Celda pv-monte carlo

Depto. de Física: Modelización de una celda fotovoltaica Fa.C.E.N.A.
Área de Física Aplicada utilizando Simulación Monte Carlo Año 2003
Ing. Alberto D. Llamazares Quintana* *Universidad Nacional del Nordeste
Dr. Luis Miguel García Raffi** **Universidad Politécnica de Valencia
INTRODUCCIÓN
En esta práctica se realizó una modelización matemática de una celda fotovoltaica,
sobre la base de un modelo simplificado de la unión p-n semiconductora, que considera como
generadora de pares electrón-hueco sólo a la parte frontal de la zona p de la celda. La
modelización incluye a la fuente de radiación solar que se realizó considerando al sol como un
cuerpo negro, por lo cual se aplica la Ley de Radiación del Cuerpo Negro de Planck(1900).
Para el cálculo de la densidad de corriente se aplican el método de simulación Monte
Carlo y la integración numérica por la regla de Simpson. El objetivo principal del cálculo es
obtener la expresión de la respuesta espectral absoluta de la celda fotovoltaica, con cuyo valor
se calcula la corriente fotogenerada por la celda. A la caracterización teórica le siguió su
validación por medio de observaciones experimentales llevadas a cabo en el laboratorio de
Óptica del Departamento de Física, de la Facultad de Ciencias Exactas y Naturales y
Agrimensura de la Universidad Nacional del Nordeste (Argentina). Los cálculos se realizaron
utilizando el programa MATHEMATICA 2.2.
La crisis mundial de la energía a principios del siglo XXI:
El estudio de las llamadas energías alternativas ha pasado en nuestros días de ser
solamente una propuesta interesante desde el punto de vista técnico a ser una necesidad.
El aumento de la demanda de petróleo es tan enorme que no puede continuar al ritmo
presente por dos razones :
• Su multiplicación por 10 en los países desarrollados durante los últimos 50
años no puede repetirse en todos los países.
• La dependencia de la energía en los países desarrollados se ha hecho
demasiado grande: en el caso del petróleo en los E.E.U.U. hoy es de un 50 %. Esta
dependencia, así como su contrapartida, que es la acumulación de la riqueza en un
reducido número de países que poseen yacimientos de petróleo, dan fragilidad a todo el
sistema.
La escasez prevista de las fuentes de energía utilizadas hasta el presente pone de relieve
la importancia del desarrollo de fuentes energéticas sustitutivas.
La Tierra es un sistema en equilibrio térmico con una entrada de energía y una salida y
el equilibrio entre ambas determina la temperatura. La mayor parte de la energía entrante es la
del sol y la energía saliente es la radiada por la Tierra. En la actualidad, aparte de la energía
del sol , la tierra está recibiendo energía extra de entrada procedente del fuel, gas natural,
carbón, fisión nuclear, etc. Por lo cual la tierra se puede sobrecalentar teniendo repercusiones
en el clima y la ecología.
Diodos y circuitos:
Los elementos de circuitos como resistencias, condensadores e inductores simples son
lineales, es decir que si se aplica una señal (sea una tensión) de valor doble, se obtiene una
respuesta doble (o corriente). Estos elementos son también pasivos, no tienen una fuente de
potencia, y son todos de dos terminales o bornas.
El diodo es un elemento de dos terminales, compuesto de material semiconductor
formando tres zonas diferenciadas, una de tipo p y otra de tipo n, y entre las dos anteriores
una zona de unión, que forma la transición del tipo p al n.
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Las dos zonas se obtienen mediante un proceso de dopamiento con impurezas al
material semiconductor base como el silicio, éste primeramente está dopado con impurezas de
un tipo por ejemplo p (impurezas de Boro), y la zona de unión se forma dopando el material
anterior con impurezas del otro tipo (Fósforo), que forman las zonas n y la de unión. El diodo
es un elemento pasivo pero no-lineal.
Por eso la corriente no es proporcional al voltaje. Su respuesta depende de la polaridad
impuesta a sus terminales, constituidos por un ánodo, coincidente con la zona n, y un cátodo
en su zona p. Si el ánodo es positivo con respecto al cátodo, se dice que está polarizado
directamente, y se comporta como un cortocircuito, presentando una pequeña caída de
potencial del orden de 0.7 voltios, este potencial se denomina “voltaje de codo”.
Si el ánodo es negativo con respecto al cátodo, se dice que está polarizado
inversamente, y se comporta como un circuito abierto, circulando una pequeña corriente
inversa del orden de los nanoamperios, para un diodo de propósitos generales. Por encima del
voltaje de codo, la corriente del diodo aumenta rápidamente; pequeños incrementos en el
voltaje del diodo provocan grandes aumentos en la corriente.
La razón de ésta: después de que el potencial de codo ha sido superado, todo lo que
impide la circulación de corriente es la resistencia macroscópica o resistencia óhmica de las
regiones p y n. Esta resistencia es lineal; en otras palabras, un diodo combina una resistencia
totalmente no lineal (la unión) con una resistencia macroscópica lineal (las regiones p y n
externas a la capa de la unión). Debajo de 0.7 V la no linealidad de la unión predomina; por
encima de 0.7 V predomina la linealidad de la resistencia macroscópica.
CURVA CARACTERÍSTICA DEL DIODO
SÍMBOLO
I
ánodo
ID
TENSIÓN DE RUPTURA
0.7V VD V cátodo
Una célula fotovoltaica está compuesta por una pastilla semiconductora cuya unión o
juntura formada entre las zonas p y n, es similar a la de un diodo de unión p-n.
En este dispositivo se produce el efecto fotovoltaico:
Esta célula así formada reacciona a la radiación incidente formando pares electrón-
hueco, que son recogidos por la zona de la unión llamada zona de carga espacial produciendo
una corriente eléctrica que se puede establecer entre ánodo y cátodo mediante contactos
metálicos, que en su base no iluminada cubre la totalidad de la superficie, mientras que en la
zona iluminada se reduce a líneas lo más delgadas posibles que forman un peine de contactos.
En la práctica experimental se procedió a caracterizar una celda fotovoltaica típica de
silicio cristalino, por medio de algunos parámetros eléctricos presentes en la celda cuando se
la ilumina con radiación directa del sol, las pruebas fueron:
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1) Determinación de curvas I-V y parámetros característicos de una celda
fotovoltaica:
Para la caracterización de una celda fotovoltaica es primordial obtener su curva
característica eléctrica de corriente-tensión, que abarca los valores desde la corriente de corto-
circuito ISC hasta la tensión de circuito abierto VOC, siendo éstos, dos valores importantes de la
celda. Otro valor importante es el del punto de máxima potencia con sus valores de corriente y
tensión IMAX y VMAX con los cuales se puede calcular un factor importante de la celda para
cada condición de irradiación, el factor FF (Fill Factor) o factor de llenado, que se define así:
OCSC
MAXMAX
VI
VI
FF
.
.
=
Con este factor FF posteriormente se puede hallar un valor aproximado del parámetro o
factor de calidad de la unión p-n, el factor A0.
2) Determinación de la resistencia serie Rs de la celda:
Para la determinación de la resistencia serie de la celda fotovoltaica se procedió a la
medición de varias curvas de respuesta I-V para diferentes valores de irradiancia incidente,
con las cuales se calcula el valor de Rs por el método de Wolf.
El método de Wolf consiste en tomar pares de puntos correspondientes entre dos curvas
I-V de diferente irradiancia, y determinar los ∆V y los ∆I entre la curvas para los pares de
puntos , luego con estos deltas se calcula la Rs, según:
Rs = ∆V / ∆I
Luego se promedian los valores de Rs obtenidos de los puntos correspondientes de
diferentes pares de curvas.
Los valores experimentales obtenidos fueron los siguientes:
CorrMax=152.7; (* mA *)
VoltMax=315; (* mV *)
Rs=0.19; (* Ohm *)
CorrCortoCirc=180; (* mA *)
TenCircAbier=427.5; (* mV *)
tcel=37;(* TEMPERATURA DE LA CÉLULA *)
Irrad=400; (* Watt/m^2 *)
Arcelda=20; (* cm^2 , ÁREA DE LA CÉLULA *)
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DESARROLLO DEL MODELO TEÓRICO SIMPLE DE CELDA FOTOVOLTAICA:
Tal y como hemos comentado en la introducción, esta práctica está dedicada a la
modelización del fenómeno físico que fundamenta el funcionamiento de una celda solar
fotovoltaica, y está dirigida a la creación de un programa para el cálculo de los parámetros de
una celda de estas características. El desarrollo del ejercicio comprende dos tipos de cálculos
matemáticos. La primera parte, que corresponde al primer tipo, tiene como objetivo la
obtención de ecuaciones explícitas que permitan describir ciertas magnitudes - como la
irradiancia - mediante una expresión matemática, a partir de algunos datos experimentales y
argumentos teóricos, así como el desarrollo e integración de la ecuación diferencial que rige el
proceso. La segunda parte, que implica otro tipo de cálculos, hace referencia a un problema
más práctico: el cálculo de la corriente de cortocircuito.
1- Ajuste de la curva de intensidad de irradiación solar a partir de una tabla de valores
experimentales y Simulación Monte Carlo de la fluencia de fotones:
Consideraciones teóricas:
En Termodinámica se denomina cuerpo negro a un cuerpo ideal que tiene la propiedad de
absorber toda la radiación electromagnética que llega al mismo, ya sea de luz o calor. En
equilibrio térmico con el medio circundante el cuerpo negro irradia ondas EM de todas las
frecuencias, que sigue una ley exponencial propuesta por Max Planck en 1900, de acuerdo
con su postulado de la cuantización de la energía. La ley de Planck de la radiación del cuerpo
negro es la siguiente:
( )
1
12
5
2
−
=
kT
hcT
e
hc
E
λ
λ
λ
π
[Watt/m2
µm]
Donde:
h= constante universal de Planck = 6.626x10-34
Joule-s
c= velocidad de la luz en el vacío = 2.998x108
m/s
k= constante de Boltzmann = 1.381x10-23
Joule/ºK
λ= longitud de onda
T= temperatura absoluta en ºKelvin.
Por consideraciones termodinámicas se puede estudiar la radiación solar como si fuera
emitida por un cuerpo negro, a la temperatura correspondiente al anillo solar, que es de
5.780ºK. Como el sol no es un cuerpo ideal, sino un cuerpo real, se observará en la curva real
una traslación en el eje de abscisas hacia valores mayores en longitud de onda, y la curva real
quedará por debajo de la ideal del cuerpo negro a la temperatura correspondiente. Esta es una
propiedad de todos los cuerpos reales, ya que no emiten como cuerpos negros ideales.
La distribución espectral de la energía procedente del sol que tiene valores apreciables se
extiende en una región de longitudes de onda que abarca aproximadamente desde 200nm a 4
µm, rango en el cual se produce el 95 % del total de radiación emitida. Principalmente, los
espectros de interés son el espectro solar extra-atmosférico, denominado AM0, y el espectro
de referencia para aplicaciones terrestres AM1.5. Las siglas significan Air Mass, e indican el
camino óptico que recorren los rayos solares.
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Así, el valor de Air Mass de 1.5 corresponde al camino óptico cuando el sol se encuentra
en un ángulo cenital de 48.19º, y los rayos pasan a través de 1.5 atmósferas:
(cos48.19º)-1
=1.5
Dada la siguiente tabla de valores experimentales, obtener la función que representa a la
tabla.(Dejar las longitudes de onda expresadas en micrómetros).
λ µm 0.395 0.445 0.495 0.545 0.595 0.645 0.695 0.75 0.8 0.86 0.9 0.975 0.985 1.09 1.1
Irrad. 593.1 1302.4 1516.1 1539.8 1526.7 1492 1428.3 1294.3 1194.8 1036.8 976.8 640.4 600.5 542.6 605.2
El espectro AM1.5 dado por la tabla está afectado por un factor llamado de dilución, fs
que para el caso solar vale 2.165x10-5
y representa el cuadrado del cociente del radio solar
partido el radio de la esfera que contiene a la Tierra y con su centro en el sol, esta relación
proviene del principio de conservación de energía, ya que el flujo radiante total a través de la
superficie del sol es igual al flujo a través de cualquier superficie esférica concéntrica con el
sol, en especial la que tiene como radio la distancia Tierra Sol. El flujo radiante total del sol
será la integral a todo el espectro de longitudes de onda de la expresión de la ley de Planck, a
ésta integral la llamamos excitancia radiante Msol, entonces tenemos que:
4πrsol
2
.Msol = 4πrT-Sol
2
.Ecs
Ecs =. rsol
2
/ rT-Sol
2
.Msol
Ecs = fs Msol
Donde :
fs : factor de dilución = 2.165x10-5
Ecs : Constante Solar (Espectro AM0)= 1367 W/m2
± 4 W/m2
.rsol= radio del Sol
.rT-Sol= radio medio de la órbita terrestre.
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Irrad.[Watt/m2
µm]
0.40.50.6 0.70.80.9 1 1.1
600
800
1000
1200
1400
λ[µm]

