Carlos perozo
- 1. Republica Bolivariana De Venezuela Ministerio Del Poder Popular Para La Educacion Superior Universidad Territorial Politecnica Andres Eloy Blanco Barquisimeto Estado Lara Operaciones Integrante Carlos Perozo C.I.26398041
- 2. Introducción En el presente trabajo abordamos algunas operaciones matematicas como las q son los cojuntos de números reales desigualdades ditancia punto medio, entre otras, actividades del cual son fundamentales en la vida cotidiana
- 3. Definición de conjuntos Los conjuntos de números reales son aquellos que se forman cuando hacemos una combinación de números racionales y números irracionales como también podemos decir de la combiancion de números naturales y números enteros. En matemáticas, un conjunto es una colección de elementos con características similares considerada en sí misma como un objeto. Los elementos de un conjunto, pueden ser las siguientes: personas, números, colores, letras, figuras, etc. Se dice que un elemento (o miembro) pertenece al conjunto si está definido como incluido de algún modo dentro de él. Ejemplo: el conjunto de los colores del arcoíris es: AI = {rojo, naranja, amarillo, verde, azul, añil, violeta} Un conjunto suele definirse mediante una propiedad que todos sus elementos poseen. Por ejemplo, para los números naturales, si se considera la propiedad de ser un número primo, el conjunto de los números primos es: P = {2, 3, 5, 7, 11, 13, …} Un conjunto queda definido únicamente por sus miembros y por nada más. En particular, un conjunto puede escribirse como una lista de elementos, pero cambiar el orden de dicha lista o añadir elementos repetidos no define un conjunto nuevo. Por ejemplo: S = {lunes, martes, miércoles, jueves, viernes} = {martes, viernes, jueves, lunes, miércoles} AI = {rojo, naranja, amarillo, verde, azul, añil, violeta} = {amarillo, naranja, rojo, verde, violeta, añil, azul} Los conjuntos pueden ser finitos o infinitos. El conjunto de los números naturales es infinito, pero el conjunto de los planetas del sistema solar es finito (tiene ocho elementos). Además, los conjuntos pueden combinarse mediante operaciones, de manera similar a las operaciones con números. Los conjuntos son un concepto primitivo, en el sentido de que no es posible definirlos en términos de nociones más elementales, por lo que su estudio puede realizarse de manera informal, apelando a la intuición y a la lógica. Por otro lado, son el concepto fundamental de la matemática: mediante ellos puede formularse el resto de objetos matemáticos, como los números y las funciones, entre otros. Su estudio detallado requiere pues la introducción de axiomas y conduce a la teoría de conjuntos . Operaciones con conjuntos Con números reales pueden realizarse todo tipo de operaciones básicas con diversas excepciones importantes: No existen raíces de orden par (cuadradas, cuartas, sextas, etc.) de números negativos en números reales, (aunque sí existen en el conjunto de los números complejos donde dichas operaciones sí están definidas).
