Integralindefinida

Tema 5
Integral Indefinida
5.1 Conceptos Generales
Definición. Se denomina primitiva de la función f(x) en un intervalo (a, b) a toda
función F(x) diferenciable en (a, b) y tal que F′(x) = f(x).
Ejemplos:
La función F(x) = x3
+ 5 es una primitiva de la función f(x) = 3x2
, para todo x ∈ R.
La función G(x) = −x√
1−x2
es una primitiva de g(x) =
√
1 − x2 en el intervalo (−1, 1).
La función H(x) = 1
cos2 x es una primitiva de h(x) = tan x en el intervalo (−π
2 , π
2 ). (Nota:
también lo es en cada uno de los demás intervalos de definición de la función tangente, pero no
de manera global en toda la recta real).
Dos propiedades importantes que verifican las primitivas de una función dada f(x) son
las siguientes:
1) Si F(x) es una primitiva de f(x) en (a, b), entonces la función G(x) = F(x) + C,
con C ∈ R constante, también lo es en (a, b). La demostración es evidente: G′(x) =
F′(x) + 0 = f(x), ∀x ∈ (a, b).
2) Si F(x) y G(x) son primitivas de f(x) en (a, b), entonces su diferencia es una constante:
F(x) − G(x) = C, ∀x ∈ (a, b). La demostración de esta propiedad requiere el uso del
Teorema del valor medio1.
1
Sea h(x) = F(x) − G(x), ∀x ∈ (a, b). Obviamente: h′
(x) = f(x) − f(x) = 0, ∀x ∈ (a, b). Sea
[x1, x2] ⊂ (a, b) cualquier subintervalo cerrado de (a, b). Aplicamos en [x1, x2] el Teorema del Valor
medio, por ser h(x) continua en [x1, x2] y derivable en (x1, x2), existe c ∈ (x1, x2) tal que:
0 = h′
(c) =
h(x2) − h(x1)
x2 − x1
⇒ h(x1) = h(x2)
y en consecuencia h(x) es una función constante en (a, b).
43

44 CÁLCULO / CIENCIAS AMBIENTALES / TEMA 7
Definición. Llamaremos integral indefinida de una función f(x) en un intervalo (a, b)
al conjunto de todas sus funciones primitivas en dicho intervalo. Lo representaremos con
la notación habitual:
∫
f(x) dx. La función f(x) recibe el nombre de integrando.
Las dos propiedades anteriores implican que basta con conocer una primitiva de f(x) en
(a, b), F(x), para conocer la totalidad de ellas, y as´ı tendremos:
∫
f(x) dx = F(x) + C
para cualquier constante real C. (Nota: es habitual no especificar el intervalo en el que
se definen las primitivas, se sobreentiende que siempre es en un abierto en el que F(x)
sea derivable.)
Propiedades. De la definición de integral indefinida se deducen de manera trivial las
siguientes propiedades:
•
∫
(f(x) + g(x)) dx =
∫
f(x) dx +
∫
g(x)dx
• ∀k ∈ R, se verifica:
∫
kf(x) dx = k
∫
f(x) dx
•
d
dx
(∫
f(x) dx
)
= f(x)
•
∫
f′
(x) dx = f(x) + C.
Si recordamos la notación habitual de la diferencial de una función: df(x) =
f′(x) dx, es habitual escribir esta propiedad en la forma:
∫
f′
(x) dx =
∫
d(f(x)) = f(x) + C
5.2 Integrales Básicas o Inmediatas
Se suelen denominar integrales inmediatas a las que resultan evidentes por ser el inte-
grando la derivada de una función conocida. Evidentemente no se trata de un concepto
matemático riguroso, simplemente tomaremos como inmediatas las integrales básicas
más habituales. Asumiremos por tanto como integrales conocidas o inmediatas a las
siguientes:

