Control digital / PID sesión número 1a.pdf

UNIVERSIDAD DE PIURA
DEPARTAMENTO DE ELECTRÓNICA Y AUTOMÁTICA
”CONTROL DIGITAL / PID”
Dr. Ing. William Ipanaqué
PERÚ
2001

• No existe límite en la complejidad del
algoritmo. Cosa que sí sucedía anteriormente con
los sistemas analógicos.
• Facilidad de ajuste y cambio. En el controlador
analógico demanda un cambio de componentes o
un cambio del controlador completo.
• Exactitud y estabilidad en el cálculo debido a
que no existen derivas u otras fuentes de error.
Características básicas de control digital
Universidad de Piura. Departamento de Electrónica y Automática. Slide 2

• Uso del computador con otros fines (alarmas,
archivo de datos, administración, etc.).
• Costo vs. número de lazos. No siempre se
justifica un control digital ya que existe un costo
mínimo que lo hace inaplicable para un número
reducido de variables.
• Tendencia al control distribuido o jerárquico.
En lugar de usar un único controlador para toda la
planta se distribuyen los dispositivos inteligentes
por variable o grupos de éstas e ir formando
estructuras jerárquicas.
Características básicas de control digital

Esquema de control analógico

SISTEMA
A/D D/A
C
Controlador digital
SISTEMA
c
A/D
G
Ref T
D/A
Esquema de un control digital

Esquema de un control digital

Señales en un control digital

CARACTERISTICAS DE LA SEÑAL MUESTREADA

T
ws

2

máx
s w
w 2

Frecuencia de muestreo
Teorema del muestreo

Ejemplo de aliasing de señal
t
j c
e
t
f 

)
(
1
sea c = 1, s = 3, k =1
sen (t) = Im[f1(t) y sen 4(t) = Im[f2(t)
nT
j c
e
nT
f 

)
(
1
)
(
)
/
2
(
2
s
c
c
c
c
K
jnT
T
K
jnT
nK
j
nT
j
nT
j
e
e
e
e
e













t
k
j s
c
e
t
f )
(
2 )
( 
 
 Tiene las mismas muestras que f1(t)

1 3 4 w
Frecuencia
alias
Frecuencia
muestreo
Frecuencia
Señal a muestrear

min
/
142
.
3
2
/
2
rad
ws

 
min
/
978
.
2
11
.
2
/
2
0
rad
w

 
min
/
1368
.
0
0
rad
w
ws 

Muestreo
Oscilación de presión
Aliasing

Compromiso entre dos extremos
• El tiempo de muestreo T debe ser lo menor
posible, para aproximarse al caso continuo.
• Debe ser lo mayor posible (tiempo de
cálculo involucrado)
El aspecto fundamental está constituido por
las características dinámicas del proceso.
Cuanto mayores sean los valores de las
constantes de tiempo, mayor es T.
Criterios para selección de T

• Para procesos con retardo puro dominante
Tt el tiempo de muestreo debe elegirse entre
1/4 y 1/8 de Tt.
• El tiempo de crecimiento Tc, o sea el tiempo
que tarda el sistema en alcanzar el 95% del
valor final en respuesta a un escalón de
entrada, puede también ser un indicador
para seleccionar T. Valores adecuados son:
Tc/5>T>Tc/15.

• En la práctica se aconseja utilizar un
período de muestreo T por lo menos un
factor 1/5 menor que Tmin . (constantes de
tiempo menores del proceso Tmin)
• Para: sistemas electromecánicos rápidos T =
10 mseg o menor , variables eléctricas de un
circuito T =1mseg , procesos químicos o
térmicos por ejemplo: 1 seg < T< 20 seg

RETENEDOR ORDEN
CERO
C(S)
R(S)
)
(
)
(
)
(
s
G
s
R
s
c

t
C(t)
1
s
e
s
G
s
e
s
s
G
s
R
s
c
st
st








1
)
(
1
1
)
(
)
(
)
(
0
0
Reconstrucción de la señal original

Retención de orden cero

2/ws

-180º
-360º
-540º
w/ws
w/ws
1 2 3
1 2 3
|G0(jw)|
Espectro del retenedor de orden cero

