clase 2.pdf

28/05/2021
Ing. Jonathan Felix Guarachi Solano PHD 1
EL ESTADO ELASTICOTRIPE ESPACIALY
EL ESTADO ELASTICO DOBLE O PLANO
ING. JONATHAN FELIX GUARACHI SOLANO MsC. PhD.
CONTENIDO
2. ESTADO ELASTICOTRIPLE O ESPACIAL
2.1. TENSIONES EN UN PLANO CUALQUIERA
2.2. TENSIONESY PLANOS PRINCIPALES
2.3. DETERMINACION DE LAS TENSIONESY DIRECCIONES PRINCIPALES
3. ESTADO ELASTICO DOBLE O PLANO
3.2. TENSIONESY PLANOS PRINCIPALES. MAXIMASTENSIONESTANGENCIALES
3.3. CIRCUNFERENCIA DE MOHR.

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2. ESTADO ELASTICOTRIPLE O ESPACIAL
 Supongamos un punto A material perteneciente a un sólido y hagamos pasar por el
mismo tres planos ortogonales y un cuarto plano oblicuo, cuya dirección queda
definida por la de su normal exterior e, de la que se conocen sus cosenos directores
l, m, y n. El plano oblicuo, que en realidad pasa por A, ha sido desplazado con el
objeto de facilitar la representación gráfica de las magnitudes en juego. Queda
definido así un tetraedro elemental, del que hacemos coincidir el vértice A con el
origen de coordenadas y los tres planos ortogonales con los planos coordenados.
 Si admitimos que el área de la cara inclinada es unitaria las áreas de las caras
ortogonales ACD,ABD y ABC resultan respectivamente iguales a los cosenos
directores l, m y n.

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SUPOSICIONES DE PARTIDA.
 Supongamos conocidas las tensiones normales: σx , σy, σz y tangenciales: τxy, τxz, τyz .
 ¿Qué se busca?, conocer la relación entre p (tensión resultante) y de sus componentes
σ y τ que actúan sobre la cara inclinada.
 Para ello, p descomponemos en tres componentes paralelas a los ejes coordenados:
 Resulta en consecuencia, por proyección sobre los ejes x, y, z:
 Ec. (1)














n
m
l
p
n
m
l
p
n
m
l
p
z
yz
xz
z
zy
y
xy
y
xz
yx
x
x









Expresiones que vinculan las tensiones conocidas, que actúan en las caras
ortogonales, con la tensión incógnita p. En efecto sabemos que:
Ec. (2)
de donde, elevando al cuadrado cada una de las Ec. 1 y reemplazando en Ec. (2) se
tiene:
ANÁLISIS DETENSIONES
2
2
2
z
y
x p
p
p
p 


)
3
.(
.........
)
(
2
ln
)
(
2
)
(
2
)
(
)
(
)
( 2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
Ec
mn
lm
n
m
l
p
zx
xy
yz
z
zy
y
zy
xy
xz
z
zx
x
yz
xz
xy
y
yx
x
zy
zx
z
yz
yx
y
xz
xy
x
















































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ANÁLISISY RELACIÓN DE ÁNGULOS
 Llamando φ al ángulo que forma la dirección de p con la normal e al plano en que
actúa y que coincide con la dirección de σ se tiene:
 Ec. 4
 El valor de cosφ puede calcularse mediante los ángulos que forma la dirección de p
con los ejes coordenados, que llamaremos αp, βp, γp y de los cosenos directores de la
normal e del plano considerado l, m y n. Tenemos que
 Ec. 5









psen
pcos






p
p
p
p
p
p z
p
y
p
x
p 

 cos
,
cos
,
cos
RESULTADO
 Y en consecuencia por una conocida fórmula de trigonometría:
 Ec. 6
 Conocido cosφ , la determinación de senφ es inmediata y consecuentemente
la de σ y τ
 Luego proyectando p sobre la dirección de σ e igualando la suma de las
proyecciones de px, py, y pz resulta:
 Ec. 7
 Por ser precisamente l, m, n, los cosenos de los ángulos que forman con σ las
direcciones de px, py y pz al ser estas últimas paralelas a los ejes coordenados-
p
p
p n
m
l 


 cos
cos
cos
cos 


n
p
m
p
l
p
p z
y
x 


 
 cos

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DEPENDENCIA p CON LASTENSIONES σ y τ
 Reemplazando en (7) las tres componentes de p por sus valores dados por las (1) se
tiene:
 Ec.8
 Y finalmente:
 Ec. 9
 Es decir que para el caso general, quedan perfectamente determinadas σ y τ para un
plano arbitrario, conocidas las tensiones σx, σy, σz, τxy, τxz, τyz que actúan sobre una
terna de caras ortogonales
)
(
2
2
2
2
mn
n
l
m
l
n
m
l yz
xz
xy
z
y
x 





