Numeros naturales1

INSTITUCIÓN EDUCATIVA LA SALLE
SEXTO GRADO
DULMAR YESID PEREZ TORRADO MATEMÁTICAS
NUMEROS NATURALES
Los números naturales son aquellos que permiten contar los elementos de un conjunto. Se trata del
primer conjunto de números que fue utilizado por los seres humanos para contar objetos. CERO (0),
Uno (1), dos (2), cinco (5) y nueve (9), por ejemplo, son números naturales.
El conjunto de los números naturales está formado por:
N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,...}
Orden de los números naturales
Los números naturales están ordenados, lo que nos permite comparar dos números naturales:
5 > 3; 5 es mayor que 3.
3 < 5; 3 es menor que 5.
Los números naturales son ilimitados, es decir, si a un número natural le sumamos 1, obtenemos
otro número natural.
Representación de los números naturales
Los números naturales se pueden representar en una recta ordenados de menor a mayor.
• Sobre una recta señalamos un punto, que marcamos con el número cero.
• A la derecha del cero, y con las mismas separaciones, situamos de menor a mayor los
siguientes números naturales: 1, 2, 3...
Suma de números naturales:
Dados a,b,c números naturales se tiene la suma o adición como a + b = c, donde los términos de la
suma, a y b, se llaman sumandos y el resultado, c, suma.
Ejemplo 5+10 = 15
Propiedades de la suma de números naturales
1. Clausurativa: El resultado de sumar dos números naturales es otro número natural.
Si a,b entonces a + b = c, y c

SEXTO GRADO
2. Asociativa: El modo de agrupar los sumandos no varía el resultado.
(a + b) + c = a + (b + c)
(2 + 3) + 5 = 2 + (3 + 5)
5 + 5 = 2 + 8
10 = 10
3. Conmutativa: El orden de los sumandos no varía la suma.
a + b = b + a
2 + 5 = 5 + 2
7 = 7
4. Modulativa o elemento neutro: El 0 es el elemento neutro de la suma porque todo número
sumado con él da el mismo número.
a + 0 = a
3 + 0 = 3
RESTA DE NUMEROS NATURALES
a - b = c : Los términos que intervienen en una resta se llaman: a, minuendo y b, sustraendo. Al
resultado, c, lo llamamos diferencia.
Propiedades de la resta de números naturales
1. No es una operación interna:
El resultado de restar dos números naturales no siempre es otro número natural.
2 − 5
2. No es Conmutativa:
5 − 2 ≠ 2 – 5
Realizar las actividades se le entregan por parte
del docente. Fotocopia.
Tarea de ingenio
En el siguiente triángulo debes posicionar los
números que están sobre él, de forma que al
sumar cada uno de sus lados obtengas como
resultado 10.

SEXTO GRADO
MULTIPLICACION DE NUMEROS NATURALES
Multiplicar dos números naturales consiste en sumar uno de los factores consigo mismo tantas
veces como indica el otro factor.
a · b = c
Los términos a y b se llaman factores y el resultado, c, producto.
Propiedades de la multiplicación de números naturales
1. Clausurativa o Interna: El resultado de multiplicar dos números naturales es otro número
natural.
a · b
2. Asociativa: El modo de agrupar los factores no varía el resultado.
(a · b) · c = a · (b · c)
(2 · 3) · 5 = 2· (3 · 5)
6 · 5 = 2 · 15
30 = 30
3. Conmutativa:
El orden de los factores no varía el producto.
a · b = b · a
2 · 5 = 5 · 2
10 = 10
4. Modulativa o elemento neutro:
El 1 es el elemento neutro de la multiplicación de números naturales, porque todo número
multiplicado por él da el mismo número.
a · 1 = a
3 · 1 = 3
5. Distributiva:
La multiplicación de un número natural por una suma es igual a la suma de los multiplicaciones de
dicho número natural por cada uno de los sumandos.

