Sistemas de segundo orden

Sistemas de segundo orden

111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111

Los sistemas de segundo orden continuos son aquellos que responden a
una ecuación diferencial lineal de segundo orden

d 2 c (t )
dc(t )
d 2 r (t )
dr (t )
a0
+ a1
+ a2c(t ) = b0
+ b1
+ b2 r (t )
2
2
dt
dt
dt
dt
Sin pérdida de generalidad se analizará un caso muy común donde:

a0 = 1, a1 = p, a2 = b2 = K , b0 = b1 = 0.
Que corresponde al siguiente sistema de segundo orden:

R (s )

E (s )

K
s(s + p)

C (s )

donde

K

es una const.
que representa
una ganancia.

p

es una const. real
representa al polo
del sistema.


111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111

Su función de transferencia de lazo cerrado es:

C ( s)
K
= 2
R ( s ) s + ps + K
C ( s)
=
R( s) 
s + p +

2


K

p2
 s + p −
−K

4
2



p2
−K

4


Como se aprecia, los polos de lazo cerrado pueden ser de tres tipos
2

p
,
> K 2. Reales iguales si:
4
p2
<K
3. Complejos si
4

1. Reales diferentes si:

p2
=K
4

Para facilitar el análisis se realiza el siguiente cambio de variables
2
K = ωn

p = 2ζω n = 2σ


111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111

2
ωn
C ( s)
= 2
2
R ( s ) s + 2ζω n s + ω n

forma estándar del sistema
de segundo orden.

donde ω n es la frecuencia natural no amortiguada, σ se denomina
atenuación, ζ es el factor de amortiguamiento. Ahora el comportamiento
dinámico del sistema de segundo orden se describe en términos de los
parámetros ζ y ω n .
Se analizará la respuesta transitoria ante una entrada escalón unitario:

(0 < ζ < 1): en este caso C ( s ) R ( s ) se escribe
2
ωn
C (s)
=
R ( s ) ( s + ζω n + jω d )( s + ζω n − jω d )

(1) Caso subamortiguado

2

donde ω d = ω n 1 − ζ se denomina fracuencia natural amortiguada. Si
es una entrada escalón, entonces
2
ωn
C ( s) = 2
2
( s + 2ζω n s + ω n ) s

R (s )


111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111

Utilizando fracciones parciales

s + ζω n
ζω n
1
C (s) = −
−
2
2
2
s ( s + ζω n ) + ω d ( s + ζω n ) 2 + ω d
y conociendo que
-1 


s + ζω n
L 
= e −ζω nt cos ω d t
2
2
 ( s + ζω n ) + ω d 
-1 


ωd
L 
= e −ζω nt senω d t
2
( s + ζω n ) 2 + ω d 

Se obtiene la salida en el tiempo


1−ζ 2 

c (t ) = 1 −
sen ω d t + tan −1
2

ζ 
1−ζ


e −ζω nt

(t ≥ 0)

(2) Caso de amortiguamiento crítico (ζ

111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111

= 1) :

en este caso se tienen dos polos reales iguales y C (s ) ante un escalón es
2
ωn
C (s) =
(s + ω n )2 s

la transformada inversa arroja

c(t ) = 1 − e −ω nt (1 + ω nt )

(t ≥ 0)


111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111

(3) Caso sobreamortiguado (ζ > 1) :
en este caso se tienen dos polos reales negativos y diferentes. Para una
entrada escalón, C (s ) es

C (s) =

( s + ζω n + ω n

2
ωn
ζ 2 − 1)( s + ζω n − ω n ζ 2 − 1) s

La transformada inversa de Laplace de la ecuación anterior es

c (t ) = 1 +
−

1
2

2

2 ζ − 1(ζ + ζ − 1)
1
2

2

2 ζ − 1(ζ − ζ − 1)

e

e

−(ζ + ζ 2 −1)ω nt

−(ζ + ζ 2 −1)ω nt

2
1.8
1.6
1.4

111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111

ζ =0
ζ = 0.2
ζ = 0.4
ζ = 0.7

1.2

ζ = 0.8

1
0.8

ζ = 1 ca

0.6

ζ > 1 sa

0.4
0.2
0

0

2

4

6

8

10

Fig. Curvas de respuesta al escalón unitario.

12

Figura. Respuesta
al escalón de
diferentes sistemas
de segundo orden.


111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111

Respuesta impulsiva de sistemas de segundo orden
2
ωn
C ( s) = 2
2
s + 2ζω n s + ωn

Utilizando transformada inversa obtenemos las siguientes soluciones de c (t )
para (0 ≤ ζ < 1)

ωn
c (t ) =
e −ζωnt senωn 1 − ζ 2 t
1− ζ 2

(t ≥ 0)

para (ζ = 1)

ωn
c(t ) =
e −(ζ −
2 ζ 2 −1

ζ 2 −1)ζω nt

para (ζ > 1)
2
c(t ) = ωn te −ωnt

(t ≥ 0)

ωn
−
e −(ζ −
2 ζ 2 −1

ζ 2 −1)ζω nt

(t ≥ 0)

1

ζ =0

ζ = 0.2

0.8

111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111

ζ = 0.4

0.6

ζ = 0.7

0.4

ζ = 1 ca

0.2

ζ > 1 sa

0
-0.2
-0.4
-0.6
-0.8
-1
0

2

4

6

8

10

12

Figura. Respuesta
al impulso de
diferentes sistemas
de segundo orden.


