Clase 3 Conjuntos numéricos I.ppt

PPTCANMTALA03003V2
Clase
Conjuntos numéricos I
MT-21

Aprendizajes esperados
• Diferenciar las características propias de los números primos,
pares e impares, múltiplos y divisores.
• Reconocer los números que pertenecen al conjunto de los
números naturales, cardinales y enteros.
• Ordenar números determinando sucesor y antecesor en los
enteros.
• Aplicar la operatoria básica en los números naturales y enteros.
• Calcular m.c.m. y M.C.D.

14. La suma de tres números impares consecutivos es siempre
I) divisible por 3.
II) divisible por 6.
III) divisible por 9.
Es (son) verdadera(s)
A) sólo I.
B) sólo II.
C) sólo I y III.
D) sólo II y III.
E) I, II y III. Fuente : DEMRE - U. DE CHILE, PSU 2010.
Pregunta oficial PSU

1. Números naturales (N)
2. Números cardinales (N0)
3. Números enteros (Z)

Conjunto de la forma: IN = {1, 2, 3, 4, 5, …}.
Conjunto infinito, ordenado y discreto.
• Sucesor
1.1 Consecutividad numérica
Todo número natural tiene un sucesor, y se obtiene sumando 1 al número,
es decir:
Si n pertenece a IN, su sucesor será n + 1.
• Antecesor
Todo número natural (exceptuando el 1) tiene un antecesor y se obtiene al
restar 1 al número, es decir:
Si n pertenece a IN – {1}, su antecesor será n – 1.

Conjunto de la forma: IN = {1, 2, 3, 4, 5, …}.
n – 1 n + 1
n
Naturales consecutivos
antecesor sucesor
1.1 Consecutividad numérica

1.2 Paridad e imparidad
• Números pares
Son de la forma 2n, con n en los naturales.
{2, 4, 6, 8, 10……, 2n}
Sucesor par: Se obtiene sumando
2 al número. Si el número es 2n,
entonces su sucesor par es 2n + 2.
Antecesor par: Se obtiene restando
2 al número. Si el número es 2n
entonces su antecesor par es 2n – 2.
2n – 2 2n + 2
2n
Antecesor par Sucesor par

• Números impares
Son de la forma 2n – 1, con n en los naturales.
{1, 3, 5, 7, 9……, 2n – 1}
1.2 Paridad e imparidad
Sucesor impar: Se obtiene
sumando 2 al número. Si el número
es 2n – 1, entonces su sucesor
impar es 2n + 1.
Antecesor impar: Se obtiene
restando 2 al número. Si el número
es 2n – 1, entonces su antecesor
impar es 2n – 3
2n – 3 2n + 1
2n – 1
Antecesor impar Sucesor impar

1.3 Múltiplos
Los múltiplos de un número son aquellos números que se obtienen al
multiplicar dicho número por algún número natural.
Por ejemplo, 5, 10, 30 y 45 son múltiplos de 5.
El mínimo común múltiplo (m.c.m.) de dos o más números, corresponde
al menor de los múltiplos que tienen en común.
• Mínimo común múltiplo (m.c.m.)
Ejemplo:
M3 = {3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, 33, 36,…, 60, …}
M6 = {6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48…, 60, …}
M15 = {15, 30, 45, 60, 75,…}
El menor de los múltiplos comunes entre 3, 6 y 15 es 30.

1.3 Múltiplos
Los múltiplos de un número son aquellos números que se obtienen al
multiplicar dicho número por algún número natural.
Por ejemplo, 5, 10, 30 y 45 son múltiplos de 5.
• Mínimo común múltiplo (m.c.m.)
m.c.m. = 3 ∙ 2 ∙ 5 =30
El m.c.m. entre 3, 6 y 15 se puede obtener a través del siguiente método:
3 6 15 3
1 2 5 2
1 5 5
1
Se divide cada número por
números primos hasta que en
cada columna quede 1, y el
producto de ellos corresponde al
m.c.m.