 







2
2

 
 p
2.2.TENSIONESY PLANOS PRINCIPALES
CONSIDERACIONES GENERALES
 Hemos visto que al cambiar la orientación del plano considerado, varía la tensión
resultante aplicada al mismo, y consecuentemente sus componentes normal y
tangencial.
 Entre los infinitos planos que pasan por un punto, habrá planos para los cuales la
tensión normal σ adquiere sus valores algebraicos máximo y mínimo.
 Es evidente que para dichos planos la tensión resultante coincide en dirección con la
tensión normal de donde para los mismos la tensión tangencial es nula.
 Dado que dichos planos la tensión tangencial es nula, en virtud del teorema de Cauchy
los mismos deben ser ortogonales, y por la misma razón en el plano normal a ambos
tampoco puede existir tensión tangencial, por lo que la tensión resultante en el
mismo también coincide con la tensión normal, se denomina tensión intermedia.

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PLANOS PRINCIPALES
 Tales planos se denominan planos principales, las tensiones que ocurren en los
mismos, tensiones principales, y las direcciones de estas últimas, direcciones principales.
 Para los planos principales, La Ec.(1) que definen el estado de tensión en un punto, al
ser nulas las tensiones tangenciales, tenemos:
 Ec. 10
 Donde σi corresponde a la tensión principal considerada.
n
p
m
p
l
p
i
z
i
y
i
x






DIRECCIÓN DEL PLANO QUE CORRESPONDE A σi
Deducción
 Reemplazando valores de Ec. 10 en Ec. 1 se tiene:
 Ec. 11
 Por transposición de términos:
 Ec. 12
n
m
l
n
n
m
l
m
n
m
l
l
z
yz
xz
i
zy
y
xy
i
zx
yx
x
i





















 
 
  0
0
0













n
m
l
n
m
l
n
m
l
i
z
yz
xz
zy
i
y
xy
zx
yx
i
x













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ECUACIÓN CÚBICA
ECUACIÓN CARACTERÍSTICA DE LAS TENSIONES PRINCIPALES. (EC.15)
 Para que l, m, y n tengan valores distintos de la solución trivial:
l = m = n = 0 Ec. 13
 Es condición necesaria y suficiente que el determinante de los coeficientes sea nulo:
 Ec 14
 Desarrollando y agrupando:
 Ec.15
0




i
z
yz
xz
zy
i
y
xy
zx
yx
i
x












   
  0
2 2
2
2
2
2
2
2
3
















x
yz
y
xz
z
xy
zx
yz
xy
z
y
x
yz
xz
xy
z
y
z
x
y
x
i
z
y
x
i
i



























JUSTIFICACIÓN: ESTADOTRIDIMENSIONAL DETENSIONES
 Siempre que las tres raíces σ1, σ2, σ3 sean reales, existe un estado tridimensional de
tensiones con tres tensiones principales y tres planos principales.
 La Ec. 15 tomará un valor positivo si se elige a σi lo suficientemente grande y positiva,
y un valor negativo si se la hace negativa y lo suficientemente grande, por predominar
el término cúbico sobre los restantes.
 Existirá al menos un valor σi real que satisface Ec. 15 y designada como σ3.
 Para constatar si las dos restantes también son reales, consideramos un nuevo
sistema de ejes coordenados x', y', z' y hagamos coincidir z' con la dirección de σ3 ,
σ'3 = σ3 y τz'y' = τz'x' = 0.

