Concepto de Integral

Cálculo Integral
MT-MCIN-1701-B1-002
TSU. Matemáticas
Unidad 1 – Actividad 1
Concepto de Integral
Eduardo Castillo Lopez
ES162001459
Enero 17, 2017

Calculo Integral
1. ¿Qué es el cálculo?
R. Según la (RAE, 2014) en su definición más general, el cálculo es la cuenta o investigación que se hace de algo por
medio de operaciones matemáticas, en la misma fuente definen el cálculo integral como la parte de las matemáticas
que trata de obtener una función a partir de su derivada.
En otras palabras el cálculo integral es la rama de las matemáticas que se encarga del estudio de las integrales y/o
anti derivadas. Básicamente, una integral es una suma de infinitos sumandos, infinitamente pequeños.
2. Redacta una breve historia de cómo se desarrolló el Cálculo Integral.
R. La integración surgió por la necesidad de calcular áreas de figuras planas. La integración se puede trazar en el pasado
hasta el antiguo Egipto, en el año 1800 a. C., con el papiro de Moscú, donde se demuestra que ya se conocía una
fórmula para calcular el volumen de un tronco piramidal. La primera técnica sistemática documentada capaz de
determinar integrales es el método de exhausción de Eudoxo(circa370 a. C.), que trataba de encontrar áreas y
volúmenes a base de partirlos en un número infinito de formas para las cuales se conocieran el área o el volumen. Este
método fue desarrollado y usado más adelante por Arquímedes, que lo empleó para calcular áreas de parábolas y una
aproximación al área del círculo. Métodos similares fueron desarrollados de forma independiente en China alrededor
del siglo III por Liu Hui, que los usó para encontrar el área del círculo. Más tarde, Zu Chongzhi usó este método para
encontrar el volumen de una esfera. En el Siddhanta Shiromani, un libro de astronomía del siglo XII del matemático
indio Bhaskara II, se encuentran algunas ideas de cálculo integral. Hasta el siglo XVI no empezaron a aparecer adelantos
significativos sobre el método de exhausción. En esta época, por un lado, con el trabajo de Cavalieri con su método de
los indivisibles y, por otro lado, con los trabajos de Fermat, se empezó a desarrollar los fundamentos del cálculo
moderno. A comienzos del siglo XVII, se produjeron nuevos adelantos con las aportaciones de Barrow y Torricelli, que
presentaron los primeros indicios de una conexión entre la integración y la derivación.
Los principales adelantos en integración vinieron en el siglo XVII con la formulación del teorema fundamental del
cálculo, realizado de manera independiente por Newton y Leibniz. El teorema demuestra una conexión entre la
integración y la derivación. Cabe destacar de igual forma todo el marco estructural alrededor de las matemáticas que
desarrollaron Newton y Leibniz. El llamado cálculo infinitesimal permitió analizar, de forma precisa, funciones con
dominios continuos. Posteriormente, este marco ha evolucionado hacia el cálculo moderno, cuya notación para las
integrales procede directamente del trabajo de Leibniz.
Aunque Newton y Leibniz proporcionaron un enfoque sistemático a la integración, su trabajo carecía de un cierto nivel
de rigor. Es memorable el ataque del obispo Berkeley calificando los infinitesimales como los "fantasmas de las
cantidades que se desvanecen". El cálculo adquirió una posición más firme con el desarrollo de los límites y, en la
primera mitad del siglo XIX, recibió una fundamentación adecuada por parte de Cauchy. La integración fue
rigurosamente formalizada por primera vez por Riemann, empleando límites. A pesar de que todas las funciones
continuas fragmentadas y acotadas son integrables en un intervalo acotado, más tarde se consideraron funciones más
generales para las cuales no se aplica la definición de Riemann, y Lebesgue formuló una definición diferente de la
integral basada en la teoría de la medida. Más tarde se propusieron otras definiciones de integral, que amplían las
definiciones de Riemann y Lebesgue (Mateus, 2017).
3. Define el concepto de integral
a. Matemáticamente
Una anti derivada de una función 𝑓 es una función 𝐹 tal que
𝐹′(𝑥) = 𝑓(𝑥)
A la función 𝐹 se le denomina función primitiva.

Calculo Integral
Donde
∫ es el signo de integración
𝒂 límite inferior de la integración
𝒃 límite superior de la integración
𝒇(𝒙) es el integrando o función a integrar
𝒅𝒙 es diferencial de x, e indica cual es la variable de la función que se integra
b. Con tus propias palabras (Incluye en el concepto alguna grafica para su explicación)
Es la suma de las áreas de un número infinito de rectángulos. Si deseo calcular el área bajo la curva de la siguiente
figura comprendida en el intervalo [0,3], puedo dividir dicha área en rectángulos, de tal manera que me permitan
calcular el área de cada uno de ellos y posteriormente sumar todas las áreas para llegar a una aproximación,
obviamente entre más divisiones tenga más real será el resultado. Por lo tanto si aplico el concepto de límite, es
decir, cuanto el número de rectángulos tiende a infinito el área obtenida será muy exacta.
4. ¿Cuál es la interpretación grafica de la integral?
R. Dada una función 𝑓(𝑥) de una variable real 𝑥 y un intervalo [𝑎, 𝑏] de la recta real, la integral definida
∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥
𝑏
𝑎
es igual al área de la región del plano 𝑥𝑦 limitada entre la gráfica de 𝑓, el eje 𝑥, y las líneas verticales
𝑥 = 𝑎 y 𝑥 = 𝑏, donde son negativas las áreas por debajo del eje 𝑥.

Calculo Integral
5. Checa en internet videos que expliquen el concepto de integral e intégralo a tu actividad el que consideres más
adecuado.
R. https://www.youtube.com/watch?v=Xx4zkS33pX4&list=PLA680A1F3366B65EB
6. Define la integral indefinida.
R. Se llama integral indefinida de una función 𝑓(𝑥) al conjunto de todas las primitivas de 𝑓. A la integral indefinida de
la función 𝑓 se le nota por la expresión
∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥
Para calcular la integral indefinida de una función basta con calcular una primitiva y la integral indefinida será la familia
de funciones que resulte de sumar a esa primitiva una constante
∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 = 𝐹(𝑥) + 𝑐
A la constante 𝑐 se le denomina constante de integración.
7. Qué diferencias hay entre la integral definida y la integral indefinida.
R. La integral definida ∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥
𝑏
𝑎
es un número, mientras que la integral indefinida ∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 es una función
8. Menciona aplicaciones de la integral.
R. Principalmente se utiliza para el cálculo de áreas y volúmenes de regiones y sólidos, aunque también es común
aplicarlo en la ingeniería y en diversas ciencias como administración, economía, finanzas, etc.
Referencias
Mateus, E. (2017). Educación matemática. Obtenido de Edumatth: http://edumatth.weebly.com/caacutelculo-
integral.html
RAE. (Octubre de 2014). Diccionario de la lengua española. Obtenido de Real Academia Española:
http://dle.rae.es/?id=6knnjoC

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