CÁLCULO / CIENCIAS AMBIENTALES / TEMA 7 45
∫
xp
dx =
xp+1
p + 1
+ C , p ̸= −1
∫
dx
x
= ln |x| + C∗
∫
ex
dx = ex
+ C
∫
ax
dx =
ax
ln a
+ C , a > 0, a ̸= 1
∫
sen x dx = − cos x + C
∫
cos x dx = sen x + C
∫
dx
cos2 x
= tan x + C
∫
dx
sen2 x
= − cotan x + C
∫
dx
x2 + 1
= arctan x + C
∫
dx
√
1 − x2
= arcsen x + C
∫
−dx
√
1 − x2
= arccos x + C
∫
senh x dx = cosh x + C
∫
cosh x dx = senh x + C
∫
dx
√
x2 − 1
= arccosh x + C
∫
dx
√
x2 + 1
= arcsenh x + C
∫
dx
1 − x2
= arctanh x + C , x ∈ (−1, 1)
∫
dx
1 − x2
= arccoth x + C , |x| > 1
Nota * : En realidad la expresión:
∫
dx
x
= ln |x| + C, se basa en un pequeño abuso de notación.
Para ser rigurosos tenemos que distinguir dos casos: Si x > 0 entonces:
∫
dx
x
= ln x + C,
mientras que si x < 0 tendremos:
∫
dx
x
= ln(−x) + ¯C. Es habitual fusionar ambos resultados
en la expresión inicial, si bien es necesario aclarar que en realidad las constantes C y ¯C no
tendr´ıan porqué ser iguales.
5.3 Técnicas de Integración
Existen varias métodos concretos para calcular integrales, de los cuales mostraremos a
continuación algunos de los más habituales y relevantes. En un documento aparte se
facilitará una lista-resumen de estos métodos.
1. Cambio de variable o sustitución
La técnica más general de integración es la de cambio de variable, el fundamento de la
misma es el siguiente: Sea Φ una función de clase C1 y sea f una función continua. Sea
x = Φ(t), entonces se verifica:
∫
f(x) dx =
∫
f(Φ(t)) Φ′
(t) dt
Es decir, es posible cambiar la variable de integración de esa manera.
En algunos casos se plantea el cambio de variable de una forma alternativa. Si aparece
en el integrando como factor la derivada de una función presente en el propio integrando,

a menudo es aconsejable realizar el siguiente cambio:
∫
f′
(x)g(f(x)) dx =
{
f(x) = t
f′(x)dx = dt
}
=
∫
g(t) dt
No existen métodos generales que nos indiquen qué cambio de variable es el ideal para
una integral cualquiera, sin embargo en muchos casos s´ı que es posible encontrar un
cambio sencillo que nos convierta una integral dada en una de las que hemos considerado
inmediatas.
Ejemplos 1: Las siguientes integrales son “convertibles” en inmediatas mediante un cambio
de variable muy sencillo:
∫
dx
2x + 3
,
∫
(x − 2)4
dx ,
∫
e
x
2 dx
En la primera integral el cambio es: 2x+3 = t, es decir: x = 1
2 (t−3). Evidentemente: dx = 1
2 dt,
y as´ı: ∫
dx
2x + 3
=
1
2
∫
dt
t
=
1
2
ln |t| + C =
1
2
ln |2x + 3| + C
Para la segunda tendremos: x − 2 = t ⇒ x = t + 2 ⇒ dx = dt.
∫
(x − 2)4
dx =
∫
t4
dt =
1
5
t5
+ C =
1
5
(x − 2)5
+ C
Finalmente la tercera se convierte en inmediata con el cambio: x
2 = t ⇒ x = 2t ⇒ dx = 2 dt.
∫
e
x
2 dx = 2
∫
et
dt = 2et
+ C = 2e
x
2 + C
Ejemplos 2: A veces el cambio de variable no es tan trivial, pero tras un breve análisis resulta
“casi-evidente”. Calculemos las siguientes integrales:
I1 =
∫
x
x2 + 1
dx , I2 =
∫
cos x esen x
dx , I3 =
∫
ln x
x
dx
Para el primer caso, el cambio de variable: x2
+ 1 = t nos lleva a que x dx = 1
2 dt y as´ı:
I1 =
1
2
∫
dt
t
=
1
2
ln |t| + C =
1
2
ln(x2
+ 1) + C
En la segunda integral cambiamos: sen x = u ⇒ cos x dx = du:
I2 =
∫
eu
du = eu
+ C = esen x
+ C
Finalmente, I3 se convierte en inmediata con el cambio: ln x = z ⇒ dx
x = dz:
I3 =
∫
z dz =
1
2
z2
+ C =
1
2
ln2
x + C