Entonces al considerar como fuente de energía de nuestro modelo la función ajustada de
la tabla de radiación solar del espectro AM1.5, debemos dividirla por el factor de dilución
para obtener los valores de irradiancia solar adecuados de acuerdo con la ley de Planck. Esta
función así calculada será la que integra la fluencia de fotones necesaria para nuestro modelo.
1 a - Simulación Monte Carlo
Luego procederemos a la Simulación Monte Carlo de los valores de la fluencia de
fotones, para ello debemos obtener la expresión de la función Φ0 como explicamos más
adelante en el punto 3.
La utilización del método de simulación Monte Carlo es válida debido a que los
procesos por los cuales se producen los fotones en una emisión radiante no controlada o
difusa, es un proceso claramente aleatorio y desordenado, produciéndose fotones dentro de
todas las posibles cantidades de energía. Siendo éstas, cantidades totalmente cuantizadas, de
esa manera, se obtienen los fotones de las más variadas longitudes de onda presentes en todo
el espectro de radiación del cuerpo negro de Planck.
Dicho de otra forma, la emisión fotónica de una fuente de luz como el sol, está
regida por una ley de densidad de probabilidad de ocurrencia que tiene la forma de la
ley de Radiación del Cuerpo Negro de Planck.
1 b- Irradiancia solar:
Para obtener Φ0 , previamente debemos obtener la función de Irradiancia a partir de la
ley de Planck, y expresar la misma mediante un polinomio, utilizando el comando Fit
aplicado a los valores discretos de la tabla de radiación dada, considerando ésta como la
radiación incidente sobre la celda, colocamos la expresión genérica de la misma ley como
función -argumento del comando Fit. Ésta es la función Irradiancia solar sobre la superficie
de la Tierra.
Una vez obtenida esta función Φ0 debemos aplicar el método de Simulación Monte
Carlo, según lo indicado en el punto 13. Éste consiste en aplicar el método de la
transformación Inversa, y luego aplicar la generación de números aleatorios según una
función de distribución discreta, desarrollado en el punto 14.
Esta función de distribución será la que se genera a partir de la expresión de Φ0
mediante la cual se debe producir un arreglo de valores discretos de la función y su variable
independiente, en este caso, la longitud de onda λ expresada en micrómetros.(el número de
estos valores discretos necesarios será dejado a la consideración del alumno, debiéndo ser no
menor que 150.) La función del Mathematica útil para este fin es la simple Table[] a dos
variables.
Luego debemos averiguar qué cantidad de valores de simulación es necesario generar
para obtener buenos resultados, comparando éstos con los datos de la experiencia de
laboratorio consignados antes. Los valores a generar estarán en el orden de 200 a 3.000
aproximadamente.
Una vez que tengamos los valores de simulación de la fluencia de fotones, podemos
proseguir a obtener la función densidad de corriente fotogenerada Jnp y calcular la corriente
de cortocircuito Isc.
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2- Ajuste de la tabla del Coeficiente de Absorción α:
Consideraciones teóricas:
El material semiconductor puede absorber radiación EM y en el caso de la célula
fotovoltaica la absorción se realiza con producción de pares electrón-hueco, pero las
radiaciones se absorben de manera diferente para distintas longitudes de onda. La absorción
se realiza siguiendo la ley de Lambert que puede ser escrita como una exponencial negativa;
el exponente se denomina coeficiente de absorción del material semiconductor, que depende
de las longitudes de onda λ.
En esta caso se trata de calcular un ajuste de la curva de valores experimentales de α
mediante un polinomio cúbico. Para ello, dada la tabla de valores experimentales del
coeficiente de absorción α, es necesario formar una tabla del logaritmo neperiano de α en
función de λ. A partir de ella ajustar un polinomio de grado tres mediante el comando Fit para
obtener la expresión de α en función de λ. (Expresar λ en micrómetros).
Tabla de valores experimentales del coeficiente de absorción alfa del silicio:
(Castañer Muñoz, Luis.UPC.1995)
λ [ µm] α [ cm-1
] λ [ µm ] α [cm-1
] λ [µm ] α [cm-1
] λ [µm ] α [cm-1
]
0.26 2,10E+06 0.52 1,02E+04 0.78 1,04E+03 1.04 22.6
0.27 2,21E+06 0.53 9,27E+03 0.79 9,51E+02 1.05 16.3
0.28 2,35E+06 0.54 8,10E+03 0.80 8,69E+02 1.06 11.1
0.29 2,13E+06 0.55 7,15E+03 0.81 7,92E+02 1.07 8,00E+00
0.30 1,65E+06 0.56 6,45E+03 0.82 7,21E+02 1.08 6.2
0.31 1,44E+06 0.57 5,49E+03 0.83 6,55E+02 1.09 4.7
0.32 1,28E+06 0.58 5,43E+03 0.84 5,94E+02 1.10 3.5
0.33 1,19E+06 0.59 4,77E+03 0.85 5,36E+02 1.11 2.7
0.34 1,12E+06 0.60 4,40E+03 0.86 4,83E+02 1.12 2,00E+00
0.35 1,08E+06 0.61 4,09E+03 0.87 4,34E+02 1.13 1.5
0.36 1,04E+06 0.62 3,82E+03 0.88 3,89E+02 1.14 1.01
0.37 7,32E+05 0.63 3,55E+03 0.89 3,47E+02 1.15 0.68
0.38 2,82E+05 0.64 3,28E+03 0.90 3,08E+02 1.16 0.42
0.39 1,70E+05 0.65 3,02E+03 0.91 2,72E+02 1.17 0.22
0.40 1,07E+05 0.66 2,77E+03 0.92 2,39E+02 1.18 0.065
0.41 7,80E+04 0.67 2,53E+03 0.93 2,09E+02 1.19 0.036
0.42 5,73E+04 0.68 2,34E+03 0.94 1,82E+02 1.20 0.023
0.43 4,63E+04 0.69 2,17E+03 0.95 1,57E+02 1.21 0.013
0.44 3,70E+04 0.70 2,00E+03 0.96 1,34E+02 1.22 0.0077
0.45 3,06E+04 0.71 1,86E+03 0.97 1,14E+02 1.23 0.0038
0.46 2,54E+04 0.72 1,71E+03 0.98 95.1 1.24 0.0015
0.47 2,18E+04 0.73 1,58E+03 0.99 7,90E+01 1.25 0,00E+00
0.48 1,82E+04 0.74 1,46E+03 1.00 6,40E+01
0.49 1,59E+04 0.75 1,34E+03 1.01 51.1
0.50 1,38E+04 0.76 1,23E+03 1.02 39.9
0.51 1,18E+04 0.77 1,13E+03 1.03 30.2
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3- Ecuación diferencial de transporte de portadores minoritarios en semiconductores:
MODELO DE CÉLULA SOLAR SIMPLE:
Consideramos sólo la contribución de la base a la corriente fotogenerada.
Ubicamos el origen de coordenadas en la unión semiconductora, con el eje de abscisas
creciente hacia la base de la celda.
y
fotones
x
0
De acuerdo con las leyes de transporte de portadores de carga de Boltzmann, las expresiones
que gobiernan el comportamiento de la celda son:
( )x
n
n
G
nn
x
J
qt
n
−
−
+
∂
∂
−=
∂
∂
−
τ
01
).(
x
n
DnEqJ nnn
∂
∂
+= µ
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0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2
-5
5
10
15
Ajuste polinómico de grado tres (línea continua)
sobre escala logarítmica de α (curva de puntos).
0.4 0.6 0.8 1 1.2
200000
400000
600000
800000
1. 10
6
Curva experimental del coeficiente
de absorción α.
Base p
Emisor n
juntura

