Espacios vectoriales ppt

1) Determinar si (R2, , R, ) es un espacio vectorial con las
operaciones suma y producto escalar - vector definidos por :
a) (a, b)  (c, d) = (a + c, b + d)  (a, b) , (c, d)  R2
k  (a, b) = (k  a, k  b)  k  R   (a, b)  R2
b) (a, b)  (c, d) = (a + c, b + d)  (a, b) , (c, d)  R2
k  (a, b) = (a, a)  k  R   (a, b)  R2
c) (a, b)  (c, d) = ((a + c)/2, (b + d)/2)  (a, b) , (c, d)  R2
k  (a, b) = (k  a, k  b)  k  R   (a, b)  R2
2) Dados los siguientes subconjuntos de R2 y R3
a) { (x, y) / x = y } b) { (x, y) / y = 2 }
c) { (x, y) / y + x = 3 } d) { (x, y) / x = y / 2 }
e) {(1, 0, 0); (0, 1, 0); (0, 0, 1); (1, 2, 3); (1, 3, -1); (-2, 1, 4); (-3, -2, 5); (1, -1, 1); (2, -2, -3)}
f) { (x, y, z) / z = 0 } g) { (x, y, z) / y = 1 }
h) { (x, y, z) / x = 0, y = 0 } i) { (x, y, z) / x + y = 1 }
Representar gráficamente los conjuntos dados y establecer cuáles de ellos son
subespacios de R2 o de R3 según corresponda, justificando la respuesta.

),,(w),,(v),,(u 011112112 
3) a) En R3 verificar que el vector (-1, 2, -1) es combinación lineal de
los vectores
siendo los escalares : a = 2 ; b= 3 y c = 1 .
),(v),(u 4240 b) Expresar los vectores
como combinación lineal de los versores ),(j),(i 1001 
4) Determinar analíticamente si los siguientes conjuntos de vectores
constituyen una base de R2, justificando la respuesta.
a) A = { (1, 2) ; (-2, 1) } b) B = { (1, 2) ; (2, 4) }
c) C = { (1, 3) ; (1/2, -4) ; (17/5, 8) } d) D = { (0, 0) ; (2, 1) }
5) Dados los vectores ),(v);(u 1322
1  de R2 :
a) Verificar que el conjunto es una base de R2}v;u{A 
b) Hallar en la base las coordenadas del vector}v;u{A  ),(w 64

6) Sean los conjuntos de vectores
a) { (x, y) / x = y } b) { (x, y) / x = y / 2 }
c) { (x, y, z) / z = 0 } d) { (x, y, z) / x = 0, y = 0 }
i) Determinar por lo menos dos bases distintas en cada sub espacio
ii) Determinar la dimensión de cada sub espacio
7) Una concesionaria de automóviles tiene sus reportes mensuales de venta de autos expresados en
forma de matrices cuyas filas, en orden, representan el número de modelos estándar y de lujo, mientras
que las columnas indican el número de unidades de color rojo bermellón, azul metalizado, gris plomo y
verde acuario. La casa central vendió en el mes de julio del modelo estándar 10 unidades de color rojo
bermellón, 5 azul metalizado, 7 gris plomo y 9 verde acuario y en el modelo de lujo 6 unidades color rojo
bermellón, 7 azul metalizado, 5 gris plomo y 12 verde acuario. La venta del mes de agosto fue en el
modelo estándar ninguna unidad de color rojo bermellón, 20 azul metalizado, 10 gris plomo y 5 verde
acuario y en el modelo de lujo 10 unidades color rojo bermellón, 5 azul metalizado, 7 gris plomo y 12
verde acuario. De acuerdo a la información dada :
a) Exprese la matriz de venta de la casa central para los meses de julio y agosto.
b) ¿ De qué clase es cada matriz ?
c) ¿ Cuántos autos de modelo estándar y color rojo bermellón se vendieron en los dos meses ?
d) ¿ Cuántos autos de cada modelo y color se vendieron en los dos meses ?
e) Esta concesionaria de automóviles tiene una sucursal, que vendió en los meses de julio y agosto, el
doble de lo vendido en la casa central. Exprese la matriz de venta para los meses de julio y agosto.
f) ¿ Cuál es la cantidad de autos vendidos por modelo y color en los dos locales durante
los meses de julio y agosto ? ¿ Cuántos autos se hubieran vendido en la sucursal si la venta
en dicho local hubiese sido el triple que en la casa central ?

8) Escribir :
a) Una matriz F  C3 x 3 tal que : fij = 0 si i = j ; fij = i si i  j
b) Una matriz G  C3 x 2 tal que : gij = 2 i + j si i > j ;
gij = i - j si i  j
9) Sean las matrices A y B  R2 x 3
Calcular : i) A + B ii) 3 A iii) 2A - 3B







 

654
321
A










817
203
B
10) Dadas las matrices :



















0813
272/13
0010
3121
A
















3151
4910
6251
B





















9379
0500
0614
8331
C
















011
212
341
D
a) Escribir las matrices -A y –D
b) Calcular, si es posible, B x A ; D x A y D x B.

11) Calcular los rangos de las siguientes matrices :
















1212
0111
2242
A




















1321
3111
1212
1311
B
12) Calcular los siguientes determinantes
11
13 
 A)A(D
214
131
342
 B)B(D
1243
0112
3110
4211



 C)C(D

Espacio Vectorial
Para que (V, *, K, ) sea espacio vectorial
1) x  V , y  V x * y  V Ley de cierre para * composición interna en V
2) x, y, z : x, y, z  V  (x * y) * z = x * (y * z) Asociativa para *
3) 0  V / x : x  V  x * 0 = 0 * x = x Existe Elemento Neutro para *
4) x  V, x´  V / x * x´ = x´ * x = 0 Existe Elemento Inverso para *
Si x  V e y  V y  es un escalar del cuerpo K
5) x, y : x, y  V  x * y = y * x Conmutativa para *
Hasta aquí se verificaron condiciones en V respecto de *,
que hacen de (V, *) un grupo abeliano
Ahora en las restantes condiciones analizaremos el comportamiento de las
operaciones * y  entre elementos de V y de K
se debe verificar que:
1 a
1 b
1 c

6) x  V,   V   x  V Ley de cierre
7) x  V , ,   K :   (  x) = (  )  x Asociativa
8) x, y  V,   K :   (x * y) =   x *   y
 es distributiva con respecto a *
9) x  V, ,   K : ( * )  x =   x *   x
 es distributiva con respecto a *
10) x  V :  x  1 = 1  x = x El elemento neutro de  es el 1 de K
1 a
1 b
1 c