Comentario: En todos los casos se observa la pauta antes comentada, dentro del integrando se
identifica una función concreta y su derivada aparece como factor multiplicando al resto: en
la segunda integral aparece la función seno en el exponente y su derivada, la función coseno,
multiplicando al resto del integrando; en la tercera tenemos el logaritmo neperiano y la función
1
x multiplicando. Finalmente en la primera tenemos la función x2
+ 1 en el denominador y
como factor multiplicativo la función x, que es esencialmente (salvo un factor constante de 2) la
derivada de la anterior.
2. Integración por partes
El método de integración por partes está basado en la regla de derivación de un producto
de dos funciones derivables. Recordemos, en forma diferencial:
d(f(x)g(x)) = (f(x)g(x))′
dx = f′
(x)g(x) dx + f(x)g′
(x) dx
De esta manera:
f(x)g(x) + C =
∫
(f(x)g(x))′
dx =
∫
f′
(x)g(x) dx +
∫
f(x)g′
(x) dx
Tradicionalmente se escribe u y v para denotar las dos funciones, de manera que la
fórmula de integración por partes aparece habitualmente escrita en la forma:
∫
u dv = uv −
∫
v du
donde se ha obviado la constante aditiva, además de despejarse una de las integrales
en función de la otra, para poner de manifiesto la utilidad del método. Se trata de
convertir una integral dada (que identificamos con
∫
udv) en una función conocida (el
término uv) menos una nueva integral (
∫
vdu), con la esperanza de que esta segunda
resulte más fácil de resolver que la original. Evidentemente la aplicación exitosa del
método requiere además que sepamos derivar la función que identificamos como u e
integrar la que tomamos como derivada de v.
Ejemplo: Calculemos la siguiente integral:
I =
∫
x ex
dx
Realizamos las siguientes identificaciones: dv = ex
dx, u = x. Tendremos as´ı: du = dx y
v = ex
+ C. En este punto es interesante comentar que podemos escoger una función primitiva
cualquiera para especificar v, es decir la fórmula de integración por partes se verificará para
cualquier valor de C, por simplicidad tomaremos entonces C = 0, y por tanto: v = ex
:
I =
∫
x ex
dx =
{
dv = ex
dx; v = ex
u = x; du = dx
}
= ex
x −
∫
ex
dx = ex
x − ex
+ C = ex
(x − 1) + C

3. Integración de funciones racionales
Son las integrales de la forma
∫
P(x)
Q(x)
dx, donde P y Q son polinomios. Como veremos
a continuación siempre es posible resolver una integral de este tipo. Dentro del Cálculo
Integral las integrales racionales representan un papel muy importante pues, por un lado,
se trata de integrales que aparecen con frecuencia en muy diversos contextos cient´ıficos,
y, por otro, muchos tipos diferentes de integrales pueden ser convertidas (mediante los
cambios de variable adecuados) en integrales racionales. Antes de describir cómo se
afronta la resolución de una integral racional, es adecuado observar que varias integrales
que aparecen en la lista de inmediatas son racionales, como por ejemplo:
∫
dx
x
= ln |x| + C ,
∫
dx
x2 + 1
= arctan x + C
Por otro lado, los polinomios son a su vez funciones racionales y de integración trivial:
∫
(a0 + a1x + . . . + anxn
) dx = a0x +
a1
2
x2
+ . . . +
an
n + 1
xn+1
+ C
Finalmente, otras integrales racionales también resultan triviales, como por ejemplo:
∫
dx
(x − a)n
=
∫
(x − a)−n
dx =
1
−n + 1
(x − a)−n+1
+ C , ∀a ∈ R , n ∈ N − {1}
o la ya resuelta en un ejemplo anterior:
∫
x dx
x2 + 1
=
1
2
ln(x2
+ 1) + C
Veremos a continuación cómo en realidad toda integral racional es reducible a las que
acabamos de mostrar, o a una combinación lineal de ellas.
Dada una integral racional general
∫
P(x)
Q(x)
dx
si el grado de P es mayor o igual que el de Q, entonces es posible dividir ambos poli-
nomios, y as´ı: P(x) = Q(x) C(x) + R(x), siendo el grado del resto R(x) menor que el
grado de Q(x). Entonces:
∫
P(x)
Q(x)
dx =
∫
C(x) dx +
∫
R(x)
Q(x)
dx
Es posible as´ı tomar de manera general en lo sucesivo que el grado de P(x) es menor
que el de Q(x).
Se distinguen entonces cuatro casos diferentes:

