Clase 12 procedimiento_miller
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Este documento describe los índices de Miller, que se utilizan para identificar planos cristalinos y direcciones en un cristal. Explica que los índices de Miller contienen información sobre la normal al plano y la distancia interplanar. También describe el procedimiento para calcular los índices de Miller de un plano dado y cómo se relacionan los índices con la distancia interplanar en un cristal cúbico.
![ÍNDICES DE MILLER DE cristalográfico está a una (1) distancia
PLANOS CRISTALINOS. interplanar del plano que pasa por el
(PARA CUALQUIER TIPO DE átomo que está en el origen).
CELDA) 2) Calcule las intersecciones del
plano determinado en 1) con cada uno
Introducción de los ejes de coordenadas.
Estos índices se aplican a todo tipo de 3) Calcule los inversos de tales
cristales, aunque nosotros trabajaremos intersecciones.
preferentemente con cristales cúbicos. 4) Ponga el trío ordenado entre
Los primeros corresponden a un trío de paréntesis redondos. Tales son los
números que se asigna a un conjunto de índices de Miller del plano especificado.
planos cristalográficos, los cuales son
paralelos y equiespaciados. Si en un cristal 3D se considera un
plano cristalino y un átomo no
Tales índices contienen dos tipos de contenido en ese plano, entonces por
información: dicho átomo pasa un plano cristalino
- la normal al plano paralelo al anterior. Teniendo esto
- y la distancia interplanar presente es evidente que la distancia
entre el origen y el plano más próximo
La aplicación no estricta del al origen sin pasar por este último,
procedimiento que se indica a corresponde a la distancia interplanar
continuación lleva frecuentemente a un del correspondiente conjunto de planos
cálculo incorrecto de la distancia paralelos y equiespaciados.
interplanar.
Para las direcciones cristalinas se
Recuerde que en un cristal, todos los emplea un sistema de índices que en lo
planos cristalográficos paralelos son fundamental es simplemente vectorial.
idénticos e indistinguibles. Asignar Se usan paréntesis cuadrados: [hkl].
índices o nombre a un plano es hacerlo
para él y para todos los que le son En un cristal, una familia de direcciones
paralelos. En este marco, cuando equivalentes se denomina <hkl> y de
hablamos de un plano, frecuentemente planos equivalentes se denomina {hkl}.
estamos haciendo referencia a un
conjunto enorme de planos paralelos. Propiedades de índices de Miller en
cristales del sistema cúbico.
Procedimiento:
(Este procedimiento riguroso permite 1. Dado un plano (hkl), los índices
captar correctamente los dos tipos de de su normal son [hkl]. Esta propiedad
información que deben contener estos no siempre se cumple para cristales
índices. El procedimiento del texto de cúbico.
Smith NO es suficientemente riguroso).
0) Considere los ejes de referencia 2. Para un plano cristalográfico
asociados a la celda convencional en {hkl}de un cristal de parámetro de celda
uso y un plano cristalino específico a a[nm], la respectiva distancia
indexar. Considere que en el origen interplanar d hkl vale:
siempre hay un átomo.
1) Determine un plano cristalino d hkl[nm]= a[nm] / (h2 + k2 + l2 )1/2
paralelo al plano especificado y que esté
lo más próximo posible al origen, sin
pasar por el origen. (Este plano](https://image.slidesharecdn.com/clase12procedimientomiller-130412120835-phpapp02/85/Clase-12-procedimiento_miller-1-320.jpg)
![Comentarios: Que {hkl} sea grande corresponde a que
(h2+ k2+ l2) sea grande. La ecuación
La Propiedad 1 no siempre se cumple antes presentad que refleja esta
en cristales no cúbicos, por ejemplo, en Propiedad 2 no se cumple en cristales
cristales HC. Considere un cristal HC, no cúbico; pero, en cristales no cúbicos
determine los índices de Miller: a) de siempre existe una ecuación, aunque
un plano basal y de su normal (se más compleja que la de los cúbicos,
cumple) y b) de un plano de prisma y de cuyo análisis también lleva a concluir:
su normal (no se cumple). los planos de índices menores son los
que presentan las mayores distancias
Para que se cumpla siempre la interplanares.
Propiedad 1 en cristales HC, se ha
desarrollado un sistema de índices de Nótese que si en la ecuación de la
Miller-Bravais, empleando 4 índices. Propiedad 2 no se ingresan los valores
Esto significa utilizar un sistema de de {hkl} correctamente calculados,
referencia de 4 ejes en un espacio 3D; entonces el resultado de la distancia
por ello, los tres primeros ejes, interplanar será erróneo. Por ejemplo,
contenidos en el plano basal, no son para un cristal CCC no es raro que en
linealmente independientes. El cuarto vez de los índices correctos {200} se
eje corresponde al eje c, perpendicular asignen los índices incorrectos, para el
al plano basal. En el texto de Smith está propósito de calcular la distancia
la materia de estos índices, pero no es intreplanar, {100}. Sin embargo, en
parte de este curso su empleo. ambos casos se obtiene la correcta
dirección de la normal. En efecto, las
Según la Propiedad 2, si el trío {hkl} es direcciones [200] y [100] son paralelas.