Donde:
n =concentración de portadores negativos en semiconductor
n0= concentración de equilibrio de electrones mayoritarios ( sin inyección)
Jn=densidad de corriente de portadores minoritarios negativos en semiconductor
q =carga del electrón
τn=tiempo de vida medio de cargas fotogeneradas
µn=movilidad de los portadores de carga negativos en semiconductor
E=campo eléctrico de la zona de carga espacial (juntura).
Dn=constante de difusión de portadores negativos en semiconductor
G(x)=generación óptica de portadores de cargas.
Para lograr mayor simplicidad en la expresión matemática de las propiedades de la celda, y
validar nuestro modelo simple de celda, consideramos las siguientes hipótesis como válidas:
1. Régimen estacionario, las condiciones no varían con el tiempo; esto anula la derivada
parcial del tiempo.
2. Dopado de impurezas uniforme en todo el material semiconductor.
3. Baja inyección de cargas; esto supone anular el campo eléctrico E en la expresión de la
densidad de corriente, así como considerar que la constante de difusión, la movilidad y el
tiempo de vida medio son independientes de x.
4. Generación óptica exponencial, G(x).
Considerando la función de generación óptica G(x) como la que da la cantidad de fotones
absorbidos por el material semiconductor y que produjeron un par de cargas electrón-hueco en
forma efectiva, la podemos expresar así:
( )
x
x eG .
0 .. α
α −
Φ=
Donde:
α= coeficiente de absorción de fotones por el semiconductor:[cm-1
].
Φ0= fluencia de fotones.
Φ0=
8.19
10.. 16
)( λλI
[fotones/(cm2
µm s)]
donde:
I(λ)= irradiancia espectral solar, obtenida del ajuste del espectro AM1.5 en el item
1-.Expresada en [Watt/m2
µm].
λ= longitud de onda de radiación incidente, expresada en [µm].
Entonces la ecuación diferencial de transporte del semiconductor queda expresada de
la siguiente forma:
( )x
n
n G
nn
dx
nd
D −=
−
−
τ
0
2
2
x
n
n e
nn
dx
nd
D .
0
0
2
2
.. α
α
τ
−
Φ−=
−
−
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donde :
Dn = constante de difusión de portadores minoritarios negativos en el semiconductor.
n’p=n-n0
Esta ecuación tiene sus condiciones de contorno:
Para x=0 n’p(0)=np0.(eV/Vt
-1)
Para x∞ n’p(∞)=0
Donde :
np0 =
Aef
i
N
n
2
0
, kT
E
AAef
g
eNN
∆
−
=
Con las nomenclaturas siguientes:
np0= concentración de electrones (portadores minoritarios) en zona p en condiciones de
equilibrio( sin campo eléctrico aplicado)
ni0= concentración de portadores intrínsecos de material en equilibrio
NAef= concentración de impurezas aceptoras efectivas del material
NA= concentración de impurezas aceptoras del material
∆Eg= salto de energía, o banda de energía prohibida en la unión. Éste valor está dado
en la unidad eV, convertir la unidad eV a Joule mediante el factor de conversión:
1eV=1.602x10-19
Joule
En este apartado, el objetivo matemático que queremos obtener es hallar la solución de
la ecuación diferencial, expresar n como función de x solamente siendo los coeficientes
constantes, y luego reescribir la ecuación en función de x, de λ y de V, incorporando las
expresiones previamente halladas de α y de Φ0 como funciones de λ. El comando de
Mathematica que utilizaremos será DSolve, que sirve para la integración de ecuaciones
diferenciales.
4- Constantes de integración y condiciones de contorno:
En este apartado lo que se pretende es, una vez obtenida la solución de la ecuación
diferencial, particularizarla para las condiciones de contorno que se han descrito en el
apartado anterior. Para ello, basta con sustituir los valores, y calcular el límite correspondiente
en el caso de la condición en el infinito. Para ello no es necesario el uso del ordenador.
La solución resultante, luego de obtenidas las constantes de integración e incorporadas
en Mathematica a la solución, describirá exactamente el proceso que estamos modelando.
5- Obtención de Jn, densidad de corriente eléctrica generada por la célula fotovoltaica:
La densidad de corriente obtenida será, por definición, proporcional a la derivada de
np(x,λ,V) con respecto a x, la expresión está dada en Amperios/cm2
.
dx
dn
qDJ nn = 5.1
Esta operación se puede hacer utilizando el comando D de Mathematica, que calcula la
derivada, y multiplicando por parámetros correspondientes del sistema. Obtendremos así la
expresión de Jn(x,λ,V) (Amperios/cm2
):
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( )








