Tensor de Tensiones

INTEGRANTES:
• LÓPEZ HUAMÁN, DANIEL COD: 1419120078
• MAMÁNI CAYRA, JEAN FRANCO COD: 1429125326
• PÉREZ GUTIÉRREZ, DIEGO ORLANDO COD: 1429115139
• PÉÑARES BERROCAL, JOSUÉ EDUARDO COD: 1419110084

• Consideremos el equilibrio de un sólido diferencial con forma de
tetraedro, cuyas caras están definidas por los tres planos coordenados y
una cara oblicua de normal n. En alguna posición dentro del tetraedro -
no importa donde-, se encuentra un punto P.
• Llamaremos Tn al vector tensión en el plano de normal n que pasa por P. Las
superficies del tetraedro tendrán unas tensiones iguales a las anteriores salvo
un diferencial, puesto que las distancias de P a estas superficies son
diferenciales de primer orden.

• Caracterizaremos la magnitud de una superficie mediante un escalar
positivo. Si la cara oblicua del tetraedro tiene una superficie dS, la cara
paralela al plano 23 tendrá una superficie n1dS, la paralela al plano 31
será n2dS, y la paralela a 12 será n3dS.
• La ecuación de equilibrio de fuerzas se expresará como:
• Dividiendo la ecuación anterior por dS, y teniendo en cuenta que
resulta (entendemos sumatorio en j). La igualdad vectorial
anterior puede expresarse en componentes como:
• Por una parte, asegura que podemos calcular la tensión en cualquier
plano de normal n que pase por un punto.

• Realizada la comprobación anterior, podemos asegurar
que (2.5) implica que el conjunto de cantidades T i
ej son
las componentes de un tensor, que denominaremos
tensor de tensiones y denotaremos como
• Con esta notación, el primer subíndice de indica que
eje es perpendicular al plano donde actúa la componente
de tensión, y el segundo subíndice de indica la dirección
de la componente de tensión. La ecuación de equilibrio
de un tetraedro elemental (2.5) se escribe en función del
tensor de tensiones como:

• Por lo tanto, todas las componentes del tensor de tensiones que muestra
la primera de las figuras 2.6 son positivas tal como están dibujadas.
• Por lo tanto, diremos que si las componentes de tensión están dirigidas
según se muestra en el sólido de la segunda de las figuras 2.6, éstas son
también positivas. Podemos resumir que:
• Una componente de tensión es positiva si tiene el sentido de un eje y la normal
al plano sobre el que actúa tiene el sentido de un eje, o si tiene sentido
contrario a un eje y la normal al plano tiene sentido a un eje. Es negativa en otro
caso.

• Denotaremos mediante Xi las
fuerzas asociadas al volumen del
sólido y Xi a las asociadas a su
superficie exterior. La ecuación de
equilibrio en función de los
términos del tensor de tensiones,
pero considerando que n es la
normal exterior al contorno real del
sólido. La ecuación que resulta, a la
que llamaremos ecuación de
equilibrio en el contorno, es:
• Plantearemos ahora la ecuación
de equilibrio de un solido
diferencial con forma de cubo de
aristas paralelas a los ejes.

• los primeros términos (con tensiones finitas) de estos desarrollos se cancelan
exactamente al plantear el equilibrio. Imponiendo por ejemplo que la suma de
fuerzas según la dirección 2 sea cero, tenemos:
• Tras cancelar las cantidades en el interior de cada paréntesis
respectivo, dividir por dx1, dx2, dx3; el resultado adopta la forma Las
ecuaciones que expresan el equilibrio de fuerzas en las otras dos direcciones,
1y 3, se obtienen análogamente. Podemos expresar estas tres ecuaciones en la
en la forma compacta:
• El equilibrio del sólido implica también que el momento de las fuerzas que actúan
sobre él respecto de cualquier punto debe ser nulo.
• por ejemplo, aparecen los momentos producidos por las tensiones
respectivamente (tomamos como positivas las componentes de momento dirigidas en
el sentido del eje).

