![Diversos conjuntos numéricos.
En Matemáticas empleamos diversos conjuntos de números, los más elementales son:
N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, ... } . El conjunto de los números naturales, o números que sirven para contar.
Z = {..., -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, ... } . El conjunto de los números enteros, o números que
sirven para designar cantidades enteras (positivas o negativas).
Q = {...., -7/2,..., -7/3, ..., -5/4,... -5/1, ...0, ..., 2/133, ... 4/7 ... } . El conjunto de los números racionales,
o números que pueden ser expresados como un cociente (quotient) entre dos enteros, fracción, p/q.
Observen que algunos números con infinitos decimales tal como el 2,33333... pertenece a este
conjunto, puesto que: 2,33333... = 7/3.
No obstante, en Q no se hallan algunos números como 1,4142136... (raíz cuadrada de 2) , o el
3,141592... (el número p ) que poseen infinitos decimales pero no pueden expresarse en la forma p/q.
A estos números se les llama "números irracionales".
R = Q U {"números irracionales"} . El conjunto de los números reales, formado por la unión de Q y de
todos los números irracionales. Este conjunto suele denominarse recta real , pues los puntos de una
recta pueden ponerse en correspondencia con los infinitos números de R.
Segmento de una recta, [a, b], son todos los números reales comprendidos entre a y b, es decir, los
números x tales que son mayores (o iguales) a "a" y menores (o iguales) a "b".](https://image.slidesharecdn.com/numerosreales-210404213729/85/Numeros-reales-9-320.jpg)
Numeros reales
- 1. República Bolivariana de Venezuela Ministerio del Poder Popular para la Educación Universitaria Universidad Politécnica Territorial Andrés Eloy Blanco (UPTAEB) Barquisimeto Estado Lara Participantes : Torrealba Yerdelin CI :24.158243 Matemática Sección: 0303 Programa Nacional de Formación en Administración Números Reales
- 2. Definición de Conjuntos En matemáticas, un conjunto es una colección de elementos con características similares considerada en sí misma como un objeto. Los elementos de un conjunto, pueden ser las siguientes: personas, números, colores, letras, figuras, etc. Se dice que un elemento (o miembro) pertenece al conjunto si está definido como incluido de algún modo dentro de él. Ejemplo: el conjunto de los colores del arcoíris es: AI = {rojo, naranja, amarillo, verde, azul, añil, violeta}. En ocasiones un conjunto viene expresado por la propiedad (o propiedades) que cumplen sus elementos, por ejemplo: Es el conjunto de los números reales comprendidos entre el 1 y el 2 ( incluidos ambos). Dos conjuntos A y B son iguales, expresado A = B, solamente cuando constan de los mismos elementos.
- 3. ‒ Operaciones con conjuntos. Las operaciones con conjuntos también conocidas como álgebra de conjuntos, nos permiten realizar operaciones sobre los conjuntos para obtener otro conjunto. ‒ Unión o reunión de conjuntos. Es la operación que nos permite unir dos o más conjuntos para formar otro conjunto que contendrá a todos los elementos que queremos unir pero sin que se repitan. Ejemplo. Dados dos conjuntos A={1,2,3,4,5,6,7,} y B={8,9,10,11} la unión de estos conjuntos será A∪B={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11}. Usando diagramas de Venn se tendría lo siguiente: También se puede graficar del siguiente modo:
- 4. ‒ Intersección de conjuntos. Es la operación que nos permite formar un conjunto, sólo con los elementos comunes involucrados en la operación. Es decir dados dos conjuntos A y B, la de intersección de los conjuntos A y B, estará formado por los elementos de A y los elementos de B que sean comunes, los elementos no comunes A y B, será excluidos. El símbolo que se usa para indicar la operación de intersección es el siguiente: ∩. Ejemplo Dados dos conjuntos A={1,2,3,4,5} y B={4,5,6,7,8,9} la intersección de estos conjuntos será A∩B={4,5}. Usando diagramas de Venn se tendría lo siguiente:
- 5. ‒ Diferencia de conjuntos. Es la operación que nos permite formar un conjunto, en donde de dos conjuntos el conjunto resultante es el que tendrá todos los elementos que pertenecen al primero pero no al segundo. Es decir dados dos conjuntos A y B, la diferencia de los conjuntos entra A y B, estará formado por todos los elementos de A que no pertenezcan a B. El símbolo que se usa para esta operación es el mismo que se usa para la resta o sustracción, que es el siguiente: -. Ejemplo Dados dos conjuntos A={1,2,3,4,5} y B={4,5,6,7,8,9} la diferencia de estos conjuntos será A-B={1,2,3}. Usando diagramas de Venn se tendría lo siguiente:
- 6. ‒ Diferencia de simétrica de conjuntos. Es la operación que nos permite formar un conjunto, en donde de dos conjuntos el conjunto resultante es el que tendrá todos los elementos que no sean comunes a ambos conjuntos. Es decir dados dos conjuntos A y B, la diferencia simétrica estará formado por todos los elementos no comunes a los conjuntos A y B. El símbolo que se usa para indicar la operación de diferencia simétrica es el siguiente: △. Ejemplo Dados dos conjuntos A={1,2,3,4,5} y B={4,5,6,7,8,9} la diferencia simétrica de estos conjuntos será A △ B={1,2,3,6,7,8,9}. Usando diagramas de Venn se tendría lo siguiente
