CÁLCULO INTEGRAL ( PROBLEMAS FORMULA 1 A 6 )
- 1. CÁLCULO INTEGRAL MAYRA ITZEL TREVIÑO ESQUIVEL 4ºB INTEGRALES RESUELTAS CON LAS FORMULA DEL 1 AL 6
- 2. INTRODUCCIÓN La antiderivada es la función que resulta del proceso inverso de la derivación, es decir, consiste en encontrar una función que, al ser derivada produce la función dada. Por ejemplo: Si f(x) = 3×2, entonces, F(x) = x3, es una antiderivada de f(x). Observe que no existe una derivada única para cada función. Por ejemplo, si G(x) = x3+ 5, entonces es otra antiderivada de f(x). La antiderivada también se conoce como la primitiva o la integral indefinida se expresa de la siguiente manera: en donde: f(x) es el integrando; dx, la variable de integración o diferencial de x y C es la constante de integración. A continuación se presentan 5 ejemplos de cada formula de integración (fórmulas utilizadas de la 1 a la 6). ∫ 𝑭𝑶𝑹𝑴𝑼𝑳𝑨 𝟏 = ∫ 𝒅𝒙 = 𝒙 + 𝑪 1.∫ 4 √𝑥 = 𝟒 ∫ 𝒙− 𝟏 𝟐 = 4 𝑥 1 2 1 2 +C 2.∫( 𝑥 + 8) 𝑑𝑥 = 1∫ 𝑥 + 8∫ 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑥2 2 + 8𝑥 + 𝐶 3.∫ 2 𝑋2 𝑑𝑥 = 2 ∫ 𝑥2 𝑑𝑥 = 4𝑥−2 −2 + 𝐶 = −4 𝑥2 + 𝐶 4.∫( 𝑥 − 7) 𝑑𝑥 = 1∫ 𝑥 𝑑𝑥 − 7 ∫ 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑥2 2 + 7𝑥 + 𝐶 5.∫(𝑥4 + 8𝑥 − 1) = ∫ 𝑥4 𝑑𝑥 + 8∫ 𝑥 𝑑𝑥 + ∫ 𝑑𝑥 = 𝑥5 5 + 8 𝑥2 2 + 𝑥 + 𝐶
