Conceptos Basicos De Matematica Financiera
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1. El documento trata sobre conceptos básicos de matemática financiera e introducción a estadística. Explica conceptos como interés simple y compuesto, anualidades, amortizaciones, variables aleatorias y medidas estadísticas. 2. También cubre temas como riesgo en la evaluación de proyectos mediante distribución de probabilidad de VAN y TIR, y métodos de medición de rentabilidad bajo incertidumbre como árboles de decisión y análisis de sensibilidad. 3. Por último, aborda
Conceptos Basicos De Matematica Financiera
- 1. I CONCEPTOS BASICOS DE MATEMATICA FINANCIERA 1.1 Interés Simple.- El capital que genera dicho interés permanece constante a lo largo del tiempo que dura la operación. 1.1.1. Capital final o valor futuro. El importe capitalizado constituye la suma del capital inicial y el interés: S=P+I. 1.1.2. Capital inicial o valor presente. Es aquel que a una tasa de interés dada alcanzará un monto igual a su valor futuro igual a la fecha del vencimiento. PS= 1 1+(ixn) 1.1.3. Tasa de interés. S-1 n= P n 1.1.4. Número de periodos que dura la operación. S-1 n= P i 1.2 Interés compuesto. Es aquel que se adiciona al capital inicial de forma tal que los intereses sucesivos se computan sobre el nuevo monto capitalizado. Tener en cuenta estos aspectos: - Tasa de interés que puede ser, nominal o efectiva. - El número de periodos de capitalización en el año (m). 1. Interés: previo a pagar por un - El número de periodos de capacitación (n). capital prestado, es la diferencia entre el capital y el monto final 1.2.1.Tasas utilizadas en el sistema financiero. que se devuelve. Depende de: a) Tasa nominal y tasa proporcional. • La diferencia entre el - Se aplica directamente a operaciones de interés capital prestado. simple. • La tasa de interés simple. - Es susceptible de proporcionarse. • El tiempo de la duración b) Tasa efectiva de la operación. puede obtenerse a través de una tasa nominal • El riesgo del negocio en capitalizable (n) veces del año. donde se invierte el capital prestado. i = 1+i n – 1 • Las variables de carácter n económico, político y c) Tasas equivalente. Dos o mas tasas efectivas social; que influye en el correspondientes a diferentes unidades de tiempo son riesgo del negocio equivalente cuando producen la misma tasa efectiva para un mismo periodo de tiempo.
- 2. d) Tasa real. Mide en que grado la inflación distorsiona el valor nominal capitalizable (n) veces en el año. R = (1 + i) - 1 (1*f) e) Tasa efectiva en moneda nacional d una operación extranjera. Se basa en la tasa efectiva en moneda extranjera y la tasa de devaluación de la moneda nacional. iMN = (1+iME) (1+ td) - 15 1.2.2. Cálculo de valor final ó stock final de efectivo. S = Px (1 + i)n 1.2.3. Cálculo del capital inicial P = S(1 + i)-n 1.2.4. Cálculo de la tasa de interés i= S n/1 -1 P 1.2.5. Cálculo del número de periodos de capitalización. Ln S n= P Ln 1 + i 1.2.6. Cálculo de interés. i=S–P 1.3 Relaciones equivalentes Esta propiedad puede utilizarse tanto cuando se lleva un valor al futuro o cuando se trae al presente .
- 3. 2.1 Clasificación de las anualidades. 2.1.1. Anualidades Ciertas. Cuyas anticipaciones se conocen con anticipación . 2.1.2. Anualidades eventuales o contingentes. Son aquellas cuyo fecha de inicio. 2.2 Anualidad perpetua. 2.2.1. Renta perpetua. Es una sucesión constante o infinita de flujos de caja. 2.2.2. Renta perpetua creciente. El incremento continuará indefinidamente. 2.3 Anualidades vencidas. 2. Anualidades: 2.3.1. Monto futuro de de una anualidad simple. 2.3.2. Valor presente de una anualidad simple. Es un conjunto de dos o mas flujos de igual 2.3.3. Calculo del valor de las rentas en las monto equidistantes en el tiempo. anualidades simples. 2.3.4. Cálculo de (n) en una anualidad. 2.4 Anualidades anticipadas. - Monto o valor futuro de una anualidad simple anticipada. - Valor presente de una anualidad simple anticipada. - Cálculo del valor de las rentas o imposiciones en las anualidades simples anticipadas. - Cálculo de (n) en una anualidad anticipada. 2.5 Anualidades diferidas. - Valor futuro de anualidades diferidas. - Valor presente de anualidades diferidas. 3.1 Tabla de reembolso de préstamo a servicios de una deuda. 3. Amortizaciones. 3.2 Sistema de repago de préstamos. Es un proceso financiero mediante el cual una deuda u obligación y los interese, se paga - Cuota constante. progresivamente, por medio e servicios parciales. - Amortización constante. - Interés constante.
