zk ) x y z determina una suma de Riemman de F sobre Q
i=1j=1k=1

4.5. INTEGRALES TRIPLES 181

Si seleccionamos en cada paralelepipedo Qijk el punto que tenga la mayor imagen Mijk
obtenemos una suma superior
PP P
n n o
U= Mij k x y z,
i=1j=1k=1
de igual manera si en cada paralelepipedo Qijk seleccionamos el punto que tenga la
menor imagen mijk obtenemos una suma inferior
PP P
n n o
L= mijk x y z, entonces
i=1j=1k=1
PP P
n n o PP P
n n o PP P
n n o
mijk x y z F (xi ; yj ; zk ) x y z Mijk x y z
i=1j=1k=1 i=1j=1k=1 i=1j=1k=1
PP P
n n o
por lo tanto U y L son aproximaciones de F (xi ; yj ; zk ) x y z
i=1j=1k=1

Sea F un campo escalar de de R3 en R de…nido y acotado en un paralelepipedo Q
RRR
de R3 , entonces la integral triple de F sobre Q se de…ne como Q
F (x; y; z)dV =
PP P
n n o
lm F (xi ; yj ; zk ) x y z siempre que el límite exista, ademas si ex-
( x; y; z)!(0;0;0)i=1j=1k=1
iste, decimos que F es integrable sobre Q.

La integral triple de F sobre Q es el límite de las sumas de Riemann.

Teorema 4.5.1 de Fubini. Si F es un campo escalar de R3 en R continuo en un paralelepipedo
Q = [a; b] [c; d] [e; f ] de R3 ; entonces F es integrable en Q y la integral triple de F
sobre Q es igual a.
RRR Rb Rd Rf
Q
F (x; y; z)dV = a c e
F (x; y; z)dz dy dx
Rb Rf Rd
= a e c
F (x; y; z)dy dz dy
Rd Rb Rf
= c a e
F (x; y; z)dz dx dy
Rd Rf Rb
= c e a
F (x; y; z)dx dz dy
Rf Rb Rd
= e a c
F (x; y; z)dy dx dz
Rf Rd Rb
= e c a
F (x; y; z)dx dy dz

R1R1 R2
Ejemplo 4.5.1 Calcular 0 1 1 xy 2 z 3 dzdydx
La región de integración es un paralelepipedo
R1R1 R2 5
entonces 0 1 1 xy 2 z 3 dzdydx =
4

De manera analoga como se de…nió la integral doble sobre regiones generales, en esta
sección se amplía la de…nición de la integral triple de un campo escalar F sobre una región
solida general acotada del espacio tridimensional.


Si F es un campo escalar de R3 en R continuo en una región solida de R3 entonces consideraremos
la proyeccion de en alguno de los planos cartesianos de la siguiente forma :
(i) Si es la proyección de en el plano XY , entonces
RRR R R R G2 (x;y)
F (x; y; z)dV = G1 (x;y)
F (x; y; z)dz dA donde z varia entre las super…cies
z1 = G1 (x; y) y z2 = G2 (x; y)

La tapa y el piso son las super…cies z1 = G1 (x; y) y z2 = G2 (x; y)
(ii) Si es la proyección de en el plano XZ, entonces
RRR R R R G2 (x;z)
F (x; y; z)dV = G1 (x;z)
F (x; y; z)dy dA donde y varia entre las super…cies
y1 = G1 (x; z) y y2 = G2 (x; z)

El frente y el fondo son las super…cies y1 = G1 (x; z) y y2 = G2 (x; z)

(iii) Si es la proyección de en el plano Y Z, entonces
RRR R R R G2 (y;z)
F (x; y; z)dV = G1 (y;z)
F (x; y; z)dx dA donde x varia entre las super…cies
x1 = G1 (y; z) y x2 = G2 (y; z)

4.5. INTEGRALES TRIPLES 183

Los lados izquierdo y derecho son las super…cies x1 = G1 (y; z) y x2 = G2 (y; z).

Nota : La proyeccion es una region de R2 , la cual se maneja como la región de
integración de una integral doble.
RRR
El volumen de una region solida de R3 está dado por V = dV
RRR
Ejemplo 4.5.2 Calcular (x + y + z) dV sobre el sólido acotado por las ecuaciones
2 2
x = z + y , x = 2.
La región de integración es una porción de parabolide y un plano
p
La proyeción de en el plano yz esp círculo de radio 2
un
RRR R p2 R 2 y 2 R 2
luego (x + y + z) dV = p p p (x + y + z)dxdzdy
2 2 y2 y 2 +z 2
=3

Propiedad 4.5.1 Si F y G son campos escalares R3 en R continuos en una region de
R3 y k R RR, entonces:
2 R RRR
(i) R R R kF (x; y; z)dV = k F (x; y; R
R R z)dV RRR
(ii) R R R F (x; y; z) G(x; y; z)dV =
RRR F (x;R Rz)dV
y; R G(x; y))dV
(iii) F (x; y; z)dV = 1
F (x; y; z)dV + 2
F (x; y; z)dV
Si = 1 [ 2 (dos regiones) y int( 1 ) int( 2 ) = ;
(iv) Si F (x; y; R R R G(x; y; z) 8(x; y; R R2
z) z) R
entonces F (x; y; z)dV G(x; y; z)dV


1. Calcular las inegrales dadas.
R1R1R1
a) 0 0 0 (x + y + z)dzdydx

R R R
b) 0 0 0
(senx + cos y + z)dzdydx
ReReRe 1
c) 1 1 1
dzdydx
xyz

2. Gra…que la región de integración acotada por las ecuaciones dadas.

a) 2x + 3y + 6z = 12 y los planos coordenados
b) z = x2 + y 2 z = 18 x2 y2
c) x2 + 4y 2 + 9z 2 1

3. Plantee una integral triple de F (x; y; z) sobre las regiones del numeral anterior.

4. La grá…ca representa la región de integración de F (x; y; z), plantee las seis inte-
grales iteradas.

a)

z=1 x2 , x + y = 1, x = y = z = 0

1. b.

2z 3x = 2, z = x2 + y 2 , x = y = 0

4.6. CAMBIO DE COORDENADAS EN INTEGRALES TRIPLES 185

1. c.

5. Plantee las otras cinco integrales iteradas, de la integral triple dada.
R2 R4 R4 y
a) 2 0
(2x2 y)dzdydx
x2
R R 2 R p4 z 2
b) 0 0 0
zSenydxdzdy
R 4 R e2 R 1=xy
c) 1 1 0
Lnzdydzdxx

6. Utilizando una integral triple calcule el volumen del sólido acotado por las ecuaciones
dadas.

a) x2 + z 2 = 4, y = 0, y = 3
p
b) z = x2 + y 2 , z = 2
c) y = 1 x, z = cos( x=2), 0 x 1

7. Utilizando integrales triples determine el valor de c tal que el volumen del elipsoide
2 2
x2 + y9 + z9 = 1 sea igual a 20

8. Utilizando un CAS gra…que algunos regiones de integración de una integral triple.

4.6. Cambio de coordenadas en integrales triples
El objetivo de esta sección es extender a integrales triples lo que se considero en la
sección 4.3 para integrales dobles, ahora se deben cambiar las variables x, y, z por las vari-
ables u, v, w por ejemplo. Este cambio se realiza mediante una transformación geométrica
de R3 en R3 . Se emplearan tecnicas que simpli…caran los calculos y sera fundamental el
aspecto geométrico de la nueva región de integración , obtenida de , la integral a
calcular debe ser mas sencilla de calcular en que en .


Si T es un campo vectorial de R3 en R3 tal que 8(u; v; w) 2 , T (u; v; w) =
[T1 (u; v; w); T2 (u; v; w); T3 (u; v; w)] = (x; y; z) 2 , luego T ( ) = , si ademas existe T 1
de R3 en R3 tal que 8(x; y; z) 2 , T 1 (x; y; z) = [T1 1 (x; y; z); T2 1 (x; y; z); T 1 (x; y; z)] =
(u; v; w) 2 , luego T 1 ( ) = .entonces T es una biyección denominada cambio de
coordenadas. La transformación 3 (u; v; w) = (x; y; z) suele escribirse como
2 3 2 T
T1 (u; v; w) x
T (u; v) = 4T2 (u; v; w)5 = 4y 5
T3 (u; v; w) z

Si T es un cambio de coordenadas de R3 en R3 diferenciable en , entonces
la matriz
2 3
@x @x @x
6 @u @v @w 7
@T (u; v; w) @(x; y; z) 6 @y @y @y 7
JT (u; v; w) = = =6
6 @u
7
@(u; v; w) @(u; v; w) 4 @z @v @w 7
@z @z 5
@u @v @w

se denomina matriz jacobiana de T y su determinante

@x @x @x
@u @v @w
@y @y @y
J=
@u @v @w
@z @z @z
@u @v @w

se denomina jacobiano.

Si V es el volumen encerrado por y V es el volumen encerrado por entonces
+
V es proporcional a V , luego existe un factor de proporcionalidad jJj 2 R tal que
V = jJj V donde J es el jacobiano de la transformacion T (u; v; w).

@(u; v; w) 1
Nota : En caso de que sea mas sencillo calcular J = entonces J =
@(x; y; z) J
A continuación se describe un caso particular del cambio de coordenadas para inte-
grales triples, las coordenadas cilindricas, las cuales son utiles en problemas que com-
prenden simetrias alrededor de un eje. Considere que se desea calcular una integral triple
RRR
F (x; y; z)dV donde es una región cuya proyección en el plano xy se describe
convencionalmente en coordenadas polares.
La región está de…nida como sigue: = f(x; y; z)j(x; y) 2 ; G1 (x; y) z G2 (x; y)g
Donde está dada en coordenadas polares por = f(r; )jr1 ( ) r r2 ( ), 1 2g


@x @x @x
@r @ @z cos rsen 0
@(x; y; z) @y @y @y
J= = = sen r cos 0 =r
@(r; ; z) @r @ @z
@z @z @z 0 0 1
@r @ @z
Teorema 4.6.1 Cambio a coordenadas cilindricas. Sea F un campo escalar R3 en R con-
tinuo en una region rectangular de R3 determinada por = f(r; ; z)jr1 r r2 , 1
donde 0
RRR 2 1 2 entoncesR
R R r G (r cos ;rsen )
F (x; y; z)dV = 12 r12 G12(r cos ;rsen ) F (r cos ; rsen ; z)rdzdrd

RRR
Ejemplo 4.6.1 Utilizando coordenadas cilindricas evaluar (x3 + xy 2 )dV , donde
es el sólido que se encuentra en el primer octante y debajo del paraboloide z = 1 x2 y 2
La proyección del sólido en el plano xy es el circulo x2 + y 2 = 1, luego =
f(r; )j0 r 1, 0 2 g
y z varia entre el paraboloide y el plano z = 0, que en cilindricas es igual a 0 z
1 r2

RRR R 1 R 2 R 1 r2
entonces (x3 + xy 2 )dV = 0 0 0 (r3 cos3 + r3 cos sen2 )rdzd dr
R 1 R 2 R 1 r2 4
= 0 0 0 r cos dzd dr
R1R2 2 R1R2
= 0 0 zr cos j1 r d dr = 0 0 (1 r2 )r4 cos dzd dr
4
0
R1R2
= 0 0 (1 r2 )r4 sen j2 dr 0
=0
R 2 R p 4 x2 R 2
Ejemplo 4.6.2 Evaluar 2 p4 x2 px2 +y2 (1 + (x2 + y 2 )2 )dzdydx
De acuerdo a los limites de integración la región de integración es
n o
p p p
= (x; y; z)j 2 x 2, 4 x2 y 4 x2 , x2 + y 2 z 2
su grà…ca està determinada por

La integral es màs sencilla en coordenadas cilindricas
n o
p
luego = (r; ; z)j0 r 2, 0 2 ; x2 + y 2 z 2
y la funciòn a integrar F (rcos ; rsen ; z) = 1 + (r2 )2 = 1 + r4
R 2 R p 4 x2 R 2
luego 2 p4 x2 px2 +y2 (1 + (x2 + y 2 )2 )dzdydx
R2R2 R2 184
= 0 0 r (1 + r4 )rdzd dr =
21

Otro cambio de coordenadas para integrales triples son las coordenadas esféricas, las
cuales son utiles en problemas donde hay simétria alrededor de un punto. Considere que se
RRR
desea calcular una integral triple F (x; y; z)dV donde es una región cuya proyec-
ción en el plano xy se describe convencionalmente en coordenadas polares.
La región está de…nida como sigue: = f(x; y; z)j(x; y) 2 ; G1 (x; y) z G2 (x; y)g
Donde está dada en coordenadas esfericas por = f( ; ; )j 1 2, 1 2, 1 g

@x @x @x
@ @ @ sen cos sen sen cos cos
@(x; y; z) @y @y @y 2
J= = = sen sen sen cos cos sen = sen
@( ; ; ) @ @ @
@z @z @z cos 0 sen
@ @ @


AlRemplear el teoremaRde R R de variable en una integral triple se obtiene:
R R cambio
2 2 2
F (x; y; z)dV = 1
F ( sen cos ; sen sen ; cos )Jd d d
1 1

Teorema 4.6.2 Cambio a coordenadas esféricas. Sea F un campo escalar R3 en R contin-
uo en una region rectangular de R3 determinada por = f( ; ; z)j 1 2, 1 2;
donde 0 2 1 2 ,0 , entonces
RRR R 2 R 2 2 R 21
F (x; y; z)dV = 1
F ( sen cos ; sen sen ; cos ) 2 sen d d d
1 1

RRR (x2 +y2 +z2 )3=2
Ejemplo 4.6.3 Calcular e dV sobre la regiòn esferica , x2 + y 2 + z 2 1
Puesto que la frontera de es una esfera con centro en el origen, se usan coordenadas
esfericas
= f( ; ; )j0 1; 0 2 ;0 g
De esta manera
RRR (x2 +y2 +z2 )3=2 R R 2 R 1 2 3=2 2
e dV = 0 0 0 e( ) sen d d d
R R2 R1 2 3
= 0 sen d 0 d 0 e d
1 3 4
= [ cos ] j0 (2 )[ 3 e ] j1 =
0 (e 1)
3

Ejemplo 4.6.4 Utilizar coordenadas esfericas para encontrar el volumen del solido que se
p
encuentra arriba del cono z = x2 + y 2 y debajo de la esfera x2 + y 2 + z 2 = z
1
Observese que la esfera pasa por el origen y tiene centro (0; 0; 2 )
Se escribe la ecuacion de la esfera en coordenadas esfericas de la forma
= cos o = cos
el cono se puede expresar de la forma
p
cos = 2 sen 2 cos2 + 2 sen2 sen2 = sen

De ello resulta sen = cos o = =4
Por lo tanto, la descripcion del solido en coordenadas esfericas es


= f( ; ; )j0 2 ;0 =4; 0 cos g
Y su volumen es :
RRR R 2 R =4 R cos R2 R =4
3
V = dV = 0 0 0
2
sen d d d = 0 0
sen jcos d d
0
3
R 2 R =4 cos3 sen
= 0 0 d d
3
R2 cos4
=4
= 0 j d
12 0
R2 1
= 0 d
16
= j2 =
0
16 8

En los siguientes ejemplos consideramos otros tipos de cambios de coordenadas en
integrales triples.

R 3 R 4 R y=2+1 2x y z
Ejemplo 4.6.5 Calcular 0 0 y=2
+ dxdydz, utilizando la transformaciòn
2 3
2x y y z
u= , v = , w = e integrando sobre una región apropiada en el espacio uvw.
2 2 3
Trazamos la regiòn de integración en el espacio xyz e identi…camos sus fronteras.
En este caso, las super…cies frontera son planos.
Necesitamos encontrar la region correspondiente en el espacio uvw
Para encontralos despejamos x,y,z en terminos de u v y w de las ecuaiones del problema
y obtenemos:
x = u + v, y = 2u, z = 3w
El jacobiano de la transformacion es
@x @x @x
@u @v @w 1 1 0
@y @y @y
J =J = = 2 0 0 =6
@u @v @w 0 0 3
@z @z @z
R 3 R 4 R (y=2)+1 2x y @w
@u @v
0 0 y=2 2
+ z dxdydz =
2
R1R2R1
= 0 0 0 6(u + w)dudvdw
R1R2 2
= 6 0 0 [ u + uw]1 dvdw
2 0
R1R2 1
= 6 0 0 ( 2 + w) dvdw
R1
= 6 0 [ u + uw]2 dw 0
R1 2
= 6 0 (1 + 2w) dw
= 6[w + w2 ]1 0
= 6(2) = 12

RRR
Ejemplo 4.6.6 Calcular (x + y + z)(x + y z)(x y z)dV donde es la regiòn
acotada por los planos x + y + z = 0, x + y z = 0, x y z = 0 y 2x z = 1
realizando el siguiente cambio de coordenadas
u = x + y + z, v = x + y z, w = x y z
el jacobiano de esta transformaciòn es
@(x; y; z)
J=
@(u; v; w)
por comodidad calculamos
@(u; v; w)
J = = 4
@(x; y; z)
1
por lo tanto J =
4
y 2x z = 1 se convierte en u + v + 2w = 1
luego la regiòn esta determinada por
u = 0, v = 0, w = 0 y u + v + 2w = 2
R 2 R 2 u R 1 1 (u+v) 1 1
entonces 0 0 0
2
4
uvwdwdvdu =
180

1. Utilice coordenadas cilíndricas para calcular las integrales dadas.
RRR
a) (x2 + y 2 )dV si es la región limitada por el cilindro x2 + y 2 = 4 y los
planos z = 2, z = 2
RRR 2
b) z dV si es la región acotada por 1 x2 + y 2 4 , z = 0 y bajo el
p
cono z = x2 + y 2
RRR
c) (x + y + z)dV si es la región acotada por 1 x2 + y 2 4, z = 0 y
bajo el plano z = x + 2

2. Utilice coordenadas esfericas para calcular las integrales dadas.
RRR p
a) x2 + y 2 + z 2 dV si es la región acotada superiormente por la semi-
p
2 2 2
esfera x + y + z = 1 e inferiormente por el cono z = x2 + y 2
RRR 1
b) dV si es la semiesfera acotada por x2 + y 2 + z 2 = 1 y
1 + x2 + y 2 + z 2
z 0
RRR
c) zdV si es la región común a las esferas x2 + y 2 + z 2 = 1, x2 + y 2 + (z
2
1) = 1

3. Utilizando un cambio de coordenadas apropiado calcular las siguientes integrales
RRR x2 y2 z2
a) 1 dV donde es la región acotada por el elipsoide
a2 b2 c2
x2 y 2 z 2
+ 2 + 2 =1
a2 b c

RRR
b) xyzdV si es la región que se encuentra en el primer octante acotada
por z = x2 + y 2 , z = 2x2 + 2y 2 , xy = 1, xy = 4, y = x, y = 5x
RRR
c) xyzdV si es la región acotada por xy = 1, xy = 2, xz = 1, xz = 2,
yz = 1, yz = 2

4. Plantear la integral dada en coordenadas cilindricas y esfericas.

R 1 R p1 2 R2
a) p x p F (x; y; z)dzdydx
1 1 x2 x2 +y 2

R 1 R p1 2 R 1+px2 +y2
b) p x p F (x; y; z)dzdydx
1 1 x2 1 x2 +y 2

R 2 R p1 z2 Rp 4 y2 z2
c) 0 0 0
F (x; y; z)dxdydz

5. Utilizando un cambio de coordenadas apropiado calcular el volumen del solido dado.

x2 y 2 z 2
a) Elipsoide 2 + 2 + 2 = 1
a b c
p p p
b) Acotado por x + y + z = 1 y los planos coordenados.
x y z 4 xyz
c) Acotado por la super…cie + + =
2 4 6 48

6. A traves de una esfera de radio 2 se perfora un hoyo cilindrico de diametro 1 .
Suponiendo que el eje del cilindro pasa por el centro de la esfera, hallar el volumen
del solido que queda.

7. Encuentre el volumen del sólido acotado por los cilindros x2 + y 2 1 y x2 + z 2 1:

8. Sea la región en el espacio xyzRde…nida por las siguientes desigualdades 1 x 2,
RR
0 xy 2, 0 z 1:Evaluar (x2 y + 3xyz) dV aplicando la transformación
u = x, v = xy, z = 3x, e integrando sobre una región apropiada en el espacio
uvw.

9. Sea la región en el primer octante acotada inferiormente por el cono = y
4
superiormente por la esfera = 3. Expresar el volumen de como una integral
triple iterada en coordenadas (a) cilíndricas y (b) esféricas. Luego (c) encontrar el
volumen.