1 a) Determinar si (R2, , R, ) es un espacio vectorial con las
a) (a, b)  (c, d) = (a + c, b + d)  (a, b) , (c, d)  R2
k  (a, b) = (k · a, k · b)  k  R ,  (a, b)  R2
1)  (a, b) , (c, d)  R2 (a, b)  (c, d) = (a + c, b + d)  R2 L.C.I.
2) (a, b), (c, d), (e, f)  R2 : [(a, b)  (c, d)]  (e, f) = (a, b)  [(c, d)  (e, f)]
[(a, b)  (c, d)]  (e, f) = (a + c, b + d) + (e, f) = (a + c + e, b + d + f)
(a, b)  [(c, d)  (e, f)] = (a, b) + (c + e, d + f) = (a + c + e, b + d + f) Asociativa
3)  (e1, e2)  R2 / (a, b) : (a, b)  R2  (a, b)  (e1, e2) = (a + e1, b + e2) = (a, b)
4)  (a, b) : (a, b)  R2, (a´,b´)  R2 / (a  a´, b  b´) = (e1, e2)
5)  (a, b); (c, d) : (a, b); (c, d)  R2  (a, b)  (c, d) = (c, d)  (a, b)
Existe Elemento Neutro para 
Existe Elemento Inverso para 
Conmutativa para 
1 b 1 c

7)  a, b)  R2 , ,   R :   [  (a, b)] =  · [ ( · a,  · b)] =
( ·  · a,  ·  · b) = ( · ) · (a, b)
8) (a, b), (c, d)  R2,   R :   [(a, b)  (c, d)] =  · [(a + c, b + d)] =
[ · (a + c),  · (b + d)] = ( · a +  · c,  · b +  · d) =
= ( · a,  · b) + ( · c,  · d) = [ · (a, b)] + [ · (c, d)]
 Es distributivo con respecto de en R2 
9)  (a, b)  R2, ,   R : (  )  (a, b) = [( + ) · a, ( + ) · b] =
[( · a +  · a), ( · b +  · b)] = [( · a,  · b) + ( · a,  · b)] =
[  (a, b)]  [  (a, b)]
 Es distributivo con respecto de * en K
10)  1  R2 /  (a, b) : (a, b)  R2  1  (a, b) = (1 · a, 1 · b) = (a, b)
6) (a, b)  R2,   R   (a, b) = ( · a,  · b)  R2
Se verifican todas las condiciones Es Espacio Vectorial
Ley de cierre para  con un escalar
Asociativa para  con R2 y R
Existe Elemento Neutro para 

1 b) Determinar si (R2, , R, ) es un espacio vectorial con las
operaciones  y  definidas por :
(a, b)  (c, d) = (a + c, b + d)  (a, b) , (c, d)  R
k • (a, b) = (a, a)  k  R   (a, b)  R2
La operación  definida en R2 es la misma que la del ejercicio anterior, por
tanto las primeras cinco condiciones se verifican, estudiaremos las restantes
7)  (a, b)  R2 , ,   R :   [  (a, b)] =   [(  a,   b)] =   (a, a) = (a, a)
(  )  (a, b) = [(  )  a, (  )  b] = (a, a)
Asociativa para  con R2 y R
8) (a, b), (c, d)  R2,   R :   [(a, b)  (c, d)] =   [(a + c, b + d)] =
[  (a + c),   (b + d)] = (a + c, a + c)
=[  (a, b)    (c, d)] = (a, a) + (c, c) = (a + c, a + c)
 Es distributivo con respecto de * en R2
6) (a, b)  R2,   R   (a, b) = (  a,   b) = (a, a)  R2
Ley de cierre para  con un escalar
9)  (a, b)  R2, ,   R : (  )  (a, b) = [( + )  a, ( + )  b] = (a, a)
( * )  (a, b) = [  (a, b)] + [  (a, b)] = (a,a) + (a,a) = (a + a, a + a )
 NO Es distributivo con respecto de * en R
Pero (a, a)  (a + a, a + a) No se verifica esta condición
NO Es Espacio Vectorial 1 c

1 c) Determinar si (R2, , R, ) es un espacio vectorial con las
(a, b)  (c, d) = ((a + c)/2, (b + d)/2)  (a, b) , (c, d)  R2
k • (a, b) = (k · a, k · b)  k  R   (a, b)  R2
1)  (a, b) , (c, d)  R2
)
2
,
2
(),(*),(
dbca
dcba

  R2 L.C.I.
2) (a, b), (c, d), (e, f)  R2 : [(a, b) * (c, d)] * (e, f) = (a, b) * [(c, d) * (e, f)]


 ),(*)
2
,
2
(),(*)],(*),[( fe
dbca
fedcba





)
2
2,
2
2(
f
db
e
ca
)
4
2
,
4
2
(
fdbeca 


 )
2
,
2
(*),(],(*),[(*),(
fdec
bafedcba





)
2
2,
2
2(
fd
b
ec
a
)
4
2
,
4
2
(
fdbeca 
pero
)
4
2
,
4
2
(
fdbeca 
 )
4
2
,
4
2
(
fdbeca 
* NO Es Asociativa en R2
NO Es Espacio Vectorial

Subespacios
Dado un espacio vectorial (V, *, K, )
y el conjunto no vacío S  V S es un sub conjunto del conjunto V
Si S es un espacio vectorial sobre el mismo cuerpo K
y con las mismas leyes de composición interna que en V
(S, *, K, ) es un subespacio de (V, *, K, ) ó S es subespacio de V
Escribimos de otra manera :
Si 1) S 
2) x  S  y  S  x + y  S
3)   R  x  S   x  S
Si (S, *, K, ) es un
subespacio de (V, *, K, )
(S, *) es un sub grupo
de (V, *)
entonces el elemento neutro pertenece a S
2 a 2 b - c
2 d 2 e
2 i2 g - h
2 f

2 a) Si A = { (x, y)  R2 / x = y } Representamos gráficamente
x y = x y
4 4 = 4 4
2 2 = 2 2
1) A  
2) Si
3) Si
)b,a(u  baAu 
)db,ca()d,c()b,a(vu 
pero dbca  Avu 
A)b,a(uR 
 )b,a(u 
pero ba   Au  
A es sub espacio de R2
cerrada para la suma
cerrada para el producto
por un escalar
Para analizar si A es subespacio, verificamos
que se cumplan las tres condiciones suficientes
para que un conjunto sea subespacio.
Pero previamente verificamos que el vector
nulo pertenezca al conjunto A
Efectivamente (0,0)  A
)d,c(v 
con
dcAv con
)b,a( 
2 i2 g - h2 f2 e2 d2 b - c