SEXTO GRADO
a · (b + c) = a · b + a · c
2 · (3 + 5) = 2 · 3 + 2 · 5
2 · 8 = 6 + 10
16 = 16
6. Producto por factor cero: Siempre se cumple al multiplicar por 0 el producto siempre es cero
a * 0 = 0
ejemplo : 6 * 10 = 0
DIVISION DE NUMEROS NATURALES
D ÷ d = c , Los términos que intervienen en un división se llaman, D, dividendo y, d, divisor. Al
resultado, c, lo llamamos cociente.
Tipos de divisiones
1. División exacta:
Una división es exacta cuando el resto es cero.
D = d · c
15 = 5 · 3
2. División entera:
Una división es entera cuando el resto es distinto de cero.
D = d · c + r
17 = 5 · 3 + 2
Propiedades de la división de números naturales
1. No es una operación interna:
El resultado de dividir dos números naturales no siempre es otro número natural.
2 : 6

SEXTO GRADO
2. No es Conmutativo:
a : b ≠ b : a
6 : 2 ≠ 2 : 6
3. Cero dividido entre cualquier número da cero.
0 : 5 = 0
4. No se puede dividir por 0.
POTENCIA DE NUMEROS NATURALES
Una potencia es una forma abreviada de escribir un producto formado por varios factores iguales.
5 · 5 · 5 · 5 = 54
Base
La base de una potencia es el número que multiplicamos por sí mismo, en este caso el 5.
Exponente
El exponente de una potencia indica el número de veces que multiplicamos la base, en el ejemplo
es el 4.
Propiedades de la potencias de números naturales
1. a0
= 1
2. a1
= a
3. Producto de potencias con la misma base:
Es otra potencia con la misma base y cuyo exponente es la suma de los exponentes.
am
· a n
= am+n
25
· 22
= 25+2
= 27
4. División de potencias con la misma base:

SEXTO GRADO
Es otra potencia con la misma base y cuyo exponente es la diferencia de los exponentes.
am
: a n
= am - n
25
: 22
= 25 - 2
= 23
5. Potencia de una potencia:
Es otra potencia con la misma base y cuyo exponente es el producto de los exponentes.
(am
)n
= am · n
(25
)3
= 215
6. Producto de potencias con el mismo exponente:
Es otra potencia con el mismo exponente y cuya base es el producto de las bases.
an
· b n
= (a · b) n
23
· 43
= 83
7. Cociente de potencias con el mismo exponente:
Es otra potencia con el mismo exponente y cuya base es el cociente de las bases.
an
: bn
= (a : b)n
63
: 33
= 23
Descomposición polinómica de un número
Un número natural se puede descomponer utilizando potencias de base 10.
El numero 3 658 podemos descomponerlo del siguiente modo:
3 658 = 3 ·103
+ 6 ·102
+ 5 ·101
+ 8
RAIZ CUADRADA
La radicación es la operación inversa a la potenciación. Y consiste en que dados dos números,
llamados radicando e índice, hallar un tercero, llamado raíz, tal que, elevado al índice, sea igual al
radicando.

SEXTO GRADO
En la raíz cuadrada el índice es 2, aunque en este caso se omite. Consistiría en hallar un número
conocido su cuadrado.
La raíz cuadrada de un número, a, es exacta cuando encontramos un número, b, que elevado al
cuadrado es igual al radicando: b2
= a.
Raíz cuadrada exacta
La raíz cuadrada exacta tiene de resto 0.
Radicando = (Raíz exacta)2
Cuadrados perfectos
Son los números que poseen raíces cuadradas exactas.
1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, 169, ...
Raíz cuadrada entera
Si un número no es cuadrado perfecto su raíz es entera.
Radicando = (Raíz entera)2
+ Resto