10. Utilizando un CAS construya una función que permita hallar el jacobiano de una
transformación.dada.

4.7. APLICACIONES DE LAS INTEGRALES TRIPLES 193

4.7. Aplicaciones de las integrales triples
A continuación, se extienden las aplicaciones …sicas sobre laminas vistas en la sección
4.4. a sólidos utilizando ahora integrales triples. Para determinar la masa de un sólido
no homogéneo, de volumen determinado por , donde la densidad varía en cada punto
(x; y; z) 2 .La densidad tiene unidades de masa por unidades de volumen.Para esta
aplicación, considere que la función densidad es continua en la región .
Sea una región del espacio xyz, tal que su densidad viene dada por la función de
R3 enRR, la cual es continua 8(x; y; Z) 2 , entonces
R R
m= (x; y; z)dV

Ejemplo 4.7.1 Calcular la masa del sólido acotado por los paraboloides z = x2 + y 2 y
z = 4 x2 y 2 , cuya densidad viene dada por (x; y; z) = x + y + z + 1
utilizando coordenadas cilindricas
p
= (r; ; z)j0 r 2, 0 2 ; r2 z 4 r2
R p2 R 2 R 4 r 2 2
0 0 r2
(r cos + r2 sen + rz) dzd dr
R 2 2
p R
rz 2 4 r2
= 0 0 zr2 cos + zr2 sen + jr2 d dr
2
R p2 R 2 r(4 r2 )2 r5
= 0 0 4r2 cos + 4r2 sen + 2r4 cos 2r4 sen d dr
2 2
R p2 R 2 16r 8r3 + r5 r5
= 0 0 4r2 cos + 4r2 sen + 2r4 cos 2r4 sen d dr
2 2
R p2 R 2 2 2 4
= 0p 0 (4r cos + 4r sen 2r cos 2r4 sen + 8r 4r3 ) d dr
R 2
= 0p (4r2 sen 4r2 cos 2r4 sen + 2r4 cos + 8r 4r3 ) j2 dr
0
R 2 3
= 0 (16 r 8 p ) dr r
= (8 r 2
2 r ) j0 2
4

= 16 8 =8

MOMENTOS ESTÁTICOS DE SOLIDOS
R3 en R, la cual es continua 8(x; y; z) 2 , entonces R Rmomento estático respecto a
R el
el plano xy, denotado por Mxy , se obtiene como Mxy = z (x; y; z)dV:
Mientras que R momento estático respecto a el plano yz, denotado por Myz , se calcula
RR el
como Myz = x (x; y; z)dV .
Y el momento estático respecto a el plano xz, denotado por Mxz , se calcula como
RRR
Mxz = y (x; y; z)dV .
Las coordenadas (x; y; z) del centro de masa de un sólido que ocupa la región y que
tiene función de densidad (x; y; z) son:
Myz 1 RRR Mxz 1 RRR Mxy R R R
x= = x (x; y; z)dV , y = = y (x; y; z)dV , z = z (x
M m M m M

p
Ejemplo 4.7.2 Un sòlido esta acotado por las super…cies z = x2 + y 2 , z = 1 en el
primer octante. Si su densidad en cada punto (x; y; z) es igual a (x; y; z) = x2 + y 2 , hallar
el centro de masas del sòlido.
Por la forma del sólido , evaluamos las integrales en coordenadas cilindrícas
Primero hallamos la masa del sólido
R =2 R 1 R 1
M= 0 r(r)dzdrd
R =2 R 1 R 01 r2
= 0 r dzdrd
r
R =2 R 01 2 1
= 0 r zj drd
R =2 R 01 2 r 3
= 0 0
(r r )drd
R =2 r3 r4 1
= 0 jd
3 4 0
R =2 1 1
= 0 d
3 4
R =2 1
= 0 d
12
=2
= j =
12 0 24
Ahora calculamos los respectivos primeros momentos
Respecto al plano xy
R =2 R 1 R 1 2
MXY = 0 0 r
zr dzdrd
R =2 R 1 z 2 2 1
= 0 r j drd
0
2 r
R =2 R 1 r2 r4
= 0 0
drd
2 2
R =2 r3 r5 1
= 0 jd
6 10 0
R =2 1 1
= 0 d
6 10
R =2 1
= 0 d
15
=2
= j0 =
15 30
Respecto al plano xz
R =2 R 1 R 1
MXZ = 0 (rSen )r2 dzdrd
R =2 R 1 R 1 0 r
= 0 0 r
r3 Sen dzdrd
R =2 R 1 3
= 0 r Sen zj1 drd
r
R =2 R01 3
= 0 0
(r Sen r4 Sen ) drd
R =2 r4 r5
= 0 Sen Sen j1 d0
4 5
R =2 Sen Sen
= 0 d
4 5


R Sen =2
= 0
d
20
Cos =2 1
= j0 =
20 20
Respecto al plano yz
R =2 R 1 R 1
MY Z = 0 (rCos )r2 dzdrd
R =2 R 1 R 1 03 r
= 0 r Cos dZdrd
R =2 R01 3 r
= 0 r Cos zj1 drdr
R =2 R01 3
= 0 0
(r Cos r4 Cos ) drd
R =2 r4 r5
= 0 Cos Cos j1 d0
4 5
R =2 Cos Cos
= 0 d
4 5
R =2 Cos
= 0 d
20
Sen =2 1
= j0 =
20 20
Por lo tanto el centro de masas es igual a
1 1
6 6 4
CM = 20 ; 20 ; 30 = ; ;
24 24 24
5 5 5

A continuación, se trata especí…camente, los momentos de inercia de un sólido acotado
por alrededor de los planos coordenados.

MOMENTOS DE INERCIA
R3 en R, la cual es continua 8(x; y; z) 2 , entonces R Rmomento de inercia alrededor
R el
del plano xy, denotado por Ixy , se obtiene como Ixy = z 2 (x; y; z)dV
MientrasRque el momento de inercia alrededor del plano yz, denotado por Iyz , se calcula
RR 2
como Iyz = x (x; y; z)dV
Y R Rmomento de inercia alrededor del plano xz, denotado por Ixz , se calcula como
el R
Iyz = y 2 (x; y; z)dV
Luego el momento de inercia respecto al origen (momento polar de inercia) denotado
por Io , se calcula como R R
Io = Ixy + Iyz Ixz = (x2 + y 2 + z 2 ) (x; y; z)dV
Para un campo escalar F de R3 en R integrable en una región de R3 el valor promedio
es la integral sobre dividida entre el volumen de .

Si F es un campo escalar de R3 en R continuo en una región de R3 , entonces existe
(a; b; c) 2 tal R R R
que
F (x; y; z)dV
F (a; b; c) =
V olu men( )



1. Halle la masa del solido:

a) Acotado por el paraboloide z = 4x2 + 4y 2 si (x; y; z) = k
b) Prisma determinado por x + y + z = 1 y los planos coordenados; si (x; y; z) =
xyz
c) Acotado por el cilindro x2p y 2 = 2x y el cono z 2 = x2 + y 2 si la densidad en
+
cada punto es (x; y; z) = x2 + y 2

2. Halle los momentos respecto a los planos xy, xz, yz, de los solidos del ejercicio 1

3. Halle el centro de masas del solido:

a) Cubo de lado a si la densidad en cada punto (x; y; z) es proporcional a la
distancia a una de las caras
b) Esfera de radio R si la densidad en cada punto (x; y; z) es proporcional a su
distancia al eje z
c) Acotado por el paraboloide z = x2 + y 2 , el plano z = a (a > 0) si la densidad
en cada punto (x; y; z) es (x; y; z) = a

4. Halle el momento polar de inercia de un elipsoide homogéneo de semiejes a; b y c ; con
masa total M .

5. Hallar la masa del solido que se encuentra en el primer octante y esta acotado por
las super…cies xy = 1, xy = 2, xz = 1 , xz = 2 , yz = 1 y yz = 2 . Si su densidad en
cada punto (x; y; z) es igual a (x; y; z) = xyz

6. Calcule el valor promedio del producto de tres numeros, si la suma de sus cuadrados
es siempre no mayor a la unidad.

7. Utilizando un CAS construya una función que permita hallar el centro de masas de
una lamina plana dada.

Ejercicios de repaso del capitulo 4


1. La partición de un rectángulo son rectángulos de lados 4x y 4y.

2. Los limites de integración de la primera integral, de una integral doble siempre son
numeros reales.


3. En toda integral doble se puede cambiar el orden de integración.

4. Si F (x; y) es mayor o igual a cero en una región , entonces la integral doble de F
sobre determina el volumen bajo F .

5. El jacobiano de un cambio de coordenadas no puede ser igual a 1.

6. Es posible hallar el área de una región plana utilizando integrales dobles.

7. La región de integración de una integral tiple siempre es un sólido.

8. Siempre es posible hallar el volumen de un sólido utilizando integrales triples.

9. La integral triple de la densidad sobre un sólido determina su masa.

10. El valor medio de un campo escalar F (x; y; z) sobre un sólido es único.


1. El área de la región que esta dentro del cardioide r = 1 + cos y fuera de la circun-
ferencia r = 1, esta determinada por:
R 2 R 1+cos R =2 R 1+cos R2 2R1
A. 0 1
rdrd B. =2 1
drd C. 0 0
(1+cos )rdrd D.
R =2 R 1+cos
=2 1
rdrd

2. Si se utiliza la transformaciòn u = xy y v = xy 2 , sobre la regiòn acotada por las
R R
curvas xy = 1, xy = 2, xy 2 = 1 y xy 2 = 2, la integral R y 2 dA es equivalente a:

R 2 R 2 u2 R 2 R 2 v3 R 2 R 2 v2
1 1
A.dvdu B. 1 1
dvdu C. 1 1
dvdu D.
R2R2 v v u2 u2
1 1
dvdu
u2
R R 2
3. Utilizando la siguiente transformación u = xy, v = x2 y 2 la integral (x +y 2 )dA
donde es la región limitada por las curvas xy = 1; xy = 3; x2 y 2 = 1yx2 y 2 = 4
en el primer cuadrante, es equivalente a:

R3R4 1 R 3 R 4 (4u2 + v 2 )1=2 R3R4 1
A. 1 1 2 + v 2 )1=2
dvdu B. 1 1
dvdu C. 1 1
dvdu D.
R3R4 2(4u 2 2
1 1
2dvdu
R1Rx
4. Al cambiar el orden de integración en 0 x2
F (x; y)dydxse obtiene:
Rx R1 R1Ry R 1 R y2 R 1 R py
A. x2 0
F (x; y)dxdy B. 0 y2
F (x; y)dxdy C. 0 y F (x; y)dxdy D. 0 y
F (x; y
R1Ry
E. 0
p
y
F (x; y)dxdy

R R
5. Utilizando coordenadas polares la integral doble F (x; y)dA donde esta deter-
2 2
minada por el circulo x + (y 1) = 1, es igual a:
R1R2 R R1 R R 2sen R =2 R 2sen
A. 0 0 F (r; )d dr B. 0 0 F (r; )rdrd C. 0 0 F (r; )rdrd D. =2 0
F (r; )rdrd
R2 R2R2
6. La integral 0
rdzdrd representa el volumen del sólido limitado por:
0 r
p
A. La esfera x2 py 2 + z 2 = 2y el plano z = 2
+
B. El cono z = px2 + y 2 y el plano z = 2
C. El cono z = x2 + y 2 y la esfera x2 + y 2 + z 2 = 4
D. El paraboloide z = x2 + y 2 y el cilindro x2 + y 2 = 4
p
7. El volumen del sólido acotado inferiormente por el semi-cono z = x2 + y 2 y supe-
riormente por la esfera x2 + y 2 + z 2 = 2z, esta dado por la integral triple
R 2 R =4 R 2 cos 2 R 2 R a4 R pa2 r2
A. 0 0 Sen'd d'd B. 0 0 0 rdzdrd
R a R pa2 x2 R pa2 x2 y2
0
R =4 R =4 R 2 cos 2
C. a pa2 x2 p 2 2 2 dzdydx D. 4 0 0 0
Sen'd d'd
a x y
R 2 R a R a+ a2 r2
p
E. 0 0 r dzdrd
8. El volumen de la región sólida R limitada inferiormente por el interior de la hoja
superior del cono z 2 = x2 + y 2 y superiormente por la esfera x2 + y 2 + z 2 = 9 está
dado por la integral:
R R4 R
2 3
2
R R4 R
2 3
2
A. sen d d d B. sen d d d
0 4
0 0 0 0

R
2 R R
4 3 R R4 R
2 3 R R2 R
2 3
2
C. sen d d d D. sen d d d E. sen d d
0 4
0 0 0 0 0 0 0
d
R1R1 R1 y
9. Cuales integrales son equivalentes a la integral 0 px 0 F (x; y; z)dzdydx
R1 R1R1 y R1 yR1 R1
A. px 0 0 F (x; y; z)dzdxdy; 0
p
x 0
F (x; y; z)dxdydz
R 1 R y2 R 1 y R 1 R 1 z R (1 z)2
B. 0 0 0 F (x; y; z)dxdydz; F (x; y; z)dxdzdy.
R 1 R y2 R 1 y R01 R01 y R0y2
C. 0 0 0 F (x; y; z)dzdxdy; F (x; y; z)dxdzdy
R 1 R 1 z R y2 R 1 R 1 0 px0R 1 z0
D. 0 0 0
F (x; y; z)dxdydz; 0 0
F (x; y; z)dydzdx
R2 R2R2
10. La integral 0 0 r rdzdrd representa el volumen del sólido acotado por:
A. La esfera x2 py 2 + z 2 = 2 y el plano z = 2
+
B. El cono z =p x2 + y 2 y el plano z = 2
C:El cono z = x2 + y 2 y la esfera x2 + y 2 + z 2 = 4
D. El paraboloide z = x2 + y 2 y el cilindro x2 + y 2 = 4



R R 2
1. La integral x ydA sobre la regiòn acotada por y = x + 1 y y = x2 1 es
equivalente a:
R 3 R p1+y R 2 R y2 1
1. 1 y 1
x2 ydydx 2. 1 y+1 x2 ydxdy
R 2 R x+1 R 0 R p1+y R 3 R p1+y
3. 1 x2 1
x2 ydydx 4. 1 p1+y x2 ydxdy + 0 y 1 x2 ydxdy
A. B. C. D. E.
RR p
2. Si I = F (x; y)dydx y esta acotada por y = 1 x2 y y = jxj, entonces:
R

R1 R1 R 0 R p 1 x2 R p R p 1 x2
1

1. I = 1 1
F (x; y)dydx 2. I = p 1
x
F (x; y)dydx+ 0 2 x F (x; y)dydx
R p1 R p 1 x2
2
R p Ry
1
p
R 1 R 1 y2
3. I = p
2
1 x
F (x; y)dydx 4. I = 0 2 y F (x; y)dxdy+ p 1 p F (x; y)dxdy
2 1 y
2 2
A. B. C. D. E.

x2 y 2 R R
3. Si F (x; y) = , R = [0; 1] [0; 1] y I = R
F (x; y)dA entonces
x2 + y 2

A. I = B.I = C.I = 0 D.F no es integrable en R
4 4
R1R1
4. El valor de la integral 0 0
[[x + y]] dydx (parte entera de x + y) es igual a:

1 3
A. 1 B. C. 0 D.
2 2

1 si x es racional
5. Si F (x; y) = y R = [0; 1] [0; 1]entonces:
0 si x es irracional

1. F es integrable en R
R1R1 2. F es continuo en R
3. 0 0 F (x; y)dydx = 1 4. F no es integrable en R
A. B. C. D. E.

1
6. Sea I la integral de f (x; y) = en S = f(x; y) 2 R2 : x + y 4; x 2; y 0g,
x+y
entonces:


R2R4 x 1 R2R4 y 1
R4R4 x 1
1. I = 0 0 dydx 2. I = 0 0 x+y
dxdy 3. I = 2 0 x+y
dydx 4. I =
x+y
R4R4 y 1
2 0
dxdy
x+y
A. B. C. D. E.

7. La integral triple que representa el volumen del sólido acotado por las super…cies
y 2 = ax, x2 = ay (a > 0), z = 0 y z = x + y es:
R a R pax R x+y R a R pax R x+y R a R xa2 R x+y
A. 0 x2 0 dzdydx B. a x2 0
dzdydx C. 0
p
ax 0
dzdydx
R a R a R paay a

E. 0 0 pax (x + y)dzdydx

R a R pa2 x2 y2 R a+pa2 x2 y 2
8. La integral triple a p 2 2 2 a xdzdydx es equivalente a:
a x y

R 2 R a R a+pa2 r2
1. 0 0 a r cos dzdrd en coordenadas cilindricas.
R =4 R 2 R 2a cos
2. 0 sen cos d d d en coordenadas esfericas.
R 2 R 0=4 Ra2a cos 2
sec
3. 0 0 apsec
sen 2 cos d d d en coordenadas esfericas.
R a R 2 R a+ a2 r2
4. 0 0 a r cos dzd dr en coordenadas cilindricas.
A. B. C. D. E.

9. Sea RRR sólido en R3 limitado x2 + y 2 = 9; z = 0 y z = 2 , y consideremos la integral
el
1
I= 9
(x2 + y 2 ) cos zdxdydzse veri…ca que:

R2 R R
2 3 R2 R R9
1 3 9
1. I = r2 cos z dr d dz 2. I = 9
r cos z dr d dz 3. I = 2
4.
0 0 0 0 0 0
R R R2
2 3
1 3
I= 9
r cos z dz dr d
0 0 0
A. B. C. D. E.
p
10. El volumen del sólido acotado inferiormente por el semi-cono z = x2 + y 2 y supe-
riormente por el plano z = 1 esta dado por la integral triple.
R 1 R 2 R =4 2 R 1 R 2 R 14 R 1 R p1 2 R1
1.. 0 a 0 Sen'd'd d 2. rdzd dr 3. p x p dzdydx 4.
0 a 0 1 1 x2 x2 +y 2
R1 R1 R1
1 1 1
dzdydx
A. B. C. D. E.

PREGUNTAS ABIERTAS

1. Calcular la integral del campo escalar dado, sobre la region dada.

a) F (x; y) = jx + yj sobre el rectangulo [ 1; 1] [ 1; 1]


b) F (x; y) = Sgn(x y) sobre la region encerrada por jxj + jyj 1
x2
c) F (x; y) = sobre la region limitada por las parabolas y = x2 y x = y 2
y

2. Calcular la integral del campo escalar dado.
R2R2 p
a) 0 x x 1 + y 3 dydx
R2R4 p
b) 0 y2 xsenxdxdy
R R
c) R (x+y)2 dA , donde R es la region limitada por el circulo con centro en (2; 0)
y tangente al eje Y
R 0 R p1+y R 3 R p1+y
3. Para la integral 1 p1+y x2 ydxdy+ 0 y 1 x2 ydxdy dibuje la region de integracion,
invierta el orden y plantee la integral resultante
R Rp
4. Use una sustitución adecuada para calcular R x2 y 2 dA sobre la regiòn acotada
por jxj + jyj 2

5. Utilizar integrales dobles para hallar el area encerrada por las curvas

a) 9x2 + 4y 2 = 36(x + y 4 ) , x 0,y 0
b) (x2 + y 2 ) = 2a2 (x2 y2)
x y 4 x2 y 2
c) + = 2 + 2 donde a , b, h y k son numeros positivos dados
a b h k
6. Utilizar integrales dobles para hallar el volumen determinado por :

a) Los planos x
a
+y+
b
z
c
= 1 , x = 0 , y = 0 , z = 0 , donde a, b y c son numeros
positivos.
b) El paraboloide z = x2 + y 2 sobre el anillo circular 1 x2 + y 2 9

7. La funcion T (u; v) = (u2 v 2 ; 2uv) transforma el rectangulo R = f(u; v)j1 u 2; 1 v
en una region R del plano XY

a) Mostrar que T es uno a uno
b) Hallar el area de R

8. Hallar la masa de una lamina cuadrada de lado , si la densidad en cada punto
P = (x; y) es proporcional al cuadrado de la distancia de P y el centro de la lamina,
siendo en cada vertice igual a k.
R Sen2 (x y)
9. Mostrar que la integral dada existe p dA
R
1 x2 y 2


1
R dA 1
10. Usando el teorema del valor medio, mostrar que 6 4
Donde R es
R y x+3
el triangulo de vertices (0; 0); (1; 1), y (1; 0)
R x2 +y2
11. Mostrar que 4e5 R
e dA 4e25 Donde R es el rectangulo determinado por
[1; 3] [2; 4]
p
12. Hallar A de modo que el volumen interior al hemisferio z = 16 x2 y 2 y
exterior al cilindro x2 + y 2 = a2 sea la mitad del volumen interior al hemisferio.
Sugerencia utilice coordenadas polares.

13. Hallar el area de la region acotada por las elipses x2 + 4y 2 = 4 y x2 + 4y 2 = 16

14. Determine el centro de masa de la placa acotada por y = 1 jxj y y = jxj 1 si la
densidad es proporcional al cuadrado de la distancia desde la recta x + y = 1
p p
15. Hallar la masa de una lamina determinada por x + y = 1 si su densidad en cada
p
punto (x; y) es igual a (x; y) = x2 + y 2

16. Sea F (x; y) un campo escalar con derivadas parciales de segundo orden continuas
en una región R = [a; b] [c; d]. Utilice el teorema fundamental del cálculo para
R R @2F
demostrar que R dA = F (a; c) F (b; c) + F (b; d) F (a; d)
@y@x
R R
17. Si R = f(x; y)ja x b, c y dg demuestre que R f (x)g(y)dydx =
Rb Rd
a
f (x)dx c g(y)dy

18. Utilice integrales triples para calcular el volumen del solido:

a 2 a 2
a) Interior a las super…cies x2 + y 2 + z 2 = a2 y x + y2 =
2 2
p
2 2 2
b) Interior a la super…cies x +y +z = 16 y exterior a la super…cie z = x2 + y 2
c) Entre una esfera de radio 1; una esfera de radio 2 y bajo la hoja superior del
cono x2 + y 2 = 2z 2

19. Utilice integrales triples y un cambio de coordenadas para calcular el volumen del
solido acotado por x2=3 + y 2=3 + z 2=3 = a2=3 , a > 0

20. Una piramide de altura a y de base cuadrada de lado a se coloca sobre un cubo de
arista a, con las aristas alineadas. Si el cubo tiene densidad constante d1 y la piramide
densidad constante d2, hallar el centro de masa de la estructura combinada.

21. Dos barras cuadradas de longitud l y seccion transversal cuadrada de lado a, se
unen para formar una T . Si la barra vertical tiene densidad constante d1 y la barra
horizontal tiene densidad constante d2, determinar el centro de masas de la T .

RRR
22. Calcular la integral R
[(x a)2 + (y b)2 + (z c)2 ] 1=2 dV sobre una esfera de
radio R y centro en el origen, y (a; b; c) es un punto …jo exterior a la esfera.

23. Suponga que la densidad de una esfera de radio R esta dada por (1 + d3 ) 1 , donde
d es la distancia al centro de la esfera. Hallar la masa total de la esfera.
RxRvRu 1
24. Demostrar que 0 0 0 f (t)dtdudv =
2
25. Hallar el centro de masas de un paralelepipedo de lados a, b y c, homogeneo cuya
masa total es M:

PROBLEMAS

1. La grá…ca muestra la distribucción de temperatura en grados centigrados en un
cuarto de 5 metros de largo por 2 metros de ancho. Estime la temperatura promedio
del cuarto.

2. Un estanque de 9 metros por 15 metros se llena con agua y la profundida se mide a
inervalos de 3 metros, empezando en una esquina del estanque y se registrarón los
valores en la siguiente tabla. Estime el volumen de agua en el estanque.

0 3 6 9 12 15
0 1;0 1;0 1;5 1;8 2;0 2;4
3 1;0 1;5 1;8 2;0 2;3 2;6
6 2;0 2;0 2;2 2;4 2;6 3;0
9 2;5 2;5 2;5 2;8 3;0 3;0


3. Para una empresa concreta, la funcion de produccion es : F (x; y) = 100x0;6 y 0;4 donde
x, y representan el numero de unidades de trabajo y de capital respectivamente. Estimar
el nivel medio de produccion si el numero de unidades de trabajo varia entre 100 y
150; y el de unidades de capital entre 200 y 225.

