Clase numero 1 asignatura calculo integral UDLA

Instituto de Matemática, Física y Estadística
Integral Indefinida
MAT3907 - CÁLCULO INTEGRAL.

1 Introducción
2 Antiderivadas
3 Interpretación Geométrica
4 Integral indefinida
5 Fórmulas básicas de integración
6 Propiedades de las integrales
7 Constante de integración
8 Bibliografía
Índice
2/20 IMFE Universidad de las Américas

RAA: Identificar el concepto de antiderivada para obtener inicialmente una
integral.
Resultado de Aprendizaje

¿Cómo se puede emplear una tasa de inflación conocida para deter-
minar precios futuros?
¿Cuál es la velocidad de un objeto en movimiento rectilíneo con
aceleración conocida?
En todas estas situaciones se conoce la derivada (tasa de cambio) de
una magnitud, y se quiere conocer esa magnitud. A continuación, se
presenta la terminología que se usará en el proceso de obtención de
una función a partir de su derivada.
Introducción

Antiderivada
Se dice que una función F(x) es una antiderivada de f (x) si
F′
(x) = f (x)
para cada x en el dominio de f (x). El proceso de encontrar antiderivadas se
llama integración indefinida.
Algunas veces se escribe la expresión F′(x) = f (x) como
dF
dx
= f (x)
Ejemplo.
La función F(x) = 1
3 x3 + 5x + 2 es una antiderivada de f (x) = x2 + 5
Antiderivadas

En general, si F es una antiderivada de f, también lo es G(x) = F(x) + C, para C cons-
tante, ya que G′(x) = [F(x) + C]′ = F′(x) = f (x).
Propiedad fundamental de las antiderivadas
Si F(x) es una antiderivada de la función continua f (x), entonces cualquier
otra antiderivada de f (x) tiene la forma G(x) = F(x) + C para alguna cons-
tante C.
Antiderivadas

Si F y G son antiderivadas de f, la pendiente F′(x) de la recta tangente a y = F(x) en el
punto (x, F(x)) es la misma que la pendiente G′(x) de la recta tangente a y = G(x) en
(x, G(x)). Implica que las rectas tangentes en (x, F(x)) y (x, G(x)) son paralelas, como se
muestra en la figura (a). Esto es válido ∀x, la curva completa y = G(x) debe ser paralela
a la curva y = F(x), de manera que y = G(x) = F(x) + C. En general, el conjunto
de graficas de todas las antiderivadas de f, es una familia de curvas paralelas que son
traslaciones verticales una de otra. Esto se observa en la figura (b).
Interpretación geométrica

La familia de todas las antiderivadas de f (x) se representa como
Z
f (x)dx = F(x) + C
y se denomina integral indefinida de f (x). La integral es “indefinida” porque
contiene una constante C que puede tomar cualquier valor.
Integral indefinida

1 ¿Cuál es la antiderivada de f (x) = 7e−x
+
2
x
?
2 Hallar la integral indefinida de la función f (x) = 7e−x
+
2
x
3 Calcular
Z
7e−x
+
2
x

dx =?
Ejemplo

1
Z
kdx = kx + C
2
Z
xn
dx =
1
n + 1
xn+1
+ C; n ̸= −1
3
Z
1
x
dx = ln x +C
4
Z
ax
dx =
1
ln(a)
ax
+ C
5
Z
ex
dx = ex
+ C
6
Z
sen(x)dx = −cos(x) + C
7
Z
cos(x)dx = sen(x) + C
Fórmulas básicas de integración

Determina las integrales
1
Z
3dx =
2
Z
x12
dx =
3
Z
1
√
x
dx =
Ejemplo

¿Qué hacer con las combinaciones de funciones, como el polinomio:
x4 + 2x2 − 37, o una expresión como 5e−x +
√
x?
Las propiedades algebraicas de las integrales ayudan a integrar estas
expresiones de un modo natural.
1
d
dx
Z
f (x)dx

= f (x) ⇔ F′
(x) = f (x)
2
Z
k(f (x))dx = k
Z
f (x)dx ; k constante.
3
Z
(f ± g)(x)dx =
Z
f (x)dx ±
Z
g(x)dx, ∀x ∈ I
4
Z
d(f (x))
dx
dx =
Z
d(f (x)) = f (x).
Propiedades de las integrales

Calcular la integral indefinida utilizando sus propiedades algebraicas:
1
Z
6x3
− 3x2
+ 8

dx
Ejercicio

2
Z
6x3 + 5x − 7
x

dx
Ejercicio

3
Z
7et
+
√
t − 2sen(t)

dt
Ejercicio

Determinar el valor de la constante C de la integral indefinida nos
ayuda a resolver problemas con condiciones iniciales tales como el
costo, costo marginal y otras aplicaciones de diferentes disciplinas.
Constante de integración

Determine la función f (x) cuya tangente tiene una pendiente de (3x2 + 1)
para cada valor de x, y cuya gráfica pasa por el punto (2, 6).
Solución.
Ejercicio

Un fabricante estima que el ingreso marginal es 100q−1/3 dólares por unidad
cuando el nivel de producción es q unidades, y el costo marginal es de 0,03q
dólares por unidad.
Si la utilidad del fabricante es de US $600 cuando el nivel de producción es 15
unidades.
• ¿Cuál es la utilidad cuando el nivel de producción es de 28 unidades?
Solución.
Ejercicio

Determine si las siguientes declaraciones son verdaderas y dar una explicación
o un contraejemplo. Suponga que f y f ′ son funciones continuas para todos los
números.
A.
Z
f (x)f ′
(x)dx =
1
2
(f (x))2
+ C
B.
Z
(f (x))n
f ′
(x)dx =
1
n + 1
(f (x))n+1
+ C, n ̸= −1
C.
Z
sen(2x)dx = 2
Z
sen(x)dx
D.
Z
(x2
+ 1)
9
dx =
(x2 + 1)
10
10
+ C
Explique porqué o porqué no

• Arya, Jagdish C. - Lardner, Robin W. (2009). Matemática aplicada a la
administración y la economía.Prentice Hall.
• Purcell, Edwin Joseph - Varberg, Dale. (2007) Cálculo diferencial e inte-
gral. Pearson
• Haeussler, Ernest F. - Paul, Richard S.(2015). Matemáticas para adminis-
tración y economía. Pearson.
Bibliografía.

Clase numero 1 asignatura calculo integral UDLA

Más contenido relacionado

Similar a Clase numero 1 asignatura calculo integral UDLA (20)

Último (20)

Clase numero 1 asignatura calculo integral UDLA