    .
0
* sT
n
e
nT
f
s
F 




      .
0
* n
n
z
nT
f
z
F
s
F 





TRANSFORMADA Z
 
















0
0
0
)
(
)
(
)
(
*
)
(
* dt
e
nT
t
nT
f
dt
e
t
f
s
F st
n
st

)
(
)
(
)
( 0
0 t
f
dt
t
t
t
f 

 
Haciendo: sT
e
z 

EJEMPLO
  .
at
e
t
f 

.
1
1
...
1
]
[
1
2
1
0
aT
aT
n
anT
aT
aT
n
n
anT
at
e
z
z
z
e
z
e
e
z
e
z
e
e
Z























 

EQUIVALENCIA ENTRE PLANO S Y Z
z
e
e sT
T
jm
s s


 )
( 
T
jw
Ts
e
e
z )
( 

 
Las bandas complementarias en la mitad izquierda
del plano s se convierten en el mismo círculo unitario
en el plano z
El periodo de muestreo es importante ya que e –T puede
salirse del círculo unitario.

Plano S
 >0
Im
Re
js/2
-js/2
<0
Plano Z
eT
e-T
Im
Re
Banda primaria

Sistema de segundo orden con wn=3,5 y =0,6
.
8
,
2
1
,
2
6
,
0
1
6
,
0
5
,
3 2
j
s 







• Polos:
• z = e-0’21. e+j0’28 = 0,77  0,23j.
 Si T=0,1 seg.ws=62,83 rad/seg.
 ws/4 = 15,7.
 Si T=10 seg.ws=0,6283 rad/seg.  ws/2 =
0,3141. (aliasing)

 
 
       ..
0
*
1
0
1
1
1
0
1
1
1





















m
n
q
q
q
q
p
p
p
p
t
f
nT
t
nT
f
z
F
b
z
b
z
b
z
b
a
z
a
z
a
z
a
z
F



TRANSFORMADA INVERSA z

  T
t
e
b
donde
b
z
Az
Ae
Z 
 




...
)
(
.
)
(
Si
...
)
(
1 










b
z
Bz
a
z
Az
z
F
z
z
F
b
z
B
a
z
A
z
F
EXPANSIÓN EN FRACCIONES SIMPLES

EJEMPLO
2
1
1
60
.
0
60
.
1
1
5
.
0
)
( 





z
z
z
z
F
)
60
.
0
1
)(
1
(
)
60
.
0
60
.
1
1
( 1
1
2
1 







 z
z
z
z
Denominador:
1
2
1
1
1
1
1
60
.
0
1
1
)
60
.
0
1
)(
1
(
5
.
0
)
( 











z
A
z
A
z
z
z
z
F
25
.
1
4
.
0
5
.
0
6
.
0
1
5
.
0
60
.
0
1
5
.
0
1
1
1
1 








z
z
z
A
25
.
1
4
.
0
5
.
0
6
.
0
/
1
1
6
.
0
/
5
.
0
1
5
.
0
6
.
0
1
1
2 










z
z
z
A

De tabla de transformadas
1
1
60
.
0
1
25
.
1
1
25
.
1
)
( 





z
z
z
F
1
1 

 z
e
b
aT
y b=1.25
60
.
0

aT
e
]
)
60
.
0
(
)
(
[
25
.
1
]
)
(
)
(
[
25
.
1
25
.
1
)
(
25
.
1
)
(
n
n
aY
anT
nT
u
e
nT
u
e
nT
u
nT
f








EJEMPLO

MÉTODO DE EXPANSIÓN DE POTENCIA
            .
2
1
0 2
1
0

 





 





 n
n
n
z
nT
f
z
T
f
z
T
f
f
z
nT
f
z
F
  n
n
n
n
z
b
z
b
z
b
b
z
a
z
a
z
a
a
z
F 














...
...
2
2
1
1
0
2
2
1
1
0
...
)
( 2
2
1
1
0 


 

z
c
z
c
c
z
F

   
  
aT
aT
e
e
z
z
z
z
F 





1
1
   
  aT
aT
aT
aT
aT
aT
e
e
e
e
e
e
z
z
z
z
z
z
z















1
1
1
2
2
Ejemplo:

   
            
     
      
   
      
   
    naT
n
T
nat
n
aT
aT
aT
aT
aT
aT
aT
aT
aT
aT
aT
aT
aT
aT
aT
aT
naT
n
aT
aT
aT
aT
aT
aT
aT
aT
aT
aT
aT
aT
aT
aT
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
nT
f
z
z
z
z
z
z
z
z
z
z
n
z
z
z
z
z
z
z
z
































































































