Control clásico moderno ingeniería electrónica.ppt

CONTROL CLÁSICO Y MODERNO
Universidad Nacional de Misiones
Profesor: Dr. Ing. Fernando Botterón
Ingeniería Electrónica
Facultad de Ingeniería - U.Na.M

Régimen de Regularización:
Serán EVALUADOS: - Los informes de los trabajos
prácticos; los informes de actividades de laboratorio; los
parciales (2 o 3) todos con derecho a recuperación.
Para REGULARIZAR se necesita tener una calificación mínima
en cada parcial (o recuperatorio) de 6 sobre 10. Además,
deben tener todos los trabajos prácticos e informes de
laboratorio presentados en tiempo y forma y aprobados.
Para PROMOCIONAR se necesita tener una calificación mínima
en cada parcial (parte práctica) de 8 sobre 10. Además de
tener todos los trabajos prácticos e informes de laboratorio
presentados en tiempo y forma y aprobados.
Información de la Materia - CCyM

Información de la Materia CCyM
 La materia es una introducción al Control Automático de
Sistemas;
 Se presentan conceptos y técnicas básicas para el análisis y
proyecto de sistemas de control;
 Se estudian sistemas lineales e invariantes en el tiempo
descriptos por un modelo de entrada-salida (función de
transferencia) o en el espacio de estado;
 Se restringe el estudio a sistemas SISO – (Single-Input-
Single-Output) una entrada y una salida.
Objetivos: Proyectar sistemas de control y evaluarlos utilizando
software de simulación específico para luego verificarlos en
la práctica de laboratorio.

Información de la Materia - CCyM
Software para simulación:
Matlab y/o Simulink y PSIM
→ Bibliografía básica: (Apuntes de Cátedra y presentaciones)
 Ogata, Katsuhiko; “Ingeniería de Control Moderna”;
 Kuo, Benjamín C.; “Sistemas de Control Automático”;
 Dorf, Richard C. – “Sistemas modernos de control”;
 Franklin; Powell; Davis and Emami – “Control de Sistemas
Dinámicos con Retroalimentación”.
→ Bibliografía adicional:
 Lewis, Paul H. – Chang Yang – Sistemas de Control en Ingeniería;
 Siemens – Introducción al Control Electrónico;
 Stefani el Al – Design Feedback Control Systems;
 De Carlo, Raymond A. – Linear Systems;
 Chi-Tsong Chen – Analog and Digital Control System Design;
 Distefano, Joseph J., Retroalimentación y sistemas de control;

Tema I
 Introducción a los sistemas de control automático
 Ejemplos de Sistemas de Control
 Modelado matemático de sistemas de control
 Función de transferencia (F.T.) y Diagramas de bloques
 Ejemplos de F.T. de Sistemas Dinámicos:
 Sistemas eléctricos, Sistemas electromecánicos,
Sistemas Térmicos y Sistemas Hidráulicos.
 Linealización de modelos matemáticos no lineales.

Introducción
Forma parte integral de Procesos Industriales, de
Manufactura, y toda Transformación Energética.
- Máquinas Herramientas;
- Robots para la industria de montaje;
- Satélites y Vehículos Espaciales;
- Aviones y Sistemas de Radares;
- Trenes eléctricos de alta velocidad;
- Control de Combustión e Inyección en Motores.
Control Automático

Introducción
Control Automático
- Control de Temperatura, Presión, Humedad, Viscosidad,
Turbidez, PH de líquidos, entre otros;
- Conversión de Energía:
 Hidráulica a Eléctrica
 Eólica a Eléctrica
 Solar: Generación de energía eléctrica y/o calor.
 Biomasa: Generación de vapor para turbinas.
 Almacenamiento de Energía Eléctrica en Baterías,
Súpercapacitores, Generación de Hidrógeno (Celdas
de Combustible).