4. El bene…cio de una empresa por la comercializacion de dos productos es P (x; y) =
192x + 576y x2 5y 2 2xy 5000 donde x, y representan el numero de unidades de
cada producto. Estimar el bene…cio semanal medio si x varia entre 40 y 50 unidades
e y varia entre 45 y 60 unidades.

CAPÍTULO 5

INTEGRALES DE LINEA

Caminante son tus huellas
el camino, y nada más;
caminante, no hay camino,
se hace camino al andar.
ANTONIO MACHADO
"Proverbios y cantares "

205

206 CAPÍTULO 5. INTEGRALES DE LINEA

En el capitulo anterior se trataron integrales dobles y triples cuya región de integración
era una área o un volumen, en este capitulo se estudiarán integrales de campos escalares
y vectoriales, cuya región de integración es una curvas o una trayectoria..Nuevamente se
hara mas enfasis en el aspecto geometrico de la región de integración que en el cálculo de la
integral y tambien en la parametrización de la curva. Para ser más precisos, trabajaremos la
región de integración con funciones de variable real y valor vectorial, que sean derivables,
o por lo menos que lo sean a trozos y que esta derivada sea continua (para no tener
problemas con lo que vayamos a integrar). Este tipo de funciones reciben un nombre
curvas regulares a trozos. Se trataran aplicaciones geometricas sobre longitud de arco
y areas, y aplicaciones …sicas sobre alambres. Por último se tratara el teorema de Green.

5.1. Integral de línea de campos escalares
Se iniciara la sección con el concepto de partición sobre una curva C y se sigue luego
con el concepto de campo escalar escalonado sobre C.

Una integral de línea depende de dos funciones, la función F y la función que para-
metriza la curva C, aunque la parametrización para una curva no es unica se debe tener
cuidado con la orientación. Toda curva C parametrizada por medio de : [a; b] ! Rn
tiene una orientación natural que es la que establece el sentido de recorrido de la curva
conforme el punto (t) se desplaza desde (a) hasta (b) a medida que el parámetro t
aumenta desde t = a hasta t = b.

Sean C una curva regular de Rn contenida en D y parametrizada por medio de
( : [a; b] ! Rn ) y P una partición del intervalo [a; b] tal que a = t0 < t1 < ...< tn = b,
entonces P determina una partición de la curva C en n sub-arcos de longitudes 4Ci ,
si tiene derivada continua (de clase C1) y distinta de cero en cada subintervalo [ti ; ti+1 ]
(para i = 0; :::; n 1). entonces C es una curva suave a trozos o regular y diremos que
es una parametrización suave a trozos de C. 1
1

Josiah Willard Gibbs (11 de febrero, 1839 en New Haven: Connecticut, Estados
Unidos –íd.28 de abril 1903) fue un químico, físico y matemático estadounidense que
contribuyó de forma destacada a la fundación teórica de la termodinámica. Estudió
en la Universidad de Yale, obteniendo su doctorado en 1863 con una tesis sobre los
dientes de engranajes, e ingresando en la sociedad secreta Los Calavera y Huesos. En
1886 fue a vivir a Europa, donde permanció tres años: París, Berlín y Heidelberg. En
1871 fue nombrado profesor de física matemática en la Universidad de Yale. Enfocó
su trabajo al estudio de la Termodinámica; y profundizó asimismo la teoría del cálculo
vectorial, donde paralelamente a Heaviside opera separando la parte real y la parte
vectorial del producto de dos cuaternios puros, con la idea de su empleo en física. En
los cuales se consideró uno de los grandes pioneros de la actualidad

5.1. INTEGRAL DE LÍNEA DE CAMPOS ESCALARES 207

De…nición 5.1.1 Sean, : [a; b] R ! Rn y : [c; d] R ! Rn dos funciones suaves
por trozos tales que (b) = (c), entonces la función = + : [a; d] R ! Rn , está
(t) si a t b
determinada por (t) = ( + )(t) = es tambien una función suave
(t) si c t d
a trozos.

Sea F un campo escalar de D Rn en R y sea C una curva regular de Rn de…nida
en D y parametrizada por medio de ( : [a; b] ! Rn ) se dice que F es un campo escalar
escalonado en C si existe una particion P de C , tal que en cada Ci de P; F es constante.
Si F es un campo escalar de D de Rn en R de…nido y acotado en una curva regular C
de…nida en D y parametrizada por medio de ( : [a; b] ! Rn ) y sean y dos campos
escalares escalonados Ren C tales que (x) F (x)
R R (x) 8x 2 D, entonces
C
(x)dS I C
(x)dS y I = C F (x)dS
Si F es un campo escalar de D de Rn en R de…nido y acotado en una curva regular
Pn
C contenida en D y parametrizada por medio de ( : [a; b] ! Rn ), entonces F (xi )4Si
i=1
para xi 2 Ci determina una suma de Riemman de F en P .
Si F es un campo escalar de D Rn en R de…nido y acotado en una curva regular C
R
de…nida en D y parametrizada por medio de ( : [a; b] ! Rn ), entonces C F (x)dS =
Pn
lm F (xi )4Si se denomina integral de linea de F a lo largo de C siempre que el limite
4S!0i=1
dado exista. R Rb
Notación : C F (x)dS = a F ( (t)) k 0 (t)k dt
R Rb p
Para n = 2, C F (x; y)dS = a F (x(t); y(t)) (x(t))2 + (y 0 (t))2 dt
R Rb p
Para n = 3, C F (x; y; z)dS = a F (x(t); y(t); z(t)) (x(t))2 + (y 0 (t))2 + (z (t))2 dt

R x2 y 2
Ejemplo 5.1.1 Calcular C
xydS, donde C es la elipse
+ =1
9 4
Una parametrización adecuada de la elipse es (t) = [3 cos t; 2sent] con 0 t 2


F ( (t)) = F (3 cos t; 2sent) = 6sent cos t
0
(t) = [ 3sent; 2 cos t] y k 0 (t)k = 6
R R2
luego C xydS = 0 36sent cos tdt
= 18sen2 tj2 = 0
0

Ejemplo 5.1.2 Si C es una curva plana parametrizada por medio de (T ) = [f (t); f p (t)]
R 5 2
con f (0) = 0, f (1) = 1 y f 0 (t) continua en [a:b]. Muestre que C (x + y 2 )dS =
6
cualquiera sea f
F ( (t)) = f (t) + f 2 (t)
0
(t) = [f 0 (t);q(t)]
f0
p
dS = 0 (t) = (f 0 (t))2 + (f 0 (t))2 dt = f 0 (t) 2dt
R R1 p
entonces C (x + y 2 )dS =!0 (f (t) + f 2 (t)) f 0 (t) 2dt
p (f (t))2 (f (t))3 1
= 2 + j0
2 3
p
p 1 1 5 2
= 2 + =
2 3 6

Propiedad 5.1.1 Propiedades de la integral de lÍnea de campos escalares
Sean F y G dos campos escalares de D Rn en R, continuos en D y C es una curva
regular de…nida en D y parametrizada por medio de ( :[a; b] ! Rn ).
R Rb
(i) Si a = (t0 ) y b = (tn ) son los extremos de C entonces C F (x)dS = a F (x)dS =
R tn
F ( (t)) k 0 (t)k dt
t0 R
(ii) Si C es una curva cerrada simple con (t0 ) = (tn ) entonces C F (x)dS =
H tn
F (x)dS
t0 R R R
(iii) Si C = C1 [ C2 [ ::: [ Cn , entonces C F (x)dS = C1 F (x)dS + C2 F (x)dS + ::: +
R
F (x)dS
Cn R
R (iv) Si y son dos parametrizaciones de C; en la misma direcciòn entonces C F (x)dS =
C
F (x)dS R R
R (v) Si k y l son números reales entonces C (kF (x) lG(x))dS = k C F (x)dS
l C G(x)dS
R R
Ejemplo 5.1.3 Suponga que C F (x)dS = 2 y C G(x)ds R 3 a lo largo de una curva C
=
n
parametrizada por medio de de [0; 1] en R . Determine C (F (x) + G(x)) dS a lo largo
de una curva parametrizada por medio de de [0; 1] en Rn si (t) = (1 t2 )
R R
CR
(F (x) + G(x))dS = C (F ( (t))+G( (t))) k 0 (t)k dt
00
= C (F ( (1 t2 )) + G( (1 t2 ))) (1 t2 )( 2t) dt
R 00
= C (F ( (1 t2 )) + G( (1 t2 ))) (1 t2 ) (2t)dt


Si u = 1 t2 entonces du = ( 2t)dt
R R0
luego C (F (x) + G(x))dS = 1 (F ( (u)) + G( (u))) k 0 (u)k du
R1
= 0
(F ( (u)) + G( (u))) k 0 (u)k du
R1 R1
= 0
F ( (u)) k 0 (u)k du + 0 (G( (u))) k 0 (u)k du
R R
= C
F (x)dS + C G(x))dS = (2 + 3) = 5

Utilizando integrales de línea de campos escalares se pueden realizar aplicaciones geo-
metricas como la longitud de arco y el área de una valla.
Si C es una curva regular regular a trozos de Rn parametrizada por medio de una
función inyectiva ( :[a; b] ! Rn ) entonces la longitud de arco S de C es igual a:
R Rb
S = C dS = a k 0 (t)k dt
Nota: Si no es inyectiva la integral determina la longitud total recorrida por un
objeto que sigue la trayectoria descrita por

Ejemplo 5.1.4 Hallar la longitud de la porción de hélice circular (t) = [cos t; sent; t]
para 0 t 4
Hallamos 0 (t) = [ sent; cos t; 1]
p
luego k 0 (t)k = 2
R4 p p
entonces S = 0 2dt = 4 2

Si F es un campo escalar de D R2 en R, continuo en D y sea C una curva regular
de R2 contenida en D y parametrizada por medio de ( : [a; b] ! R2 ) y F (x; y)
R 0
8(x; y) 2 C, entonces A = C F (x; y)dS determina el área de una super…cie de altura
F (x; y) y base C.

Ejemplo 5.1.5 Hallar el área debajo de la super…cie z = 2x y sobre la curva plana C
parametrizada por medio de (t) = [t4 ; t4 ] para 1 t 1
F ( (t)) = F (t4 ; t4 ) = t4
y 0 (t) = [4t3 ; 4tp
3
] p
luego k (t)k = 16t6 + 16t6 dt = 32t3
0

por simétria
R1 p
A = 2 0 t4 32t3 dt
p R1
= 2 32 0 t7 dt
p t8
= 2 32 j1 0
p 8
2 32 p
= = 2
8



1. Encuentre una parametrización de la curva dada.

a) y=x

b) (x 2)2 + y 2 = 4

c) y = x2 , y = 1

2. Calcular la integral de linea dada a lo largo de la curva C parametrizada por medio
de
R
a) C (2x + 3y)dS si (t) = [t 1; t + 1] con 0 t 1
R
b) C (x y)2 dS si (t) = [t3 ; t2 ] con 1 t 1
R
c) C xy 4 dS si (t) = [2Sent; 2Cost] con 0 t

3. Calcular la integral de linea dada a lo largo de la curva C.
R
a) C (x + y + z)dS si (t) = [t; 2t; 3t] con 0 t 1
R
b) C xyzdS si (t) = [2t; 3Sent; 3Cost] con 0 t
2
R z
c) C 2 dS si (t) = [Cost; Sent; t] con 0 t 2
x + y2
R
4. Calcular C (x2 + y 2 )dS a lo largo de la curva C.dada.

a) Segmento de recta que une a (0; 0) con (2; 3)
x2 y 2
b) Elipse + =1
4 9


c) Triángulo de vértices (0; 0), (1; 0) y (1; 1)
R
5. Calcular C
xyzdS a lo largo de la curva C dada.

a) Segmento que une a (1; 1; 1) con (2; 3; 4)
b) Intersección del plano x + 2y + 3z = 12 y los planos coordenados.
c) Intersección del plano z = 1 y la esfera x2 + y 2 + z 2 = 4
R
6. Suponga que C F (x)dS = k si C es una curva parametrizada por medio de :
R
[0; 1] ) R2 Determine C F (x)dS si C es una curva parametrizada por medio de
de la siguiente manera

a) (t) = (2 t) con t 2 [0; 1]
b) (t) = (3t) con t 2 [0; 1]
c) (t) = (Cost) con t 2 2
; 2

R R
7. Suponga que C
F (x)dS = k1 y C G(x)dS = k2 , si C es una curva parametrizada
por medio de : [0; 1] ) R2 . Utilizando la parametrización (t) = (1 t) determine:
R
a) C
(F (x; y) + G(x; y))dS
R
b) C
(2F (x; y) G(x; y))dS
R
c) C
(F (x; y) 2G(x; y))dS

8. Hallal la longitud de la curva dada C

a) y = x2 desde ( 1; 1) hasta (2; 4)
p p
b) x + y = 1
c) x2=3 + y 2=3 = 1

9. Hallar el área debajo de la super…cie dada sobre la curva C.

a) z = y y C es el segmento de recta que une (0; 0) con (1; 1)
b) z = xy y C es la porción de la parabola y = x2
c) z = x2 + y 2 y C es el circulo x2 + y 2 = 1

10. Utilizando un CAS gra…que varias vallas (super…cies sobre curvas)


5.2. Aplicaciones
A continuación, se explica como determinar la masa de un alambre no homogéneo
cuya forma es la de una curva C de R2 o R3 , donde la densidad varía en cada punto
(x; y) 2 C (o (x; y; z) 2 C). La densidad tiene unidades de masa por longitud de arco.
Para esta aplicación, considere que la función densidad es continua en la curva C.

Alambre Curva que representa el alambre
Si un alambre esta determinado por una curva regular C de R2 parametrizada por
medio de ( :[a; b] ! R2 ) y ademas su densidad en cada punto P = (x; y) esta determi-
R Rb
nada por (x; y), entonces la masa de C es igual a M = C (x; y)dS = a ( (t)) k 0 (t)k dt
De igual manera si el alambre esta determinado por una curva regular C de R3 parame-
trizada por medio de ( :[a; b] ! R3 ) y ademas su densidad en cada punto P = (x; y; z)
R Rb
esta determinada por (x; y; z), entonces la masa de C es igual a M = C (x; y; z)dS = a
( (t)) k 0 (t)k dt
Ejemplo 5.2.1 Considere un alambre de forma (t) = [cos(2 t); sen(2 t); t] con t 2
[ 1; 1] si su densidad en cada punto (x; y; z) está determinada por (x; y; z) = 1 z 2 ,
encuentre la masa del alambre.
Hallamos k 0 (t)k
0
(t) = [ 2 p
sen(2 t); 2 cos(2 t); 1]
0
y k (t)k = 1 + 4 2
por loRtanto p
1
M = 1 (1 t2 ) 1 + 4 2 dt
p R1
= 1 + 4 2 1 (1 t2 )dt
p t3 1
= 1+4 2 t j 1
3 p
p 2 4 1+4 2
= 1+4 2 2 =
3 3

MOMENTOS ESTÁTICOS DE CURVAS PLANAS
nada por (x; y), entonces el momento estático alrededor del eje x, denotado por Mx , se
R
obtiene como Mx = C y (x; y)dS


MientrasRque el momento estático alrededor del eje y, denotado por My , se calcula
como My = C x (x; y)dS
Las coordenadas (x; y) del centro de masa de un alambre determinado por una curva
regular C de R2 parametrizada por medio de ( :[a; b] ! R2 ) y ademas su densidad en
cada punto P = (x; y) esta determinada por (x; y), entonces
My 1 R Mx 1 R
x= = x (x; y)dS y= = y (x; y)dS
M m C M m C

MOMENTOS ESTÁTICOS DE CURVAS EN EL ESPACIO
medio de ( :[a; b] ! R3 ) y ademas su densidad en cada punto P = (x; y; z) esta
determinada por (x; y; z), entonces el momento estático alrededor del plano xy, denotado
R
por Mxy , se obtiene como Mxy = C z (x; y; z)dS
Mientras que el momento estático alrededor del plano yz, denotado por Myz , se calcula
R
como Myz = C x (x; y; z)dS
y elR momento estático alrededor del plano xz, denotado por Mxz , se calcula como
Mxz = C y (x; y; z)dS
Las coordenadas (x; y; z) del centro de masa de un alambre determinado por una curva
regular C de R3 parametrizada por medio de ( :[a; b] ! R3 ) y ademas su densidad en
cada punto P = (x; y; z) esta determinada por (x; y; z), entonces
Myz 1 R Mxz 1 R Mxy 1 R
x= = C
x (x; y)dS y= = C
y (x; y)dS z= = z (x; y)d
M m M m M m C

x si 0 x 1
Ejemplo 5.2.2 Un alambre tiene la forma de la curva y = , si la
2 x si 1 x 2
densidad en cada punto (x; y) està determinada por (x; y) = x + y encuentre el centro de
masas.
Si 0 Rx p la curva tiene la forma de y = x , por lo tanto
1 p R1 p p
1
M1 = 0 2t 2dt = 2 2 0 tdt = 2t2 = 2
Si 1 Rx p la curva tiene la forma de y = 2 x , por lo tanto
2 p R1 p p
2
M2 = 1 2 2dt = 2 2 0 dt = 2 2t1 = 2 20
Luego la masa es pigual ap p
M = M1 + M2 = 2 + 2 2 = 3 2
Ahora hallamos los primeros momentos respecto a los ejes coordenados
Respecto al eje X
R
Mx = C y (x; y)dS
R1 p R2 p
= 0 2t2 2dt + 1 (4 t2 ) 2dt
p R1 p R2
= 2 2 0 t2 dt + 2 1 (4 t2 )dt
p t3 1 p t3
2
=2 2 + 2 4t
p 30 3 1
2 2 p 8 1
= + 2 8 4+
3 3 3

p
2 2 p 7
= + 2 4
3 3
Respecto al eje Y
R
MY = C x (x; y)dS
R1 p R2 p
= 0 2t2 2dt + 1 2t 2dt
p
p R1 2 p R2 2 2 p
= 2 2 0 t dt + 2 2 1 tdt = + 2(4 1)
p p 3
2 2 p 11 2
= + 2=
3 3
Por lo tanto el centro de masas es igual a
MX MY 11 7
CM = (x,y) = , = ;
M M 9 9

MOMENTOS DE INERCIA DE CURVAS PLANAS
nada por (x; y), entonces el momento de inercia alrededor del eje x, denotado por Ix , se
R
obtiene como Ix = C y 2 (x; y)dS
Mientras que el momento de inercia alrededor del eje y, denotado por Iy , se obtiene
R
como Iy = C x2 (x; y)dS
El momento de inercia respecto a un eje L;si la distancia del eje L al punto (x; y) de
C es igual a (x; y)
R Rb
IL = C 2 (x; y) (x; y)dS = a 2 ( (t)) ( (t) k 0 (t)k dt

MOMENTOS DE INERCIA DE CURVAS EN EL ESPACIO
medio de ( :[a; b] ! R3 ) y ademas su densidad en cada punto P = (x; y; z) esta deter-
minada por (x; y; z), entoncesRel momento de inercia alrededor del plano xy, denotado
por Ixy , se obtiene como Ixy = C z 2 (x; y; z)dS
MientrasRque el momento de inercia alrededor del plano yz, denotado por Iyz , se obtiene
como Iyz = C x2 (x; y; z)dS
y el momento de inercia alrededor del plano xz, denotado por Ixz , se obtiene como
R
Ixz = C y 2 (x; y; z)dS
El momento de inercia respecto a un eje L;si la distancia del eje L al punto (x; y; z) de
C es igual a (x; y; z)
R Rb
IL = C 2 (x; y; z) (x; y; z)dS = a 2 ( (t)) ( (t) k 0 (t)k dt

Para un campo escalar F de Rn en R integrable en una curva C de Rn , el valor promedio
es la integral sobre C dividida entre la longitud de C.
Si F es un campo escalar de D Rn en R de…nido y acotado en una curva regular
C de Rn contenida en D y parametrizada por medio de ( :[a; b] ! Rn ), entonces existe
a 2 C tal que

R
F (x)dS
C
F (a) =
Longitud(C)

Ejercicios secciòn 5.2.

1. Halle la masa del alambre determinado por la curva dada C.

a) C: x2 + y 2 = 1 con densidad (x; y) = x + y
b) C: y = x2 , para 1 x 2 con densidad (x; y) = xy
c) C: triangulo de vèrtices en (0; 0), (1; 0) y (0;1), con densidad (x; y) = k

2. Halle la masa del alambre determinado por la curva dada C.

a) C: Intersecciòn entre el plano z = 1 y z = x2 + y 2 , con densidad (x; y; z) = z
b) C: Intersecciòn entre el cilindro x2 + y 2 = 4 y el plano x + z = 4, con densidad
(x; y; z) = y
c) C: intersecciòn entre la esfera x2 + y 2 + z 2 = 1 y el plano x + y + z = 0, con
densidad (x; y) = x2

3. Halle el centro de masas del alambre determinado por la curva dada C.

a) C : x2 + y 2 = 1; y 0 si la densidad en cada punto (x; y) es igual a jxj + jyj
b) C : x2 + y 2 = 1 ; y 0 si la densidad en cada punto es proporcional a la
distancia a la recta y = 1
c) C : jxj + jyj = 1 si es homogéneo

4. Halle el centro de masas del alambre determinado por la curva dada C.
p
a) C : Intersecciòn entre el cono z = x2 + y 2 y el plano z = 2, con densidad
(x; y; z) = x2 + y 2
b) C: Intersecciòn entre el cilindro x2 + y 2 = 1 y la esfera x2 + y 2 + z 2 = 1, para
z > 0, con densidad (x; y; z) = x2 + y 2 + z 2
c) C: Intersección entre la esfera x2 + y 2 + z 2 = 1 y el plano x + y + z = 1 ; con
densidad (x; y; z) = z

5. Halle el momento de inercia del alambre del ejercicio:

a) 1.a respecto al eje x
b) 1.b respecto al eje y
c) 1.c. respecto a el origen


6. Halle el momento de inercia del alambre del ejercicio:

a) 2.a respecto al plano xy
b) 2.b. respecto al plano xz
c) 2.c. respecto al plano yz

7. Hallar el valor promedio del campo escalar dado a lo largo de la curva C

a) F (x; y) = x + y y C es el segmento que une a (0; 0) con (1; 2)
b) F (x; y) = xy y C es la porciòn de curva y = senx para 0 x
c) F (x; y; z) = x2 + y 2 + z 2 y C es la hèlice (t) = [cos t; sent; t]

8. Utilizando un CAS encuentre el centro de masas de un alambre determinado por
una curva plana.

5.3. Integral de lìnea de campos vectoriales.
Si F es un campo vectorial de D Rn en Rn , continuo en D y sea C una curva regular
de Rn contenida R D y parametrizada por medio de ( :[a; b] ! Rn ), entonces
R en
0
C
F(x)d = C F( (t)) (t)dt

R Rb
Notación 5 Para n = 2, C
F(x; y)d = a
F(x(t); y(t))(x(t); y (t))dt

R Rb
Para n = 3, C
F(x; y; z)d = a
F(x(t); y(t); z(t))(x(t); y (t); z (t))dt

Aplicando la regla de Barrow 2 si g(t) = F( (t)) 0
(t),
R 0
Rb
C
F( (t)) (t)dt = a g(t)dt = G(b) G(a)
2

Isaac Barrow (Londres, 1630 - id., 4 de mayo,1677) fue un teólogo, profesor y
matemático inglés al que históricamente se le ha dado menos mérito en su papel en
el desarrollo del cálculo moderno. Fue profesor de matemáticas en la Universidad
de Cambridge hasta 1669, en que abandonó la cátedra para dedicarse a la enseñanza
de la teología.En concreto, en su trabajo respecto a la tangente; por ejemplo, Barrow
es famoso por haber sido el primero en calcular las tangentes en la curva de Kappa.
Isaac Newton fue discípulo de Barrow. Sus trabajos son fundamento del cálculo
in…nitesimal. Enunció la relación recíproca entre la diferencial y la integral, y editó
diversas obras de antiguos matemáticos.