3.1 El denominador posee ra´ıces reales simples:
Q(x) = (x − a1)(x − a2) . . . (x − ar)
En tal caso se descompone el cociente en fracciones simples:
P(x)
Q(x)
=
A1
x − a1
+ . . . +
Ar
x − ar
calculándose los coeficientes Ai. Es interesante recordar que la descomposición en frac-
ciones simples escrita siempre es posible, y además tiene solución única. La integral
(gracias a la linealidad) queda reducida a una combinación lineal de integrales de la
forma: ∫
A
x − a
dx = A ln |x − a| + C
Ejemplo: Calculemos la integral:
∫
x + 1
x2 + 3x − 4
dx
Es evidente que el denominador tiene dos ra´ıces reales diferentes:
x2
+ 3x − 4 = (x − 1)(x + 4) ⇒
x + 1
x2 + 3x − 4
=
A
x − 1
+
B
x + 4
y as´ı: x + 1 = A(x + 4) + B(x − 1). Se concluye fácilmente que: A = 2
5 y B = 3
5 . Finalmente:
∫
x + 1
x2 + 3x − 4
dx =
2
5
ln |x − 1| +
3
5
ln |x + 4| + C
3.2 El denominador tiene ra´ıces reales múltiples: Supongamos que Q(x) tiene r ra´ıces
reales: a1, . . . , ar, con multiplicidades α1, . . . , αr, respectivamente. Es decir:
Q(x) = (x − a1)α1
(x − a2)α2
. . . (x − ar)αr
Para cada una de las ra´ıces ai, tendremos los siguientes sumandos en la expansión en
fracciones simples de la función:
Ai1
(x − ai)1
+
Ai2
(x − ai)2
+ . . . +
Aiαi
(x − ai)αi
De esta manera, la integral quedará reducida a una combinación lineal de las integrales
comentadas en el apartado anterior más las de la forma:
∫
A
(x − a)n
dx =
−A
(n − 1)(x − a)n−1
+ C
con n ≥ 2.