2 b) B = { (x, y) / y = 2 } Representamos gráficamente
x y = 2 y
2 2 2
4 2 2
- 6 2 2
Antes de analizar si es subespacio verificamos
si el vector nulo pertenece al conjunto B
Pero (0,0)  B B NO es sub espacio de R2
2 c) C = { (x, y) / y + x = 3 }
x y = -x + 3 y
2 - 2 + 3 1
6 - 6 + 3 -3
Pero (0,0)  C C NO es sub espacio de R2
2 i2 g - h2 f2 e2 d

2 d) D= { (x, y) / x = y / 2 }
para representar gráficamente, haciendo
pasajes de términos, busco la forma y = f(x)
2
y
x  xy 2 Ahora puedo confeccionar tabla de
valores y representar gráficamente
x y = 2x y
2 2  2 4
4 4  2 8
1) D  
2) Si ),( bau 
abAu 2
3) Si
),(),(),( dbcadcbavu 
luego )(2 cadb  Dvu 
DbauR  ),(
abDu 2 )2,( aau 
pero
ab 2 
)2,()2,( aaaau  
El nulo (0,0)  D porque 0 = 2  0
cerrada para la suma
cerrada para el producto por un escalar
D es sub espacio de R2
con
),( dcv  cdDv 2con
),( ba 
)22,(),( cacadbca  ))(2,( caca 
2 i2 g - h2 f2 e
¿ podés hacer la interpretación
geométrica del producto ?

2 e) E = { (1, 0, 0); (0, 1, 0); (0, 0, 1); (1, 2, 3); (1, 3, -1); (-2, 1, 4);
(-3, -2, 5); (1, -1, 1); (2, -2, -3) }
Este conjunto tiene vectores de tres
componentes, que se representan
gráficamente en el espacio.
Trazamos un par de ejes
ortogonales x-y en el plano (como si
fuera en el piso de una habitación
y a este par de ejes le incorporamos el eje z,
perpendicular al plano determinado por x-y en el
origen de coordenadas (0,0)
Al punto (1,0,0) le corresponde x = 1; y = 0 y z = 0
Al punto (0,1,0) le corresponde x = 0 ; y z = 0
Al punto (0,0,1) le corresponde x = 0 ; y = 0; y z = 1
Al punto (1,2,3) le corresponde x = 1; y = 2 y z = 3
Al punto (1,3,-1) le corresponde x = 1; y = 3 y z = -1
Al punto (-2,1,4) le corresponde x = -2; y = 1 y z = 4
Al punto (-3,-2,5) le corresponde x = -3; y = -2 y z = 5
Al punto (1,-1,1) le corresponde x = 1; y = -1 y z = 1
Al punto (2,-2,-3) le corresponde x = 2; y = -2 y z = -3
y = 1;
E NO es sub espacio de R2
El vector nulo (0,0,0)  E
2 i2 g - h2 f

2 f) F = { (x, y, z) / z = 0 }
Este conjunto tiene vectores de tres
Pertenecen al conjunto
vectores como: (2, 1, 0); (-1, 2, 0); (6, -1, 0)
al ser siempre la última componente 0 (z = 0)
Todos los vectores del conjunto F están en el plano x, y
1) F   se verifica
2) ),b,a(u 0
),d,c(),b,a(vu 00 
cualquier punto del plano x, y  F
3) ),b,a(u 0
si  = 2 (puede tomar
cualquier otro valor)
),db,ca(),db,ca(vu 000 
),b,a(u 0   ),b,a( 0 ),b,a( 0
también el vector nulo (0,0,0)  F
 F
 F
F ES sub espacio de R2
),d,c(v 0
),b,a(u 022   ),b,a( 0222 ),b,a( 022
2 i2 g - h

2 g) { (x, y, z) / y = 1 } Este conjunto tiene vectores de tres
vectores como: (2, 1, 0); (-1, 1, 0); (6, 1, 0)
pero el vector nulo (0,0,0)  F
y cualquier otro vector que verifique y= 1
(no importa cuál sea x ó z)
F NO es sub espacio de R3
2 h) { (x, y, z) / x + y = 1 }
representamos la
recta x + y = 1
Cualquier par de valores de x e y
que verifiquen esa ecuación, con
cualquier valor de z pertenece al
conjunto de vectores
por ejemplo
(1,0,6); (-1,2,3); etc
Pero (0,0,0)  H
H NO es sub espacio
de R3
2 i

2 i) { (x, y, z) / x = 0, y = 0 } Este conjunto tiene vectores de tres
vectores como: (0, 0, 4); (0, 0, 6); (0, 0, -2)
al ser siempre las dos primeras componentes 0
Todos los vectores del conjunto I están contenidos
en el eje z
1) I   se verifica
2) )a,,(u 00
)b,,()a,,(vu 0000 
3) )a,,(u 00
)ba,,()ba,,(vu  000000
)a,,(u 00   )a,,(  00 )a,,( 00
también el vector nulo (0,0,0)  I
 I
I ES sub espacio de R2
),0,0( bv 

Combinación Lineal
Una combinación lineal del conjunto de vectores A = {v1 v2 v3 . . . vn }
Es cualquier vector v = 1  v1 + 2  v2 + 3  v3 . . . n  vn con todos los i  K
Por ejemplo: dado el conjunto de vectores
v1= (3,-1); v2 = (-4,6); v3 = (1, 2)
El vector v = 1v1 + 2v2 + 3v3 =
Si 1 = 3 2 = -2 3 = -1
3  (3,-1) + (-2)  (-4,6) + (-1)  (1,2) =
v = (9,-3) + (8,-12) + (-1,-2) = (9 + 8 - 1; - 3 – 12 - 2) = (16; - 17) es combinación
lineal de A
A = {v1 v2 v3 } donde
Si hay alguna combinación lineal no trivial de los vectores del conjunto A, cuyo
resultado es el vector nulo, decimos que A es linealmente dependiente
Para saber si el conjunto A de nuestro ejemplo es L.D. Debemos plantear :
(0, 0) = 1  (3,-1) + 2  (-4,6) + 3  (1,2) = (31, -11) + (-42, 26) + (31,2) =
= (31 -42 + 3; -1 + 62 + 23)






026
043
321
321


Sistema de dos ecuaciones con tres incógnitas

Al sistema de ecuaciones






026
043
321
321

 Lo resolvemos
por sustitución
(1)
De (1) 123 34  
(2)
Reemplazo 3 en (2) y tengo
03426 1221  )(  0686 1221   0147 21  
Ponemos 2 en función de 1
14
7 1
2