 1
1
1
1
1
1
1
1
-
1
1
1
1
1
-
1
-
.
,
,
0
,
1
1
-
1
1
1
1
1
1
1
1
z
-
1
z
1
0
¡
3
3
4
2
3
3
3
2
3
1
2
2
3
1
2
2
2
1
2
1
2
3
3
2
2
1
1
2




MÉTODO DE RESIDUOS
  1
)
(
lim 


 k
i
p
z
i z
z
f
p
z
r
i
 





m
i
k
i z
z
f
p
z
k
f
1
1
)
(
)
(
Raíces diferentes en el denominador
)
3
)(
2
)(
1
(
)
(




z
z
z
z
z
f
3
,
2
,
1 3
2
1 

 p
p
p
 
2
3
2
2
1
)
3
)(
2
)(
1
(
)
(
3
1
1
k
k
i
k
i z
z
z
z
z
p
z
k
f 






 


Polos:
Ejemplo:

MÉTODO DE RESIDUOS
Raíces repetidas en el denominador
Ejemplo:
 
1
1
0
1
0
)
(
lim
)!
1
(
1
en
Residuo
0






 m
k
m
m
z
z dz
z
z
f
z
z
d
m
z
 2
)
(
c
z
cTz
z
f


aT
e
c 

 
akT
k
k
c
z
k
z
z
kTe
KTc
KcTz
dz
cTz
d
c
z








 lim
)
(
lim
)!
1
(
1
en
Residuo 1
0

   
     .
2
1
2
1 t
F
t
F
t
f
t
f 



Teorema de la superposición:
 
   
   ..
t
aF
t
f
a
t
af 



Linealidad:
 
   
 
      .
.
1
0


















n
k
k
n
n
z
kT
f
z
F
z
nT
t
f
z
F
z
nT
t
f
Teorema de desplazamiento en el tiempo
PROPIEDADES O TEOREMAS

    existe.
límite
el
Si
.
0
z
F
nT
f lim
lim z
n 



Teorema del valor inicial
     .
1 1
1
z
F
z
nT
f lim
lim z
n






Teorema del valor final
PROPIEDADES O TEOREMAS

)
)
1
((
)
(
)
( 2
1 T
K
u
a
KT
u
a
KT
y 


)
1
(
)
(
)
( 2
1 

 K
u
a
K
u
a
K
y
)
(
)
(
0
j
K
u
b
i
K
y
a
nb
j
j
na
i
i 

 


ECUACIONES DIFERENCIA

1
)
(
3
)
1
(
2
)
2
( 



 k
x
k
x
k
x
0
)
1
(
)
0
( 
 x
x
1
]
1
[
)
(
3
)
(
2
)
(
2





z
z
Z
z
X
z
zX
z
X
z
Condiciones :
)
1
)(
3
)(
1
(
)
3
2
)(
1
(
)
(
1
)
(
)
3
2
( 2
2













z
z
z
z
z
z
z
z
z
X
z
z
z
X
z
z
 
8
1
8
3
4
1
)
1
(
8
1
3
8
3
)
1
(
4
1
)
(
1
1 











k
k
k
k
k
k
x
ECUACIONES DIFERENCIA

Diseño de controladores digitales
• Método directo: Se discretiza el proceso y
luego se diseña en tiempo discreto
• Método indirecto: Se diseña el controlador
analógico y luego se discretiza

MÉTODO DIRECTO: Control digital

  






 
s
s
G
Z
z
z
G
)
(
1
)
(
' 1
D(z) ZOH G(s)
T
rn en
yn
un
u(t)
y(t)
a) Sistema mixto: analógico y digital

  






 
s
s
G
Z
z
z
G
)
(
1
)
(
' 1
D(z) G’(z)
R(z) E(z)
U(z)
Y(z)
(b) Sistema completamente discreto

Discretización del controlador continuo
Reglas básicas para discretizar bloques elementales
s
s
E
s
U
s
D
1
)
(
)
(
)
( 

a) b) c)
f(t) q(t) f(s) q(s)
1/s f(z) q(z)
D(z)

Integrador

Integración numérica

)
1
/(
)
(
)
1
/(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
1
(
)
1
(
)
(
1
1
1
1
1
1














z
T
z
D
z
Tz
z
D
z
f
Tz
z
q
z
z
q
k
Tf
k
q
k
q
)
1
/(
)
(
)
1
/(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
1
(
)
(
2
1
2
1











z
Tz
z
D
z
T
z
D
z
Tf
z
q
z
z
q
k
Tf
k
q
k
q
Adelanto (forward) Atraso (backward)