SEXTO GRADO
Algoritmo de la raíz cuadrada
Cálculo de la raíz cuadrada
1Si el radicando tiene más de dos cifras, separamos las cifras en grupos de dos empezando
por la derecha.
2 Calculamos la raíz cuadrada entera o exacta, del primer grupo de cifras por la izquierda.
¿Qué número elevado al cuadrado da 8?
8 no es un cuadrado perfecto pero está comprendido entre dos cuadrados perfectos: 4 y 9, entonces
tomaremos la raíz cuadrada del cuadrado perfecto por defecto: 2, y lo colocamos en la casilla
correspondiente.
3El cuadrado de la raíz obtenida se resta al primer grupo de cifras que aparecen en el
radicando.
El cuadrado de 2 es 4, se lo restamos a 8 y obtenemos 4.
4 Detrás del resto colocamos el siguiente grupo de cifras del radicando, separando del número
formado la primera cifra a la derecha y dividiendo lo que resta por el doble de la raíz anterior.
Bajamos 92, siendo la cantidad operable del radicando: 492.
49 : 4 > 9, tomamos como resultado 9.

SEXTO GRADO
5 El cociente que se obtenga se coloca detrás del duplo de la raíz, multiplicando el número
formado por él, y restándolo a la cantidad operable del radicando.
Si hubiésemos obtenido un valor superior a la a la cantidad operable del radicando, habríamos
probado por 8, por 7...hasta encontrar un valor inferior.
6 El cociente obtenido es la segunda cifra de la raíz.
7 Bajamos el siguiente par de cifras y repetimos los pasos anteriores.
Como 5301 > 5125, probamos por 8.

SEXTO GRADO
Subimos el 8 a la raíz.
8Prueba de la raíz cuadrada.
Para que el resultado sea correcto, se tiene que cumplir:
Radicando = (Raíz entera)2
+ Resto
89 225 = 2982
+ 421
Operaciones combinadas con números naturales
Prioridad de las operaciones
1º.Efectuar las operaciones entre paréntesis, corchetes y llaves.
2º.Calcular las potencias y raíces.
3º.Efectuar los productos y cocientes.

SEXTO GRADO
4º.Realizar las sumas y restas.
Tipos de operaciones combinadas
1. Operaciones combinadas sin paréntesis
1.1 Combinación de sumas y diferencias.
9 − 7 + 5 + 2 − 6 + 8 − 4 =
Comenzando por la izquierda, vamos efectuando las operaciones según aparecen.
= 9 − 7 + 5 + 2 − 6 + 8 − 4 = 7
1.2 Combinación de sumas, restas y productos.
3 · 2 − 5 + 4 · 3 − 8 + 5 · 2 =
Realizamos primero las multiplicación por tener mayor prioridad.
= 6 − 5 + 12 − 8 + 10 =
Efectuamos las sumas y restas.
= 6 − 5 + 12 − 8 + 10 = 15
1.3 Combinación de sumas, restas , productos y divisiones.
10 : 2 + 5 · 3 + 4 − 5 · 2 − 8 + 4 · 2 − 16 : 4 =
Realizamos los productos y cocientes en el orden en el que los encontramos porque las dos
operaciones tienen la misma prioridad.
= 5 + 15 + 4 − 10 − 8 + 8 − 4 =
= 5 + 15 + 4 − 10 − 8 + 8 − 4 = 10
1.4 Combinación de sumas, restas , productos , divisiones y potencias.
23
+ 10 : 2 + 5 · 3 + 4 − 5 · 2 − 8 + 4 · 22
− 16 : 4 =
Realizamos en primer lugar las potencias por tener mayor prioridad.