Introducción
Súper Capacitores
Convertidor
Bidireccional

Introducción
Sistema Híbrido: Solar - Hidráulico
Capacitores
de excitación
Micro o Pico
Turbina
carga
consumidor
Controlador
de Carga
Electrónico
CCE
Carga
Balasto
Sensor de
Tensión
Actuador
GI
Convetidor
CC-CC
Half-Bridge
Aislado
Convetidor
CC-CA
Monofásico o
Trifásico
Paneles
Fotovoltaicos
Fuente[19]
Impedancia
de Linea
Monofásico o
Trifásico
Almacenador de
Energía Eléctrica
Barra de
CC-CC
Cargador
de Baterías
Cargador
de Baterías
Almacenador de
Energía Eléctrica

Introducción
Sistema Híbrido: Solar - Eólico

Introducción
Micro red CC de baja tensión

Introducción
ELECTRÓNICA DE POTENCIA:
- Control de Generación, Transmisión y Distribución de
Energía Eléctrica;
- Control y Supervisión de Parques Eólicos y
Fotovoltaicos.
- Micro Redes Eléctricas: Generación Distribuida
- Control de Velocidad de Motores Asincrónicos
- Control de Velocidad y Posición de Servomecanismos.
- UPS (Fuentes Ininterrumpidas de Alimentación)
Control Automático

Caja de
engranajes
GIDE Filtro
LC
Red
Eléctrica
Sistema de control y supervisión
Conversor 1 Conversor 2
Trafo
CrowBar
Regulador
de paso
Sistema de Control de Generación de una
Turbina Eólica Conectada a la Red


DSP o
C
a
i b
i c
i
Rede
380/220V
60Hz
Retificador Trifásico Inversor Trifásico
+
1
S 3
S 5
S
2
S 4
S 6
S
1
2
3
b
c
a
n
an
v bn
v cn
v
cc
v
Sistemas Ininterrumpidos de Energía Eléctrica
Convertidor CA - CC

Sistemas Ininterrumpidos de Energía Eléctrica
Convertidor CC - CA
Rede
380/220V
60Hz
Retificador Trifásico
Banco de
Baterías
Inversor Trifásico

Transformador
Trifásico Y
110/220V-110V
60Hz

DSP o
C
1
S 3
S 5
S
2
S 4
S 6
S
an
v
bn
v
cn
v
n
1
2
3
+
Carga
an
v bn
v cn
v
a
i b
i c
i
cc
v

Controlador de Tensión y Frecuencia – Microcentral
Hidroeléctrica
Capacitores
de excitación
GI
3
Micro o Pico
Turbina
Interruptor
Principal
carga
consumidor
Resistores de
Descarga
Controlador
de Carga
Electrónico
CCE
Carga
Balasto
Medidor de
Tensión
y Frecuencia
Actuador
Con o Sin Regulador
de Velocidad

Controlador de Tensión y Frecuencia – Microcentral
Hidroeléctrica
Capacitores
de excitación
GI
3
Micro o Pico
Turbina
Interruptor
Principal
carga
consumidor
Resistores de
Descarga
Con o Sin Regulador
de Velocidad
Controlador
Inversor
de Tensión
Bidireccional
PWM

Sistemas de Control: En Lazo Cerrado
Regulador Centrífugo de Watt
Control de Velocidad de un
Motor a Combustión

Regulador
Centrífugo
de Watt
Control de
Velocidad de
un Motor a
Combustión
Velocidad <
Referencia:
entra mas
combustible y
w aumenta
Velocidad >
Referencia:
entra menos
combustible y
w disminuye

Regulador Centrífugo de Watt
para Control de Motor de
Vapor

Control Automático
de Nivel de Líquidos
[1]
Diagrama de
Bloques

Control Simple
de Velocidad de
Motor CC [2]
Velocidad
Corriente

Control en Cascada de Motor CC [2]
Velocidad
Corriente de
Referencia
Corriente

Control de un Convertidor Estático CC – CC [3]
Convertidor CC-CC
Elevador de Tensión
Sensores
Factor de
Potencia
Unitario
Actuador

Control de un Convertidor Estático CC - CC
Tensión Red
Corriente Red
Factor de
Potencia Unitario

0 0.02 0.04 0.06 0.08
Time (s)
0
-100
-200
100
200
300
Vo Vred Iin*10

Sistema de Control
de un Convertidor
CC-CA Monofásico
VB
S1 S3
S2 S4
vin(t) vC(t)
+
_
L
C R
D1 D3
D2 D4
CL RL
iL(t)
Actuador
Planta
Carga:
Disturbio
G(s)
G(s)
Gcc(s)
r(t)
+
- y(t)
e(t) u(t)
[4]

Sistema de Control
de un Convertidor
CC-CA Monofásico
VB
S1 S3
S2 S4
vin(t) vC(t)
+
_
L
C R
D1 D3
D2 D4
CL RL
iL(t)
Actuador
Planta
Carga:
Disturbio
Lazo Cerrado
[4]