1.4 Divisores
Los divisores de un número son aquellos números naturales que lo
dividen exactamente (la división tiene resto cero).
Por ejemplo, los divisores de 24 son 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 y 24.
El máximo común divisor de dos o más números, corresponde al mayor
número que los divide simultáneamente.
• Máximo común divisor (M.C.D.)
Ejemplo:
D36 = {1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36}
D18 = {1, 2, 3, 6, 9, 18}
D24 = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24}
El mayor de los divisores comunes entre 36, 18 y 24 es 6.

1.4 Divisores
Los divisores de un número son aquellos números naturales que lo
dividen exactamente (la división tiene resto cero).
Por ejemplo, los divisores de 24 son 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 y 24.
• Máximo común divisor (M.C.D.)
El M.C.D. entre 36, 18 y 24 se puede obtener a través del siguiente
método:
36 18 24 2
18 9 12 3
6 3 4
Se divide por números primos
que sean divisores de cada
número, hasta que ya no se
pueda dividir a todos en forma
simultánea.
M.C.D. = 2 ∙ 3 = 6

1.5 Números primos
Son aquellos números naturales que solo son divisibles por 1 y por si
mismos (solo tienen 2 divisores):
{2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29 …}.
El 1 NO es primo, pues tiene un solo factor.

1.6 Operaciones en N
a + b = c, donde a y b sumandos y c suma.
• Adición
Propiedades de la adición
a + b = b + a
a) Clausura: La suma de dos números naturales es siempre un natural.
b) Conmutatividad: Si a y b son números naturales, entonces se cumple que:
a + (b + c) = (a + b) + c
c) Asociatividad: Si a, b y c son números naturales, entonces se cumple que:
En los naturales no existe neutro aditivo.

a – b = c, con a > b, donde a minuendo, b sustraendo y c resta o diferencia
• Sustracción
Propiedades de la multiplicación
a ∙ b = b ∙ a
a) Clausura: El producto de dos números naturales es siempre un natural.
b) Conmutatividad: Si a y b son números naturales, entonces se cumple que:
• Multiplicación
a ∙ b = c, donde a y b factores y c producto.

a ∙ (b ∙ c) = (a ∙ b) ∙ c
c) Asociatividad: Si a, b y c son números naturales, entonces se cumple que:
a ∙ 1 = 1 ∙ a = a
d) Elemento neutro: El elemento neutro de la multiplicación es el 1, ya que:
También existe la propiedad
distributiva de la multiplicación
respecto de la adición:
a ∙ ( b + c) = a ∙ b + a ∙ c

Si la división es exacta
a : b = c ↔ b ∙ c = a ,donde a dividendo, b divisor y c cuociente
Si la división NO es exacta
a : b = c ↔ b ∙ c + r = a ,donde a dividendo, b divisor, c cuociente y r resto
r
• División

2. Números cardinales (N0)
Conjunto de la forma: IN0 = {0, 1, 2, 3, 4, 5, …}.
2.1 Operaciones en N0
En este conjunto, para la adición y la multiplicación, se cumplen las
mismas propiedades que en N, solo se agrega la siguiente para la suma:
d) Elemento neutro aditivo: El cero es neutro para la adición, ya que
a + 0 = 0 + a = a
y la siguiente para la multiplicación:
e) Elemento absorbente: El cero absorbe la multiplicación, ya que
a ∙ 0 = 0 ∙ a = 0

Conjunto de la forma: Z = {…, – 3, – 2, – 1, 0, 1, 2, 3, …}.
Se puede representar como: Z = Z- U IN0
Z = Z- U {0} U Z+
Z- Z+
0
-3 -2 -1 1 2 3
Los números pares e impares
podemos extenderlos a este conjunto
numérico, siguiendo la misma lógica y
utilizando antecesor y sucesor.