grande, entonces dhkl[nm] es pequeño.](https://image.slidesharecdn.com/clase12procedimientomiller-130412120835-phpapp02/85/Clase-12-procedimiento_miller-2-320.jpg)
Clase 12 procedimiento_miller
- 1. ÍNDICES DE MILLER DE cristalográfico está a una (1) distancia PLANOS CRISTALINOS. interplanar del plano que pasa por el (PARA CUALQUIER TIPO DE átomo que está en el origen). CELDA) 2) Calcule las intersecciones del plano determinado en 1) con cada uno Introducción de los ejes de coordenadas. Estos índices se aplican a todo tipo de 3) Calcule los inversos de tales cristales, aunque nosotros trabajaremos intersecciones. preferentemente con cristales cúbicos. 4) Ponga el trío ordenado entre Los primeros corresponden a un trío de paréntesis redondos. Tales son los números que se asigna a un conjunto de índices de Miller del plano especificado. planos cristalográficos, los cuales son paralelos y equiespaciados. Si en un cristal 3D se considera un plano cristalino y un átomo no Tales índices contienen dos tipos de contenido en ese plano, entonces por información: dicho átomo pasa un plano cristalino - la normal al plano paralelo al anterior. Teniendo esto - y la distancia interplanar presente es evidente que la distancia entre el origen y el plano más próximo La aplicación no estricta del al origen sin pasar por este último, procedimiento que se indica a corresponde a la distancia interplanar continuación lleva frecuentemente a un del correspondiente conjunto de planos cálculo incorrecto de la distancia paralelos y equiespaciados. interplanar. Para las direcciones cristalinas se Recuerde que en un cristal, todos los emplea un sistema de índices que en lo planos cristalográficos paralelos son fundamental es simplemente vectorial. idénticos e indistinguibles. Asignar Se usan paréntesis cuadrados: [hkl]. índices o nombre a un plano es hacerlo para él y para todos los que le son En un cristal, una familia de direcciones paralelos. En este marco, cuando equivalentes se denomina <hkl> y de hablamos de un plano, frecuentemente planos equivalentes se denomina {hkl}. estamos haciendo referencia a un conjunto enorme de planos paralelos. Propiedades de índices de Miller en cristales del sistema cúbico. Procedimiento: (Este procedimiento riguroso permite 1. Dado un plano (hkl), los índices captar correctamente los dos tipos de de su normal son [hkl]. Esta propiedad información que deben contener estos no siempre se cumple para cristales índices. El procedimiento del texto de cúbico. Smith NO es suficientemente riguroso). 0) Considere los ejes de referencia 2. Para un plano cristalográfico asociados a la celda convencional en {hkl}de un cristal de parámetro de celda uso y un plano cristalino específico a a[nm], la respectiva distancia indexar. Considere que en el origen interplanar d hkl vale: siempre hay un átomo. 1) Determine un plano cristalino d hkl[nm]= a[nm] / (h2 + k2 + l2 )1/2 paralelo al plano especificado y que esté lo más próximo posible al origen, sin pasar por el origen. (Este plano
- 2. Comentarios: Que {hkl} sea grande corresponde a que (h2+ k2+ l2) sea grande. La ecuación La Propiedad 1 no siempre se cumple antes presentad que refleja esta en cristales no cúbicos, por ejemplo, en Propiedad 2 no se cumple en cristales cristales HC. Considere un cristal HC, no cúbico; pero, en cristales no cúbicos determine los índices de Miller: a) de siempre existe una ecuación, aunque un plano basal y de su normal (se más compleja que la de los cúbicos, cumple) y b) de un plano de prisma y de cuyo análisis también lleva a concluir: su normal (no se cumple). los planos de índices menores son los que presentan las mayores distancias Para que se cumpla siempre la interplanares. Propiedad 1 en cristales HC, se ha desarrollado un sistema de índices de Nótese que si en la ecuación de la Miller-Bravais, empleando 4 índices. Propiedad 2 no se ingresan los valores Esto significa utilizar un sistema de de {hkl} correctamente calculados, referencia de 4 ejes en un espacio 3D; entonces el resultado de la distancia por ello, los tres primeros ejes, interplanar será erróneo. Por ejemplo, contenidos en el plano basal, no son para un cristal CCC no es raro que en linealmente independientes. El cuarto vez de los índices correctos {200} se eje corresponde al eje c, perpendicular asignen los índices incorrectos, para el al plano basal. En el texto de Smith está propósito de calcular la distancia la materia de estos índices, pero no es intreplanar, {100}. Sin embargo, en parte de este curso su empleo. ambos casos se obtiene la correcta dirección de la normal. En efecto, las Según la Propiedad 2, si el trío {hkl} es direcciones [200] y [100] son paralelas. grande, entonces dhkl[nm] es pequeño.