- 4. II CONCEPTOS DE ESTADISTICA 1.1 Población. Conjunto de unidades elementales que poseen unas características en común que se desea estudiar. 1.2 Muestra. Subconjunto de unidades elementales. 1.3 Variables. Es la característica en estudio de una población o 1. Conceptos Básicos muestra. 1.4 Observación. Es un dato proporcionado por la unidad elemental correspondiente a la variable de estudio. 1.5 Medidas Estadísticas. Son indicadores para describir, analizar y resumir el comportamiento de una variable. 2.1 Organización de variables cualitativas. - Frecuencia Absoluta. 2. Organización de datos - Frecuencia relativa. 2.2 Organización de variables cuantitativas. - Variables cuantitativas discretas. - Variables cuantitativas continuas. 3.1 Medidas de tendencia central. - Medida aritmética simple. - Medida aritmética ponderada. - Medida geométrica. - Mediana. - Moda. 3.2 Medidas de posición no central. Determina en lugar que 3. Medidas descriptivas ocupan las observaciones en la recta real, cuando estas han sido previamente ordenadas en forma creciente. 3.3 Medidas de variable o dispersión. Proporcionan información sobre la posición de la dispersión. - Rango. - Varianza. - Desviación estándar. - Coeficiente de variabilidad. 3.4 Simetría y Asimetría. 4.1 Experimento aleatorio. - Puede ser repetido bajo las mismas condiciones. - Se puede describir el número de resultados posibles. - Se puede establecer un modelo matemático asociado. 4.2 Espacio muestral. - Finitos. 4. Teoría de la probabilidad - Infinitos. 4.3 Punto muestral o suceso. Al realizar un experimento aleatorio se obtiene una muestra o suceso. 4.4 Evento. Es un sub conjunto del espacio muestral. 4.5 Probabilidad. - Propiedades y teoremas básicos de probabilidad. - Independencia de eventos.
- 5. 5.1 Tipos de variables. 5. Variables aleatorias - Variable aleatoria discreta. unidimensionales. - Variable aleatoria continua. 5.2 Función de probabilidad. Depende del tipo de variable en Es una función que asigna un estudio. número real a cada elemento de - f(xi) = P(x = xi) un espacio muestral. - f(x) = >= 0 para todo (x) real. 6.1 Esperanza matemática. Resuelve una de las preocupaciones mas frecuentes que se tiene a cerca de una variable aleatoria. 6.2 Varianza. Considera las desviaciones elevados al cuadrado de los posibles valores de la variable respecto a su esperanza matemática. 6. Medidas de tendencias y 6.3 Covarianza. Sirve para determinar la existencia y el dispersión de las variables tipo de relación directa o inversa, entre dos variables. aleatorias. 6.4 Coeficiente de correlación. Es una medida estadística que mide el grado de correlación o de asociación entre dos variables. 6.5 Propiedades de las medidas de tendencia. - E(a) = a - E(ax) = aE(x) - Var(a) = 0 - Var(ax) = a2 Var(x) a2O2
- 6. IX RIESGO DE EVALUACION DE PROYECTOS Causas de riesgo. 1. El riesgo y la incertidumbre - No existe un número suficiente de inversiones Cuando no se tiene certeza sobre los similares para poder promediar los resultados. valores que tomarán los flujos netos - Un cambio en el ambiente económico externo futuros de una inversión. El riesgo se que invalide experiencias anteriores. presenta cuando una variable puede - Error en el análisis como en el de las tendencias tomar distintas variables. en los datos y en su validación que indican al evaluador a favorecer escenarios optimistas o pesimistas. - La liquidez de los activos de la inversión. 