 
 
)
1
(
1
2
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
2
)
(
)
(
)
1
(
)
(
2
)
1
(
)
(
1
1
3
1
1
















z
z
T
z
f
z
q
z
D
z
f
z
z
f
T
z
q
z
z
q
k
f
k
f
T
k
q
k
q

Derivación numérica
T
k
y
k
y
T
k
y
k
y
dt
dy
T
)
(
)
1
(
)
(
)
1
(
lim
0







)
(
)
( s
sY
s
q 
)
(
)
1
(
)
( z
Y
T
z
z
q


En Laplace:
En z:

MÉTODOS DE DISCRETIZACIÓN
Aproximación del Operador Derivada
T
x
+
x
2
-
x
=
dt
x(t)
d
T
x
-
x
=
dt
dx(t)
2
2
-
k
1
-
k
k
2
2
1
-
k
k
kT
=
t




Aproximaciones de s a z
zT
z
T
z
s
1
1 1





T
z
Tz
z
s
1
1
1
1



 

1
1
2
1
1
2
1
1







 

z
z
T
z
z
T
s
Hacia atrás (Backward )
En Adelanto o Euler (Forward)
Trapezoidal o Tustin (bilinear

Aproximaciones de s a z
a) Regla en adelanto b) Regla en atraso c) Regla trapezoidal

MÉTODOS DE DISCRETIZACIÓN
Ejemplo:
u(t)
a
K
+
dt
du(t)
K
=
y(t)
b
+
dt
dy(t)
u
a
K
+
T
u
-
u
K
=
y
b
+
T
y
-
y
k
1
-
k
k
k
1
-
k
k
   
 
u
-
u
T
a
+
1
K
=
y
-
y
T
b
+
1 1
-
k
k
1
-
k
k
 
 
z
-
T
b
+
1
z
-
T
a
+
1
K
=
U(z)
Y(z)
=
R(z) 1
-
-1
Ttransformando a Z

Controlador PID Discreto
PID PROCESO
+
-
r(t) e(t) u(t) y(t)
 Es el más clásico y difundido controlador de parámetros
optimizados.
 Controlador de tipo Proporcional, Integral y Derivativo, en
el caso más general.

Ec. diferencial que rige el comportamiento dinámico entrada-
salida de un PID continuo
       










 
t
D
I
dt
t
de
T
d
e
K
t
e
K
t
u
0


• K constante de proporcionalidad
• KI integración
• TD derivación
Ec. 1.1

Para un control digital, las señales continuas deben
discretizarse.
Aproximando la integral por aproximación rectangular, se
obtiene :
           
 











 

1
/
1
1
k
e
k
e
T
T
i
e
T
K
k
e
K
k
u D
k
i
I
     
k
y
k
r
k
e 


APROXIMACIÓN RECTANGULAR DE LA
INTEGRAL
 
1
1



i
y
T
k
i

APROXIMACIÓN TRAPEZOIDAL DE LA
INTEGRAL
     










i
y
k
y
y
T
k
i
1
1
2
0

           
 














 


2
1
/
1
1
1
1
1
k
e
k
e
T
T
i
e
T
K
k
e
K
k
u D
k
i
I
Para obtener la ecuación recursiva
       
           
 
 
2
1
2
/
1
1
1 










 k
e
k
e
k
e
T
T
k
Te
K
k
e
k
e
K
k
u
k
u D
I
             
 


















 


1
/
2
0 1
1
k
e
k
e
T
T
i
e
k
e
e
T
K
k
e
K
k
u D
k
i
I
Utilizando una aproximación trapezoidal para la integral

Operador retardo
e(k) e(k-1)
q-1
T

Función de Transferencia Discreta del
Controlador PID
La parte proporcional es
up(k) = Ke(k)
La función de transferencia discreta de la parte
proporcional se obtiene directamente transformando a
variable z como
 
 
 
K
z
e
z
u
z
C
p
p 

           
 











 

1
/
1
1
k
e
k
e
T
T
i
e
T
K
k
e
K
k
u D
k
i
I

Función de Transferencia Discreta del
Controlador PID
La parte derivativa, es uD(k) = KTD/T[e(k) – e(k-1)]
Utilizando el operador retardo, queda
uD(k) = (KTD/T) e(k) (1-q-1)
La función de transferencia discreta de la parte derivativa
se obtiene ahora, como
   
 
  
1
1
/ 


 z
T
KT
z
e
z
u
z
C D
D
D

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