3.3 El denominador posee ra´ıces complejas simples:
Dado que si c = a + bi es ra´ız de Q(x), entonces su conjugado: ¯c = a − bi, también
lo es, podemos agrupar las ra´ıces complejas dos a dos ((x − c)(x − ¯c) = x2 + px + q), y
as´ı será posible escribir Q(x) de la forma:
Q(x) = (x2
+ p1x + q1) . . . (x2
+ prx + qr)
(es decir utilizando únicamente coeficientes reales). La descomposición en fracciones
simples es:
P(x)
Q(x)
=
A1x + B1
x2 + p1x + q1
+ . . . +
Arx + Br
x2 + prx + qr
La integral queda reducida a integrales de la forma:
∫
Ax + B
x2 + px + q
dx
Completando cuadrados, es posible escribir:
x2
+ px + q = (x − a)2
+ b2
y utilizando el cambio: x − a = b t, se obtiene:
∫
Ax + B
x2 + px + q
dx =
∫
Mt + N
t2 + 1
dt =
M
2
ln(t2
+ 1) + N arctan t + C
Deshaciendo el cambio de variables, se concluye.
Comentario: Es evidente que el denominador de una función racional puede tener si-
multáneamente ra´ıces reales (simples o múltiples) y ra´ıces complejas, ver el siguiente
ejemplo.
Ejemplo: Calcular la integral:
I =
∫
x2 + 3
(x + 2)2x(x2 + 3x + 4)
dx
Se trata de una integral racional donde el grado del numerador es mayor que el del denominador.
Se tienen dos ra´ıces (del denominador) reales: x = −2 (de multiplicidad dos), y x = 0 (de mul-
tiplicidad uno), y dos ra´ıces complejas simples, x = −3
2 ± i
√
7. La descomposición en fracciones
simples de la función racional será:
x2
+ 3
(x + 2)2x(x2 + 3x + 4)
=
A
x + 2
+
B
(x + 2)2
+
C
x
+
Dx + E
x2 + 3x + 4
Tras un breve (o semi-breve) cálculo se obtiene:
A = −
3
4
; B = −
7
4
; C =
3
16
; D =
9
16
; E =
31
16

y por tanto
I = −
3
4
∫
dx
x + 2
−
7
4
∫
dx
(x + 2)2
+
3
16
∫
dx
x
+
1
16
∫
9x + 31
x2 + 3x + 4
dx
= −
3
4
ln |x + 2| +
7
4
1
x + 2
+
3
16
ln |x| +
1
16
∫
9x + 31
x2 + 3x + 4
dx
Para realizar esta última integral comenzamos por completar cuadrados en el denominador:
x2
+ 3x + 4 = x2
+ 2x
3
2
+
9
4
−
9
4
+ 4 =
(
x +
3
2
)
+
7
4
De acuerdo con la técnica general que hemos estudiado, el cambio de variable adecuado será
ahora:
x +
3
2
=
√
7
2
t ⇔ t =
2x + 3
√
7
; dx =
√
7
2
dt
y as´ı:
1
16
∫
9x + 31
x2 + 3x + 4
dx =
√
7
32
∫ 9
(√
7
2 t − 3
2
)
+ 31
7
4 (t2 + 1)
dt =
9
16
∫
t dt
t2 + 1
+
5
√
7
16
∫
dt
t2 + 1
y en definitiva:
1
16
∫
9x + 31
x2 + 3x + 4
dx =
9
32
ln |t2
+ 1| +
5
√
7
16
arctan t + C
Deshaciendo el cambio de variables:
I = −
3
4
ln |x + 2| +
7
4
1
x + 2
+
3
16
ln |x| +
9
32
ln
4
7
(x2
+ 3x + 4) +
5
√
7
16
arctan
2x + 3
√
7
+ C
Teniendo en cuenta que ln(ab) = ln a + ln b se puede simplificar finalmente (redefiniendo la
constante) a la expresión:
I =
7
4(x + 2)
+
1
16
ln
x3
(x2
+ 3x + 4)
9
2
(x + 2)12
+
5
√
7
16
arctan
2x + 3
√
7
+ C
3.4 El denominador posee ra´ıces complejas múltiples:
Q(x) = (x2
+ p1x + q1)α1
. . . (x2
+ prx + qr)αr
Los sumandos correspondientes a cada uno de los términos: x2 + pix + qi, en la descom-
posición en fracciones simples son:
Ai1x + Bi1
x2 + pix + qi
+
Ai2x + Bi2
(x2 + pix + qi)2
+ . . . +
Aiαi x + Biαi
(x2 + pix + qi)αi
con lo cual la integral queda reducida a integrales de la forma:
∫
Ax + B
(x2 + px + q)n
dx