 
2
1
2

 
Ponemos 3 en función de 1, reemplazando
2
1
2

 
(3)
en (3)
 1
1
3 3
2
4 

 11 32   13  
Así es posible afirmar que para cualquier 1  0 ; 2 y 3 son también distintos de 0
Si 1 = 1 ; 2 = 1/2 y 3 = -1
Con estos escalares es posible
establecer una combinación lineal
v = 1v1 + 2v2 + 3v3 =
 ),()(),(),(v 21164
2
1
131
 ),(),(),(v 213213 ),(),( 00231123 
El vector nulo es combinación lineal de los vectores del conjunto A
Luego, los vectores de A son Linealmente Dependientes
con 1  0
2  0 y
3  0

),,(w),,(v),,(u 011112112 
3 a) Para verificar si el vector (-1, 2, -1) es combinación lineal de
Vamos a averiguar si es posible componer (-1, 2, -1) a partir de la
suma de los vectores w;v;u
Previamente multiplicados por escalares
a = 2 b = 3 y c =1
),,(wcvbua 121 
),,(),,(),,(),,( 121011111231122 
 );;(),,(),,(),,( 032132164011336224 ),,( 121 
Es combinación lineal),,( 121  de wvu
),(v),(u 4240 3 b) Para expresar como combinación lineal de ),(j),(i 1001 
escribimos jiu 21   ),(),(),( 100140 21   ),(),( 21 00  
),()0,0( 2121   40 21   jiu  40
jiv 21   ),(),(),( 100142 21   ),(),( 21 00  
),(),( 2121 00   42 21   jiv  42

Sistema de Generadores
Si un conjunto de vectores A, de un espacio vectorial (V, *, K, )
es tal que cualquier vector del espacio vectorial puede expresarse como
combinación lineal de los vectores del conjunto A
Se dice que A es un Sistema de Generadores de V
En la práctica, dado un conjunto de vectores A = { v1 v2 v3 . . . vn }
Se busca escribir cualquier vector de V, como combinación lineal de los vectores de A
Base
Un conjunto de vectores A es Base de un Espacio Vectorial si:
Los vectores de A son linealmente independientes
A es un sistema de Generadores de V
Recuerde que los vectores son linealmente independientes, si al establecer
una combinación lineal, la única forma de obtener el vector nulo, es que todos
los escalares de la combinación lineal sean nulos
4 c
4 d
4 b
4 a
5 a
5 b

4 a) Para saber si A = { (1, 2) ; (-2, 1) } es base de R2,
Investigamos la existencia de escalares reales 1 y 2 , que permitan escribir
cualquier vector como combinación lineal de los vectores del conjunto A
Entonces proponemos un vector cualquiera (x, y)  R2 y escribimos :
),(),()y,x( 1221 21   ),(),()y,x( 2211 22  
),()y,x( 2121 22  
Averiguamos si (1, 2) y (-2, 1) son linealmente dependientes, haciendo
1 (1, 2) + 2 (-2, 1) = (0, 0) (1, 2 1) + (-2 2, 2) = (0, 0)
(1 -2 2 , 2 1 + 2) = (0, 0) entonces:






02
02
21
21


Por ser un sistema de ecuaciones homogéneo, si el determinante principal
es distinto de 0, el conjunto de vectores es L.I. ya que 1 = 2 =0.
Pero si el determinante principal es igual a 0, el conjunto de vectores es
L.D. ya que al ser el sistema homogéneo admitirá múltiples soluciones.



12
21
 541  )( A es linealmente independiente
4 b 4 d4 c

),()y,x( 2121 22  






y
x
21
21
2
2


Resolvemos el sistema, aplicando el método de los
determinantes donde 1 y 2 son las incógnitas



12
21
  ))(( 2211 541  )( 


1
2
1
y
x
  )y)(x( 21 yx 2

y
x
2
1
2  )xy( 21 yx  2
Si dos vectores son iguales,
sus componentes son iguales
Con los valores
hallados de
yxyx  225 31  planteamos




1
1
5
2yx 




2
2
5
2 yx  Vemos que para cada
vector (x, y), existirán
valores de 1 y 2
A es un Sistema de Generadores de R2
Por ejemplo si v = ( 3, 1 ) 


5
2
1
yx
 


5
2
2
yx
1
5
123

 1
5
132


luego  ),()(),( 121211 ),(),( 1221 21   ),(),( 1221 ( 3, 1 )
A es una Base de R2
4 b 4 d4 c

4 b) Para saber si B = { (1, 2) ; (2, 4) } es base de R2,
Averiguamos si (1, 2) y (2, 4) son linealmente dependientes, haciendo
1 (1, 2) + 2 (2, 4) = (0, 0) (1, 2 1) + (2 2, 4 2) = (0, 0)
(1 + 2 2 , 2 1 + 4 2) = (0, 0) entonces:






042
02
21
21


Por ser un sistema de ecuaciones homogéneo, si el determinante principal
es distinto de 0, el conjunto de vectores es L.I. ya que 1 = 2 =0.
Pero si el determinante principal es igual a 0, el conjunto de vectores es
L.D. ya que al ser el sistema homogéneo admitirá múltiples soluciones.

42
21
 044  )( B es linealmente dependiente
B NO es Base
4 d4 c

4 c) Para saber si C = { (1, 3) ; (1/2, -4) ; (17/5, 8) } es base de R2,
verificamos si (1, 3) ; (1/2, -4) y (17/5, 8) son linealmente dependientes,
1 (1, 3) + 2 (1/2, -4) + 3 (17/5, 8) = (0, 0)
),(),(),(),( 008
5
17
4
2
1
3 332211  
),(),( 00843
5
17
2
1
321321  






0843
0
5
17
2
1
321
321


Tenemos así un sistema
homogéneo de dos ecuaciones
con tres incógnitas
De (2)
3
84 32
1



 Reemplazando en (1)
0
5
17
2
1
3
8
3
4
3232   0
15
11
6
11
32   32
15
6
 
De manera que: si 3 = 15 ; 2 = - 6 48
3
15864
1 


)(

 ),(),)((),)(( 8
5
17
154
2
1
63148  ),(),(),( 1205124314448
),(),( 001202414451348  Los vectores de C son L.D.
C NO es una Base de R2
)2(
)1(
0
0
0
3
2
1






4 d

4 d) Para saber si D = { (0, 0) ; (2, 1) } es una Base de R2
Planteamos la siguiente expresión para averiguar si
los vectores de A son linealmente dependientes
)0,0()1,2()0,0(  ba entonces
)0,0()1,2()0,0(  bbaa )0,0(),2()0,0(  bb
para 00  ba Los vectores del conjunto A son
linealmente dependientes
cualquier conjunto de vectores al que pertenece el vector nulo,
es linealmente dependiente
A NO es una Base de R2