SEXTO GRADO
= 8 + 10 : 2 + 5 · 3 + 4 − 5 · 2 − 8 + 4 · 4 − 16 : 4 =
Seguimos con los productos y cocientes.
= 8 + 5 + 15 + 4 − 10 − 8 + 16 − 4 =
= 26
2. Operaciones combinadas con paréntesis
(15 − 4) + 3 − (12 − 5 · 2) + (5 + 16 : 4) −5 + (10 − 23
) =
Realizamos en primer lugar las operaciones contenidas en ellos.
= (15 − 4) + 3 − (12 − 10) + (5 + 4) − 5 + (10 − 8 )=
Quitamos paréntesis realizando las operaciones.
= 11 + 3 − 2 + 9 − 5 + 2 = 18
3.Operaciones combinadas con paréntesis y corchetes
[15 − (23
− 10 : 2 )] · [5 + (3 · 2 − 4 )] − 3 + (8 − 2 · 3 ) =
Primero operamos con las potencias, productos y cocientes de los paréntesis.
= [15 − (8 − 5 )] · [5 + (6 − 4 )] − 3 + (8 − 6 ) =
Realizamos las sumas y restas de los paréntesis.
= [15 − 3] · [5 + 2 ] − 3 + 2 =
En vez de poner corchetes pondremos paréntesis directamente:
= (15 − 3) · (5 + 2) − 3 + 2=
Operamos en los paréntesis.
= 12 · 7 − 3 + 2
Multiplicamos.
= 84 − 3 + 2=

SEXTO GRADO
Restamos y sumamos.
= 83
RESUMEN NUMEROS NATURALES
Números naturales
Los números naturales se utilizan para contar los elementos de un conjunto (número cardinal). O
para expresar la posición u orden que ocupa un elemento en un conjunto (ordinal).
Propiedades de la suma
1.Interna: a + b
2. Asociativa: (a + b) + c = a + (b + c)
3.Conmutativa: a + b = b + a
4. Elemento neutro: a + 0 = a
Propiedades de la resta
1. No es una operación interna: 2 − 5
2. No es Conmutativa: 5 − 2 ≠ 2 − 5
Propiedades de la multiplicación
1. Interna: a · b
2. Asociativa: (a · b) · c = a · (b · c)
3. Conmutativa: a · b = b · a
4. Elemento neutro: a · 1 = a

SEXTO GRADO
5. Distributiva: a · (b + c) = a · b + a · c
6. Sacar factor común: a · b + a · c = a · (b + c)
Propiedades de la división
1.División exacta: D = d · c
2. División entera : D = d · c + r
3. No es una operación interna: 2 : 6
4. No es Conmutativo: 6 : 2 ≠ 2 : 6
5. Cero dividido entre cualquier número da cero. 0 : 5 =0
6. No se puede dividir por 0.
Propiedades de las potencias
1.a0
= 1
2. a1
= a
3. Producto de potencias con la misma base: am
· a n
= am+n
4. Cocointe de potencias con la misma base: am
: a n
= am - n
5. Potencia de una potencia: (am
)n
= am · n
6. Producto de potencias con el mismo exponente: an
· b n
= (a · b) n
7. Cociente de potencias con el mismo exponente: an
: bn
= (a : b)n
Propiedades de las raíces
1.Raíz exacta: Radicando= (Raíz)2
2. Raíz entera: Radicando= (Raíz)2
+ Resto
Prioridades en las operaciones
1º.Efectuar las operaciones entre paréntesis, corchetes y llaves..
2º.Calcular las potencias y raíces.

SEXTO GRADO
3º.Efectuar los productos y cocientes.
4º.Realizar las sumas y restas.
Ejercicios de números naturales
• Busca el término desconocido e indica su nombre en las siguientes operaciones:
1. 327 + ....... = 1.208
2. ....... – 4.121 = 626
3. 321 · ....... = 32 100
4. 28.035 : ....... = 623
• Busca el término desconocido en las siguientes operaciones:
1. 4 · (5 + ...) = 36
2. (30 – ...) : 5 + 4 = 8
3. 18 · ... + 4 · ... = 56
4. 30 – ... : 8 = 25
• Calcular de dos modos distintos la siguiente operaciones:
1. 17 · 38 + 17 · 12 =
2. 6 · 59 + 4 · 59 =
3.(6 + 12) : 3
• Expresa en forma de potencias:
1. 50 000
2. 3 200
3. 3 000 000
• Escribe en forma de una sola potencia:

SEXTO GRADO
1. 33
· 34
· 3 =
2. 57
: 53
=
3. (53
)4
=
4. (5 · 2 · 3)4
=
5. (34
)4
=
6. [(53
)4
]2
=
7. (82
)3
8. (93
)2
9. 25
· 24
· 2 =
10. 27
: 26
=
11. (22
)4
=
12. (4 · 2 · 3)4
=
13.(25
)4
=
14. [(23
)4
]0
=
15. (272
)5
=
16. (43
)2
=
• Utilizando potencias, haz la descomposición polinómica de estos números:
1. 3 257
2. 10 256
3.125 368
8.Calcular las raíces:
1.

SEXTO GRADO
2.
3.
• Realiza las siguientes operaciones combinadas teniendo en cuenta su prioridad:
1. 27 + 3 · 5 – 16 =
2. 27 + 3 – 45 : 5 + 16 =
3. (2 · 4 + 12) (6 − 4) =
4. 3 · 9 + (6 + 5 – 3) – 12 : 4 =
5. 2 + 5 · (2 · 3)³ =
6. 440 − [30 + 6 (19 − 12)] =
7. 2{4 [7 + 4 (5 · 3 − 9)] − 3 (40 − 8)} =
8. 7 · 3 + [6 + 2 · (23
: 4 + 3 · 2) – 7 · ] + 9 : 3 =
Problemas de números naturales
1. Dados los números 5, 7 y 9 forma todos los números posibles de tres cifras distintas, ordénalos de
menor a mayor y súmalos.
2. El cociente de una división exacta es 504, y el divisor 605. ¿Cuál es el dividendo?
3El cociente de una división entera es 21, el divisor 15 y el dividendo 321. ¿Cuál es el resto?
4. Pedro compró una finca por 643 750 € y la vendió ganando 75 250 €. ¿Por cuánto lo vendió?
5. Con el dinero que tengo y 247 € más, podría pagar una deuda de 525 € y me sobrarían 37 €.
¿Cuánto dinero tengo?
6. Se compran 1600 Kg de boquerones, a razón de 4 €/Kg. Si los portes cuestan 400 € y se desea
ganar con la venta 1200€. ¿A cuánto debe venderse el kilogramo de boquerones?
7. ¿Cuántos años son 6 205 días? Consideramos que un año tiene 365 días.

SEXTO GRADO
8. Pedro quiere comprar un automóvil. En la tienda le ofrecen dos modelos: uno de dos puertas y otro
de cuatro puertas. En ambos modelos los colores disponibles son: blanco, azul, rojo, gris y verde. Halla
el número de posibles elecciones que tiene Pedro.
9. En una piscina caben 45 000 litros. ¿Cuánto tiempo tarda en llenarse mediante un grifo que echa
15 litros por minuto?
10. En un aeropuerto aterriza un avión cada 10 minutos. ¿Cuántos aviones aterrizan en un día?
11. En una urbanización viven 4 500 personas y hay un árbol por cada 90 habitantes. ¿Cuántos
árboles hay en la urbanización? ¿Cuántos árboles habrá que plantar para tener un árbol por cada 12
personas?
Ejercicios resueltos de números naturales
1 Busca el término desconocido e indica su nombre en las siguientes operaciones:
1. 327 + ....... = 1.208
Sumando.
1.208 − 327 = 881
2. ....... – 4.121 = 626
Minuendo.
4.121 + 626 = 4747
3. 321 · ....... = 32 100
Factor.
32 100 ÷ 321 = 100
4. 28 035÷ ....... = 623
Divisor.
28 035 ÷ 623 = 45
Busca el término desconocido en las siguientes operaciones:
1. 4 · (5 + ...) = 36
4

