Congruencia de triangulos,modulo 2

Universidad Católica del Norte
PROFESOR: LUIS RAMIREZ CORTEZ Página 1
CONGRUENCIAS DE TRIANGULOS
Lectura Obligatoria 3
CONGRUENCIA DE TRIANGULOS
Recordemos las ideas centrales que dice:”Si dos segmentos son congruentes, si
sus medidas son iguales y dos ángulos son congruentes, si sus medidas son
iguales”.
Esto nos da los elementos necesarios y los conceptos fundamentales para
extender el concepto de congruencia, a cualquier figura geométrica, ya que este
concepto es el mismo para todos los tipos de figuras.
Recordemos que las definiciones básicas que ya conocemos son:
1) CDABCDAB  ( d(A,B) = d(C,D) )
2) PQRmBACmPQRBAC 
Veamos ahora que sucede cuando las figuras consideradas son triángulos. ¿Son
dos triángulos congruentes si sus medidas son iguales?,¿Será la igualdad de área
una condición suficiente para la congruencia de dos triángulos?

Consideremos los triángulos siguientes y el área que ellos tienen;
El área del ABC = (6*5)/2 = 15
y el área del  DEF = (6*5)/2 = 15
Podemos observar que aunque tienen la misma área ellos no son congruentes. Si
observamos los siguientes dos triángulos, veremos que son congruentes pues;
Tienen la misma forma y tamaño y si cortamos la figura de una de ellas, por
ejemplo el A'B'C' y lo superponemos sobre el ABC, ellos coinciden totalmente.
Pero estas ideas, sin embargo, no son precisas pues, ¿que significa decir que los
dos triángulos tienen la misma toma y que sus figuras coinciden?
Veamos que pasa ahora al establecer una correspondencia uno a uno, entre los
puntos de un triángulo y los de otro triángulo. Esta correspondencia puede
hacerse de varias maneras, como por ejemplo, en las figuras siguientes:
A B
C
D E
F
5
5
6 6
A B
C
A` B
`
C
`

Para que la congruencia se cumpla, debe ser posible establecer una
correspondencia, de tal manera que la distancia entre los pares de puntos
correspondientes, sea la misma. En otras palabras, si P es un punto del ABC
que se corresponde con un punto Q, del  A'B'C' y R es un punto del ABC, que
se corresponde con el punto S del A'B'C', entonces QSPR 
Los triángulos no tienen por qué ser colocados de la misma manera, pues es
posible establecer una correspondencia entre los puntos de los triángulos, de
modo que sus distancias correspondientes sean siempre las mismas.
Nos interesa principalmente la correspondencia entre los vértices de un triángulo
consigo mismo o entre dos o más triángulos.
A B
C
A` B`
C`
P P`
B`A B
C
A`
C`
P
R
Q
S

Sean los triángulos ABC y EFO, definimos una función biyectiva con respecto a
los vértices de los triángulos, que llamamos correspondencia. Esta función
biyectiva es una correspondencia vértice a vértice y así tendremos:
A <—> E (Vértice A se corresponde con vértice E)
B <—> F (Vértice B se corresponde con vértice F)
C <—> D (Vértice C se corresponde con vértice D)
También esto se anota en forma abreviada:
ABC <—> EFD; otras correspondencias son:
ABC <—> EDF ;
ABC <—> DFE ;
ABC <—> FDE ;
ABC <—> DEF ;
ABC <—> FED .
Podemos también observar que si tenemos la correspondencia,
ABC <—> DEF; entre los vértices de los dos triángulos, esto ocurre a la vez,
entre los lados de los triángulos y entre sus ángulos, así;
ABC <—> DEF; es por definición:
A <—> D ; B <—> E ; C <—> F
a) AB <—> DE b)  A <—>  D
BC <—> EF  B <—>  E
AC <—> DF  C <—>  F
Los lados que se corresponden, como los del grupo (a), por una determinada
correspondencia, se dicen lados correspondientes u homólogos.
Los ángulos que se corresponden, como los del grupo (b), por una determinada
correspondencia, se dicen ángulos correspondientes u homólogos.