28/05/2021
Ec. 16 Ec. 17
EXPRESIONES EQUIVALENTES
 
 
  



















0
0
0
n
m
l
m
l
i
z
i
y
y
x
x
y
i
x







  
 
 
0
0
0
0
0











i
z
i
y
y
x
x
y
i
x








OBTENCIÓN DE RAÍCES
 Desarrollando el determinante:
 Ec. 18
 Ec. 19
 La ecuación se satisface en primer término para σz' = σ3 , lo que ya se sabía y en
segundo lugar para
 Ec. 20
 Ec.21
   
  0
2




 



 x
y
i
y
i
x
i
z 






     
  0
2
2





 





 x
y
y
x
y
x
i
i
i
z 








    0
2
2




 




 x
y
y
x
y
x
i
i 






2
2
2
,
1
2
2
x
y
y
x
y
x














 


 






28/05/2021
CONCLUSIONES
 Como conclusión tenemos que para todo estado triple de tensiones existen tres
planos principales, cuyas normales exteriores se denominan direcciones principales, y
sobre los que actúan tensiones normales exclusivamente, denominadas tensiones
principales.
 En lo que sigue supondremos siempre (salvo indicación en contrario) que σ1 ≥ σ2 ≥ σ3
Ec. 22.
 Tres casos pueden presentarse en lo que respecta a las raíces de la ecuación
característica de las tensiones principales, a saber:
a. Las tres raíces son distintas σ1 ≠ σ2 ≠ σ3
b. Hay dos raíces iguales σ1 ≠ σ2 = σ3
c. Las tres raíces son iguales σ1 = σ2 = σ3
2.3. DETERMINACIÓN DE LASTENSIONESY DIRECCIONES
PRINCIPALES
 La ecuación 15, característica de las tensiones principales, nos permite determinar en
valor y signo las tres tensiones principales, bastando para ello calcular las tres raíces
σ1, σ2, σ3 .
 Conocido el valor de las tensiones es necesario conocer sus direcciones, es decir la
de las normales exteriores de los planos que actúan, que son los planos principales.
 Para que l, m, n tenga valores no nulos, Determinante de los coeficientes sea igual a
cero: σi = σ1
 Ec. 33
0
1
1
1
















z
yz
xz
zy
y
xy
zx
yx
x

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 Ec. 34
 Llamando Δx , Δy, Δz a los tres menores complementarios de la primera fila, se tiene:
 Ec. 35
 Desarrollando el determinante por la primera fila:
 Ec. 36
 
 
  

















0
0
0
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
n
m
l
n
m
l
n
m
l
z
yz
xz
zy
y
xy
zx
yx
x












yz
xz
y
xy
z
xz
yz
xy
z
yz
xy
y















 1
3
1
2
1
1
1 ;
;










  0
3
2
1
1 





 zx
yx
x 



 Ec. 37
 Comparando Ec. 36 con la primera de la Ec 34. resulta:
 Ec. 38
 K es una constante no nula y teniendo en cuenta que l2 + m2 + n2 = 1, elevando al
cuadrado la Ec 2.38 y sumando:
 Ec. 39
K
n
m
l





 3
1
2
1
1
1











3
1
2
1
1
1
K
n
K
m
K
l
1
2
3
2
2
2
2
2
1
2





 K
K
K

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









































2
3
2
2
2
1
3
1
2
3
2
2
2
1
2
1
2
3
2
2
2
1
1
1
2
3
2
2
2
1
1
n
m
l
K
Para determinar los
cosenos directores de
las direcciones de σ2 y σ3
bastará reemplazar en las
expresiones de Δ1, Δ2, Δ3
el valor de σ1 por los de
σ2 ó σ3 según el caso.
Ec. 40
Ec. 41
EXPRESIONES DEL ESTADO DETENSIÓN EN UN PUNTO EN
FUNCIÓN DE LAS TENSIONES PRINCIPALES
 Si hacemos coincidir los ejes coordenados con las direcciones principales se tiene:
 Ec. 42. Ec. 43
 Y por ser τxy = τyz = τxz =0 la Ec.3 se convierte en:
 Ec. 44
 Y por las mismas razones resulta:
 Ec. 45








3
2
1






z
y
x








n
p
m
p
l
p
z
y
x
3
2
1



2
2
3
2
2
2
2
2
1 n
m
l
p 

 


2
3
2
2
2
1 n
m
l 


 



28/05/2021
EXPRESIÓN FINAL
 Recordando:
 Ec. 46
 Reemplazando p y σ por sus valores dados en Ec. 44 y Ec. 45 y teniendo en cuenta que la suma de los cuadrados
de los cosenos es igual a la unidad, se tiene:
 Ec. 47
 Expresando n en función de l y m:
 Ec.48
2
2

 
 p
      2
2
2
3
2
2
2
2
3
1
2
2
2
2
1 n
m
n
l
m
l 





 





       
 2
3
2
2
3
2
2
2
3
1
2
3
2
2
2
3
2
2
2
2
2
3
2
1
2










 








 m
l
m
l

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