Transformador
Trifásico Y
3x220/127V
3 C

as
i
bs
i
cs
i
an
v
bn
v
cn
v
n
N
1
2
3
+
2
S 4
S 6
S
1
S 3
S 5
S
T
T
+
-
T
Limitador
Controlador
de Corriente
abcref
i
abcref
v
+
-
Carga
Trifásica
Controlador de
Tensión
ACTUADOR
PLANTA
SENSORES
CONTROLADOR
Carga
Trifásica
PERTURBACIÓN

Sistema de Control de un Convertidor CC-CA Trifásico
380/220V
Rectificador Bus CC Inversor Trifásico

Transformador
Trifásico Y
220/127V
Carga
Trifásica
4 hilos
DSP
TMS320F241
1
S 3
S 5
S
2
S 4
S 6
S
L
L
L
C
as
i
bs
i
cs
i
an
v
bn
v
cn
v
n
a
i
b
i
c
i
an
v bn
v cn
v
N
a 1
b
c
2
3
Lazo Abierto Lazo Cerrado

Introducción
¿ Que es un Sistema de Control ?
Hay numerosos objetivos en la vida diaria que necesitan
cumplirse:
 con la mayor precisión posible
 en el mínimo tiempo posible
 optimizándose la cantidad de energía consumida
 optimizándose también los costos
Para alcanzar tales objetivos: ESTRATEGIA DE
CONTROL

Introducción
Un Sistema de Control en general:
Sistema de
Control
Objetivos
Entradas o
Referencias
Resultados
Salidas o variables
controladas
Planta (Sistema o Proceso que se desea CONTROLAR
Controlador
Actuador
Transductor

Sistemas de Control: En Lazo Abierto
 La Salida no tiene efecto sobre la entrada
 A cada Entrada corresponde una única Salida
 Presencia de Perturbaciones provoca errores
Introducción
Control
Planta o
Proceso
Salida
Referencia
Perturbación

Sistema de Control en Lazo Cerrado: Realimentados o
Retroalimentados
Introducción
Actuador


Planta
Sensor
Salida
Referencia Error
Perturbación
Ruido

Control de Temperatura de
un Intercambiador de Calor
Medio CALEFACTOR:
VAPOR

Caldera Casa
Temperatura del
cuarto
Temperatura
deseada Error
Pérdida de
Calor
Termostato
Válvula
Gas


Introducción
 La Salida tiene efecto sobre la señal de control
 La Realimentación torna el sistema menos sensible
a las Perturbaciones y Variaciones de Parámetros
Control de Caldera para Regular la Temperatura
Ambiente de un Recinto

Elementos a tener en cuenta en el Diseño de Sistemas
de Control:
 Planta o Proceso a ser controlado;
 Objetivos (Señales de Comando o Referencia);
 Sensores;
 Actuadores;
 Comunicación;
 Cómputo;
 Interfaces;
 Perturbaciones e Incertidumbres del modelo.
Introducción

Planta o Proceso:
El ingeniero deben estar familiarizado con la FISICA
DEL PROCESO bajo estudio.
Esto incluye conocimientos básicos de:
- balances de energía,
- balances de masas,
- leyes físicas, etc.
Introducción

Objetivos:
Antes de diseñar los sensores, actuadores, y diferentes
configuraciones de control, es importante conocer los
OBJETIVOS de efectuar un determinado CONTROL.
Estos incluyen:
- Qué es lo que se pretende alcanzar (reducción de
energía, mayor producción, menores costos, etc.).
- Qué variables deben controlarse para alcanzar los
objetivos.
- Qué nivel de calidad se necesita (precisión, velocidad,
etc.): DESEMPEÑO DEL SISTEMA
Introducción

Sensores o Elementos de Medida:
Los sensores o elementos de medida son como los
ojos de un operario que controla manualmente un
determinado proceso.
Estos deben ser:
- Precisos,
- aptos para operar en ambientes hostiles o ruidosos,
- las dinámicas asociadas a estos deben ser mucho
mas rápidas que las del sistema para que de esta forma
puedan ser despreciadas.
Introducción

Actuadores:
Una vez ubicados los sensores para informar el estado
del proceso, se debe determinar la forma de ACTUAR
sobre el sistema
“para hacerlo ir del estado actual al estado deseado”.
Introducción

Cómputo:
En los sistemas de control modernos la interconexión
de sensores y actuadores se hace invariablemente a
través de un computador.
DCS (sistemas de control distribuido), PLC
(controladores lógicos programables), PC
(computadoras personales), DSC o microcontroladores.
En estos se ejecutan los algoritmos del controlador
propiamente dicho.
Introducción