−
−
Φ
+








−−=
−
−
−
nnT L
x
n
x
n
nL
x
V
V
po
n
n
n e
L
e
L
Lq
een
L
D
qJ .
1
.
1
1 22
2
0 α
α
α
α
5.2
6- Integración de Jn(x,λ,V) mediante el método de la regla de Simpson y cálculo de la
Respuesta Espectral Absoluta “SR” de la celda:
En este punto, recordemos que en la función que se ha obtenido aparece aún de forma
explícita el valor de λ. Como lo que se pretende es calcular el aporte correspondiente a todos
los valores de longitud de onda que se reciben, es apropiado utilizar los valores de simulación
de la fluencia de fotones en ésta función de Jn(x,λ,V) .
Como los valores simulados están distribuídos aleatoriamente debemos ordenarlos
mediante el comando Union[ ] del Mathematica. Una vez obtenidos los valores en orden
creciente, podemos proceder a la integración numérica mediante el método de la regla de
Simpson, que es aplicable a una sucesión de números.
Los extremos de integración de x serán hallados más tarde, considerando que los
valores típicos de la profundidad de difusión en células reales son del orden de 1x10-6
metro.
La Respuesta Espectral Absoluta de la celda fotovoltaica se define como:
SR(λ) = Jn(x,λ,V) / E(λ)
siendo E(λ) la irradiancia recibida en la superficie de la Tierra. Ésta es nuestra función
irradiancia solar obtenida en el punto 1 b-.
Ésta función E(λ) también se puede integrar por el método de la regla de Simpson a
partir de los valores de simulación obtenidos por el método de Monte Carlo.
Nota: tener en cuenta que la unidad de Jn(x,λ,V) es [Ampere / cm2
] y en cambio E(λ) tiene
la unidad [Watt / m2
], por lo tanto hay que adecuar una de ellas para obtener la “SR(λ)” en
[Ampere / Watt].
Por último, podemos obtener representaciones gráficas de la función, para interpretar
el comportamiento del sistema a partir de estas representaciones. (Tomaremos valores de
V=0. 5 Voltios, valor razonable para una célula fotovoltaica).
7- Obtención de J0. Parámetros característicos de la célula solar:
El factor A0 se llama factor de calidad del dispositivo, y expresa cuánto se aleja del
comportamiento ideal del semiconductor. El ideal sería A0 = 1. Tener en cuenta lo detallado
en el punto 11.
Para los cálculos de VT consideramos una temperatura absoluta de 300 ºK (ambiente).
En la expresión de Jn aparecen dos sumandos, el primero es el componente de la
corriente de oscuridad J0, que está multiplicado por un exponencial donde V es la tensión
generada por el dispositivo cuando está iluminado:
nT L
x
V
V
po
n
n
een
L
D
qJ
−








−−= .10 7.1
Página 11 de 28

El segundo sumando es una corriente que no depende de la tensión sino solamente de
la función de generación óptica; ésta es la parte de la corriente fotogenerada, que llamamos
Jnph:
( )








−
−
Φ
=
−
− nL
x
n
x
n
n
nph e
L
e
L
Lq
J .
1
.
122
2
0 α
α
α
α
7.2
8 – Cálculo de la corriente de cortocircuito Isc:
El cálculo de la corriente de corto circuito Isc es directo a partir de la respuesta
espectral absoluta “SR”, mediante la siguiente expresión:
Isc = SR(λ) . Irrad . Área
Siendo:
Irrad = valor de irradiancia solar considerada del día.[Watt / m2
]
Área = el área de la celda en m2
.
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9 - Circuito Eléctrico Equivalente de la célula fotovoltaica:
Es posible la representación de una célula fotovoltaica por un circuito eléctrico
equivalente, el cual funcionaría dando exactamente las variables de salida características de
una célula real. El circuito equivalente consta de una fuente de corriente continua que
representa la corriente generada por la energía solar, de un diodo por el cual circula una
corriente de pérdida o corriente de oscuridad, una resistencia en serie con la salida para
representar la resistencia macroscópica del material semiconductor. Con los elementos
eléctricos equivalente de la célula solar, podemos dibujar su circuito equivalente de la
siguiente manera:
Im Rs
Iph Ia VOC
Donde :
Iph = corriente fotogenerada, fuente de corriente.
Ia = corriente inversa, (diodo).
Im = corriente de salida de la célula.
Rs = resistencia serie.
Isc=Jnph.A
I0=J0.A
Donde J0= componente de oscuridad, fórmula 7.1
Jnph= componente fotogenerada, fórmula 7.2
Del circuito equivalente se deduce la relación corriente - tensión en los terminales del
dispositivo:
I= Iph – Ia – (V+I.Rs)/Rsh
Donde 