2. La medición del riesgo es un - La obsolescencia. proyecto. Cuando el factor riesgo está presente 3.1 Distribución del VAN. Para conocer el en la evaluación de un proyecto uno movimiento pro balístico de VAN podemos aplicar de los objetivos que interesa alcanzar el teorema del límite central, el cual afirma que una es maximizar la esperanza de VAN o combinación lineal de variables aleatorias tiene una la TIR. distribución normal cuando el número de variables tiende a infinito. 3.1.1 La probabilidad de que el VAN sea mayor a un valor dado. Para determinar si el VAN sea >;< ó = a un valor dado (VAN)que estandariza la variable aleatoria VAN. Z0 = VAN0 - E VAN 0 (VAN) 3. Distribución de probabilidad de VAN y la TIR. 3.1.2 Intervalos de confianza. Se constituye un intervalo centrado sobre la media de la variable dado un determinado nivel de confianza. RIESGO EN LA 3.2Distibución del TIR. Para el caso de proyectos EVALUACION DE comunes de inversión el VAN es una función PROYECTOS decreciente respecto al COK. Es decir, mientras mayor sea el COK, menor será el VAN. El intervalo de confianza para la distribución de la TIR es (con un nivel de confianza del 95%) - Límite superior de intervalo E(TIR) + 1.96 * o(TIR)= 34.5% +1.96 * 13.99% =61.57% - Límite inferior de intervalo. E(TIR)-1.96* o (TIR) = 34.15% -1.96 *13.99% =6.76%
- 7. 4.1 Método de ajuste de la tas de descuento. Una forma de incorporar el riesgo en el análisis de proyectos es ajustar la tasa de descuento. El COK es la 4. Métodos de medición de la tasa de rentabilidad de la mejor alternativa especulativa de inversión de igual riesgo. rentabilidad de una inversión bajo 4.2 Método del equivalente a la incertidumbre. situaciones riesgosas. Un método alternativo para incorporar el riesgo en el análisis de proyectos de inversión es ajustar los flujos de caja en función del riesgo involucrado. Xt = FCt Cierto FCt Incierto 5.1 Árboles de Decisión Permite representar y analizar decisiones secuenciales a lo largo del periodo considerado permite descomponer un problema grande y difícil de evaluar en varios problemas pequeños y de fácil comprensión. 5.1.1 Árb. de decisión determinístico ya que los resultados de cada nada son absolutamente ciertos y no hay ningún factor aleatorio en ellos. 5.1.2 Árb. De decisión con resultados probalísticos Es necesario incorporar los riesgos a las decisiones secundarias. 5.1.3 Con probabilidades condicionales. Establece que la probabilidad de que ocurra un evento “A” si “B” ya ocurrió es igual a la probabilidad de que ocurran A y B juntos dividida entre la probabilidad de que ocurra B. 5.2 Análisis de la sensibilidad se trata de medir la sensibilidad de la rentabilidad calculada ante posibles variaciones de los factores que definen un proyecto de inversión. 5. Métodos de análisis de 5.2.1 Análisis de la sensibilidad cuando se desconocen rentabilidad ajo situaciones de las probabilidades de ocurrencia y los rangos de incertidumbre. variación. Es unidimensional y pretende identificar el valor límite de la variable analizada. a) Análisis de sensibilidad de VAN. b) Análisis de sensibilidad utilizando el TIR como criterio. 5.2.2 análisis de necesidad ante cambios porcentuales esperados para las variables de interés. Se busco conocer como varia el VAN y la TIR tanto cambios porcentuales en determinadas variables de interés. - variación de la inversión. - Variación del flujo de caja. - Variación del COK. 5.2.3 Análisis de sensibilidad cuando se conoce la distribución de probabilidad de las variables 5.3 Método simulador de Monte Carlo. Se puede definir como un método de ensayos estadísticos por ser una técnica de simulación de situaciones.
