Contenido 3.4
- 1. Contenido 3.4: Igualdad y semejanza de triángulos IGUALDAD DE TRIÁNGULOS Dos triángulos son iguales cuando tienen sus tres lados y sus tres ángulos iguales. CRITERIOS DE IGUALDAD DE TRIÁNGULOS CASO A. Si dos triángulos tienen un lado igual e iguales los dos ángulos adyacentes a ese lado, entonces los triángulos son iguales. CASO B. Dos triángulos son iguales si tienen respectivamente iguales dos lados y el ángulo comprendido entre ellos. CASO C. Dos triángulos que tengan iguales respectivamente sus tres lados son iguales. AB DE A D B E AB DE BC EF B E AB DE BC EF AC DF
- 2. CASO D. Dos triángulos son iguales cuando tienen dos lados iguales y el ángulo opuesto al mayor de ellos, respectivamente iguales. IGUALDAD DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS CRITERIO A. Dos triángulos rectángulos son iguales cuando tienen igual la hipotenusa y uno de los ángulos agudos. CRITERIO B. Dos triángulos rectángulos son iguales cuando tienen igual la hipotenusa y un cateto. AB DE AC DF C F AB DE A D AB DE BC EF
- 3. CRITERIO C. Dos triángulos rectángulos son iguales cuando tienen sus catetos respectivamente iguales. CRITERIO D. Dos triángulos rectángulos son iguales cuando tienen un cateto y un ángulo agudo respectivamente iguales. SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS La igualdad de triángulos exilia la igualdad de forma. De donde se tiene la primera definición intuitiva de la semejanza: Se llama figuras semejantes las que tienen la misma forma y distinto tamaño. En las figuras semejantes se llaman elementos homólogos, aquellos que se corresponden, es decir, que representan la misma cosa. Así se dice: ángulos homólogos, puntos homólogos, segmentos homólogos, etc. Triángulos semejantes, son los que tienen sus ángulos respectivamente iguales y sus lados homólogos, proporcionales. Dos triángulos semejantes tienen la misma forma, sin ser necesario que tengan igual área. El signo de semejanza es ~. Se debe leer semejante a. Aplicando la noción de proporcionalidad de segmentos tenemos: Se dice que dos figuras son semejantes si tienen sus ángulos homólogos iguales y sus lados homólogos proporcionales. AC DF BC EF AC DF A D
- 4. Diremos que los triángulos ABC y DEF son semejantes, si se verifica que: ; ; .A D B E C F Y además AB AC BC DE DF EF RAZÓN DE SEMEJANZA Se llama razón de semejanza, a la razón de dos segmentos homólogos. En el ejemplo anterior si AB mide 10 cms. y DE mide 5 cms. la razón de semejanza es 10 2 5 cms. TEOREMA: Toda paralela a un lado de un triángulo forma con los otros lados un triángulo semejante al primero. CASOS DE SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS CASO A. Dos triángulos son semejantes si dos ángulos de uno, son respectivamente iguales a los dos ángulos del otro. ABC CDE DE AB A D C F
- 5. CASO B. Dos triángulos son semejantes si tienen un ángulo igual y los lados que lo forman respectivamente proporcionales. CASO C. Dos triángulos son semejantes si tienen sus tres lados homólogos proporcionales. CASOS DE SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS Como los triángulos rectángulos tienen igual el ángulo recto y además dado dos de los lados queda determinado el tercero por el teorema de Pitágoras, resulta que dos triángulos rectángulos son semejantes: a) Si tienen un ángulo agudo igual. b) Si tienen los catetos proporcionales. c) Si tienen la hipotenusa y un cateto proporcional. Ejemplo 1: En la figura siguiente, el ABC es semejante al DEF . Encontrar la longitud de los lados del .DEF Dado que los triángulos son semejantes, sus lados son proporcionales, de lo cual obtenemos: AB AC DE DF A D AB BC AC DE EF DF
- 6. R/ DF 8 DE 10 Ejemplo 2: para los triángulos , calculemos las longitudes de los segmentos ̅̅̅̅ ⋀ ̅̅̅̅ Solución: los triángulos tienen dos ángulos iguales por lo tanto son semejantes. Al ser semejantes concluimos que sus lados son proporcionales. ̅̅̅̅ ̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ Aplicando y sustituyendo los valores concluimos que ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ Ejemplo 3: determinar la altura de un edificio de apartamentos que proyecta una sombra de 4 metros si a esa misma hora un poste del tendido eléctrico de 5 metros de altura proyecta una sombra de 1 metro. Respuesta 20 metros Ejercicio: EJERCICIOS: 1. Obtén el valor de x ̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅ 12 16 6 DF 12 DF 6 16 6 16 DF 12 DF 8 12 20 6 DE 12 DE 6 20 6 20 DE 12 DE 10
- 7. 2. ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ Obtén las longitudes ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ 3. Indica las razones por las que los triángulos ABC y CDE son semejantes. Obtén la longitud del segmento ̅̅̅̅ 4. Indica las razones por las que los triángulos ABC y MBN son semejantes. Obtén la longitud del segmento ̅̅̅̅̅ 5. Encuentra x si ̅̅̅̅ ̅̅̅̅
- 8. 6. Encuentra x ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ EJERCICIOS DE APLICACIÓN 1. Un niño de 1.5 mts. de estatura proyecta una sombra de 1.2 mts. de largo; a la misma hora, un árbol proyecta una sombra de 4.8 mts. de largo. Hacer un dibujo que muestre los triángulos semejantes que se tienen y encontrar la altura del árbol. 2. En la figura, ¿qué altura tiene el templo si su sombra mide 6 metros. La altura del árbol es de 4 metros y la distancia desde la copa del árbol hasta donde termina su sombra es de 5 metros?
- 9. 3. Rodrigo ya vuela su piscucha y decide atarla a una raíz que dista 2 metros de una cerca que tiene un metro de alto. Considera que desde la cerca a la vertical de la posición de vuelo de la piscucha hay unos 20 metros ¿qué altura ha ganado la piscucha?