5.3. INTEGRAL DE LÌNEA DE CAMPOS VECTORIALES. 217

Propiedad 5.3.1 Si F y G son campos vectoriales de D Rn en Rn , continuos en
D y si C es una curva regular de Rn contenida en D y parametrizada por medio de
( : [a; b] ! Rn ), entonces
R Rb
(i) Si a = (t0 ) y b = (tn ) son los extremos de C entonces C F(x)d = a F(x)d =
R tn
F( (t)) 0 (t)dt
t0 R
(ii) Si C es una curva cerrada simple con (t0 ) = (tn ) entonces C F(x)d =
Hb
a
F(x)d R R R
(iii) Si C = C1 [ C2 [ ::: [ Cn , entonces C F(x)d = C1 F(x)d + C2 F(x)d + ::: +
R
F(x)d
Cn R
R (iv) Si y son dos parametrizaciones de C; en la misma direcciòn entonces C F(x)d =
C
F(x)d R R
R (v) Si k y l son números reales entonces C (kF(x) lG(x))d = k C F(x)d
l C G(x)d
(vi) Si F(x) = [F1 (x); F2 (x); :::; Fn (x)] y d = [d 1 ; d 2 ; :::; d n ] entonces
R PR
n R
C
F(x)d = C
Fi (x)d i = C F1 (x)d 1 + F2 (x)d 2 + ::: + Fn (x)d n
i=1
R
Ejemplo 5.3.1 Calcular la integral de lìnea C [x; y] d , a lo largo de la curva C deter-
minada por x2=3 + y 2=3 = 1
Parametrizamos la curva C de la siguiente forma
x = cos3 t, y = sen3 t con 0 t 2 (hipocicloide)
luego (t) = [cos3 t; sen3 t]
y 0 (t) = [ 3 cos2 tsent; 3sen2 t cos t]
entonces
R R2
F(x)d = 0 (Cos3 t; Sen3 t) ( 3Cos2 tSent; 3Sen2 tCost) dt
CR
2
= 0 ( 3Cos5 tsent + 3Sen5 t cos t) dt
2
cos6 t sen6 t
= + =0
2 2 0


R
a) C (x + y; x y) d , si C està determinada por (t) = [aCost; bSent] con 0
t 2
R
b) C (x; y + 2) d , si C està determinada por (t) = [t Sent; 1 Cost] con
0 t 2
R
c) C (x y; x2 y 3 ) d , si C està determinada por (t) = [t; atb ] con 0 t 1; a >
0; b > 0


R
a) C
(x; y; z) d , si C està determinada por (t) = [t; t2 ; t3 ] con 0 t 2
R
b) C
(xy; y + z; x) d , si C està determinada por (t) = [et ; e t ; e2t ] con 0 t 1

R
a) C
xydy, si C està determinada por (t) = [t; t2 ] con 0 t 1
R
b) (x + y)dz, si C està determinada por (t) = [cos t; sent; t] con 0 t 2
RC
c) C
zdx + xdy + ydz, si C està determinada por (t) = [t3 ; t2 ; t] con 0 t 1

R
a) [x2 2xy; y 2 2xy] d , si C està determinada por y = x2 desde ( 1; 1) hasta
C
(2; 4)
R
b) C [x + y; x y] d , si C està determinada por jxj + jyj = 1
R
c) C [y; x] d , si C està determinada por el triàngulo de vèrtices (0; 0), (1; 0) y
(1; 1)

R
a) [2xy; 3yz; 4xz] d , si C està determinada por el segmento de recta desde
C
(1; 0; 2) hasta (3; 4; 1)
R
b) C [x; y; z] d , si C està determinada por la curva intersecciòn entre el cilindro
x2 + z 2 = 1 y el plano x + y = 1
R
c) C [y; z; x] d , si C està determinada por la curva intersecciòn entre la esfera
x2 + y 2 + z 2 = 2(x + y) y el plano x + y = 2

6. Con las grà…cas del campo vectorial F y de la curva C, determine si la integral de
lìnea de F sobre C es positiva, negativa o cero.

a) F(x; y) = [x y; x + y] y C esta determinada por x2 + y 2 = 4
x
b) F(x; y) = xy; y C esta determinada por y = senx para 0 x
y
" #
x y
c) F(x; y) = p ;p y C esta determinada por x = y para 1
x2 + y 2 x2 + y 2
y 5 OJO

7. Utilizando un CAS gra…que un campo vectorial F y una curva C, para estimar el
signo de la integral de lìnea.

5.4. TRABAJO, FLUJO Y CIRCULACIÓN. 219

5.4. Trabajo, ‡ujo y circulación.
Algunas aplicaciones …sicas estan determinadas por vectores, por ejemplo el trabajo
realizado por el campo de fuerzas F para mover una particula a lo largo de una curva C
de Rn regular a trozos y parametrizada por medio de esta determinado por
R Rb 0
(t) Rb 0
W = C F(x) TdS = a F( (t)) 0 (t)k
dt = a F( (t)) (t)dt
k
0
(t)
donde T(t)= 0 es un vector tangente unitario a C que representa la dirección en
k (t)k
la cual se aplica la fuerza. 3

Ejemplo 5.4.1 Demuestre que el trabajo efectuado por el campo de fuerzas F(x; y)) =
(y; x) para mover una particula desde (0; 0) hasta (1; 1) sobre cuaquier trayectoria de la
forma (t) = [tn ; t], siempre es igual a 1.
(t) = [tn ; t] y 0 (t) = [ntn 1 ; 1]
F( (t)) = (tn ; t)
R1
W = 0 (tn ; t) [1; ntn 1 ]dt
R1 R1
= 0 (tn + ntn ) dt = 0 (n + 1)tn dt
= tn+1 j1 = 1
0

Tambien se pueden usar integrales de línea para determina la razón a la que un ‡ uido
‡uye a traves de una curva.
Suponga que una región del plano ol del espacio esta ocupada por un ‡ uido en movimien-
to y que en algun instante de tiempo una particula tiene una velocidad V, si consideramos
todos los puntos (particulas) y la velocidad en caca punto, tendremos un campo de veloci-
dades
En vez de ser un campo de fuerza, podemos suponer que F representa el campo de
velocidades de un ‡ uido que corre a lo largo de una curva.
El ‡ a lo largo de una curva C de Rn regular a trozos y parametrizada por medio
ujo
de , realizado por el campoRde velocidades F de un ‡
R R b uido esta determinado por
b 0 (t)
0
Flujo= C F(x) TdS = a F( (t)) k 0 (t)k dt = a F( (t)) (t)dt
Nota: Si la curva es cerrada el ‡ se denomina circulación.
ujo
3

Michael Faraday, FRS, (Newington, 22 de septiembre de 1791 - Londres, 25
de agosto de 1867) fue un físico y químico británico que estudió el electromag-
netismo y la electroquímica. En 1831 trazó el campo magnético alrededor de un
conductor por el que circula una corriente eléctrica, ya descubierto por Oersted,
y ese mismo año descubrió la inducción electromagnética, demostró la inducción
de una corriente eléctrica por otra, e introdujo el concepto de líneas de fuerza,
para representar los campos magnéticos. Durante este mismo periodo, investigó
sobre la electrólisis y descubrió las dos leyes fundamentales que llevan su nombre:


Ejemplo 5.4.2 El campo de velocidades de un ‡uido es F(x; y; z) = (x; y; z): Encuentre
el ‡ujo a lo largo de la hélice circular (t) = (Cost; Sent; t) con 0 t 2
0(t) = [ Sent; Cost; 1]
F( (t)) = (Cost; Sent; t)
R2
F lujo = 0 (Cost; Sent; t) [ Sent; Cost; 1]dt
R2 22
= 0 tdt = t2 0 = 2 2

Si C es una curva cerrada suave en el dominio de un campo vectorial continuo F (x; y) =
M (x; y)i + N (x; y)j en el plano y n es un vector normal a C, el ‡ de FRa traves de C
R ujo
es igual a Flujo= C F ndS y la circulación de F a traves de C es igual a C F T dS


1. Calcule el trabajo realizado por el campo de fuerzas dado, para mover una particula
a lo largo de la curva C dada.

a) F(x; y) = [ x; y] C : y=x2 desde (0; 0) hasta (2; 4)
b) F(x; y) = [x2 ; y2] C : x2=3 + y 2=3 = 1 desde (1; 0) hasta (0; 1)
y x
c) F(x; y) = ; 2 C es el circulo x2 +y 2 = a2 en sentido contrario
x2 + y 2 x + y 2
a las manecillas del reloj.

2. Calcule el trabajo realizado por el campo de fuerzas dado, para mover una particula
a lo largo de la curva C dada.

a) F(x; y; z) = [xy 3 + yz; x2 y 2 + xz; xy] C es la curva parametrizada por medio de
(t) = [ta ; tb ; tc ] a; b y c naturales con 0 t 1
b) F(x; y; z) = [x2 ; y 2 ; z 2 ] C es la curva intersección entre la esfera x2 +y 2 +z 2 = a2
y el cilindro x2 + y 2 = ay
c) F(x; y) = [yz; xz; xy] C es el triàngulo de vértices (0; 0; 0); (1; 1; 1) y ( 1; 1; 1)
en ese orden

3. Si F es un campo de velocidades de un ‡uido, halle el ‡ a lo largo de la curva
ujo
dada.

a) F(x; y) = (x y; y x) C es el circulo unitario.
b) F(x; y) = (3xy; 1) C es la elipse 4x2 + 9y 2 = 36
c) F(x; y) = (Cost; Sent) C es el segmento de recta que une (1; 1) con (2; 4)

4. Halle la circulación de los campos de velocidades del numeral 4.

5.5. TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO PARA INTEGRALES DE LÌNEA.221

5. Si F es un campo de velocidades de un ‡uido, halle el ‡ a lo largo de la curva
ujo
dada.

a) F(x; y; z) = (2x; 3y; 4z) C es la curva parametrizada por medio de (t) =
(t; t2 ; t3 ) con 0 t 1
b) F(x; y; z) = (x; y; z) C es la curva intersección entre la esfera unitaria y el
plano x + y + z = 1
c) F(x; y; z)

6. Suponga que una curva regular C está determinada por (t) = [t; f (t)] para a
t b. Existe alguna relación entre el trabajo realizado por el campo de fuerzas
F(x; y) = yi para mover una particula a lo largo de C y el área debajo de la curva
C.
7. Utilizando un CAS gra…que un campo de fuerzas y una curva C, luego determine si
el trabajo es positivo, negativo o cero.

5.5. Teorema fundamental del cálculo para integrales
de lìnea.
En esta sección consideraremos campos vectoriales conservativos cuya integral depende
de los extremos de la trayectoria y no del camino que los une. Ademas comprobaremos
que un campo vectorial es conservativo si es el gradiente de un campo escalar.

Se dice que una curva C de Rn es recti…cable si es suave a trozos y de longitud …nita.
Se dice que un conjunto S de Rn abierto es un conjunto conexo si todo par de puntos
a y b de S, se pueden unir por un camino regular a trozos contenido en S

a
Conexo Conexo No conexo

Si C es una curva recti…cable de extremos a y R contenida en un conjunto conexo S
b
y F un campo vectorial continuo en S, se dice que C F(x)d es independiente de C si la
integral solo depende de a y b, y no de C.
Si un campo vectorial F es el gradiente de un campo escalar , entonces es llamado
potencial y F es llamado campo conservativo.


Teorema 5.5.1 Si es un campo escalar de Rn en R diferenciable en un conjunto conexo
abierto S de Rn , entonces para dos puntos cualesquiera a y b unidos por una curva regular
R
a trozos C contenida en S; se tiene que C r d = (b) (a)

Demostración. Sean a y b dos puntos de S que unen un camino regular a trozos C S
parametrizado por medio de de [t0 ; tn ] en Rn
aplicando la regla de la cadena para campos escalares
si g(t) = ( (t))
g(tn ) = ( (tn )) = (b)
y g(t0 ) = ( (t0 )) = (a)
entonces g 0 (t) = r ( (t)) 0
(t)
luego
R Rt 0
r d = t0n r ( (t))
CR
(t)dt
tn 0 tn
= t0 g (t)dt = g(t)jt0
= g(tn ) g(t0 ) = (b) (a)

Como consecuencia del teorema la integral de línea de un gradiente es independiene de
la trayectoria.
El siguiente teorema determina las condiciones necesarias y su…cientes para que un
campo vectorial sea un gradiente.

Teorema 5.5.2 Si F es un campo vectorial continuo en un conjunto conexo abierto S de
Rn , entonces las siguientes a…rmaciones son equivalentes.
(i) F es el gradiente de una función potencial en S
(ii) La integral de linea de F es independiente de la trayectoria en S
(iii) La integral de F a lo largo de una curva cerrada regular a trozos C contenida en
S es nula

Demostración. Basta demostrar que
(i) ) (ii), (ii) ) (iii), (iii) ) (ii) y (ii) ) (i)
ya que (i) ) (ii) ^ (ii) ) (iii) es equivalente a (i) ) (iii)
y que (iii) ) (ii) ^ (ii) ) (i) es equivalente a (iii) ) (i)
veamos que (i) ) (ii)
supongamos que F=r entonces por el teorema 1.
R R
C
F(x)d = C r d = (b) (a)
lo cual nos dice que no importa cual sea el camino que une a con b
por lo tanto es independiente de la trayectoria que une a con b
veamos ahoraRque (ii) ) (iii)
R R R R
C
F(x)d = C1 F(x)d + C2 F(x)d = C1 F(x)d C2
F(x)d = 0
por lo tanto la integral de linea a lo largo de una curva cerrada regular a trozos C
contenida en S es nula
veamos que (iii) ) (ii)
R R R R
C
F(x)d = C1 [C2 F(x)d = C1 F(x)d + C2 F(x)d

R R
= C1 F(x)d F(x)d
R C2 R
entonces C1 F(x)d = C2 F(x)d
R
por lo tanto C F(x)d depende solo de los extremos de C
(ii) ) (i)
Se deja como ejercicio al lector.

El contarreciproco del siguiente teorema de condiciones necesarias nos puede servir
para determinar cuando un campo vectorial no es un gradiente.

Teorema 5.5.3 Si F es un campo vectorial diferenciable en un conjunto conexo abierto
S de Rn y ademas si F es el gradiente de un campo escalar en S, entonces las derivadas
@Fi @Fj
parciales de las componentes de F satisfacen las ecuaciones (x) = (x) para
@xj @xi
i; j = 1; 2; :::; n y 8 x 2 S

Demostración. Sea F(x) = [F1 (x); F2 (x); :::; Fn (x)]
donde Fi (x) 8i = 1; 2; :::; n son campos escalares de Rn en R
ademas F(x) = r (x)
@
es decir (x) = Fi (x) 8x 2 S y 8i = 1; 2; :::; n
@xi
Derivando respecto a xj (con xj 6= xi )
@2 @Fi
(x) = (x) y visceversa
@xj @xi @xj
@2 @Fj
(x) = (x)
@xi @xj @xi
@2 @2
y como es diferenciable (x) = (x)
@xj @xi @xi @xj
@Fi @Fj
entonces (x) = (x)
@xj @xi

Ejemplo 5.5.1 Determinar si el campo vectorial F(x; y) = [2xey + y; x2 ey x] es o no
un gradiente.
Veamos que F1 (x; y) = 2xey + y
y F2 (x; y) = x2 ey x

@F1
(x; y) = 2xey + 1
@y
@F2
(x; y) = 2xey 1
@x
@F1 @F2
como (x; y) 6= (x; y)
@y @x
F no es un gradiente


y x
Ejemplo 5.5.2 Determinar si el campo vectorial F(x; y) = ; 2 es o no un
x2 + y 2 x + y 2
gradiente.
@F1 @F2 y 2 x2
Aunque (x; y) = (x; y) = 2
@y @x (x + y 2 )2
no podemos a…rmar que F sea un gradiente
calculamos la integral de F a lo largo de una curva cerrada
C: x2 + y 2 = 1
0
R (t) = [cos t; sent] y (t) = [ sent; cos t] con 0 t 2
2
0R
( sent; cos t)( sent; cos t)dt
2
= 0 (sen2 t + cos2 t)dt
R2
= 0 dt = 2
es diferente de cero.
entonces F no es un gradiente.

El reciproco del teorema anterior es válido sólo si la región S es simplemente conexa.
Una región S es simplemente conexa si S es conexa y toda curva simple cerrada en S es
la frontera de una región de puntos de S.

Diferentes tipos de curvas.

simple abierta no simple abierta simple cerrada no simple cerrada
Las curvas cerradas simples planas tambien se denominan curvas de Jordan4 .
4

Camille Jordan (Lyon 1838 - París 1922) Fue un matemático francés conocido
tanto por su trabajo, fundamental, sobre la teoría de los grupos como por su in-
‡uyente Curso de análisis (Cours d’ analyse). Jordan estudió en la Escuela Politéc-
nica (promoción 1855). Fue ingeniero de minas y, más tarde ejerció como exami-
nador en la misma escuela. En 1876 entró como profesor en el Colegio de Francia,
sustituyendo a Joseph Liouville. Su nombre se asocia a un determinado número de
resultados fundamentales: El teorema de la curva de Jordan: un resultado topológi-
co recogido en análisis complejo. La forma normal de Jordan en álgebra lineal. El
teorema de Jordan-Holder, que es el resultado básico de unas series de composi-
ciones. El trabajo de Jordan incidió de manera sustancial en la introducción de la
teoría de Galois en la corriente del pensamiento mayoritario. Investigó también los
grupos de Mathieu, los primeros ejemplos de grupos esporádicos. Su Tratado de las sustituciones (Traité
des substitutions) sobre las permutaciones de grupos fue publicado en 1870. El 4 de abril de 1881 fue
elegido miembro de la Academia de la Ciencia. De 1885 a 1921 dirige la « Revista de matemáticas puras
y aplicadas» (Journal de mathèmatiques pures et apliqués), fundado por Liouville.


Teorema 5.5.4 Si F es un campo vectorial diferenciable en un conjunto conexo abierto
@Fi
S de Rn y ademas Fi para i = 1; 2; :::; n tiene derivadas parciales continuas y (x) =
@xj
@Fj
(x) 8 x 2 S entonces F es un gradiente.
@xi
Corolario 5.5.1 Si es un campo escalar diferenciable en un conjunto conexo abierto S
Rx
de Rn , tal que r = 0 entonces a r d = 0

Demostración. Sea a 2S
y una parametrización de una curva contenida en S
que une a con x
utilizando el teorema 1
Rx
(x) r (a) = a r (x)d
pero como r (x) = 0
Rx
entonces a r (x)d = 0
(x) r (a) = 0
luego (x) = r (a)

Propiedad 5.5.1 Método para construir un potencial.
Si el campo vectorial F de Rn en Rn es el gradiente de un campo escalar de Rn en R,
R
entonces (x) = Fi (x)dxi + Ai (y) 8i = 1; 2; :::; n ; x 2 Rn , y 2 Rn 1 , siendo Ai (y)
el resto que depende de las otras variables diferentes de xi

R
Ejemplo 5.5.3 Calcular C [2xy 3 + yz; 3x2 y 2 + xz; xy] d , si C es la curva intersección
entre las esferas x2 + y 2 + z 2 = a2 y x2 + y 2 + (z a)2 = a2 .
La curva intersección entre las esferas es una curva cerrada
veamos ahora si F = (F1 ; F2 ; F3 ) es un gradiente
F1 (x; y; z) = 2xy 3 + yz, F2 (x; y; z) = 3x2 y 2 + xz, F3 (x; y; z) = xy
entonces
@F1 @F2
(x; y; z) = (x; y; z) = 6xy 2 + z
@y @x
@F1 @F3
(x; y; z) = (x; y; z) = y
@z @x
@F2 @F3
(x; y; z) = (x; y; z) = x
@z @y
vemos que F es un gradiente y es continuo en cualquier región de R3
como la curva C es cerrada
R
C
(2xy 3 + yz; 3x2 y 2 + xz; xy)d = 0
R (e;1)
Ejemplo 5.5.4 Calcular la integral de linea (1;0) [Lnx + 2y; ey + 2x]d
Veamos si F(x; y) = [Lnx + 2y; ey + 2x] es un gradiente
F1 (x; y) = Lnx + 2y y F2 (x; y) = ey + 2x


@F1 @F2
(x; y) = 2 y (x; y) = 2
@y @x
consideremos un conjunto conexo en el que x > 0
entonces F es un gradiente
construimos el potencial
R
(x; y) = RC (Lnx + 2y)dx + A(y) = xLnx x + 2xy + A(y)
(x; y) = C (ey + 2x)dy + A(x) = ey + 2xy + A(x)
Luego (x; y) = xLnx x + 2xy + ey + k entonces
R
C
(Lnx + 2y)dx + (ey + 2x)dy = (e; 1) (1; 0) = 3e


1. En la …gura se ve una curva C y un conjunto de curvas de nivel de un campo escalar
R
cuyo gradiente es continuo. Calcule C r (x; y)d

2. La siguiente tabla determina unos valores de un campo escalar
R con gradiente
continuo. Determine C r (x; y)d donde C está determinada por (t) = [t2 + 1; 2t]
con 0 t 2

xny 0 2 4
0 1 5 3
4 4 7 5
6 8 5 9

3. Determine si el campo vectorial F es conservativo o no, si lo es halle su correspondi-
ente función potencial.

a) F(x; y) = [1 + 4x3 y 3 ; 3x4 y 2 ]
b) F(x; y) = [yCosx + Seny + 1; Senx + xCosy + 1]


c) F(x; y) = [ex Seny + 1; ex Cosy + 1]

4. Determine si el campo vectorial F es conservativo o no, si lo es halle su correspondi-
ente función potencial.

a) F(x; y; z) = [x2 y; xz 2 ; zy 2 ]
b) F(x; y; z) = [ey+2z ; xey+2z ; 2xey+2z ]
c) F(x; y; z) = [y 2 cos z; 2xy cos z; xy 2 senz]

5. Demuestre que la integral de línea es independiente de la trayectoria y evalue la
integral.

R (3;2)
a) ( 1;1)
[x + y; x + y] d
R (2 ;0)
b) (0;0)
[ln x + 2y; ex + 2x] d
R (4;1;2 ) ex
c) (2;1=3; )
ex ln y; + senz; y cos z d
y

6. Hallar el trabajo realizado por el campo de fuerzas F para mover una particula desde
P hasta Q.

2x x2
a) F(x; y) = ; , P ( 1; 1) y Q (3; 2)
y y2
b) F(x; y) = [e y ; xe y ], P (0; 0) y Q(1; 2)
c) F(x; y; z) = [z 3 + 2xy; x2 ; 3xz 2 ], P (1; 1; 1) y Q(1; 2; 4)

7. Si y son potenciales de un campo vectorial F de Rn en Rn , demuestre que
es constante en un conjunto S de Rn .

8. Si y son potenciales de Rn en R, es potencial de Rn en R ? Justi…que su
respuesta.

9. Si F y G son campos conservativos de Rn en Rn , es F G campo conservativo de
Rn en Rn ? Justi…que su respuesta.
R
10. Utilizando un CAS determine el valor de C
r (x; y)d a partir de algunas curvas
de nivel.de y de una curva C.