Comunicaciones:
Interconexión de sensores con el sistema de control
RS232, RS422, RS485, Modbus TCP/IP (Ethernet), DTMF
(cable o telefonía celular).
Interconexión del sistema de control con el actuador.
Así, el diseño de sistemas de comunicación y sus
protocolos asociados es un aspecto cada vez más
importante de la ingeniería de control moderna.
Introducción

Ruidos y Perturbaciones:
Uno de los factores que afectan a los sistemas de
control reales son los: ruidos y perturbaciones
externas y/o internas.
Estos factores pueden tener un impacto significativo en
el desempeño del sistema.
Como ejemplo simple:
- los aviones están sujetos a ráfagas de vientos y pozos
de aire;
- los controladores de crucero de automóviles deben
adecuarse a las diferentes condiciones de la ruta y de
carga del vehículo.
Introducción

Modelado Matemático de Sistemas de Control
Obtener el Modelo
que describe el
Comportamiento
Dinámico del
Proceso o Planta
1º Paso Para el
Proyecto de un
Controlador
Modelo Dinámico
del Proceso o
Planta
Ecuaciones
Diferenciales
del Proceso
Físico
Modelo debe
ser simple
Compromiso: Simplicidad versus Exactitud

Compromiso: Simplicidad versus Exactitud
Para Simplificación se hacen HIPÓTESIS y se
IGNORAN DETERMINADAS PROPIEDADES
INERENTES DEL SISTEMA:
 NO LINEALIDADES
 PARAMETROS DISTRIBUIDOS
El MODELO será valido desde que se cumplan las
hipótesis efectuadas y los efectos de las
propiedades físicas ignoradas sean despreciables
NO EXISTE UN MODELO EXACTO !!!

Definiciones Básicas:
Modelo nominal. Es una descripción aproximada de la
planta que se usa para el diseño del controlador.
Modelo de calibración. Es una descripción más
precisa de la planta e incluye características no
usadas en el diseño del controlador, pero que tienen
influencia en el desempeño del sistema.
Error de modelo (Incertidumbre de Modelado). Es la
diferencia que existe entre el modelo nominal y el
modelo de calibración.

Obtención de Modelos:
Método Analítico: Se basa en el uso de leyes físicas
básicas que determinan las relaciones entre todas las
señales del sistema (Modelo Nominal).
Método Experimental: Se considera al sistema como una
caja negra la cual se somete a diferentes tipos de
señales para obtener sus parámetros.
 Respuesta en el tiempo
 Respuesta en Frecuencia
 Identificación Paramétrica

Obtención de Modelos:
En el proceso de MODELACIÓN es necesario a veces la
inclusión del ACTUADOR, los cuales son generalmente
NO LINEALES:
 VÁLVULAS NEUMATICAS O HIDRAULICAS
 CONVERTIDORES CON MODULACIÓN POR ANCHO
DE PULSO
 AMPLIFICADORES A TRANSISTORES BIPOLARES DE
POTENCIA

Clasificación de Sistemas:
SISTEMAS LINEALES:
 Se describen mediante ecuaciones diferenciales lineales
 Permiten aplicar el Principio de Superposición
SISTEMAS NO LINEALES:
 El Principio de Superposición no se cumple
 En realidad todo sistema es de hecho no lineal
 Pero la mayoría pueden ser linealizados
 
2
2
d y dy dx
m b k y x
dt dt dt
 
    
 
 
2
2 2
2
2 2
sin( ) o ( 1) 0
d x dx d x dx
x A t x
dt dt dt dt
 
   w   
 
 

Clasificación de Sistemas:
SISTEMAS INVARIANTES EN EL TIEMPO (IT):
 Ecuaciones Diferenciales con Coeficientes
Constantes
SISTEMAS VARIANTES EN EL TIEMPO (VT):
 Ecuaciones Diferenciales con Coeficientes que
son funciones del tiempo

Función de Transferencia (FT) o Relación Entrada-Salida:
SLIT
G(s)
( )
U s ( )
Y s
Ecuaciones en el tiempo de y(t) y de u(t), Lineales e
Invariantes en el Tiempo:
[ ( )]
( )
[ ( )] condiciones iniciales nulas
y t
Funcion Transferencia G s
u t
 