Efectuando, como en el apartado anterior, el cambio x−a = b t, dicha integral se reduce
a: ∫
Mt + N
(t2 + 1)n
dt = M
∫
t
(t2 + 1)n
dt + N
∫
dt
(t2 + 1)n
La primera integral del segundo miembro se integra fácilmente mediante el cambio de
variable u = t2 + 1. En cuanto a la segunda, se puede utilizar una fórmula recurrente de
cálculo (que se demuestra integrando por partes, ver ejemplo). Llamando:
In =
∫
dt
(t2 + 1)n
se tiene:
In =
t
2(n − 1)(t2 + 1)n−1
+
2n − 3
2n − 2
In−1
Como I1 = arctan t, se concluye.
Ejemplo: Comprobemos la fórmula de recurrencia anterior para el caso I2:
I1 =
∫
dt
t2 + 1
= arctan t + C ; I2 =
∫
dt
(t2 + 1)2
Apliquemos el método de integración por partes a la integral I1:
I1 =
∫
dt
t2 + 1
=
{
u = 1
t2+1 ⇒ du = −2t dt
(t2+1)2
dv = dt ⇒ v = t
}
=
t
t2 + 1
+
∫
2t2
dt
(t2 + 1)2
=
t
t2 + 1
+ 2
∫
dt
t2 + 1
− 2
∫
dt
(t2 + 1)2
=
t
t2 + 1
+ 2I1 − 2I2
Tenemos por tanto:
I1 =
t
t2 + 1
+ 2I1 − 2I2 ⇒ I2 =
t
2(t2 + 1)
+
1
2
I1
que coincide exactamente con lo indicado por la fórmula anterior.
No es dif´ıcil generalizar este cálculo al caso general con In e In1 . De esta forma, utilizando el
Principio e Inducción, queda demostrada la fórmula de recurrencia.
4. Integración de irracionales cuadráticas I
∫
R(x, y) dx, donde R es una función racional e y =
√
ax2 + bx + c (evidentemente se supone que el polinomio cuadrático no es un cuadrado
perfecto). Existen esencialmente dos métodos para resolver estas integrales. Estudia-
remos en primer lugar los cambios de variable de Euler, que permiten convertir toda
integral irracional cuadrática en una integral racional.
La idea de los cambios de Euler es de tipo geométrico: la expresión
y2
= ax2
+ bx + c

puede interpretarse como la ecuación de una cónica en el plano x − y. Si (x0, y0) es un
punto de dicha cónica, entonces el cambio de variables: y − y0 = t(x − x0), convierte la
integral en una de tipo racional y, en consecuencia, se resuelve según el apartado 3.
Según sean los signos de las constantes, puede elegirse el punto (x0, y0) de formas
especialmente sencillas. Tenemos as´ı varios casos:
i) De manera general, si c > 0, la cónica corta al eje y en los puntos: (x0, y0) =
(0, ±
√
c). Tenemos entonces el cambio posible: y−
√
c = tx ⇒
√
ax2 + bx + c−
√
c = tx.
Alternativamente podemos tomar:
√
ax2 + bx + c +
√
c = tx.
ii) Siempre que a sea positivo (la cónica será una hipérbola), es posible realizar un
cambio diferente:
√
ax2 + bx + c + x
√
a = t, que también convierte a la integral en
racional. Alternativamente también es válido el cambio:
√
ax2 + bx + c − x
√
a = t.
iii) Si a < 0, entonces el polinomio cuadrático debe tener necesariamente dos ra´ıces
reales (en caso contrario la integral no tendr´ıa sentido, pues el radicando ser´ıa siempre
negativo). En este caso: ax2 +bx+c = a(x−r1)(x−r2). Podemos entonces tomar como
punto de la cónica el (r1, 0) o bien el (r2, 0). Se tiene as´ı:
√
ax2 + bx + c = t(x − r1) o
bien
√
ax2 + bx + c = t(x − r2).
Nota 1: Es necesario precisar que los casos anteriormente expuestos no son excluyentes, de esta
forma muchas integrales podrán resolverse alternativamente de varias formas, sin que exista a
priori un criterio claro que nos permita establecer cuál de ellos va a resultar más sencillo.
Nota 2: Aunque los cambios de Euler pueden aplicarse directamente a cualquier integral irra-
cional cuadrática, en algunos casos es interesante aplicar antes el siguiente resultado:
Proposición: Toda integral irracional puede escribirse de la forma
∫
R(y, x) dx =
∫
R1(x)
y
dx +
∫
R2(x) dx
siendo R1 y R2 dos funciones racionales de x.
Demostración: Escribamos R(y, x) expl´ıcitamente como cociente de polinomios:
R(y, x) =
P(y, x)
Q(y, x)
Multipliquemos numerador y denominador por: y Q(−y, x):
R(y, x) =
y P(y, x) Q(−y, x)
y Q(y, x) Q(−y, x)
Ahora bien, Q(y, x) Q(−y, x) es un polinomio par en y, as´ı pues es un polinomio simplemente
en y2
, y en definitiva es un polinomio en x. Por su parte, w P(y, x) Q(−y, x) es un polinomio
en y, necesariamente lineal (puesto que y2
es un polinomio), de tal forma que podemos es-
cribir: y P(y, x) Q(−y, x) = a(x)y + b(x). Reorganizando estos resultados, queda demostrada la
proposición:
R(y, x) =
R1(x)
y
+ R2(x)