−=
+
1
.
0
T
s
V
RIV
a eII 7.3
Podemos considerar que en el circuito equivalente la resistencia serie es nula y deducimos las
siguientes ecuaciones:
Por la propia definición, Iph es la corriente de cortocircuito Isc.
En circuito abierto, I=0
0=Isc- 







−10
TV
V
eI
de donde despejando la tensión obtenemos:
Página 13 de 28







+==
0
1ln
I
I
VVV sc
TOC 7.4
y considerando que:
Isc=Jnph.A
I0=J0.A
Nos queda 





+=
0
1ln
J
J
VV sc
TOC
La ecuación de la corriente para calcular la potencia máxima si la resistencia serie no es cero
es la siguiente:








−−=
+
1
.
0
T
s
V
RIV
sc eIII 7.5
El parámetro I0 no siempre es fácil de conocer por lo que suele ser preferible sustituirlo por
alguna relación que contenga magnitudes conocidas.
Para ello, despreciando la unidad frente a la exponencial en las ecuaciones 7.4 y 7.5 y
despejando de la ecuación 7.4, el valor de I0 y remplazándolo en la 7.5 resulta:








−=
−+
T
OCs
V
VIRV
sc eII 1 7.6
que en el punto de máxima potencia será:








−=
−+
T
OCsscm
V
VRIV
scm eII 1 7.7
Haciendo el producto de VmIm y aplicando las condiciones de potencia máxima:
0==
m
mm
m
m
dV
IdV
dV
dP
7.8
resulta, después de desarrollo algebraico:
( ) 0=




 −
−+
T
smm
scmm
V
RIV
III 7.9
Las dos ecuaciones 7.7 y 7.9 permiten hallar el punto de máxima potencia.
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10- Calcular los valores de tensión y corriente correspondientes al punto de máxima
potencia generada:
Calcular:






+=
0
1ln
J
J
VV sc
TOC
Con las ecuaciones 7.7 y 7.9 formamos el sistema de ecuaciones siguiente:








−=
−+
T
OCsscm
V
VRIV
scm eII 1
( ) 0=




 −
−+
T
smm
scmm
V
RIV
III
Para resolver el sistema de ecuaciones hace falta un valor de Rs, los valores típicos de
resistencia serie pueden tomarse como variables entre 0.01Ω y 0.18Ω, se deberá tomar un
valor obtenido por el método de Wolf para los cálculos.
Lo siguiente que haremos será reemplazar el valor de Im dado por la primera ecuación,
en la segunda, y escribir la ecuación trascendente como una función f(Vm)=0, y hallar el paso
por cero de la función. Para ello, utilizaremos el comando FindRoot de Mathematica.
Luego con la primera ecuación hallar el valor de Im en función del valor hallado de Vm.
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11- CONSIDERACIONES PARA EL CÁLCULO:
Ley de Planck y coeficiente de absorción α:
Por la complejidad de los cálculos en la integración de la densidad de corriente
JnP(x,λ,V) proveniente de la expresión de la fluencia de fotones Φ(λ) en función de la Ley de
Planck teniendo a la longitud de onda como variable independiente, debemos expresar éstas
en µm de manera que al realizar los cálculos surjan expresiones cuya precisión sea alcanzable
por el programa Mathematica. Cabe aclarar que esta ley debe ser multiplicada por el factor de
dilución fs.
El coeficiente de absorción α también es una ley de valores discretos cuya variable
independiente λ estará expresada en µm.
Expresión de np (x,λ,V):
Al escribir la expresión de np se debe tener en cuenta que por la reflexión producida en
la cara frontal de la celda se debe incluir un factor de transmitancia del orden de 0,7 en el
término de fotogeneración. Esto se debe a que la reflectancia en la cara frontal de la celda es
del orden del 50% para cortas longitudes de onda y del 30% para las restantes longitudes de
onda, nosotros podemos considerar que la reflectancia tiene un valor de 30% en todo el
espectro de longitudes de onda (Mompín Poblet et al., 1985)
Extremos de integración de Jnp :
Lo mismo, deberá ir expresada en µm la longitud de onda en los cálculos de
integración de JnP, mientras que los valores de extremos de integración de x serán expresados
en m.
Para el punto de cortocircuito Jnp tendrá el valor de V=0.
Para J0 el valor de V=Vmax, siendo el valor de x el mismo que para la corriente
fotogenerada Jnp .
El extremo superior de integración de x=xj , será el de la suma del valor de la
profundidad de difusión característica del silicio, del orden de 0,2 ~ 0,8 µm, más el ancho de
la zona de carga espacial o capa de agotamiento de cargas “w”. Este valor se calcula con la
siguiente fórmula:
( )
2/1
.
).
.2
( 




 +
=
DA
DAs
d
NN
NN
q
Vw
ε
donde :








= 2
0
.
ln.
i
AD
Td
n
NN
VV
es la tensión de difusión característica de la zona de unión, y
εs = constante dieléctrica del material.
Los valores típicos de Vd son de 1 voltio, y los de w son de 0,1∼0,15 µm.
Por lo tanto xj ≅ 0,9 µm = 0,9 x 10-6
m.
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Factor de calidad de la celda A0:
Al factor de calidad lo calcularemos en base a una fórmula según el método de ajuste
de curvas I-V de MARQUARDT (Krezinger, 1994), aplicable a silicio mono y policristalino
en función del factor FF cuya expresión es la siguiente:
Este factor es útil para calcular el valor de VT necesario en la expresión de Jnp , ese
valor está dado por la siguiente fórmula:
q
TkA
VT
..0
=
donde:
k = constante de Boltzmann
T = temperatura absoluta
q = carga elemental (del electrón).
Página 17 de 28
A0 = 2,8 – 2,3.FF