3.1 Valor absoluto o módulo
El valor absoluto de un número representa la distancia del número al
cero en la recta numérica.
Por ejemplo, la distancia del 5 al origen es cinco unidades, igual que la
distancia del – 5 al origen. La notación es: |5| = 5 y |– 5| = 5
-5 5
0
5 unidades 5 unidades
|– 20| = 20 |34| = 34 |– 12| = 12
Ejemplo:

3.2 Operaciones en Z
Propiedades
En este conjunto, para la adición y la multiplicación, se cumplen las
mismas propiedades que en N0, solo se agrega la siguiente para la suma:
e) Elemento inverso aditivo: Todo número entero posee un elemento
inverso aditivo, que cumpla
a + – a = 0 = – a + a
Ejemplos:
El inverso aditivo de 8 es – 8
El inverso aditivo de – 12 es 12

Al realizar adiciones, sustracciones, multiplicaciones y divisiones en los
enteros debemos considerar algunas reglas para poder operar
correctamente:
a) Al sumar dos enteros de igual signo, se suman los módulos de los
números y se mantiene el signo.
Ejemplos:
25 + 8 = + 33
– 5 + – 9 =– 14
b) Al sumar dos enteros de distinto signo, se calcula la diferencia entre los
módulos de los números y se mantiene el signo del número que tiene
módulo mayor.
Ejemplos: – 10 + 7 = – 3
75 + – 9 =+ 66

c) Al restar dos enteros, se debe sumar al minuendo el inverso aditivo del
sustraendo.
d) Al multiplicar o dividir dos enteros de igual signo, se multiplican (dividen)
los módulos y el resultado es positivo.
Ejemplos:
a – b = a + – b Ejemplo:
5 – 9 = 5 +– 9 = – 4
a – (– b) = a + b Ejemplo:
12 – (– 8) = 12 + 8 = 20
– 42 ∙ – 8 = + 336
– 28 : – 7 = + 4

e) Al multiplicar o dividir dos enteros de distinto signo, se multiplican
(dividen) los módulos y el resultado es negativo.
Ejemplos:
37 ∙ – 5 = – 185
125 : – 5 = – 25

3.3 Prioridad de las operaciones
Para los ejercicios combinados, existe un orden que debemos respetar al
realizar las operaciones, para obtener el resultado correcto. Este orden es:
1° Paréntesis
2° Potencias
4° Adiciones y sustracciones
3° Multiplicación y/o división (de izquierda a derecha)
– 5 + 15 : 3 – 3 = – 5 + 5 – 3
= 0 – 3
= – 3
Ejemplo:

14. La suma de tres números impares consecutivos es siempre
I) divisible por 3.
II) divisible por 6.
III) divisible por 9.
Es (son) verdadera(s)
A) sólo I.
B) sólo II.
C) sólo I y III.
D) sólo II y III.
E) I, II y III. Fuente : DEMRE - U. DE CHILE, PSU 2010.
Pregunta oficial PSU
ALTERNATIVA
CORRECTA
A

Tabla de corrección
Nº Clave Unidad temática Habilidad
1 C Conjuntos numéricos Aplicación
2 A Conjuntos numéricos Aplicación
3 E Conjuntos numéricos Aplicación
4 D Conjuntos numéricos Análisis
8 C Conjuntos numéricos Análisis

Tabla de corrección
Nº Clave Unidad temática Habilidad
11 D Conjuntos numéricos Aplicación
12 B Conjuntos numéricos Aplicación
13 E Conjuntos numéricos Análisis
14 C Conjuntos numéricos Aplicación
15 D Conjuntos numéricos Análisis
19 B Conjuntos numéricos Evaluación
20 A Conjuntos numéricos Evaluación

Síntesis de la clase
Conjunto IN
Consecutividad
Números primos
Múltiplos y divisores
Mínimo común
múltiplo
Máximo común
divisor
Operatoria
Propiedades
Conjunto IN0
IN U {0}
0 elemento neutro
de la adición
Operatoria
Propiedades
Conjunto IZ
Paridad e imparidad
Operatoria
Propiedades
Prioridad de las
operaciones
Valor absoluto
 

Prepara tu próxima clase
En la próxima sesión, estudiaremos
Conjuntos numéricos II

Propiedad Intelectual Cpech RDA: 186414
ESTE MATERIAL SE ENCUENTRA PROTEGIDO POR EL REGISTRO DE
PROPIEDAD INTELECTUAL.
Equipo Editorial Matemática

Clase 3 Conjuntos numéricos I.ppt

Más contenido relacionado

La actualidad más candente (20)

Similar a Clase 3 Conjuntos numéricos I.ppt (20)

Último (20)

Clase 3 Conjuntos numéricos I.ppt