Q.E.D.
Ejemplo: Calculemos la siguiente integral:
I =
∫
x +
√
x2 − 2x + 4
1 +
√
x2 − 2x + 4
dx
Utilicemos el primero de los cambios, dado que c = 4 > 0:
√
x2 − 2x + 4 − 2 = tx ⇒ x2
− 2x + 4 = (tx + 2)2
⇒ x (t2
− 1) = −4t − 2 ⇒ x = −2
2t + 1
t2 − 1
De donde deducimos:
dx = 4
t2
+ t + 1
(t2 − 1)2
dt ,
√
x2 − 2x + 4 = −2
t2
+ t + 1
t2 − 1
y sustituyendo todo ello y simplificando llegamos a la siguiente integral:
∫
8(t + 2)
(
t2
+ t + 1
)
(t − 1)2(t + 1) (t2 + 2t + 3)
dt
que es una integral racional. El denominador presenta una ra´ız real simple (-1), una doble (1) y
dos complejas. Separando en fracciones simples:
8(t + 2)
(
t2
+ t + 1
)
(t − 1)2(t + 1) (t2 + 2t + 3)
=
At + B
t2 + 2t + 3
+
C
t − 1
+
D
(t − 1)2
+
E
t + 1
Resolviendo se obtiene:
A = −2 , B = −2 , C = 1 , D = 6 , E = 1
De manera que finalmente se tiene:
I = − ln |t2
+ 2t + 3| + ln |t − 1| −
6
t − 1
+ ln |t + 1| + C
Tras sustituir y simplificar se llega al resultado buscado:
I = x +
√
x2 − 2x + 4 − ln 1 +
√
x2 − 2x + 4 + 2 + C
Nota: la integral puede también ser resuelta utilizando: a > 0, es decir el cambio:
√
x2 − 2x + 4 + x = t
y el procedimiento resulta ser más sencillo. Compruébalo.
4b. Integración de irracionales cuadráticas II
La segunda opción que tenemos a la hora de tratar las integrales irracionales cuadráticas
es la de convertirlas en integrales trigonométricas (integrales tales que el integrando es
una función racional solamente de funciones trigonométricas), que a su vez aprenderemos
a tratar con detalle en el siguiente apartado. La idea en este caso es usar la identidad