12- Datos utilizados en los cálculos de la celda correspondientes al silicio:
Datos de los portadores minoritarios negativos:
τ = 1.11x10-5
seg.
Dn= 36
Ln = 200x10-4
cm
np0 = 1990.1 cm-3
n0 = 1.4x1010
cm-3
Datos del material semiconductor:
∆Eg = 1.12 eV
NA = 9.853x1016
cm-3
ND = 4.9444x1017
cm-3
εs = 1.0536x10-14
(Coul)2
/(Nw.cm2
)
nnn DL τ.=
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Trabajo presentado en la XXIIIª Reunión de Trabajo de la ASADES(2000):
CARACTERIZACIÓN DE UNA CELDA FOTOVOLTAICA: COMPARACIÓN DE
DATOS EXPERIMENTALES Y SIMULADOS APLICANDO UN MODELO
TEÓRICO SIMPLE
Alberto LLAMAZARES, Arturo J. BUSSO y Noelia BAJALES LUNA
Departamento de Física – Facultad de Ciencias Exactas y Naturales y Agrim.– UNNE
Campus Av. Libertad – Av. Libertad 5600 – C.P.3400 - Corrientes - Argentina
e-mail: adllama@yahoo.com.ar
RESUMEN
Se expone un trabajo de laboratorio tendiente a la implementación de una práctica sobre generación fotovoltaica en el Dpto.
de Física de la Fac. de Cs. Exactas de la UNNE.
Se describe la metodología de trabajo seguida, resultados obtenidos para la caracterización experimental de una celda
fotovoltaica, su modelización y posterior validación de los modelos. Los modelos empleados contemplan tanto el fenómeno a
nivel microscópico (comportamiento físico de la unión p-n) como a nivel macroscópico (circuito equivalente).
Para la modelización se hace uso del programa MATHEMATICA.
ABSTRACT
The implentation of a laboratory experiment on PV generation at the Physics Department of the Facultad de Ciencias Exactas
– UNNE is presented.
The methodology followed and results obtained for the characterization of a crystalline silicon solar cell as well as its
comparison with simulated values using simple microscopic and macroscopic models is also detailed.
For the simulation runs the program MATHEMATICA was used.
PALABRAS CLAVE
Celdas solares, unión p-n, diodo, fotodiodo, circuito equivalente, generador solar.
ANTECEDENTES
El creciente interés a nivel mundial por la utilización de fuentes renovables para satisfacer demandas energéticas de distinto
orden se debe principalmente a una cada vez mayor concientización acerca de lo limitado de las reservas de combustibles
fósiles así como también al deterioro ambiental que estos producen.
La Argentina no esta fuera de esta tendencia pero aun falta mucho trabajo por hacer para que estas tecnologías sean
adoptadas.
En este contexto, dentro del Dpto. de Física de la Facultad de Ciencias Exactas de la UNNE, se esta constituyendo un grupo
dedicado al campo de las energías renovables que, entre otras actividades, pretende implementar laboratorios de tipo rutinario
que permitan una mayor difusión y conocimiento de estos temas dentro del ámbito académico de la facultad.
Como punto de inicio en esta tarea, se encaró la implementación de un laboratorio para el estudio de las características de las
celdas fotovoltaicas.
El presente escrito expone por tanto, los resultados de la experiencia realizada. De la misma se sacaron conclusiones, no solo
relacionadas con la temática en cuestión, sino también referente a correcciones a introducir en la metodología aplicada.
DESARROLLO DEL TRABAJO Y METODOLOGÍA APLICADA:
La comparación de los datos obtenidos experimentalmente se realizó empleando dos modelos simples de celda fotovoltaica:
uno microscópico basado en el comportamiento físico ideal de la unión p-n bajo iluminación (Llamazares et al., 2000) y el
otro macroscópico basado en el circuito eléctrico equivalente.
En el primer caso, se asume la validez del principio de superposición. Este indica que la corriente que fluye a través del
dispositivo bajo condiciones de iluminación es igual a la suma de la corriente de corto circuito, Isc, más la corriente que sería
producida cuando se polariza en la oscuridad a la celda con un potencial V igual al generado bajo iluminación.
La figura 1 muestra el circuito eléctrico equivalente empleado. Este consiste en una fuente de corriente y un diodo conectados
en paralelo. Una fotocorriente Iph, proporcional a la intensidad de la radiación solar incidente sobre el dispositivo es generada
por la fuente de corriente. La unión p-n de la celda solar es representada por un diodo (polarizado en directa). La resistencia
Rs, representa la caída interna de potencial hasta los terminales de contacto. Bajo esta condiciones, la ecuación de I(V) del
circuito puede entonces ser derivada directamente aplicando las leyes de Kirchoff para circuitos eléctricos.
Con el objeto entonces de comparar las características eléctricas experimentales de una célula fotovoltaica con los resultados
predichos por un modelo simple de célula, se realizaron las siguientes determinaciones:
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Determinación de la curva experimental corriente vs. tensión de una célula fotovoltaica de silicio cristalino:
La figura 2 muestra el dispositivo utilizado compuesto por los siguientes elementos:
a) Fuente de luz. Como fuente de luz natural fue empleada la luz solar en un día de cielo despejado en horario alrededor del
medio día. Como fuente de luz artificial se utilizó una lámpara incandescente halógena alimentada con una batería de 12 V
DC a fin de lograr estabilidad en el espectro de emisión.
b) Celda fotovoltaica de Silicio cristalino SFH 120 fabricada por la firma Siemens.
c) Solarímetro fotovoltaico.
d) Graficador x-y. Las curvas I-V a diferentes intensidad de iluminación se graficaron directamente mediante un graficador
de dos canales con amplificación de tensiones adecuadas.
e) Dispositivo divisor resistivo y sensor de corriente. El divisor resistivo estaba compuesto por un potenciómetro, Rp, de
variación continua lineal y el sensor de corriente por una resistencia, R, calibrada de bajo valor óhmico para evitar
introducir errores sistemáticos considerables.
f) Sensor de temperatura. Consistía en una termocupla fijada a la cara posterior de la célula con el objeto de monitorear la
temperatura de la misma durante los ensayos.
Fig.1.- Circuito eléctrico equivalente Fig.2.-Esquema del equipo utilizado en las mediciones de las curvas I-V.
de la celda fotovoltaica
Determinación de los parámetros necesarios para los cálculos:
Para calcular los dos puntos notables, corriente de corto circuito Isc y tensión de circuito abierto Voc, de la curva característica I-
V se utilizó un modelo simple implementado con el asistente Mathematica, desarrollado en un trabajo anterior (Llamazares et
al., 2000).
Éstos valores se utilizaron como datos para calcular los puntos de la curva I-V mediante el circuito eléctrico equivalente de la
célula. Como ya ha sido mencionado, el modelo de circuito equivalente empleado considera solamente un diodo y resistencia
serie, aparte de la fuente de corriente fotogenerada.
A continuación se describen los parámetros críticos necesarios en el modelo de simulación:
Distribución espectral de la fuente de luz:
a- Luz Solar: para modelizar el espectro de radiación solar se utilizó la ley de radiación del cuerpo negro de Planck para la
temperatura del anillo solar, o espectro AM0 ideal, afectado de un factor de escala adecuado para representar la
irradiancia total de los casos de estudio.
b- Fuente artificial: para modelizar esta fuente de luz se utilizó la ley de Planck para la temperatura de color de la lámpara
halógena.
Resistencia serie y factor de calidad A, de la célula:
Se determinó la resistencia serie, Rs , de la célula para cada estado de iluminación mediante el método de Wolf (Treble, 1991).
El factor de calidad A de la célula fue determinado mediante una aproximación empírica en función del factor de relleno FF,
según el método de ajuste de curvas I-V de MARQUARDT (Krezinger, 1994) para células de silicio mono y policristalino.
Para obtener el factor de relleno FF de una curva experimental se halló el punto de máxima potencia, para lo cual se hizo uso
de las utilidades del asistente ORIGIN para calcular la función derivada primera de la curva de potencia.
Corriente de saturación Is:
Este parámetro era necesario para el cálculo de la tensión de circuito abierto Voc, y se lo determinó a partir de las curvas I-V
experimentales haciendo uso de la siguiente expresión:








−−=





 +
1.
.
T
s
V
RIV
ssc eIII (1)
donde: VT = A.k.T/q
siendo: k = cte. de Boltzmann
T = temperatura absoluta de la célula
q = carga elemental
Se comprobó que la corriente Is así calculada tendía hacia un valor mínimo a medida que V se acercaba a Voc. Se adoptó
entonces como valor para Is este valor mínimo asintótico.
Página 20 de 28