5.6. Teorema de Green
El teorema de Green5 es uno de los teoremas básicos del analisis vectorial que rela-
ciona una integral de línea a lo largo de una curva plana cerrada con una integral doble
en una región encerrada por la curva plana, y visceversa. El teorema de Green permite
facilitar el cálculo de algunas integrales de línea (o de integrales dobles) transformándolas
en integrales dobles (o en integrales de línea).

Teorema 5.6.1 Si C es una curva regular a trozos cerrada y simple, que encierra una
región de R2 y si F(x; y) es un campo vectorial de R2 en R2 diferenciable en una bola
H R R @F2 @F1
abierta B de R2 que contiene a , entonces C F(x; y)d = dA
@x @y

Demostración. Como F(x; y) = [F1H y); F2 (x; y)] Basta demostrar que
H R R @F1 (x; R R
F (x; y)dx =
C 1 R @y
dA y C F2 (x; y)dy = R @F2 dA
@x
Si esta determinada por una región tipo 1 (capitulo 4)

= f(x; y)ja x b; ^; g1 (x) y g2 (x)g donde g1 y g2 son funciones continuas
en [a; b]
R R @F1 R b R g (x) @F1
entonces dA = a g12(x) dydx
Rb @y @y
g (x)
= a F1 (x; y)jg2 (x) dx
Rb 1

= a (F1 (x; g2 (x)) F1 (x; g1 (x))) dx
Ra Rb
= Rb F1 (x; g2 (x))dxR a F1 (x; g1 (x))dx H
= C2
F1 (x; y)dx C1
F1 (x; y)dx = F (x; y)dx
C 1

5

George Green (julio de 1793, 31 de mayo de 1841) fue un matemático británico
cuyo trabajo in‡uenció notablemente el desarrollo de importantes conceptos en
física. Entre sus obras más famosas se cita: Ün análisis de las aplicaciones del
análisis matemático a las teorías de la electricidad y el magnetismo"publicado
en 1828. En este ensayo se introdujeron los conceptos de funciones de poten-
cial utilizados comúnmente en la formulación matemática de la física. También
aparecieron en este ensayo las funciones de Green y aplicaciones importantes del
teorema de Green.

5.6. TEOREMA DE GREEN 229

De igual forma se demuestra la otra igualdad.
Queda a cargo del lector.

Ejemplo 5.6.1 Veri…car el teorema de Green para F(x; y) = [2xy x2 ; x + y 2 ] sobre la
región acotada por las curvas y = x2 , x = y 2 .
Si C es la frontera de , limitada por las curvas C1 : y = x2 y C2 : x = y 2

las cuales se cortan en (0; 0) y (1; 1)
entonces parametrizando C1 con 1 (t)
2
1 (t) = [t; t ] con 0 t 1 y ’ (t) = [1; 2t]
1
H R1 3
luego C1 F(x; y)d = 0 [2t t ; t + t4 ][1; 2t]dt
2
R1 3
= 0 (2t + t2 + 2t5 )dt
t4 t3 t6 1 1 1 1 2 7
= + + j1 = + + = + = 0
4 3 6 2 3 3 2 3 6
Parametrizamos ahora C2 con 2 (t) h i
p 1
2 (t) = [t; t] con 1 t 0 y ’ (t) = 1; 2 t
2 p

H R0 1
luego C2 F(x; y)d = 1 [2t3=2 t2 ; t + t] 1; p dt
R 0 3=2 2 t
2 1=2
= 1 (2t t + t )dt
5=2 3
4t t 2t3=2 0 4 1 2 4 1 17
= + j1 = + = =
5 3 3 5 3 3 5 3 15
Por lo tanto
H 7 17 1
C
F(x; y)d = =
6 15 30
Calculamos ahora la integral doble sobre
R R @F2 @F1
dA
@x @y
@F2 @F1
tal que =1y = 2x
@x @y
R R R 1 R px
luego (1 2x) dA = 0 x2 (1 2x)dydx
R1 p
x
= 0 (y 2xy)jx2 dx
R1 p
= 0 ( x 2x3=2 x2 + 2x3 )dx


2x3=2 4x5=2 x3 x4 1
= + j0
3 5 3 2
2 4 1 1 1 4 1 1
= + = + =
3 5 3 2 3 5 2 30

El Teorema de Green se puede extender a regiones con huecos, cuya frontera esté
formada por más de una curva cerrada simple.

Teorema 5.6.2 Sean C, C1 , C2 ,...,Ck ; son curvas regular a trozos disyuntas dos a dos y
orientadas positivamente (sentido antihorario) que determinan una región de frontera
C, con huecos Ck de R2 . Si F(x; y) es un campo vectorial de R2 en R2 diferenciable en ,
H PkR R R @F2 @F1
entonces C F(x; y)d Ci
F(x; y)d = dA
i=1 @x @y

Notación 6 Veamos que en el enunciado del teorema hemos supuesto que todas las curvas
tienen orientación antihoraria y por eso, en la igualdad las integrales sobre las curvas
interiores se restan en lugar de sumarse.

Una aplicación del teorema de Green es el calculoRde áreas, como vimos en el capitulo
R
4 el área de la región está determinada por A = dA, utilizando el teorema de Green
podemos transformar esta integral doble en una integral de línea sobre la frontera C de
@F2 @F1
sin más que elegir funciones F1 , F2 tales que: = 1.
@x @y
Hay muchas opciones, como: F1 (x; y) = 0, F2 (x; y) = x; F1 (x; y) = y, F2 (x; y) = 0;
y x
F1 (x; y) = , F2 (x; y) = ; etc.
2 2 R R
Por lo que obtenemos las siguientes expresiones para el área: A = C xdy = C
ydx =
1R
xdy ydx
2 C

Corolario 5.6.1 Si la frontera de una región en el plano XY es una curva H regular
H C
aHtrozos y cerrada simple, entonces el área de R es igual a A = C xdy = C
ydx =
1
2 C
xdy ydx


Demostración. Si F1 (x; y) = 0 entonces F2 (x; y) = x
Si F2 (x; y) = 0 entonces F1 (x; y) = y
y x
Luego si F1 (x; y) = y F2 (x; y) = entonces
2 2
H H 1H
A = C xdy = C
ydx = xdy ydx
2 C
Aplicando el teorema de Green
1H 1R R R R
A= C
xdy ydx = (1 + 1)dydx = dydx
2 2
Ejemplo 5.6.2 Calcular el área de la región encerrada por la hipocicloide x2=3 +y 2=3 = a2=3
(a > 0).

Utilizando la parametrización
x = a cos3 t, y = asen3 t, con 0 t 2
dx = 3a cos2 tsent, dy = 3asen2 t cos t
1 R2
A= [(a cos3 t)(3asen2 t cos t) (asen3 t)( 3a cos2 tsent)] dt
2 0
3 R2
= a2 0 sen2 t cos2 tdt
2
3 R2
= a2 0 sen2 (2t)dt
2
3 R 2 1 cos(4t)
= a2 0 dt
8 2
3 R2
= a2 0 (1 cos s(4t))dt
16
3 2
= a
8

1. Comprobar el teorema de Green del campo vectorial F dado, sobre la región

a) F(x; y) = [3x2 y; x3 ] si es la región acotada por las curvas y = x2 y y = 1
p
b) F(x; y) = [xy; xy] si es la región acotada por y = 4 x2 y y = 0
c) F(x; y) = [x + 2y; x 2y] si es la región acotada por las curvas y = x2 y y = x.

2. Comprobar el teorema de Green del campo vectorial F dado, sobre la región


a) F(x; y) = [xy; x2 ] si es la región acotada por el triángulo de vértices (0; 0); (1; 0)
y (1; 1)
b) F(x; y) = [x; x2 y 2 ] si es la región acotada por el cuadrado de vértices
(0; 0); (1; 0); (1; 1) y (0; 1).
c) F(x; y) = [xy 2 ; x2 y] si es la región poligonal de vértices (0; 0); (4; 0); (3; 1) y
(1; 1).

3. Utilice el teorema de Green para evaluar la integral dada.
H
a) C (y + ex ; 2x + Cosy 2 )d si C es la curva determinada por y = x2 y x = y 2
H
b) C (y 2 ArcT anx; 3x + Seny)d si C es la curva determinada por y = x2 y
y=4
H x2 y 2
c) C (x4 3y; 2y 3 + 4x)d si C es la curva determinada por + =1
9 4
4. Utilice el teorema de Green para evaluar la integral dada.
H
a) C (x y; x + y)d si C es la frontera entre los cuadrados de vértices ( 1; 1),
( 1; 1), (1; 1) y (1; 1); ( 2; 2), ( 2; 2), (2; 2) y (2; 2).
H
b) C (x3 y 3 ; x3 + y 3 )d si C es la frontera de la región comprendida por 1
x2 + y 2 4
H sin x
c) C (e y; ecos y + x)d si C es la frontera de la región comprendida entre de
2 2 x2
las grá…cas de x + y = 9, + y2 = 1
4
5. Use una integral de línea para hallar el área de la región

a) acotada por las gra…cas de las parabolas y = x2 y x = y 2
x2 y 2
b) acotada por la grá…cas de la elipse + 2 =1
a2 b
c) acotada por la grá…cas de la r = 2(1 cos )

6. Calcular el trabajo realizado por la fuerza F para mover una particula a lo largo de
la curva C.

a) F(x; y) = [3x + y; 4x 5y], C es la elipse x2 + 4y 2 = 16
p
b) F(x; y) = [ex + y 2 ; x2 y + Cosy], C es la curva acotada por y = 25 x2 y
5 x 5
c) F(x; y) = [x4 + 4; x + xy], C es el cardiode r = 1 + cos .

7. Utilice el teorema de Green para demostrar el teorema del cambio de variables para
una integral doble para el caso F (x; y) = 1.


8. Utilizando un CAS veri…que el teorema de Green.


1. Para calcular una integral de línea a lo largo de una curva, esta se debe parametrizar

2. La parametrización de una curva es unica.

3. La integral de línea a lo largo de cualquier curva cerrada es igual a cero.

4. Los limites de integración de una integral de línea dependen de la parametrización.

5. Asociado a todo campo vectorial conservativo existe su correspondiente función po-
tencial.

6. El trabajo realizado por una fuerza para mover una particula a lo largo de una curva
es una integral de línea.

7. El teorema fundamental del cálculo para integrales de línea esta de…nido solamente
para campos vectoriales.

8. Un poligono regular de n lados es un conjunto conexo.

9. Una curva en forma de ocho es simple.

10. El teorema de Green esta de…nido solamente R2

R
1. La integral de línea C
F (x; y)dS, si C es el circulo unitario, es equivalente a:
R1 p R2 R
A. 1
F t; 1 t2 dt B. 0
F (cos(2t); sen(2t))dt C. 2 0
F (cos t; sent)dt D.
R =4
0
F (cos(4t); sen(4t))dt

2. La masa de un alambre homogeneo con forma de un triangulo equilatero de lado 1
es igual a:
p
3 3
A. 3K B. K C. K D. K
2 4
R
3. La integral de línea C
F(x)d , si C es el segmento de recta de (0; 0) hasta (1; 1), es
igual a:
R1 R1 R1 R1
A. 0
F(t; t)dt B. 0
F(t; t)(t; t)dt C: 0
F(t2 ; t2 )(2t; 2t)dt D. 0
F(cos t; sent)( sen


4. Un campo de fuerzas viene dado en coordenadas polares por la ecuación F (r; ) =
! !
4sen i + 4sen j . El trabajo efectuado al mover una partícula desde el punto
(1; 0) al origen siguiendo la espiral r = e es:
5 5 8 8
A. B. C. D.
8 8 5 5
y x
5. Para el campo vectorial F(x; y) = ; 2 , se puede a…rmar que:
x2 + y 2 x + y 2
x
A: Su potencial es = arctan B. F no es un gradiente
y
R y
C. C F(x; y)d es independiente de la trayectoria D. Su potencial es = arctan
x
R
6. La integral de línea C (4x + 2y z) dx + (2x 2y + z) dy + ( x + y + 2z) dz es
independiente de la trayectoria y su valor desde (0; 0; 0) hasta (2; 1; 3) es:

A. 13 B. 15 C. -15 D. 17
R
7. Si C es el borde de la cardiode r = 1 + cos , I = C (x4 + 4)dx + xydy entonces:
R 2 R 1+cos 2 R2
A. I = 0 0 r sen drd B..I = 0 (sen2 t + cos3 )tdt
R2 R2 R1
C.I = 0 [ cos tsent sen2 t; sent cos t + cos3 t] dt D. I = 0 0 r2 sen drd

8. El área de la región encerrada por la deltoide x = 2 cos t + cos 2t y y = 2sent sen2t,
0 t 2 es:
3 5
A. 2 B.3 C. D.
2 2
! !
9. Si F(x; y) = x2 y i p xy 2 j y C esta formada por la porciónp circulo x2 + y 2 = 4
+ p de p
desde (2; 0) hasta 2; 2 y los segmentos de recta desde
R 2; 2 hasta (0; 0) y
de (0; 0) hasta (2; 0) entonces C F d es igual a:
3 5
A.. B. + 2 C. D.
2 2
R
10. La integral de lìnea C x2 dy + y 2 dx, donde C es el circulo x2 + y 2 = 1, es equivalente
a:
R1R2 R1R2
A. 2 0 0 (rsen r cos )d dr B. 2 0 0 (r2 cos r2 sen )d dr
R1R R1R
C. 0 0 (r cos rsen )d dr D. 2 0 0 (r2 sen r2 cos )d dr

PREGUNTAS DE SELECCIÓN MÚLTIPLE CON MÚLTIPLE RESPUESTA


1. Si la ecuación parametrica del lazo de curva C es (t) = [sen(2t); sent], es correcto
a…rmar que:

1R
1. Area que encierra C es igual a (sen(2t) cos t 2sent cos(2t))dt
R 2 0
2. longitud de C es igual a 0 (2 cos(2t); cos t)dt
3. t 2 [0; 2 ]
8
4. Area que encierra C es igual a
3
A. B. C. D. E.
1 1
2. Para el campo vectorial F(x; y) = y + ; x + se puede a…rmar que:
x y

1.RF es conservativo 2.'(x; y) = Ln(x + y) + xy + ces su potencial
R
3. C F(x; y)d = 0 si C : x2 + y 2 = r2 4. C F(x; y)d es independiente de la
trayectoria.
A. B. C. D. E.
1 1
3. Para el campo vectorial F(x; y) = ; se puede a…rmar que:
x+y x+y

1. El potencial de F es ' = Lnx + Lny + C
R
2. F es conservativo. 3. C F(x; y)d = 0 si C es cualquier curva cerrada.
4. El trabajo realizado por F para mover una partícula a lo largo de una curva C puede
ser igual a cero.
A. B. C. D. E.

4. Suponga que F es el campo de fuerza gravitacional ejercido por una partícula de masa
M unidades ubicado en el origen sobre una partícula de masa 1 unidad localizada
GM
en el punto P (x; y; z). Entonces F esta dado por: F(x; y; z) = (xi +
(x2 + y 2 + z 2 )3=2
yj + zk), se puede a…rmar que:

GM
1. La función potencial es (x; y; z) = p
(x2 + y 2 + z 2 )3
2. El trabajo realizado por la fuerza F que mueve una partícula de masa 1 unidad a lo
2
largo de una curva suave C desde el punto (1; 3; 4) hasta el punto (2; 2; 2) es 15 GM


GM
3. La función potencial es (x; y; z) = p
x2 + y 2 + z 2
4. El trabajo realizado por la fuerza F que mueve una partícula de masap1 unidad a lo
p
largo de una curva suave C desde el punto (0; 3; 4) hasta el punto (2; 2; 1) es 63 26
26
GM
A. B. C. D. E.

5. Para el campo vectorial F(x; y) = xyi + y 2 j de…nido sobre la curva C orientada
positivamente y formada por las curvas y = x2 y y = xen el primer cuadrante se
tiene.
1 1
1. La circulación es 2. El ‡ hacia el exterior es
ujo
12 5
1 1
3. La circulación es 4. El ‡ hacia el exterior es
ujo
12 5
A. B. C. D. E.
R
6. Dada la integral (4x + 2y z)dx + (2x 2y + z)dy + ( x + y + 2z)dzse puede
C
concluir lo siguiente:

1. La integral es independiente de la trayectoria
2. Si C es cualquier curva seccionalmente uniforme de (4; 2; 1) a ( 1; 2; 0) la integral
es igual a 26
3. Si C es cualquier curva seccionalmente uniforme cerrada el valor de la integral es
26
4. Si C es cualquier curva seccionalmente uniforme de (4; 2; 1) a ( 1; 2; 0) la integral
es igual a 13.
A. B. C. D. E.

7. Sean ' es un campo escalar y F es un campo vectorial, de…nidos sobre una curva
suave C dada en coordenadas polares por r = r( ), con 1 2.
s
2
R 2 dr R R
1. Longitud de C es 1 r 2+ d 2. C F (x; y)d = 12 F (r cos ; rsen )( rsen ; r cos )d
d
R R 2
3. C '(x; y)ds = 1 '(r cos ; rsen )rd 4. ( ) = [r( ) cos ; r( )sen ] es una para-
metrización de C.
A. B. C. D. E.

8. Las coordenadas del centroide de una lamina plana de área A, acotada por una curva
regular, cerrada y simple C son:
1
R 1
R 1
R 1
R
1. x = A C x2 dy 2. y = A C y 2 dy 3. y = 2A C y 2 dy 4. x = 2A C x2 dy
A. B. C. D. E.

PREGUNTAS ABIERTAS


1. Calcular la integral de linea
R
a) (x2 + y 2 )dS si C es la curva cuya ecuación parametrica es (t) = (A(Cost +
C
tSent); A(Sent tCost)) con 0 t 2
R
b) C zdSSi C es la curva cuya ecuación parametrica es (t) = (tCost; tSent; t)
con 0 t t0
R x2 y p
c) C x + dS si C es la curva determinada por y = x desde (0; 0)
1 + xy
hasta (4; 2)

2. Hallar la masa de un alambre de forma circular x2 + y 2 = a2 , si su densidad en cada
punto (x; y) es igual a jxj + jyj

x2 y 2
3. Hallar la longitud de la elipse + 2 =1
a2 b
4. Hallar el área de la super…cie z = 2x y sobre la curva y = jxj desde ( 1; 1)
hasta (1; 1)

5. Calcular la integral de linea
R
a) ex senydx + ex cos ydy si C está determinada por el cicloide (t) = (t
C
sent; 1 cos t) desde (0; 0) hasta (2 ; 0)
R y
b) C 2 arctan dx+ln(x2 +y 2 )dy si C está determinada por (t) = (4+2 cos t; 4+
x
sent)
R
6. Sean C la curva dada en la grá…ca, F(x; y) = [sin y; x cos y]. Calcular C
F(x; y)d .


7. Encuentre el trabajo realizado por el campo de fuerzas F(x; y) = [ln x + 2y; ey + 2x]
para mover una particula a lo largo de la espiral r = (0 2 ).

8. Encuentre el trabajo realizado por el campo de fuerzas F(x; y) = [senx+2y; cos y+2x]
para mover una particula a lo largo de la espiral r = (0 2 ).