- 8. X OPITIMIZACIÓN 1.1 Momento óptimo de iniciar un proyecto con flujos de caja crecientes, independientes de inicio del proyecto y con vida útil infinita. Es útil empezar identificando el VAN de iniciar en el año “0” y compararlo con lo correspondiente al año 1. 1. Inicio Optimo: Se buscara iniciar el 1.2 Momento óptimo de iniciar un proyecto con flujos proyecto en el momento ñeque el VAN de caja creciente independiente del inicio del proyecto y sea máximo. Esta postergación tendrá con vida útil finita. sentido si en VAN del beneficio de El negocio dura un número determinado de años se postergar es > que el valor actual de deberá analizar los costos. los costos a los que dicha decisión conduce. 1.3 Momento óptimo de iniciar un proyecto con flujos de caja crecientes, dependientes del inicio del proyecto y con Reglas de Decisión: vida útil finita. Se observará una modificación en los beneficios netos - Flujo de caja del proyecto. que se reciben cada año motivada por la postergación. - La inversión. - Vida útil. 1.4 Momento óptimo de iniciar un proyecto con flujos de caja creciente, independientes del inicio del proyecto y con vida útil infinita. Es posible enfrentar proyectos en los que la inversión dura mas que un periodo. 2.1 El inversionista quiere maximizar su rentabilidad del negocio. Tiene como objeto maximizar su rentabilidad buscando 2. Fin óptimo: la oportunidad de inversión que lo redil... mas en el Se utiliza un análisis. mercado. Beneficio - costo de alargar. 2.2 El inversionista quiere maximizar la rentabilidad del negocio Se trata de una persona a quien le interesa permanecer en la línea de inversión. La rentabilidad de un negocio puede depender de la 3. Tamaño óptimo: escala de inversión del proyecto, es importante averiguar cuales el tamaño óptimo de inversión de manera que se obtenga la mayor rentabilidad posible.
- 9. XI COSTO DE OPORTUNIDAD DEL CAPITAL (COK) 1.1 Estabilidad del COK a través del tiempo. Para obtener la rentabilidad global de dicho proyecto se deberían descontar diferentes flujos de caja con distintos COK. Errores: - Suele utilizar una única COK para toda la vida útil del proyecto. 1. Problemas de determinación del - Algunas veces se pretende castigar los flujos COK. El COK no necesariamente mas alejados en el tiempo. a) el costo de capital permanece constante durante la vida propio: 1.2 diferencias entre el COK propio y del COK por un proyecto. Es aquel que sólo prestado. El valor que tome el COK dependerá incorpora el costo en el de diversos factores, entre ellos. que incurre el - Proporción entre el capital propio y el inversionista por dejar de préstamo. invertir en proyectos - El costo del capital propio. alternativos para iniciar - El costo del capital prestado. un nuevo proyecto. - El riesgo del proyecto en el cual se desea invertir. - La variabilidad de las tasas a largo plazo. 2.1 Limitaciones. a) El método supone que la estructura entre el 2. Costo ponderado de l Capital. capital propio y deuda se mantiene constante b) El costo del capital Al utilizar este método se obtiene una a los largo de la vida útil del proyecto. prestado: tasa intermedia que resulte de ponderar b) A medida que se cancele la deuda adquirida Es el interés que tiene que el ratio deuda – capital disminuye, con lo cual las tasas del costo del capital propio y pagar el inversionista por el proyecto se hace cada vez menos riesgoso del capital prestado según la el capital al que para el inversionista. participación de cada uno en el capital comúnmente tiene acceso total requerido para el proyecto. o al que potencialmente 3.1 Definición del modelo. Se basa en el puede recurrir. supuesto que la rentabilidad de cada inversión 3. Método de fijación de precios de esta en función de una tasa libre de riesgo activos de capital (CAMP) mas una prima que compensa al inversionista por el riesgo que involucra tal inversión. Brinda una solución a esta limitación E(rs) = rf + P y su principal atracción radica en que nos proporciona una vía flexible sobre 4.1 Costo del capital prestado. Se debe aplicar la rentabilidad exigida en una cuando la tas de las oportunidades de inversión con riesgo. inversión promedio de un inversionista es menor que el costo del capital prestado. 4.2 Racionamiento del capital. Consiste en hacer un ranking de los proyectos en orden 4. Métodos de estimación decreciente de rentabilidad. 4.3 Participación de las utilidades en el capital propio. Una manera aproximada de obtener el COK de una organización es dividiendo las utilidades después de impuestos de un determinado periodo.