DEFINICION
"Dada una correspondencia entre los vértices de dos triángulos o de un triángulo
consigo mismo, diremos que esta correspondencia es una "congruencia", si cada
par de lados correspondientes son congruentes y cada par de ángulos
correspondientes son congruentes. Si dos triángulos o un triángulo consigo
mismo cumple esta definición, entonces se dice que los triángulos son
congruentes.
Ejemplo: Sea la correspondencia ABC < --- > DEF entre los vértices de los
triángulos  ABC y  DEF, entonces ella es una congruencia si y solo si, se
cumplen las seis condiciones siguientes:
1) DEAB 
2) DFAC 
3) EFBC 
4)  A   D
5)  B   E
6)  C   F
Nota:
Si ABC <—> DEF es una congruencia, entonces la denotaremos como:
ABC  DEF (que se lee ABC es congruente con DEF).
La expresión ABC  DEF dice no solamente que el ABC y DEF son
congruentes, sino también que ellos lo son bajo la correspondencia
ABC <—> DEF.
"Por ello, para probar la congruencia de dos triángulos, debemos demostrar que
se cumplen las seis condiciones recién mencionadas".
A B
C
D E
F

POSTULADO L.A.L. (Lado- ángulo - lado).
Postulamos que la correspondencia entre los vértices de dos triángulos o de un
triangulo consigo mismo, es congruencia de triángulos, si dos pares de lados
correspondientes son congruentes y el par de ángulos comprendidos por lados
correspondientes, son congruentes.
E1 postulado L.A.L. nos permite la posibilidad de demostrar que si solo tres de las
seis condiciones de la correspondencia se cumplen, entonces ésta es una
congruencia y los triángulos que la cumplen son congruentes.
El axioma o postulado L-A-L. nos da tres casos de acuerdo a la posición de los
ángulos, dependiendo de los lados que se tomen. Así si tenemos un ABC,
entonces para cumplir L.A.L., si tomamos  A, se deben tomar los lados AC y AB;
ya que  A está incluido en los dos segmentos.
Si tomamos el  C para cumplir L.A.L., se deben tomar los lados AC y BC; ya que
 C esta incluido en el  determinado por los dos segmentos.
Análogamente, para  B se deben tomar los lados AB y BC; ya que  B esta
incluido en los dos segmentos.
Observemos los siguientes triángulos, que ilustran este postulado.
Si en los triángulos ABC y DEF, se tiene que DEAB  , DFAC  y  BAC 
 FDE entonces ABC  DEF.

El postulado L.A.L. nos permite demostrar el siguiente teorema:
TEOREMA (Del  isósceles).
"Si dos lados de un triángulo son congruentes, entonces los ángulos opuestos a
estos lados son congruentes".
Demostración:
Sea ABC en que ACAB  ==> ABC es isósceles, luego debemos
demostrar que  B   C.
Consideremos la correspondencia:
ABC <—> ACB. Luego, por esta correspondencia se tiene:
ACAB  (Hipótesis)
ABAC  (Hipótesis y simetría)
y  A =  A ( Reflexividad de congruencia de ángulos).
Luego por L.A.L., la correspondencia ABC <—> ACB es una congruencia;
entonces ABC  ACB.
Por definición de congruencia, se cumplen las tres relaciones restantes especial 
B   C. q.e.d.
TEOREMA (Del triángulo equilátero).
"Todo triángulo equilátero es equiángular, esto es, en un triángulos equilátero
todos los ángulos son congruentes".

Demostración: Sea ABC, un triángulo equilátero, entonces:
ACAB  (por definición de  equilátero)
 B   C (por teorema)
Similarmente:
ABBC  , por lo tanto,  C   A.
Luego,  B  C y C  A =>  B  A
pues la congruencia de ángulos, es una relación de equivalencia, Por lo tanto.  B
 C y C  A.
TEOREMA
"Desde un punto fuera de una línea, se puede trazar una perpendicular a ella".
Hipótesis: Sea L línea dada y D  L.
Tesis: Existe L' tal que L'  L y D  L'.
Demostración:
1) Como D  L, entonces por teorema de incidencia, existe un único plano P, tal
que L  P y D  P.
2) Sean A, B dos puntos de L, luego existe el  DAB, pues D, A y B no son
colineales.
3) Como L  P, entonces L separa al plano en dos semiplanos. Por postulado
A
M
L
C E
D
B