9. Encuentre la circulación antihoraria y el ‡ hacia el exterior para el campo F(x; y) =
ujo
[x + y; x2 y 2 ] a través del triángulo acotado por las rectas y = 0, x = 3, y = x.
Z
ydx xdy
10. Calcular la integral 2 2
a lo largo de cualquier curva suave desde (1; 1)
p p c x +y
hasta (2 3; 2)

11. Determinar el valor de para que la integral de linea sea independiente de la trayec-
toria y luego calcularla
R (1; 1)
a) (0;0)
(xy 2 + x2 y; x3 + x2 y)d
R (2;0)
b) (1;1)
(ye2xy + x; xe2xy )d

12. Determinar si el siguiente campo vectorial es conservativo o no (justi…que). F(x; y; z) =
[Sen2 (5x)Cos2 (5x); y 2 Seny; (z + 1)2 ez ]

13. Sea F(x; y) = [x2 yCosx + 2xySenx y 2 ex ; x2 Senx 2yex ]

a) Determinar si F es conservativo
R
b) Si C es una curva suave que une ( 1; 2) con (0; 3) calcule C
Fd

14. Si C es cualquier curva suave que une el punto (0; 0; 0) con el punto (1; 2; ).
R
Calcular la integral de linea C (ex Senz + 2yz; 2xz + 2y; ex Cosz + 2xy + 3z 2 )d
R (0;1;
=2)
15. Calcular la integral de linea ( 1; 1=2; )
(yexy Cosz 2e 2x
Sen( y); e 2x
Cos( y) +
xexy Cosz; exy Senz)d
R
16. Calcular la integral de linea C (5x3 + 4y; 2x 4y 4 )d a lo largo de la curva C :
(x 2)2 + y 2 = 4
H
17. Calcular la integral de linea C [ArcT anx + y 2 ; Lny x2 ]d si C es la región acotada
por las curvas x2 + y 2 = 1 ; x2 + y 2 = 4 y y 0

18. Si C es una curva regular simple que encierra una región R de área k . Demuestre
H
que si ai ; bi son constantes C [a1 x + a2 y + a3 ; b1 x + b2 y + b3 ]d = (b1 a2 )k

19. Demuestre que el área de una región plana acotada por una curva regular, cerrada
1R 2
y simple C, dada en coordendas polares es igual a A = r d
2 C


! !
20. Veri…car el teorema de Green para F(x; y) = y n i + xn j sobre la región acotada
p
por las curvas y = a2 x2 con a > 0 y y = 0.

21. Use el teorema de Green para calcular la integral de F(x; y) = [3y; 1] en la región
interior al circulo x2 + y 2 = 25 y exterior a 4 circulos de radio 1 y centros en
(2; 0) ; ( 2; 0) ; (0; 2) y (0; 2)

22. Use el teorema der Green para calcular la integral de F(x; y) = [x + y; 2x y] en la
región interior al circulo x2 + y 2 = 1 y exterior a jxj + jyj = 1

23. Utilice el teorema de Green para hallar el área de la lemniscata de Bernoulli (x2 +
y 2 )2 = a2 (x2 y 2 )

24. Supongamos que F (x; y) = x2 4x + 4 + y 2 + 2y + 1. Sea C la curva que empieza en
R
(2; 1) y termina en algún otro punto. Mostrar que C rF d es (estrictamente)
mayor que cero.

25. Dados dos campos escalares U y V diferenciables en un conjunto abierto que contiene
el disco R cuya frontera es la circunferencia x2 + y 2 = 1. De…nimos dos campos
! ! @U @U !
vectoriales F y G así: F(x; y) = V (x; y) i + U (x; y) j ; G(x; y) = i +
@x @y
@V @V ! R R
j Encontrar el valor de la integral doble R F GdAsi se sabe que
@x @y
sobre la frontera de R se tiene que U (x; y) = 1y V (x; y) = y.

PROBLEMAS

1. Un hombre de 90 pies160 lb de peso sube con una lata de 25 lb de pintura por una
escalera helicoidal que rodea un silo, con radio de 20 pies. Si el silo mide 90 pies
de alto y el hombre hace exactamente tres revoluciones completas. ¿Cuanto trabajo
realiza el hombre contra la gravedad al subir hasta la parte superior?

2. El trineo de papa Noel sube una montaña cuya ecuación es x2 + y 2 + z = 2 (con
z 0), realiza un giro completo para llegar a la cima, siendo su pendiente de
subida constante. Durante el viaje ejerce una fuerza descrita por el campo vectorial
Fp y; z) = yi + xj + k. ¿Cuál es el trabajo realizado por el trineo al viajar desde
(x;
2 ; 0; 0 hasta la cima?

3. Un astronauta está atrapado en una habitación alienígena sujeto a un campo de
lado oscuro de la fuerza, de ecuación F (x; y) = [yexy + 2xy 3 ; xexy + 3x2 y 2 + cos y]
suponiendo que el astronauta esta en el punto (0; 0) y la puerta de salida (a la
liberación) está en (5; 4) , halle el camino de mínimo esfuerzo para escapar.


4. La PUJ contrata un pintor para restaurar una capilla en forma de cilindro circular de
x2 y 2
radio 4 metros rematado por una cúpula con la forma del paraboloide .z = 5 .
8 8
Si el pintor pesa 160 lb. y sube con una lata de 25 lb. de pintura por una escalera
helicoidal que rodea el cilindro, realizando exactamente dos revoluciones completas
hasta llegar a la cúpula. ¿Cuanto trabajo realiza contra la gravedad al subir hasta
la cúpula?

5. Si F es el campo de fuerza, con régimen de cuadrado inverso, de…nido por F(x; y; z) =
c
(xi + yj + zk) donde c es una constante positiva, calcule el trabajo
(x2 + y 2 + z 2 )3=2
realizado por F al desplazar una partícula a lo largo del segmento de recta desde el
punto (3; 0; 0) hasta el punto (3; 0; 4). Evalúe la integral de línea mediante dos méto-
dos: (a) utilice una función potencial para F; (b) no emplee una función potencial
para F.

CAPÍTULO 6

INTEGRALES DE SUPERFICIE

Caminante son tus huellas
el camino, y nada más;
caminante, no hay camino,
se hace camino al andar.
ANTONIO MACHADO
"Proverbios y cantares "

241

242 CAPÍTULO 6. INTEGRALES DE SUPERFICIE

En el capitulo anterior se tratarón integrales a lo largo de curvas, en este capitulo
se tratará un concepto similar, integrales a través de super…cies de R3 :.El objetivo de la
siguiente sección será precisar el concepto de super…cie, así como desarrollar algunas de
sus características más elementales.

6.1. Super…cies paramétrizadas y áreas
De la misma forma que en el caso de las curvas, las super…cies serán aquellos conjuntos
que se puedan ver como la imagen de una función derivable de…nida sobre ciertos
subconjuntos del plano.

Si nos movemos sobre una curva solo podemos ir hacia atrás y hacia adelante siguiendo
una dirección, por lo tanto es su…ciente utilizar un parámetro para representar una curva.
Para super…cies podemos avanzar en dos direcciones, luego se necesitan dos parametros
para su representación En general expresamos las coordenadas (x; y; z) de un punto en
una super…cie S en términos de dos parámetros u y v.
x = F1 (u; v), y = F2 (u; v), z = F3 (u; v)

Una super…cie parametrizada es la representación paramétrica o vectorial por medio
de una función continua en un conjunto conexo D de R2 en R3 , tal que 8(u; v) 2 D
(u; v) = [x(u; v); y(u; v); z(u; v)] , o sea (D) = S
Nota : Existen muchas representaciones paramétricas de una misma super…cie S, por
ejemplo (x; y) = [x; y; F (x; y)] tomando a x, y como parámetros.

Ejemplo 6.1.1 Encontrar una ecuación parámetrica del hemisferio superior de la esfera
x2 + y 2 + z 2 = 1 p
La super…cie es la grá…ca del campo escalar F (x; y) = 1 x2 y 2 ,
sobre la región plana x2 + y 2 1
p
entonces x = u,p = v, z = 1 u2 v 2
y
(u; v) = u; v; 1 u2 v 2
donde u, v varian dentro del círculo unitario

6.1. SUPERFICIES PARAMÉTRIZADAS Y ÁREAS 243

Para encontrar una parametrización sencilla de un plano que contiene a los vectores
v1 , v2 no paralelos, y al punto P con vector posición r. Podemos llegar a cualquier punto
del plano comenzando en P y avanzando en forma paralela a v1 o a v2 , sumando multiplos
de r, la ecuación paramétrica del plano que pasa por r y contiene a los dos vectores v1 ,
v2 es r(u; v) = r + uv1 + vv2

Ejemplo 6.1.2 Hallar la ecuación parametrica del plano que pasa por (1; 2; 3) y contiene
a los vectores v1 = [2; 3; 1], v2 = [1; 1; 2]
La ecuación parametrica es
r(u; v) = [1; 2; 3] + u[2; 3; 1] + v[1; 1; 2]
o en forma equivalente
x = 1 + 2u + v, y = 2 + 3u v, z = 3 + u + 2v

Para encontrar una parametrización de una super…cie de revolución generada por la
grá…ca de una función y = f (x) con a x b, cuando gira alrededor del eje x es
r(u; v) = [u;f (u) cos v; f (u)senv] con a u b, 0 v 2

Ejemplo 6.1.3 Hallar la ecuación parametrica de la super…cie de revolución generada
1
por la grá…ca de y = para 1 x 10
x
1 1
r(u; v) = u; cos v; senv con 1 u 10, 0 v 2
u u

En una super…cie parametrizada, si se …ja un parámetro y se deja que el otro varie,
determina una curva de parámetro. Si la super…cie está parametrizada por (u; v) =
[F1 (u; v); F2 (u; v); F3 (u; v)], existen dos familias de curvas de parámetro sobre la super-
…cie, una familia con u constante (u0 ; v) = [F1 (u0 ; v); F2 (u0 ; v); F3 (u0 ; v)] y otra con v
constante. (u; v0 ) = [F1 (u; v0 ); F2 (u; v0 ); F3 (u; v0 )]

Ejemplo 6.1.4 Describir la familia de curvas de parámetro para la esfera x2 +y 2 +z 2 = 1
Una parametrización facíl de la esfera es
x = sen cos , y = sen sen , z = cos
cordenadas esfericas con constante
donde 0 2 ,0


1.0
-1.0 -1.0
0.5
-0.5 -0.5
z 0.0
0.0 0.0
-0.5
y -1.0 0.5
0.5 x
1.0 1.0

Familia de curvas de parámetro con constante

1.0
-1.0 -1.0
0.5
-0.5 -0.5
z 0.0
-0.5 0.0
0.0

y -1.0 0.5
0.5 x
1.0 1.0

Familia de curvas de parámetro con constante

Propiedad 6.1.1 Si S es una super…cie paramétrizada por medio de una función de D
conjunto conexo de R2 en R3 y
i) Si es diferenciable entonces S es una super…cie diferenciable
ii) Si es inyectiva entonces S es una super…cie paramétrica simple.
iii) Si es constante entonces S es un punto. (Super…cie degenerada).
iv) Si depende solamante de un parametro u o v, entonces S determina una cur-
va.(super…cie degenerada).

Así como la parametrización de una curva en general nos permite calcular vectores
tangentes (y por lo tanto, rectas tangentes), una parametrización de una super…cie también
nos proporciona la manera del calcular vectores normales a la super…cie (y por lo tanto,
planos tangentes).


En este curso nos limitaremos a considerar casi en exclusiva un caso especial de su-
per…cie en R3 , llamado super…cie paramétrica simple, que es el de una super…cie S que
puede describirse, en su totalidad, como (D), donde : D R2 ! R3 es una aplicación
inyectiva diferenciable.

Sea S es una super…cie paramétrizada por medio de una función de un conjunto
2 3
D conexo de R en R , diferenciable en (u0 ; v0 ) de D. Si …jamos u en u0 obtenemos una
función de R en R3 tal que (u0 ; t) determina una curva C1 contenida en S, cuyo vector
@ @x @y @z
tangente en (u0 ; v0 ) es Tv (u0 ; v0 ) = (u0 ; v0 ) = (u0 ; v0 ); (u0 ; v0 ); (u0 ; v0 )
@v @v @v @v
3
De igual manera si …jamos v en v0 obtenemos una función de R en R tal que (t; v0 )
determina una curva C2 totalmente contenida en S, cuyo vector tangente en (u0 ; v0 ) es
@ @x @y @z
Tu (u0 ; v0 ) = (u0 ; v0 ) = (u0 ; v0 ); (u0 ; v0 ); (u0 ; v0 )
@u @u @u @u

Si S es una super…cie paramétrizada por medio de una función de un conjunto D
2 3
conexo de R en R , diferenciable en (u0 ; v0 ) de D, entonces el vector n = Tu Tv es
normal a la super…cie S.
Una super…cie S de R3 paramétrizada por medio de una función de un conjunto D
2 3
conexo de R en R , se dice que es suave en (u0 ; v0 ) si n = Tu Tv 6= O en (u0 ; v0 ).
Si S es suave entonces n varia en forma continua en S
Nota : Si una super…cie S es suave en (u0 ; v0 ) entonces existe el plano tangente a S en
(u0 ; v0 ).

2 3
conexo de R en R , suave en (u0 ; v0 ) entonces n = Tu Tv es normal a S en (u0 ; v0 ) y
n (x x0 ; y y0 ; z z0 ) = 0 determina la ecuación del plano tangente a S en (x0 ; y0 ; z0 ).
conexo de R2 en R3 , diferenciable en D, entonces x; y y z son diferenciables en D y ademas
@ @
es llamado producto vectorial fundamental.
@v @u


Ejemplo 6.1.5 Una super…cie esta parametrizada por medio de (u; v) = [2 cos v; 3senv; u].
!
p
3 2
Hallar la ecuación cartesiana de S y la ecuación del plano tangente a S en P = 1; ;2
2
La super…cie es un cilindro eliptico cuya ecuación implicita es
x2 y 2
+ =1
4 9
@ @
luego = [ 3Cosv; 2Senv; 0]
@v p
" @u #
3 2
Si P = 1; ; 2 entonces u = 2 y v =
2 3
la normal del plano tangente en P es igual a
@ @ 3 p
n= 2; 2; = ; 3; 0
@v 3 @u 3 2

Ejemplo 6.1.6 entonces !
p
3 p 3 2
; 3; 0 x 1; y ;z 2 = 0
2 2
p p
3x + 2 3y = 3 6 3
es la ecuación del plano tangente a S en P
1

Para continuar con la descripción de las super…cies, abordaremos el problema de de-
ducir el área de una super…cie S parametrizada por una función de un conjunto D conexo
de R2 en R3 , la cual, dada la naturaleza del problema, supondremos que es simple. Proced-
eremos de la siguiente manera: primero determinamos una partición P de D en rectángulos
Rij de lados 4u, 4v los cuales usaremos para aproximar el àrea de la super…cie S, ya que
(Rij ) = Sij S. Nuestro intères ahora es calcular o aproximar lo mejor que se pueda el
área de cada pedazo de super…cie Rij Si Rij = [ui 1 ; ui ] [vj ;1 ; vj ] es un rectángulo muy
1

Christiaan Huygens (14 de abril de 1629 - 8 de julio de 1695) fue un as-
trónomo, físico y matemático neerlandés, nacido en La Haya. Estudió mecáni-
ca y geometría con preceptores privados. En esta primera etapa, Huygens estu-
vo muy in‡uido por el matemático francés René Descartes, visitante habitual
de la casa de Constantin durante su estancia en Holanda. Y es que Huy-
gens siempre criticó la teoría corpuscular de la luz y la ley de la Gravitación
universal de Newton. Huygens fue uno de los pioneros en el estudio de la
Probabilidad, tema sobre el que publicó el libro De ratiociniis in ludo aleae
(Sobre los Cálculos en los Juegos de Azar), en el año 1656. En el introdujo
algunos conceptos importantes en este campo, como la esperanza matemática,
y resolvía algunos de los problemas propuestos por Pascal, Fermat y De Méré.
Además resolvió numerosos problemas geométricos como la recti…cación de
la cisoide y la determinación de la curvatura de la cicloide. También esbozó
conceptos acerca de la derivada segunda.


pequeño es de esperarse que el pedazo de super…cie Sij se parezca mucho al paralelogramo
Pij generado por los vectores (ui 1 ; vj ) (ui 1 ; vj 1 ) y (ui ; vj 1 ) (ui 1 ; vj 1 ) de tal
forma que,
Area(Sij ) Area(Pij )
= k( (ui 1 ; vj ) (ui 1 ; vj 1 )) ( (ui ; vj 1 ) (ui 1 ; vj 1 ))k
recorriendo toda la partición
PPn m
Area(Sij ) k( (ui 1 ; vj ) (ui 1 ; vj 1 )) ( (ui ; vj 1 ) (ui 1 ; vj 1 ))k
i=1j=1

Sea S es una super…cie paramétrizada por medio de una función de un conjunto
D conexo de R2 en R3 y P una partición de D entonces P determina una partición de la
super…cie S en porciones de super…cie Sij
R R
2 3
conexo de R en R , diferenciable en D, entonces el área de S es igual a A(S) = S dS =
s
2 2 2
R R @ @ R R @(y; z) @(z; x) @(x; y)
D
dA = D + + dA
@v @u @(u; v) @(u; v) @(u; v)

Si S es una super…cie continua en una región R de R2 y ademas S esta determinada
en forma explicita por un campo escalar z = F (x; y) diferenciable en R, entonces el área
s
2 2
R R @F @F
de S es igual a A(S) = R 1+ (x; y) + (x; y) dA
@x @y

Ejemplo 6.1.7 Hallar el área de la porción de super…cie z+2x2 +3y 2 = 1 que se encuentra
dentro del cilindro 4x2 + 9y 2 = 1
Despejando z para hallar el área de S en forma explicita
z = 1 2x2 3y 2
entonces R p
luego A(S) = R 1 + 16x2 + 36y 2 dA
modi…cando las coordenadas polares tenemos que
rCos rSen
x= ,y=
2 3
r
jacobiano de està transformaciòn es j =
6
2 2
2 2 rCos rSen
por lo tanto 4x + 9y = 4 +9 =1
2 3
1 R2 R2p
A(S) = 1 + 4r2 rdrd
6 0 0
1 R2 2
= (1 + 4r2 )3=22 d
0
48 0 3
1 R 2 3=2 (53=2 1) 2 (53=2 1)
= (5 1)d = j0 =
72 0 72 36



1. Encuentre una parametrización de la super…cie.

a) Cilindro circular de radio r, cuyo eje està a lo,largo del eje z, desde z = 0 hsta
z=h
b) Paraboloide z = x2 + y 2 desde z = 0 hasta z = k
p
c) Cono z = x2 + y 2 desde z = 0 hasta z = k

2. Hallar una ecuación parametrica del plano

a) Que contiene a los puntos (1; 1; 2), (1; 2; 3) y (0; 1; 2)
b) Que contiene al punto (1; 2; 3) y tiene por normal a [1; 1; 1]
c) Que contiene al punto (0; 0; 0) y a los vectores [1; 1; 1] y [0; 2; 3]

3. Hallar una ecuación parametrica de la super…cie de revolución generada por la cur-
va.de ecuación.

a) y = x2 , alrededor del eje y
b) y = senx, alrededor del eje x
1
c) y = , alrededor del eje x
x
4. Obtener la ecuación cartesiana de la super…cie S paramétrizada por medio de r

a) r(u; v) = [2u v; u + 2v; u v]
p p p
b) r(u; v) = v 1 u2 ; u2 + v 2 ; u 1 + v 2
c) r(u; v) = [CosuCosv; SenuCosv; Senv]

5. Curvas de parametro

6. Calcular el producto vectorial fundamental en terminos de u y v.para las super…cies
del numeral 4.

7. Hallar la ecuación del plano tangente a la super…cie parametricamente de…nida por

a) r(u; v) = [uCosv; uSenv; u] en el punto P = (3; 4; 5)
b) r(u; v) = [uCosv; uSenv; u2 ] en el punto P = (1; 1; 2)
p p p p p
c) r(u; v) = v 1 u2 ; u2 + v 2 ; u 1 + v 2 en el punto P = 0; 2; 2

8. Hallar el área de las super…cies del numeral 1, utilizando la forma parametrica.

9. Hallar el área de la super…cie dada.

6.2. INTEGRALES DE SUPERFICIE DE CAMPOS ESCALARES 249

a) Semiesfera de radio 2
b) Porción del plano x + y + z = 1 que se encuentra en el primer octante
p
c) Porción del cono z = x2 + y 2 entre z = 1 y z = 2

10. Utilizando un CAS encuentre el área de una super…cie dada.

6.2. Integrales de super…cie de campos escalares
Sea F un campo escalar de R3 en R y sea S una super…cie simple parametrizada por
medio de una función de un conjunto D conexo de R2 en R3 se dice que F es un campo
escalar escalonado en D si existe una particion P de S, tal que en cada Sij de P; F es
constante.8(x; y; z) 2 Sij , entonces se de…ne la integral de super…cie de F a lo largo de S
como
R R PP
n m
S
F (x; y; z)dS = kij Aij , donde Aij es el área de la porción de super…cie Sij
i=1j=1
Si F es un campo escalar de R3 en R de…nido y acotado en una super…cie simple S
parametrizada por medio de una función de un conjunto D conexo de R2 en R3 si para
todos R campos escalares R y
R los R escalonados en S tales que
S
(x; y; z)dS I S
(x; y; z)dS, con (x; y; z) F (x; y; z) (x; y; z) 8(x; y; z) 2
S
R RPara un unico numero real I, se dice que F es integrable sobre S y ademas I =
S
F (x; y; z)dS
Si F es un campo escalar de en de…nido y acotado en una super…cie simple S parame-
trizada por medio de una función de de un conjunto conexo D de R2 en R3 , entonces
PP
n m
F (x ; y ; z )4Sij para cualquier (x ; y ; z ) 2 Sij determina una suma de Riem-
i=1j=1
man de F en P:
Si F es un campo escalar de R3 en R continuo en una super…cie simple S parametrizada
por medio de una función de un conjunto D conexo de R2 en R3 , entonces
R R PP
n m
S
F (x; y; z)dS = l m F (x ; y ; z )4Sij , se denomina integral de super…cie
4Sij !0i=1j=1
de F a lo largo de S siempre que el limite dado exista.
R R R R @ @
Notación : S F (x; y; z)dS = D F ( (u; v)) dA
@v @v
R R R R
Si la super…cie esta de…nida en forma explicita en xy, S F (x; y; z)dS = RXY F (x; y; z(x; y

Propiedad 6.2.1 Si F y G son campos escalares de R3 en R continuos en una super…cie
simple S parametrizada por medio de una función de un conjunto D conexo de R2 en
R3 , entonces

R R R R
(i) Si S es una super…cie cerrada S F (x;Ry; z)dS = S FR R z)dS
R R R (x; y;
(ii) Si S = S1 [ S2 S F (x; y; z)dS = S1 F (x; y; z)dS + S2 F (x; y; z)dS

R R
Ejemplo 6.2.1 Calcular la integral de super…cie S (x + y + z)dS si S es el cono z =
p
x2 + y 2 con tapa z = 3
Se deben calcular dos integrales de super…cie, la de la tapa y la del cono.
p
(i) Para la tapa z = 3, dS = 0 + 0 + 1dA
la proyección de la tapa en el plano xy es el circulo x2 + y 2 = 9
calculamos la integral en coordenadas polares
R3R2
0R0R
(rCos + rSen + 3)rd dr
3 2
= 0 0 (r2 Cos + r2 Sen + 3r)d dr
R3
= 0 (r2 Sen r2 Cos + 3r )j2 dr
0
R3
= 0 (0 r2 + 6 r 0 + r2 0)dr
R3
= 0 6 rdr = 3 r2 j3 = 27
0 s
p x2 y2 p
(ii) Para el cono z = x2 + y 2 , dS = 2 + y2
+ 2 2
+ 1dA = 2dA
x x +y
la proyección de la tapa en el plano xy es el circulo x2 + y 2 = 9
calculamos la integral en coordenadas polares
R3R2
0R0R
(rCos + rSen + r)rd dr
3 2
= 0 0 (r2 Cos + r2 Sen + r2 )d dr
R3
= 0 (r2 Sen r2 Cos + r2 )j2 dr
0
R3
= 0 (0 r2 + 2 r2 0 + r2 )dr
R3 2 r3 3
= 0 2 r2 dr = j = 18
R 3 0
luego S (x + y + z)dS = 45
2

2

Henri Léon Lebesgue (28 de junio de 1875 - 26 de julio de 1941), matemáti-
co francés. Nació en Beauvais, Oise, Picardie, Francia. Estudió en la Ecole
Normale Supérieure y en el período 1899 - 1902 impartió clases en el Liceo de
Nancy. Con base en el trabajo de otros matemáticos, entre ellos Émile Borel y
Camille Jordan, Lebesgue formuló la teoría de la medida en 1901. Al año sigu-
iente de…nió la integral de Lebesgue, la cual generaliza la noción de la integral
de Riemann al extender el concepto de área bajo una curva para incluir fun-
ciones discontinuas. Este es uno de los logros del análisis moderno que expande
el alcance del análisis de Fourier. Lebesgue dio a conocer este desarrollo en su
disertación "Intégrale, longueur, aire"("Integral, longitud, área") presentada
en la Universidad de Nancy en 1902. Además de aproximadamente 50 artícu-
los, escribió dos libros: Leçons sur l’intégration et la recherché des fonctions
primitives (1904) y Leçons sur les séries trigonométriques (1906). A su vez,
contribuyó en otras áreas de matemáticas como topología, teoría del potencial
y análisis de Fourier.

