Clase 01
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Este documento introduce conceptos básicos sobre vectores en ingeniería, incluyendo escalares, vectores, sumas y restas vectoriales, producto de un escalar y un vector, vectores unitarios y componentes vectoriales. También presenta ejemplos simples de aplicación de estos conceptos y tres problemas de práctica dirigida relacionados con fuerzas vectoriales.
Clase 01
- 1. Contenido Temático Créditos Presentación Ing. Jorge Luis Paredes Estacio UNIVERSIDAD PRIVADA ANTENOR ORREGO FACULTA DE INGENIERIA ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERIA CIVIL
- 2. Para describir una fuerza que actúa sobre un elemento estructural, se debe especificar la magnitud de la fuerza, el sentido y su dirección. Para describir la posición de una avión respecto a un aeropuerto, se debe especificar la distancia, el sentido y la dirección del aeropuerto al avión. En ingeniería tratamos con muchas cantidades que tienen tanto magnitud, sentido como dirección y se pueden expresar como vectores. En este capítulo estudiaremos operaciones con vectores en sus componentes, y daremos ejemplos de aplicaciones sencillas de los vectores a la ingeniería. Presentación Regresar a Índice
- 3. ESCALARES Y VECTORES ESCALAR: Es cualquier cantidad física positiva o negativa que se puede especificar por ejemplo mediante su magnitud. La longitud, la masa , el tiempo y el volúmen son ejemplos de cantidades escalares.
- 4. ESCALARES Y VECTORES VECTOR: Cualquier cantidad física que requiere tanto de magnitud como de dirección para su descripción completa. En estática, algunas cantidades vectoriales encontradas con frecuencia son fuerza, posición y momento. Un vector se representa mediante una flecha. La longitud de la flecha representa la magnitud. El ángulo entre el vector y un eje fijo define la dirección de su línea de acción. La cabeza o punta de la flecha indica el sentido de dirección del vector.
- 5. OPERACIONES VECTORIALES Así como existen reglas para operar números reales, como las de la suma, etc., existen también reglas para operar con vectores. Esas reglas proporcionan una poderosa herramienta para el análisis de la ingeniería SUMA VECTORIAL PRODUCTO DE UN ESCALAR Y UN VECTOR RESTA VECTORIAL VECTORES UNITARIOS COMPONENTES VECTORIALES
- 6. SUMA VECTORIAL Si desplazamos un libro de un lugar de la mesa a otro y luego a otro decimos que el desplazamiento W se define como la suma de los desplazamientos U y V.
- 7. SUMA VECTORIAL Consideremos los vectores U y V de la figura 2.4(a), si los colocamos cabeza con cola (Fig. 2.4b), su suma se define como el vector que va de la cola de U a la cabeza de V (Figura 2.4c). Esto se llama regla del triángulo en la suma vectorial. La Figura 2.4(d) demuestra que la suma es independiente del orden en que los vectores se colocan cabeza con cola. Así, surge la regla de paralelogramo de la suma vectorial (Fig. 2.4e).
- 8. SUMA VECTORIAL La definición de la suma vectorial implica que U + V = V + U La Suma vectorial es conmutativa (U + V) + W = U + (V + W) La suma vectorial es asociativa Si la suma es igual a cero, los vectores forman un Polígono cerrado cuando se colocan cabeza con cola.
- 9. Producto de un Escalar y un Vector
- 10. Producto de un Escalar y un Vector Las definiciones de la suma vectorial y del producto de un escalar y un vector implican que a(bU) = (ab)U. El producto es asociativo con respecto a la multiplicación escalar. (a + b)U= aU + bU, El producto es distributivo con respecto a la suma escalar. a(U + V) = aU + aV El producto es distributivo con respecto a la suma vectorial
- 11. Resta Vectorial La diferencia de dos vectores U y V se obtiene sumando al vector (-1)V: U - V = U + (-1)V Consideramos los vectores U y V de la figura 2.8(a). El vector (- 1)V tiene la misma magnitud que el vector V pero dirección opuesta (Fig. 2.8b). En la figura 2.8(c) sumamos el vector U al vector (-1)V para obtener U - V
- 13. Componentes Vectoriales Al expresar un vector U como la suma de un conjunto de vectores, cada vector se denomina componente vectorial de U. Supongamos que el vector U de la figura 2.10(a) es paralelo al plano definido por las dos líneas que se intersectan. Expresamos U como la suma de las componentes vectoriales V y W paralelas a las dos líneas (Fig. 2.10b). Y decimos que el vector U esta descompuesto en las componentes vectoriales V y W
- 14. A tener en cuenta… Algunos problemas se pueden resolver dibujando diagramas vectoriales a escala y midiendo los resultados, o aplicando la trigonometría a los diagramas. En los ejemplos siguientes demostraremos ambos procedimientos. En la siguiente sección mostraremos que expresar vectores en términos de componentes vectoriales mutuamente perpendiculares constituye una manera mucho más sencilla de resolver problemas con vectores.
- 15. Formulas Trigonométricas a emplear Mediante la regla del triangulo, la magnitud de la fuerza resultante se puede determinar con la ley de los cosenos, y su dirección mediante la ley de los senos. Las magnitudes de los dos componentes de fuerza se determinan a partir de la ley de los senos.
- 16. Ejemplo 1.
- 17. Ejemplo 2.
- 18. Practica Dirigida PROBLEMA 01: Se requiere una resultante que actúa sobre la armella roscada de la figura mostrada esté dirigida a lo largo del eje positivo x y que F2 tenga una magnitud mínima. Determine esta magnitud, el ángulo θ y la fuerza resultante correspondiente.
- 19. PRACTICA DIRIGIDA PROBLEMA N° 02: Un motor de cohete ejerce una fuerza hacia arriba de magnitud 4MN (meganewtons) sobre la plataforma de pruebas. Si la fuerza se descompone en componentes vectoriales paralelas a las barras AB y CD. ¿Cuáles con las magnitudes de las componentes?
- 20. PRACTICA DIRIGIDA PROBLEMA N° 03: Dos tractores remolcan una unidad habitacional hacia una nueva localidad en la base McMurdo de la Antártica (se muestra una vista aérea. Los cables son horizontales). La suma de las fuerzas FA y FB ejercidas sobre la unidad es paralela a la línea L, y |FA|=1000lb. Determine |FB| y |FA + FB| usando la trigonometría.