- 7. ‒ Complemento de un conjunto. Es la operación que nos permite formar un conjunto con todos los elementos del conjunto de referencia o universal, que no están en el conjunto. Es decir dado un conjunto A que esta incluido en el conjunto universal U, entonces el conjunto complemento de A es el conjunto formado por todos los elementos del conjunto universal pero sin considerar a los elementos que pertenezcan al conjunto A. el conjunto del cual se hace la operación de complemento. Ejemplo Dado el conjunto Universal U={1,2,3,4,5,6,7,8,9} y el conjunto A={1,2,9}, el conjunto A' estará formado por los siguientes elementos A'={3,4,5,6,7,8}. Usando diagramas de Venn se tendría lo siguiente:
- 8. Números reales Los números reales son el conjunto que incluye los números naturales, enteros, racionales e irracionales. Se representa con la letra ℜ. La palabra real se usa para distinguir estos números del número imaginario i, que es igual a la raíz cuadrada de -1, o √-1. , el conjunto de los números reales se define como la unión de dos tipos de números, a saber; los números racionales, los números irracionales. A su vez, los números racionales se clasifican en:
- 9. Diversos conjuntos numéricos. En Matemáticas empleamos diversos conjuntos de números, los más elementales son: N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, ... } . El conjunto de los números naturales, o números que sirven para contar. Z = {..., -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, ... } . El conjunto de los números enteros, o números que sirven para designar cantidades enteras (positivas o negativas). Q = {...., -7/2,..., -7/3, ..., -5/4,... -5/1, ...0, ..., 2/133, ... 4/7 ... } . El conjunto de los números racionales, o números que pueden ser expresados como un cociente (quotient) entre dos enteros, fracción, p/q. Observen que algunos números con infinitos decimales tal como el 2,33333... pertenece a este conjunto, puesto que: 2,33333... = 7/3. No obstante, en Q no se hallan algunos números como 1,4142136... (raíz cuadrada de 2) , o el 3,141592... (el número p ) que poseen infinitos decimales pero no pueden expresarse en la forma p/q. A estos números se les llama "números irracionales". R = Q U {"números irracionales"} . El conjunto de los números reales, formado por la unión de Q y de todos los números irracionales. Este conjunto suele denominarse recta real , pues los puntos de una recta pueden ponerse en correspondencia con los infinitos números de R. Segmento de una recta, [a, b], son todos los números reales comprendidos entre a y b, es decir, los números x tales que son mayores (o iguales) a "a" y menores (o iguales) a "b".
- 10. En matemáticas, una desigualdad es una relación de orden que se da entre dos valores cuando estos son distintos (en caso de ser iguales, lo que se tiene es una igualdad). Si los valores en cuestión son elementos de un conjunto ordenado, como los enteros o los reales, entonces pueden ser comparados. • La notación a < b significa a es menor que b; • La notación a > b significa a es mayor que b Estas relaciones se conocen como desigualdades estrictas, puesto que a no puede ser igual a b; también puede leerse como "estrictamente menor que" o "estrictamente mayor que" • La notación a ≤ b significa a es menor o igual que b; • La notación a ≥ b significa a es mayor o igual que b; estos tipos de desigualdades reciben el nombre de desigualdades amplias (o no estrictas). Desigualdades < Menor que 2x − 1 < 7≤ Menor o igual que 2x − 1 ≤ 7 > Mayor que 2x − 1 > 7 ≥Mayor o igual que 2x − 1 ≥ 7
- 11. VALOR ABSOLUTO Cualquier número a tiene su representación en la recta real. El valor absoluto de un número representa la distancia del punto a al origen. Observe en el dibujo que la distancia del 3 al origen es 3 unidades, igualmente la distancia del punto -3 al origen es 3. En notación, esto es − 3 = 3. Las barras se leen como el valor absoluto de lo que esta dentro de ellas. En el valor absoluto no importa en que lado de la recta real está representado el número. Analíticamente podemos ver que si a es positivo, es decir esta a la derecha del cero, entonces a = a y si está a la izquierda del origen, es decir si a es negativo, entonces a = −a . Esto lo escribimos en la siguiente definición.
- 12. DESIGUALDADES CON VALORES ABSOLUTOS La expresión |x|<2 la podemos interpretar como los x cuya distancia al origen es menor que 2, estos x son todos los números que están entre -2 y 2. Así la desigualdad |x|<2 es equivalente a -2<x<2 La expresión |x|>2 la podemos interpretar como los x cuya distancia al origen es mayor que 2, estos x son todos los números mayores que 2 y los menores que -2 . Así la desigualdad |x|>2 es equivalente a x<-2 ó x>2