• Por tanto, salvo estos diferenciales de orden superior a tres, la ecuación
de suma de momentos según la dirección 2 queda:
• Es decir Al imponer que el momento sea nulo en las otras dos
direcciones, 1 se obtiene análogamente la igualdad de las componentes de
tensión tangencial de subíndices 23 y 12, respectivamente. Estas tres ecuaciones
se resumen por tanto en:
que expresa que el tensor de tensiones es simétrico.
• Las ecuaciones (2.9) y (2.10) expresan en el equilibrio del solido elemental de la
figura 2.7. Podemos utilizar la (2.10) para reescribir las ecuaciones (2.7), (2.8) y (2.9)
en la forma en que las usaremos en lo sucesivo. El vector tensión en un punto
interior al sólido , y un punto del contorno según su superficie, son
Donde nj se denota las componentes de del vector normal al plano adecuado.
La ecuación de equilibrio interno queda:

• Sea sij el tensor de tensiones en el punto considerado. Sea n el vector unitario
normal a un plano de tensión puramente normal que pasa por el punto, y sea s
(escalar) el valor de la tensión normal en ese plano. La condición de que el vector
tensión que actúa sobre el plano tiene la dirección n , viene dada por:
• Expresando el vector tensión en función de los términos del tensor de tensiones
mediante (2.11), obtenemos:
• O lo que es lo mismo, , que
tiene la forma de un sistema homogéneo
de ecuaciones lineales que en forma
explícita es:

• Para que el sistema de ecuaciones tenga una solución no trivial en n1,
n2,n3, el determinante de la matriz de coeficientes debe ser nulo:
• La ecuación (2.16) define un polinomio cúbico en , que llamaremos ecuación
característica, y que escribimos en la forma normalizada:
• Los coeficientes, I1, I2, I3, se calculan inmediatamente mediante identificación
con el desarrollo del determinante de (2.16). Sus valores son:
• La ecuación característica (2.17) tendrá tres soluciones en , que
denotaremos como y que serán las tensiones principales.

• La Cada uno de estos valores es la tensión normal en uno de los planos
en que la tensión es puramente normal. Las orientaciones
de las normales a estos planos pueden obtenerse particularizando en la
ecuación inicial (2.15) respectivamente como valores de :
• En general es suficiente descartar una de las ecuaciones de cada sistema de 2.18 (que será
combinación lineal de las otras dos), e imponer a cambio la correspondiente condición
adicional (2.19), que expresa que el módulo del vector que buscamos es la unidad.
• Esta última circunstancia nos ofrece la posibilidad de adoptar un sistema de ejes coordenados
cuyas direcciones coincidan con las principales, resultando evidente que, por definición, las
componentes tangenciales
del tensor de tensiones se
anularán en estos ejes, con
lo que la matriz asociada al
tensor tiene forma diagonal:

La ecuación característica (2.16) es un polinomio con coeficientes reales, por lo que sabemos
que puedes tener raíces complejas conjugadas. Como el polinomio es de tercer grado tendrá
tres raíces, por lo que al menos una será siempre real. Sea el valor de esta raíz real, y sea
el vector unitario en la dirección principal asociada a esta raíz. Elegiremos un sistema de ejes
x1, x2, x3; de tal manera que x1 coincida con esta dirección. Las componentes de tensión
serán evidentemente nulas en estos ejes, siendo el tensor de tensiones de la forma que se
muestra en la figura.

• La ecuación característica adopta la forma:
• Siendo sus soluciones la ya conocida y las dos raíces de
• Esta ecuación de segundo grado tiene sus raíces reales siempre que su
discriminante sea mayor que cero, lo cual ocurrirá siempre, ya que
puede expresarse como suma de cuadrados:
• Por lo tanto, las tres tensiones principales deben ser números reales,
como queríamos demostrar.

• Las componentes del estado tensorial en un punto son:
 Determinar:
 1. Las tensiones y direcciones principales.
 2. Las tensiones normales y cortantes sobre una superficie
que pasa sobre que pasa por el punto y cuyo vector normal
es:

• Primero formamos la matriz
de tensor de tensiones.

• Utilizamos la determinante de valores propios
para calcular los tensores principales.
• Ahora reemplazamos los valores
en la determinante y
resolviéndola obtenemos una
ecuación de tercer grado.
• Finalmente tenemos:

• El desarrollo de las direcciones principales
(eigenvectores) tienes que ser de la forma.
• Estos eigenvectores que deben ser calculados con cada uno de los
tensores principales encontrados.
• Formamos un sistema de ecuaciones • Puedes resolverlo haciendo un cambio de
variable a uno de los cosenos directores.

• Primero a través del producto de matrices podemos calcular el tensor para un
vector ya dado.
• Atreves de esa matriz formamos
el vector tensor total
• Ahora calculamos la tensión normal y utilizando la proyección escalar

• Luego hallamos el vector
• Y con lo anterior calculamos
el tensor cortante.
• Representación tensores para
el problema 2

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