de separación del plano y por postulado de medida de ángulos, existe un E  L y
E  P L,D tal que m ( DAB) = m ( EAB),
4) Copiamos el trazo AD, en el rayo AE, determinando C tal que AD = AC.
5) ABDC  = M pues D, C están en lados opuestos de la línea AB; que
separa al plano P en dos semiplanos.
6) Consideremos los triángulos AMD y AMC y la correspondencia
AMD —- AMC, en la cual se cumplen:
a) AMAM  (propiedad refleja de  de trazos).
b) ACAD  (por paso 4).
c)  DAM   CAM (por paso 3).
Luego se cumple el postulado L.A.L. y la correspondencia es una congruencia de
triángulos.
En consecuencia,  DMA  CMA (elementos correspondientes en triángulos
congruentes).
7) Los ángulos  DMA y  CMA forman un par lineal.
8) Por paso 6) y 7) y definición de ángulo recto, se tiene que  DMA es recto,
Entonces la línea DC es perpendicular a la línea L.
Por lo tanto, dado un punto fuera de una línea, existe una perpendicular a ella.
q.e.d.
TEOREMA (A.L.A.) (Ángulo- lado- ángulo).
"Una correspondencia entre los vértices de dos triángulos o de un triángulo
consigo mismo, es una congruencia de triángulos, si dos ángulos
correspondientes son congruentes y el par de lados comprendidos son
congruentes."

Hipótesis: Sean ABC, DEF y una correspondencia ABC <—> DEF, tal que:
 A   D ;  C   F ; DFAC  .
Tesis:  ABC   DEF.
Demostración:
1) Por teorema de la construcción de segmentos, existe un punto B' en el rayo
DE, tal que AB = DB'.
2) Por postulado L.A.L. se tiene que  ABC  DB'F. Dos lados y el ángulo
comprendido son congruentes a las partes correspondientes; o sea, AC = DF; por
hipótesis. AB = DB` por paso 1)  A   D por hipótesis, luego
 DFB'   ACB.
3) Por teorema de construcción de ángulos y paso anterior, se sigue que FB =
FE, pues  ACB   DFE, por hipótesis.
4) Por paso 3) se tiene que, B' = E, pues las líneas DE y FE, se intersectan en un
solo punto.
5) Por lo tanto, por paso 3) se tiene ABC  DEF.
EJEMPLO
Si en los triángulos ABC y DEF, se tiene que DEAB  ,
 CBA   FED y  BAC   FDE entonces ABC  DEF.
A B
C
D E B`
F

TEOREMA
En todo ABC, a ángulos congruentes se oponen lados congruentes
Hipótesis: Dado ABC y  A   C
Tesis: BCAB 
Demostración:
1) Sea la correspondencia; ABC <—> CBA en que se cumple,
i)  A   C (hipótesis)
ii)  C   A (hipótesis)
iii) ACAC  (Reflexividad de  de trazos)
2) Por i), ii) y iii) la correspondencia por A.L.A., es una congruencia.
Luego, ABC  CBA.
3) Por paso (2), se cumple BCAB  .
TEOREMA L.L.L. (Lado- lado- lado).
Una correspondencia entre los vértices de dos triángulos o de un triángulo
consigo mismo, es una congruencia de triangulo, si los tres pares de lados
correspondientes son congruentes.