Profundidad de difusión xj y ancho de la región de agotamiento w:
En el modelo microscópico empleado la variable x representa la profundidad del material semiconductor con su origen en la
superficie de la cara iluminada. Para el cálculo de la densidad espectral de corriente Jn(x,λ,V), se debe realizar una integración
múltiple en la cuál el límite superior para la variable x es la suma de la profundidad de difusión xj más el ancho de la región de
agotamiento w. Las otras variables independientes son la longitud de onda λ y el potencial generado V bajo condiciones de
iluminación.
El valor utilizado para xj se tomó de la literatura disponible (Mompín Poblet J., et al, 1985). El ancho w se calculó en base a la
teoría del comportamiento fotovoltaico ideal de uniones semiconductoras (Castañer Muñoz, 1992).
Integración de Jn(x,λ,V):
El cálculo de la integral se realizó considerando V = 0. Los extremos de integración de la variable λ fueron tomados del
intervalo de longitudes de onda entre las cuales se distribuye el 95% de la energía que llega a la superficie terrestre, eliminando
las bandas de absorción atmosférica.(Duffie y Beckman, 1980)
Determinación de la tensión de circuito abierto Voc:
La tensión de circuito abierto se calculó con la siguiente expresión:






+=
0
1ln.
J
J
VV sc
Toc (2)
donde: Jsc = densidad de corriente de corto circuito.
J0 = densidad de corriente de saturación inversa.
En este modelo simple J0 es solamente función de x y de V. Dado que los extremos de integración de x eran conocidos, se
utilizó como variable de ajuste la tensión V para obtener el valor de Is más cercano al experimental.
COMPARACIÓN DE RESULTADOS DEL MODELO CON LOS VALORES EXPERIMENTALES:
Respuesta espectral absoluta de la célula fotovoltaica:
Se calculó la curva de respuesta espectral absoluta de la célula con la siguiente expresión:
( )
( )
( )λ
λ
λ
E
J
SR Vxn ,,
= (3)
donde: E(λ) = curva de irradiancia incidente.
La curva resultante presenta correspondencia cualitativa con curvas experimentales encontradas en la literatura (Treble, 1991),
como se observa en la figura 3.
Fig.3- Gráfico de Respuesta Espectral Absoluta obtenida mediante el modelo teórico.
Curvas características I-V:
Página 21 de 28
µm
A/W

La figura 4 muestra curvas I-V típicas obtenidas durante las experiencias para distintos niveles de iluminación. Para el caso de
alta irradiancia incidente los valores predichos por el modelo para Isc y Voc, se acercan a los experimentales con error menor al 1
%. En el caso de baja irradiancia el modelo produce valores inferiores a los experimentales. Tal desviación suponemos se debe
a que la inyección de portadores minoritarios contribuye a la corriente real, situación esta no contemplada en el modelo teórico
utilizado.
En la figura 5 se presentan las curvas I-V experimental y predicha por el modelo de circuito equivalente simple considerado. Se
observa una desviación para los puntos centrales debida a que el modelo no incluye la resistencia shunt que toma en cuenta
corrientes de fuga que se producen en el sistema real.
CONCLUSIONES:
Se determinaron experimentalmente curvas I-V para una celda fotovoltaica a diferentes niveles de intensidad de iluminación.
Estos datos fueron comparados con dos modelos que simulan el comportamiento de una celda solar.
Se comprobó que los valores de Isc y Voc predichos por el modelo teórico basado en el comportamiento físico ideal de la unión
p-n bajo iluminación, concuerdan dentro del 1% con los experimentales para irradiancias altas dando valores inferiores a los
experimentales para bajas irradiancias.
Se argumenta que esta discrepancia a bajas irradiancias se debe a las limitaciones impuestas por el propio modelo.
Se demuestra una concordancia entre las curvas características I-V experimental y simulada aplicando el circuito eléctrico
equivalente compatible con lo encontrado en la literatura.
Se logro además representar la curva de respuesta espectral absoluta para la celda en cuestión, la cual se ajusta cualitativamente
con los datos de literatura.
Se debe destacar la prestación del programa Mathematica para cálculos de tipo analíticos o numéricos como en los casos de las
corrientes del circuito equivalente de célula, y de la tensión del punto de máxima potencia de la curva I-V, etc.
BIBLIOGRAFÍA:
Llamazares A. D.; García Raffi L. M., Sánchez Pérez E. A., Sánchez Pérez J. V.(2000).Modelización de una unión p-n de
silicio para su uso en un panel fotovoltaico utilizando el programa Mathematica. II Jornadas Docentes del Departamento
de Física Aplicada. Universitat Politècnica de València.
Krezinger A., (1994). Modelos Matemáticos para la simulación de Sistemas Fotovoltaicos por Ordenador I Congreso
Latinoamericano Sobre Energías Alternativas, 27-38. UTN.Córdoba.
Castañer Muñoz L., (1994). Energía Solar Fotovoltaica. Ediciones UPC. España.
Mompín Poblet J., varios, (1985). Energía Solar Fotovoltaica, Serie Mundo Electrónico. Marcombo.Barcelona-México.
Eisberg R.; Resnick R., (1986). Física cuántica : Átomos, moléculas, sólidos, núcleos y particulas. Limusa. México.
Benet Gilabert Ginés, (1988). Contribución a la modelización de los elementos de sistemas solares fotovoltaicos con
acumulación en la zona de Valencia. Tesis Doctoral. Universitat Politècnica de València. España.
Duffie, J. A.y Beckman, W. A. (1980)-Solar Engineering of Thermal Processes.John Wiley & Sons, New York.
Treble F., (1991).Generating Electricity from the Sun.Pergamon Press, Oxford.
Hlawiczka P., (1977). Introducción a la Electrónica Cuántica. Ed.Reverté, Barcelona.
Device Physics , (1993).volumen 4 Handbooks on Semiconductor .North Holland.
Página 22 de 28
0
50
100
150
200
0 50 100 150 200 250 300 350 400 450
mV
mA
I=414 W/m2 Curva teórica
Fig.5.- Comparación de curvas I-V experimental y predicha a
partir del modelo de circuito equivalente simple.
0
40
80
120
160
200
240
280
0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500
mV
mA
I=6 2 6 W / m2
I=4 1 4 W / m2
I=1 7 ,4 3 W / m2
Fig.4.- Curvas I-V de iluminación experimentales para
distintas irradiancias.