- 3. ∫ 𝑭𝑶𝑹𝑴𝑼𝑳𝑨 𝟐 = ∫ 𝒙 𝒏 𝒅𝒙 = 𝒙 𝒏+𝟏 𝒏 + 𝟏 + 𝑪 1.∫ 𝒙 𝟐 𝒅𝒙 = ∫ 𝒙 𝟑 𝟑 + 𝑪 2.∫√ 𝑥 𝑑𝑥 = ∫ 𝑥 1 2 𝑑𝑥 = ∫ 𝑥 1 2 +1 1 2 +1 = ∫ 𝑥 3 2 3 2 = 2𝑥3 3 + 𝐶 3.∫ √ 𝑥25 𝑑𝑥 = ∫ 𝑥 2 5 𝑑𝑥 = ∫ 𝑥 2 5 +1 2 5 +1 = ∫ 𝑥 7 5 7 5 = 𝑥 7 5 7 5 + 𝐶 = √𝑥75 7 + 𝐶 4.∫3𝑎7 𝑥6 𝑑𝑥 = 3𝑎7 ∫ 𝑥6 𝑑𝑥 = 3𝑎7 𝑥7 7 + 𝐶 5.∫ 𝑒 𝑖𝑛 𝑥2 𝑑𝑥 = ∫ 𝑒𝑖𝑛 𝑥2 𝑥 𝑑𝑥 = ∫ 𝑥2 𝑑𝑥 = 𝑥4 4 + 𝐶 ∫ 𝑭𝑶𝑹𝑴𝑼𝑳𝑨 𝟑 = ∫( 𝒅𝒖 + 𝒅𝒗 − 𝒅𝒘) = ∫ 𝒅𝒖 +∫ 𝒅𝒗 − ∫ 𝒅𝒘 1.∫( 𝟖𝒙 𝟑 − 𝟗𝒙 𝟐 + 𝟒) 𝒅𝒙 = 𝟖 ∫ 𝒙 𝟑 − 𝟗 ∫ 𝒙 𝟐 + 𝟒 ∫ 𝒅𝒙 = 8𝑥4 4 − 9𝑥3 3 + 4𝑥 + 𝐶 2. ∫( 𝒙 𝟒 + 𝟐𝒙 𝟐 + 𝟏) 𝒅𝒙 = 𝟏∫ 𝒙 𝟒 + 𝟐 ∫ 𝒙 𝟐 + 𝟏 ∫ 𝒙 𝒅𝒙 = 𝑥5 5 + 2𝑥3 3 + 𝑥 + 𝐶 3. ∫(𝟖𝒙 𝟕 + 𝟑𝒙 𝟓 + 𝒙)𝒅𝒙 = 𝟖 ∫ 𝒙 𝟕 + 𝟑 ∫ 𝒙 𝟓 + 𝟏 ∫ 𝒙 𝒅𝒙 = 8𝑥8 8 + 3𝑥6 6 + 𝑥 + 𝐶 4. ∫( 𝒙 𝟗 + 𝟐) 𝒅𝒙 = ∫ 𝒙 𝟗 + 𝟐∫ 𝒙 𝒅𝒙
- 4. = 𝑥1𝑜 10 + 2𝑥 + 𝐶 5. ∫( 𝟑𝒙 𝟔 − 𝟑) 𝒅𝒙 = 𝟑∫ 𝒙 𝟒 − 𝟑∫ 𝒙 𝒅𝒙 = 3𝑥5 5 − 3𝑥 + 𝐶 ∫ 𝑭𝑶𝑹𝑴𝑼𝑳𝑨 𝟒 = ∫ 𝒂𝒅𝒗 = 𝒂 ∫ 𝒅𝒗 1.∫(𝒙 𝟖 𝟑 + 𝟑𝒙 + 𝟐) 𝒅𝒙 = ∫ 𝒙 𝟖 𝟑 + 𝟑 ∫ 𝒙 + 𝟐∫ 𝒙 𝒅𝒙 = 𝑥 9 3 9 3 + 3𝑥2 2 + 2𝑥 + 𝐶 2.∫(𝒓 𝟑 + 𝟐𝒓 + 𝟏) 𝒅𝒓 = 𝟏∫ 𝒓 𝟑 + 𝟐∫ 𝒓 + 𝟏 ∫ 𝒓 𝒅𝒓 = 𝑟4 4 + 2𝑟2 2 + 2𝑟 + 𝐶 3. ∫(𝒙 + 𝟑) 𝒅𝒙 = 𝟏∫ 𝒙 + 𝟑∫ 𝒙 𝒅𝒙 = 𝑥2 2 + 3𝑥 + 𝐶 4. ∫(𝟓𝒙 𝟑 − 𝟑𝒙 𝟐 + 𝒙) 𝒅𝒓 = 𝟓 ∫ 𝒙 𝟑 − 𝟑 ∫ 𝒙 𝟐 + ∫ 𝒙 𝒅𝒙 = 5 𝑥4 4 − 3𝑥3 3 + 2𝑥 + 𝐶 5. ∫(𝒔 𝟔 − 𝟑𝒔 𝟒 + 𝟑) 𝒅𝒔 = 𝟏∫ 𝒔 𝟔 − 𝟑∫ 𝒔 𝟒 + 𝟑 ∫ 𝒔 𝒅𝒔 = 𝑠7 7 − 3𝑠5 5 + 3𝑠 + 𝐶