111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111

Definición de los parámetros de la respuesta transitoria
Las características de desempeño de un sistema de control se comparan
basándose en el tiempo de la repuesta transitoria. La característica
transitoria de los sistemas dinámicos se presenta por la incapacidad de
responder de manera instantánea a las entradas o perturbaciones. La
respuesta transitoria es común clasificarla con base a los siguientes
parámetros.
1.4

c(t)

1.2

Mp
1

1. Tiempo de retardo

1

tr

2. Tiempo de crecimiento

0.8

tp

0.6

3. Tiempo pico

0.4

4. Sobreimpulso máximo

Mp

5. Tiempo de establecimiento

0.2

0

td

0
0

2
t r t p4

6

8

10

12

ts

14

16

18

20

ts

t

a continuación se definen…

Tiempo de retardo
, td . Es el tiempo que tarda la respuesta en alcanzar la mitad del
valor final por primera vez.


2.- Tiempo de crecimiento, . Es el tiempo requerido para que la respuesta
aumente de 0 a 100% para sistemas subamortiguados, del 5 al 95% o del
10 al 90% para sistemas críticamente amortiguados o sobreamortiguados.
El tiempo de crecimiento se obtiene dando un valor de uno en la ecuación
de respuesta de un sistema de segundo orden ante una entrada escalón.

c(t ) = 1 − e

−ζω ntr

ζ
(cos ωd t r +
senωd t r ) = 1
2
1− ζ

ζ
cos ωd t r +
senωd t r = 0
2
1− ζ


111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111

o bien



ζ
ζ
cos ωd t r +
cos ωd t r tan ωd t r = cos ωd t r 1 +
tan ωd t r  = 0
2
2
1− ζ
1−ζ


1 − ζ 2 ωd
tan ωd t r = −
=
ζ
−σ
el tiempo de crecimiento es

tr =

ω
1
π −β
tan −1  d  =
,


ωd
 − σ  ωd

β = tan −1

ωd
σ
ωd

β
σ


111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111

3.- Tiempo pico, t p . Es el tiempo requerido para que la respuesta alcance el
primer pico de sobreimpulso. El tiempo pico se obtiene derivando la ecuación
de respuesta c(t) e igualándola a cero, con lo que se obtiene

ωn
−ζω nt p
( senω d t p )
e
=0
2
1−ζ
senω d t p = 0 , los valores que satisfacen esta ecuación son
0,π , 2π , 3π , , se elige el primer sobreimpulso.
π
ωd t p = π
⇒ tp =
ωd

SOBREPASO

Mp

4.

Es el valor pico máximo de la curva de respuesta medido desde la unidad
o valor deseado. El sobreimpulso máximo se obtiene de la respuesta
evaluada en el tiempo pico.

M p = c(t p ) − 1
= −e

ts π
ζ
π
cos ω d
+
senω d
2

ωd
ωd
1−ζ


−ζω n (π ω d ) 


= e −ζ ( ω n

Mp=e

ωd )π

(

−ζ

= e −( σ

)

1−ζ 2 π

ωd )π






5.- Tiempo de establecimiento,
5.- Tiempo de establecimiento, . Es el tiempo mínimo donde la curva de
respuesta alcanza y se mantiene dentro de un rango de error preestablecido,
generalmente es del 2% o del 5%, el rango más común es el del 2%. Para
sistemas de primer y segundo orden, la respuesta se mantiene dentro del 2%
después de 4 constantes de tiempo:

4
4
t s = 4T =
=
ζω n σ


111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111

Ejemplo: Definir los parámetros de respuesta transitoria del sistema

R (s )

375
s ( s + 34)

C (s )

Desarrollo:
La función de transferencia de lazo cerrado es
C ( s)
375
= 2
R ( s) s + 34 s + 375

Se utiliza la siguiente igualdad
2
375
ωn
= 2
2
s 2 + 34 s + 375 s + 2ζω n s + ωn


111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111

se obtiene
2
ω n = 375

2ζω n = 34

ω n = 375

σ = 17

34
ζ =
= 0.877876
2 375

ω d = 86

A partir de aquí se obtienen los parámetros de respuesta transitoria

β = tan

−1 ω d

= 0.499 rad .

σ
π −β
tr =
= 0.2849 segundos
ωd
π
tp =
= 0.33876 segundos
ωd

M p = e −( σ

ts =

ωd )π

= 0.00315 = 0.315%

4
= 0.23529 segundos
σ

Nota: Analizar porque t s

< tr < t p


111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111

Ejemplo: De los siguientes parámetros de respuesta transitoria obtener
la función de transferencia.
1.4

c(t)

1421.2
127

1

0.8

0.6

0.4

0.2

0 00

2

4

6

8

10

12

14

0.75

16

18

20

t

Desarrollo: de la gráfica

142 − 127
Mp =
= 0.1181
127

t s = 0.75 segundos

Estos dos
Parámetros
Son suficientes


111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111

ts
4
4
ts =
→ σ = = 5.3333
σ
ts

De

De

M p y conociendo σ

Mp =e

−( σ ω d ) π

− σπ
→ ωd =
= 7.84335
ln M p

Entonces

σ = 5.3333
ω d = 7.84335

2
ω n = σ 2 + ω d = 9.48486
σ
ζω n = σ → ζ =
= 0.56229
ωn

2
ωn
89.96256
G(s) = 2
= 2
2
s + 2ζω n s + ω n s + 10.666 s + 89.96256

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