13- Cálculo del Modelo aplicando el Método de Simulación Monte Carlo:
Se puede realizar una simulación por el Método de Monte Carlo de las funciones
involucradas en los cálculos de la fluencia de fotones y de la corriente generada con lo cual
obtendremos un conjunto de valores de simulación para integrarlos luego por algún método
numérico, en este caso se puede aplicar la regla de Simpson de la integral. Así se obtiene la
integral de la densidad de corriente fotogenerada absoluta, la cual se puede dividir por la
integral de la fluencia de fotones o irradiancia total para obtener la respuesta espectral absoluta
de la celda fotovoltaica.
Luego con este valor se puede calcular la corriente de cortocircuito para la celda
multiplicando por el valor de irradiancia del caso y por el área de la misma.
Fundamentos del Método de Monte Carlo:
Método de la Transformación Inversa:
Sea X una variable aleatoria con función de probabilidad cumulativa FX(x). Por ser ésta
una función monótona creciente, podemos definir la función inversa FX
-1
(y) de la siguiente
forma:
FX
-1
(y)= inf{x:FX(x)≥ y}
Sea U un número aleatorio distribuido uniformemente en [0,1). Entonces:
X=FX
-1
(U)
Es una variable aleatoria que se distribuye según FX(x). Gráficamente:
Esto se puede probar fácilmente sin más que calcular:
P(X≤x)=P(F-1
(U)≤x)=P(U≤FX(x))=FX(x)
Este método tiene el inconveniente de que debe ser posible calcular de forma analítica
dicha función inversa, pero existen varias distribuciones para las cuales es posible como el caso
de la exponencial o la de Cauchy.
Página 23 de 28
Figura 1

14- Generación de números aleatorios según funciones de distribución discretas:
Vamos a generar valores de una variable aleatoria respecto de una función densidad de
probabilidad constante a trozos, o sea :
Ci xi-1≤ x ≤ xi ; i=1,2,3,...n
fx(x)=
0 en otro caso
con Ci ≥ 0 ∀i y a = x0 < x1 < ...< xn-1 < xn =b. Sean:
∫
−
=
i
i
x
x
xi dxxfP
1
)( , i=1,2,....n
∑=
=
i
j
ji PF
1
donde F0= 0. Entonces:
∫∑
−
+=
−
=
x
x
i
i
j
jx
i
dxCPxF
1
.)(
1
1
donde i=max{j:xj-1≤x} . Si aplicamos ahora el método de la transformación inversa,
partiendo de :
Fx(X)=U
Donde U es una variable aleatoria distribuida uniformemente en [0,1), obtenemos que :
i
i
i
C
FU
xX 1
1
−
−
−
+=
donde
Fi-1≤U≤Fi
Para aplicar el método desarrollaremos el siguiente algoritmo:
1. Generamos U uniformemente distribuida en [0,1) multiplicado por el max[Fi]
2. Encontrar i de ∑∑ =
−
=
≤≤
i
j
j
i
j
j PUP
1
1
1
i = 1,2,....n
3. Calcular
i
i
i
C
FU
xX 1
1
−
−
−
+= .
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15- Construcción del panel solar:
En este apartado, pretendemos construir ya un panel solar, cuyo tamaño dependerá de
las necesidades del consumo. Aquí es donde se utilizan parámetros calculados en base a
consideraciones microscópicas para dimensionar un panel solar. Pretendemos pues construir un
módulo formado por células conectadas en serie y grupos de células en serie conectados en
paralelo para obtener los valores de tensión y corriente deseados. Luego, teniendo en cuenta
que :
Ns: número de células conectadas en serie.
Np: número de módulos serie conectados en paralelo.
dada una potencia máxima que se quiere producir con el panel, obtener Ns y Np de diseño.
ESQUEMA DE PANEL SOLAR
Ns VOC M
Np
Para obtener la tensión necesaria de módulo, se conectarán células en serie, con lo cual
se logra obtener la tensión de panel sumando las tensiones de cada célula.
Se toma como tensión de célula el valor de tensión máxima calculado en el apartado
anterior.
Al conectar células en serie la corriente que circulará por ellas será la misma e igual a la
máxima corriente de célula calculada en el apartado anterior.
Las ecuaciones son:
Ns=VOC M/Vm
Np=PmaxM/(Ns.Pm)
Pm=Vm.Im
PmaxM=VM.IM
siendo:
VOC M= tensión de circuito abierto del módulo.
PmaxM: potencia máxima de módulo
IM: corriente de módulo
Pm: potencia de célula máxima.
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Bibliografía:
• LUIS CASTAÑER MUÑOZ, Energía Solar Fotovoltaica. Ediciones UPC. 1994.
• JOSÉ MOMPÍN POBLET, VARIOS. Energía Solar Fotovoltaica, Serie Mundo
Electrónico. Marcombo.Barcelona-México. 1985.
• ROBERT EISBERG; ROBERT RESNICK. Física cuántica : Atomos, moleculas, solidos,
nucleos y particulas. Limusa. México. 1986.
• ALBERT P. MALVINO, Principios de Electrónica. McGraw-Hill. México. 1984.
• GINÉS BENET GILABERT, Contribución a la modelización de los elementos de sistemas
solares fotovoltaicos con acumulación en la zona de Valencia. Tesis Doctoral. Universitat
Politècnica de València. 1988.
• LARRY D. PARTAIN, Solar cells and their aplications.Wiley Series in Microwave and
Optical Engineering.John Wiley and Sons Inc.1994.
• DUFFIE, JOHN A., BECKMAN, WILLIAM A.-Solar Engineering of Thermal
Processes.John Wiley & Sons, New York.1980.
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EJERCICIO
Una vez que hemos presentado las ecuaciones y los métodos de cálculo necesarios, así
como los comandos de Mathematica que debemos utilizar, se trata de plantearse el diseño de un
panel solar para el suministro de una vivienda de tamaño pequeño, a partir de los datos
expuestos, y utilizando el tipo de elementos que se han modelizado. Como es un ejercicio de
tipo teórico práctico, seguiremos los siguientes pasos:
1) Desarrollaremos los primeros puntos de la exposición anterior, haciendo por una parte los
ajustes necesarios mediante las bases de funciones propuestas, o proponiendo otras más
adecuadas si se considera oportuno.
2) Para el cálculo de integrales, utilizaremos los procedimientos de integración numérica que
sean necesarios.
El resto del ejercicio se hará sobre datos razonables.
3) Los datos correspondientes al suministro de una casa de pequeñas dimensiones se dan a
continuación. Determinar la cantidad de células en serie y en paralelo necesarias para
proveer una tensión de salida de módulo de 24 voltios, y una potencia a suministrar de la
siguiente tabla:
Cargas Típicas de una vivienda familiar:
Iluminación: 180W
Refrigeración :150W
Comunicaciones :100W
Pequeño electrodoméstico: 250W
Bombeo de agua: 150w
Lavadora: 800W
4) Esta potencia es un valor máximo, que se produce en algún momento del día, sin embargo
consideraremos que se cuenta con un banco de baterías y se debe prever un consumo
variable en el tiempo. Por eso deberíamos considerar que el sol tiene una potencia de
irradiación variable según la función senoidal, y calcular la energía que puede suministrar el
panel durante todo el día, mientras haya luz solar, o sea, durante 12 horas, como valor
promedio.
Tener en cuenta que el valor máximo de irradiancia que se tiene en la superficie de la Tierra
corresponde al valor del AM1.5D (Difusa) y es igual a 767.2 Watt /m2
(Partain, Larry
D.,Solar Cells and their Aplications.1994).
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Referencias:
no = concentración de portadores negativos en estado equilibrio
npo = concentración de portadores negativos en zona p en estado de equilibrio
np(x,λ,V) = concentración de portadores minoritarios negativos en zona p
τn = tiempo de vida medio de cargas fotogeneradas
Ln = longitud de difusión de portadores minoritarios
V = tensión generada por el dispositivo
VT = tensión característica del semiconductor
α = coeficiente de absorción
Φ(0) = flujo de fotones
x = profundidad del material semiconductor de la base
λ = longitud de onda de la radiación incidente.
Jn = densidad de corriente de portadores negativos en semiconductor
q = carga del electrón
Dn = constante de difusión de portadores en semiconductor
Ln = longitud de difusión de portadores minoritarios
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