L
L

Ceros del sistema: son las raíces de N(s) = 0.
Polos del sistema: son las raíces de D(s) = 0.
Grado relativo: es la diferencia n - m del grado del
numerador menos el grado del denominador.
Función transferencia propia: si m ≤ n.
Función transferencia estrictamente propia: si m < n.
Función transferencia bipropia: si m = n.
Función transferencia impropia: si m > n.
Algunas definiciones de la FT
La característica dinámica del sistema depende
fundamentalmente de las raíces del denominador D(s) = 0 .
POLINOMIO CARACTERISTICO

 La FT es aplicable solamente a Sistemas LIT SISO.
 La FT es una propiedad intrínseca del sistema
dinámico e independe de la magnitud y naturaleza de la
función de entrada.
 La FT no provee información alguna sobre la
estructura física del sistema: Las FT de sistemas
físicamente diferentes, pueden ser idénticas.
 No proporciona información de lo que pasa dentro del
sistema.
Algunas comentarios sobre la FT

 Se necesita que las condiciones iniciales sean nulas.
 Si la FT es desconocida (caja negra) esta puede ser
determinada experimentalmente.
Algunas comentarios sobre la FT
( )
u t ( )
y t
SISTEMA
DINÁMICO
(CAJA NEGRA)
 Ningún sistema dinámico práctico o de interés,
cumple con estos requisitos, dado:
No linealidades, varias entradas y salidas, los parámetros
varían con el tiempo y las C.I. no siempre son nulas

f
R


( )
a
v t ( )
b
v t


a
R a
L
, ,
e
T w 
b
Carga

f
L

( )
f
v t
J
( )
a
i t
( )
f
i t
c
T
( ) .
f f f
i t I ctte ctte
    
( ) ( ), ( ) ( ) o ( )
a
u t v t y t t t
  w 
Sistemas Electromecánicos:
Motor CC con Excitación Independiente

3 2
( )
( )
( ) ( ) ( )
t
a a a a t b
K
s
G s
U s s JL s JR BL s BR K K

 
   
0
a
L 
Si la ctte tiempo eléctrica << ctte tiempo mecánica
Sistemas Electromecánicos:
Motor CC con Excitación Independiente
f
R


( )
a
v t ( )
b
v t


a
R a
L
, ,
e
T w 
b
Carga

f
L

( )
f
v t
J
( )
a
i t
( )
f
i t
c
T

2
( )
( )
( ) ( )
t
a a t b
K
s
G s
U s s JR s BR K K

 
 
0
a
L 
( )
a t b
s BR K K

Factorizando
t
m
a t b
K
K
BR K K


a
m
a t b
JR
BR K K
 

Ctte. Mecánica
Ctte. Tiempo
( )
( )
( ) [ 1]
m
pos
m
K
s
G s
U s s s

 
 
f
R


( )
a
v t ( )
b
v t


a
R a
L
, ,
e
T w 
b
Carga

f
L

( )
f
v t
J
( )
a
i t
( )
f
i t
c
T
( )
( )
( ) 1
m
vel
m
K
s s
G s
U s s

 
 

Control clásico moderno ingeniería electrónica.ppt

Introducción
Planta o
Proceso
Sistema de
Control de
Presión

Introducción
Objetivo
Objetivo
(Referencia)
Sistema de
Control de
Presión

Introducción
Sensor
Sistema de
Control de
Presión

Introducción
Actuador
Sistema de
Control de
Presión

Introducción
Cómputo Sistema de
Control: C o DSC
Sistema de
Control de
Presión

Introducción
Perturbaciones y
Ruidos
Sistema de
Control de
Presión

Referencias Bibliográficas
[1] Prof. José R. Espinoza, Apuntes de Control Automático – 543
444 – Facultad de Ingeniería – Universidad de Concepción –
Chile.
[2] Prof. José R. Espinoza, Apuntes de Sistemas Lineales
Dinámicos – 543 214 – Facultad de Ingeniería – Universidad
de Concepción – Chile.
[3] PSIM 9.04 – Examples – Powersim Tech.
[4] Cassiano Rech – Análise e Implementação de Técnicas de
Controle Digital Aplicadas a Fontes Ininterruptas de Energia.
Dissertação de Mestrado – UFSM – SM – RS – Brasil.