6.2. INTEGRALES DE SUPERFICIE DE CAMPOS ESCALARES 251

Las interpretaciones físicas de estas integrales son variadas. Por ejemplo, un campo
escalar F puede representar la densidad de masa por unidad de super…cie de un material de
R R
grosor despreciable que está distribuido sobre una super…cie S, y entonces S F (x; y; z)dS
sería la masa total de dicho material.

Aplicaciones …sicas
(i) Masa de una lamina de R3
Si una lamina en R3 esta determinada por una super…cie S de R3 y ademas su densidad
en cada punto P = (x; y; z) 2 S es (x; y; z), entonces la masa de S es igual a
R R
M= S (x; y; z)dS
(ii) Primeros momentos de una lamina
R R
Respecto al plano XY MXY = R S R z (x; y; z)dS
Respecto al plano Y Z MY Z = R SR x (x; y; z)dS
Respecto al plano XZ MXZ = S y (x; y; z)dS
(iii) Centro de masas de una lamina
CM = ( x,y; z) = MY Z , MM ; MM
M
XZ XY

Teorema 6.2.1 del valor medio para integrales de super…cie. Si F es un campo escalar
de R3 en R continuo en una super…cie S simple parametrizada por medio de una función
2 3
R de un conjunto conexo D de R en R , entonces existe (a; b; c) 2 S tal que F (a; b; c) =
R
F (x; y; z)dS
S R R
S
dS


1. Calcule la integral de super…cie del campo escalar F sobre S

a) F (x; y; z) = 2x + 3y, S es la parte del plano 2x + 3y + z = 6 que queda en el
primer octante
b) F (x; y; z) = 3x y, S es la porción del cilindro x2 + y 2 = 4 entre z = 1 y
z=1
p
c) F (x; y; z) = x2 + y 2 + 1 S es la porción de paraboloide 2z = x2 + y 2 que se
encuentra dentro del cilindro x2 + y 2 = 2y

2. Calcule la integral de super…cie del campo escalar F sobre S
h vi
a) F (x; y) = x y, S esta determinada por (u; v) = u; v; con 0 u 1y
2
0 v 2
b) F (x; y) = xy, S esta determinada por (u; v) = [u; v; uv] con 0 u 1 y
0 v 1
c) F (x; y) = x + y, S esta determinada por (u; v) = [u; 3 cos v; 3senv] con 0
u 4y0 v =2


3. Hallar la masa de una lamina cuya forma es igual a la super…cie S, con densidad en
cada punto igual a

a) S está determinada por 2x+3y+6z = 12 en el primer octante y (x; y; z) = x+y
b) S está determinada por z = 2 x2 y 2 con z 0y (x; y; z) = x2 + y 2
p
c) S está determinada por z = a2 x2 y 2 y (x; y; z) = kz

4. Hallar las coordenadas del centro de masas de las laminas del numeral 3.

5. Hallar el valor promedio del campo escalar F sobre la super…cie S.

a) F (x; y; z) = x + y + z, S es la porción del plano x + y + z = 1 en el primer
octante.
b) F (x; y; z) = x + z, S es la porción del cilindro y 2 + z 2 = 9 entre x = 0 y x = 4.
c) F (x; y; z) = y 2 ; S es la porción de la esfera x2 + y 2 + z 2 = 4 dentro del cilindro
x2 + y 2 = 1 con z 0

6. Utilizando un CAS encuentre el valor promedio de un campo escalar F sobre una
super…cie S.

6.3. Integrales de super…cie de campos vectoriales
Una super…cie S de R3 se dice que es orientable, si es posible determinar en ella dos
lados, el lado exterior (o positivo) y el lado interior (o negativo).
Si F es un campo vectorial de R3 en R3 continuo en una super…cie orientable S parametrizada
por medio de una función de un conjunto D conexo de R2 en R3 , entonces
R R @ @
S
F(x; y; z) NdS = S F( (u; v)) N dS
@v @u
donde N es un vector normal unitario exterior a S
@ @
@v @u
determinado por N = @ @
@v @u
luego
R R @ @
S
F(x; y; z) NdS = S F( (u; v)) dS
@v @u
determina la integral de F sobre S, siempre que exista la integral de la derecha.

Si la super…cie S esta de…nida en forma explicita en XY por z = G(x; y)
entonces H(x; y; z) = z G(x; y) de…ne a S en forma implicita
luego
rH(x; y; z)
N=
R krH(x; y; z)k
y S F(x; y; z) NdS =

6.3. INTEGRALES DE SUPERFICIE DE CAMPOS VECTORIALES 253
r
R rH(x; y; z) 2 2
= RXY F(x; y; z(x; y)) 1 + @F (x; y) + @F (x; y) dA
@x @y
krH(x; y; z)k
Nota : La integral de super…cie de un campo vectorial, tambien se denomina integral
de ‡ de F sobre S
ujo

Por su parte, la integral de un campo vectorial sobre una super…cie S suele interpretarse
como el ‡ de un ‡
ujo uido que pasa a través de S. Puede imaginarse que S es una membrana
porosa. El ‡ ujo se puede de…nir como el volumen de ‡ uido que cruza la super…cie por
3
unidad de tiempo.

Propiedad 6.3.1 Si F es un campo vectorial de R3 en R3 continuo en una super…cie S
orientable parametrizada por medio de una función de un conjunto conexo D de R2 en
R3 , entonces
(i) Si F = [F1 ; F2 ; F3 ] entonces
R
S
F(x; y; z) NdS
R @(y; z) R @(z; x) R @(x; y)
= S F( (u; v)) dS + S F( (u; v)) dS + S F( (u; v)) dS
@(u; v) @(u; v) @(u; v)
o tambien
R
SR
F(x; y; z) NdS R R
= S F1 (x; y; z) N1 dS + S F2 (x; y; z) N2 dS + S F3 (x; y; z) N3 dS
(ii) Si N = [Cos ; Cos ; Cos ]
R R
S
F(x; y; z) NdS = S (F1 Cos + F2 Cos + F3 Cos )dS
En función de los cosenos directores.

Ejemplo 6.3.1 Calcule el ‡ujo de F(x; y; z) = [x; y; z] a través de la parte del plano
2x + 3y + z = 6 que se encuentra en el primer octante.
La super…cies ya esta en forma implicita, por lo tanto
H(x; y; z) = 2x + 3y + z = 6
[2; 3; 1]
N= p
14
3

James Clerk Maxwell (Edimburgo, 13 de junio de 1831- Cambridge, Reino
Unido, 5 de noviembre de 1879). Físico escocés conocido principalmente por
haber desarrollado la teoría electromagnética clásica, sintetizando todas las
anteriores observaciones, experimentos y leyes sobre electricidad, magnetismo
y aun sobre óptica, en una teoría consistente.[1] Las ecuaciones de Maxwell
demostraron que la electricidad, el magnetismo y hasta la luz, son manifesta-
ciones del mismo fenómeno: el campo electromagnético. Desde ese momento,
todas las otras leyes y ecuaciones clásicas de estas disciplinas se convirtieron
en casos simpli…cados de las ecuaciones de Maxwell. Maxwell fue una de las
mentes matemáticas más preclaras de su tiempo, y muchos físicos lo consid-
eran el cientí…co del siglo XIX que más in‡uencia tuvo sobre la física del
siglo XX habiendo hecho contribuciones fundamentales en la comprensión de
la naturaleza. Muchos consideran que sus contribuciones a la ciencia son de
la misma magnitud que las de Isaac Newton y Albert Einstein.


entonces
R R R [2; 3; 1] p
S
F(x; y; z) NdS = RXY [x; y; 6 2x 3y] p 14dA
14
R 3 R 2 2X
= 0 0 3 6dydx
R3
= 0 (12 4x)dx
= 12x 2x2 j3 = 36 18 = 18
0


1. Calcule el ‡ de F a tráves de S, donde N es la normal unitaria que apunta hacia
ujo
afuera.

a) F[x; y; z] = [x; x + y; x + y + z] S es la porción del plano x + y + z = 1 que
se encuentra en el primer octante.
p
b) F[x; y; z] = [x; y; z] S es el cono z = x2 + y 2 entre z = 0 y z = 2
c) F[x; y; z] = [x; y; z 2 ], S es el paraboloide z = x2 + y 2 acotado por el plano
z=4

2. Calcule el ‡ de F a tráves de S, donde N es la normal unitaria que apunta hacia
ujo
afuera.

a) F[x; y; z] = [x; y; 0], S esta determinada por (u; v) = [2u; u + v; 1 + u v] con
0 u 1y0 v 1
b) F[x; y; z] = zk, S esta determinada por (u; v) = (u; v) = [u + v; u v; u2 + v 2 ]
con 0 u 1 y 0 v 1
c) F[x; y; z] = yi + xj, S esta determinada por (u; v) = [3senu; 3 cos u; v] con
0 u y0 v 1

3. Calcule el ‡ de F a tráves de la super…cie cerradaS, donde N es la normal unitaria
ujo
que apunta hacia afuera.

a) F[x; y; z] = [4xy; z 2 ; yz] S es un cubo de lado 1.
b) F[x; y; z] = [yz; xz; xy] S es el elipsoide x2 + 2y 2 + 3z 2 = 6
c) F[x; y; z] = [x; y; z] S es la esfera x2 + y 2 + z 2 = a2

4. Utilizando un CAS encuentre el ‡ F a tráves de una super…cie S:
ujo

6.4. TEOREMA DE STOKES 255

6.4. Teorema de Stokes
En esta sección estudiaremos el teorema de Stokes4 , que es una generalización del
teorema de Green en cuanto que relaciona la integral de un campo vectorial sobre una
curva cerrada que es borde de una super…cie paramétrica simple con la integral de su
rotacional en dicha super…cie, luego el teorema de Stokes puede considerarse como una
versión del teorema de Green para una dimensión más alta. El teorema de Stokes relaciona
una integral de super…cie sobre una super…cie S con una integral de línea alrededor de
la curva frontera de S ( que es una curva en el espacio ). La orientación de S induce la
orientación positiva de la curva frontera C. Esto signi…ca que si uno camina alrededor de
C en sentido positivo entonces la super…cie siempre estará a la izquierda de uno.

Si F es un campo vectorial de R3 en R3 diferenciable en un conjunto abierto R3
entonces el rotacional de F (rotF) es igual a:
i j k
@ @ @ @F3 @F2 @F1 @F3 @F2 @F1
r F(x; y; z) = = ; ;
@x @y @z @y @z @z @x @x @y
F1 F2 F3
El rotacional mide la circulación de un campo vectorial.

Ejemplo 6.4.1 Hallar el rótacional del campo vectorial F(x; y; z) = [3xy 2 + z 3 ; xyz + 1; 2x3 y +
r F(x; y; z) = [2x3 + z 3 xy; 3z 2 6x2 y; yz 6xy]

Propiedad 6.4.1 Si F y G son campos vectoriales de R3 en R3 diferenciables, entonces:
i) r (F G)(x; y; z) = r F(x; y; z) r G(x; y; z)
ii) r (kF)(x; y; z) = kr F(x; y; z), k constante
iii) r (F G)(x; y; z) = (r F(x; y; z)) G(x; y; z) + F(x; y; z) (r G(x; y; z))
F (r F(x; y; z)) G(x; y; z) F(x; y; z) (r G(x; y; z))
iv) r (x; y; z) =
G G2 (x; y; z)

Un campo vectorial F que no posee rotacional se denomina irrotacional y r F(x; y; z) =
0 en todos los puntos (x; y; z) que está de…nido F.

4

Sir George Gabriel Stokes, primer Baronet (13 de agosto de 1819-1 de febrero de
1903) fue un matemático y físico irlandés que realizó contribuciones importantes
a la dinámica de ‡uidos (incluyendo las ecuaciones de Navier-Stokes), la óptica
y la física matemática (incluyendo el teorema de Stokes). Fue secretario y luego
presidente de la Royal Society de Inglaterra. El trabajo de Stokes se distingue por su
precisión y su sentido de la …nalidad. Incluso en problemas que en su tiempo no se
consideraban susceptibles de análisis matemático, Stokes fue capaz en muchos casos
de aportar soluciones que dejaron sentadas las bases para el progreso posterior.
Este hecho se explica por su extraordinaria combinación de capacidad matemática
y habilidad experimental.


Teorema 6.4.1 de Stokes (del rotacional). Si C es una curva regular a trozos cerrada y
simple que determina la frontera de una super…cie S y sea N un vector normal a S y T un
vector tangente unitario a C y si F es un campo vectorial R
H diferenciable en una bola abierta
3
B de R que contiene a S entonces C F(x; y,z) TdS = S r F(x; y; z) NdS

Demostración.
Basta demostrar que
H R
HC F1 (x; y,z)dx = R S r F1 (x; y; z)i NdS
HC F2 (x; y,z)dy = RS r F2 (x; y; z)j NdS
F (x; y,z)dz = S r F3 (x; y; z)k NdS
C 3
La representación explicita de S puede ser así :
z = G1 (x; y), y = G2 (x; z), x = G3 (y; z)
donde G1 ; G2 y G3 son campos escalares de R2 en R
uniformes, continuos y diferenciables en una región R de R2
(Proyección de S en alguno de los planos coordenados)
Si consideramos a S en forma explicita como z = G1 (x; y)
su representación paramétrica sería r(x; y) = [x; y; z(x; y)]
@r @z @z
tal que (x; y) = [0; 1; ] (x; y) = j + k @y (x; y)
@y @y
es un vector tangente a S y ortogonal a N ,
@z @z
luego j + k (x; y) N = j N + k N (x; y) = 0
@y @y
@z
j N = k N (x; y)
@y
R
Hallemos ahora S r F1 (x; y; z)i NdS
i j k
@ @ @
r F1 (x; y; z)i =
@x @y @z
F1 (x; y; z) 0 0
@F1 @F1
= (x; y; z)j (x; y; z)k
@z @y
@F1 @F1
r F1 (x; y; z)i N = (x; y; z)j (x; y; z)k N
@z @y
@F1 @F1
= (x; y; z)j N (x; y; z)k N
@z @y


@F1 @z @F1
= (x; y; z)k N (x; y) (x; y; z)k N
@z @y @y
@F1 @z @F1
= (x; y; z) (x; y) + (x; y; z) k N
@z @y @y
@F1 @F1 @x @F1 @y @F1 @z
(x; y; z) = (x; y; z) + (x; y; z) + (x; y; z)
@y @x @y @y @y @z @y
@F1 @F1 @z
= (x; y; z) + (x; y; z)
@y @z @y
Por lo tanto
R R @F1
S
r F1 (x; y; z)i NdS = R
(x; y; z)dA
@y
aplicando el teorema de Green
R @F1 H
R
(x; y; z)dA = C F1 (x; y,z)dx
@y
De igual forma se demuestran las otras dos igualdades.
Quedan a cargo del lector.

Teorema 6.4.2 Si F es un campo vectorial de R3 en R3 diferenciable en una región
H
simplemente conexa de R3 , entonces r F(x; y; z) = 0 en S si y solamente si C F(x; y,z)
Td = 0 para toda curva regular, cerrada y simple C en S

Demostración. Como C es una curva regular, cerrada y simple
su…ciente demostrar que
H
C
F(x; y,z) Td = 0
Aplicando el teorema de Stokes
R H
S
r F(x; y; z) NdS = C F(x; y,z) Td = 0
luego
R
S
r F(x; y; z) NdS = 0

Ejemplo 6.4.2 Comprobar elteorema de Stokes para F(x; y; z) = [ y + z; x z; x y]
sobre la super…cie determinada por z = 4 x2 y 2 con z 0
La curva C es el circulo x2 + y 2 = 4 cuya parametrización es
(t) = [2Cost; 2Sent] con 0 t 2 y 0(t) = [ 2Sent; 2Cost]
luego
H
CR
F(x; y,z) Td
2
= 0 [ 2Sent; 2Cost; 2Cost 2Sent][ 2Sent; 2Cost; 0]dt
R2 R2
= 0 (4Sen2 t + 4Cos2 t)dt = 4 0 dt = 4tj2 = 8
0
Ahora calculamos la integral de super…cie sobre S
R
S
r F(x; y; z) NdS
tal que
i j k
@ @ @
r F(x; y; z) = = [0; 0; 2]
@x @y @z
y+z x z x y

s
2 2 p
@z @z
dS = + + 1 dA = 4x2 + 4y 2 + 1 dA
@x @y
luego
R R
[0; 0; 2][2x; 2y; 1]dA = R 2dA
R2 2
RR R2 R2
0 0
2rd dr = 0 2r j2 dr = 0 4 rdr = 2 r2 j2 = 8
0 0

Ejemplo 6.4.3 Calcular la circulación del campo de velocidades de un ‡uido F(x; y; z) =
[tan 1 (x2 ); 3x; e3z tan z] a lo largo de la intersección entre la esfera x2 + y 2 + z 2 = 4 con
el cilindro x2 + y 2 = 1, con z > 0
z

2

1 2 x

y

Utilizando el teorema de Stokes
r F(x; y; z) = [0; 0; 3] h i
p
[2x; 2y; 2z] [2x; 2y; 2z] [x; y; z] x; y; 4 x2 y2
N =p = = =
4x2 + 4y 2 + 4z 2 4 2 2
v !2 !2
u
u 2x 2y
dS = t1 + p + p dA
2 4 x2 y 2 2 4 x2 y 2
2
=p dA
4R x2 y 2
luego S r F(x; y; z) NdS = i
h p
R R x; y; 4 x2 y 2 2
= R [0; 0; 3] p dA
2 4 x2 y 2
R R
= R 3dA
=3


1. Encuentre el rotacional del campo vectorial F

a) F(x; y; z) = [xyz; yz; z]
b) F(x; y; z) = ex senyi + ex cos yj
xyz
c) F(x; y; z) = e (i + j + k)


2. Para el campo vectorial F, halle r (r F)

a) F(x; y; z) = xyzi
b) F(x; y; z) = cos xzi senyzk
1
c) F(x; y; z) = p (xi + yj + zk)
x2 + y2 + z2

3. De un ejemplo de un campo vectorial F que sea irrotacional.

4. Comprobar el teorema de Stokes para el campo vectorial F, sobre la super…cie S

a) F(x; y; z) = [3y; 4z; 6x] si S es la porción del paraboloide z = 9 x2 y2
que se encuentra encima del plano XY
b) F(x; y; z) = [2xy + z; y 2 ; x 3y] si S es la super…cie acotada por 2z = x2 + y 2 y
z=2
c) F(x; y; z) = [y; z; x] si S es la porción del plano x + y + z = 1 que se encuentra
en el primer octante.
d) F(x; y; z) = [y 3 ; x3 ; z 3 ] si S es la porción del plano x + y + z = 1 dentro del
cilindro x2 + y 2 = 1
e) F(x; y; z) = [x2 ; y 2 ; z] si S es la semiesfera x2 + y 2 + z 2 = 1 con z 0

5. Utilice el teorema de Stokes para evaluar la integral dada.
H
a) C
[xy; yz; zx]d si C es el trángulo de vértices (1; 0; 0); (0; 1; 0) y ( 0; 0; 1).
H
b) [z 2 ; x2 ; y 2 ]d si S es la porción del paraboloide z = 4 x2 y 2 que se
C
encuentra encima del plano XY
H 2 2 p
c) C [x ; z ; xyz]d si S es la semiesfera z = 1 x2 y 2
H
d) C [Cosy +yCosx; Senx xSeny; xyz]d si S es la porción de super…cie z = y 2
encima del cuadrado con vértices en (0; 0; 0); (k; 0; 0); (k; k; 0) y (0; k; 0).
H
e) C [y z; z x; x y]d si C es la curva intersección entre el cilindro x2 +y 2 = 1
y el plano x + z = 1

6. Calcular el trabajo realizado por el campo de fuerzas F para mover una particula a
lo largo de la curva C

a) F(x; y; z) = [y + z; z + x; x + y], C intersección entre el cilindro x2 + y 2 = 2y
y el plano y = z
b) F(x; y; z) = [y; z; x] C intersección entre la esfera x2 + y 2 + z 2 = a2 y el plano
x+y+z =0

H
7. Calcular la integral dada C
[x2 yz; y 2 xz; z 2 xy]d si C es cualquier camino
cerrado.