- 4. La división entre cero no está definida (pues cero no posee inverso multiplicativo, es decir, no existe número x tal que 0·x=1). No se puede hallar el logaritmo de un número real negativo, cualquiera sea la base de logaritmos, un número positivo distinto de 1.11 Estas restricciones tienen repercusiones en otras áreas de las matemáticas como el cálculo: existen asíntotas verticales en los lugares donde el denominador de una función racional tiende a cero, es decir, en aquellos valores de la variable en los que se presentaría una división entre cero, o no existe gráfica real en aquellos valores de la variable en que resulten números negativos para raíces de orden par, por mencionar un ejemplo de construcción de gráficas en geometría analíti Números reales En matematicas, el conjunto de los números reales (denotado por ) incluye tanto a los números racionales, (positivos, negativos y el cero) como a los números irracionales;1 y en otro enfoque, trascendentes y algebraicos. Los irracionales y los trascendentes2 (1970) no se pueden expresar mediante una fracción de dos enteros con denominador no nulo; tienen infinitas cifras decimales aperiódicas, tales como √5, π, o el número real log2, cuya trascendencia fue enunciada por Euler en el siglo XVIII.2 Los números reales pueden ser descritos y construidos de varias formas, algunas simples aunque carentes del rigor necesario para los propósitos formales de matemáticas y otras más complejas pero con el rigor necesario para el trabajo matemático formal. Durante los siglos XVI y XVII el cálculo avanzó mucho aunque carecía de una base rigurosa, puesto que en el momento prescindían del rigor y fundamento lógico, tan exigente en los enfoques teóricos de la actualidad, y se usaban expresiones como «pequeño», «límite», «se acerca» sin una definición precisa. Esto llevó a una serie de paradojas y problemas lógicos que hicieron evidente la necesidad de crear una base rigurosa para la matemática, la cual consistió de definiciones formales y rigurosas (aunque ciertamente técnicas) del concepto de número real.3 En una sección posterior se describirán dos de las definiciones precisas más usuales actualmente: clases de equivalencia de sucesiones de Cauchy de números racionales y cortaduras de Dedekind. Desigualdad En matemáticas, una desigualdad es una relación de orden que se da entre dos valores cuando estos son distintos (en caso de ser iguales, lo que se tiene es una igualdad).
- 5. Si los valores en cuestión son elementos de un conjunto ordenado, como los enteros o los reales, entonces pueden ser comparados. La notación a < b significa a es menor que b; La notación a > b significa a es mayor que b Estas relaciones se conocen como desigualdades estrictas, puesto que a no puede ser igual a b; también puede leerse como "estrictamente menor que" o "estrictamente mayor que" La notación a ≤ b significa a es menor o igual que b; La notación a ≥ b significa a es mayor o igual que b; estos tipos de desigualdades reciben el nombre de desigualdades amplias (o no estrictas). La notación a ≪ b significa a es mucho menor que b; La notación a ≫ b significa a es mucho mayor que b; esta relación indica por lo general una diferencia de varios órdenes de magnitud. La notación a ≠ b significa que a no es igual a b. Tal expresión no indica si uno es mayor que el otro, o siquiera si son comparables. Generalmente se tienden a confundir los operadores según la posición de los elementos que se están comparando; didácticamente se enseña que la abertura está del lado del elemento mayor. Otra forma de recordar el significado, es recordando que el signo señala/apunta al elemento menor. Ejercicio n.1 . .
- 6. . . – C.S = X ∈ (-∞, -1/3) Definición de Valor Absoluto. En matemáticas, el valor absoluto o módulo1 de un número real denotado por es el valor no negativo de sin importar el signo, sea este positivo o negativo Así,3 es el valor absoluto de +3 y de -3. El valor absoluto está vinculado con las nociones de magnitud, distancia y norma en diferentes contextos matemáticos y físicos. El concepto de valor absoluto un número real puede generalizarse a muchos otros objetos matemáticos, como son los cuaterniones, anillos ordenados, cuerpos o espacios vectoriales. Función Valor Absoluto La función real valor absoluto se define sobre el conjunto de todos los números reales asignando a cada número real su respectivo valor absoluto. Formalmente, el valor absoluto de todo número real está definido por:que se expresa: La función identidad es igual a la función signo por el valor absoluto: Por definición, el valor absoluto de siempre será mayor o igual que cero y nunca negativo. En general, el valor absoluto de la diferencia de dos números reales sirve para hallar la distancia entre ellos. De hecho, el concepto de función distancia o métrica en matemáticas se puede ver como una generalización del valor absoluto que expresa la distancia a lo largo de la recta numérica real. La función valor absoluto es una función continua en todo su dominio, con su función derivada discontinua esencial en (0;0), con dos ramas de valores constantes.