Coordenadas de un vector
Si  21 ;vvA  es una base de R2
Cada vector de R2 puede expresarse
como una combinación lineal de A
ya que los vectores de A son linealmente
independientes y sistema de generadores
Precisamente por ser A una
base de R2
Entonces: si v  R2 existen y son únicos los escalares a y b  R
Tal que: v = a · v1 + b · v2
Donde a y b se llaman
coordenadas del vector v
respecto de la base A
DIMENSION DE UN SUBESPACIO VECTORIAL
Es el cardinal (número de vectores) de cualquiera de sus bases
Por ejemplo B = { (x,y) / x = y } B es subespacio de R2
Son bases de B { (1, 1) } ; { (2, 2) }
La Dimensión de B es 1
(nº de vectores en cada base de B)
5 a 6 a

5) Dados los vectores ),(v);(u 132
2
1  de R2 :
5 a) Verificar que el conjunto es una base de R2}v;u{A 
verificamos si (1/2 , 2) y (3, 1) son linealmente dependientes,
1 (1/2, 2) + 2 (3, 1) = (0, 0)
),(),(),( 0032
2 221
1
 

),(),( 0023
2 212
1
 







02
03
2
1
21
21


Tenemos así un sistema
homogéneo de dos ecuaciones
con dos incógnitas
De (2) 12 2  Reemplazando en (1) 023
2
1
11  )(  06
2
1
11  
0
2
11
1   01  Reemplazando en (2) 022  02 
Los vectores son Linealmente Independientes
Investigamos la existencia de escalares reales 1 y 2 , que permitan escribir
cualquier vector como combinación lineal de los vectores del conjunto V
y escribimos :
 ),(),()y,x( 2211 32
2
1
 ),( 2121 23
2
1
 
1 (1/2, 2) + 2 (3, 1) = (x, y)
)2(
)1(
Base
Coordenadas
5 b







y
x
21
21
2
3
2
1

 Resolvemos el sistema, aplicando el método de los
determinantes donde 1 y 2 son las incógnitas

12
32
1
  )( 321
2
1
2
11
6
2
1
 )( 
1
3
1
y
x
  )yx( 31 yx 3

y
x
2
2
1
1  )xy( 2
2
1
yx
2
1
2 
Si dos vectores son iguales,
sus componentes son iguales
Con los valores
hallados de
yxyx
2
1
23
2
11
21
  planteamos




1
1



2
11
3yx




2
2 


2
11
2
1
2 yx
Podemos ver que para
cada vector (x, y),
existirán valores de 1
y 2
V es un Sistema
de Generadores
de R2
),()y,x( 2121 23
2
1
 
11
3
11
2
11
32 yx)yx)((





2
11
2
4 yx
yx
2
1
11
4

V es una Base de R2
Base
Coordenadas
5 b

5 b) Para hallar las coordenadas del vector ),(w 64
En la base A = { u; v } donde u = ( ½ ; 2 ) ; v = ( 3, 1 )
Planteamos la siguiente expresión: vbuaw  que resulta
)1,3()2,
2
1()6,4(  ba )2,3
2
(),3()2,
2
()6,4( bababbaa 
A partir de esta expresión por la igualdad de los pares ordenados,
planteamos un sistema de dos ecuuaciones con dos incógnitas
)2,32
()6,4( baba 






62
43
2
ba
b
a
)2(
)1(
De (1)
b
a
34
2
 )34(2 ba  ba 68 
Reemplazo a en (2) 6)68(2  bb 61216  bb
61116  b 16611  b 2211  b 2b
Si b = -2
128)2(68 a
4a
Coordenadas

6) a) dimensión de { (x, y) / x = y }
Si representamos gráficamente el conjunto, obtenemos una
recta (ver ejercicio 2a) donde
( x, y )  S  ( x, y ) = ( y, y )
Si y = 1 ( 1, 1 )  S
Con { (1, 1) } puedo generar cualquier otro
vector que esté contenido en la recta x = y
con multiplicar el vector por un escalar
estableciendo una combinación lineal
),()y,x(v 11 
{ (1,1) } es una base de { (x, y) / x = y }
Dim (1)
Cantidad de vectores de
cualquier base del subespacio
{ (2,2) } también es base de { (x, y) / x = y }
Te queda comprobar que con esas bases (y con cualquier otra base
que vos propongas) se puede genera cualquier vector que esté
contenido en la recta y = x
6 b 6 d6 c

6) b) dimensión de { (x, y) / x = y / 2 }
recta (ver ejercicio 2d) donde:
( x, y )  S  ( x, y ) = ( x, 2x )
Si x = 1 ( 1, 2 )  S
Con { (1, 2) } puedo generar cualquier otro
vector que esté contenido en la recta x = y /2
con multiplicar el vector por un escalar
),()y,x(v 21 
{ (1, 2) } es una base de { (x, y) / x = y / 2 }
Dim (1)
{ (3, 6) } es una base de { (x, y) / x = y / 2 }
que vos propongas) se puede generar cualquier vector que esté
contenido en la recta y = 2 x
6 d6 c

recta (ver ejercicio 2f)
( x, y, z )  S  ( x, y, z ) = ( x, y, 0 )
Si x = 1  y = 4 ( 1, 4, 0 )  S
Con { (1, 4, 0) } NO puedo generar cualquier
otro vector que esté contenido en el plano x,y
),,(),,(),y,x(v 0360410  
{ (1, 4, 0); (6, 3, 0) } es una base de { (x, y, z) / z = 0 }
Dim (2)
cualquier base del
subespacio
{ (3, 6, 0); (-1, 2, 0) } también es es una base de { (x, y) / x = y / 2 }
6) c) La dimensión de { (x, y, z) / z = 0 }
Necesito otro vector, por ejemplo
Si x = 6  y = 3 ( 6, 3, 0 )  S
Con { (1, 4, 0); (6, 3, 0) } puedo generar cualquier
otro vector que esté contenido en el plano x,y
contenido en el plano (x, y, 0)
6 d

recta (ver ejercicio 2i)
( x, y, z )  S  ( x, y, z ) = ( 0, 0, z )
Si z = 1 ( 0, 0, 1 )  S
Con { (0, 0, 1) } puedo generar cualquier otro
vector que esté contenido sobre el eje z
),,()z,,(v 10000  
{ (0, 0, 1) } es una base de { (x, y, z) / x = 0, y = 0 }
Dim (1)
{ (0, 0, 3) } también es es una base de { (x, y, z) / x = 0, y = 0 }
6) d) La dimensión de { (x, y, z) / x = 0, y = 0 }
contenido en la recta (0, 0, z)

