Clase 1 angulos
- 1. Clase Nº 1 Ángulos y Polígonos
- 2. Ángulos 1.1 Definición 1.2 Sistemas de Medición 1.3 Transformación de una unidad a otra 1.4 Clasificación 1.5 Relaciones angulares 1.6 Ángulos entre paralelas 2. Polígonos 2.1 Definición 2.2 Clasificación 2.3 Generalidades Ángulos y Polígonos
- 3. 1. Ángulos 1.1 Definición Un ángulo es la región del plano formado por la intersección de dos rayos. Se mide positivamente en sentido contrario a los punteros del reloj. Para nombrarlos, se utilizan las letras del alfabeto griego ( ,…) o números (1, 2, 3, 4…) en el interior del ángulo. En la figura, = AOB = 1
- 4. 1.2 Sistemas de medición Sistema Sexagesimal: La circunferencia es dividida en 360 partes iguales. Cada una de estas partes corresponde a un grado sexagesimal (1°). Cada grado se divide en 60 partes iguales llamadas minutos y cada minuto se divide en otras 60 partes iguales llamadas segundos.
- 5. Sistema Centesimal: La circunferencia es dividida en 400 partes iguales. Cada una de estas partes corresponde a un grado centesimal o gradian ( g ). Sistema Circular: En este sistema de medición, la unidad es el radián (rad).
- 6. 1.3 Transformación Para transformar ángulos de un sistema a otro, consideremos la siguiente relación: 360° = 2 (radianes) = 400g (gradianes) Ejemplo: Usando proporciones o “regla de tres simple”, se obtienen las siguientes equivalencias: Como 360° = 2 rad , entonces: 180° = rad 90° = /2 rad
- 7. En el cuadrado de la figura (1), los ángulos están expresados en grados sexagesimales, y en el cuadrado de la figura (2), en radianes. 360° = 2 270° = x Se obtiene que: x = 3 /2 rad. Fig.1 Fig.2 Para transformar algebraicamente 270º a radianes, se resuelve la proporción:
- 8. Los ángulos de clasifican según su medida en: 0 < Agudo < 90° Ejemplos: 15°, 39°, 58°, 75°, 88°, etc. 1.4 Clasificación de ángulos en el Sistema Sexagesimal
- 9. Recto = 90° 90 < Obtuso < 180° Ejemplos: 92°, 125°, 100°, 112°, 179°, etc.
- 10. Extendido = 180° 180° < Cóncavo < 360° Ejemplos: 181°, 190°,250°, 327, etc.
- 11. Completo = 360°
- 12. 1.5 Relaciones Angulares Ángulos Congruentes: Son aquellos que tienen la misma medida. Ángulos Complementarios: Son aquellos cuya suma es 90°. Ejemplos: 28° y 62° son complementarios. 28° es el “complemento” de 62° y a su vez, 62° es el “complemento” de 28°.
- 13. Ángulos Suplementarios: Son aquellos cuya suma es 180°. Ejemplo: 126° y 54° son suplementarios. 126° es el “suplemento” de 54° y a su vez, 54° es el “suplemento” de 126°. Ejemplos: El suplemento de 30º es 150º. El suplemento de 0º es 180º. El suplemento de ε es (180º – ε ).
- 14. Ángulos Adyacentes: Son aquellos que tienen un lado común y los otros dos sobre la misma recta. Ángulos Opuestos por el vértice: Los ángulos opuestos por el vértice son congruentes .
- 15. 1.6 Ángulos entre paralelas Cuando dos rectas paralelas son cortadas por una transversal, se forman ocho ángulos, de los cuales, algunos son congruentes entre sí.
- 16. En la imagen, si L 1 //L 2 y L 3 es una transversal, se forman ocho ángulos, éstos corresponden a un ángulo y su suplemento que se repiten. (93° + 87° = 180°)
- 17. Podemos determinar que L 1 //L 2. Además, si se tiene lo siguiente: L 1 L 2 L 3 93º 93º
- 18. Propiedades de ángulos entre rectas paralelas a) En las siguiente figura, se cumple que: ( L1 // L2 ) = β
- 19. b) En la siguiente figura, se cumple que: = w + y β = x + z ( L1 // L2 )
- 20. 2. Polígonos 2.1 Definición Es toda figura plana, cerrada, limitada por un número finito de lados rectos. De acuerdo al número de lados, los más utilizados se clasifican en: Triángulos 3 lados Cuadriláteros 4 lados Pentágonos 5 lados Hexágonos 6 lados Octágonos 8 lados…
- 21. 2.2 Clasificación de Polígonos Polígonos Regulares Se denomina Polígono regular a aquel que tenga todos sus lados y ángulos interiores congruentes. Ejemplos: El triángulo Equilátero El Cuadrado
- 22. Polígonos Irregulares Son aquellos que NO son regulares, es decir, no cumplen una o ambas condiciones de los polígonos regulares. Ejemplos: El rectángulo El rombo
- 23. Polígonos Convexos Son aquellos polígonos que poseen todos sus ángulos interiores menores a 180°. Ejemplo: Polígonos Cóncavos Son aquellos polígonos que poseen, al menos, un ángulo interior que mide más de 180°. Ejemplo: Al menos un segmento que une un par de puntos de la región interior del polígono, no está enteramente incluido en dicha región. Todo segmento que une a dos puntos de la región interior del polígono, está enteramente incluido ella.
- 24. 2.3 Generalidades en un Polígono Convexo de “n” lados Número de diagonales desde un vértice (d) Por ejemplo, en un octágono: Si n es el número de lados de un polígono, entonces el total de diagonales que se pueden trazar desde uno de sus vértices está dado por la fórmula: d = n - 3 d = 5
- 25. Número Total de diagonales (D) Si n es el número de lados de un polígono, entonces el total de diagonales que se pueden trazar está dado por la fórmula: D = n (n – 3) 2 Por ejemplo, en un pentágono, el total de diagonales es: D = 5 (5 – 3) 2 D = 5
- 26. Suma de los ángulos interiores (Si) Si n es el número de lados de un polígono, entonces la suma de los ángulos interiores está dado por la fórmula: S i = 180° (n – 2) S i = 180° ∙ (5 – 2) S i = 180° ∙ (3) S i = 540° Por ejemplo, en un pentágono, la suma de sus ángulos interiores es:
- 27. Suma de los ángulos exteriores (Se) La suma de los ángulos exteriores de un polígono es siempre 360°. S e = 360°
- 28. ¡ El esfuerzo solo proporciona plenamente su recompensa, después de que una persona se niega a darse por vencida !