SEXTO GRADO
2. (30 – ...) : 5 + 4 = 8
10
3. 18 · ... + 4 · ... = 56
2 y 5
4. 30 – ... : 8 = 25
40
Calcular de dos modos distintos la siguiente operación:
1. 17 · 38 + 17 · 12 =
1. 17 · 38 + 17 · 12 = 646 + 204 = 850
2. 17 · 38 + 17 · 12 = 17 (38 + 12) = 17 · 50 = 850
2. 6 · 59 + 4 · 59 =
1. 6 · 59 + 4 · 59 = 354 + 236 = 590
2. 6 · 59 + 4 · 59 = 59 (6 + 4) = 59 · 10 = 590
3. (6 + 12) : 3
1. (6 + 12) : 3 = 18 : 3 = 6
2. (6 + 12) : 3 = (6 : 3) + (12 : 3) = 2 + 4 = 6
Expresa en forma de potencias:
1. 50 000 = 5 · 104
2. 3 200 = 32 · 102
3. 3 000 000 = 3 · 106
Escribe en forma de una sola potencia:
1. 33
· 34
· 3 = 38

SEXTO GRADO
2. 57
: 53
= 54
3. (53
)4
= 512
4. (5 · 2 · 3) 4
= 304
5. (34
)4
= 316
6. [(53
)4
]2
= (512
)2
= 524
7. (82
)3
=[( 23
)2
]3
= (26
)3
= 218
8. (93
)2
= [(32
)3
]2
= (36
)2
= 312
9. 25
· 24
· 2 = 210
10. 27
: 26
= 2
11. (22
)4
= 28
12. (4 · 2 · 3)4
= 244
13. (25
)4
= 220
14. [(23
)4
]0
= (212
)0
= 20
= 1
15. (272
)5
=[(33
)2
]5
= (36
)5
= 330
16. (43
)2
= [(22
)3
]2
= (26
)2
= 212
Utilizando potencias, haz la descomposición polinómica de estos números:
1. 3 257
3 257 = 3 · 103
+ 2 · 102
+ 5 · 10 + 7
2. 10 256
10 256 = 1 · 104
+ 0 · 103
+ 2 · 102
+ 5 · 10 + 6
3. 125 368
125 368 = 1 · 105
+ 2 · 104
+5 · 103
+ 3 · 102
+ 6 · 10 + 8
Calcula:

SEXTO GRADO
1.
2.
3.
Realiza las siguientes operaciones:
1. 27 + 3 · 5 – 16 =
= 27 + 15 − 16 = 26
2. 27 + 3 – 45 : 5 + 16=

SEXTO GRADO
27 + 3 – 9 + 16 = 37
3. (2 · 4 + 12) (6 − 4) =
= (8 + 12) (2) = 20 · 2 = 40
4. 3 · 9 + (6 + 5 – 3) – 12 : 4 =
= 27 + 8 – 3 = 32
5. 2 + 5 · (2 ·3)³ =
= 2 + 5 · (6)³ = 2 + 5 · 216 = 2 + 1080 = 1082
6. 440 − [30 + 6 (19 − 12)] =
= 440 − (30 + 6 · 7)] = 440 − (30 + 42) =
= 440 − (72) = 368
7. 2{4[7 + 4 (5 · 3 − 9)] − 3 (40 − 8)} =
= 2[4 (7 + 4 · 6) − 3 (32)] = 2[4 (7 + 24) − 3 (32)]=
2[4 (31) − 3 (32)]= 2 (124 − 96)= 2 (28)= 56
8.7 · 3 + [6 + 2 · (23
: 4 + 3 · 2) – 7 · ] + 9 : 3 =
= 21 + [ 6 + 2 · (2+ 6) – 14] +3 =
= 21 + ( 6 + 2 · 8 – 14) +3 =
= 21 + ( 6 + 16 – 14) + 3 =
= 21 + 8 + 3 = 32

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