MATRICES
informalmente una matriz es un conjunto de elementos ordenados
en filas y columnas




































mnmnmjmm
nmnmjmmm
ininijii
nnj
nnj
aa....a....aa
aa....a....aa
............................
aa....a....aa
............................
aa....a....aa
aa....a.....aa
A
121
11111211
121
21222221
11111211
Esta matriz tiene m
filas y n columnas
El número de filas no
tiene por qué ser igual
al número de columnas,
pero si esto sucede, la
matriz es cuadrada
Una matriz conformada con los mismos elementos que los de la
matriz A, pero dispuestos de manera diferente, es una matriz
distinta de A
operaciones con matrices ver
en los ejercicios resueltos

7 a) De la consigna extraemos los siguientes datos en forma ordenada
Mes: Julio Mes: Agosto
R A G V R A G V
estándar 10 5 7 9 0 20 10 5
de lujo 6 7 5 12 10 5 7 12
De manera que es posible componer dos matrices, una para cada mes









12276
97510
J









127510
510200
A
La clase de una matriz está
dada por la cantidad de filas
y de columnas
7 b) J es de clase 2 por 3, y se escribe J(2x3) A es de la misma clase, A(2x3)
7 c) Para saber cuántos autos de modelo estándar y color rojo bermellón se
vendieron en los dos meses sumamos el correspondiente al mes de Julio y el
correspondiente al mes de Agosto esto es 10 + 0 = 10
7 f g7 d e

7 d) Para saber cuántos autos de cada modelo y color se vendieron en
los dos meses
Sumamos las matrices que representan cada uno de los meses



















127510
510200
12276
97510
AJ
se efectúa sumando ordenadamente los elementos de cada fila y columna entre sí











12127257106
59107205010









2491216
14172510
AJ
7 e) Si la sucursal vendió en los meses de julio y agosto, el doble de lo vendido en la
casa central.al resultado de la suma de ambos meses, lo multiplicamos por 2 (duplicamos)










2491216
14172510
22 )AJ(
que se resuelve multiplicando por 2 cada elemento de la matriz (J + A )











24292122162
142172252102









48182432
28345020
2 )AJ(
7 f g

7 f) ¿ Cuál es la cantidad de autos vendidos por modelo y color en los
dos locales durante los meses de julio y agosto ?
7 g) si la venta en la sucursal hubiese sido el triple que en la casa central
Sumamos a lo vendido en casa central lo vendido en la sucursal









2491216
14172510
AJ









48182432
28345020
2 )AJ(



















48182432
28345020
2491216
14172510
2 )AJ(AJT











482418924123216
2814341750252010
T









72273648
42517530










2491216
14172510
33 )AJ( 










24393123163
143173253103









72273648
42517530
3 )AJ(

8) a) Escribir una matriz F  C3 x 3 tal que : fij = 0 si i = j ;
fij = i si i  j
Si la matriz F es de clase 3 x 3 F(3x3) tiene tres filas y tres columnas
Podemos escribir la matriz F
de la siguiente manera:











333231
322221
131211
fff
fff
fff
F
Donde los subíndices de cada
elemento, significan el orden de
filas y columnas que le
corresponde, según su ubicación
ijf Es el elemento ubicado en la fila i columna j
32f Es el elemento ubicado en la fila 3 columna 2
Si fij = 0 cuando i = j
f11 = 0 ; f22 = 0; f33 = 0
y cuando i  j fij = i entonces :
f12 = 1 ; f13 = 1; f21 = 2 ; f23 = 2 ; f31 = 3 ; f32 = 3











033
202
110
F
entonces
8 b

8 b) La matriz G  C3 x 2 tal que : gij = 2 i + j si i > j ;
gij = i - j si i  j
La matriz G es de clase 3 x 2 G(3x2) tiene tres filas y dos columnas
Podemos escribir la matriz G
de la siguiente manera:














3231
2221
1211
gg
gg
gg
G
Donde los subíndices de cada
elemento, significan el orden de
filas y columnas que le
corresponde, según su ubicación
ijg Es el elemento ubicado en la fila i columna j
En g11 i = j luego g11 = 1 – 1 = 0
En g12 i < j luego g12 = 1 – 2 = -1
En g21 i > j luego g21 = 22 + 1 = 5
En g22 i = j luego g22 = 2 – 2 = 0
En g31 i > j luego g31 = 23 + 1 = 7
En g32 i > j luego g32 = 23 + 2 = 8
entonces :











 

87
05
10
G

9 i) A + B


















 

817
203
654
321
BA










861574
230231











1463
524
BA
9 ii) 3 A
9 iii) 2A - 3B =








 

654
321
33 A 










635343
332313 )(







 
181512
963












 

817
203
3
654
321
2 











 
24321
609
12108
642









2412310218
660492
32 BA 







12729
047

10 a) Para escribir la opuesta de una matriz, cambiamos los signos
de la matriz cuya opuesta buscamos



















0813
272/13
0010
3121
A
















011
212
341
D
Si



















0813
27213
0010
3121
/
A














011
212
341
D
10 b) B x A Evaluamos la clase de cada una de las
matrices que vamos a multiplicar
B(3x4) x A(4x3) Para que el producto de matrices sea
posible, las columnas de la primera matriz
deben coincidir con las filas de la segunda
matriz
el resultado será una matriz M( 3 x 3 )
que tendrá igual cantidad de
filas que la primera matriz
e igual cantidad de
columnas que la segunda
matriz

3151
4910
6251



0813
27213
0010
3121


/
Trazamos dos rectas
perpendiculares entre sí
En el cuadrante inferior izquierdo
colocamos la matriz B
En el cuadrante superior derecho
colocamos la matriz A
Y efectuamos la sumatoria del
producto de los elementos de
cada fila de la primera matriz
Por los elementos de cada columna
de la segunda matriz
1  1 + 5  0 + 2  3 + (-6)  3 = -11
-11
1  2 + 5  1 + 2  ½ + (-6)  (-1) = 14
14
1  (-1) + 5  0 + 2  7 + (-6)  8 = -35
-35
1  3 + 5  0 + 2  2 + (-6)  0 = 7
7
0  1 + 1  0 + (-9)  3 + 4  3 = -15
-15
0  2 + 1  1 + (-9)  ½ + 4  (-1) = -15/2
-15/2
0  (-1) + 1  0 + (-9)  7 + 4  8 = -31
-31
0  3 + 1  0 + (-9)  2 + 4  0 = -18
-18
(-1)  1 + 5  0 + (-1)  3 + 3  3 = 5
5
(-1)  1 + 5  1 + (-1)  ½ + 3  (-1) = 1/2
(-1)  (-1) + 5  0 + (-1)  7 + 3  8 =18
(-1)  3 + 5  0 + (-1)  2 + 3  0 = - 5
1/2 18 -5
B x A