Universidad Nacional de Misiones



( )
a
v t ( )
b
v t


a
R a
L
,
T 
B
Carga

f
R
f
L

( )
f
v t
J
( )
a
i t
( )
f
i t ( )
f
i t ctte

( ) ( )
t a
T t K i t

( )
( )
b b
d t
v t K
dt


2
2
( ) ( )
( )
d t d t
T t J B
dt dt
 
 
Aplicando Ley de Kircchoff en la malla de la armadura:
( ) ( )
( ) ( ) a
a a a a b
di t d t
v t R i t L K
dt dt

  
2
2
( ) ( )
( )
t a
d t d t
K i t J B
dt dt
 
 
( ) ( ), ( ) ( )
a
u t v t y t t
  
Aplicando la Transformada de Laplace:
( ) ( ) ( ) ( )
a a a a b
U s R I s L sI s K s s
    2
( ) ( ) ( )
t a
K I s J s s B s s
   
Sistemas Electromecánicos: Servo Motor CC



( )
a
v t ( )
b
v t


a
R a
L
,
T 
B
Carga

f
R
f
L

( )
f
v t
J
( )
a
i t
( )
f
i t ( )
f
i t ctte
 ( ) ( ), ( ) ( )
a
u t v t y t t
  
Eliminando Ia(s):
( ) ( ) ( ) ( )
a a a a b
U s R I s L sI s K s s
   
2
( ) ( ) ( )
t a
K I s J s s B s s
   
3 2
( )
( )
( ) ( ) ( )
t
a a a a t b
K
s
G s
U s s JL s JR BL s BR K K

 
   
0
a
L 
Si la ctte tiempo eléctrica << ctte tiempo mecánica



( )
a
v t ( )
b
v t


a
R a
L
,
T 
B
Carga

f
R
f
L

( )
f
v t
J
( )
a
i t
( )
f
i t ( )
f
i t ctte
 ( ) ( ), ( ) ( )
a
u t v t y t t
  
2
( )
( )
( ) ( )
t
a a t b
K
s
G s
U s s JR s BR K K

 
 
0
a
L 
( )
a t b
s BR K K

Factorizando
t
m
a t b
K
K
BR K K


a
m
a t b
JR
BR K K
 

Ctte. Mecánica
Ctte. Tiempo
( )
( )
( ) [ 1]
m
m
K
s
G s
U s s s

 
 

Sistemas Térmicos
o

i

Mezclador
Calefactor
Líquido frío
Líquido caliente
M
H
: temperatura líquido entrante, °C
: temperatura líquido saliente, °C
: masa líquido, Kg
: calor específico del líquido, Kcal/Kg°C
: resistencia térmica del líquido, °Cseg/Kcal
: capacitancia térmica del líquido
i
o
M
c
R
C


, Kcal/°C
: calor entrante, Kcal/seg
H
i ctte
  i
H H h
 
Asumamos que:
hi : un pequeño cambio en la
entrada de calor
De esta forma: o
H H h
  o o
    

Sistemas Térmicos
o

i

Mezclador
Calefactor
Líquido frío
Líquido caliente
M
H
o
h
R


C Mc

La ecuación diferencial que
gobierna este proceso es:
i o
d
h C h
dt

 
O también:
i
d
RC Rh
dt

  
Aplicando la Transformada de Laplace con condiciones iniciales nulas
( )
( ) 1
i
s R
H s sRC



:
i
h entrada del sistema
: salida del sistema


Sistemas Electrónicos: Amplificador Operacional Ideal
i
Z   0
o
Z 
Dado que:
Y siendo que:
R1
R2
C
ei
eo
i1
i3
i2


e'
     
1 2 3
1 2
, ,
i o o
e e d e e e e
i i C i
R dt R
  
  
  
1 2 3
i i i
 
     
1 2
i o o
e e d e e e e
C
R dt R
  
  
 
1 2
i o o
e de e
C
R dt R
  
Aplicando la Transformada de Laplace con condiciones iniciales nulas
0
v
A e
   
2
1 2
( ) 1
( ) 1
o
i
E s R
E s R sR C
 


Amplificador Operacional Ideal: Método de Impedancias
i
Z   0
o
Z 
Finalmente:
2 2 2
1 2 1 1 2
( ) 1
( ) ( 1) 1
o
i
E s Z R R
E s Z sR C R R sR C

    
 
Ei(s)
Is


1( )
Z s
2 ( )
Z s
Is
Eo(s)
2
1
( ) ( )
( ) ( )
o
i
E s Z s
E s Z s
 
Para el caso anterior tenemos:
1 1
( )
Z s R
 2
2
2
2
1
( )
1 1
R
Z s
sR C
sC
R
 



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