8. Sea C es una curva cerrada que determina la frontera de una super…cie simple S
y sea F un campo vectorial de…nido en S. Si rF es tangente a S en cada punto,
H
demuestre que C (r F)d = 0

9. Sea C es una curva cerrada que determina la frontera de una H
super…cie S y sean F y G
3
dos campos escalares de R en R de clase 2., demuestre que C (F rG + GrF )d = 0

10. Utilice un CAS para representar el rotacional de un campo vectorial.

6.5. Teorema de Gauss
El teorema de Gauss5 de la divergencia, que puede verse como una versión tridimension-
al del teorema de Green, al relacionar la integral de un campo vectorial en una super…cie
cerrada que es borde de un sólido tridimensional con la integral de su divergencia en el
interior de dicho sólido.

Si F es un campo vectorial de R3 en R3 diferenciable en un conjunto abierto R3
entonces la divergencia de F (div F) es igual a:
@F1 (x; y; z) @F2 (x; y; z) @F3 (x; y; z)
r F(x; y; z) = + +
@x @y @z

Ejemplo 6.5.1 Hallar el rótacional del campo vectorial F(x; y; z) = [3xy 2 + z 3 ; xyz + 1; 2x3 y + yz 3 ]
r F(x; y; z) = 3y 2 + xz + 3yz 2

Propiedad 6.5.1 Si F y G son campos vectoriales de R3 en R3 diferenciables, entonces:
i) r (F G)(x; y; z) = r F(x; y; z) r G(x; y; z)
5

Johann Carl Friedrich Gauss (30 de abril de 1777 – 23 de febrero de 1855,
s. XIX), fue un matemático, astrónomo y físico alemán que contribuyó sig-
ni…cativamente en muchos campos, incluida la teoría de números, el análisis
matemático, la geometría diferencial, la geodesia, el magnetismo y la óptica.
Considerado .el príncipe de las matemáticas .el matemático más grande des-
2

de la antigüedad", Gauss ha tenido una in‡uencia notable en muchos campos
de la matemática y de la ciencia, y es considerado uno de los matemáticos
que más in‡uencia ha tenido en la historia. Fue de los primeros en exten-
der el concepto de divisibilidad a otros conjuntos. Gauss fue un niño prodigio
de quien existen muchas anécdotas acerca de su asombrosa precocidad siendo
apenas un infante, e hizo sus primeros grandes descubrimientos mientras era
apenas un adolescente. Completó su magnum opus, Disquisitiones Arithmeti-
cae a los veintiún años (1798), aunque no sería publicado hasta 1801. Un
trabajo que fue fundamental para que la teoría de los números se consolidara
y ha moldeado esta área hasta los días presentes

6.5. TEOREMA DE GAUSS 261

ii) r (kF)(x; y; z) = kr F(x; y; z), k constante
iii) r (F G)(x; y; z) = (r F(x; y; z)) G(x; y; z) + F(x; y; z) (r G(x; y; z))
F (r F(x; y; z)) G(x; y; z) F(x; y; z) (r G(x; y; z))
iv) r (x; y; z) =
G G2 (x; y; z)

Un campo vectorial F que no posee divergencia se denomina solenoidal y r F(x; y; z) =
0 en todos los puntos (x; y; z) que está de…nido F.

Teorema 6.5.1 de Gauss (Divergencia). Si V es un sólido de R3 acotado por una super…-
cie cerrada orientable S y sea N un vector normal a S y si FR es un campo vectorial diferen-
R
ciable en una bola abierta B de R3 que contiene S, entonces S F NdS = R r F(x; y; z)dV

Demostración.
Como F(x; y; z) = [F1 (x; y; z); F2 (x; y; z); F3 (x; y; z)]
= F1 (x; y; z)i + F2 (x; y; z)j + F3 (x; y; z)k
@F1 @F2 @F3
y r F(x; y; z) = (x; y; z) + (x; y; z) + (x; y; z)
@x @y @z
Basta demostrar que
R R R R @F1
F (x; y; z)i NdS =
S 1 R
(x; y; z)dV
@x
R R R R @F2
S
F2 (x; y; z)j NdS = R
(x; y; z)dV
@y
R R R R @F3
S
F3 (x; y; z)k NdS = R
(x; y; z)dV
@z
Dividimos S en 2 super…cies S1 y S2
cuyas ecucaciones explicitas son z1 = G1 (x; y) y z2 = G2 (x; y)
Sea R la proyección de S en el plano XY
Entonces
R R R @F1 R R G (x;y) @F1
R
(x; y; z)dV = R G12(x;y) (x; y; z)dz dA
R @x @x
= R (F1 (x; y; G2 (x; y) F1 (x; y; G2 (x; y)) dA
Para S2 dA = k N2 dS2


y para S1 dA = k N1 dS1
Luego
R
(F (x; y; G2 (x; y) F1 (x; y; G2 (x; y)) dA
RR 1 R
= S2 F1 (x; y; z)k N2 dS2 + S1 F1 (x; y; z)k N1 dS1
R
= S F1 (x; y; z)k NdS
De igual forma se demuestran las otras dos igualdades.
Quedan a cargo del lector

Ejemplo 6.5.2 Comprobar el teorema de Gauss para F(x; y; z) = [x + z; y + z; x + y] so-
bre el sólido acotado por 0 x2 + y 2 1 y 0 x 2
El sólido R es un cilindro tal que
en coordendas cilindricas
0 r 10 2 0 x 2
y r F(x; y; z) = 2
entonces
R
r F(x; y; z)dV
RR R
2 2 R1 R2R2 R2R2
= 0 0 0 2rdrd dx = 0 0 r2 j1 d dx = 0 0 d dx
0
R2
= 0 2 dx = 4
Ahora calculamos las integrales de super…cie sobre R; tales que
S 1 : x = 0 S2 : x = 2 S3 : y 2 + z 2 = 1
(i) para S1 N1 = [ 1; 0; 0] y dS1 = dydz
luego
R R R
F N dS = R ( x z)dydz
SR R 1 R1R2
= R zdydz = 0 0 r2 Cos d dr
R1 2 R1
= 0 r Sen j2 dr = 0 0dr = 0
0
(ii) para S2 N2 = [1; 0; 0] y dS2 = dydz
luego
R R R R
S2
F N2 dS = R (x + z)dydz
R R R1R2
= R (x + 2)dydz = 0 0 (r2 Cos + 2r)d dr
R1 R1
= 0 (r2 Sen + 2r )j2 dr = 0 4 rdr = 2 r2 j1 = 2
0 0
p 1
ademas si z = 1 y 2 ; S = p dydx
1 y2
luego
R R R R 2y 2 + 4yz + 2xy + 2yz 1
S3
F N3 dS = 2 R p p dxdy
! 4y 2 + 4z 2 1 y2
R R 2y 2 + 2xy
=2 R p + 4y dxdy
1 y2
!
R 1 R 2 2y 2 + 2xy
=2 1 0 p + 4y dxdy
1 y2

!
R1 2y 2 x + x2 y
=2 1 p + 4xy j2 dy
1
1 y 2
!
R 1 4y 2 + 4y
=2 1 p + 8y dy
1 y2
R =2 4Sen2 + 4Sen
=2 =2
+ 8Sen Cos d
Cos
R =2
=2 =2
(4Sen2 + 4Sen + 8Sen Cos ) d
=2
= 2 (2 + Sen(2 ) Cos + 4Sen2 ) j =2

=2 +4+ 4 =2
2 2
Por lo tanto
R
S
F NdS = 0 + 2 + 2 = 4


1. Encuentre la divergencia del campo vectorial F

a) F(x; y; z) = [xyz; yz; z]
b) F(x; y; z) = ex senyi + ex cos yj
xyz
c) F(x; y; z) = e (i + j + k)

2. Para el campo escalar F encuentre el Laplaciano.

x 2y 3z
a) F (x; y; z) = e
b) F (x; y; z) = xseny + y cos z
c) F (x; y; z) = ln x + x ln y + xy ln z

3. De un ejemplo de un campo vectorial F que sea solenoidal.

4. Comprobar el teorema de Gauss para el campo vectorial F, sobre el sólido R

a) F(x; y; z) = [2x; 2y; z 2 ] si R es el cilindro x2 + y 2 = 1 ; 1 z 1.
b) F(x; y; z) = [xz; yz; 3z 2 ] si R es el paraboloide z = x2 + y 2 y z = 1
c) F(x; y; z) = [2xy + z; y 2 ; x 3y] si R es el sólido acotado por el plano 2x +
2y + z = 6 y los planos coordenados.
d) F(x; y; z) = [x; y; z 1] si R es la semiesfera x2 +y 2 +(z 1)2 = 9 con 1 z 4
e) F(x; y; z) = [x2 ; y 2 ; z 2 ] si R es un cubo de lado 1


5. Utilice el teorema de Gauss para hallar el ‡ F a través de la super…cie del sólido
ujo
dado R.

a) F(x; y; z) = [2x; 3y; 4z] si R es el tetraedro de vértices (1; 0; 0); (0; 2; 0) y
(0; 0; 3)
b) F(x; y; z) = [x3 ; y 3 ; z 3 ] si R es la esfera x2 + y 2 + z 2 = 1
x2 y2 z2
c) F(x; y; z) = [ xz; yz; z 2 ] si R es el elipsoide a2
+ b2
+ c2
=1
2 2
d) F(x; y; z) = [xy ; yz; zx ] si R es el sólido acotado por 1 x2 + y 2 4 y
1 z 3
e) F(x; y; z) = [x3 ; y 3 ; z 3 ] si R es el sólido acotado superiomente por la esfera
p
x2 + y 2 + z 2 = 16 e inferiormente por el cono z = x2 + y 2

6. Sean F(x; y; z) = [2x; 3y; 5z + 6x] y G(x; y; z) = [3x + 4z 2 ; 2y + 5x; 5z] demuestre
R R
que S F NdS = S G NdS si S es cualquier super…cie cerrada.

7. Demuestre que si F es un campo vectorial constante y S es una super…cie cerrada
R
entonces S F NdS = 0
R
8. Calcular la integral de super…cie S [xy 2 ; yz 2 ; zx2 ]dS siendo S la región acotada por
los cilindros x2 + y 2 = 1 ; x2 + z 2 = 1
R
9. Comprobar que S [x; y; z]dS = 3V donde V es el volumen del sólido acotado por
la super…cie cerrada S.

10. Utilice un CAS para representar la divergencia de un campo vectorial.


1. La parametrización de una super…cie es única

2. El producto vectorial fundamental es un gradiente

3. Una super…cie es simple si no se corta a si misma

4. Para calcular una integral de super…cie esta se debe parametrizar

5. Si una super…cie es cerrada, determina un volumen

6. Una super…cie orientable posee normales exteriores e interiores

7. La integral de super…cie de un campo escalar se denomina ‡ujo

8. El teroema de Stokes no es aplicable en el plano


9. El teorema de Gauss es solamente aplicable sobre sólidos.

10. La integral de ‡ a traves de un sólido se puede calcular aplicando el teorema de
ujo
Gauss.

PREGUNTA DE SELECCIÓN MULTIPLE CON UNICA RESPUESTA

1. Una super…cie S esta parametrizada por medio de (u; v) = [cos v; 2senv; u] entonces

A. S es un paraboloide B. S es un cilindro C. S es un hiperboloide. D. S es
un elipsoide

2. Una super…cie S esta parametrizada por medio de (u; v) = [2 cos v; 3senv; u] en-
tonces

A. [ 2senv; 3 cos v; 0] es normal a S B. [0; 0; 1]es tangente a S C. [ 3 cos v; 2senv; 0]
es tangente a S D. [2senv; 3 cos v; 0] es normal a S

3. La masa del helicoide cuya ecuación vectorial es (u; v) = p v; usenv; v] con 0
[cos
u 1 y 0 v 2 y cuya densidad en cada punto es = x2 + y 2 , es igual a:
p ! p !
p 4 2+2 4 2 2 p
A. 4 2 + 2 B. C. D. 4 2 2
3 3

4. El ‡ujo del campo vectorial F(x; y; z) = xzi yzj + z 2 k a través del elipsoide
x2 y 2 z 2
+ 2 + 2 = 1 es igual a:
a2 b c
A. ab B. bc C. 0 D. abc

5. El ‡ máximo de F(x; y; z) = [ x2
ujo 4xy; 6yz; 12z]hacia el exterior de un paralelepípe-
do de aristas a, b y c, es igual a:

A. 27 B. –27 C. 30 D. 7
R
6. El valor de la integral de línea C ydx + zdy + xdz si C es la curva intersección entre
las super…cies x + y = 2 y x2 + y 2 + z 2 = 2(x + y) es igual a:
p p
A. 1 B.2 2 C. 1 D. 2 2

7. Sean F un campo escalar y F un campo vectorial diferenciables, determine cual de
las siguientes expresiones tiene sentido.

A. r(rF ) B. r (r F) C. r (r F) D. r (rF )

R
8. La integral de lìnea C 2zdx + xdy + y 2 dz, donde C es el borde de la super…cie
z = 4 x2 y 2 para z 0, es equivalente a:
R R 2
R R R R
R RA. S [2z; x; y ] dS B. S [2z; x; y 2 ] [2x; 2y; 1] dS C. S [2y; 2; 1] [2x; 2y; 1] dS D.
S
[2y; 2; 1] [2; 2; 1] dS

PREGUNTAS DE SELECCIÓN MÚLTIPLE CON MÚLTIPLE RESPUESTA
Si 1 y 3 son correctas marque EMultiple

1. Una super…cie S esta parametrizada por medio de (u; v) = [cos vsenu; senvsenu; cos u]
con 0 u y 0 v 2 entonces.

1. S es un elipsoide 2. [cos v cos u; senv cos u; senu] es tangente a S
3. [sen2 u cos v; sen2 usenv; senu cos u] es normal a S. 4. (u; ) es un círculo.
A. B. C. D. E.

2. Si S1 y S2 son super…cies simples.entonces:

A. S1 [ S2 es simple. B. S1 S2 es simple C. S1 es simple D. S1 S2 es
simple.

3. Si F(x; y; z) = [ex seny; ex cos y; z] entonces

1. OF(x; y; z) = [ex seny; ex seny; 1] 2. O F(x; y; z) = ex seny ex seny + 1
3. O F(x; y; z) = [2ex cos y; 0; 0] 4. O F(x; y; z) = [0; 0; 0]
A. B. C. D. E.

4. Si F es un campo vectorial de R3 en R3 diferenciable, entonces

1. divF = T raza(Jacobiana(F)) 2.div (rotF) = 0 3.rot (divF) = 0 4.rot (rotF) =
0
A. B. C. D. E.

5. Un solidó esta acotado por 0 x 1, 0 y 1y 0 z G(x; y), donde
z = G(x; y)es una super…cie suave arbitraria desconocida. Suponga que el ‡ hacia
ujo
fuera de F(x; y; z) = [x; 2y; z + 3] a través del lado que se encuentra en el plano
y = 1es igual a 3 y a través del lado que se encuentra en el plano x = 1es igual a
1, entonces a través de:

1. El lado que se encuentra en el plano x = 0 es igual a –1
2. El lado que se encuentra en el plano y = 0 es igual a 3
3. El lado que se encuentra en el plano z = 0 es igual a –3
4. La super…cie z = G(x; y) es igual a 5
A. B. C. D. E.


6. Sean S1 el hemisferio superior de la esfera x2 +y 2 +z 2 = 4, S2 la porción del paraboloide
z = x2 + y 2 4que se encuentra debajo del plano xy, N1 y N2 las normales exteriores
a S1 y S2 respectivamente, y F(x; y; z) = [x; y; z]un campo vectorial, se cumple que:
R R R R R R R R
1. S1 F N1 ds = S2 F N2 ds 2. S1 F N1 ds = S2 F N2 ds
R R S R R R R
3. S1 F N1 ds = V olumen(S) si S = S1 S2 4. S1 F N1 ds < S2 F N2 ds
A. B. C. D. E.

PREGUNTAS ABIERTAS

1. Demuestre que F (x; y) = jxj + jyj no es una super…cie simple.
2. Determine los puntos de la super…cie r(u; v) = [u2 + v 2 ; u + 3v; 5v]donde el plano
tangente es paralelo al plano 5x 6y + 2z = 7
3. Si r(u; v) = [u+v; u2 +v 2 ; u3 +v 3 ] halle el producto vectorial fundamental de r(u; v) y
@ @
determine los puntos (u; v) para los cuales y son linealmente independientes.
@u @v
4. Hallar el área de la super…cie común a los cilindros x2 + y 2 = a2 y x2 + z 2 = a2
5. Si S es una esfera de radio a, determine el área de la porción de esfera que se
a a
encuentra entre los planos z = yz=
2 4
6. Una rampa en forma de espiral esta determinada por la ecuación r(u; v) = [ucosv; usenv; cv
con a u b y 0 v 2 y c es un parametro que determina la pendiente de
la rampa. Determinar el área de la super…cie de esta rampa.
R
7. Calcular la integral de super…cie S F (x; y; z)dS, si S es la porción del paraboloide
z = 2 (x2 + y 2 ) sobre el plano xy ; y:

a) F (x; y; z) = 1
b) F (x; y; z) = x2 + y 2
c) F (x; y; z) = 3z

8. Hallar el centro de masas de la super…cie esferica x2 + y 2 + z 2 = a2 que se encuentra
p
dentro del cono zT an = x2 + y 2 (0 < < 2 )
9. Si S es la super…cie determinada por el triángulo de vérticesR (1; 0; 0) ; (0; 1; 0) y
(0; 0; 1), y F(x; y; z) = [x; y; z] :Calcular la integral de super…cie S F NdS utilizando

a) La representación vectorial r(u; v) = [u + v; u v; 1 2u]
b) Una representación explicita de la forma z = F (x; y)

10. Si S es una super…cie con frontera C y F esR un campo vectorial tal que O F es
tangente en cada punto de S demuestre que C F d = 0


3 @2F @2F
11. Si F es un campo escalar de…nido en una bola abierta B de R tal que + +
@x2 @y 2
@2F R R
= 0 en B demuestre que S OF Nds = 0 donde S es la frontera de B.
@z 2
! ! !
12. Calcule el ‡ del campo F (x; y; z) = x i + y j
uo z k a través de la región común
a las esferas x2 + y 2 + z 2 = 1 y x2 + y 2 + (z 1)2 = 1.
xi + yj + zk
13. Calcule el ‡ del campo F(x; y; z) =
ujo a travès del elipsoide 4x2 +
(x2 + y 2 + z 2 )3=2
9y 2 + 16z 2 = 36

14. Compruebe el teorema de Stokes para F(x; y; z) = [x + 2y; 3x + z; x + y + z], si S es
la porción de cilindro x2 + y 2 = 4, 1 z 1

15. Veri…car el teorema de Stokes para F(x; y; z) = [y + z; xz; y 2 ], si S es la porción
del primer octante acotada por 2x + z = 6 y y = 2 , que no queda:

a) En el plano XY
b) En el plano Y = 2
c) En el plano 2x + z = 6

16. Un campo escalar F tiene R propiedad kOF k2 = 4F y O (F OF ) = 10F . Calcular
R la
la integral de super…cie S OF Nds donde S es la super…cie de la esfera unitaria
con centro en el origen y N es un vector normal unitario exterior a S
R
17. Si F es constante, demuestre que S F Nd = 0 para cualquier super…cie S suave y
cerrada.
R R
18. Calcular la integral de super…cie S xdydz + ydzdx + zdxdy si S es la super…cie
acotada por el cilindro x2 + y 2 = 9 y los planos z = 0 y z = 3

a) Directamente
b) Utilizando el teorema de Gauss
R R
19. Calcular la integral de super…cie S
4xzdydz y 2 dzdx + yzdxdy si S es un cubo
de arista 1.

a) Directamente
b) Aplicando el teorema de Gauss

20. Si S es una super…cie cerrada que encierra un volumen V y F(x; y; z) =[ax; by; cz]
R R
demostrar que S F NdS = (a + b + c)V


Problemas

1. La tienda de un indio esta hecha de una tela impermeable con forma conica de altura
6 m y base circular de radio 2 m, determine la cantidad de material que se empleo
en la elaboraciòn de la tienda.

p
2. La punta de un lápiz es el resultado de la intersección del cono z = 3x2 + 3y 2 con
un prisma hexagonal regular de lado a, de manera que el cono y el prisma tiene
el mismo eje. Hallar el área de la super…cie cónica de dicha punta sabiendo que
la sexta parte proyecta sobre un triángulo equilátero tal como se muestra en la

…gura.

3. Una catedral tiene una cúpula cuya forma es la de un paraboloide de revolución con
ecuación 4z = 64 x2 y 2 se sabe que un pintor cobra por mano de obra $2000 por
metro cuadrado, mientras que el bote de pintura que rinde para 40m2 cuesta $9000.

a) Cual es el área de la cúpula

b) Cual es el costo total por pintar la cúpula.

4. La super…cie de una montaña responde a la ecuación x2 + y 2 + z = 4R2 Sobre una
de sus laderas se construye un restaurante cilíndrico, de radio R, según muestra la
…gura. La temperatura viene dada por T (x; y; z) = 3x2 + (y R)2 + 16z 2 . De…namos
la función densidad de ‡ de calor V como V = krT , donde k es una constante
ujo
que depende de los materiales. Determinar el ‡ de V a través de la super…cie de
ujo
contacto entre el restaurante y la montaña. (La respuesta dependerá de R y de k).


z

y

x

5. Un globo tiene la forma de una esfera truncada de radio 4, con truncamiento circular
de radio 1. Si los gases calientes se escapan a través de la super…cie porosa del
globo según el campo de velocidades V (x; y; z) = r (x; y; z) donde (x; y; z) =
! !
y i + x j . Calcular el ‡ de los gases a través de la super…cie del globo.
ujo

APÉNDICE A

Apendice

271

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