El resultado obtenido será:
















5182
15
1831
2
1515
7351411
BxA
D x A Evaluamos la clase de cada una de las
D(3x3) x A(4x4) Para que el producto de matrices sea
matriz



















0813
272/13
0010
3121
A
















011
212
341
D
En este caso esto no
es así :
Las columnas de D son 3
y las filas de A son 4
No es posible realizar D x A

D x B Evaluamos la clase de cada una de las
D(3x3) x B(3x4) Para que el producto de matrices sea
matriz
el resultado será una
matriz
( 3 x 4 )
M
011
212
341



3151
4910
6251



D x B
1  1 + (-4)  0 + 3  (-1) = - 2
1  5 + (-4)  1 + 3  5 = 16
1  2 + (-4)  (-9) + 3  (-1) = 35
1  (-6) + (-4)  4 + 3  3 = -13
-2 16 35 -13 (-2)  1 + 1  0 + 2  (-1) = -4
(-2)  5 + 1  1 + 2  5 = 1
(-2)  2 + 1  (-9) + 2  (-1) = -15
(-2)  (-6) + 1  4 + 2  3 = 22
(-1)  1 + 1  0 + 0  (-1) = -1
(-1)  5 + 1  1 + 0  5 = -4
(-1)  2 + 1  (-9) + 0  (-1) = -11
(-1)  (-6) + 1  4 + 0  3 = 10
-4 1 -15 22
-1 -4 -11 10














101141
221514
1335162
DxB

Rango de una Matriz
El Rango de una matriz es su rango fila ó su rango columna
(que siempre coinciden)
Rango fila ó rango columna de una matriz es el máximo número de vectores filas ó
vectores columnas linealmente independientes de la matriz
Para conocer el rango de una matriz, podemos analizar cada fila (o columna)
como vectores y determinar si son o no linealmente independientes
Otra manera de hacerlo es efectuando una serie de operaciones elementales sobre
la matriz, y al cabo de un número determinado de operaciones elementales,
habremos encontrado el rango de la matriz, ya que habremos obtenido otra matriz
del mismo rango
Operaciones elementales sobre una matriz:
1. Permutación de dos filas entre sí, o de dos columnas entre sí
2. Adición de una fila a otra ó de una columna a otra.
3. Multiplicación de una fila ó de una columna por un
escalar no nulo.

Método de Gauss Jordan para
determinar el rango de una matriz
Este método es una manera “mecánica” de operar en forma ordenada pasos
repetitivos de operaciones elementales; y al cabo de un número finito de
pasos, se obtiene el máximo número posible de vectores canónicos
linealmente independientes, que es precisamente el rango de la matriz












................
.......fed
.......cba
Sea A una matriz no nula de la que se indicaron solo algunos elementos
Elegimos cualquier elemento distinto de 0 al que llamaremos pivote
En nuestro caso el pivote será a11 = a
Reducimos a 1 el pivote y a 0 los restantes elementos de la
columna del pivote













.............
.......fe
.......cb
0
0
1














0
1 ..........a
c
a
b
a
bde  a
cdf 
..................
.......
Luego a cada elemento se le resta
el producto de la
contradiagonal que forman el
pivote con el elemento que
transformamos
dividido por el pivote
Luego se reitera el procedimiento eligiendo pivotes que no
estén en la misma fila ni en la misma columna que los pivotes
ya elegidos en pasos anteriores
y los restantes elementos de la fila que quedan
se dividen por el pivote

Por ejemplo: Hallar el rango de la matriz













987
654
321
A
Tomamos como pivote el elemento de la
1º fila y 1ºcolumna
Reducimos a 1 el pivote y a 0 los restantes elementos de la
columna del pivote y los restantes elementos de la fila se
dividen por el pivote (1) y quedan como están












0
0
321 Luego a cada elemento se le resta el producto de la contradiagonal
que forman el pivote con el elemento que transformamos dividido
por el pivote
Se transforma en 3
1
24
5 


Se transforma en 6
1
34
6 


6
Se transforma en 6
1
27
8 


6
Se transforma en 12
1
37
9 


12
3
Luego se repite el
procedimiento, ahora
tomo –3 como pivote












00
210
01
al dividir –6 por el
pivote (-3) se hace 2
Se transforma en 1
3
26
3 



1
Se transforma en 0
3
66
12 



)()(
0

La matriz hallada











 
000
210
101
No se puede seguir transformando por Gauss-
Jordan porque el próximo pivote debe ser de la
3º columna 3º fila y este elemento es 0
Pero 0 no puede ser pivote
En este caso, el rango de la matriz A es 2 porque son dos las filas linealmente
independientes de la matriz
porque los elementos de la terceras fila después de todas las transformaciones
posibles, son todos nulos (0); significa que esa fila es combinación lineal de las otras dos
Gauss-Jordan no es el único método para efectuar operaciones elementales en
una matriz, pero lo adoptamos porque es el método que nos provee:
Un algoritmo eficiente (en un número determinado de pasos entrega la solución)
Aunque para ello debes estar muy entrenado en el cálculo de operaciones con
fracciones . . .

11 a) Para calcular el rango de
















1212
0111
2242
A
Tomamos el
pivote –2 de
la 1º fila 1º
columna











  1121
Dividimos la fila por el pivote y hacemos 0 los elementos
restantes de la columna del pivote
0
0
Y completamos los restantes elementos de la 2º fila
3
2
41
1 



3
0
2
21
1 



0
1
2
21
0 



)()(
1
trabajamos ahora con los elementos de la 3º fila
3
2
42
1 


 0
2
22
2 


 1
2
22
1 



)()(
3 0 1
Tomamos el pivote –3 de
la 2º fila 2º columna
Dividimos la fila por el pivote
y hacemos 0 los elementos de
la columna del pivote













00
3
1010
01
1
3
02
1 



3
1
3
12
1 



0
3
03
0 



completamos los restantes
elementos de la 1º fila
1 3
1
y completamos los restantes
elementos de la 3º fila0
0
3
13
1 



0
11 b















0000
3
1010
3
1101
El próximo pivote debe estar en la 3º fila, en las columnas 3º ó 4º
Pero ambos elementos son 0 y el
pivote debe ser distinto de 0
En consecuencia las operaciones elementales se
terminaron en esta matriz
La matriz de tres filas quedó con una fila de elementos nulos
El Rango de la matriz será la cantidad de filas con al menos
un elemento distinto de 0
Existen otros
métodos para
realizar
operaciones
elementales en una
matriz
pero nosotros explicamos Gauss-Jordan porque es un
método algorítmico, y como tal puede programarse.
NOTA. El pivote que se elige puede ser cualquier elemento,
con tal que no sea de una fila y/o columna repetida. No tiene
porqué seguir un orden, y si estás trabajando sin calculadora
te conviene que los pivotes sean los 1
11 b