- 7. La función y = x|x|, usando valor absoluto, es una función creciente y continua, su gráfica se obtiene de la gráfica de la parábola y=x2, reflejando la rama izquierda respecto al eje Ox. Programación del valor absoluto En programación, la función matemática utilizada comúnmente para calcular el valor absoluto es abs(). Esta se utiliza en los lenguajes de programación Fortran, Matlab y GNU Octave (los cuales la soportan para números enteros, reales y complejos), y además en el Lenguaje C, donde también son válidas las funciones labs(), llabs(), fabs(), fabsf() y fabsl(). La codificación de la función valor absoluto para valores enteros es sencilla: int abs (int i) { if (i < 0) return -i; else return i; } Sin embargo, al tratar con coma flotantes la codificación se complica, pues se debe lidiar con la infinitud y valores NaN.[ Con el lenguaje ensamblador es posible calcular el valor absoluto de un número utilizando sólo tres instrucciones. Por ejemplo, para un registro de 32 bits en una arquitectura x86, con la sintaxis de Intel: cdq xor eax, edx sub eax, edx cdq extiende el bit de signo de eax en edx. Si eax es no-negativa, entonces edx se convierte en cero, y las dos últimas instrucciones no tienen efecto, dejando eax sin cambios. Si eax es negativa, entonces edx se convierte en 0xFFFFFFFF, o -1. Las siguientes dos instrucciones se convierten en una inversión complemento a dos, dejando el valor absoluto del valor negativo . Desigualdades de valor absoluto (<): La desigualdad | x | <4 significa que la distancia entre x y 0 es menor que 4.
- 8. Así, x > -4 Y x <4. El conjunto solución es . Cuando se resuelven desigualdes de valor absoluto, hay dos casos a considerar. Caso 1: La expresión dentro de los símbolos de valor absoluto es positiva. Caso 2: La expresión dentro de los símbolos de valor absoluto es negativa. La solución es la intersección de las soluciones de estos dos casos. En otras palabras, para cualesquiera números reales a y b , si | a | < b , entonces a < b Y a > - b . DISTANCIA ENTRE PUNTOS Para poder calcular la distancia entre dos puntos primeramente debemos conocer las coordenadas de estos puntos. Tomaremos dos puntos cualquieras para luego, a partir de estos generar un criterio para cualquiera sea el par de puntos a los que posteriormente calculemos la distancia. Sean los puntos A=(x,y) y B=(w,z), dos puntos que pertenecen al primer cuadrante del plano cartesiano. Calcular la distancia entre ambos. Para generar este calculo, deberemos ubicar los puntos en el plano cartesiano de manera que al generar el segmento que subtienden los puntos, este no sea paralelo a ningún eje coordenado. Una vez que se ubican los puntos, se debe ubicar un tercer punto referencial al que llamaremos C, que tendrá coordenadas C=(w,y) de manera de este punto genere un triángulo rectángulo y siendo precisamente el vértice del ángulo recto. Quedando precisamente un gráfico como el que veremos a continuación.
- 9. La idea de formar un triángulo rectángulo es que a partir de éste se puede utilizar el teorema de Pitágoras para calcular la distancia de su hipotenusa, que es el segmento particular que interesa. Podemos calcular la distancia de los catetos del triángulo rectángulo para así poder saber la distancia de la hipotenusa que representa la distancia entre el punto A y el punto B. La distancia de los catetos AC será (w-x) y la del cateto BC será (z-y), por lo tanto, por teorema de Pitágoras definimos lo siguiente. Por lo tanto el valor de la distancia AB será: Ejemplo: Calcular la distancia entre los puntos R=(5,6) y T=(2,2) Punto medio Para encontrar el punto medio del segmento utilizaremos los mismos puntos de la demostración anterior. Entonces, calcularemos el punto medio del segmento AB. Para eso utilizaremos el concepto de promedio, para calcular la distancia
- 10. intermedia entre dos longitudes debemos calcular el promedio de estas. Si queremos saber cual es la distancia promedio entre 5 y 7, sumamos las variables y dividimos por 2, el resultado claramente es 6. Entonces ahora para calcular una distancia media entre dos puntos se deberá ocupar el mismo concepto. Se debe analizar por separado cada eje coordenado y así se poder encontrar el punto medio, según los puntos encontrados para cada eje coordenado. Sean los puntos A=(x,y) y B=(w,z), dos puntos que pertenecen al primer cuadrante del plano cartesiano. Calcular el punto medio del segmento AB. Calculamos la distancia media en ambos ejes coordenados, primero en el eje «x» y luego en el eje «y». En el eje «x» el promedio de las longitudes será En tanto, el promedio en el eje y será Finalmente el punto medio es: Ejemplo: Calcular el punto medio entre el punto(5,5) y el punto (9,3). En el eje x el promedio de las longitudes será En tanto, el promedio en el eje y será Por lo tanto, el punto medio es: Para calcular la distancia entre puntos y el punto medio es importante recordar cómo llegar a la fórmula general, eso permitirá consistencia y mayor fijación del contenido a la hora de estudiar.