Hipótesis: Sea ABC, DEF y una correspondencia: ABC <----> DEF tal que,
DEAB  , EFBC  , DFAC 
Tesis: ABC  DEF.
Demostración:
La demostración de este teorema, presenta tres casos: a), b) y c).
1) Por teorema de construcción de ángulos, existe un rayo AQ, con Q en el lado
opuesto de AC de B; tal que CAQ  EDF.
2) Por teorema de construcción de segmentos, existe un punto B' de AQ, tal que
DEAB `
3) Como DFAC  por hipótesis, entonces por postulado L.A.L. se tiene que
AB'C  DEF.
4) BB` intersecta a AC en el punto G, pues B y B' están en lados opuestos de
AC.
A
B
C
G
B`
Q
E
D F

La demostración se divide ahora en varios casos:
a) A - G - C.
b) A = G que es igual a la expresión G = C.
c) G - A - C que es igual a la expresión A -C -G.
Caso a) A - G - C (Ver figura anterior).
5)  ABG   AB'G, por teorema  isósceles.
6)  CBG   CB'G, por teorema  isósceles.
7) G está en el interior del ABC, ya que A-G-C.
8) G está en, el interior del AB'C, ya que A-G-C.
9) Por pasos: 5), 6) y 7), y el teorema de la suma de ángulos, se tiene que 
ABC   AB'C.
10) Por postulado L.A.L., se tiene que ABC  AB'C.
11) Por lo tanto, por pasos 3) y 10) se tiene ABC  DEF.
Caso b) A = G.
12)  ABC   AB'C, por teorema del  isósceles.
13) Por postulado A.L.A., se tiene que ABC  AB'C.
14) Por lo tanto, por pasos 13) y 3) ABC  DEF.
Caso c) G - A - C.
CA
B
G
B`

15) Sea  GBA   GB'A, por teorema del  isósceles,
16) A está en el interior del  GBC, puesto que G- A- C.
17) A está en el interior del  GB'C, por teorema del  isósceles.
18) Por pasos 15), 16) y 17), junto con el teorema de la suma de ángulos se
tiene:
m( GBA) + m ( ABC) = m (  GB'A) + m ( AB'C).
19)  ABC   AB'C por 15), cancelando en 18) y definición de  de ángulos .
20) Por postulado L.A.L. se tiene que ABC  AB'C.
EJEMPLOS
Si en los triángulos ABC y DEF, se tiene que DEAB  , DFAC  y DFBC 
entonces ABC  DEF.

TEOREMA "Cada ángulo tiene exactamente un bisector".
Este teorema debe probarse en dos partes. En la primera, probaremos que existe
a lo menos un bisector y en la segunda, que este bisector es
Único.
Demostración:
a) "Existe a lo menos un bisector".
Hipótesis: Sea  MON dado.
Tesis: Existe a lo menos un rayo OP que bisecta al  MON.
Los pasos de la demostración son los siguientes:
1) Elijamos un punto A  OM y uno B  ON, tal que OA = OB
2) Existe AB, con un único punto medio P
3) OA = OB (por paso l).
AP = PB (por paso 2), P punto medio)
OP = OP (reflexividad de congruencia).
4) Por teorema L.L.L. la correspondencia OAP <-- >OBP, es una congruencia.
5) Por definición de congruencia se tiene OAP < --- >OBP. Luego:
6)  AOP   BOP -- > OP bisecta al ángulo  AOB; por lo tanto:
O
A
B
M
N
P

7) El bisector OP del  AOB existe.
Demostración:
b) "El bisector es único".
Esta aseveración hace necesario demostrar que cada bisector del BAC, pasa a
través del punto medio D' del trazo BC
1) Supongamos que AE bisecta  BAC.
2) Por paso 1), E  int.  BAC.
3) Por teorema,  `DBCAE  con B - D' - C, por paso 2).
4) Por lo tanto, se tiene AD`= AD`(reflexividad de la ),
AB = AC (por construcción),
 BAD'   D'AC (AE bisector).
Por postulado L.A.L- la correspondencia; AD'B <---- > AD'C, es una congruencia,
Entonces,
5) AD'B  AD'C; luego D`B =D`B y D` es punto medio de BC.
6) Puesto que BC tiene un solo punto medio, entonces  BAC tiene un solo
bisector.
NOTA: DEBEMOS ACLARA ALGUNOS DETALLES DE NOTACION, cuando decimos
que un trazo es congruente con otro decimos que son de igual medida es decir:
Si CDAB  ES LO MISMO QUE )()( CDmABm  ó AB = CD
Y lo mismo ocurre cuando decimos que dos ángulos son congruentes, es decir
tienen igual medida.
Si m ( A) = m ( B) Ó ( A)  ( B)

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