pitagórica (tanto la correspondiente a funciones trigonométricas circulares como la re-
lativa a las hiperbólicas) para eliminar la ra´ız cuadrada. Como primer paso debemos
completar cuadrados en el radicando y realizar el cambio de variable ya descrito en el
apartado 3, de manera que la ra´ız terminará reduciéndose necesariamente a uno de los
siguientes casos:
√
1 − x2 ,
√
1 + x2 ,
√
x2 − 1
Tenemos entonces los siguientes cambios que eliminan las ra´ıces:
i) Para integrales de la forma:
∫
R(x,
√
1 − x2)dx, se hace: x = sen t, ó x = cos t.
ii) Para integrales de la forma:
∫
R(x,
√
1 + x2)dx, se tiene: x = tan t, ó x = senh t.
iii) Para integrales de la forma:
∫
R(x,
√
x2 − 1)dx, se tiene: x = sec t, ó x = cosh t.
De manera general estos cambios convertirán la integral en una de tipo trigonométrico,
que veremos en el apartado siguiente.
I =
∫ √
x2 + 2x − 3 dx
Completando cuadrados podemos escribir: x2
+ 2x − 3 = x2
+ 2x + 1 − 1 − 3 = (x − 1)2
− 4.
Realizamos por tanto el cambio:
x − 1 = 2u ⇒ dx = 2 du ;
√
x2 + 2x − 3 =
√
4u2 + 4 = 2
√
u2 − 1
Usaremos el cambio del coseno hiperbólico, recordemos que: cosh2
t − senh2
t = 1:
I = 2
∫ √
u2 − 1 du =



u = cosh t
du = senh t dt
√
u2 − 1 = senh t



= 2
∫
senh2
t dt
Esta integral es fácil por partes, obteniéndose:
I = −
t
2
+
1
2
senh t cosh t + C =
1
2
(
− arccosh u + u
√
u2 − 1
)
+ C
Finalmente:
I =
1
2
(
arccosh
(
x − 1
2
)
+
(x − 1)
√
x2 + 2x − 3
4
)
5. Integración de funciones trigonométricas
∫
R(sen x, cos x) dx, siendo R una función racional. Existe
un cambio general que convierte a cualquier integral de este tipo en una integral racional:

t = tan
(x
2
)
. Usando las identidades trigonométricas es fácil comprobar que este cambio
se traduce en las siguientes sustituciones:
dx =
2 dt
1 + t2
, sen x =
2t
1 + t2
, cos x =
1 − t2
1 + t2
No obstante, en algunos casos especiales, hay otros cambios de variable que también
reducen la integral a una integral racional, con frecuencia más sencilla que la que se
obtiene con el cambio anterior. Son los siguientes:
i) Si R es una función impar en sen x, es decir: R(− sen x, cos x) = −R(sen x, cos x), se
resuelve con el cambio: cos x = t.
ii) Si R es una función impar en cos x, es decir: R(sen x, − cos x) = −R(sen x, cos x), se
resuelve con el cambio: sen x = t.
iii) Si R es una función par en sen x y en cos x, es decir: R(− sen x, − cos x) = R(sen x, cos x),
se resuelve con el cambio: tan x = t. Este cambio implica las siguientes sustituciones:
cos x =
1
√
1 + t2
, sen x =
t
√
1 + t2
, dx =
1
1 + t2
dt
I =
∫
sen2
x
1 + cos x
dx
Dado que el integrando no es impar ni en seno ni en coseno, y además tampoco es par en seno
y coseno, recurriremos al cambio general: t = tan x
2 :
I =
∫ 4t2
(1+t2)2
2dt
1+t2
1 + 1−t2
1+t2
=
∫
4t2
(1 + t2)2
dt
integral racional con ra´ıces complejas múltiples (en este caso dobles). Separando en fracciones
simples:
4t2
(1 + t2)2
=
At + B
1 + t2
+
Ct + D
(1 + t2)2
es trivial comprobar que la solución es: A = C = 0, B = 4, D = −4, y as´ı:
I = 4
∫
dt
1 + t2
− 4
∫
dt
(1 + t2)2
= 4 arctan t − 4I2
siendo I2 la integral que nos proporciona la fórmula de recurrencia antes analizada. Tendremos
entonces:
I = 2 arctan t −
2t
t2 + 1
+ C = 2 arctan
(
tan
x
2
)
−
2 tan x
2
tan2 x
2 + 1
+ C
Utilizando las identidades trigonométricas básicas:
tan2 x
2
+ 1 =
1
cos2 x
2
, sen x = 2 sen
x
2
cos
x
2
encontramos finalmente el resultado simplificado:
I = x − sen x + C

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