- 11. Ejercicio N. 1 Encuentra todos los puntos que pertenecen a la línea horizontal y=2, tales que se encuentran a una distancia de 8 unidades del punto (-3, 7). Solución Hagamos un bosquejo de la situación planteada. Dibujemos segmentos de recta desde el punto (-3, 7) hasta la línea y=2. De acuerdo con la gráfica, sea k el valor desconocido de la coordenada x que buscamos. Utilicemos la fórmula de la distancia. 8=(−3−k)2+(7−2)2−−−−−−−−−−−−−−−−√ Ahora resolvamos dicha ecuación: Elevamos al cuadrado ambos miembros de la Ecuaci'{o}n Por tanto.'{o}Aplicando la f'{o}rmula cuadr'{a}tica.Por tanto. 6400kk=(−3−k)2+25=9+6k+k2−39=k2+6k−30=−6±36+120−−−−−−−√2=−6±1 56−−−√2≈3.24 '{o} k≈−9.24 Respuesta Los puntos son (-9.24, 2) y (3.24, 2) Encontrar el Punto Medio de un Segmento de Recta Representación gráfica de la circunferencia, parábola, elipse y la hipérbola
- 12. : La circunferencia es una línea curva, plana y cerrada, cuya definición más usual es: Una circunferencia es el conjunto de todos los puntos de un plano que equidistan de otro punto fijo y coplanario llamado centro. A la distancia entre cualquiera de sus puntos y el centro se le denomina radio. El segmento de recta formado por dos radios alineados se llama diámetro. Es la mayor distancia posible entre dos puntos que pertenezcan a la circunferencia. La longitud del diámetro es el doble de la longitud del radio. La circunferencia sólo posee longitud. Se distingue del círculo en que éste es el lugar geométrico de los puntos contenidos en una circunferencia determinada; es decir, la circunferencia es el perímetro del círculo cuya superficie contiene. Puede ser considerada como una elipse de excentricidad nula, o una elipse cuyos semiejes son iguales. También se puede describir como la sección, perpendicular al eje, de una superficie cónica o cilíndrica, o como un polígono de infinitos lados, cuya apotema coincide con su radio. La circunferencia de centro en el origen de coordenadas y radio 1 se denomina circunferencia unidad o circunferencia goniométrica. Es una curva plana con infinitos ejes de simetría y sus aplicaciones son muy numerosas. Parábola: En matemática, la parábola es la sección cónica resultante de cortar un cono recto con un plano paralelo a su generatriz. Se define también como el lugar geométrico de los puntos de un plano que equidistan de una recta (eje o directriz) y un punto fijo llamado foco. En geometría proyectiva, la parábola se define como la curva envolvente de las rectas que unen pares de puntos homólogos en una proyectividad semejante o semejanza. La parábola aparece en muchas ramas de las ciencias aplicadas, debido a que las gráficas de ecuaciones cuadráticas son parábolas. Por ejemplo, la trayectoria ideal del movimiento de los cuerpos bajo. Elipse