- 5. ∫ 𝑭𝑶𝑹𝑴𝑼𝑳𝑨 𝟓 = ∫ 𝒗 𝒏 𝒅𝒗 = 𝒗 𝒏+𝟏 𝒏 + 𝟏 + 𝑪 1.∫(2𝑥 + 4 )2 𝑑𝑥 = 1 2 ∫(2𝑥 + 4 )2 2 𝑑𝑥 = 1 2 ∫ (2𝑥+4 )3 3 = (2𝑥+4 )3 6 + 𝐶 v= (2x + 4) dv= 2 dx 2. ∫(3𝑥2 + 2 )4 𝑑𝑥 = 1 6 ∫(3𝑥2 + 2 )4 6 𝑑𝑥 = 1 6 ∫ (3𝑥2 +2 ) 5 5 = (3𝑥2 +2 ) 5 30 + 𝐶 v= (3𝑥2 + 2 )4 dv= 6x dx 3. ∫(4𝑥4 + 1)3 𝑑𝑥 = 1 16 ∫(4𝑥4 + 1)3 16 𝑑𝑥 = 1 16 ∫ (4𝑥4 +1) 4 4 = (3𝑥2 +2 ) 5 64 + 𝐶 v= (4𝑥2 + 1)3 dv= 16 x dx 4. ∫(5𝑥2 + 4)2 𝑑𝑥 = 1 10 ∫(5𝑥2 + 4)2 10 𝑥𝑑𝑥 = 1 10 ∫ (5𝑥2 +4) 3 3 = (5𝑥2 +4 ) 3 30 + 𝐶 v=(5𝑥2 + 4)2 dv= 10 x 𝑑𝑥 5. ∫(5𝑥 + 1 )6 𝑑𝑥 = 1 5 ∫(5𝑥 + 1 )6 5 𝑑𝑥 = 1 5 ∫ (5𝑥+1 )7 7 = (5𝑥+1 )7 35 + 𝐶 v=(5𝑥 + 1 )6 dv= 5 dx
- 6. ∫ 𝑭𝑶𝑹𝑴𝑼𝑳𝑨 𝟔 = ∫ 𝒅𝒗 𝒗 = 𝑰𝒏 𝒗 + 𝑪 = 𝑰𝒏 𝒗 + 𝑰𝒏 𝑪 = 𝑰𝒏𝑪𝒗 1.∫ ( 𝒙+𝟒) ( 𝒙 𝟐+𝟐) 𝒅𝒙 = 𝟏 𝟐 ∫( 𝒙 𝟐 + 𝟐) 𝟐 𝒅𝒙 = 𝟏 𝟐 𝑰𝒏|( 𝒙 𝟐 + 𝟐)| + 𝑪 v= 𝑥2 + 2 dv= 2 x 2.∫ 𝒙 𝒅𝒙 ( 𝒙 𝟑+𝟐) = 𝟏 𝟑 ∫ 𝟑𝒙 𝟐 𝒅𝒙 ( 𝒙 𝟑+𝟐) = 𝟏 𝟑 𝑰𝒏|( 𝒙 𝟑 + 𝟐)| + 𝑪 v=( 𝒙 𝟑 + 𝟐) dv= 3 𝒙 𝟐 dx 3.∫ 𝟐 ( 𝒙 𝟑) 𝒅𝒙 = 𝟐 ∫ 𝒙−𝟐 𝒅𝒙 = −𝟐 𝒙 𝟐 + 𝑪 4. ∫ 𝟏 ( 𝒙 𝟔) 𝒅𝒙 = 𝟏∫ 𝒙 𝟔 𝒅𝒙 = 𝒙−𝟔 −𝟔 = −𝟔 𝒙−𝟔 + 𝑪 5. ∫ 7 3𝑥2+9 = 1 6 ∫ 6 𝑥 𝑑𝑥 3𝑥2+9 = 𝟏 𝟔 𝑰𝒏|(3𝑥2 + 9)| + 𝑪 Fotografías de páginas donde se encontraron los problemas