11 b) Calculamos el rango de B




















1321
3111
1212
1311
B
tomamos el pivote 1 de la 1º fila
1º columna
Dividimos la fila por el pivote y hacemos 0 los
elementos restantes de la columna del pivote















 
0
0
0
1311
y completamos los restantes elementos de la 2º fila
1
1
12
1 


1
4
1
32
2 


)(
4
3
1
12
1 


)(
3
completamos los restantes elementos de la 3º fila
0
1
11
1 

 4
1
31
1 


)( 4
1
11
3 


)(
4 4
los restantes elementos de la 4º fila son
1
1
11
2 

 0
1
31
3 


)( 2
1
11
1 


)(
0
1 0 2
Tomamos como pivote el 1 de la 4º fila 2º columna



















2010
4400
3410
1311
y completamos los
restantes elementos
de la 1º fila
















2010
0
0
1
3
1
01
3 


3
3
1
21
1 


3
4
1
01
4 


5
1
21
3 


4 5
4
1
00
4 

 4
1
20
4 


4 4
















10
00
4
5100
01
Tomamos como pivote el 4
en la 2º fila 3º columna
0
0
0
0
0
0
4
3
4
53
3 


)(
4
3
1
4
54
4 


1
2
4
50
2 


2
completamos

En la matriz resultante




















2010
1000
4
5100
4
3001
También puede transformarse
en canónica si:
a la primera fila le sumamos la tercera fila multiplicada por -3/4
a la tercera fila le multiplicamos por -1
















1000
0001
a la segunda fila le sumamos la tercera fila multiplicada por 5/4
0100
a la cuarta fila le sumamos la tercera fila multiplicada por 2
0010
Y la matriz queda con cuatro filas linealmente
independientes, por tanto
El Rango de la matriz B es 4
El único elemento que puede ser pivote
está en la 3º fila 4º columna
















0010
1000
0100
0001

Determinantes
Determinante es una función
f: K
n x n
 K
Dada una matriz A de clase n x n, se llama MENOR del elemento aij al determinante
de la matriz de orden n-1 que se obtiene de A, suprimiendo la fila i y la columna j
que se escribe det A ó A



























nnnjnn
inijii
nj
nj
a...a...aa
..................
a...a...aa
..................
a...a...aa
a...a...aa
A
21
21
222221
111211
nnnn
n
n
ij
a...aa
............
a...aa
a...aa
M
21
22221
11211

Determinante es una función definida en el conjunto de las matrices cuadradas que tiene
imagen en conjunto de números reales (si los elementos de la matriz son complejos, la
imagen puede ser un complejo).

Una definición de determinante por recurrencia requiere:
i) Definir el determinante de orden 1
ii) Definir el determinante de orden k+1 suponiendo conocido el determinante de orden k
A = ( a11 )  A= a11
1112111
121
1222221
1111211





k,kk,k,k,k
k,kkkkk
k,k
k,k
aa.....aa
aa.....aa
.........................
aa.....aa
aa.....aa
A
entonces:






1
1
11
1
1
k
i
k,ik,i
)k(i
Ma)(A
Por ejemplo:
 


2
1
22
2
2221
1211
1
i
ii
i
Ma)(
aa
aa
A
122122111122
4
2112
3
11 aaaaaa)(aa)( 


 


2
1
22
2
1
23
41
i
ii
i
Ma)(A
 121341
43
)()()(
104321  )(

En determinantes de 3X3
 


3
1
33
3
333231
232221
131211
1
i
ii
i
Ma)(
aaa
aaa
aaa
A

2221
1211
33
6
3231
1211
23
5
3231
2221
13
4
111
aa
aa
a)(
aa
aa
a)(
aa
aa
a)(
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
232221
131211
aaa
aaa
+
-
 )aaaa(a)aaaa(a)aaaa(a 122122113312313211232231322113
 )aaaaaaaaaaaaaaaaaa 122133221133123123321123223113322113
 )aaaaaaaaaaaaaaaaaa 122133321123223113221133123123322113 ordenando resulta
331221233211132231231231133221332211 aaaaaaaaaaaaaaaaaa 
lo que verifica la
regla de Sarrus
Una vez escrito el determinante que queremos calcular,
transcribimos las dos primeras filas como se indica
Luego se suman (y restan) el producto de las diagonales ( y de
las contradiagonales) según corresponda

Las reglas antes vistas sirven solamente para determinantes
de 2 x 2 y de 3 x 3
Si el determinante es de orden 4 (o mayor), ya no contamos con reglas
para calcularlo, pero podemos hacerlo mediante el método del
desarrollo por los elementos de una línea




4
1
44
4
44434241
34333231
24232221
14131211
1
i
ii
i
Ma)(
aaaa
aaaa
aaaa
aaaa
A
donde tendremos
que calcular 4
determinantes de
orden 3
Si el determinante fuera de orden superior, siempre es posible
reducir a uno de orden “inferior en 1” y así sucesivamente, hasta
encontrar el de 3 x 3 y aplicar la regla de Sarrus

12 a) El determinante
11
13
)(

 AAD
214
131
342
 B)B(D
Se resuelve restándole al
producto de la diagonal
 13A)A(D
el producto de la contradiagonal
 )( 11 413 
Para resolver B de orden 3 se aplica la regla de Sarrus
Transcribo las dos primeras filas al final del determinante
131
342

Efectuamos la suma de los productos de las diagonales
144311232  )(B
A esto le restamos los productos de las contradiagonales
 241112334 )(
5823616312 

El determinante
1243
0112
0110
4211



C
No se puede resolver
con ninguna regla
particular por ser de
orden 4
Aplicamos el desarrollo por los
elementos de una línea
Vamos a desarrollarlo
por los elementos de
la segunda fila





1243
0112
0110
4211
C 



 
124
011
421
01 12
)( 


 
123
012
421
11 22
)(


 
143
012
411
11 32
)(
243
112
211
01 42


 
)(
48047111110  )()(C

Todoestohechoconentusiasmopuedeparecersea . . .
Un juegode
niños
Si lo puedes imaginar, lo puedes lograr.
Toda nuestra ciencia, comparada con la realidad, es
primitiva e infantil . . . y sin embargo es lo mas preciado
que tenemos.
El hombre encuentra a Dios detrás de cada puerta que la
ciencia logra abrir.
Albert Einstein

Espacios vectoriales ppt

Más contenido relacionado

La actualidad más candente (20)

Similar a Espacios vectoriales ppt (20)

Más de Carlos Iza (19)

Último (20)

Espacios vectoriales ppt